資源簡介

8.1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
學習任務 1．通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征．(直觀想象、數學抽象) 2．理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系．(數學抽象) 3．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現實生活中簡單物體的結構和有關計算．(邏輯推理)
觀察下列幾何體，它們有什么特點？
知識點1　空間幾何體的定義及分類
1．空間幾何體：如果只考慮物體的____和____，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的________就叫做空間幾何體．
2．空間幾何體的分類
類別 定義 圖示
多面體 一般地，由若干個__________圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個______叫做多面體的面；兩個面的______叫做多面體的棱；______的公共點叫做多面體的頂點
旋轉體 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的__________旋轉所形成的____叫做旋轉面，____的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體．__________叫做旋轉體的軸
1．觀察下列圖片，這些都是我們日常熟知的一些物體：
(1)哪些物體圍成它們的每個面都是平面圖形，并且都是平面多邊形？
(2)哪些物體圍成它們的面中既有平面圖形，又有曲面圖形？
(3)哪些物體圍成它們的面都是曲面圖形？
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_____________________________________________________________________ 2．多面體與旋轉體的主要區別是什么？
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_____________________________________________________________________知識點2　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
圖形 定義 相關概念
棱柱 一般地，有兩個面互相____，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都________，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 四棱柱 ABCD-A′B′C′D′
棱錐 一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個________的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 四棱錐S-ABCD
棱臺 用一個______棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺 四棱臺 ABCD-A′B′C′D′
3．棱柱是如何分類的？
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_____________________________________________________________________ 4．棱錐是如何分類的？
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_____________________________________________________________________ 5．棱臺是如何分類的？
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1．下列實物不能近似看成多面體的是(　　)
A．鉆石　　 B．骰子　
C．足球 D．金字塔
2．四棱柱有幾條側棱，幾個頂點(　　)
A．四條側棱、四個頂點　
B．八條側棱、四個頂點
C．四條側棱、八個頂點　
D．六條側棱、八個頂點
3．在三棱錐A-BCD中，可以當作棱錐底面的三角形的個數為(　　)
A．1　　　 B．2
C．3　　　 D．4
4．棱臺不具備的特點是(　　)
A．兩底面相似
B．側面都是梯形
C．側棱都相等
D．側棱延長后都交于一點
類型1　棱柱的結構特征
【例1】　(1)下列命題中，正確的是(　　)
A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面
C．棱柱的側面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形
D．棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形
(2)如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1．
①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？若是，請指出它們的底面．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　棱柱結構的辨析方法
(1)扣定義：判定一個幾何體是不是棱柱的關鍵是是否符合棱柱的定義．
①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是平行四邊形．
②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．
(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除．
[跟進訓練]
1．(多選)下列關于棱柱的說法正確的是(　　)
A．所有棱柱的兩個底面都平行
B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余每相鄰面的公共邊互相平行
C．棱柱的側面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形
D．棱柱至少有五個面
類型2　棱錐、棱臺的結構特征
【例2】　(1)(多選)下列關于棱錐、棱臺的說法，正確的是(　　)
A．棱臺的側面一定不會是平行四邊形
B．棱錐的側面只能是三角形
C．由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐
D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐
(2)判斷如圖所示的幾何體是不是棱臺，為什么？
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　判斷棱錐、棱臺形狀的2個方法
(1)舉反例法
結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．
(2)直接法
圖形 棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是______，此面即為底面 兩個互相____的面，即為底面
看側棱 相交于一點 ______相交于一點
[跟進訓練]
2．下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺．(僅填相應序號)
類型3　多面體的平面展開圖
　多面體的展開與折疊
【例3】　(1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應該為(對面是相同的圖案)(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　多面體平面展開圖的應用
【例4】　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線長．
[思路導引]　將長方體的側面展開求AC1的最短長度即可．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　多面體的展開與折疊
(1)由多面體畫平面展開圖，一般要結合多面體的幾何特征，發揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其平面展開圖．
(2)由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．
[跟進訓練]
3．畫出如圖所示的幾何體的平面展開圖．
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1．下列命題正確的是(　　)
A．四棱柱是平行六面體
B．直平行六面體是長方體
C．長方體的六個面都是矩形
D．底面是矩形的四棱柱是長方體
2．有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體為(　　)
A．四棱柱　　 B．四棱錐
C．三棱柱 D．三棱錐
3．(多選)下列說法錯誤的是(　　)
A．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
B．多面體至少有3個面
C．各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D．九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形
4．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則在正方體表面上，從頂點A到頂點C1的最短距離為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．棱柱、棱錐、棱臺各有什么結構特征？
2．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？
3．結合本節所學的棱柱分類，你能分析一下常見的幾種四棱柱之間的轉化關系嗎？
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1．形狀　大小　空間圖形　2．平面多邊形　多邊形　公共邊　棱與棱　一條定直線　曲面　封閉　這條定直線
思考1　提示：(1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥．
思考2　提示：多面體是由多個多邊形圍成的幾何體，旋轉體是由平面圖形繞軸旋轉而形成的幾何體．
知識點2　平行　互相平行　公共頂點　平行于
思考3　提示：①按底面多邊形邊數分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……．
②按側棱與底面的關系分：
直棱柱：側棱垂直于底面；
斜棱柱：側棱不垂直于底面．
③特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱．
④底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體．
思考4　提示：①按底面多邊形邊數分：三棱錐、四棱錐、五棱錐……．
②三棱錐又叫四面體．
③底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐．
思考5　提示：①由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫三棱臺、四棱臺、五棱臺……．
②由正棱錐截得的棱臺叫正棱臺．
課前自主體驗
1．C　[鉆石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多邊形，所以它們都能近似看成多面體．足球的表面不是平面多邊形，故不能近似看成多面體．]
2．C　[四棱柱有四條側棱、八個頂點(可以結合正方體觀察求得)．]
3．D　[每個三角形都可以作為底面．]
4．C　[由于棱錐的側棱不一定相等，所以棱臺的側棱都相等的說法是錯誤的．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)D　[由棱柱的定義可知，只有D正確，分別構造圖形如下：
圖①中平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，但四邊形ABCD與A1B1C1D1不全等，故A錯；圖②中正六棱柱的相對側面ABB1A1與EDD1E1平行，但不是底面，B錯；圖③中直四棱柱底面ABCD是平行四邊形，C錯，故選D．]
(2)解：①長方體是四棱柱．因為它有兩個平行的平面ABCD與平面A1B1C1D1，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義．
②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分，有兩個平行的平面BB1M與平面CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1M CC1N．同理，另一部分也是棱柱，可以用符號表示為四棱柱ABMA1 DCND1．
跟進訓練
1．ABD　[對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，顯然不正確，例如長方體．]
例2　(1)ABC　[A正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；
