資源簡(jiǎn)介

第1課時(shí)　一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．(數(shù)學(xué)抽象) 2．了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法．(數(shù)學(xué)抽象) 3．針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
某地區(qū)從某一年開始進(jìn)行了環(huán)境污染整治，得到了如下數(shù)據(jù)：
第x年 1 2 3 4 5 6 7
污染指數(shù)y 6.1 5.2 4.5 4.7 3.8 3.4 3.1
作出這些成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷污染指數(shù)y與x是否線性相關(guān)？在知道y與x線性相關(guān)的前提下，你能找出近似描述y與x之間關(guān)系的一次函數(shù)表達(dá)式嗎？根據(jù)所得到的關(guān)系式，你能估計(jì)出該地區(qū)第8年的污染指數(shù)嗎？
知識(shí)點(diǎn)1　一元線性回歸模型
為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中，Y稱為________或________，x稱為________或________．a(chǎn)和b為模型的未知參數(shù)，a稱為________參數(shù)，b稱為________參數(shù)；________是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差．
1．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，其樣本點(diǎn)散布在某一條直線y＝bx＋a的附近，可以用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)2　經(jīng)驗(yàn)回歸方程
(1)有關(guān)概念
稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為________，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì)．
(2)計(jì)算公式
＝________＝，．
(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)()，不一定過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點(diǎn)．
(2)經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距和斜率都是通過樣本估計(jì)而得的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差．
(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的表示x增加1個(gè)單位時(shí)，y的平均變化量為，而表示y不隨x的變化而變化的部分．
2．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)與的符號(hào)有何關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)隨機(jī)誤差是一個(gè)隨機(jī)變量． (　　)
(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程最能代表觀測(cè)值x，y之間的線性關(guān)系，且回歸直線過樣本點(diǎn)的中心()． (　　)
(3)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． (　　)
(4)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值． (　　)
2．下列有關(guān)經(jīng)驗(yàn)回歸方程敘述正確的是________(填序號(hào))．
①反映與x之間的函數(shù)關(guān)系；
②反映與x之間的函數(shù)關(guān)系；
③表示與x之間不確定關(guān)系；
④表示最接近與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線．
3．某地區(qū)近十年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合＝0.8x＋0.1(單位：億元)，預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則年支出估計(jì)是________億元．
類型1　一元線性回歸模型的理解
【例1】　在一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e中，下列說法正確的是(　　)
A．Y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)
B．響應(yīng)變量Y是由解釋變量x唯一確定的
C．響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生
D．隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　明確一元線性回歸模型的含義是解題的關(guān)鍵，其中a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．關(guān)于一元線性回歸模型給出下列說法：
①表達(dá)式Y(jié)＝bx＋a＋e刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系；
②bx＋a反映了由于x的變化而引起的Y的線性變化；
③誤差項(xiàng)e是一個(gè)期望值為0的隨機(jī)變量，即E(e)＝0；
④對(duì)于所有的x值，e的方差σ2都相同．
其中正確的是________(填序號(hào))．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　求經(jīng)驗(yàn)回歸方程
【例2】　隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)上購(gòu)物的方式已經(jīng)受到越來越多年輕人的青睞，某家網(wǎng)絡(luò)店鋪商品的成交量x(單位：件)與店鋪的瀏覽量y(單位：次)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：
x/件 2 4 5 6 8
y/次 30 40 50 60 70
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)當(dāng)這種商品的成交量突破100件(含100件)時(shí)，預(yù)測(cè)這家店鋪的瀏覽量至少為多少．
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　求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的基本步驟
(1)畫出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系；
(3)代入公式求出中參數(shù)，的值；
(4)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì)．
提醒：只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有實(shí)際意義．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，該地一銀行連續(xù)五年年底的儲(chǔ)蓄存款情況如表所示．
年份x 2018 2019 2020 2021 2022
儲(chǔ)蓄存款額 y/千億元 5 6 7 8 10
為了計(jì)算方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2 017，z＝y(tǒng)－5，得到下表．
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)作z關(guān)于t的散點(diǎn)圖，求z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)
【例3】　(源自湘教版教材)一個(gè)車間為了估計(jì)加工某種新型零件所花費(fèi)的時(shí)間，進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如表所示：
零件個(gè)數(shù)x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工時(shí)間y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)y與x之間是否具有相關(guān)關(guān)系？
(2)如果y與x之間具有相關(guān)關(guān)系，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留三位小數(shù))．
(3)據(jù)此估計(jì)加工110個(gè)零件所用的時(shí)間．
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　(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗(yàn)，也可以畫散點(diǎn)圖．
(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，注意運(yùn)算的正確性．
(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)：估計(jì)值不是實(shí)際值，兩者會(huì)有一定的誤差．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得如表數(shù)據(jù)：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力．
參考公式：＝，＝－．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.5x＋0.7，當(dāng)x＝8時(shí)，y的實(shí)際值為4.5，則當(dāng)x＝8時(shí)，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值為(　　)
A．0.1　　B．0.2　　C．0.3　　D．0.4
2．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，則a的值為(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
3．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬(wàn)元)和年飲食支出y(單位：萬(wàn)元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：＝0.254x＋0.321．由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加________萬(wàn)元．
4．如圖是一組數(shù)據(jù)(x，y)的散點(diǎn)圖，經(jīng)最小二乘估計(jì)公式計(jì)算，y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋1，則＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過哪個(gè)點(diǎn)？
2．y與x正、負(fù)相關(guān)的充要條件各是什么？
3．b的實(shí)際意義是什么？
“回歸”一詞的由來
統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“回歸”一詞，是統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓引入的．早在19世紀(jì)80年代，高爾頓就開始了親代與子代(即父母親與子女)之間相似特征(身高、性格等)的研究．他收集了一些親代的身高x與子代的身高y的成對(duì)數(shù)據(jù)，并作出了散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)y與x的關(guān)系可以借助一次函數(shù)來近似表示，而且總體上親代的身高增加時(shí)，子代的身高也增加．
但是，高爾頓在研究過程中，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象．他收集的數(shù)據(jù)顯示，總體上親代的平均身高為68英寸(約為172.72 cm)，子代的平均身高為69英寸，子代的平均身高比親代的平均身高大1英寸(約為2.54 cm)．于是，一個(gè)自然的推想是：平均身高為63英寸的親代，其子代的平均身高應(yīng)約為64英寸；平均身高為72英寸的親代，其子代的平均身高應(yīng)約為73英寸．但實(shí)際數(shù)據(jù)顯示：平均身高為63英寸的親代，其子代的平均身高為67英寸，增加量為4英寸；平均身高為72英寸的親代，其子代的平均身高為71英寸，增加量為－1英寸．也就是說，平均身高不同的親代，其子代的平均身高增加量并不相等，但子代的平均身高有回歸于中心(即總體平均值)的趨勢(shì)．
正是由于這種現(xiàn)象的存在，高爾頓引入了“回歸”一詞．雖然不是所有相關(guān)關(guān)系中都會(huì)發(fā)生類似的現(xiàn)象，但從那以后，“回歸”就成了相關(guān)關(guān)系討論中一個(gè)約定俗成的詞了．
第1課時(shí)　一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)
