資源簡介

6.1　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
第1課時　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
學習任務 1．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理．(數學抽象) 2．會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題．(邏輯推理)
在數學學習和日常生活中，我們經常會遇到類似“共有多少種情況”的計數問題．例如：
(1)一個由3個元素組成的集合，共有多少個不同的子集？
(2)由3個數字組成的密碼鎖，如圖所示，如果忘記了密碼，最多要試多少次才能打開密碼鎖？
知識點1　分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．
定義中每一類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事．
1．若完成一件事情有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．
(1)完成這件事有多個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺一不可；
(2)每一步都有若干種方法．
2．分類加法計數原理每一類中的方法與分步乘法計數原理每一步中的方法有何區別？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． (　　)
(2)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事． (　　)
(3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．
(　　)
(4)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事． (　　)
2．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發3次，火車發4次，輪船發2次，那么一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數為________種．
3．現有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數為________種．
4．如圖，從A→B→C有________種不同的走法；從A→C有________種不同的走法．
類型1　分類加法計數原理
【例1】　(源自湘教版教材)某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節目．
(1)當這些頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？
(2)如果有3個頻道正在轉播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節目，一臺電視機共可以選看多少個不同的節目？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用分類加法計數原理解決計數問題時，首先要根據問題的特點確定一個適當的分類標準，然后根據這個分類標準進行分類．分類時還要注意兩條基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須分入相應的類；二是不同類的方法必須是互不相同的．只有滿足這兩條基本原則才可以使計數不重不漏．
[跟進訓練]
1．如圖所示，在A，B間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，那么電路不通時焊接點脫落的不同情況有(　　)
A．9種 B．11種
C．13種 D．15種
2．設集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，則方程＝1表示焦點位于x軸上的橢圓有(　　)
A．6個 B．8個
C．12個 D．16個
類型2　分步乘法計數原理
【例2】　已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的點(a，b∈M)，問：
(1)P(a，b)可表示平面上多少個不同的點？
(2)P(a，b)可表示平面上多少個第二象限的點？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．(變結論)若本例條件不變，P(a，b)可表示多少個不在直線y＝x上的點？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(變條件，變結論)從集合M中的六個數字中任選三個不重復的數字作為二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系數a，b，c，則可以組成多少條不同的拋物線？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用分步乘法計數原理的注意點
(1)要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．
(2)“步”與“步”之間是連續的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復、交叉．
(3)若完成某件事情需要n步，則必須依次完成這n個步驟后，這件事情才算完成．
[跟進訓練]
3．通信公司在某一段時間內向市場投放一批手機號碼，這一批號碼(共11位數字)的前七位是統一的，后四位都是0～9之間的一個數字，那么這一號段共有多少個不同的號碼？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　兩個計數原理的簡單應用
【例3】　現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．
(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？
[思路導引]　
(2)
(3)—
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用兩個計數原理的解題策略
用兩個計數原理解決具體問題時，首先，要分清是“分類”還是“分步”，區分分類還是分步的關鍵是看這種方法能否獨立地完成這件事情；其次，要清楚“分類”或“分步”的具體標準，在“分類”時要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時要正確設計“分步”的程序，注意步與步之間的連續性；有些題目中“分類”與“分步”同時進行，即“先分類后分步”或“先分步后分類”．
[跟進訓練]
4．某學校共有34人自愿組成數學建模社團，其中高一年級13人，高二年級12人，高三年級9人．
(1)若選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？
(2)若每個年級各選一人為組長，有多少種不同的選法？
(3)若選兩人作為社團發言人，這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．家住A地的小明同學準備周末去B地旅游，從A地到B地一天中動車組有30個班次，特快列車有20個班次，汽車有40個不同班次，則小明乘坐這些交通工具去B地的不同方法有(　　)
A．240種　B．180種　C．120種　D．90種
2．現有3名老師、8名男學生和5名女學生共16人．若需1名老師和1名學生參加評選會議，則不同的選法種數為(　　)
A．39 B．24
C．15 D．16
3．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學每個吉祥物都喜歡，若三位同學對選取的禮物都滿意，則不同的選法有(　　)
A．30種 B．50種
C．60種 D．90種
4．從2，3，5，7，11中每次選出兩個不同的數作為分數的分子、分母，則可產生不同的分數的個數是____________，其中真分數的個數是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．分類加法計數原理的最主要特點是什么？
2．應用分類加法計數原理需遵循的原則是什么？
3．區分“完成一件事”是分類還是分步的關鍵是什么？
第1課時　分類加法計數原理與分步乘法計數原理
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　m＋n
思考1　提示：共有m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
知識點2　m×n
思考2　提示：分類加法計數原理每一類中的方法可以完成這件事，而分步乘法計數原理中每一步的方法不能獨立完成這件事．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
提示：(1)在分類加法計數原理中，分類標準是統一的，兩類不同方案中的方法是不能相同的．
(2)在分類加法計數原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標準分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這件事．
(3)因為在分步乘法計數原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不相同．
(4)因為在分步乘法計數原理中，要完成這件事需分兩步，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成．
2．9　[分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．]
3．12　[先從4件上衣中任取一件共4種選法，再從3條長褲中任選一條共3種選法，由分步乘法計數原理，上衣與長褲配成一套共4×3＝12(種)不同配法．]
4．4　6　[A→B→C分兩步：
第一步，A→B，有2種走法；
第二步，B→C，有2種走法．
所以A→B→C共有2×2＝4(種)走法．
A→C分兩類：
第一類，A→B→C共有4種走法；
第二類，A→C(不經過B)有2種走法．
所以A→C共有4＋2＝6(種)走法．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)當所有頻道播放的節目互不相同時，一臺電視機選看的節目可分為3類：
第一類，選看中央臺頻道的節目，有12個不同的節目；
第二類，選看本地臺頻道的節目，有10個不同的節目；
第三類，選看其他省市頻道的節目，有46個不同的節目．
根據分類加法計數原理，一臺電視機共可以選看12＋10＋46＝68(個)不同的節目．
(2)因為有3個頻道正在轉播同一場球賽，即這3個頻道轉播的節目只有1個，而其余頻道(共有(12＋10＋46－3)個)正在播放互不相同的節目，所以，一臺電視機共可以選看1＋(12＋10＋46－3)＝66(個)不同的節目．
跟進訓練
1．C　[按照可能脫落的個數分類討論．
若脫落1個，則有(1)，(4)，共2種情況；
若脫落2個，則有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種情況；
若脫落3個，則有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4種情況；
若脫落4個，則有(1，2，3，4)，共1種情況；
綜上，共有2＋6＋4＋1＝13(種)情況．]
2．A　[因為橢圓的焦點位于x軸上，所以m>n．
當m＝4時，n＝1，2，3；當m＝3時，n＝1，2；當m＝2時，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個)．]
例2　解：(1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：
第一步確定a的值，共有6種方法；
第二步確定b的值，也有6種方法．
根據分步乘法計數原理，得到P(a，b)可表示平面上6×6＝36(個)不同的點．
(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：
第一步確定a，因為a<0，所以有3種方法；
第二步確定b，因為b>0，所以有2種方法．
由分步乘法計數原理，得到P(a，b)可表示平面上3×2＝6(個)第二象限的點．
母題探究
1．解：依題意a≠b，
第一步確定a有6種方法，
第二步確定b有5種方法．
由分步乘法計數原理，不在直線y＝x上的點P(a，b)共有6×5＝30(個)．
2．解：解答本題需分三步完成，
第一步選系數a(a不能為0)，有5種選法．
第二步選系數b，有5種選法．
第三步選系數c，有4種選法．
根據分步乘法計數原理得組成拋物線的條數為5×5×4＝100．
跟進訓練
3．解：后四位中的每一位都可以從0~9這10個數字中任選一個，都有10種選法．根據分步乘法計數原理，可依次確定手機號碼的第八、九、十、十一位，那么這一號段共有10×10×10×10＝10000(個)不同的號碼．
例3　解：(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據分類加法計數原理知共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．
(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法，根據分步乘法計數原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．
(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，
所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．
跟進訓練
4．解：(1)根據題意，選其中一人為負責人，可分為3類．
第1類：選出的是高一學生，有13種選法；
第2類：選出的是高二學生，有12種選法；
第3類：選出的是高三學生，有9種選法．
由分類加法計數原理可得，共有13＋12＋9＝34(種)選法．
(2)根據題意，共分為3步．