B正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；
C正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
D錯誤，如圖所示，
四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．]
(2)解：①②③都不是棱臺．因為①和③都不是由棱錐所截得的，故①③都不是棱臺，雖然②是由棱錐所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱臺，只有用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分才是棱臺．
發現規律
(2)多邊形　平行　延長后
跟進訓練
2．①③④　⑥　⑤　[結合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺．]
例3　(1)A　[由選項驗證可知選A．]
(2)解：圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點．把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示．所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．
例4　解：沿長方體的一條棱剪開，有三種剪法：
(1)如圖①，以A1B1為軸展開，AC1＝＝＝4．(2)如圖②，以BC為軸展開，AC1＝＝＝3．
(3)如圖③，以BB1為軸展開，AC1＝＝．
相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為．
跟進訓練
3．解：平面展開圖如圖所示．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[底面是平行四邊形的四棱柱才是平行六面體，選項A錯誤；底面是矩形的直平行六面體才是長方體，選項B錯誤；底面是矩形的直四棱柱才是長方體，選項D錯誤；選項C顯然正確．]
2．D　[根據棱錐的定義可知該幾何體是三棱錐．]
3．ABC　[選項A錯誤，反例如圖①；一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，不存在有3個面的多面體，所以選項B錯誤；選項C錯誤，反例如圖②，上、下底面是全等的菱形，各側面是全等的正方形，它不是正方體；根據棱柱的定義，知選項D正確．
]
4．2　[將側面ABB1A1與上底面A1B1C1D1展開在同一平面上，連接AC1，則線段AC1的長即為所求．
如圖，AC1＝2．]
課堂小結
1．提示：(1)棱柱：①有兩個面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．
(2)棱錐：①有一個面是多邊形；②其余的各面是有一個公共頂點的三角形．
(3)棱臺：①所截幾何體為棱錐；②截面與底面平行．
2．提示：不一定．因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”．
3．提示：四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體．第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球與簡單組合體的結構特征
學習任務 1．了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義． 2．掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征．(數學抽象) 3．了解簡單組合體的概念及結構特征．(直觀想象)
如圖，觀察下列實物圖．
問題：(1)上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？
(2)上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉而成？
(3)如何形成上述幾何體的曲面？
知識點1　圓柱、圓錐、圓臺、球
圖形 結構特征 圖形 表示
圓柱 以__________________為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱 圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作__________
圓錐 以________________所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐 圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作________
圓臺 用平行于________的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺 圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作__________
球 半圓以它的____________為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球 球常用表示球心的字母來表示，如圖中的球可表示為____
1．如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB，CD，它們有何關系？過它們的截面是怎樣的圖形？AC是母線嗎？
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_____________________________________________________________________ 2．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐嗎？
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_____________________________________________________________________知識點2　簡單組合體的結構特征
(1)簡單組合體的定義：____________________________．
(2)簡單組合體的構成有兩種基本形式：
簡單組合體
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1) 球能由圓面旋轉而成． (　　)
(2)用一個平面截圓錐，截得的兩部分分別是圓錐和圓臺． (　　)
2．如圖，第一排中的圖形繞虛線旋轉一周，能形成第二排中的某個幾何體，請把第一、第二排中相應的圖形用線連起來．
A　　　　B　　　　C　　　D
類型1　旋轉體的結構特征
【例1】　(多選)下列說法正確的是(　　)
A．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓
B．圓柱的軸截面是過母線的截面中面積最大的一個
C．在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線
D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　判斷簡單旋轉體結構特征的方法
(1)明確由哪個平面圖形旋轉而成．
(2)明確旋轉軸是哪條直線．
[跟進訓練]
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．圓柱的側面展開圖是一個矩形
B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形
C．圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交
D．夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體
類型2　簡單組合體的結構特征
【例2】　(源自湘教版教材)如圖，將直角梯形ABCD繞邊AB所在直線旋轉一周，形成的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的？
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　判斷組合體構成的方法
(1)判定實物圖是由哪些簡單幾何體組成的問題時，首先要熟練掌握簡單幾何體的結構特征；其次要善于將復雜的組合體“分割”為幾個簡單的幾何體．
(2)組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構成的．要仔細觀察組合體的構成，結合柱、錐、臺、球的結構特征，先分割，后驗證．
[跟進訓練]
2．如圖，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是(　　)
A．一個棱柱中挖去一個棱柱
B．一個棱柱中挖去一個圓柱
C．一個圓柱中挖去一個棱錐
D．一個棱臺中挖去一個圓柱
類型3　旋轉體中的計算問題
【例3】　一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2，求：
(1)圓臺的高；
(2)將圓臺還原為圓錐后，圓錐的母線長．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　解決旋轉體中計算問題的方法策略
(1)巧用軸截面實現空間圖形平面化：旋轉體中有關底面半徑、母線、高以及有關球的問題的計算，可巧用軸截面求解，即將立體問題轉化為平面問題．
(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關系，求解即可．
[跟進訓練]
3．用一個平面截半徑為R的球，截面到球心的距離為，則截面圓面積為________．
1．下面幾何體的截面一定是圓面的是(　　)
A．圓臺　　B．球　　C．圓柱　　D．棱柱
2．如圖所示的組合體，其結構特征是(　　)
A．左邊是三棱臺，右邊是圓柱
B．左邊是三棱柱，右邊是圓柱
C．左邊是三棱臺，右邊是長方體
D．左邊是三棱柱，右邊是長方體
3．(多選)下列命題中正確的是(　　)
A．過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑
B．母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等
C．圓臺中所有平行于底面的截面都是圓面
D．圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形
4．一圓錐的母線長為6 cm，底面半徑為3 cm，把該圓錐截一圓臺，截得圓臺的母線長為4 cm，則圓臺的另一底面半徑為________ cm．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征各有哪些？
2．處理臺體問題常采用什么思想？處理組合體問題常采用什么思想？
3．簡單旋轉體的軸截面有什么作用？應用其解題體現了什么思想？
第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球與簡單組合體的結構特征
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　矩形的一邊所在直線　圓柱O′O　直角三角形的一條直角邊　圓錐SO　圓錐底面　圓臺O′O　直徑所在直線　球O
思考1　提示：AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母線．
思考2　提示：不一定．必須以直角邊所在直線為軸．若以斜邊所在直線為軸，形成的幾何體是同底面的兩個圓錐組成的．
知識點2　(1)由簡單幾何體組合而成的幾何體
課前自主體驗
1．(1)√　(2)×
2．①—C　②—B　③—D　④—A
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　BD　[A錯誤，它們的底面為圓面；C錯誤，如圖；BD正確．
]
跟進訓練
1．AB　[C錯誤，圓臺的母線延長相交于一點；
D錯誤，夾在圓柱兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉體．故選AB．]
例2　解：將直角梯形ABCD繞邊AB所在直線旋轉一周后，得到的幾何體如圖所示，這個幾何體是由圓柱和圓錐這兩個簡單幾何體組成的．
跟進訓練
2．B　[一個六棱柱挖去一個等高的圓柱，選B．]
例3　解：(1)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm．
又由題意知腰長為12 cm，
所以高AM＝＝3(cm)．
(2)如圖所示，延長BA，OO1，CD，交于點S，
設截得此圓臺的圓錐的母線長為l，
則由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20(cm)．
即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm．
跟進訓練
3．πR2　[如圖，O為球心，O1為截面圓的圓心，AB為截面圓的直徑，則OA＝R，
OO1＝，∴AO1＝＝R，
∴截面圓面積S＝π＝πR2．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．]
2．D　[根據三棱柱和長方體的結構特征，可知此組合體左邊是三棱柱，右邊是長方體．]
3．ACD
4．1　[作軸截面如圖，
則＝＝，所以r＝1．]
課堂小結
1．提示：(1)圓柱：①旋轉圖形為矩形；②旋轉軸為矩形的一邊；③由旋轉形成的曲面圍成的幾何體．