[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
知識(shí)點(diǎn)1　因變量　響應(yīng)變量　自變量　解釋變量　截距　斜率　e
思考1　提示：不能．
知識(shí)點(diǎn)2　(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線
(2)　
思考2　提示：Y與X正相關(guān)的充要條件是>0，Y與X負(fù)相關(guān)的充要條件是<0．
課前自主體驗(yàn)
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．①④　[x＋與x之間的函數(shù)關(guān)系，而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系，但它反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實(shí)關(guān)系，故①④正確．]
3．12.1　[∵＝0.8x＋0.1，∴＝0.8×15＋0.1＝12.1(億元)．]
[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　C　[對(duì)于A中，一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是確定性關(guān)系，因此不是一次函數(shù)，所以A說法錯(cuò)誤；對(duì)于B中，響應(yīng)變量Y不是由解釋變量x唯一確定的，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生，所以C正確；對(duì)于D中，隨機(jī)誤差是不能避免的，只能將誤差縮小，所以D錯(cuò)誤．故選C．]
跟進(jìn)訓(xùn)練
1．①②③④　[根據(jù)一元線性回歸模型的含義可知，以上說法均正確．]
例2　解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖可得，變量x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．
代入公式得＝＝50－7×5＝15．
故所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝7x＋15．
(3)根據(jù)上面求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，
當(dāng)成交量突破100件(含100件)，即x＝≥100時(shí)，≥715，所以預(yù)測(cè)這家店鋪的瀏覽量至少為715次．
跟進(jìn)訓(xùn)練
2．解：(1)作散點(diǎn)圖，直觀看z與t具有線性相關(guān)關(guān)系．
根據(jù)z關(guān)于t的表格數(shù)據(jù)，得
(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
(0＋1＋2＋3＋5)＝2.2，
∴＝＝1.2，
＝＝2.2－1.2×3＝－1.4．
所以z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝1.2t－1.4．
(2)＝1.2t－1.4，代入t＝x－2017，z＝y(tǒng)－5，
得－5＝1.2(x－2017)－1.4，
即＝1.2x－2416.8．
故y關(guān)于x的回歸方程為＝1.2x－2416.8．
例3　解：(1)＝＝55，
＝91.7．
＝≈0.9998，
因此y與x之間具有顯著的正相關(guān)關(guān)系．
(2)設(shè)所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為x＋，
則＝≈0.668，
＝91.7－0.668×55＝54.96，
即所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.668x＋54.96．
(3)當(dāng)x＝110時(shí)，y的估計(jì)值＝0.668×110＋54.96＝128.44．
因此，估計(jì)加工110個(gè)零件所用的時(shí)間為128.44min．
跟進(jìn)訓(xùn)練
3．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)＝9，＝4，
＝0.7，
＝4－0.7×9＝－2.3，
故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.7x－2.3．
(3)由(2)中經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知，
當(dāng)x＝9時(shí)，＝0.7×9－2.3＝4，
即預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力為4．
[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]
1．B　[當(dāng)x＝8時(shí)，y的預(yù)測(cè)值＝4.7，4.7－4.5＝0.2．故選B．]
2．D　[，由于經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，將代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程，解得＝1．]
3．0.254　[由于＝0.254x＋0.321知，當(dāng)x增加1萬(wàn)元時(shí)，年飲食支出y增加0.254萬(wàn)元．]
4．0.8　[由題圖知＝2，＝2.6，將(2，2.6)代入x＋1中，解得＝0.8．]
課堂小結(jié)
1．提示：經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)()．
2．提示：y與x正相關(guān)的充要條件是>0，y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是<0．
3．提示：當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，個(gè)單位．8.1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解變量間的相關(guān)關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系．(直觀想象) 3．了解相關(guān)系數(shù)的概念及公式，會(huì)判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
在校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問題．”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著某種關(guān)系．我們把數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)看成是兩個(gè)變量，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？
知識(shí)點(diǎn)1　變量間的相關(guān)關(guān)系
相關(guān)關(guān)系的定義：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去________決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．兩個(gè)變量之間的關(guān)系分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系．
1．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么異同點(diǎn)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)2　散點(diǎn)圖、線性相關(guān)
(1)散點(diǎn)圖：為直觀地描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩個(gè)變量間的關(guān)系，用橫軸表示其中的一個(gè)變量，縱軸表示另一個(gè)變量，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．
(2)散點(diǎn)圖的作用
如果散點(diǎn)圖中變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在某條曲線的周圍，我們就可以得出結(jié)論：這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，如圖(1)(2)．如果變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布沒有規(guī)律，我們就可以得出結(jié)論：這兩個(gè)變量不具有相關(guān)性，如圖(3)．
(3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)
從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)________的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量________．
(4)線性相關(guān)與曲線相關(guān)
一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在________附近，我們就稱這兩個(gè)變量________相關(guān)．
一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．
2．相關(guān)性可以如何分類？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)3　樣本相關(guān)系數(shù)
(1)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)的特點(diǎn)
一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在________象限、________象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)的居多；如果變量x和y________，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二象限、第四象限，對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)異號(hào)的居多．
(2)樣本相關(guān)系數(shù)
，我們稱r為變量x和變量y的________．
①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)________．這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也________；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也________．
②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)________．這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)________；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)________．
(3)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度
|r|的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度，|r|≤1．
當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．
當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度________；
當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度________．
當(dāng)|r|＝1時(shí)，表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都落在一條直線上；當(dāng)r＝0時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．
3．能否說“r越大，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越強(qiáng)；r越小，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越弱”？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列圖中的兩個(gè)變量是相關(guān)關(guān)系的是________．
2．若對(duì)甲、乙、丙3組不同的成對(duì)數(shù)據(jù)作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，得到這3組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)依次為0.83，0.72，－0.90，則線性相關(guān)程度最強(qiáng)的組是________(填“甲”“乙”或“丙”)．
3．某公司欲知詩(shī)詞日歷費(fèi)用x(十萬(wàn)元)與詩(shī)詞日歷銷售量y(千本)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的詩(shī)詞日歷中隨機(jī)抽取了10張，得到如下的資料：
則y與x的相關(guān)系數(shù)r為________．
類型1　相關(guān)關(guān)系