第1步：從高一學生中選出1人，有13種選法；
第2步：從高二學生中選出1人，有12種選法；
第3步：從高三學生中選出1人，有9種選法．
由分步乘法計數原理可得，共有13×12×9＝1404(種)選法．
(3)根據題意，可分為3類．
第1類：選出的是高一、高二學生，有13×12＝156(種)選法；
第2類：選出的是高一、高三學生，有13×9＝117(種)選法；
第3類：選出的是高二、高三學生，有12×9＝108(種)選法．
由分類加法計數原理可得，共有156＋117＋108＝381(種)選法．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．D　[根據分類加法計數原理，共有30＋20＋40＝90(種)不同方法．]
2．A　[先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學生中任選1名，有13種選法．由分步乘法計數原理知，不同的選法種數為3×13＝39．]
3．B　[①若甲同學選擇牛，則乙同學有2種選擇，丙同學有10種選擇，不同的選法種數為2×10＝20；②若甲同學選擇馬，則乙同學有3種選擇，丙同學有10種選擇，不同的選法種數為3×10＝30．綜上，總共有20＋30＝50(種)不同的選法．故選B．]
4．20　10　[產生分數可分兩步：第一步，產生分子有5種方法；第二步，產生分母有4種方法，共有5×4＝20(個)分數．產生真分數，可分四類：第一類，當分子是2時，有4個真分數，同理，當分子分別是3，5，7時，真分數的個數分別是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10(個)真分數．]
課堂小結
1．提示：各類中的每一種方法都可以單獨完成一件事．
2．提示：標準明確、不重不漏．
3．提示：關鍵看一步能否完成這件事，若能完成則是分類，否則，就是分步．6.2　排列與組合
6.2.1　排列
學習任務 1．理解并掌握排列的概念．(數學抽象) 2．能應用排列知識解決簡單的實際問題．(邏輯推理)
在數學競賽頒獎儀式上，輔導老師和甲、乙兩名特等獎獲得者合影留念，師生三人站成一排，輔導老師在正中間時，甲在左邊和乙在左邊是相同的排列嗎？
知識點　排列的概念
1．定義：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照________排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
2．兩個排列相同的充要條件
(1)兩個排列的元素________．
(2)元素的排列順序________．
1．如何判斷一個具體問題是不是排列問題？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．同一個排列中，同一個元素能重復出現嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩個排列的元素相同，則這兩個排列是相同的排列． (　　)
(2)從六名學生中選三名學生參加數學、物理、化學競賽，共有多少種選法屬于排列問題． (　　)
(3)有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案屬于排列問題． (　　)
(4)從3，5，7，9中任取兩個數進行指數運算，可以得到多少個冪屬于排列問題．
(　　)
(5)從1，2，3，4中任取兩個數作為點的坐標，可以得到多少個點屬于排列問題．
(　　)
2．下列問題中是排列問題的是(　　)
A．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學
B．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加演講比賽
C．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學擔任歌詠比賽評委
D．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學擔任正、副班長
3．元旦來臨之際，某寢室四名同學各有一張賀年卡，并且要送給該寢室的其他一名同學，但每人都必須得到一張，則不同的送法有________種．
類型1　排列的概念
【例1】　判斷下列問題是否為排列問題．
(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；
(2)選2個小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個小組去種菜；
(4)選10人組成一個學習小組；
(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；
(6)某班40名學生在假期相互通信．
[思路導引]　
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮：
(1)“取”，檢驗取出的m個元素是否重復；
(2)“排”，檢驗取出的m個元素是否有順序性，其關鍵方法是，交換兩個位置看其結果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．
[跟進訓練]
1．從集合{3，5，7，9，11}中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和；②相除可得多少個不同的商；③作為橢圓＝1中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程；④作為雙曲線＝1中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程．這四個問題中屬于排列問題的是________．(填序號)
類型2　排列的列舉問題
【例2】　從4名運動員中選出3名參加一項比賽，并排定他們的比賽順序，有多少種不同的方法？寫出所有排序方式．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略
(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數不多的問題時，是一種比較有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按“樹狀圖”寫出排列．
[跟進訓練]
2．四個人A，B，C，D坐成一排照相有多少種坐法？寫出所有坐法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　排列問題與分步問題
【例3】　有3名大學畢業生，到5家招聘員工的公司應聘．
(1)3名大學畢業生全部被聘用，若不允許兼職，則共有多少種不同的招聘方案？(用數字作答)
(2)每家公司至多招聘一名新員工，3名大學畢業生全部被聘用，若不允許兼職，則共有多少種不同的招聘方案？(用數字作答)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　排列與分步問題的關系
(1)排列問題是分步問題；
(2)排列問題中元素不能重復選取，而在用分步乘法計數原理解決的問題中，元素是可以重復選取的．
[跟進訓練]
3．用具體數字表示下列問題．
(1)從100個兩兩互質的數中取出2個數，其商的個數；
(2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復數字的四位數的個數；
(3)有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，其分配方案的個數．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結果，其中可以看作排列問題的運算種數為(　　)
A．1 B．2　　　
C．3　　　 D．4
2．滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準備的不同的火車票種數為(　　)
A．15 B．30
C．12 D．36
3．從1，2，3中任取兩個數字組成不同的兩位數有________個．
4．6個人走進只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有________種不同的坐法．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．如何理解排列的定義？
2．兩個排列相同的充要條件是什么？
6.2.1　排列
[必備知識·情境導學探新知]
知識點　1．一定的順序　2．(1)完全相同　(2)相同
思考1　提示：(1)首先要保證元素互異性，即從n個不同元素中，取出m個不同的元素，否則不是排列問題．
(2)要保證元素的有序性，即安排這m個元素時是有序的，有序就是排列，無序則不是排列．
而檢驗它是否有序的依據是變換元素的位置，看結果是否發生變化，有變化是有序，無變化就是無序．
思考2　提示：不能，因為給出的n個元素互不相同，且抽取的m個元素是從n個元素中不重復地抽取的．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
提示：(1)因為相同的兩個排列不僅元素相同，而且元素的排列順序也相同．
(2)因為三名學生參賽的科目不同為不同的選法，每種選法與“順序”有關，屬于排列問題．
(3)因為分組之后，各組與順序無關，故不屬于排列問題．
(4)因為任取的兩個數進行指數運算，底數不同、指數不同，結果不同．結果與順序有關，故屬于排列問題．
(5)因為縱、橫坐標不同，表示不同的點，故屬于排列問題．
2．D　[從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學與從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加同一項活動，都沒有順序問題，不是排列，而擔任不同的職務是排列問題．]
3．9　[將4張賀年卡分別記為A，B，C，D，且按題意進行排列，用樹狀圖表示為：
由此可知共有9種送法．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．
(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
所以在上述各題中(2)(5)(6)屬于排列問題．
跟進訓練
1．②④　[因為加法滿足交換律，所以①不是排列問題；因為除法不滿足交換律，如≠，所以②是排列問題；若方程＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小一定，故③不是排列問題；在雙曲線＝1中不管a>b，還是a例2　解：要解決這個問題，可以分3個步驟完成．
第一步，先選定第一名比賽隊員，在4名運動員中任取1名，有4種方法；
第二步，選定第二名比賽隊員，從余下的3名運動員中任取1名，有3種方法；
第三步，選定第三名比賽隊員，從余下的2名運動員中任取1名，有2種方法．
根據分步乘法計數原理，共有4×3×2＝24(種)不同的排序方法．
若記這4名運動員分別為a，b，c，d，則24種不同的方法如圖所示．
由此可寫出所有的排序方式：
abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．
跟進訓練
2．解：按照A→B→C→D的順序安排位置，A有4種坐法，B有3種坐法，C有2種坐法，D有1種坐法，由分步乘法計數原理得，有4×3×2×1＝24(種)坐法．畫出樹狀圖．
由樹狀圖可知，所有坐法為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA．
例3　解：將5家招聘員工的公司看成5個不同的位置，從中任選3個位置給3名大學畢業生．
(1)第一名大學畢業生有5種選擇，第二名大學畢業生有5種選擇，第三名大學畢業生也有5種選擇，根據分步乘法計數原理可知不同的招聘方案共有5×5×5＝125(種)．
(2)第一名大學畢業生有5種選擇，第二名大學畢業生有4種選擇，第三名大學畢業生有3種選擇，根據分步乘法計數原理可知不同的招聘方案共有5×4×3＝60(種)．
跟進訓練
3．解：(1)從100個兩兩互質的數中取出2個數，分別作為商的分子和分母，
其商共有100×99＝9900(個)．
(2)因為組成的沒有重復數字的四位數能被5整除，所以這個四位數的個位數字一定是“0”．
故確定此四位數，只需確定千位數字、百位數字、十位數字，因此共有3×2×1＝6(個)．
(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學生安排到4家單位，
故共有5×4×3×2＝120(個)分配方案．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數做加法和乘法時，結果與兩數字位置無關，故不是排列問題．而減法、除法與兩數字的位置有關，故是排列問題．故選B．]
2．B　[對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，
因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，
因此，每張火車票對應從6個不同元素(大站)中取出2個不同元素(起點站和終點站)的一種排列，
故不同的火車票有6×5＝30(種)．]
3．6　[可組成的兩位數為12，21，13，31，23，32，共有6個．]
4．120　[坐在椅子上的3個人是走進屋子的6個人中的任意3個人，若把人看成元素，將3把不同的椅子當成不同的位置，則原問題抽象為從6個元素中取3個元素占據3個不同的位置，顯然是從6個元素中任取3個元素的排列問題，從而不同的坐法共有6×5×4＝120(種)．]
課堂小結
1．提示：無重復性，有順序性．
2．提示：元素完全相同且元素的排列順序相同．6.2.2　排列數
第1課時　排列數公式
學習 任務 1．能用計數原理推導排列數公式．(數學抽象) 2．能運用排列數公式熟練地進行相關計算．(數學運算)
2021年是中國共產黨成立100周年，1921年中國共產黨的誕生掀開了中國歷史的新篇章，百年來，黨帶領全國人民譜寫了中華民族自強不息、頑強奮進的壯麗史詩．有30位老革命家參觀完一大會址后，要在一大會址旁站成一排照相，那么這30位老革命家的排列順序有多少種？這樣的排列問題能否用一個公式來表示呢？
知識點　排列數與排列數公式
排列數定義及表示 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有________的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號表示