(2)圓錐：①旋轉圖形為直角三角形；②旋轉軸為一條直角邊；③由旋轉形成的曲面圍成的幾何體．
(3)圓臺：①所截幾何體為圓錐；②截面與底面平行．圓臺也可看作是由直角梯形繞其直角邊旋轉而成的．
(4)球：①旋轉圖形為半圓；②旋轉軸為直徑；③由半圓面旋轉一周圍成的幾何體．
2．提示：處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想，處理組合體問題常采用分割思想．
3．提示：(1)簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量．
(2)在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想．8.2　立體圖形的直觀圖
學習任務 1．了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟．(數學抽象) 2．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖．(直觀想象)
在美術畫圖中，空間圖形或實物在畫板上畫得既富有立體感，又能表達出各主要部分的位置關系和度量關系．
問題：在畫板上畫實物圖時，其中的直角在圖中一定畫成直角嗎？
知識點　直觀圖的畫法
1．斜二測畫法
我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的________畫法．
2．平面圖形直觀圖的畫法
1．斜二測畫法中“斜”和“二測”分別指什么？
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_____________________________________________________________________3．幾何體直觀圖的畫法
畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的______和____都不變．
2．空間幾何體的直觀圖唯一嗎？
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用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列說法正確的________．
①原來長度相等的線段在直觀圖中長度仍相等；
②原來垂直的直線在直觀圖中仍垂直；
③原來平行的直線在直觀圖中仍平行；
④相等的角在直觀圖中仍相等．
類型1　畫平面圖形的直觀圖
【例1】　(源自蘇教版教材)畫水平放置的正三角形的直觀圖．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　畫平面圖形的直觀圖的技巧
(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當的坐標系是關鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．
(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．
[跟進訓練]
1．畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．
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_____________________________________________________________________類型2　畫空間幾何體的直觀圖
【例2】　(源自北師大版教材)用斜二測畫法畫正五棱錐的直觀圖．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________　畫空間幾何體時，首先按照斜二測畫法規則畫出幾何體的底面直觀圖，然后根據平行于z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，畫出幾何體的各側面，所以畫空間多面體的步驟可簡單總結為：
―→―→―→
[跟進訓練]
2．畫正六棱柱(底面是正六邊形，側棱垂直于底面)的直觀圖．(底面邊長尺寸不作要求，側棱長為2 cm)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________類型3　直觀圖的還原與計算
【例3】　(1)如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的(　　)
A　　B　　　C　　D
(2)如圖，Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝，則這個平面圖形的面積是(　　)
A．1　　　 B．
C．2　　　 D．4
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母題探究]
本例(2)中直觀圖中△O′A′B′的面積與原圖形面積之比是多少？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度____，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的____，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．
2．直觀圖與原圖形面積之間的關系
若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝S或S＝____S′．
[跟進訓練]
3．已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么由斜二測畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′ 的面積為(　　)
A．a2　 B．a2　 C．a2　 D．a2
1．(多選)關于斜二測畫法所得到的水平放置的平面圖形的直觀圖，下列說法正確的是(　　)
A．三角形的直觀圖是三角形
B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是正方形
D．菱形的直觀圖是菱形
2．如圖，△A′B′C′是由斜二測畫法得到的水平放置的△ABC的直觀圖，其中A′B′，A′C′所在直線分別與x′軸、y′軸平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　)
A．等腰三角形　　　 B．鈍角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
3．已知一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，長方體的長、寬、高分別為20 m，5 m，10 m，四棱錐的高為8 m．如果按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長方體的長、寬、高和四棱錐的高應分別為(　　)
A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D．4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
4．在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在平面直角坐標系中原四邊形OABC為________(填具體形狀)，其面積為________cm2．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖？
2．直觀圖的面積與原圖形的面積之間有什么關系？
8.2　立體圖形的直觀圖
[必備知識·情境導學探新知]
知識點　1．平行投影　2．45°　135°　水平面　x′軸或y′軸　線段　保持原長度不變　一半
思考1　提示：“斜”是指在已知圖形的xOy平面內與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；“二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸的線段長度不變；平行于y′軸的線段長度變為原來的一半．
3．平行性　長度
思考2　提示：不唯一．作直觀圖時，由于選軸的不同，畫出的直觀圖也不同．
課前自主體驗
③
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：如圖，按如下步驟完成：
第一步　在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直線為x軸，取對稱軸CO為y軸．畫對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°．
第二步　在x′軸上取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y′軸上取O′C′＝OC．
第三步　連接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′就是水平放置的正三角形ABC的直觀圖．
跟進訓練
1．解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標系．畫相應的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖①②所示．
(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC．連接B′C′，如圖②．
(3)擦去輔助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③．
例2　解：(1)根據平面圖形的直觀圖畫法畫底面(如圖)；
(2)畫z′軸(z′軸與x′軸的交角為90°)，并畫高(與原長相等)(如圖(1))；
(3)連線成圖，擦去輔助線，且將被遮線畫成虛線(如圖(2))，就得到正五棱錐的直觀圖S′ A′B′C′D′E′(如圖(3))．
跟進訓練
2．解：畫法：(1)畫軸．畫x′軸、y′軸、z′軸，
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)畫底面．根據x′軸，y′軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF．
(3)畫側棱．過A，B，C，D，E，F各點分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于側棱長2 cm．
(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖．
例3　(1)A　(2)C　[(1)由直觀圖知，原四邊形一組對邊平行且不相等，為梯形，且梯形兩腰不能與底垂直．
故選A．
(2)由題圖知，平面圖形△OAB為直角三角形．
∵O′B′＝，∠A′O′B′＝45°，
∴A′B′＝，O′A′＝2．
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∠AOB＝90°，
∴S△OAB＝×4＝2．故選C．]
母題探究
解：由本例(2)中直觀圖可得S△O′A′B′＝＝1，
原圖形面積為S△OAB＝2．所以＝＝．
發現規律
1．不變　2倍　2．　2
跟進訓練
3．D　[法一：建立如圖①所示的平面直角坐標系xOy．
如圖②所示，建立平面直角坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，應有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a．
過點C′作C′D′⊥O′x′于點D′，
則C′D′＝O′C′＝a．
所以△A′B′C′的面積是
S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2．
法二：S△ABC＝a2，
又S△A′B′C′＝S△ABC，∴S△A′B′C′＝×a2＝a2．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．AB　[斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關系不會改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．]
2．D　[因為水平放置的△ABC的直觀圖中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′軸，A′C′∥y′軸，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形．]
3．C　[由比例尺可知，長方體的長、寬、高和四棱錐的高應分別為4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再結合直觀圖的畫法，知長方體的長、寬、高和四棱錐的高應分別為4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm．]
4．矩形　8　[由斜二測畫法規則可知，在四邊形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四邊形OABC是矩形，其面積為2×4＝8(cm2)．]
課堂小結
1．提示：用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，應牢記下列口訣：
橫不變，縱折半；平行關系永不變；九十度畫一半．