【例1】　(1)(2023·蘭州高二檢測(cè))有下列關(guān)系：
①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是(　　)
A．①②③　 B．①②
C．②③ D．①③④
(2)(多選)某中學(xué)的興趣小組將在某座山測(cè)得海拔高度、氣壓和沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．沸點(diǎn)與海拔高度呈正相關(guān)
B．沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)
C．沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)
D．氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)根據(jù)直觀感覺判斷，這時(shí)要用到已有的知識(shí)或生活、學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)等．
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，這時(shí)要由兩個(gè)變量相應(yīng)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，作出散點(diǎn)圖，通過觀察散點(diǎn)圖中各點(diǎn)是否分布在某條曲線的周圍，從而判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．5位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?br/>學(xué)生 A B C D E
數(shù)學(xué) 80 75 70 65 60
物理 70 66 68 64 62
則數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間(　　)
A．是函數(shù)關(guān)系
B．是相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性很弱
C．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)
D．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　散點(diǎn)圖及其應(yīng)用
【例2】　下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻產(chǎn)量 320 330 360 410 460 470 480
(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖；
(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似呈什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加嗎？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．
(2)在這里利用散點(diǎn)圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．某種樹木體積與樹木的樹齡之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
樹齡 2 3 4 5 6 7 8
體積 30 34 40 60 55 62 70
(1)請(qǐng)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)你能由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹木體積與樹木的樹齡近似呈什么關(guān)系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　樣本相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用
　判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱
【例3】　某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位：百萬(wàn)元)與銷售額y(單位：百萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
x 2 4 6 8
y 30 40 50 70
(1)畫出(x，y)的散點(diǎn)圖；
(2)計(jì)算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它們的相關(guān)程度．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法
(1)散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)．
(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確地判斷相關(guān)的程度，其絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．現(xiàn)隨機(jī)抽取某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)x與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)y如表所示．
學(xué)生號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
請(qǐng)問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系？
附：若|r|>0.75，則我們可以認(rèn)為y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用
【例4】　以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元)和房屋的大小x(單位：m2)的數(shù)據(jù)．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
銷售價(jià)格y/萬(wàn)元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)求樣本相關(guān)系數(shù)r，并作出評(píng)價(jià)．(精確到0.01，已知
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越弱．
(2)樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，|r|刻畫了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度．當(dāng)r＝0時(shí)，只表明成對(duì)數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．我國(guó)北方廣大農(nóng)村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中型城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣．推進(jìn)北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關(guān)系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過冬，關(guān)系霧霾天能不能減少，是能源生產(chǎn)和消費(fèi)革命、農(nóng)村生活方式革命的重要內(nèi)容．國(guó)家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價(jià)格扶持新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加，下面條形圖反映了某省連續(xù)7個(gè)月的煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．
在給定坐標(biāo)系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份t變化的散點(diǎn)圖，并用散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)說明y與t之間具有線性相關(guān)性．
參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列選項(xiàng)中，兩變量間具有相關(guān)關(guān)系的是(　　)
A．正方體的體積與棱長(zhǎng)
B．勻速行駛的汽車的行駛距離與時(shí)間
C．人的身高與視力
D．某人每日吸煙量與其身體健康情況
2．如圖所示的散點(diǎn)圖分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是(　　)
A．正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)
B．負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，正相關(guān)
C．負(fù)相關(guān)，正相關(guān)，不相關(guān)
D．正相關(guān)，不相關(guān)，負(fù)相關(guān)
3．兩個(gè)變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.785 9，兩個(gè)變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.956 8，則下列判斷正確的是(　　)
A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)
B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)
C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)
r約為________．(精確到0.001)
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．怎樣畫散點(diǎn)圖？
2．怎樣判斷兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系？
3．樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與兩個(gè)變量的相關(guān)程度有何關(guān)系？
相關(guān)系數(shù)與向量夾角的余弦
當(dāng)n＝2時(shí)，相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可改寫為
r＝．
此時(shí)，如果令a＝(x1－，x2－)，b＝(y1－，y2－)，則相關(guān)系數(shù)r等于向量a與b的夾角的余弦，即
r＝cos 〈a，b〉＝．
類似地，當(dāng)n＝3時(shí)，相關(guān)系數(shù)r仍等于兩個(gè)向量夾角的余弦，只不過此時(shí)兩個(gè)向量分別為
a＝(x1－，x2－，x3－)，b＝(y1－，y2－，y3－)．
一般地，a＝(x1－，x2－，…，xn－)，b＝(y1－，y2－，…，yn－)都稱為n維向量，如果按照類似2維與3維的情況定義向量的內(nèi)積和模，則相關(guān)系數(shù)r總是等于兩個(gè)向量夾角的余弦．
8.1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性
[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
知識(shí)點(diǎn)1　精確地
思考1　提示：相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系．
不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如圓的面積S與半徑r的關(guān)系，它可以用函數(shù)關(guān)系式S＝πr2來表示；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如人的體重y與身高x有關(guān)，一般來說，身高越高，體重越重，但不能用一個(gè)函數(shù)關(guān)系式來嚴(yán)格地表示它們之間的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)2　(3)增加　負(fù)相關(guān)　(4)一條直線　線性
思考2　提示：(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．
(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．
知識(shí)點(diǎn)3　(1)第一　第三　負(fù)相關(guān)　(2)樣本相關(guān)系數(shù)　正相關(guān)　變小　變大　負(fù)相關(guān)　變大　變小　(3)越強(qiáng)　越弱
思考3　提示：不能．|r|越大，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越小，兩個(gè)變量間的相關(guān)程度越弱．
課前自主體驗(yàn)
1．②③　[散點(diǎn)圖①中，所有的散點(diǎn)都在曲線上，所以①具有函數(shù)關(guān)系；散點(diǎn)圖②中，所有的散點(diǎn)都分布在一條直線的附近，所以②具有相關(guān)關(guān)系；散點(diǎn)圖③中，所有的散點(diǎn)都分布在一條曲線的附近，所以③具有相關(guān)關(guān)系；散點(diǎn)圖④中，所有的散點(diǎn)雜亂無(wú)章，沒有分布在一條曲線的附近，所以④沒有相關(guān)關(guān)系．]
