資源簡介

7.1　復數的概念
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
學習任務 1．了解引進虛數單位i的必要性，了解數系的擴充過程．(邏輯推理) 2．理解在數系的擴充中由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念．(數學抽象) 3．掌握復數的表示方法，理解復數相等的充要條件．(數學運算)
小學的時候我們先學了自然數；為了衡量一個蘋果分給幾個小朋友的問題，引入了分數；慢慢又引入了負數；緊接著為了衡量邊長為1的正方形的對角線的長度，引入了無理數；一步步地將數系擴充到實數系……
知識點1　復數的概念及其表示
1．復數與復數集
形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做____，其中i叫做________．全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做______．規定i·i＝i2＝______．
1．如何理解虛數單位i
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_____________________________________________________________________2．復數的表示
復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈______)，其中a叫做復數z的________，b叫做復數z的________．
知識點2　復數相等的充要條件
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當______且______．　
知識點3　復數的分類
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系如圖所示．
2．復數m＋ni的實部是m，虛部是ni，對嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________a＋bi叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式．
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a，b為實數，則z＝a＋bi為虛數． (　　)
(2)復數z＝bi是純虛數． (　　)
(3)實數集與復數集的交集是實數集． (　　)
2．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，則x＝________；y＝________．
類型1　復數的概念
【例1】　給出下列說法：①復數2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數一定是虛數；③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數；④若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數．其中錯誤說法的個數是(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　判斷復數概念方面的命題真假的注意點
(1)正確理解復數、虛數、純虛數、實部、虛部、復數相等的概念，注意它們之間的區別與聯系．
(2)注意復數集與實數集中有關概念與性質的不同．
(3)注意通過列舉反例來說明一些命題的真假．
[跟進訓練]
1．下列說法中正確的是(　　)
A．復數由實數、虛數、純虛數構成
B．若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有x≠0
C．在復數z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復數z一定不是純虛數
D．若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i
類型2　復數的分類
【例2】　當實數x取什么值時，復數z＝＋(x2－2x－15)i是下列數？
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　利用復數的分類求參數的方法及注意事項
(1)利用復數的分類求參數時，首先應將復數化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是這種形式，應先化為這種形式，得到實部與虛部，再求解．
(2)要注意確定使實部、虛部的式子有意義的條件，再結合實部與虛部的取值求解．
(3)要特別注意復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數的充要條件是a＝0且b≠0．
[跟進訓練]
2．(1)若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i為虛數單位)為實數，則a的值為(　　)
A．0　　　　 B．1
C．－1 D．1或－1
(2)若復數(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值為(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
類型3　復數相等的充要條件
【例3】　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實數x，y的值．
(2)已知關于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實數根，求實數m的值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　復數相等問題的解題技巧
(1)必須是復數的代數形式才可以根據實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．
(2)根據復數相等的條件，將復數問題轉化為實數問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數問題實數化思想的體現．
[跟進訓練]
3．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的實數根，求復數m的值．
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_____________________________________________________________________
1．在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618這幾個數中，純虛數的個數為(　　)
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
2．復數z＝－i的實部和虛部分別是(　　)
A．－，－ B．，－
C．， D．－，
3．已知x，y∈R，i為虛數單位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，則x＋y＝________．
4．在下列數中，屬于虛數的是__________，屬于純虛數的是________．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．當a，b滿足什么條件時，復數z＝a＋bi(a，b∈R)是實數、虛數、純虛數？
2．兩個實數能比較大小，那么兩個復數能比較大小嗎？
3．若復數z＝a＋bi>0，則實數a，b滿足什么條件？
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1．復數　虛數單位　復數集　－1
思考1　提示：①i2＝－1；②i可與實數進行四則運算，且原有的加、乘運算律仍成立．
2．R　實部　虛部
知識點2　a＝c　b＝d
知識點3　(1)b＝0　虛數　a≠0
思考2　提示：不對．由復數實部和虛部的概念可知，復數m＋ni，只有m，n∈R時，m才是m＋ni的實部，此時復數m＋ni的虛部是實數n，而不是ni．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．0　5