2．提示：若設原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝S．8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
學習任務 1．通過對圓柱、圓錐、圓臺的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積的求法．(邏輯推理) 2．會求與圓柱、圓錐、圓臺有關的組合體的表面積與體積．(數學運算)
如圖是工廠生產的各種金屬零件，被廣泛應用于工業領域的各個方面．
問題：(1)如果已知制作零件的金屬的密度，如何求出這些零件的質量？
(2)如圖所示的零件都是旋轉體，其側面都是曲面，如何求其表面積？
知識點1　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱 底面積：S底＝___________ 側面積：S側＝2πrl 表面積：S＝________________
圓錐 底面積：S底＝___ 側面積：S側＝πrl 表面積：S＝____________
圓臺 上底面面積：S上底＝______ 下底面面積：S下底＝____ 側面積：S側＝________________ 表面積：S＝______________________
圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關系？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知識點2　圓柱、圓錐、圓臺的體積公式
(1)V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)．
(2)V圓錐＝πr2h(r是底面半徑，h是高)．
(3)V圓臺＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高)．
1．圓臺的上、下底面半徑分別是3和4，母線長為6，則其表面積等于________．
2．已知圓錐的底面半徑為2，高為5，則這個圓錐的體積為________．
類型1　圓柱、圓錐、圓臺的表面積
【例1】　(1)將一個邊長分別為4π，8π的矩形卷成一個圓柱的側面，則這個圓柱(包含上、下底面)的表面積是________．
(2)(源自北師大版教材例題)圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側面展開圖的扇環的圓心角是180°，那么圓臺的側面積是多少？(結果中保留π)
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可．
[跟進訓練]
1．若圓錐的側面展開圖扇形的圓心角為120°，則圓錐的表面積是底面積的(　　)
A．2倍　　B．3倍　　C．4倍　　D．5倍
類型2　圓柱、圓錐、圓臺的體積
【例2】　(1)如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為________．
(2)已知一圓臺上底面半徑為2，下底面的半徑為3，截得此圓臺的圓錐的高為6，則此圓臺的體積為________．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解．
[跟進訓練]
2．若一個圓柱與圓錐的高相等，且軸截面面積也相等，那么圓柱與圓錐的體積之比是(　　)
A．1　　B．1∶2　　C．∶2　　D．3∶4
類型3　組合體的表面積與體積
【例3】　如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉一周，求旋轉體的表面積和體積．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
　求組合體的表面積和體積，首先要認清組合體是由哪些簡單幾何體構成的．組合體的表面積是可見的圍成組合體的所有面的面積之和，但不一定是組成組合體的幾個簡單幾何體的表面積之和；組合體的體積是構成組合體的幾個簡單幾何體的體積之和(差)．
[跟進訓練]
3．如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F分別是AB，AC的中點，D為BC的中點，H，G分別是BD，CD的中點，若將正三角形ABC繞AD所在直線旋轉180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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1．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側面積之比為(　　)
A．1∶2　B．1∶　C．1∶　D．∶2
2．圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．(多選)圓柱的側面展開圖是長12 cm，寬8 cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是(　　)
A． cm3 B． cm3
C．288π cm3 D．192π cm3
4．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體，下部是圓柱，其軸截面是邊長為4的正方形；上部為圓錐，其高為3，則該幾何體的體積為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如圖，圓錐的側面展開圖為一扇形，則扇形圓心角度數α，母線l、底面半徑r存在怎樣的等量關系？
2．你能描述一下圓柱、圓錐、圓臺的體積公式間的內在聯系嗎？
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　πr2　2πrl＋2πr2　πr2　πrl＋πr2　πr′2　πr2　πl(r＋r′)　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
思考　提示：如圖所示．
S圓柱＝2πr(r＋l)　S圓臺＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)Ｋ　S圓錐＝πr(r＋l)
課前自主體驗
1．67π　[S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
＝π(32＋42＋3×6＋4×6)
＝π(9＋16＋18＋24)
＝67π．]
2．π　[由題意V圓錐＝Sh＝πr2·h＝．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)32π2＋8π或32π2＋32π　[當底面圓的周長為8π時，半徑r＝4，∴上、下底面面積和為2×π×42＝32π，側面積為4π×8π＝32π2，∴圓柱的表面積為32π2＋32π．
同理可得當底面圓的周長為4π時，圓柱的表面積為32π2＋8π．]
(2)解：如圖，設圓臺上底面周長為c cm．
因為圓環的圓心角是180°，所以c＝π·SA．
又因為c＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20 cm．
同理SB＝40 cm．
所以AB＝SB－SA＝20(cm)，
S圓臺側＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)．
因此，圓臺的側面積為600π cm2．
跟進訓練
1．C　[設圓錐底面半徑為r，母線長為R．
由圓錐底面周長為2πr＝×2πR，解得R＝3r，∴圓錐的表面積S表＝πr2＋πrR＝4πr2，圓錐的底面積S底＝πr2，
∴圓錐的表面積是底面積的4倍．]
例2　(1)10π　(2)π　[(1)V＝＝10π．
(2)作出圓臺的軸截面如圖，設圓臺的高為h，則＝，∴h＝2，
∴V＝(22＋2×3＋32)×2＝π．]
跟進訓練
2．D　[設圓柱、圓錐的高都為h，底面半徑分別為r，R，則有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圓錐＝πR2h＝πr2h，V圓柱＝πr2h，故V圓柱∶V圓錐＝3∶4．]
例3　解：在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，
∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，
∴DO＝DD′＝a．
由于以l為軸將梯形ABCD旋轉一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐．
由上述計算知，圓柱母線長a，底面半徑2a，圓錐的母線長2a，底面半徑a．∴圓柱的側面積S1＝2π·2a·a＝4πa2，
圓錐的側面積S2＝π·a·2a＝2πa2，
圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，
圓錐的底面積S4＝πa2，
∴組合體上底面積S5＝S3－S4＝3πa2，
∴旋轉體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2．
又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積．V柱＝S3h＝π·(2a)2·a＝4πa3，
V錐＝S4h＝·π·a2·a＝πa3，
∴V＝V柱－V錐＝4πa3－πa3＝πa3．
跟進訓練
3．解：旋轉體是一個圓錐挖去一個圓柱后形成的幾何體．
令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，則R＝2，r＝1，l＝4，h＝．
∴S圓錐表＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，
S圓柱側＝2πrh＝2π×1×＝2π．
∴所求幾何體的表面積S＝S圓錐表＋S圓柱側＝12π＋2π＝2(6＋)π．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[設圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，
∴其母線長l＝r，∴S側＝πrl＝πr2，S底＝πr2，
則S底∶S側＝1∶．]
2．A　[設圓臺的高為h，由題意知V＝π(12＋1×2＋22)h＝7π，解得h＝3．]
3．AB　[當圓柱的高為8 cm時，V＝π××8＝(cm3)，當圓柱的高為12 cm時，V＝π××12＝(cm3)．]
4．20π　[圓柱的底面半徑是2，高為4，圓錐底面半徑是2，高為3，則V＝π×22×4＋×π×22×3＝20π．]
課堂小結
1．提示：圓錐側面展開圖中扇形弧長為圓錐底面周長，而扇形弧長又是以l為半徑圓周長的，于是有·2πl＝2πr，即r＝l．
2．提示：柱體可以看作上、下底面相同的臺體，錐體可以看作有一個底面是一個點的臺體，因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體．柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式．具體如下：8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
學習任務 借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義．(數學抽象、直觀想象)
觀察你所在的教室．
問題：(1)教室內同一列的燈管所在的直線是什么位置關系？
(2)教室內某燈管所在的直線和地面是什么位置關系？
(3)教室內某燈管所在的直線和黑板左右兩側所在的直線是什么位置關系？
(4)教室內黑板面和教室的后墻面是什么位置關系？
知識點1　空間中直線與直線的位置關系
1．異面直線：不同在______________的兩條直線．
2．空間兩條直線的三種位置關系
1．分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線嗎？
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2．如何畫異面直線？
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知識點2　空間中直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 ______公共點 ____公共點 ____公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
3．直線l在平面α外，l就與α無公共點嗎？
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知識點3　空間中兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 __________ 有____個公共點(在一條直線上)
符號表示 ________ ________________
圖形表示
4．已知兩個平面有三個公共點，這兩個平面的位置關系如何？
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1．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條(　　)
A．相交　　　　 B．異面
C．相交或異面 D．平行
2．若a是平面α外的一條直線，則直線a與平面α內的直線的位置關系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行、相交或異面
3．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有______組互相平行的面，與其中一個側面相交的面共有______個．
類型1　異面直線的判定