2．丙　[樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度就越強(qiáng)，結(jié)合題中所給的3組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)知，－0.90的絕對(duì)值最接近1，所以丙組成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度最強(qiáng)．]
3．0.3　[由題中數(shù)據(jù)可知
r＝＝0.3．]
[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)D　(2)BCD　[(1)因?yàn)橄嚓P(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，②是一種函數(shù)關(guān)系，所以具有相關(guān)關(guān)系的有①③④．
(2)由圖1知?dú)鈮弘S海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點(diǎn)隨氣壓的升高而升高，所以氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，D正確；沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)，B正確；沸點(diǎn)與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，A錯(cuò)誤，C正確．]
跟進(jìn)訓(xùn)練
1．C　[數(shù)學(xué)成績(jī)x和物理成績(jī)y的散點(diǎn)圖如圖所示．
從圖上可以看出數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有較好的相關(guān)關(guān)系，且成正相關(guān)．]
例2　解：(1)散點(diǎn)圖如圖．
(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的散點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似呈線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增加，不會(huì)一直隨施化肥量的增加而增加．
跟進(jìn)訓(xùn)練
2．解：(1)以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樹木體積隨著樹齡的增加呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，且散點(diǎn)大致落在一條直線附近，所以樹木的體積與樹齡近似呈線性相關(guān)關(guān)系．
例3　解：(1)畫出(x，y)的散點(diǎn)圖如圖所示，
(2)＝5，＝47.5，
故樣本相關(guān)系數(shù)
＝≈0.9827．
由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827，可以推斷出生產(chǎn)原料耗費(fèi)與銷售額這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．
跟進(jìn)訓(xùn)練
3．解：由題意知，×(120＋108＋117＋104＋103＋110＋104＋105＋99＋108)＝107.8，
×(84＋64＋84＋68＋69＋68＋69＋46＋57＋71)＝68，
所以樣本相關(guān)系數(shù)
r＝≈0.7506．
|r|>0.75，故我們可以認(rèn)為y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．
即這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．
例4　解：(1)畫出散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)＝109，＝23.2，
＝＝≈0.96，
由此可知，新房屋的銷售價(jià)格和房屋的大小這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．
跟進(jìn)訓(xùn)練
4．解：作出散點(diǎn)圖如圖所示，
由散點(diǎn)圖可得y與t有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．
由條形圖數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，
＝39.75－4×9.24＝2.79，
∴r≈≈0.99．
∵y與t的樣本相關(guān)系數(shù)近似為0.99，
∴y與t的線性相關(guān)性相當(dāng)高．
[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]
1．D　[對(duì)于A，正方體的體積與棱長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，不滿足題意；
對(duì)于B，勻速行駛的汽車的行駛距離與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，不滿足題意；
對(duì)于C，人的身高與視力沒有明顯的關(guān)系，不滿足題意；
對(duì)于D，某人每日吸煙量與其身體健康情況有相關(guān)關(guān)系，滿足題意．]
2．D　[對(duì)于圖(1)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左下角到右上角上升，兩個(gè)變量正相關(guān)；對(duì)于圖(2)，圖中的點(diǎn)雜亂無(wú)章，沒有明顯的規(guī)律，兩個(gè)變量不相關(guān)；對(duì)于圖(3)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左上角到右下角下降，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．故選D．]
3．C　[由樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859>0知x與y正相關(guān)，
由樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568<0知u，v負(fù)相關(guān)．
又|r1|<|r2|，
∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng)．]
4．0.849　[
故r＝≈0.849．]
課堂小結(jié)
1．提示：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，兩軸的單位長(zhǎng)度可以不一致；
(2)將n個(gè)樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中．
2．提示：(1)根據(jù)直觀感覺或生活經(jīng)驗(yàn)等判斷；
(2)根據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)判斷；
(3)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：若散點(diǎn)圖中各點(diǎn)分布在一條直線或曲線附近，則變量具有相關(guān)關(guān)系．
3．提示：|r|越接近1，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越大；|r|越接近0，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越小．第2課時(shí)　回歸分析及非線性回歸模型
學(xué)習(xí)任務(wù) 1．了解殘差、殘差圖的概念．(數(shù)學(xué)抽象) 2．會(huì)通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析) 3．了解非線性回歸模型，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型和冪函數(shù)模型的求解過程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)
設(shè)某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為y cm，測(cè)得的一些數(shù)據(jù)如表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13
作出這組數(shù)的散點(diǎn)圖近似描述y與x的關(guān)系，很顯然，這些散點(diǎn)不在一條直線附近．
你能求出這個(gè)函數(shù)模型嗎？
知識(shí)點(diǎn)1　殘差及殘差圖
(1)對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為________．通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為________，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為________．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果．通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等．
(2)作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或解釋變量的觀測(cè)值等，這樣作出的圖形稱為________．在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度________，說明模型擬合精度越高．
(3)殘差分析：________是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為________．
知識(shí)點(diǎn)2　對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析
(1)殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以________，則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系．
(3)決定系數(shù)R2法：可以用R2＝來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越________，模型擬合效果越差，R2越________，模型擬合效果越好．
決定系數(shù)R2的取值范圍是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)3　非線性回歸方程
(1)非線性回歸分析的思想
研究?jī)蓚€(gè)變量的關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)畫出散點(diǎn)圖，從整體上看，如果樣本點(diǎn)沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，就稱這兩個(gè)變量之間不具有線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)不能直接利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．
(2)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程
當(dāng)回歸方程不是形如＝x＋(，∈R)時(shí)，稱之為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程．當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù)，可通過變量代換，利用線性回歸模型建立兩個(gè)變量間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)殘差平方和越接近0，線性回歸模型的擬合效果越好． (　　)
(2)在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上． (　　)
(3)R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好． (　　)
(4)在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)． (　　)
2．在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型，它們的決定系數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(　　)
A．模型1的決定系數(shù)R2為0.98
B．模型2的決定系數(shù)R2為0.80
C．模型3的決定系數(shù)R2為0.50
D．模型4的決定系數(shù)R2為0.25
3．從某省“雙一流”大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，得到其身高x(單位：cm)與體重y(單位：kg)的數(shù)據(jù)如下表：
x 165 165 157 170 175 165 155 170
y 48 57 50 54 64 61 43 59
若已知y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.85x－85.71，則選取的女大學(xué)生身高為175 cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為________kg．