全排列的概念 n個不同的元素________的一個排列
階乘的 概念 正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示
排列數 公式 ＝________
階乘式＝______________(n，m∈N*，mn)
特殊情況 ＝________，1！＝________，0！＝________
排列數公式的特征：
(1)乘積是m個連續正整數的乘積；
(2)最大的因數是n，最小的因數是n－m＋1；
(3)m，n∈N*，m≤n，當m>n時不成立．
排列與排列數有何區別？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)因為排列數的階乘式是一個分式，所以其化簡的結果不一定是整數．(　　)
表示從5個不同元素中取出(5－2)個元素的所有不同的排列的個數．
(　　)
(3)若＝10×9×8×7×6，則n＝10，m＝6． (　　)
(4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n． (　　)
2．2 022×2 021×2 020×…×2 000＝(　　)
　　　　　
C．
．＝________．(用數字表示)
4．甲、乙、丙三名同學排成一排，不同的排列方法有________種．
類型1　排列數的計算
【例1】　(源自北師大版教材)計算下列排列數：
；；；．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　排列數的計算方法
(1)常用公式：排列數的乘積公式；
(2)乘積公式的逆用：連續正整數的積可以寫成某個排列數，其中最大的是排列元素的總個數，而正整數(因式)的個數是選取元素的個數；
(3)應用排列數公式的階乘形式，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量．
[跟進訓練]
1．(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)＝(　　)
C．
2．化簡＝________．
類型2　與排列數有關的求解與證明
　與排列數相關的方程或不等式
【例2】　(1)解方程；
(2)解不等式：．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用排列數公式化簡與證明
【例3】　求證：－．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算．
[跟進訓練]
3．不等式的解集為________．
4．求證：＝1·3·5·…·(2n－1)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　排列數公式的簡單應用
【例4】　某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)對于簡單的排列問題可直接代入排列數公式，也可以用樹狀圖法．
(2)對于情況較多的情形，則先進行分類，利用排列數計算，再借助加法(乘法)計數原理求解．
[跟進訓練]
5．從班委會的5名成員中選出3名分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數字作答)．
1．4×5×6×…×(n－1)×n＝(　　)
A．　　　 B．
C．n！－4！ D．
2．＝(　　)
A．12　　B．24　　C．30　　D．36
3．若，則n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
4．某高三畢業班有40人，同學之間互相給對方僅寫一條畢業留言，那么全班共寫了________條畢業留言．(用數字作答)
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能寫出排列數公式嗎？
2．排列與排列數是一回事嗎？
3．怎樣靈活選擇兩個排列數公式？
第1課時　排列數公式
[必備知識·情境導學探新知]
知識點　不同排列　全部取出　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　　n！　1　1
思考　提示：“排列”是指從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，不是數；“排列數”是指從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，是一個數．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
提示：(1)排列數是從若干個元素中取出若干個元素的排列的個數，所以排列數一定是整數．
(2)表示從5個不同元素中取出2個元素的所有不同的排列的個數．
(3)在中，m表示連乘因數的個數，所以n＝10，m＝5．
(4)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n．故正確．
2．C　[因為2022－2000＋1＝23，所以2022×2021×2020×…×2000＝．]
3．120　[＝5×4×3×2＝120．]
4．6　[由排列定義得，共有＝6種排列方法．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)＝15×14×13＝2730；
(2)＝50×49×48＝117600；
(3)＝5！＝120；
(4)＝6＝720．
跟進訓練
1．B　[因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個)，
所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝．]
2．－1　[因為k＝(k＋1)，
所以原式＝1＋()＋()＋…＋()＝＋1－－1．]
例2　解：(1)由3＝4，
即，
化簡得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13．
∵0(2)原不等式可化為>，
即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，
∴x<8或x>13．
又易得2∴2故x＝3，4，5，6，7．
∴不等式的解集為{3，4，5，6，7}．
例3　證明：∵－＝
＝＝
＝m·，
∴－．
跟進訓練
3．{8}　[由題意可得，原不等式可化為<6×，化簡得1<，即x2－19x＋84<0，解得7解得24．證明：＝
＝
＝
＝1·3·5·…·(2n－1)，
故原等式成立．
例4　解：分3類：第1類，用1面旗表示的信號有種；
第2類，用2面旗表示的信號有種；
第3類，用3面旗表示的信號有種，
由分類加法計數原理，所求的信號種數是
＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15種不同的信號．
跟進訓練
5．36　[分兩步：先排文娛委員有3種選法，
再從剩余的4人中選兩人安排學習委員、體育委員有＝12(種)方法．
由分步乘法計數原理知，共有3×12＝36(種)選法．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．D　[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3(個)因式，最大數為n，最小數為4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝．]
2．D　[因為＝7×6×＝6×，所以原式＝＝36．]
3．C　[因為＝10，所以n≥3，n∈N*，
所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，
即2(2n－1)＝5(n－2)，解得n＝8．故選C．]
4．1560　[根據題意，得＝1560，故全班共寫了1560條畢業留言．]
課堂小結
1．提示：＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
(m，n∈N*，且m≤n)．
2．提示：不是一回事．一個排列是完成一件事的一種方法，排列數是指所有排列的個數．
3．提示：＝n(n－1)…(n－m＋1)適用于m已知的排列數的計算以及排列數的方程和不等式．
適用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等．第2課時　排列的綜合應用
學習任務 1．掌握幾種有限制條件的排列．(邏輯推理) 2．能應用排列知識解決簡單的實際問題．(數學運算、數學建模)
類型1　數字排列問題
【例1】　用0，1，2，3，4，5這六個數字組成無重復數字的整數，求滿足下列條件的數各有多少個．
(1)六位奇數；
(2)個位數字不是5的六位數；
(3)不大于4310的四位偶數．
[思路導引]　→
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．(變結論)若例題中的條件不變，求能被5整除的五位數有多少個？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(變結論)本例條件不變，若所有的六位數按從小到大的順序組成一個數列{an}，則240135是第幾項？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　數字排列問題的常用方法及注意事項
常用方法：主要是按“優先”原則，即優先排特殊元素或優先滿足特殊位置，若一個位置安排的元素影響到另一個位置的元素個數時，應分類討論．
注意事項：解決數字問題時，應注意題干中的限制條件，恰當地進行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”的處理．
[跟進訓練]
1．(源自人教B版教材)用0，1，2，…，9這10個數字，可以排成多少個沒有重復數字的四位偶數？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　排隊、排節目問題
　元素的“在”與“不在”問題
【例2】　從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題．
(1)甲不在首位的排法有多少種？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“在”與“不在”排列問題解題原則及方法
(1)原則：可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優先．
(2)方法：從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置．
提醒：解題時，無論是從元素考慮，還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能一會兒考慮元素，一會兒考慮位置，造成分類、分步混亂，導致解題錯誤．
　“相鄰”與“不相鄰”問題
【例3】　某次文藝晚會上共演出8個節目，其中2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節目，求分別滿足下列條件的排節目單的方法種數：
(1)一個唱歌節目開頭，另一個壓臺；
(2)兩個唱歌節目不相鄰；
(3)兩個唱歌節目相鄰且3個舞蹈節目不相鄰．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．“相鄰”問題“捆綁法”
將n個不同的元素排成一排，其中k個元素排在相鄰位置上，求不同排法的種數，具體求解步驟如下：
(1)先將這k個元素“捆綁”在一起，看成一個整體；
(2)把這個整體當作一個元素與其他元素一起排列，其排列方法有種；
(3)“松綁”，即將“捆綁”在一起的元素內部進行排列，其排列方法有種；
(4)根據分步乘法計數原理，符合條件的排法有種．
2．“不相鄰”問題“插空法”
將n個不同的元素排成一排，其中k個元素互不相鄰(k≤n－k＋1)，求不同排法的種數，具體求解步驟如下：
(1)將沒有不相鄰要求的元素共(n－k)個排成一排，其排列方法有種；
(2)將要求兩兩不相鄰的k個元素插入(n－k＋1)個空隙中，相當于從(n－k＋1)個空隙中選出k個分別分配給兩兩不相鄰的k個元素，其排列方法有種；
(3)根據分步乘法計數原理，符合條件的排法有種．
　定序問題
【例4】　7人站成一排．
(1)甲、乙、丙三人排列順序一定時，有多少種排列方法？
(2)甲在乙的左邊，有多少種排列方法？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　固定順序的排列問題的求解方法
定序問題除法策略：n個不同元素的全排列有種排法，m個特殊元素的全排列有種排法．當這m個元素順序確定時，共有種排法．
[跟進訓練]
2．某地媒體為了宣傳醫護人員A，B，C，D，E，F共6人(其中A是隊長)的優秀事跡，讓這6名醫護人員與接見他們的一位領導共7人站成一排進行拍照，則領導和隊長站兩端且B，C兩人相鄰，而B，D兩人不相鄰的站法種數為(　　)
A．36　　B．48　　C．56　　D．72
3．3名男生、4名女生站成一排照相，若甲不站中間也不站兩端，則有________種不同的站法．
4．某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相．
(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？
(2)3位老者與2位年輕人都要分別按年齡從小到大的順序出場，出場順序有多少種？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．A，B，C，D，E5人并排站成一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法有(　　)
A．60種　　B．48種　　C．36種　　D．24種
2．用1，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中奇數的個數為(　　)
A．36B．30C．40D．60
3．有5名同學被安排在周一至周五值日，已知同學甲只能在周一值日，那么這5名同學值日順序的編排方案共有(　　)
A．12種 B．24種
C．48種 D．120種