【例1】　(源自湘教版教材)如圖，已知a α，A α，B∈α，B a．
求證：直線AB與a是異面直線．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
　判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內．
(2)重要結論：與平面相交的直線與該平面內不過該交點的直線是異面直線．
[跟進訓練]
1．(1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是(　　)
A．平行　 B．異面
C．相交 D．平行、相交或異面
(2)如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直線中，找出與棱AA′所在直線異面的所有直線．
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_____________________________________________________________________
類型2　空間中直線與平面的位置關系
【例2】　(1)若直線上有一點在平面外，則下列結論正確的是(　　)
A．直線上所有的點都在平面外
B．直線上有無數多個點都在平面外
C．直線上有無數多個點都在平面內
D．直線上至少有一個點在平面內
(2)下列說法中，正確的是________．
①如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內的任意一條直線平行；
②如果一條直線與一個平面相交，那么這條直線與平面內無數條直線相交；
③過平面外一點有且只有一條直線與已知平面平行．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
　在判斷直線與平面的位置關系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．
[跟進訓練]
2．(多選)下列命題中的真命題是(　　)
A．若直線a不在平面α內，則a∥α
B．若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α
C．若l∥α，則直線l與平面α內任何一條直線都沒有公共點
D．平行于同一平面的兩直線可以相交
類型3　平面與平面的位置關系
【例3】　(多選)以下四個命題中，正確的有(　　)
A．在平面α內有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
B．在平面α內有無數條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行
C．平面α內△ABC的三個頂點在平面β的同一側且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行
D．平面α內有無數個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交
[嘗試解答]___________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
　判定兩個平面相交，只需找到兩個平面的一個公共點，就可根據基本事實3知，兩個不重合的平面是相交的．判定兩個平面平行，可根據定義判定兩個平面沒有公共點，也可以排除兩個平面相交和重合，從而判定兩平面平行．
[跟進訓練]
3．(1)如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一定是(　　)
A．平行　　　 B．相交
C．平行或相交 D．不能確定
(2)長方體各面所在平面將空間分成______部分．
1．不平行的兩條直線的位置關系是(　　)
A．相交　 B．異面
C．平行 D．相交或異面
2．在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是(　　)
A．SB　　B．SC　　C．BC　　D．AB
3．若點A∈α，B α，C α，則平面ABC與平面α的位置關系是________．
4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AA1異面的棱有________條，正方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面有________個．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．空間中兩直線的位置關系有哪幾種？如何判斷它們的位置關系？
2．空間中直線與平面的位置關系有哪幾種？如何判斷？
3．空間中兩平面的位置關系有哪幾種？如何判斷？
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1．任何一個平面內　2．相交直線　一個公共點　平行直線　沒有公共點　沒有公共點
思考1　提示：不一定．可能平行、相交或異面．
思考2　提示：常常需要以輔助平面作為襯托，以加強直觀性，如圖①②③．
知識點2　無數個　一個　沒有
思考3　提示：直線l在平面α外包含兩種情況：l與α平行，l與α相交．若l與α相交，則有唯一的公共點．所以直線l在平面α外，l與α不一定沒有公共點．
知識點3　沒有公共點　無數　α∥β　α∩β＝l
思考4　提示：當三個公共點共線時，兩個平面相交或重合；當三個公共點不共線時，兩個平面重合．
課前自主體驗
1．C
2．D　[若a∥α，則a與α內的直線平行或異面；若a與α相交，則a與α內的直線相交或異面．]
3．4　6　[六棱柱的兩個底面互相平行，每個側面與其直接相對的側面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共由8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側面平行的面有1個，其余6個面與該側面均為相交的關系．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　證明：假設直線AB與a在同一個平面內，那么這個平面一定經過點B和直線a．
因為B a，經過點B與直線a只有一個平面α．
所以直線AB與a應在平面α內．
所以A∈α，這與已知A α矛盾．
所以直線AB與a是異面直線．
跟進訓練
1．(1)D　[如圖，在長方體ABCD A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，
AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′．故a和c可以平行、相交或異面．]
(2)解：先把長方體中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC．
觀察棱BC所在直線，因為AA′ 平面AB′，B∈平面AB′，B AA′，C 平面AB′，所以直線AA′與BC是異面直線．
同理，直線B′C′，D′C′，DC都與直線AA′異面．
例2　(1)B　(2)②　[(1)直線上有一點在平面外，則直線不在平面內，故直線上有無數多個點在平面外．
(2)如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內的直線平行或異面，所以①錯；如果一條直線與一個平面相交，那么在這個平面內作過交點的直線都與這條直線相交，有無數條，所以②正確；對于③顯然有無數條，所以錯誤．]
跟進訓練
2．CD　[A中，直線a也可能與平面α相交，故A是假命題；B中，直線l與平面α相交時，l上也有無數個點不在平面α內，故B是假命題；C中，l∥α時，l與α沒有公共點，所以l與α內任何一條直線都沒有公共點，故C是真命題；D中，長方體ABCD A1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，且A1C1與B1D1相交，故D是真命題．]
例3　CD　[當兩個平面相交時，一個平面內有無數條直線平行于它們的交線，即平行另一個平面，所以AB錯誤．]
跟進訓練
3．(1)C　(2)27　[(1)逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．
(2)分上、中、下三個部分，每個部分分空間為9個部分，共27部分．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．D　[由于空間兩條直線的位置關系是平行、相交、異面，則不平行的兩條直線的位置關系是相交或異面．]
2．C　[由題圖知SB，SC，AB，AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．]
3．相交　[∵點A∈α，B α，C α，
∴平面ABC與平面α有公共點，且不重合，
∴平面ABC與平面α的位置關系是相交．]
4．4　3　[與AA1異面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4條；與AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3個．]
課堂小結
1．提示：空間兩條直線有相交、平行、異面三種位置關系．判定兩直線的位置關系的依據就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．
2．提示：在直線和平面的位置關系中，直線和平面平行，直線和平面相交，統稱直線在平面外，可以用符號a α來表示a∥α、a∩α＝A這兩種情形．
3．提示：兩個平面的位置關系同平面內兩條直線的位置關系相類似，可以從有無公共點來區分．如果兩個平面有一個公共點，那么由基本事實3可知：這兩個平面相交于過這個點的一條直線；如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面相互平行．8.5.3　平面與平面平行
學習任務 借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面平行的判定定理，平面與平面平行的性質定理，并加以證明．(直觀想象、數學抽象、邏輯推理)
如圖，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的．
知識點1　平面與平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的____________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
圖形語言
如果把定理中的“相交”去掉，這兩個平面是否一定平行，為什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知識點2　平面與平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線____
符號語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ____
圖形語言
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面β∩平面γ＝b a∥b. (　　)
(2)平面α∥平面β，直線a α，直線b β a∥b. (　　)
類型1　平面與平面平行的判定
【例1】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點．
求證：(1)E，F，B，D四點共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　平面與平面平行的判定方法
(1)定義法：兩個平面沒有公共點．
(2)判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面．
(3)轉化為線線平行：平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條相交直線分別平行，則α∥β.
(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
[跟進訓練]
1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型2　平面與平面平行的性質
【例2】　如圖，已知平面α∥平面β，點P是平面α，β外的一點(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.
(1)求證：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的長．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母題探究]
若點P在平面α與β之間，其它條件不變．
(1)求證：AC∥BD；
(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的長．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　應用平面與平面平行性質定理的基本步驟
[跟進訓練]
2．已知三個平面α，β，γ滿足α∥β∥γ，直線a與這三個平面依次交于點A，B，C，直線b與這三個平面依次交于點E，F，G.
求證：.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型3　平行關系的綜合應用
【例3】　如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關系不是孤立存在的，而是相互聯系、相互轉化的，它們的聯系如下：
[跟進訓練]
3．如圖，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.