類型1　殘差與殘差分析
【例1】　(1)對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(2)已知一系列樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝2x＋，若樣本點(diǎn)(r，1)與(1，s)的殘差相同，則有(　　)
A．r＝s　　　　　　　 B．s＝2r
C．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．
(2)殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)值，i＝y(tǒng)i－i．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．兩個(gè)線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝x＋40，則相對(duì)應(yīng)于點(diǎn)(11，5)的殘差為(　　)
A．0.1　　B．0.2　　C．0.3　　D．0.4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知某成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖，則樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)中可能不準(zhǔn)確的是從左到右第________個(gè)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　殘差平方和與決定系數(shù)R2
【例2】　已知某種商品的價(jià)格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)借助殘差平方和與R2說明回歸模型擬合效果的好壞．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　刻畫回歸效果的三種方法
(1)殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．
(3)決定系數(shù)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．為研究質(zhì)量x(單位：g)對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(單位：cm)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散點(diǎn)圖并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；
(3)進(jìn)行殘差分析．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　非線性回歸分析
【例3】　為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如表所示：
天數(shù)x/天 1 2 3 4 5 6
繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè) 6 12 25 49 95 190
(1)用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作響應(yīng)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：＝＋x與y＝c1哪一個(gè)作為繁殖的個(gè)數(shù)y關(guān)于時(shí)間x變化的回歸方程類型為最佳？(給出判斷即可，不必說明理由)
3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04
(2)根據(jù)(1)的判斷最佳結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
(變?cè)O(shè)問)在本例條件不變的情況下，試估計(jì)第7天細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決非線性回歸問題的方法及步驟
(1)確定變量：確定解釋變量為x，響應(yīng)變量為y．
(2)畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型．
(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題．
(4)分析擬合效果：通過計(jì)算決定系數(shù)等來判斷擬合效果．
(5)寫出非線性回歸方程．
提醒：當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，可采用計(jì)算器或者數(shù)學(xué)軟件來求回歸方程．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．(源自湘教版教材)實(shí)驗(yàn)中獲得了某化學(xué)品的化學(xué)反應(yīng)時(shí)間和轉(zhuǎn)化率的數(shù)據(jù)如表，試建立轉(zhuǎn)化率y關(guān)于反應(yīng)時(shí)間x的回歸方程(結(jié)果保留三位小數(shù))．
時(shí)間x/min 60 80 100 120 140 150 160 170
轉(zhuǎn)化率y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下面四個(gè)殘差圖中，可以滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
2．下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越窄，回歸方程的擬合效果越好
B．殘差平方和越小，決定系數(shù)R2越大
C．決定系數(shù)R2可以大于1
D．通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值是響應(yīng)變量的可能取值的平均值，不一定是響應(yīng)變量的精確值
3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn)，并用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如表：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
則________同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性．
4．在研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條曲線y＝ebx＋a的周圍，令z＝ln y，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝0.25x－2.58，則該模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析有哪些常見方法？
2．決定系數(shù)R2與相關(guān)系數(shù)r一樣嗎？
第2課時(shí)　回歸分析及非線性回歸模型
[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
知識(shí)點(diǎn)1　(1)觀測(cè)值　預(yù)測(cè)值　殘差　(2)殘差圖　越窄　(3)殘差　殘差分析
知識(shí)點(diǎn)2　(1)橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)　(3)小　大
思考　提示：0≤R2≤1．
課前自主體驗(yàn)
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．A　[R2越大擬合效果越好．]
3．0.96　[當(dāng)x＝175cm時(shí)，＝0.85×175－85.71＝63.04(kg)，
∴相應(yīng)的殘差＝64－63.04＝0.96(kg)．]
[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)A　(2)C　[(1)用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．
(2)樣本點(diǎn)(r，1)的殘差為1－2r－，
樣本點(diǎn)(1，s)的殘差為s－－2．
依題意得1－2r－＝s－－2，
故s＝－2r＋3．]
跟進(jìn)訓(xùn)練
1．B　[由于x＋40過樣本中心點(diǎn)(10，8)，
所以8＝10＋40，則＝－3.2，
因此＝－3.2x＋40．
當(dāng)x＝11時(shí)，＝－3.2×11＋40＝4.8，
所以殘差＝5－＝5－4.8＝0.2．]
2．6　[原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對(duì)值過大的那個(gè)數(shù)據(jù)，即偏離平衡位置過大．]
例2　解：(1)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝－1.15x＋28.1．
(2)列出殘差表為
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以回歸模型的擬合效果很好．
跟進(jìn)訓(xùn)練
3．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．
樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．
由表中數(shù)據(jù)，得×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487
計(jì)算得≈0.183，≈6.285．
故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6.285＋0.183x．
(2)列表如下：
yi－ 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ －2.237 －1.367 －0.537 0.413 1.413 2.313
所以R2＝1－≈0.9991，
回歸模型的擬合效果較好．
(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．
例3　解：(1)作出散點(diǎn)圖，如圖1所示．
由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y＝c1的周圍，于是選擇y＝c1．
(2)令z＝lny，則x＋．
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖2．
從圖2可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來擬合．
＝1.115，得＝0.69x＋1.115，
則有＝e0.69x+1.115．
母題探究
解：∵＝e0.69x+1.115，
∴當(dāng)x＝7時(shí)，≈382(個(gè))，
即第7天細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)約為382個(gè)．
跟進(jìn)訓(xùn)練
4．解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖(圖1)．
觀察散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)并沒有分布在某條直線附近，因而變量y與x之間沒有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸模型來刻畫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系．根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)曲線y＝c1的附近，其中c1和c2是待定參數(shù)．
為估計(jì)參數(shù)c1和c2，在y＝c1的兩端取對(duì)數(shù)，得到lny＝lnc1＋c2x．
再令z＝lny，a＝lnc1，b＝c2，則得到直線方程
z＝bx＋a．
將題表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行代換，得到的數(shù)據(jù)見下表．
x 60 80 100 120 140 150 160 170
z (＝lny) 1.813 2.302 2.709 3.041 3.438 3.660 3.855 4.008
圖2是根據(jù)上表中數(shù)據(jù)作出的散點(diǎn)圖．
從圖2中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，說明z和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來擬合．對(duì)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法可得線性回歸方程為＝0.019x＋0.686．
再利用y＝ez可得到轉(zhuǎn)化率y關(guān)于反應(yīng)時(shí)間x的非線性回歸方程為＝e0.686·e0.019x≈1.986e0.019x．
[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]
1．A　[由殘差圖顯示的分布情況即可看出，圖A顯示的殘差分布比較集中，且成帶狀分布，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定．]
2．C　[由R2的計(jì)算公式，知B正確，C錯(cuò)誤；A，D均正確．]
3．丁　[由題表可知，丁同學(xué)的相關(guān)系數(shù)r最大且殘差平方和m最小，故丁同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性．]