4．高三(一)班學生要安排畢業晚會的4個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求2個舞蹈節目不連排，則共有________種不同的排法．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．含有“特殊元素”的排列的解題策略是什么？
2．對于元素有特殊位置的排列的解題思想是什么？
3．對于“元素相鄰”和“元素不相鄰”的排列的解決方法是什么？
第2課時　排列的綜合應用
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)法一(特殊位置分析法)：如圖，
從個位入手：個位排奇數，即從1，3，5中選1個有種方法，首位數從排除0及個位數余下的4個數字中選1個有種方法，
由分步乘法計數原理可得，共有××＝288(個)不同的六位奇數．
法二(特殊元素分析法)：0不在兩端有種排法．從1，3，5中選1個排在個位，剩下的4個數字全排列．故所排六位奇數共有××＝288(個)．
法三(排除法)：從整體上排除：6個數字的全排列有種排法．0，2，4在個位上有3種排法，而1，3，5在個位上且0在首位上有3種排法．故符合條件的六位數有－3－3＝288(個)．
法四(排除法)：從局部上排除：個位上任選一個奇數，有種排法．其中，首位是0的情況有＝288(個)．
(2)法一(排除法)：0在首位和5在個位時均不符合題意，故符合題意的六位數共有－2＝504(個)．
法二(特殊位置分析法)：如圖，個位不排5時，分兩類：
第1類，當個位排0時，有個；
第2類，當個位不排0時，有××個．
故符合題意的六位數共有××＝504(個)．
(3)法一(直接法)：第1類，當千位上排1，3時，有××＝72(個)；
第2類，當千位上排2時，有×＝24(個)；
第3類，當千位上排4時，
形如40△2，42△0的各有個，共有2＝6(個)，
形如41△△的有×＝6(個)，
形如43△△的只有4310和4302這兩個數．
故共有72＋24＋6＋6＋2＝110(個)不大于4310的四位偶數．
法二(排除法)：四位偶數中，0在個位的有＝60(個)；
0在十位、百位的分別有×＝24個，共48個；
不含0的有×＝48(個)．
故四位偶數共有60＋48＋48＝156(個)．
其中大于4310的情況如下：形如5△△△的有×個；
形如45△△的有×個；形如435△的有個；
形如432△的只有4320一個；形如431△的只有4312一個．
故大于4310的四位偶數共有××＋1＋1＝46(個)．
因此，符合題意的四位偶數共有156－46＝110(個)．
母題探究
1．解：能被5整除的數字個位必須為0或5，若個位上是0，則有個；個位上是5，若不含0，則有個；若含0，但0不作首位，則0的位置有＝216(個)能被5整除的五位數．
2．解：由于是六位數，首位數字不能為0，首位數字為1有個數，首位數字為2，萬位上為0，1，3中的一個有3個數，所以240135的項數是＋3＋1＝193，即240135是數列的第193項．
跟進訓練
1．解：滿足條件的四位數可以分為兩類：
第一類的末位數字是0，有個．
第二類的末位數字不是0．要排成這樣的四位數，可以分成三個步驟來完成：第一步，確定末位數字，因為只能是2，4，6或8，所以有種方法；第二步，確定首位數字，因為數字不能重復，所以有種方法；第三步，確定中間兩位數字，有種方法．由分步乘法計數原理可知，這樣的數字有個．
由分類加法計數原理可知，滿足條件的四位數個數為＝9×8×7＋4×8×8×7＝41×56＝2296．
例2　解：(1)把元素作為研究對象．
第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中選出5名放在5個位置上，有種排法；
第二類，含有甲，甲不在首位，先從除首位以外的其他4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的6名同學中選出4名排在另外4個位置上，有種排法．根據分步乘法計數原理，有4×種排法．
由分類加法計數原理知，共有＋4×＝2160(種)排法．
(2)把位置作為研究對象．
第一步，從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有種方法；
第二步，從剩下的5名同學中選3名排在中間3個位置上，有種方法．
根據分步乘法計數原理，共有＝1800(種)方法．
(3)把位置作為研究對象．
第一步，從甲、乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置，有種方法；
第二步，從剩下的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有種方法．
根據分步乘法計數原理，共有＝1200(種)方法．
(4)間接法．
總的可能情況有種，減去甲在首位的種排法，再減去乙在末位的種排法，注意到甲在首位，同時乙在末位的排法數被減去了兩次，所以還需補回一次種排法，所以共有＝1860(種)排法．
例3　解：(1)先排唱歌節目有種排法，再排其他節目有種排法，所以共有＝1440(種)排法．
(2)先排3個舞蹈節目、3個曲藝節目，有種排法，再從其中7個空(包括兩端)中選2個排唱歌節目，有種插入方法，所以共有＝30240(種)排法．
(3)兩個唱歌節目相鄰，用捆綁法，3個舞蹈節目不相鄰，利用插空法，共有＝2880(種)．
例4　解：(1)法一：7人的所有排列方法有＝840(種)．
法二(插空法)：7人站定7個位置，只要把其余4人排好，剩下的3個空位，甲、乙、丙就按他們的順序去站，只有一種站法，故有＝7×6×5×4＝840(種)．
(2)甲在乙的左邊的7人排列數與甲在乙的右邊的7人排列數相等，而7人排列數恰好是這二者之和，因此滿足條件的有＝2520(種)．
跟進訓練
2．D　[根據題意，可分兩步進行分析，第一步，領導和隊長站在兩端，有＝2(種)站法；第二步，安排中間5人，分兩種情況討論：①若B，C相鄰且C，D相鄰，有＝12(種)站法；②若B，C相鄰且均不與D相鄰，有＝24(種)站法．故中間5人有12＋24＝36(種)站法．故領導和隊長站兩端且B，C兩人相鄰，而B，D兩人不相鄰的站法共有2×36＝72(種)．故選D．]
3．2880　[第一步，安排甲，在除中間、兩端以外的4個位置上任選一個位置安排，有種排法．
第二步，安排其余6名，有種排法．
由分步乘法計數原理知，共有＝2880(種)不同排法．]
4．解：(1)5位嘉賓無約束條件的全排列有種，由于3位老者的排列順序已定，因此滿足3位老者按年齡從大到小的順序出場，出場順序有＝20(種)．
(2)設符合條件的排法共有x種，
用(1)的方法可得x··，
解得x＝＝10．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．D　[把A，B視為一人，且B排在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，故有＝24(種)排法．]
2．A　[奇數的個位數字為1，3或5，所以個位數字的排法有·＝3×4×3＝36(個)．]
3．B　[因為同學甲只能在周一值日，所以除同學甲外的4名同學將在周二至周五值日，所以5名同學值日順序的編排方案共有＝24(種)．]
4．3600　[先排4個音樂節目和1個曲藝節目，共有種方法，再將2個舞蹈節目排在形成的6個空中，共有×＝3600(種)不同的排法．]
課堂小結
1．提示：采用“元素分析”法，即以元素為主，優先考慮特殊元素的要求．
2．提示：以位置為主，優先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．
3．提示：元素相鄰問題采用“捆綁”法，不相鄰問題采用“插空”法．第1課時　組合與組合數公式
學習任務 1．理解組合的概念，正確認識組合與排列的區別與聯系．(數學抽象) 2．掌握組合數公式，并會應用公式求值．(數學運算)
高考不分文理科后，思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6大科目是選考的，如果考生可以從中任選3科作為自己的高考科目，那么選考的組合方式一共有多少種可能的情況呢？
如果用{思想政治，歷史，地理}表示其中一種選考的組合，你能用類似的方法表示出所有的組合方式嗎？你有更簡單的表示方法嗎？
知識點1　組合的概念
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
1．怎樣理解組合，它與排列有何區別？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　組合數及組合數公式
1．組合數的概念
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的________的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號________表示．
2．組合數公式
乘積式：
＝_________________．
階乘式：＝_____________．
規定：＝________．
2．“組合”與“組合數”是同一概念嗎？它們有什么區別？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列選項是組合問題的是(　　)
A．從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學去參加兩個社區的人口普查，有多少種不同的選法
B．從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學，有多少種不同的選法
C．3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法
D．4本相同的書分給4名同學，每人一本，有多少種分配方法
．＝________；－＝________．
3．已知a，b，c，d這四個元素，則每次取出2個元素的所有組合為________．
類型1　組合的概念
【例1】　判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環比賽，共需比賽多少場？
(2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？
(3)從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？
(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個問題是不是組合問題的方法技巧
區分排列與組合的關鍵是看結果是否與元素的順序有關，與順序有關即為排列問題，與順序無關為組合問題．
[跟進訓練]
1．判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)設集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？
(2)某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種車票？多少種票價？
(3)2023年元旦期間，某班10名同學互送賀年卡，表示新年的祝福，賀年卡共有多少張？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　列舉具體問題的組合
【例2】　(源自湘教版教材)平面上有5個不同的點A，B，C，D，E，以其中兩個點為端點的線段共有多少條？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　寫組合時，一般先將元素按一定的順序排好，然后按照“順序后移法”或“樹形圖法”逐個將各個組合表示出來．
[跟進訓練]
2．已知A，B，C，D，E五個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用組合數公式化簡、求值與證明
　利用組合數公式化簡、求值
【例3】　計算：
＋；
－；
(3)已知，求．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用組合數公式證明
【例4】　求證：．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)兩個組合數公式在使用中的用途有所區別．
(2)在解有關組合數的方程或不等式時，必須注意隱含條件，即中的n為正整數，m為自然數，且n≥m．因此求出方程或不等式的解后，要進行檢驗，將不符合的解舍去．
[跟進訓練]
3．計算：－．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．求證：．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型4　簡單的組合問題
【例5】　現有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．
(1)現要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？
(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有多少種不同的選法？
(3)現要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區別在于排列問題與取出的元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關；其次要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類與分步時，一定要注意有無重復和遺漏．
[跟進訓練]
5．一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人．問：
(1)這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？
(2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練有多少種方法做這件事情？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．以下四個選項，屬于組合問題的是(　　)
A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列
B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌
C．在電視節目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星
D．從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地
2．計算：＋＝(　　)
A．8　　　B．10　　　C．12　　　D．16
3．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有(　　)
A．種　　　　B．種　　　　C．種　　　　D．30種
4．若，則n＝________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能寫出本節課學習的公式嗎？
2．區分一個問題是排列問題還是組合問題的關鍵是什么？
3．寫組合時可采取什么方法？
把相同物品分給不同對象的分法種數
把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，共有多少種不同的分法？
由于每個籃球都相同，因此只要指出每人所得籃球的個數即可，比如，甲得2個、乙得3個、丙得3個、丁得0個，就是一種滿足條件的分法．可能有人會想到通過列舉來求解上述問題，但是，經過簡單的嘗試之后，你就會發現，這個問題可能比想象中的難．
注意到每一種滿足條件的分法本質上就是把8個球分為了4堆，為此可借助3塊隔板來實現．例如，前述滿足條件的分法可以用圖1表示，其中第一塊隔板前的籃球是分給甲的，第一塊和第二塊隔板之間的籃球是分給乙的，第二塊和第三塊隔板之間的籃球是分給丙的，第三塊隔板后的籃球是分給丁的．
容易知道，任何一種類似圖1的排列都對應一種分法，例如，圖2對應的分法為：甲得1個，乙得0個，丙得0個，丁得7個．
這樣一來，問題就轉化為8個相同的籃球和3塊相同的隔板，可以有多少種不同的排列方法．
因為總共有8＋3＝11個位置，而且我們只需要從這11個位置中選出3個放置隔板(其余放置籃球)即可，因此不同的排列方法種數為
＝165．
也就是說，我們有165種不同的分法．
有意思的是，如果設甲、乙、丙、丁4人所得籃球個數分別為x1，x2，x3，x4，則不難看出，我們得到了方程
x1＋x2＋x3＋x4＝8
的非負整數解(x1，x2，x3，x4)個數為165．
類似地，可以得到把n個相同的物品分給r個不同對象的方法數(其中r和n均為正整數)，也就是方程x1＋x2＋…＋xr＝n的非負整數解(x1，x2，…，xr)的個數，請自己嘗試一下吧！
6.2.3　組合
6.2.4　組合數
第1課時　組合與組合數公式
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　一組
思考1　提示：(1)組合要求n個元素是不同的，被取的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出．
(2)取出的m個元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求，無序性是組合的特點．
(3)辨別一個問題是排列問題還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換某一問題中某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題，否則就是組合問題．
知識點2　1．所有不同組合　
2．　(n，m∈N*，并且m≤n)　(n，m∈N*，并且m≤n)　1
思考2　提示：“組合”與“組合數”是兩個不同的概念，組合是指“從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素作為一組”，它不是一個數，而是具體的一組對象；組合數是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數”，它是一個數．
課前自主體驗
1．BD　[AC與順序有關，是排列問題，BD與順序無關，是組合問題．]
2．(1)15　(2)9　[(1)＝15．
(2)＝4×3－＝12－3＝9．]
3．ab，ac，ad，bc，bd，cd　[可按a→b→c→d順序寫出，即
所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)單循環比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題．
(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題．
(3)3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題．
(4)3人參加某項活動，沒有順序，是組合問題．
跟進訓練
1．解：(1)因為本問題與元素順序無關，故是組合問題．
(2)因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題；但票價與順序無關，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題．
(3)甲寫給乙賀卡，與乙寫給甲賀卡是不同的，所以與順序有關，是排列問題．
例2
解：如圖所示，以A為端點，到其余四點的線段有4條：AB，AC，AD，AE．
A不是端點，以B為端點之一，到其余三點的線段有3條：BC，BD，BE；
A，B都不是端點，C為端點之一，到其余兩點的線段有2條：CD，CE；
A，B，C都不是端點，剩下兩點D，E為端點的線段只有1條：DE．
共有4＋3＋2＋1＝10(條)不同的線段．
跟進訓練
2．解：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序寫出，即
所以所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．
例3　解：(1)＝35＋35＝70．
(2)×1－1＝252－1＝251．
(3)由，
得，
∴1－，
即n2－23n＋42＝0，
解得n＝2或n＝21，又0≤n≤5，∴n＝2，
∴＝28．
例4　證明：因為右邊＝·＝左邊，
所以原等式成立．
跟進訓練
3．解：·×3×2×1－＝10×9×8－＝720－120＝600．
4．證明：因為m＝m·
＝＝n·＝n，
所以原等式成立．
例5　解：(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數，就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數，即＝45(種)．
(2)可把問題分兩類情況：
第1類，選出的2名是男教師有種方法；
第2類，選出的2名是女教師有種方法．
根據分類加法計數原理，共有＝15＋6＝21(種)不同的選法．
(3)從6名男教師中選2名的選法有種，從4名女教師中選2名的選法有種．根據分步乘法計數原理，共有不同的選法×＝15×6＝90(種)．
跟進訓練
5．解：(1)由于上場學員沒有角色差異，所以可以形成的學員上場方案種數為＝12376．
(2)教練員可以分兩步完成這件事情：
第1步，從17名學員中選出11人組成上場小組，共有種選法；
第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有種選法．
所以教練做這件事情的方法種數為×＝136136．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題．]
2．B　[＋4＝6＋4＝10．]
3．B　[三張票沒區別，從10人中選3人即可，即．]
4．3　[由＝120，
得2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝120×，
即n2－2n－3＝0，解得n＝－1或n＝3，
因為n≥2，所以n＝3．]
課堂小結
1．提示：①(n，m∈N*，且m≤n)；②＝1．③；④．
2．提示：關鍵是看它有無順序，有順序的是排列問題，無順序的是組合問題．
3．提示：可采用“順序后移法”或“樹形圖法”．第2課時　組合的綜合應用
學習任務 1．能應用組合知識解決有限制條件的組合問題．(邏輯推理) 2．掌握解決組合實際問題的常用方法．(邏輯推理)
類型1　有限制條件的組合問題
【例1】　3.15消費者權益日，工商局對35件奶制品進行抽樣調查，已知其中有15件不合格．現從35件奶制品中選取3件．
(1)其中不合格品A必須在內，不同的取法有多少種？
(2)其中不合格品B不能在內，不同的取法有多少種？
(3)恰有2件不合格品在內，不同的取法有多少種？
(4)至少有2件不合格品在內，不同的取法有多少種？
(5)至多有2件不合格品在內，不同的取法有多少種？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　有限制條件的兩類組合問題
(1)“含”與“不含”問題，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數．
(2)“至多”“至少”問題，常有兩種解決思路．一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏．
正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語的確切含義是解決這些組合問題的關鍵．
[跟進訓練]
1．現有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．按下列要求各有多少種不同的選法？
(1)選出2名教師參加會議，恰有1名男教師；
(2)選出2名教師參加會議，至少有1名男教師；
(3)選出2名教師參加會議，至多有1名男教師．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　幾何中的組合問題
【例2】　如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4．
(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含點C1的有多少個？
(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．
(2)解決幾何圖形中的組合問題，首先應注意運用處理組合問題的常規方法解決，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理．
[跟進訓練]
2．平面內有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線．以這些點為頂點，可構成多少個不同的三角形？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　排列與組合的綜合問題
　選派問題
【例3】　(2023·黑龍江省哈九中月考)有4名男醫生，3名女醫生，從中選2名男醫生，1名女醫生到3個不同地區巡回醫療，但規定男醫生甲不能到地區A，則不同的分派方案共有________種．(用數字作答)
[思路導引]　
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[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　選派問題的解題策略
(1)求解選派問題時，要認真審題，把握問題的實質，分清是排列還是組合問題，并注意結合分類與分步兩個原理，要按元素的性質確定分類的標準，按事情的發生過程確定分步的順序．
(2)解選派問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列．因此很多同類型試題都可轉化為選派問題進行求解．
(3)對于有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，然后考慮是分類還是分步，這是處理選派問題的一般方法．
　“多面手”問題
【例4】　(2023·上海市延安中學期末)有8名劃船運動員，其中3人只會劃左舷，3人只會劃右舷，其他2人既會劃左舷又會劃右舷，現要從這8名運動員中選出6人平均分在左、右舷參加劃船比賽，則不同的選法共有________種．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決“多面手”問題時，依據“多面手”參加的人數和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理．
[跟進訓練]
3．(2023·海南省瓊海市期中)某單位需派人同時參加甲、乙、丙三個會議，甲需2人參加，乙、丙各需1人參加，從6人中選派4人參加這三個會議，不同的安排方法共有________種．(用數字作答)
4．某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一個口袋中裝有大小相同的6個白球和4個黑球，從中取2個球，則這2個球同色的不同取法有(　　)
A．27種 B．24種
C．21種 D．18種
2．(多選)某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加社會公益活動．若選出的4人中既有男生又有女生，則(　　)
A．若選1男3女有4種
B．若選2男2女有18種
C．若選3男1女有16種
D．共有34種不同的選法
3．4名畢業生到兩所不同的學校實習，每名畢業生只能選擇一所學校實習，且每所學校至少有一名畢業生實習，其中甲、乙兩名畢業生不能在同一所學校實習，則不同的安排方法為(　　)
A．12　　　 B．10
C．8　　　 D．6
4．在同一個平面內有一組平行線共8條，另一組平行線共10條，這兩組平行線相互不平行．
(1)它們共能構成________個平行四邊形；
(2)共有________個交點．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．解決有限制條件的組合問題常用方法有哪些？
2．解決有限制條件的組合問題的原則是什么？
3．“分組”問題與“分配”問題是一回事嗎？
中國古代的排列組合
我國古代有許多與排列組合有關的有趣例子．
古老的《周易》中有一種叫作“易卦”的圖形，它是由兩種不同的線條每次取6條由下至上重疊而成(如圖1)．連續的線條叫作陽爻，斷開的線條叫作陰爻，陽爻與陰爻統稱為爻．每一個易卦都由6個爻組成，每一爻都有取陽爻或取陰爻兩種方法，所以，易卦共有2×2×2×2×2×2＝26＝64(個)．