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　C　[復數2＋3i的虛部是3，①錯；形如a＋bi(b∈R)的數不一定是虛數，②錯；只有當a∈R，a＋3≠0時，(a＋3)i是純虛數，③錯；若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數，故④正確，所以有3個錯誤．]
跟進訓練
1．C　[選項A錯，復數由實數與虛數構成，在虛數中又分為純虛數和非純虛數；選項B錯，若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有y≠0，但可以x＝0；選項C正確，若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是純虛數，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，復數z一定不是純虛數；選項D錯，當a，b∈R時，a＋i與b＋i都是虛數，不能比較大小．]
例2　解：(1)當x滿足
即x＝5時，z是實數．
(2)當x滿足即x≠－3且x≠5時，z是虛數．
(3)當x滿足即x＝－2或x＝3時，z是純虛數．
跟進訓練
2．(1)D　(2)B　[若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i為虛數單位)為實數，則a2－1＝0，所以a＝±1．故選D．
(2)根據復數的分類知，需滿足
解得所以a＝2．]
例3　解：(1)由復數相等的充要條件，得
解得
(2)設a是原方程的實根，則a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝．
跟進訓練
3．解：由題意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，
即m＝－＋i．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[i，(1－)i是純虛數，2＋，0.618是實數，8＋5i是虛數．故純虛數的個數為2．]
2．B　[復數z＝－i的實部為，虛部為－．
故選B．]
3．2　[∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴
∴∴x＋y＝2．]
4．1＋i，πi，＋2i，i，i　πi，i　[根據虛數的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虛數；由純虛數的概念知：πi，i都是純虛數．]
課堂小結
1．提示：當b＝0時，a＋bi是實數；當b≠0時，a＋bi是虛數；當a＝0，b≠0時，a＋bi是純虛數．
2．提示：當兩個復數都是實數時，可以比較大小，當兩個復數不全是實數時，不能比較大小．
3．提示：若復數z＝a＋bi>0，則實數a，b滿足a>0，且b＝0．7.1.2　復數的幾何意義
學習 任務 1．掌握用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系．(數學抽象) 2．掌握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念．(數學抽象) 3．掌握用向量的模來表示復數的模的方法．(邏輯推理)
我們知道，實數與數軸上的點一一對應，因此實數可以用數軸上的點來表示，復數作為數系的擴充，能不能進行幾何表示呢？讓我們來一起探究吧！
知識點1　復數的幾何意義
1．復平面
(1)復平面：建立了直角坐標系來表示____的平面叫做復平面．
(2)實軸：坐標系中的x軸叫做______，實軸上的點都表示______．
(3)虛軸：坐標系中的y軸叫做____，除了原點外，虛軸上的點都表示______．
1．實軸上的點表示實數，虛軸上的點表示虛數，這句話對嗎？
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_____________________________________________________________________2．復數的幾何意義
(1)復數集C中的數與復平面內的點一一對應：
復數z＝a＋bi復平面內的點____________；
(2)復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量一一對應：
復數z＝a＋bi平面向量．
知識點2　復數的模
1．定義：向量的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值．
2．記法：復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作____________________．
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝．
知識點3　共軛復數
1．定義：一般地，當兩個復數的實部____，虛部__________時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做________．
2．表示：復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi．
2．共軛復數在復平面內對應的點有什么關系？
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1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)原點是實軸和虛軸的交點． (　　)
(2)若＝(0，－3)，則對應的復數為－3i． (　　)
(3)復數z＝－1－2i在復平面內對應的點位于第四象限． (　　)
2．已知復數z＝1＋2i(i是虛數單位)，則|z|＝________．
3．復數z＝－3－2i的共軛復數＝________．
類型1　復數與復平面內的點的關系
【例1】　求實數a分別取何值時，復數z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件：
(1)在復平面的第二象限內；
(2)在復平面內的x軸上方．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]
1．本例中題設條件不變，求復數z表示的點在x軸上時，實數a的值．
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_____________________________________________________________________2．本例中條件不變，如果點Z在直線x＋y＋7＝0上，求實數a的值．
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　利用復數與點的對應解題的步驟
(1)首先確定復數的實部與虛部，從而確定復數對應點的橫、縱坐標．
(2)根據已知條件，確定實部與虛部滿足的關系．
[跟進訓練]
1．(1)已知a∈R，則復數(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i對應的點在復平面內的第________象限．
(2)已知復數x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內對應的點在第三象限，則實數x的取值范圍為________．
類型2　復數與復平面內向量的對應
【例2】　在復平面內，點A，B，C對應的復數分別為1＋4i，－3i，2，O為復平面的坐標原點．
(1)求向量和對應的復數；
(2)求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　解決復數與平面向量一一對應的問題時，一般以復數與復平面內的點一一對應為工具，實現復數、復平面內的點、向量之間的轉化．
[跟進訓練]
2．在復平面內，分別用點和向量表示下列復數：
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
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_____________________________________________________________________類型3　復數的模及其應用