4．＝e0.25x-2.58　[由＝0.25x－2.58得ln＝0.25x－2.58，所以＝e0.25x-2.58．]
課堂小結(jié)
1．提示：殘差圖法，殘差平方和法和R2法．
2．提示：在含有一個(gè)解釋變量的線性回歸模型中，決定系數(shù)R2恰好等于相關(guān)系數(shù)r的平方．在線性回歸模型中有0≤R2≤1，因此R2和兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)r都能刻畫用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果．|r|越大，R2就越大，線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好．8.3.1　分類變量與列聯(lián)表
8.3.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
學(xué)習(xí) 任務(wù) 1．了解2×2列聯(lián)表、隨機(jī)變量χ2的意義．(數(shù)學(xué)抽象) 2．理解獨(dú)立性檢驗(yàn)中P(χ2≥xα)的具體含義．(數(shù)學(xué)抽象) 3．掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟．(數(shù)據(jù)分析) 4．通過典型案例，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)方法，并能用這些方法解決一些實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析)
任意抽取某市的一名學(xué)生，記A：喜歡長(zhǎng)跑；B：是女生．
(1)你能得出P(A)，P(B)，P(AB)這三者的準(zhǔn)確值嗎？
(2)如果要判斷A與B是否獨(dú)立，該怎么辦？
知識(shí)點(diǎn)1　數(shù)值變量與分類變量
數(shù)值變量：數(shù)值變量的取值為________，其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義．
分類變量：這里所說的變量和值不一定是具體的數(shù)值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為________，分類變量的取值可以用________表示．
知識(shí)點(diǎn)2　列聯(lián)表與等高堆積條形圖
(1)2×2列聯(lián)表
①定義：列出的兩個(gè)分類變量的________，稱為列聯(lián)表．
②2×2列聯(lián)表，一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{0，1}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為：
X Y 合計(jì)
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合計(jì) a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y＝0}和{Y＝1}的頻數(shù)；最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X＝0}和{X＝1}的頻數(shù)；中間的四個(gè)數(shù)a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y(tǒng)}(x，y＝0，1)的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)n為樣本容量．
(2)等高堆積條形圖
等高堆積條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的________特征，依據(jù)________的原理，我們可以推斷結(jié)果．
2×2列聯(lián)表用于研究?jī)深愖兞恐g是否相互獨(dú)立，它適用于分析兩類變量之間的關(guān)系，是對(duì)兩類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)．
知識(shí)點(diǎn)3　獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對(duì)分類變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對(duì)立事件，故要判斷事件{X＝1}和{Y＝1)之間是否有關(guān)聯(lián)，需要判斷假定關(guān)系H0：________是否成立．
(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式
χ2＝________________，其中n＝________，用隨機(jī)變量χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立．
(3)臨界值：對(duì)任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使P(χ2≥xα)＝α．稱xα為α的臨界值．臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值α越小，臨界值xα越大．
(4)小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α．
當(dāng)χ2(5)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念． (　　)
(2)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù)． (　　)
(3)列聯(lián)表、頻率分析法、等高堆積條形圖都可初步分析兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系．
(　　)
(4)在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若χ2越大，則兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大． (　　)
(5)2×2列聯(lián)表是借助兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系． (　　)
(6)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的．
(　　)
2．某校為了檢驗(yàn)高中數(shù)學(xué)新課程改革的成果，在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式的對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如2×2列聯(lián)表所示(單位：人)，則其中m＝________，n＝________．
班級(jí) 成績(jī) 合計(jì)
80分及80分以上 80分以下
試驗(yàn)班 32 18 50
對(duì)照班 24 m 50
合計(jì) 56 44 n
3．根據(jù)表格計(jì)算：
性別 不看電視 看電視
男 37 85
女 35 143
χ2≈________(保留3位小數(shù))．
類型1　列聯(lián)表與等高堆積條形圖
【例1】　(1)根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖可知喝酒與患胃病________關(guān)系．(填“有”或“沒有”)
(2)網(wǎng)絡(luò)對(duì)現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對(duì)青少年，為了解網(wǎng)絡(luò)對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1 000人調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用等高堆積條形圖判斷，學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)嗎？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間關(guān)系的步驟
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表；
(2)根據(jù)頻率特征，即將與的值相比，直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響．
2．利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟：
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張．作出等高堆積條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)
　分類變量“相關(guān)的檢驗(yàn)”
【例2】　(源自湘教版教材)為了考察某種新疫苗預(yù)防疾病的作用，科學(xué)家對(duì)動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，所得數(shù)據(jù)(單位：只)如下表所示：
是否接種疫苗 發(fā)病 沒發(fā)病 合計(jì)
接種疫苗 8 15 23
沒接種疫苗 18 9 27
合計(jì) 26 24 50
能否作出接種疫苗與預(yù)防疾病有關(guān)的結(jié)論？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗(yàn)”步驟
(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系．
(2)計(jì)算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．
(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα．
(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的600名男性病人中，有200人禿頂，而另外750名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有150人禿頂．
(1)填寫下列禿頂與患心臟病列聯(lián)表：
是否 禿頂 患病 合計(jì)
患心臟病 患其他病
禿頂
不禿頂
合計(jì)
據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)禿頂病患中患心臟病的概率P1和不禿頂病患中患心臟病的概率P2，并用兩個(gè)估計(jì)概率判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)；
(2)依據(jù)α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析禿頂與患心臟病有關(guān)嗎？請(qǐng)說明理由．
注：χ2＝．
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分類變量“無(wú)關(guān)的檢驗(yàn)”
【例3】　某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對(duì)新課程教學(xué)模式的使用情況，某教育機(jī)構(gòu)對(duì)某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；
(2)試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系．
附：
χ2＝
α 0.025 0.01 0.005
xα 5.024 6.635 7.879
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)
(1)χ2計(jì)算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時(shí)不能張冠李戴；三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心．
(2)判斷時(shí)把計(jì)算結(jié)果與臨界值比較，其值越大，有關(guān)的可信度越高．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．為了解某挑戰(zhàn)賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)系(假設(shè)每個(gè)人是否接受挑戰(zhàn)互不影響)，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下調(diào)查數(shù)據(jù)(單位：人)：
性別 挑戰(zhàn) 合計(jì)
接受挑戰(zhàn) 不接受挑戰(zhàn)
男性 45 15 60
女性 25 15 40
合計(jì) 70 30 100
試根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析比賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)．
附：χ2＝．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