求證：CD∥平面EFGH.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．下列命題正確的是(　　)
A．一個平面內兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行
B．如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D．如果一個平面內的無數多條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行
2．兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關系是(　　)
A．兩兩相互平行
B．兩兩相交于同一點
C．兩兩相交但不一定交于同一點
D．兩兩相互平行或交于同一點
3．如圖所示，設E，F，E1，F1分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關系是(　　)
A．平行　B．相交　C．異面　D．不確定
4．已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，則CD＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．線線平行、線面平行、面面平行之間關系如何轉化？
2．證明直線與直線平行的方法有哪些？
3．證明直線與平面平行的方法有哪些？
8.5.3　平面與平面平行
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　兩條相交直線
思考　提示：不一定．如圖，平面α內的兩條直線a，b均平行于β，而α與β卻相交.
知識點2　平行　a∥b
課前自主體驗
(1)√　(2)×
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　證明：(1)連接B1D1，
∵E，F分別是邊B1C1，C1D1的中點，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四點共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
連接MF.∵M，F分別是A1B1，C1D1的中點，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD且MF＝AD.
∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.
又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
跟進訓練
1．證明：∵E，G分別是PC，BC的中點，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
例2　解：(1)證明：∵PB∩PD＝P，
∴直線PB和PD確定一個平面γ，
則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，∴AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，則＝.
又PA＝4，AB＝5，PC＝3.
∴＝，∴CD＝，
故PD＝PC＋CD＝.
母題探究
解：(1)證明：如圖，∵PB∩PD＝P，
∴PB，PC確定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
又α∥β，
∴AC∥BD，
(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，
∴＝，即＝.
又PA＝4，AB＝5，PC＝3.
∴＝，則PD＝.
跟進訓練
2．證明：連接AG交β于H，連接BH，FH，AE，CG.
因為β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，
所以BH∥CG.同理AE∥HF，
所以＝＝，
所以＝.
例3　證明：因為BE∥AA1，AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
跟進訓練
3．證明：由于四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EF∥GH.
∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
又∵EF 平面ACD，
平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
又∵EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[如果一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點，則兩平面平行．]
2．A　[可以想象四棱柱，由面面平行的性質定理可得．]
3．A　[∵A1E∥BE1，A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1 平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.]
4．6　[如圖，∵AB∥CD，
∴A，B，C，D四點共面，
∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，又AB∥CD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，∴AB＝CD＝6.]
課堂小結
1．提示：三者之間的相互轉化關系如圖所示．
2．提示：(1)平面幾何中證明直線平行的方法．如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質等．
(2)基本事實4.
(3)線面平行的性質定理．
(4)面面平行的性質定理．
3．提示：(1)線面平行的判定定理．
(2)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．8.6　空間直線、平面的垂直
8.6.1　直線與直線垂直
學習任務 1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關系．(直觀想象) 2．掌握兩異面直線所成的角的求法．(數學運算、邏輯推理)
觀察下面兩個圖形．
問題：(1)教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線的位置關系是什么？
(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關系是什么？CD與BE的位置關系是什么？
知識點1　異面直線所成的角
(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線__________所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍是________________．
1．在異面直線所成角的定義中，角的大小與點O的位置有關系嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知識點2　兩條異面直線垂直
(1)定義：如果兩條異面直線所成的角是____，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．
(2)表示：直線a與直線b垂直，記作______．
2．兩條直線垂直，一定相交嗎？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．已知正方體ABCD-EFGH，則AH與FG所成的角是________．
2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是A1D1和BC的中點，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有________條．
類型1　異面直線所成的角
【例1】　如圖，空間四邊形ABCD的各個棱長都相等，E為BC的中點，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　求異面直線所成角的一般步驟
“一作”即過空間一點作兩條異面直線的______，而空間一點一般取在兩異面直線中的一條上，特別是某些特殊點處，例如“端點”或“中點”處．
“二求”即通過解三角形，計算所作的角的大小．
“三結論”即假如所構造的角的大小為α，若0°＜α≤90°，則α即為所求異面直線所成角的大小；若90°＜α＜180°，則____________即為所求．
[跟進訓練]
1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，求異面直線A1C與B1C1所成的角的大小．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型2　直線與直線垂直的證明
【例2】　如圖，正方體AC1中，E，F分別是A1B1，B1C1的中點，求證：DB1⊥EF.
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　證明兩條直線垂直的策略
(1)對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據勾股定理證明．
(2)對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明．
[跟進訓練]
2．(1)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，則線段AA1的長為________．
(2)空間四邊形ABCD，E，F，G分別是BC，AD，DC的中點，FG＝2，GE＝EF＝3．
求證：AC⊥BD.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．(多選)如果空間兩條直線互相垂直，那么它們可能是(　　)
A．相交直線　　　　 B．異面直線
C．共面直線　 D．平行直線
2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于(　　)
A．45°　　B．60°　　C．90°　　D．120°
3．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱所在的直線中與直線BC1所成角為的條數為(　　)
A．6 　 B．8
C．10 　 D．12
4．如圖，已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝，AA′＝2．
(1)BC和A′C′所成的角為________；
(2)AA′和BC′所成的角為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．異面直線所成角的范圍如何？什么是異面直線垂直？
2．用平移法求異面直線所成角的一般步驟是什么？
3．用平移法求異面直線所成角時應用了什么數學思想？
8.6.1　直線與直線垂直
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　(1)a′與b′　(2)0°≤α≤90°
思考1　提示：根據等角定理可知，異面直線所成角的大小與點O的位置無關.
知識點2　(1)直角　(2)a⊥b
思考2　提示：不一定．當兩條異面直線所成的角為90°時，兩條異面直線垂直，但不一定相交．
課前自主體驗
1．45°　[如圖，連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角. 因為四邊形BCGF為正方形，所以∠BGF＝45°.]
2．2　[長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：如圖，取BD的中點F，連接EF，AF，
又E為BC的中點，∴EF綉CD，
∴∠AEF為異面直線AE與CD所成的角(或補角)．
設空間四邊形ABCD的棱長為a，
則AE＝AF＝a，EF＝，
∴cos ∠AEF＝＝＝.
故異面直線AE與CD所成角的余弦值為.
發現規律
平行線　180°－α
跟進訓練
1．解：因為幾何體是棱柱，BC∥B1C1，
則直線A1C與BC所成的角就是異面直線A1C與B1C1所成的角．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，連接BA1(圖略)，
∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝，CA1＝.
∴△BCA1是等邊三角形，
∴異面直線A1C與B1C1所成的角為60°.
例2　解：法一：如圖，連接A1C1，B1D1，設交點為O，取DD1的中點G，連接OG，GA1，GC1.
則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．
∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，
∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，
∴DB1⊥EF.
法二：如圖，連接A1D，取A1D的中點H，連接HE，則HE∥DB1，且HE＝DB1.于是∠HEF為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．連接HF，設AA1＝1，則EF＝，HE＝，取A1D1的中點I，連接IF，HI，則HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2.
∴∠HEF＝90°，∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，
∴DB1⊥EF.
法三：如圖，在原正方體的右側補上一個全等的正方體，連接B1Q，DQ，則B1Q∥EF.
于是，直線DB1與B1Q所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角或其補角．
通過計算，不難得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，
從而異面直線DB1與EF所成的角為90°，所以DB1⊥EF.
跟進訓練
2．(1)　[連接CD1，AC.
由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1所成的角．
∵異面直線A1B和AD1所成的角為90°，
∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝AC.
∵底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝＝.]
(2)證明：∵點G，E分別是CD，BC的中點，
∴GE∥BD，同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的補角是異面直線AC與BD所成的角．
在△EFG中，
∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.
即異面直線AC與BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．ABC　[由平面幾何知識和異面垂直的定義可知，互相垂直的兩條直線可垂直相交或異面垂直，故選ABC.]