【例3】　已知復數z1＝－i，z2＝－＋i．
(1)求||，||的模并比較大小；
(2)設z∈C，且z在復平面內對應的點為Z，則滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　1．復數的模的計算
計算復數的模時，應先確定復數的實部和虛部，再利用模長公式計算．雖然兩個虛數不能比較大小，但它們的模可以比較大小．
2．復數模的幾何意義
(1)|z|表示點Z到原點的距離，可依據|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；
(2)利用復數模的定義，把模的問題轉化為幾何問題解決．
[跟進訓練]
3．(1)(2022·廣西桂林期末)滿足1≤≤3的復數z在復平面上對應的點構成的圖形的面積為(　　)
A．π　　　 B．2π　　　
C．8π　　　 D．9π
(2)若復數z滿足z＋|z|＝2＋8i，則z的共軛復數＝________．
1．復數z＝3－5i在復平面內對應的點的坐標是(　　)
A．(3，－5) B．(3，5)
C．(3，－5i) D．(3，5i)
2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－1，2) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
3．在復平面內，O為原點，向量對應的復數為－1－2i，若點A關于虛軸的對稱點為B，則向量對應的復數為(　　)
A．－2－i B．2＋i
C．1－2i D．－1＋2i
4．向量a＝(3，4)，設向量a對應的復數為z，則z的共軛復數＝________，||＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．復數與復平面內的點、復平面內的向量有什么關系？
2．設復數z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|等于多少？其幾何意義是什么？
3．復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數如何表示？
7.1.2　復數的幾何意義
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1．(1)復數　(2)實軸　實數　(3)虛軸　純虛數
思考1　提示：不正確．實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
2．(1)Z(a，b)　(2)
知識點2　2．|z|或|a＋bi|　3．
知識點3　1．相等　互為相反數　共軛虛數
思考2　提示：它們所對應的點關于實軸對稱．
課前自主體驗
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．[∵z＝1＋2i，
∴|z|＝＝．]
3．－3＋2i
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)點Z在復平面的第二象限內，
則
解得a＜－3．
(2)點Z在x軸上方，
則
解得a＞5或a＜－3．
即當a＞5或a＜－3時，點Z在復平面內的x軸上方．
母題探究
1．解：點Z在x軸上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．
故a＝5時，點Z在x軸上．
2．解：因為點Z在直線x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±．
所以a＝－2或a＝±時，點Z在直線x＋y＋7＝0上．
跟進訓練
1．(1)四　(2)(1，2)　[(1)因為a2＋a＋1＝＋>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0，
故復數對應的點在第四象限．
(2)因為復數x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內對應的點在第三象限，
所以所以所以1所以所求實數x的取值范圍是(1，2)．]
例2　解：(1)由已知得所對應的復數分別為1＋4i，－3i，2，則＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
因此＝(1，1)，＝＝(1，－4)，
故對應的復數為1＋i，
對應的復數為1－4i．
(2)法一：由已知得點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，－3)，(2，0)，則AC的中點為，由平行四邊形的性質知BD的中點也是，
若設D(x0，y0)，
則有解得
故D(3，7)．
即頂點D對應的復數為3＋7i．
法二：由已知得＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
所以＝(1，7)，＝(2，3)，
由平行四邊形的性質得＝＝(3，10)，
所以＝＝(3，7)，于是D(3，7)．
即頂點D對應的復數為3＋7i．
跟進訓練
2．解：如圖(1)，點A，B，C，D，E分別表示復數4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
如圖(2)，向量分別表示復數4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
例3　解：(1)||＝|＋i|＝＝2，
||＝＝＝1．
所以||＞||．
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．
不等式1≤|z|≤2等價于不等式組
因為滿足|z|≤2的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為2的圓及其內部(包括邊界)，
而滿足|z|≥1的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為1的圓的外部(包括邊界)，
所以滿足條件的點Z組成的集合是一個圓環(包括邊界)，如圖中陰影部分所示．
跟進訓練
3．(1)C　(2)－15－8i　[(1)滿足1≤≤3的復數z在復平面上對應的點構成的圖形為以原點為圓心，半徑分別為1和3構成的圓環，所以面積為π×32－π×12＝8π．
故選C．
(2)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i, z的共軛復數＝－15－8i．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．A　[復數z＝3－5i在復平面內對應的點的坐標是(3，－5)．]
2．B　[∵z＝m－1＋(m＋2)i在復平面內對應的點在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2則實數m的取值范圍是(－2，1)．]
3．C　[由題意可知，點A的坐標為(－1，－2)，則點B的坐標為(1，－2)，故向量對應的復數為1－2i．]
4．3－4i　5
課堂小結
1．提示：復數與復平面上點、與復平面上以原點為始點的向量是一一對應關系．
即：
2．提示：|z|＝，其表示復平面內的點(x，y)到原點(0，0)的距離．
3．提示：＝a－bi(a，b∈R)．7.2　復數的四則運算
7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
學習任務 1．掌握復數代數形式的加、減運算法則．(數學抽象、數學運算) 2．了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．(直觀想象)
我們知道，任意兩個實數都可以相加，而且實數中的加法運算還滿足交換律與結合律，即a，b，c∈R時，必定有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
那么，復數中的加法應該如何規定，才能使得類似的交換律與結合律都成立呢？
知識點1　復數的加、減運算
1．復數加法、減法的運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則有：