《史記》里記載了一個“田忌賽馬”的故事．齊王經常和他的大臣田忌賽馬，雙方各有上馬、中馬、下馬一匹，每次比賽時三匹馬各出場一次，一對一地進行比賽，共賽三場，每場賭注為一千金．田忌的馬與齊王的馬相比略有遜色．田忌的上馬不敵齊王的上馬，但勝過齊王的中馬和下馬；田忌的中馬不敵齊王的上馬和中馬，但勝過齊王的下馬．開始，田忌總是用自己的上馬、中馬和下馬分別去對齊王的上馬、中馬和下馬，屢戰屢敗．后來田忌的謀士孫臏分析了比賽共有3！＝6(種)可能的結果，其中只有一種對田忌有利．于是孫臏讓田忌用下馬對齊王的上馬，用中馬對齊王的下馬，用上馬對齊王的中馬，結果兩勝一負，反而贏得一千金．
唐代科學家僧一行(683－727)和宋代科學家沈括(1031－1095)都曾經討論過圍棋可能出現的局勢總數問題，其結果是一個天文數字．圍棋盤縱橫各有19路，共19×19＝361(個)格．每個格點都有“黑子”“白子”“無子”3種可能，因而有3361種不同的棋局．當然這只是理論上的，有些棋局不合棋理，不大可能出現在實際對弈中．但世事無絕對，圖2展現的人工智能程序AlphaGo與人對弈的一盤棋，它的很多下法讓專業棋手大吃一驚．這說明在“大數據”面前，人類的計算力處于劣勢，因此不能僅憑經驗去否定掉一些看似價值不大的數據．
第2課時　組合的綜合應用
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：(1)從余下的34件奶制品中，
選取2件有＝561(種)取法，
所以不合格品A必須在內的不同取法有561種．
(2)從34件可選奶制品中，選取3件，
有＝5984(種)取法．
所以不合格品B不能在內的不同取法有5984種．
(3)從20件合格品中選取1件，從15件不合格品中選取2件，有＝2100(種)取法．
所以恰有2件不合格品在內的不同取法有2100種．
(4)選取2件不合格品，1件合格品有種取法，選取3件不合格品有＝2100＋455＝2555種．
所以至少有2件不合格品在內的不同取法有2555種．
(5)法一(間接法)：選取3件奶制品的取法總數為，選取3件不合格品的取法總數為＝6545－455＝6090種．
所以至多有2件不合格品在內的不同取法有6090種．
法二(直接法)：共有選取方法＝6090種．
所以至多有2件不合格品在內的不同取法有6090種．
跟進訓練
1．解：(1)2名教師中恰有1名男教師，則選出1男1女，有＝6×4＝24(種)不同選法．
(2)法一(直接法)：至少有1名男教師可分兩類：1男1女有種選法，2男0女有種選法．根據分類加法計數原理，共有＝39(種)不同選法．
法二(間接法)：選出2名教師參加會議，至少有1名男教師，也就是從10名教師中選出2名教師參加會議的選法種數減去2名都是女教師的選法種數，即＝39(種)．
(3)法一(直接法)：至多有1名男教師包括兩類：1男1女有種選法，0男2女有種選法．由分類加法計數原理，有＝30(種)選法．
法二(間接法)：選出2名教師參加會議，至多有1名男教師，也就是從10名教師中選出2名教師參加會議的選法種數減去2名都是男教師的選法種數，即＝30(種)．
例2　解：(1)法一：可作出三角形··＝116(個)．
其中以C1為頂點的三角形有·＝36(個)．
法二：可作三角形＝116(個)，
其中以C1為頂點的三角形有·＝36(個)．
(2)可作出四邊形··＝360(個)．
跟進訓練
2．解：法一：以從共線的4個點中取點的多少作為分類標準．
第1類：共線的4個點中有2個點為三角形的頂點，共有＝48(個)不同的三角形；
第2類：共線的4個點中有1個點為三角形的頂點，共有＝112(個)不同的三角形；
第3類：共線的4個點中沒有點為三角形的頂點，共有＝56(個)不同的三角形．
由分類加法計數原理知，不同的三角形共有
48＋112＋56＝216(個)．
法二：從12個點中任意取3個點，有＝220種取法，而在共線的4個點中任意取3個均不能構成三角形，即不能構成三角形的情況有＝4(種)．
故這12個點能構成三角形的個數為＝216(個)．
例3　90　[法一：分兩類完成．
第一類：甲被選中，有＝36(種)分派方案．
第二類：甲不被選中，有＝54(種)分派方案．
根據分類加法計數原理，分派方案共有36＋54＝90(種)．
法二：分兩類完成．
第一類：地區A分派女醫生，有種分派方案．
第二類：地區A分派除醫生甲之外的男醫生，有＝54(種)分派方案．
根據分類加法計數原理，分派方案共有36＋54＝90(種)．]
例4　37　[設集合A＝{只會劃左舷的3人}，B＝{只會劃右舷的3人}，C＝{既會劃左舷又會劃右舷的2人}．先分類，以集合A為基準，被選出劃左舷的3個人中，有以下幾類情況：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人．
第①類情況中，由于劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在集合B，C中選3人，有種選法，同理可得第②③④類情況的選法種數．故不同的選法共有＝37(種)．]
跟進訓練
3．180　[法一：先從6人中選出2人參加會議甲，再從余下的4人中選出1人參加會議乙，最后從剩下的3人中選出1人參加會議丙．根據分步乘法計數原理，不同的安排方法共有＝180(種)．
法二：先從6人中選出2人參加會議甲，再從余下的4人中選出2人分別參加會議乙、丙．根據分步乘法計數原理，不同的安排方法共有＝180(種)．
法三：先從6人中選出4人，其中2人參加會議甲，另外2人分別參加會議乙、丙．
根據分步乘法計數原理，得不同的安排方法共有＝180(種)．]
4．解：分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，
此時選法有＝75(種)；
第二類，選出的4名鉗工中有1名“多面手”，
此時選法為＝100(種)；
第三類，選出的4名鉗工中有2名“多面手”，
此時選法為＝10(種)．
由分類加法計數原理得，共有75＋100＋10＝185(種)不同的選法．
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．C　[分兩類：一類是2個白球有＝15(種)取法，另一類是2個黑球有＝6(種)取法，所以共有15＋6＝21(種)取法．]
2．ABD　[若選1男3女有＝4(種)；若選2男2女有＝18(種)；若選3男1女有＝12(種)，所以共有4＋18＋12＝34(種)不同的選法．]
3．C　[根據題意，先安排甲、乙，由于甲、乙不能在同一所學校，則有2種分配方法，然后分配剩余的兩人，每人有2種方法，則共有2×2＝4(種)不同的方法，由分步乘法計數原理，可得符合條件的共2×4＝8(種)．故選C．]
4．(1)1260　(2)80　[(1)第一組中每兩條與另一組中的每兩條直線均能構成一個平行四邊形，故共有＝1260(個)．
(2)第一組中每條直線與另一組中每條直線均有一個交點，所以共有＝80(個)．]
課堂小結
1．提示：直接法、間接法．
2．提示：先特殊后一般，先選后排，先分類后分步．
3．提示：不是一回事，分組屬于組合問題，分配屬于排列問題．6.3　二項式定理
6.3.1　二項式定理
學習任務 1．能用計數原理證明二項式定理．(數學抽象) 2．掌握二項式定理及其二項展開式的通項公式．(數學運算) 3．能解決與二項式定理有關的簡單問題．(邏輯推理、數學運算)
我們知道
(a＋b)1＝a＋b，　　
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
而且
(a＋b)3　　　　　　
＝(a＋b)2(a＋b)
＝(a2＋2ab＋b2)(a＋b)
＝a3＋a2b＋2a2b＋2ab2＋b2a＋b3
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．
容易看到，上述得到(a＋b)3的展開式的過程是煩瑣的，如果要用這樣的方法去得到(a＋b)10，(a＋b)20等的展開式是很麻煩的．那么我們有沒有其他辦法來得出(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3呢？
知識點1　二項式定理
(a＋b)n＝，n∈N*．
(1)這個公式叫做二項式定理．
(2)展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有___________項．
(3)二項式系數：各項的系數(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數．
(1)次數：各項的次數和都等于二項式的次數n；
(2)順序：字母a按降冪排列，次數由n遞減到0，字母b按升冪排列，次數由0遞增到n．
知識點2　二項展開式的通項公式
(a＋b)n展開式的第________項叫做二項展開式的通項，記作Tk＋1＝________．
二項式定理中，項的系數與二項式系數相同嗎，為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)(a＋b)n展開式中共有n項． (　　)
(2)在二項式定理公式中，交換a，b的順序對各項沒有影響． (　　)
an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項． (　　)
(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項展開式的二項式系數相同． (　　)
2．(x＋y)n的展開式共有10項，則n等于_________________．
3．(y－2x)8的展開式中第6項的二項式系數為________．(用數字表示)
4．(x＋2)6的展開式中x3的系數是________．(用數字作答)
類型1　二項式定理的正用、逆用
【例1】　的值為(　　)
A．1　　　B．－1　　　C．(－1)n　　D．3n
(2)求的展開式．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　運用二項式定理的解題策略
(1)正用：求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開，展開時注意二項展開式的特點：前一個字母是降冪，后一個字母是升冪．形如(a－b)n的展開式中會出現正負間隔的情況．對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開．
(2)逆用：逆用二項式定理可將多項式化簡，對于這類問題的求解，要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項的系數．
[跟進訓練]
1．求的展開式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．化簡：(x＋1)n－(x＋1)n-1＋(n＋1)n-2－…＋(x＋1)n－k＋…＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　二項展開式通項的應用
　項的系數與二項式系數
【例2】　(源自湘教版教材)計算(x＋2y)9的展開式中第5項的系數和二項式系數．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求某項的二項式系數、系數或展開式中含xk的項的系數，主要是利用通項公式求出相應的項，特別要注意某項二項式系數與系數兩者之間的區別．
　求展開式中的特定項
【例3】　已知展開式中第3項的系數比第2項的系數大162．
(1)求n的值；
(2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．(變設問)在本例條件不變的情況下，求二項展開式的常數項．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(變設問)在本例條件不變的情況下，求二項展開式的所有有理項．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求二項展開式的特定項的常用方法
(1)對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)．
(2)對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是整數的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解．
(3)對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數應是非負整數，求解方式與求有理項一致．
　利用二項展開式的通項求參數
【例4】　二項式(m＞0)的展開式中常數項為60，則m＝(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D．3
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二項式中的參數求解問題，一類是借助二項式定理的通項公式求解，需要注意的是展開式中第k＋1項的二項式系數與第k＋1項的系數是不同的，特別要注意符號；另一類是利用二項式系數或特定項求指數n，要注意n為正整數．
[跟進訓練]
3．在的展開式中，含x-2的項的二項式系數為________．
4．已知二項式的展開式中x3的系數是－84，則a＝________．
5．(源自人教B版教材)求的展開式中常數項的值和對應的二項式系數．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　較復雜的二項式定理的應用
【例5】　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為______(用數字作答)．
(2)(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對于兩個二項式乘積的展開或三項式展開問題，所用解法一般為二項式定理展開，或將三項式轉化為二項式．
[跟進訓練]
6．在(x－2＋y)6的展開式中，x2y2的系數為(　　)
A．360　　B．180　　C．90　　D．－180
7．的展開式中的常數項為________．
1．化簡2＋22＋…＋210等于(　　)
A．210－1　　　　　　　 B．310－1
C．210＋1 D．310＋1
2．在的展開式中，常數項為(　　)
A．－60　　　B．－15 C．15　　　D．60
3．在的展開式中，第4項的二項式系數是________，第4項的系數是________．
4．在5的展開式中，常數項等于________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能寫出本節課所學的公式嗎？