【例4】　第24屆冬奧會(huì)已于2022年2月4日至2月22日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)．為了宣傳冬奧會(huì)，讓更多的人了解喜愛冰雪項(xiàng)目，某校高三年級(jí)舉辦了冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽(總分：100分)，并隨機(jī)抽取了n名中學(xué)生的成績(jī)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知前三組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值，并估計(jì)這n名中學(xué)生的成績(jī)的平均值；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(2)已知抽取的n名中學(xué)生中，男、女生人數(shù)相等，男生喜歡花樣滑冰的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡花樣滑冰的人數(shù)占女生人數(shù)的，且在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05的前提下，認(rèn)為中學(xué)生喜歡花樣滑冰與性別有關(guān)，求n的最小值．
參考數(shù)據(jù)及公式如下：
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
[思路導(dǎo)引]　(1)
(2)—
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合應(yīng)用的方法策略
(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，是對(duì)實(shí)際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法，通過這種分析得出的結(jié)論對(duì)實(shí)際生活有著重要的指導(dǎo)作用．
(2)近幾年高考中較少單獨(dú)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)、概率、頻率分布表、頻率分布直方圖等知識(shí)融合在一起考查．一般需要根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2值，從而解決問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)若頻率分布直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)；
(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1～50名和951～1 000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下面的2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)聯(lián)？
視力 學(xué)習(xí)成績(jī) 合計(jì)
名次在1～50名 名次在951～1 000名
近視 41 32 73
不近視 9 18 27
合計(jì) 50 50 100
(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了6人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人年級(jí)名次在1～50名的概率．
附：χ2＝．
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列不是分類變量的是(　　)
A．近視　 B．成績(jī)　 C．血壓　 D．飲酒
2．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{0，1}，其2×2列聯(lián)表為
X Y 合計(jì)
Y＝0 Y＝1
X＝0 10 18 28
X＝1 m 26 m＋26
合計(jì) 10＋m 44 54＋m
當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱(　　)
A．8 B．9
C．14 D．19
3．某校期中考試后，按照甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和良好統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：
班級(jí) 成績(jī) 合計(jì)
優(yōu)秀 良好
甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
合計(jì) 19 71 90
則χ2約為(　　)
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
4．下表是某校某屆本科志愿報(bào)名時(shí)，對(duì)其中304名學(xué)生進(jìn)入高校時(shí)是否知道想學(xué)專業(yè)的調(diào)查表：
性別 想學(xué)專業(yè) 合計(jì)
知道想學(xué)專業(yè) 不知道想學(xué)專業(yè)
男生 63 117 180
女生 42 82 124
合計(jì) 105 199 304
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是_______________．
(填序號(hào))
①性別與知道想學(xué)專業(yè)有關(guān)；
②性別與知道想學(xué)專業(yè)無(wú)關(guān)；
③女生比男生更易知道想學(xué)專業(yè)．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為29.78，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005，哪種說法是正確的？
2．利用小概率值α獨(dú)立性檢驗(yàn)的依據(jù)是什么？
8. 3.1　分類變量與列聯(lián)表
8.3.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]
知識(shí)點(diǎn)1　實(shí)數(shù)　分類變量　實(shí)數(shù)
知識(shí)點(diǎn)2　(1)頻數(shù)表　(2)頻率　頻率穩(wěn)定于概率
知識(shí)點(diǎn)3　(1)P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)　(2)　a＋b＋c＋d
課前自主體驗(yàn)
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×
2．26　100　[由題意得解得m＝26，n＝100．]
3．4.514　[χ2＝≈4.514．]
[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]
例1　(1)有　[從等高堆積條形圖上可以明顯地看出喝酒患胃病的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不喝酒患胃病的頻率，所以由所給等高堆積條形圖可知，喝酒與患胃病有關(guān)系．]
(2)解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：
學(xué)習(xí) 成績(jī) 上網(wǎng) 合計(jì)
經(jīng)常 不經(jīng)常
不及格 80 120 200
及格 120 680 800
合計(jì) 200 800 1000
得出等高堆積條形圖如圖所示：
比較圖中陰影部分高可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率，因此可以認(rèn)為學(xué)習(xí)成績(jī)與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)．
跟進(jìn)訓(xùn)練
1．解：作列聯(lián)表如下：
考前 心情 性格 合計(jì)
內(nèi)向 外內(nèi)
緊張 332 213 545
不緊張 94 381 475
合計(jì) 426 594 1020
相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示．
圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例．
從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類別有關(guān)．
例2　解：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：接種疫苗與預(yù)防疾病無(wú)關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得
χ2＝≈5.059，
由于5.024<5.059<6.635，查臨界值表可知，我們至少有97.5%的把握認(rèn)為接種疫苗與預(yù)防疾病有關(guān)，即疫苗有效．
跟進(jìn)訓(xùn)練
2．解：(1)
是否 禿頂 患病 合計(jì)
患心臟病 患其他病
禿頂 200 150 350
不禿頂 400 600 1000
合計(jì) 600 750 1350
P1＝，P2＝．
由于P1遠(yuǎn)大于P2，所以判斷禿頂與患心臟病有關(guān)．
(2)零假設(shè)為H0：禿頂與患心臟病無(wú)關(guān)．
由題可知
χ2＝≈30.86>10.828＝x0.001，
所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)．
例3　解：(1)2×2列聯(lián)表如表所示：
教師年齡 對(duì)新課程教學(xué)模式 合計(jì)
贊同 不贊同
老教師 10 10 20
青年教師 24 6 30
合計(jì) 34 16 50
(2)零假設(shè)為H0：對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)．
由題可知
χ2＝≈4.963<6.635＝x0.01，
根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以以為H0成立，即認(rèn)為對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)．
跟進(jìn)訓(xùn)練
3．解：零假設(shè)H0：是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別無(wú)關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得
χ2＝≈1.786．
因?yàn)?.786<2.706，所以沒有充分的證據(jù)顯示比賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別有關(guān)．
例4　解：(1)由題意知得
則各組頻率依次為0.05，0.25，0.45，0.2，0.05．
∴＝0.05×50＋0.25×60＋0.45×70＋0.2×80＋0.05×90＝69.5(分)．
(2)設(shè)男生人數(shù)為x，依題意可得2×2列聯(lián)表如下：
性別 花樣滑冰 合計(jì)
喜歡 不喜歡
男 x x x
女 x x x
合計(jì) x x 2x
χ2＝x>3.841，
∴x≥29．
又x＝4k，k∈N*，且各組的頻數(shù)為正整數(shù)，
故xmin＝32，nmin＝64．
跟進(jìn)訓(xùn)練
4．解：(1)由圖可知第一組有3人，第二組有7人，第三組有27人．
因?yàn)楹笏慕M的頻數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為90，公差小于0，
所以后四組的頻數(shù)依次為27，24，21，18．
所以視力在5.0以下的人數(shù)為3＋7＋27＋24＋21＝82(或者100－18＝82)，故全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×＝820．
(2)零假設(shè)H0：視力與學(xué)習(xí)成績(jī)相互獨(dú)立，即視力與學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān)．
根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得
χ2＝≈4.110>3.841＝x0.05．
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05．
(3)依題意得，6人中年級(jí)名次在1~50名的有2人，年級(jí)名次在951~1000名的有4人，則從6人中任取2人的情況有＝15種，
恰有1人年級(jí)名次在1~50名的有＝8種，所以所求概率為．
[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]
1．B　[近視變量有近視與不近視兩種類別，血壓變量有異常、正常兩種類別，
飲酒變量有飲酒與不飲酒兩種類別，
成績(jī)不是分類變量，它的取值不一定有兩種．]
2．C　[由10×26＝18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．]
3．A　[根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
可得χ2＝≈0.600．]
4．②　[零假設(shè)為H0：性別與知道想學(xué)專業(yè)無(wú)關(guān)，由表中數(shù)據(jù)得χ2＝≈0.041<2.706＝x0.1，依據(jù)α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為性別與知道想學(xué)專業(yè)無(wú)關(guān)．]
課堂小結(jié)
1．提示：兩種說法均正確．P(χ2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)；而P(χ2≥7.879)≈0.005的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)．
2．提示：如果χ2≥xα我們推斷H0不成立．即認(rèn)為兩個(gè)分類變量不獨(dú)立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α．如果χ2類型1　線性回歸分析