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________________；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________________．
2．復數加法的運算律
設z1，z2，z3∈C，則有：
交換律：z1＋z2＝______________；
結合律：(z1＋z2)＋z3＝______________．
1．兩個實數之和仍是一個實數，兩個復數之和仍是一個復數，那么兩個虛數之和仍是一個虛數嗎？
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_____________________________________________________________________ 2．若復數z1，z2滿足z1－z2>0，能否認為z1>z2
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_____________________________________________________________________知識點2　復數加減法的幾何意義
如圖所示，設復數z1，z2對應向量分別為，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量與復數_________對應，向量與復數________對應．
3．類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？
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已知向量對應的復數為2－3i，向量對應的復數為3－4i，則向量對應的復數為________．
類型1　復數代數形式的加、減運算
【例1】　(1)計算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y為實數，若z1－z2＝5－3i，則|z1＋z2|＝________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　復數加減運算的方法技巧
(1)可把復數運算類比實數運算，若有括號，先計算括號里面的；若沒有括號，可以從左到右依次進行．
(2)當利用交換律、結合律抵消掉某些項的實部或虛部時，可以利用運算律簡化運算，注意正負號法則與實數相同，不能弄錯．
[跟進訓練]
1．復數(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應的點在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
類型2　復數代數形式加、減運算的幾何意義
【例2】　(1)復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝．則|z1－z2|＝________．
(2)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應復數分別為0，3＋2i，－2＋4i，試求：
①所表示的復數，所表示的復數；
②對角線所表示的復數；
③對角線所表示的復數及的長度．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　利用復數加、減運算的幾何意義解題的技巧
(1)形轉化為數：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數運算去處理．
(2)數轉化為形：對于一些復數運算也可以給予幾何解釋，使復數作為工具運用于幾何之中．
[跟進訓練]
2．復數z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的復數．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________類型3　復數模的最值問題
【例3】　(1)如果復數z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B．　　　
C．2 D．
(2)若復數z滿足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　|z1－z2|表示復平面內z1，z2對應的兩點間的距離．利用此性質，可把復數模的問題轉化為復平面內兩點間的距離問題，從而進行數形結合，把復數問題轉化為幾何圖形問題求解．
[跟進訓練]
3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數單位)的最小值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．已知復數z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝(　　)
A．8i　　　 B．6
C．6＋8i D．6－8i
2．設z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在復平面內，復數1＋i和1＋3i分別對應向量和，其中O為坐標原點，則||＝(　　)
A．　　 B．2
C．　　 D．4
4．若|z－2|＝|z＋2|，則|z－1|的最小值是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何理解復數的加減法？
2．|z－z0|的幾何意義是什么？|z－z1|＝3表示的軌跡是什么？
7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1．(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　2．z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
思考1　提示：不一定，如i＋(－i)＝0．
思考2　提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比較大小．
知識點2　z1＋z2　z1－z2
思考3　提示：|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離．
課前自主體驗
1－i　[＝＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)－2－i　(2)　[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，則z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝．]
跟進訓練
1．A　[復數(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對應的點為(9，1)，在第一象限．]
例2　(1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2對應的點是一個邊長為1的正方形的三個頂點，所求|z1－z2|是這個正方形的一條對角線長，所以|z1－z2|＝．]
(2)[解]　①＝－，∴所表示的復數為－3－2i．
∵＝，∴所表示的復數為－3－2i．
②∵＝，
∴所表示的復數為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
③對角線＝，它所對應的復數z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝．
跟進訓練
2．解：設復數z1，z2，z3在復平面內所對應的點分別為A，B，C，正方形的第四個頂點D對應的復數為x＋yi(x，y∈R)，如圖．
則＝＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)．
＝＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－3)．
∵＝，∴
解得故點D對應的復數為2－i．
例3　(1)A　[設復數－i，i，－1－i在復平面內對應的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2．