2．你能寫出(a－b)n的展開式的通項嗎？
3．(a＋b)n與(b＋a)n的展開式相同嗎？第k＋1項相同嗎？
6.3.1　二項式定理
[必備知識·情境導學探新知]
知識點1　an＋an-1b1＋…＋an-kbk＋…＋bn　(2)n＋1
知識點2　k＋1　an-kbk
思考　提示：二項式系數與項的系數是完全不同的兩個概念．二項式系數是指，它只與各項的項數有關，而與a，b的值無關，而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，而且也與a，b的值有關．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．9　[因為(a＋b)n的展開式共有n＋1項，所以n＋1＝10，n＝9．]
3．56　[由題意可知，Tk+1＝y8-k(－2x)k＝(－2)kxky8-k，
當k＝5時，二項式系數為＝56．]
4．160　[(x＋2)6的展開式的通項公式為Tk+1＝·2k·x6-k，
令6－k＝3，可得k＝3，故展開式中x3的系數是·23＝160．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)C　[1－2＋4－8＋16＋…＋(－2)n＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n．]
(2)解：法一：法一：．
法二：＝(2x－1)4
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋．
跟進訓練
1．解：＝(2x)5＋(2x)4＋(2x)3＋(2x)2(2x)1＋
＝32x5－120x2＋．
2．解：原式＝(x＋1)n＋(x＋1)n-1(－1)＋(x＋1)n-2(－1)2＋…＋(x＋1)n-k(－1)k＋…＋(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn．
例2　解：(x＋2y)9的展開式的第5項是
T5＝T4+1＝·x9-4·(2y)4＝·24·x5y4，
所以展開式中第5項的系數是·24＝2016，第5項的二項式系數是＝126．
例3　解：(1)因為T3＝)n-2＝4，
T2＝)n-1＝－2，
依題意，得4＋2＝162，所以2＝81，
所以n2＝81，n＝9．
(2)設第k＋1項含x3項，
則Tk+1＝)9-k＝(－2)k，
所以＝3，k＝1，
所以第2項為含x3的項，T2＝－2x3＝－18x3．
二項式系數為＝9．
母題探究
1．解：的展開式的通項為Tk＋1＝，
由＝0，得k＝3．
∴展開式中的常數項為＝－672．
2．解：由題意可得
故k可取1，3，5，7，9．
故二項展開式的所有有理項為
T2＝(－2)x3＝－18x3；
T4＝(－2)3x0＝－672；
T6＝(－2)5x-3＝－4032x-3；
T8＝(－2)7x-6＝－4608x-6；
T10＝(－2)9x-9＝－512x-9．
例4　A　[二項式的展開式的通項為Tk＋1＝·(－1)k
＝m6-kx6-3k·(－1)k，0≤k≤6，且k∈N．
令6－3k＝0，得k＝2，
所以m6-2(－1)2＝60，即15m4＝60．
又m＞0，所以m＝．]
跟進訓練
3．1　[由題意可知：Tk+1＝(3)k＝3k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，
令3－k＝－2，解得k＝6，
所以含x-2的項的二項式系數為＝1．]
4．1　[的展開式的通項為Tk＋1＝x9-k(－a)k·
＝·(－a)kx9-2k(0≤k≤9，k∈N)．
當9－2k＝3時，解得k＝3，
代入得x3的系數為(－a)3＝－84，解得a＝1．]
5．解：因為6，所以展開式中的第k＋1項為Tk＋1＝k＝＝26-kx3-k．
要得到常數項，必須有3－k＝0，從而有k＝3，因此常數項是第4項，且T4＝26-3x3-3＝160．
從而可知常數項的值為160，其對應的二項式系數為＝20．
例5　(1)－28　(2)30　[(1)因為(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，
所以(x＋y)8的展開式中含x2y6的項為x2y6－x3y5＝－28x2y6，
所以(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為－28．
(2)(x2＋x＋y)5的展開式的通項為Tr+1＝(x2＋x)5-ryr，令r＝2，則T3＝(x2＋x)3y2．又(x2＋x)3的展開式的通項為(x2)3-kxk＝x6-k，令6－k＝5，則k＝1．所以x5y2的系數為＝30．]
跟進訓練
6．A　[(x－2＋y)6＝[x＋(y－2)]6展開后的通項為Tr+1＝·x6-r·(y－2)r，而(y－2)r展開后的通項為Tk+1＝·yr-k·(－2)k，令r＝4，k＝2，可得x2y2的系數為(－2)2＝360．]
7．20　[∵，∴展開式的通項為Tk＋1＝＝x6-2k，
令6－2k＝0，得k＝3．
∴常數項為＝20．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[由20＋2＋22＋…＋210＝(1＋2)10＝310，
所以2＋22＋…＋210＝310－1．故選B．]
2．D　[的展開式的通項為Tk＋1＝，令6－3k＝0，得k＝2，所以的展開式中常數項為＝60，故選D．]
3．84　－　[的展開式的通項為Tk＋1＝·(x2)9-k··x18-3k，當k＝3時，T4＝x9，所以第4項的二項式系數為＝84，項的系數為－．]
4．9　[二項式(＋1)5的展開式的通項為Tk+1＝)5-k＝(k＝0，1，2，…，5)，
∴5的展開式中的常數項為＋＝10－1＝9．]
課堂小結
1．提示：①二項式定理(a＋b)n＝an＋an-1b＋…＋an-kbk＋…＋bn．
②二項展開式的通項：第k＋1項Tk+1＝an-kbk．
2．提示：Tk+1＝(－1)kan-kbk．
3．提示：展開式相同，第k＋1項不同．(a＋b)n的展開式第k＋1項為Tk+1＝an-kbk，而(b＋a)n的展開式第k＋1項為Tk+1＝bn-kak．6.3.2　二項式系數的性質
學習任務 1．理解二項式系數的性質并靈活運用．(數學運算) 2．掌握“賦值”法并會靈活應用．(數學抽象)
我國古代數學的許多創新和發展都位于世界前列，如南宋數學家楊輝(約13世紀)所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖所示的三角形解釋(a＋b)n的展開式的各項系數．
觀察上圖，你發現上下兩行有什么關系？你能發現其他規律嗎？
知識點　二項式系數的性質
(1)對稱性：在(a＋b)n的展開式中，與________的兩個二項式系數相等，即＝＝＝．
(2)增減性與最大值：當k＜時，二項式系數隨k的增加而________．由對稱性知，當k>時隨k的增加而________，且在中間取得最大值．當n是偶數時，中間一項的二項式系數_______取得最大值；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數_______與_______相等，且同時取得最大值．
(3)各二項式系數的和
①＋＋＋…＋＝________；
②＋＋＋…＝＋＋
(a＋b)n的展開式的各二項式系數的和與a，b的值無關，因此可在展開式中令a＝1，b＝1得到．
二項式的系數取得最大值的項的系數一定是系數中最大的嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)二項展開式的二項式系數和為＋． (　　)
(2)二項展開式中項的系數是先增后減的． (　　)
(3)(3x＋2)5的展開式的二項式系數和為25＝32． (　　)
(4)二項展開式中系數最大項與二項式系數最大項相同． (　　)
2．在(x＋y)n的展開式中，第4項與第8項的系數相等，則n等于________．
3．在(a＋b)n的展開式中，只有第6項的二項式系數最大，則n等于________．
4．(2x－1)6的展開式中各項系數的和為________；各項的二項式系數的和為________．
類型1　求展開式的系數和
【例1】　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．
計算：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
(變設問)在本例條件不變的情況下，求下列各項的值．
(1)a2＋a4＋a6；
(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二項展開式中系數和的求法
(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)，
奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝…＝．
[跟進訓練]
1．已知(x＋1)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023·x2 023，則a0＋a1＋a2＋…＋a1 011＝(　　)
A．22 023　　　　　 B．22 022
C．21 011 D．21 012
2．設(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為________．
類型2　二項展開式中系數的最值問題
　二項式系數最大問題
【例2】　已知的展開式中沒有比第10項的二項式系數更大的項，求第5項．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二項式系數最大問題的切入點
當n是偶數時，展開式的中間一項的二項式系數最大；當n是奇數時，展開式的中間兩項的二項式系數最大．
　展開式系數最大問題
【例3】　的展開式中，
(1)系數絕對值最大的項是第幾項？
(2)求二項式系數最大的項；
(3)求系數最大的項；
(4)求系數最小的項．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求項的系數的最值問題的思路
求展開式中有關系數最大的問題時，要區分“項的系數最大”與“二項式系數最大”以及“最大項”等．因此，在系數均為正的前提下，求項的系數的最大值只需比較兩組相鄰兩項系數的大小，根據展開式的通項正確地列出不等式(組)即可，即設第k＋1項的系數最大(或最小)，則(或．
提醒：系數最大的項不一定是二項式系數最大的項，只有當項的系數與二項式系數相等時，二者才一致．
[跟進訓練]
3．在(3x－2y)20中，求：
(1)二項式系數最大的項；
(2)系數絕對值最大的項；
(3)系數最大的項．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　二項式定理的應用
　整除及余數問題
【例4】　(1)求證：1＋2＋22＋…＋25n-1(n∈N*)能被31整除；
(2)求S＝＋＋…＋除以9的余數．
[思路導引]　
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)利用二項式定理解決整除性問題時，關鍵是要巧妙地構造二項式，其基本思路是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只需證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可．因此，一般要將被除式化為含有相關除式的二項式，然后再展開．此時常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關知識來處理．
(2)求余數時，其結果不能為負值．
　利用二項式定理近似計算
【例5】　求1.9975精確到0.001的近似值．
[思路導引]　—
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1＋a)n的近似計算的處理方法如下：
當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因為這時展開式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不計．但是使用這個公式時應注意a的條件，以及對精確度的要求．若精確度要求較高，則可使用更精確的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等．
[跟進訓練]
4．5151被7除的余數是________．
1．在(3－5x)7的展開式中，二項式系數的最大值為(　　)
A． B．
C． D．－
2．(2－x)6的展開式中的二項式系數最大的項的系數為(　　)
A．－160 B．160
C．60 D．240
3．233除以9的余數是(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
4．的展開式中各項的二項式系數之和為______；各項的系數之和為______．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．怎樣確定二項式系數的最大值？
2．在項的系數均為正的前提下怎樣求項的系數的最大值？
6.3.2　二項式系數的性質
[必備知識·情境導學探新知]
知識點　(1)首末兩端“等距離”　(2)增大　減小　　　　(3)2n　2n-1
思考　提示：不一定．如果項的系數中還有其他的常數，則該項的系數不一定最大．
課前自主體驗
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．10　[由題意，得第4項與第8項的系數相等，則其二項式系數也相等，所以，由組合數的性質，得n＝10．]
3．10　[在(a＋b)n的展開式中，只有第6項的二項式系數最大，即中間項＋1＝6，解得n＝10．]
4．1　64　[令x＝1，得各項系數的和為1；各二項式系數之和為26＝64．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　解：令x＝1，則
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ①
令x＝－1，則
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②
(1)令x＝0得a0＝1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2．