2．B　[取A1B1中點I，連接IG，IH，則EF綉IG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.]
3．B　[因為正方體中∠CBC1＝，所以BC與直線BC1所成角為，又BC∥AD∥A1D1∥B1C1，
所以AD，A1D1，B1C1與直線BC1所成角為，
同理可得BB1，CC1，DD1，AA1與直線BC1所成角為，
又AB，CD，C1D1，A1B1與直線BC1所成角為，
所以與直線BC1所成角為的棱有8條．
故選B.]
4．(1)45°　(2)60°　[(1)因為BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因為AA′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，異面直線AA′與BC′所成的角為60°.]
課堂小結
1．提示：異面直線所成角θ的范圍為0°<θ≤90°，如果兩條異面直線a，b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直，記為a⊥b.
2．提示：(1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角；
(2)求角——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角；
(3)結論——設由(2)求出的角的大小為θ，若0°<θ≤90°，則θ即為所求，若90°<θ<180°，則180°－θ即為所求．
3．提示：應用的是數學上的轉換思想，即化空間圖形問題為平面圖形問題．8.6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的定義及判定定理
學習任務 1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關系．(直觀想象) 2．歸納出直線與平面垂直的判定定理．(數學抽象) 3．了解直線與平面所成的角．(數學抽象)
木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次，如圖．如果兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直．
問題：(1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？
(2)上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？
知識點1　直線與平面垂直的定義
定義 一般地，如果直線l與平面α內的________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α
有關概念 直線l叫做平面α的____，平面α叫做直線l的____．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做____
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
直線與平面垂直定義中的關鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“無數條直線”？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知識點2　直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的____________垂直，那么該直線與此平面垂直
符號語言 m α，n α，______＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
圖形語言
知識點3　直線與平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面____，但不與這個平面____，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA
斜足 斜線和平面的____，如圖中點A
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引____，過____和____的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO； 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是______；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是____．
取值 范圍 設直線與平面所成的角為θ，則________________
1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若直線垂直于平面內的兩條直線，則這條直線與平面垂直． (　　)
(2)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線． (　　)
(3)若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線． (　　)
2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________；
AB1與平面ADD1A1所成的角等于________；
AB1與平面DCC1D1所成的角等于________．
類型1　直線與平面垂直的判定
【例1】　如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC.
(1)求證：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　證線面垂直的方法
(1)線線垂直證明線面垂直：
①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)．
②判定定理最常用：要著力尋找平面內哪兩條相交直線(有時作輔助線)；結合平面圖形的性質(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結論來論證線線垂直．
(2)平行轉化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α b⊥α.
②α∥β，a⊥α a⊥β.
[跟進訓練]
1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為N.
求證：AN⊥平面PBM.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型2　直線與平面所成的角
【例2】　已知正方體ABCD-A1B1C1D1．
(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母題探究]
在本例正方體中，若E為棱AB的中點，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　求直線與平面所成角的步驟
(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內的射影，作射影要過斜線上一點作平面的____，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算．
(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．
(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的__________中計算．
[跟進訓練]
3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是(　　)
A．平行　　 B．垂直
C．相交不垂直　 D．不確定
2．(多選)下列說法，正確的是(　　)
A．若直線l垂直于α，則直線l垂直于α內任一直線
B．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內的直線可能相交，可能異面，也可能平行
C．若a∥b，a α，l⊥α，則l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，則a∥α
3．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是(　　)
A．60°　　B．45°　　C．30°　　D．120°
4．設三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是點H，給出以下說法：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則點H是△ABC的垂心；
③若點P到△ABC的三邊距離相等，且點H在△ABC的內部，則H是△ABC的內心；
④若PA＝PB＝PC，則點H是△ABC的外心．
其中正確的說法是________(填序號)．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．直線與平面垂直的判定定理的內容是什么？證明線面垂直的主要方法有哪些？
2．若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？如何求直線與平面所成的角？
8.6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的定義及判定定理
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　任意一條　垂線　垂面　垂足
思考　提示：不可以，因為一條直線與某平面內無數條平行直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直．
知識點2　兩條相交直線　m∩n
知識點3　相交　垂直　交點　垂線　垂足　斜足　90°　0°　0°≤θ≤90°
課前自主體驗
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．45°　45°　0°　[∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　證明：(1)因為SA＝SC，D是AC的中點，
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因為SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
所以BD⊥平面SAC.
跟進訓練
1．證明：設圓O所在的平面為α，
∵PA⊥α，且BM α，
∴PA⊥BM.
又∵AB為⊙O的直徑，點M為圓周上一點，
∴AM⊥BM. 由于直線PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，
∴AN與PM、BM兩條相交直線互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
2．證明：如圖，連接AC，
則AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可證BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，
BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
例2　解：(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，
設A1A＝1，則AC＝，
∴tan ∠A1CA＝.
(2)連接A1C1交B1D1于O，
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.
∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，
A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.
母題探究
解：連接AC交BD于點O，過E作EO1∥AC交BD于點O1，易證AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內的射影，
∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．
設正方體的棱長為a.
∵E是AB的中點，EO1∥AC，∴O1是BO的中點，
∴EO1＝AO＝＝，
B1O1＝＝＝，
∴tan ∠EB1O1＝＝＝.
發現規律
(1)垂線　(3)直角三角形
跟進訓練
3．解：如圖所示，取A′B′的中點D，連接C′D，BD.
因為底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.
因為AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.
又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥側面ABB′A′，
所以BD是斜線BC′在平面ABB′A′上的射影，
∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成的角．
等邊三角形A′B′C′的邊長為1，C′D＝，
在Rt△BB′C′中，BC′＝＝，
故直線BC′與平面ABB′A′所成的角的正弦值為sin ∠C′BD＝＝.
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．]
2．AC　[由線面垂直的定義知，A正確；當l⊥α時，l與α內的直線相交或異面，但不會平行，故B錯；C顯然是正確的；而D中，a可能在α內，所以D錯誤．]
3．A　[∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故選A.]
4．①②③④　[①正確，因為點P在平面ABC上的射影是H，則PH⊥平面ABC，故PH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；②正確，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；③正確，易證Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F為△ABC各邊的垂足)，所以HD＝HE＝HF，且點H在△ABC的內部，則H是△ABC的內心；④正確，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，所以HA＝HB＝HC，則H是△ABC的外心．]
課堂小結
1．提示：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直；證明線面垂直的主要方法：(1)線面垂直定義；(2)線面垂直的判定定理；(3)借助兩個結論：①若a∥b，a⊥α則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.