問題轉化為動點Z在線段Z1Z2上移動，則求|ZZ3|的最小值，因為|Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．]
(2)解：如圖所示，設＝－－i，
則||＝＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
跟進訓練
3．解：因為|z|＝1且z∈C，作圖如圖，
所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復平面上的點P(2，2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝2－1．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2．D　[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在復平面內對應的點位于第四象限．]
3．B　[由復數減法運算的幾何意義知，對應的復數為(1＋3i)－(1＋i)＝2i，所以||＝2．]
4．1　[由|z－2|＝|z＋2|，知z對應點的軌跡是到(2，0)與到(－2，0)距離相等的點，即虛軸．|z－1|表示z對應的點與(1，0)的距離．
∴|z－1|min＝1．]
課堂小結
1．提示：由于復數具有數與形的多重性，因此復數加減法也應從數與形等方面領會，即從代數形式上領會，復數加減法類似于多項式合并同類項；從幾何形式上，復數加減法等同于向量加減法運算．
2．提示：|z－z0|表示z和z0所對應的點的距離．當|z－z1|＝3時，表示復數z對應的點的軌跡是以z1對應的點為圓心，半徑為3的圓．7.2.2　復數的乘、除運算
學習任務 1．掌握復數的乘法和除法運算．(數學運算) 2．理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律．(邏輯推理) 3．掌握在復數范圍內解方程的方法．(數學運算)
怎樣規定兩個復數的乘除運算，才能使在復數集中的乘法、除法與原實數集中的有關規定內容？復數的加減運算把i看作一個字母，相當于多項式的合并同類項，那么復數乘法是否可以像多項式乘法那樣進行呢？
知識點1　復數的乘法
1．復數代數形式的乘法法則
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________________．
2．復數乘法的運算律
對于任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1z2＝z2z1
結合律 (z1z2)z3＝_____________
乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_____________
知識點2　復數的除法法則
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
(1)復數的乘法與多項式的乘法有何不同？
(2)|z|2＝z2，正確嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
(1)＝________；
(2)＝________；
(3)＝________．
類型1　復數代數形式的乘法運算
【例1】　(源自湘教版教材)計算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；
(2)(1＋i)2；
(3)(1－i)2；
(4)(1＋i)1 000．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　1．兩個復數代數形式乘法的一般方法
復數的乘法可以按多項式的乘法法則進行，注意選用恰當的乘法公式進行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟進訓練]
1．(1)若復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)計算：①(2＋3i)(2－3i)＝________；
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
類型2　復數代數形式的除法運算
【例2】　(源自北師大版教材)計算：
(1)；(2)；(3)．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　1．根據復數的除法法則，通過分子、分母都乘分母的共軛復數，使“分母實數化”，這個過程與“分母有理化”類似．
2．設z1，z2都是復數，則|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(z2≠0)．
[跟進訓練]
2．(1)(2022·全國甲卷)若z＝－1＋i，則＝(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
(2)(多選)若復數z＝，其中i為虛數單位，則下列結論正確的是(　　)
A．z的虛部為－1
B．|z|＝
C．z2為純虛數
D．z的共軛復數為－1－i
類型3　在復數范圍內解方程
【例3】　在復數范圍內解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　在復數范圍內解方程的方法
(1)當a，b，c都是實數且a≠0時，關于x的方程ax2＋bx＋c＝0在復數范圍內總是有解的，而且
①當Δ＝b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；
②當Δ＝b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；
③當Δ＝b2－4ac＜0時，方程有兩個互為共軛的虛數根．
(2)利用復數相等的定義求解
設方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復數相等的定義求解．
[跟進訓練]
3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實數)的一個根．
(1)求b，c的值；
(2)試判斷1－i是不是方程的根．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．已知復數z＝2－i，則z·的值為(　　)
A．5　　　 B．
C．3　　　 D．
2．已知i為虛數單位，則的實部與虛部之積是(　　)
A．　　　 B．－　　　
C．i　　　 D．－i
3．在復平面內，復數＋(1＋i)2對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，則該方程在復數范圍內解為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．三個實數|z|，||，z·具有怎樣的關系？
2．復數除法的實質是怎樣的？
3．實系數一元二次方程的虛根有何特點？
利用復數產生分形圖
以前我們學過的函數，定義域都是實數集的子集．但函數概念還可以推廣：定義域是復數集的子集的函數稱為復變函數．類似地，我們還可以得到多項式復變函數的概念．例如，f(z)＝z2就是一個多項式復變函數，此時
f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．
給定多項式復變函數f(z)之后，對任意一個復數z0，通過計算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，…．
如果存在一個正數M，使得|zn|＜M對任意n∈N都成立，則稱z0為f(z)的收斂點；否則，稱z0為f(z)的發散點．f(z)的所有收斂點組成的集合稱為f(z)的充滿茹利亞集．
例如，當f(z)＝z2時，如果z0＝i，則得到的一列值是
i，－1，1，1，…，1，…；
如果z0＝1＋i，則算出的一列值是
1＋i，2i，－4，…，，…．
顯然，對于f(z)＝z2來說，i為收斂點，1＋i為發散點．事實上，利用|z2|＝|z|2可以證明，f(z)＝z2的充滿茹利亞集是一個單位圓盤(即由滿足|z|≤1的所有z組成的集合)．
讓人驚訝的是，當f(z)＝z2＋c時，對于某些復數c來說，f(z)的充滿茹利亞集是非常復雜的．如果利用計算機對不同形態的收斂點和發散點進行不同的著色．而且，如果按照一定的規則對c進行分類，并進行著色，可以得到如圖所示的芒德布羅分形圖．