(2)由(①－②)÷2，得
a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094．
(3)法一：(1－2x)7的展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7不大于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1093＋1094＝2187．
法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展開式中各項的系數和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187．
母題探究
解：(1)由
得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝37－1，
∴a0＋a2＋a4＋a6＝．
∵a0＝＝1，
∴a2＋a4＋a6＝－1＝1092．
(2)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
∴兩邊分別求導得
－14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋…＋7a7x6，
令x＝1，得－14＝a1＋2a2＋…＋7a7，
∴a1＋2a2＋…＋7a7＝－14．
跟進訓練
1．B　[因為(x＋1)2023＝x2023＋·x2022＋…＋x2023-k＋…＋＝a2023·x2023＋a2022x2022＋…＋a1x＋a0，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝22023，所以a0＋a1＋…＋a1011＝×22023＝22022．]
2．－15　[令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1．①
又Tk+1＝(－3)4-k(2x)k，
所以當k＝4時，x4的系數a4＝16．②
由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15．]
例2　解：依題意，的展開式的第k＋1項為Tk＋1＝n-k·，
當n為偶數時，只有第10項的二項式系數最大，即＋1＝10，則n＝18，
此時T5＝18-4＝3 060x4．
當n為奇數時，第10，11項的二項式系數最大或第9，10項的二項式系數最大，即＝10或＝9，解得n＝19或n＝17．
當n＝19時，T5＝19-4；
當n＝17時，T5＝17-4．
綜上，當n＝18時，第5項為3 060x4；當n＝19時，第5項為；當n＝17時，第5項為．
例3　解：展開式的通項Tk＋1＝·8-k·．
(1)設第k＋1項系數的絕對值最大，
則∴
解得5≤k≤6，即k＝5和k＝6．
故系數絕對值最大的項是第6項和第7項．
(2)∵n＝8，∴二項式系數最大的項為中間項，即為第5項．
∴T5＝·24·＝1120x-6．
(3)法一：由于展開式中各項的系數正負相間，因此系數最大的項必是奇數項．
設展開式中第k＋1(k為偶數)項的系數最大，
則≤k≤，
則k＝6，故展開式中系數最大的項為T7＝·26·x-11＝1792x-11．
法二：由(1)知，展開式中的第6項和第7項系數的絕對值最大，而第6項的系數為負，第7項的系數為正，故系數最大的項為T7＝·26·x-11＝1792x-11．
(4)法一：由于展開式中各項的系數正負相間，因此系數最小的項必是偶數項．
設展開式中第k＋1(k為奇數)項的系數最小，
則≤k≤，
則k＝5，故展開式中系數最小的項為T6＝(－1)5·25·＝－1792．
法二：由(1)知展開式中的第6項和第7項系數的絕對值最大，且第6項的系數為負，第7項的系數為正，故系數最小的項為T6＝(－1)5·25·＝－1792．
跟進訓練
3．解：(1)二項式系數最大的項是第11項．
T11＝·310·(－2)10x10y10＝·610·x10y10．
(2)設系數絕對值最大的項是第r＋1項，
于是
化簡得解得7≤r≤8．
因為r∈N*，所以r＝8，
即T9＝·312·28x12y8是系數絕對值最大的項．
(3)由于系數為正的項為奇數項，且第9項的系數的絕對值最大，所以T9＝·312·28x12y8是系數最大的項．
例4　解：(1)證明：∵1＋2＋22＋…＋25n-1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝×31n＋×31n-1＋…＋×31＋－1
＝31(×31n-1＋×31n-2＋…＋)，
顯然×31n-1＋×31n-2＋…＋為整數，
∴原式能被31整除．
(2)S＝＋…＋＝227－1＝89－1
＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9(×98－×97＋…＋)－2．
∵×98－×97＋…＋是正整數，
∴S被9除的余數為7．
例5　解：1.9975＝(2－0.003)5≈25－×0.003×24＋×0.0032×23＝32－0.24＋0.00072≈31.761．
跟進訓練
4．1　[由5151＝(49＋2)51＝4951＋4950×2＋…＋49×250＋251知，除251項外，其余項都能被7整除．
又251＝(23)17＝(7＋1)17＝717＋716＋…＋＝7(716＋715＋…＋)＋，知余數為1．]
[學習效果·課堂評估夯基礎]
1．B　[(3－5x)7的展開式中共有8項，中間的兩項為第4項和第5項，這兩項的二項式系數相等且最大，為．]
2．A　[因為(2－x)6的展開式有7項，所以第4項的二項式系數最大，所以(2－x)6的展開式中的二項式系數最大的項為×23(－x)3＝－160x3．]
3．A　[233＝811＝(9－1)11＝×911－×910＋×99－…＋×9－，因為除最后一項－1外，其余各項都能被9整除，故余數為9－1＝8．]
4．256　　[展開式中各項的二項式系數之和為28＝256，各項的系數之和為＝．]
課堂小結
1．提示：n為偶數時，展開式的中間一項的二項式系數最大；n為奇數時，展開式中間兩項的二項式系數最大．
2．提示：設第k＋1項的系數最大，
則數學探究　楊輝三角的性質與應用
學習 任務 1．經歷發現數學關聯、提出數學問題、得到數學結論、推理論證、綜合應用的過程，掌握數學探究活動的方法，提升數學學科核心素養． 2．經歷從類比模仿到自主創新、從局部實施到整體構想的過程，初步掌握數學課題研究的基本方法．
楊輝三角是我國數學史上的一個偉大成就，從數學角度體現了中華優秀傳統文化．閱讀《詳解九章算法》一書中的開方作法本源圖，如圖，其中蘊藏著許多數學的奧秘．
此圖為開方作法本源圖，現在楊輝算書的傳本中都沒有這個圖，只在明朝《永樂大典》(1407)抄錄的《詳解九章算法》中還保存著這份寶貴遺產．《詳解九章算法》由楊輝所著，他在書中提到“出釋鎖算書，賈憲用此術”．這說明，在我國至遲賈憲時期就已經發明了這個數字三角形．關于賈憲的生平，所知甚少．根據一些記載，只能推定賈憲著書的年代是在1023年至1050年這段時期．
知識點　楊輝三角的性質
1．如圖所示，結合楊輝三角與二項式(a＋b)n的展開式的二項式系數可發現如下性質：
第n行的n＋1個數是二項式(a＋b)n的展開式的系數；
當行數n為偶數時最大；
當行數n為奇數時和最大．
2．楊輝三角中各數字之間存在的性質
(1)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數相等，即＝，如圖1；
(2)遞歸性：除1以外的數都等于肩上兩數之和，即＝＋；
(3)第n行奇數項之和與偶數項之和相等，即＋＋＋…＝＋＋＋…，如圖2；
(4)第n行數的和為2n，即＋＋＝2n，如圖3；
(5)第n行各數平方和等于第2n行中間的數，即2＋2＋2＋…＋2＝，如圖4．
1．下面是當n＝1，2，3，4，5時，(a＋b)n(n∈N*)的展開式的二項式系數表示圖．
借助上圖，判斷λ，μ的值分別是(　　)
A．5，9　　B．5，10　　C．6，9　　D．6，10
2．如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩個數，當a＝7時，b等于(　　)
A．20 B．21 C．22 D．23
【例】　(多選)我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中給出了著名的楊輝三角，以下關于楊輝三角的猜想中正確的有(　　)
A．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和”猜想：＝＋
＋＋＋…＋＝165
C．第34行中從左到右第14與第15個數的比為2∶3
D．由“第n行所有數之和為2n”猜想：＋＋＋…＋＝2n
　解決與楊輝三角有關的問題的一般思路
(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察．
(2)找規律：通過觀察找出每一行的數之間，行與行之間的數據的規律．
(3)將數據間的這種聯系用數學式表達出來，使問題得解．
[跟進訓練]
楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列．在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開的系數規律．現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，記作數列{an}．若數列{an}的前n項和為Sn，則S47等于(　　)
A．235　　B．512　　C．521　　D．1 033
數學探究　楊輝三角的性質與應用
[必備知識·情境導學探新知]
課前自主體驗
1．D　[觀察題圖可分析出“楊輝三角”中的數的特點如下：
(1)每一行有(n＋1)個數字，每一行兩端的數字均為1；
(2)從第二行起，每一行中間的數字等于它上一行對應(即兩肩上)的兩個數字的和，
即，n，m∈N*．
所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10．故選D．]
2．C　[觀察題圖可知，從第三行開始，每一行除開始和末尾的兩個數外，中間的數分別是其兩肩上相鄰兩個數的和，當a＝7時，b的兩肩上的兩個數分別為6，16，所以b＝6＋16＝22．]
[關鍵能力·合作探究釋疑難]
例　ACD　[對于A：顯然，故A正確；
對于B：＋…＋＋…＋－1＝－1＝164，故B錯誤；
對于C：易知第n行從左到右第k個數是，則第34行從左到右第14與第15個數分別為，故C正確；
對于D：第n行所有數之和為2n，即＋…＋＝2n，故D正確．故選ACD．]
跟進訓練
C　[根據題意楊輝三角前9行共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(項)．故前47項的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個數1和9，所以前47項的和S47＝20＋21＋22＋…＋28＋1＋9＝29－1＋10＝521．]　子集的個數有多少
1．n元集合A＝{a1，a2，…，an}的子集有2n個．
2．推廣
(1)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的真子集有2n－1個．
(2)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的非空子集有2n－1個．
(3)n元集合A＝{a1，a2，…，an}的非空真子集有2n－2個．
【典例】　稱子集A M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}是“好的”，如果它有下述性質：“若2k∈A，則2k－1∈A且2k＋1∈A(k∈N)”(空集和M都是“好的”)，則M中有多少個包含2個偶數的“好的”子集？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B為集合M的非空子集，若 x∈A，y∈B，x2．設集合I＝{1，2，3，4，5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有多少種？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究課1　子集的個數有多少
典例　解：含有2個偶數的“好的”子集A，有兩種不同的情形：
①兩偶數是相鄰的，有4種可能：2，4；4，6；6，8；8，10．
每種情況必有3個奇數相隨(如2，4∈A，則1，3，5∈A)．
余下的3個奇數可能在A中，也可能不在A中，
故這樣的“好的”子集共有4×23＝32(個)．
②兩偶數不相鄰，有6種可能：2，6；2，8；2，10；4，8；4，10；6，10．
每種情況必有4個奇數相隨(如2，6∈A，則1，3，5，7∈A)．
余下的2個奇數可能在A中，也可能不在A中，
故這樣的“好的”子集共有6×22＝24(個)．
綜上所述，M中有32＋24＝56(個)包含2個偶數的“好的”子集．
對點訓練
1．17　[當A＝{1}時，B有23－1＝7(種)情況；
當A＝{2}時，B有22－1＝3(種)情況；當A＝{3}時，B有1種情況；當A＝{1，2}時，B有22－1＝3(種)情況；當A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}時，B均有1種情況，所以集合M的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個)．]
2．解：以A中最大的數為標準，進行分類討論．A中最大的數可能為1，2，3，4，共四種情況．
按分類加法計數原理做如下討論：
①當A中最大的數為1時，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24－1＝15(種)方法．
②當A中最大的數為2時，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14(種)方法．
③當A中最大的數為3時，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12(種)方法．
④當A中最大的數為4時，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有8×1＝8(種)方法．
故共有15＋14＋12＋8＝49(種)方法．

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