2．提示：需要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線PO的射影，這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角．求直線與平面所成角的步驟為一作、二證、三求、四答，其中作角是關鍵，而確定斜線在平面內的射影是作角的突破口．8.6.3　平面與平面垂直
第1課時　二面角及平面與平面垂直的判定定理
學習任務 1．理解二面角及其平面角的概念，會作二面角的平面角，會求簡單的二面角的平面角．(數學抽象、數學運算) 2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，會用定理證明垂直關系．(數學抽象、邏輯推理)
如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”變大的感覺．你認為應該怎樣刻畫面面“夾角”呢？
知識點1　二面角
1．定義：從一條直線出發的__________所組成的圖形．
2．相關概念：(1)這條直線叫做二面角的__，(2)兩個半平面叫做__________．
3．畫法：
4．記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA α，OB β；(3)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是________．
6．平面角是直角的二面角叫做________，二面角的平面角α的取值范圍是__________________．
1．二面角的平面角的大小，是否與角的頂點在棱上的位置有關？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，構成二面角的平面角的三要素是什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知識點2　平面與平面垂直
1．定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直．
2．畫法：
3．記作：______．
4．判定定理：如果一個平面過另一個平面的____，那么這兩個平面垂直．
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β. (　　)
(2)若平面α內的一條直線垂直于平面β內兩條平行線，則α⊥β. (　　)
(3)兩平面垂直時，其二面角是直二面角. (　　)
類型1　二面角的計算問題
【例1】　如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數；
(2)求二面角B-PA-D的平面角的大小；
(3)求二面角B-PA-C的平面角的大小．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　求二面角的平面角的大小的步驟
(1)作：作出平面角，一般在交線上找一特殊點，分別在兩個半平面內向交線作垂線．
(2)證：證明所作的角滿足定義，并指出二面角的平面角．
(3)求：將作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
(4)結論．
[跟進訓練]
1．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
類型2　平面與平面垂直的判定
　定義法判定平面與平面垂直
【例2】　如圖，在四面體ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　判定定理法判定平面與平面垂直
【例3】　(源自湘教版教材)如圖，已知△ABC中，AD是邊BC上的高，以AD為折痕折疊△ABC，使∠BDC為直角．
求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.
[嘗試解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　證明面面垂直常用的方法
(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為線面垂直．
(3)性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．
[跟進訓練]
2．如圖，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是(　　)
A．相等　　 B．互補
C．相等或互補　 D．不確定
4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何求二面角的平面角的大小？
2．如何證明兩個平面垂直？
8.6.3　平面與平面垂直
第1課時　二面角及平面與平面垂直的判定定理
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　1.兩個半平面　2.(1)棱　二面角的面　5.∠AOB　6.直二面角　0°≤α≤180°
思考1　提示：無關．如圖，根據等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關，只與二面角的大小有關．
思考2　提示：三要素是“棱上”“面內”“垂直”．即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內，角的兩邊必須都與棱垂直．
知識點2　1.直二面角　3.α⊥β　4.垂線
課前自主體驗
(1)×　(2)×　(3)√
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.
PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的平面角的度數為90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．
又由題意知∠BAD＝90°，
∴二面角B-PA-D的平面角的度數為90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．
又四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度數為45°.
跟進訓練
1．解：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.
例2　解：因為△ABD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE，則∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．
在△ABD中，AB＝a, BE＝BD＝a，
所以AE＝＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a.
因為AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，
所以二面角A-BD-C為直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD.
例3　證明：因為AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
因為AD 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BDC.
已知∠BDC為直角，
所以BD⊥DC.
又AD∩DC＝D，因此BD⊥平面ADC.
因為BD 平面ABD，
所以平面ADC⊥平面ABD.
跟進訓練
2．證明：連接AC，設AC∩BD＝O，連接OE.
因為O為AC的中點，E為PA的中點，
所以EO是△PAC的中位線，
所以EO∥PC.
因為PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因為EO 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．D
2．C　[∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.]
3．C　[若方向相同則相等，若方向相反則互補．故選C.]
4．45°　[根據正方體中的位置關系可知，
AB⊥BC，A1B⊥BC，根據二面角的平面角定義可知，
∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角．
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，
所以∠ABA1＝45°.]
課堂小結
1．提示：求二面角的平面角的大小的步驟
2．提示：證明面面垂直主要有兩種方法：
(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理．第2課時　平面與平面垂直的性質
學習任務 1．通過直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質定理，并加以證明. (直觀想象、數學抽象) 2．能用平面與平面垂直的性質定理解決一些簡單的空間線面位置關系問題．(邏輯推理)
黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？由此，你能得到什么樣的一般結論呢？
知識點　平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的____，那么這條直線與另一個平面____
符號語言
圖形語言
思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若平面α⊥平面β，則平面α內所有直線都垂直于平面β. (　　)
(2)若平面α⊥平面β，則平面α內一定存在直線平行于平面β. (　　)
(3)若平面α不垂直于平面β，則平面α內一定不存在直線垂直于平面β. (　　)
類型1　面面垂直性質定理的應用
【例1】　如圖，已知V是△ABC所在平面外一點，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求證：AB⊥BC.
[思路導引]　平面VAB⊥平面VBCAD⊥BCBC⊥平面VABBC⊥AB.
[嘗試解答]　_________________________________________________________
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[母題探究]
若將本例中的條件變為：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求證：VA⊥BC.
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　在運用面面垂直的性質定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，這樣便把面面垂直問題轉化為線面垂直問題，進而轉化為線線垂直問題．
[跟進訓練]
1．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點．求證：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
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類型2　線線、線面、面面垂直的綜合應用
【例2】　如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足．
(1)求證：PA⊥平面ABC；
(2)當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．
[嘗試解答]　_________________________________________________________
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　垂直關系的轉化
直線與直線垂直(線線垂直)、直線與平面垂直(線面垂直)、平面與平面垂直(面面垂直)之間可以相互轉化，它們之間的轉化關系可用框圖來表示．
[跟進訓練]
2．如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
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1．已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，則l⊥β
C．若α⊥β，l α，則l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，則l⊥β
2．已知長方體ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點M，作ME⊥AB于點E，則(　　)
A．ME⊥平面ABCD　 B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD　 D．以上都有可能
3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．1
4．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．面面垂直的性質定理包含哪些條件？
2．當題設條件中給出面面垂直時，我們常如何作輔助線？
3．線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的判定和性質是如何轉化的？
第2課時　平面與平面垂直的性質
[必備知識·情境導學探新知]
知識點　交線　垂直　a α　a⊥l
課前自主體驗
(1)×　(2)√　(3)√
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　證明：如圖，在平面VAB內，過點A作AD⊥VB于點D.
∵平面VAB⊥平面VBC，且交線為VB，
∴AD⊥平面VBC.
∴AD⊥BC.
∵VA⊥平面ABC，
∴VA⊥BC.
∵AD∩VA＝A，且VA 平面VAB，AD 平面VAB，
∴BC⊥平面VAB.
∵AB 平面VAB，∴AB⊥BC.
母題探究
證明：∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC 平面ABC，CA⊥AB，
∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA.
又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，
∵BC 平面ABC，∴VA⊥BC.
跟進訓練
1．證明：(1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，
由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
例2　證明：(1)如圖，在平面ABC內取一點D，作DF⊥AC于點F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC內，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)如圖，連接BE并延長交PC于點H.
∵點E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
跟進訓練
2．證明：(1)設BD＝a，如圖，作DF∥BC交CE于F，則CF＝DB＝a.
因為CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝＝a.又因為DB⊥平面ABC，所以DA＝＝a，所以DE＝DA.
(2)取CA的中點N，連接MN，BN，
則MN綉CE綉DB.
所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MD∥BN.
又因為EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M為EA的中點，所以DM⊥AE.
又AE∩EC＝E，
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．D　[A項中缺少了條件l α，故A錯誤．
B項中缺少了條件α⊥β，故B錯誤．
C項中缺少了條件α∩β＝m，l⊥m，故C錯誤．
D項具備了面面垂直的性質定理中的全部條件，故D正確．]
2．A　[因為ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.]
3．C　[如圖所示，連接BC.因為AC⊥l，α⊥β，AC α，α∩β＝l，所以AC⊥β.因為BC β，
所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形，
所以BC＝＝.
在Rt△BCD中，CD＝＝.]
4．　[∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝.]
課堂小結
1．提示：面面垂直的性質定理必須滿足四條，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交線；③有一條線和交線垂直；④這一條線必須在其中一個面內，這樣才能證明這條線垂直于另一平面，即將面面垂直轉化為線面垂直．切記：前提是平面與平面垂直．
2．提示：面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．
3．提示：垂直問題轉化關系如下所示：

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