7.2.2　復數的乘、除運算
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i　2．z1(z2z3)　z1z2＋z1z3
知識點2　思考　提示：(1)復數的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結果中把i2換成－1，再把實部、虛部分別合并．
(2)不正確．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
課前自主體驗
(1)－i　(2)i　(3)－i
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)(1＋2i)(4－3i)
＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)
＝4－3i＋8i－6i2
＝4－3i＋8i－6×(－1)
＝10＋5i．
(2)(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
(3)(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．
(4)由(2)得，(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500
＝(2i)500
＝2500·i500
＝2500·1
＝2500．
跟進訓練
1．(1)B　(2)①13　②5－25i　[(1)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因為對應的點在第二象限，
所以解得a<－1，故選B．
(2)①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．
②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)
＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．]
例2　解：(1)＝＝；
(2)＝＝＝－＋i；
(3)＝＝＝i6＝－1．
跟進訓練
2．(1)C　(2)ABC　[(1)∵z＝－1＋i，
∴z·＝|z|2＝()2＝4，
則＝＝－＋i．故選C．
(2)z＝＝＝＝1－i，
對于A，z的虛部為－1，正確；
對于B，模長|z|＝，正確；
對于C，因為z2＝(1－i)2＝－2i，故z2為純虛數，正確；
對于D，z的共軛復數為1＋i，錯誤．]
例3　解：(1)因為x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因為(i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根為±i．
(2)法一：因為x2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2，
因為(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0無實數根．
在復數范圍內，設方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
則(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因為b≠0，所以
解得a＝－2，b＝±．
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±i．
跟進訓練
3．解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c為實數，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，
即方程成立．∴1－i是方程的根．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5．]
2．A　[因為＝＝＋i，
所以的實部與虛部之積是．]
3．B　[＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，故復數對應的點在第二象限．]
4．1±2i　[Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，
所以方程的根為x＝＝1±2i．
即方程的兩根分別為1＋2i和1－2i．]
課堂小結
1．提示：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，
所以|z|＝，||＝＝，
z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，
所以|z|2＝||2＝z·．
2．提示：復數除法的實質是分母實數化的過程，兩個復數相除，就是先把它們的商寫成分數的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數，再把結果化簡即可．
3．提示：實系數一元二次方程的虛根是成對出現的，即若復數a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實系數一元二次方程的根，則其共軛復數a－bi是該方程的另一根．7.3*　復數的三角表示
學習任務 1．了解復數的三角形式，了解復數的代數表示與三角表示之間的關系．(數學抽象、邏輯推理) 2．了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義．(數學抽象、直觀想象)
設復數z＝1＋i在復平面內對應的點為Z，記r為向量的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個角，求r的值，并寫出θ的任意一個值，探討r，θ與z＝1＋i的實部、虛部之間的關系．
知識點1　復數的三角表示式
1．定義：任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成______________________________的形式．其中，r是復數z的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數z＝a＋bi的____．_________________________叫做復數z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．
1．任何一個不為零的復數的輻角有多少個值？輻角的主值有多少個值？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________2．輻角的主值：規定在0≤θ＜2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值．通常記作arg z，即0≤arg z＜2π．
知識點2　復數三角形式乘法法則與幾何意義
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，則z1z2＝______________．
這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的______，積的輻角等于各復數的________．
2．復數乘法的幾何意義是什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________知識點3　復數三角形式除法法則與幾何意義
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，則＝＝．
這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于____________減去__________所得的差．
3．復數除法的幾何意義是什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
將下列復數表示為三角形式：
(1)－5i＝________；
(2) 2－2i＝________．
類型1　復數的代數形式化為三角形式
【例1】　把下列復數表示成三角形式：
(1)1；(2)－i；(3)－2．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　將復數代數形式化為三角形式的步驟
(1)先求復數的__．
(2)決定____所在的象限．
(3)根據象限求出____．
(4)求出復數的三角形式．
提醒：復數三角形式的四個要求：模非負，角相同，余弦前，加號連，缺一不可．任何一個不滿足，就不是三角形式．
[跟進訓練]
1．下列復數是復數三角形式表示的是(　　)
A．
B．－
C．
D．cosπ＋isinπ
類型2　復數三角形式的乘、除運算
【例2】　(源自蘇教版教材)計算下列各式，并把結果化成代數形式：
(1)2×3；
(2)÷
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　1．乘法法則：模相乘，輻角相加．
2．除法法則：模相除，輻角相減．
3．復數的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．
[跟進訓練]
2．計算下列各式，并把結果化成代數形式：
(1)；
(2)(cos 75°＋isin 75°)×；
(3)÷．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型3　復數三角形式乘、除運算的幾何意義
【例3】　在復平面內，把復數3－i對應的向量分別按逆時針和順時針方向旋轉，求所得向量對應的復數．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________　利用復數乘除法的幾何意義求解復平面內的點所對應的復數時，要注意點Z所對應的復數就是向量對應的復數，常常轉化為＝．而求解向量所對應的復數時，要注意它與已知(或可求)向量對應的復數之間的關系，即要明確模與輻角的變化，從而準確利用復數乘除法的幾何意義求解．
[跟進訓練]
3．(1)設A，B，C是△ABC的內角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一個實數，則△ABC是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．形狀不能確定
(2)(多選)在復平面內，已知正三角形ABC的頂點A，B對應的復數為2＋i，3＋2i，則頂點C對應的復數可能是(　　)
A．＋i B．＋i
C．＋i D．＋i
1．復數－3i的輻角主值為(　　)
A．－　　　 B．
C．－＋2kπ(k∈Z) D．＋2kπ(k∈Z)
2．復數z＝1＋i(i為虛數單位)的三角形式為(　　)
A．z＝(sin 45°＋icos 45°)
B．z＝(cos 45°＋isin 45°)
C．z＝[cos (－45°)－isin(－45°)]
D．z＝[cos (－45°)＋isin(－45°)]
3．在復平面中，把復數z＝＋2i對應的向量按逆時針方向旋轉45°，所得向量對應的復數為(　　)
A．＋i B．＋i
C．1＋＋(1＋)i D．1－＋(1＋)i
4．計算÷2＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．復數三角形式中的輻角和輻角主值有什么區別與聯系？
2．將復數z＝a＋bi(a，b∈R)化為三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)時，要注意什么？
3．用復數的三角形式乘除法的幾何意義解題時關鍵把握哪些量的變化？
7.3*　復數的三角表示
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1．r(cos θ＋isin θ)　輻角　r(cos θ＋isin θ)
思考1　提示：輻角有無限多個值，這些值相差2π的整數倍．輻角的主值只有一個值，在0≤θ＜2π范圍內．
知識點2　r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]　模的積　輻角的和
思考2　提示：兩個復數z1，z2相乘時，先分別畫出與z1，z2對應的向量，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角θ2(如果θ2＜0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的r2倍，得到向量表示的復數就是積z1z2．
知識點3　[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]　被除數的輻角　除數的輻角
思考3　提示：兩個復數z1，z2相除時，先分別畫出與z1，z2對應的向量，然后把向量繞點O按順時針方向旋轉角θ2(如果θ2＜0，就要把繞點O按逆時針方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的倍，得到向量表示的復數就是商．
課前自主體驗
(1)5
(2)2
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)r＝1，對應的點在x軸的正半軸上，
所以arg 1＝0，所以1＝cos 0＋isin 0．
(2)r＝2，對應的點在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－，
所以－i＝2．
(3)－2＝－i，r＝2，
對應的點在第二象限，且cos θ＝－，
所以取θ＝．
所以－2＝2．
發現規律
(1)模　(2)輻角　(3)輻角
跟進訓練
1．D　[選項A，cos與isin之間用“－”連接，不是用“＋”連接；選項B，－<0不符合r≥0要求；選項C，是cosπ與isinπ用“＋”連接，而不是sin＋icosπ的形式．故A、B、C均不是復數的三角形式．故選D．]
例2　解：(1)原式＝6
＝6＝6＝3＋3i．
(2)原式＝
＝＝＝＋i．
跟進訓練
2．解：(1)
＝()2＝2
＝－1＋i．
(2)因為－i＝
＝，
所以(cos 75°＋isin 75°)×
＝×
＝×
＝cos π＋isin π＝cos ＋isin ＝＋i．
(3)因為－＋i＝cos π＋isin π，
所以÷
＝÷
＝
＝＝＋i．
例3　解：因為3－i＝2
＝2，
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i．
故把復數3－i對應的向量按逆時針旋轉得到的復數為3＋i，按順時針旋轉得到的復數為－2i．
跟進訓練
3．(1)C　(2)CD　[(1)由題意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，則B＝．故選C．
(2)因為對應的復數為(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，則對應的復數為(1＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝＋i或(1＋i)[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝＋i，所以＝對應的復數為2＋i＋＋i或者2＋i＋＋i，
即＋i或＋i．故選CD．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[與－3i對應的點在負虛軸上，所以arg(－3i)＝π．故選B．]
2．B　[依題意得r＝＝，復數z＝1＋i對應的點在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，結合選項知B正確．故選B．]
3．D　[依題意，旋轉后的向量對應的復數為(＋2i)(cos 45°＋isin 45°)＝1－＋(1＋)i．故選D．]
4．i　[原式＝＝＝i．]
課堂小結
1．提示：
區別 輻角有無數個，而輻角主值是指在0≤θ＜2π范圍內的輻角，因而一個復數的輻角主值只有一個
聯系 θ＝2kπ＋arg z，k∈Z
2．提示：將復數z＝a＋bi(a，b∈R)化為三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)時，要注意：
(1)r＝．
(2)cos θ＝，sin θ＝，其中θ終邊所在象限與點(a，b)所在象限相同．若tan θ＝(a≠0)，θ終邊所在象限與點(a，b)所在象限一致．當a＝0，b>0時，arg z＝．
3．提示：運用復數乘除法的幾何意義解題，關鍵要明確模與輻角的變化，抓住向量與復數間的對應關系．　代數基本定理
1．代數基本定理
任何一元n(n∈N*)次復系數多項式方程f(x)＝0至少有一個復數根．
它說的是：任何一元n次復系數多項式f(x)在復數集中有n個復數根(重根按重數計)．
2．一元多項式方程的根與系數之間的關系
(1)設實系數一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在復數集C內的根為x1，x2，則
3．設實數系一元三次方程
a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0)　①
在復數集C內的根為x1，x2，x3，可以得到，方程①可變形為
a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，
展開得
a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0．　②
比較①②可以得到
【典例】　(1)(多選)(2022·浙江金華一中期中)在代數史上，代數基本定理是數學中最重要的定理之一，在復數集范圍內，若ω是x3＝1的一個根，則ω2＋ω＋1＝(　　)
A．0 B．1　　　
C．2 D．3
(2)(2022·江蘇鹽城期末)設多項式函數f(x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根據代數基本定理可知方程f(x)＝0有n個根x1，x2，…，xn．則x1＋x2＋…＋xn＝________；x1x2…xn＝________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．設實系數一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在復數集C內的根為x1，x2，x3，則的值為(　　)
A．－2　　　 B．0
C．2　　　 D．4
2．(多選)設實系數一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在復數集C內的根為x1，x2，x3，x4，則下列結論正確的是(　　)
A．x1＋x2＋x3＋x4＝－
B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－
C．x1x2x3x4＝
D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝
探究課2　代數基本定理
典例　(1)AD　(2)－　(－1)n　[(1)因為x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．即ω＝1或ω＝．
當ω＝1時，ω2＋ω＋1＝3；
當ω＝時，ω2＋ω＋1＝0．
故選AD．
(2)由題意知：
f(x)＝an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)，
∴an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0，
∴，
∴]
對點訓練
1．A　[∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3，
由對應系數相等得：
x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3，
＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2．故選A．]
2．AC　[由題設知：
ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－，
x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4＝，
x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－，x1x2x3x4＝．
故選AC．]第7章 復數 章末綜合提升
類型1　復數的概念
1．復數的概念包括虛數、純虛數、復數相等、復數的模等．理解復數的相關概念是解答相應問題的關鍵．
2．掌握復數的相關概念，培養數學抽象素養．
【例1】　(1)設i是虛數單位，若復數a＋(a∈R)是純虛數，則a＝(　　)
A．4　　　 B．3
C．2　　　 D．1
(2)(2022·北京高考)若復數z滿足i·z＝3－4i，則＝(　　)
A．1 B．5
C．7 D．25
(3)若復數z＝1＋i(i為虛數單位)，是z的共軛復數，則z2＋的虛部為(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________ 類型2　復數的四則運算
1．復數運算包括復數的加法、減法、乘法和除法，它是本章的重要內容，是高考考查的重點和熱點．
2．借助復數運算的學習，提升數學運算素養．
【例2】　已知復數z＝(1＋2i)(－2＋i)－．
(1)化簡復數z；
(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求實數a，b的值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________ 類型3　復數的幾何意義
1．復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)及向量之間是一一對應關系，另外復數加減法的幾何意義與向量加減法的幾何意義一致．
2．通過復數幾何意義的學習，培養直觀想象素養．
【例3】　(1)設z＝－3＋2i，則在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多選)已知復數z對應的向量為(O為坐標原點)，與實軸正方向的夾角為120°，且復數z的模為2，則復數z為(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．－1－i D．1－i
(3)復數z滿足|z＋3－i|＝，則|z|的最大值是________，|z|的最小值是________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
章末綜合提升
例1　(1)C　(2)B　(3)A　[(1)∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是純虛數，
∴a－2＝0，即a＝2．故選C．
(2)由條件可知z＝＝－4－3i，∴|z|＝5．
(3)∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故選A．]
例2　解：(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－
＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i．
(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，
∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，
∴解得
例3　(1)C　(2)BC　(3)3　[(1)由題意，得＝－3－2i，其在復平面內對應的點為(－3，－2)，位于第三象限，故選C．
(2)設復數z在復平面內對應的點的坐標為Z(a，b)．根據題意可畫圖形如圖所示．
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∵|z|＝2，且與x軸正方向的夾角為120°，
∴a＝－1，b＝±，
即點Z的坐標為(－1，)或(－1，－)．
∴z＝－1＋i或－1－i．
(3)|z＋3－i|＝表示以－3＋i對應的點P(－3，)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，
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則|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
顯然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝．]

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