1．回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．其基本步驟為通過散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)選擇經(jīng)驗(yàn)回歸方程的類型，然后通過一定的規(guī)則確定出相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，通過一定的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，最后應(yīng)用于實(shí)際或?qū)︻A(yù)報(bào)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)．
2．主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．
【例1】　下面給出了根據(jù)我國(guó)2016～2022年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖(2016～2022年的年份代碼x分別為1～7)．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；
經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖，分析經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果．(精確到0.01)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
1．獨(dú)立性檢驗(yàn)研究的問題是有多大把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．為此需先列出2×2 列聯(lián)表，從表格中可以直觀地得到兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系．另外等高堆積條形圖能更直觀地反映兩個(gè)分類變量之間的情況．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想是可以先假設(shè)二者無(wú)關(guān)系，求隨機(jī)變量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設(shè)，否則，接受假設(shè)．
2．通過計(jì)算χ2的值，進(jìn)而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．
【例2】　某校鼓勵(lì)即將畢業(yè)的大學(xué)生到西部偏遠(yuǎn)地區(qū)去支教，該校學(xué)生就業(yè)部針對(duì)即將畢業(yè)的男、女生是否愿意到西部支教進(jìn)行問卷調(diào)查，得到的情況如表所示：
性別 支教 合計(jì)
愿意去支教 不愿意去支教
女生 20
男生 40
合計(jì) 70 100
(1)完成上述2×2列聯(lián)表；
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析愿意去西部支教是否與性別有關(guān)．
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類型3　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用
1．概率與統(tǒng)計(jì)作為考查學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)，它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性．
2．主要培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng)．
【例3】　某公司對(duì)40名試用員工進(jìn)行業(yè)務(wù)水平測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定是否正式錄用以及正式錄用后的崗位等級(jí)，測(cè)試分筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)．筆試環(huán)節(jié)所有40名試用員工全部參加；參加面試環(huán)節(jié)的員工由公司按規(guī)則確定．公司對(duì)40名試用員工的筆試得分(筆試得分都在[75，100]內(nèi))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到如下頻率分布直方圖和2×2列聯(lián)表．
業(yè)務(wù)水平 性別 合計(jì)
男 女
優(yōu)(得分不低于90分) 8
良(得分低于90分) 12
合計(jì) 40
(1)請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別是否有關(guān)；
(2)公司決定：在筆試環(huán)節(jié)中得分低于85分的試用員工直接淘汰，得分不低于85分的試用員工都正式錄用．筆試得分在[95，100]內(nèi)的崗位等級(jí)直接定為一級(jí)(不必參加面試環(huán)節(jié))；筆試得分在[90，95)內(nèi)的崗位等級(jí)初定為二級(jí)，但有的概率在面試環(huán)節(jié)將二級(jí)晉升為一級(jí)；筆試得分在[85，90)內(nèi)的崗位等級(jí)初定為三級(jí)，但有的概率在面試環(huán)節(jié)將三級(jí)晉升為二級(jí)．規(guī)定所有被正式錄用且崗位等級(jí)初定為二級(jí)和三級(jí)的員工都需參加面試．已知甲、乙為該公司的兩名試用員工，將頻率視為概率．
①若甲已被公司正式錄用，求甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率；
②若乙在筆試環(huán)節(jié)的崗位等級(jí)初定為二級(jí)，求甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率．
參考公式：χ2＝n＝a＋b＋c＋d．
α 0.15 0.10 0.05 0.010
xα 2.072 2.706 3.841 6.635
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類型4　化歸與轉(zhuǎn)化思想在非線性回歸分析中的應(yīng)用
1．轉(zhuǎn)化與化歸思想主要體現(xiàn)在非線性回歸分析中．在實(shí)際問題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，故要選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化．
2．主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．
【例4】　(2023·江西上饒期末)某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：
x 1 2 3 4
y 56.5 31 22.75 17.8
x 5 6 7 8
y 15.95 14.5 13 12.5
對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，考慮用反比例函數(shù)模型y＝a＋和指數(shù)型函數(shù)模型y＝cedx也分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合．已求得用指數(shù)型函數(shù)模型擬合的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝48.376×e-0.195x，ln y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝－0.929．
(1)求用反比例函數(shù)模型擬合的y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)保留整數(shù))；
(2)用樣本相關(guān)系數(shù)判斷這兩個(gè)模型中哪一個(gè)的擬合效果更好(精確到0.001)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；
(3)根據(jù)企業(yè)長(zhǎng)期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，若非原料成本y在[μ－σ，μ＋σ]之外，說明該成本異常，并稱落在[μ－σ，μ＋σ]之外的成本為異樣成本，此時(shí)需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因．試判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因．
參考數(shù)據(jù)：
0.34 0.115 1.53 184 5 777.555
93.06 30.705 13.9
參考公式：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，＝，，
樣本相關(guān)系數(shù)r= .
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末綜合提升
例1　解：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)均勻分布在一條直線附近，且隨著x的增大，y增大，故y與x成線性相關(guān)，且為正相關(guān)．
(2)依題意，(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝≈7.89，
＝≈153.43－7.89×4＝121.87，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
＝7.89x＋121.87．
(3)由殘差圖可以看出，殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)測(cè)精度較高．
例2　解：(1)2×2列聯(lián)表如下：
性別 支教 合計(jì)
愿意去支教 不愿意去支教
女生 30 20 50
男生 40 10 50
合計(jì) 70 30 100
(2)零假設(shè)H0：支教與性別相互獨(dú)立，即是否愿意去西部支教與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
可得χ2＝≈4.762>3.841＝x0.05，
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，
即認(rèn)為是否愿意去西部支教與性別有關(guān)聯(lián)，因此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05．
根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，
女生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為＝0.6，＝0.4；
男生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為＝0.8，＝0.2．
由＝2可見，女生不愿意去支教的頻率是男生不愿意去支教的頻率的2倍．
于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為女生不愿意去支教的概率明顯大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明顯與性別有關(guān)．
例3　解：(1)由題圖可知，得分不低于90分的人數(shù)為40×(0.04＋0.02)×5＝12，所以補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下：
業(yè)務(wù)水平 性別 合計(jì)
男 女
優(yōu)(得分不低于90分) 8 4 12
良(得分低于90分) 16 12 28
合計(jì) 24 16 40
零假設(shè)為H0：“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別無(wú)關(guān)．
計(jì)算得χ2＝≈0.317<2.706＝x0.10，
根據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為“試用員工的業(yè)務(wù)水平優(yōu)良與否”與性別無(wú)關(guān)．
(2)由題圖可知，不低于85分的試用員工的人數(shù)為40×(0.06＋0.04＋0.02)×5＝24，
崗位等級(jí)直接定為一級(jí)的概率為，
崗位等級(jí)初定為二級(jí)的概率為，
崗位等級(jí)初定為三級(jí)的概率為．
①甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)的概率為×．
②若乙的最終崗位等級(jí)為二級(jí)，則甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)或二級(jí)，其概率為1－；
若乙的最終崗位等級(jí)為一級(jí)，則甲的最終崗位等級(jí)為一級(jí)，其概率為．
故甲的最終崗位等級(jí)不低于乙的最終崗位等級(jí)的概率為．
例4　解：(1)令u＝，則y＝a＋可轉(zhuǎn)化為y＝a＋bu．
易得＝23，
所以＝＝50，
所以＝23－50×0.34＝6，
所以＝6＋50u，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6＋．
(2)設(shè)y與的樣本相關(guān)系數(shù)為r2，
＝＝≈≈0.993．
因?yàn)閨r1|<|r2|，所以這兩個(gè)模型中反比例函數(shù)模型的擬合效果更好．
把x＝10代入回歸方程＝6＋＝6＋＝11，
所以產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元．
(3)因?yàn)椋?3，所以μ＝23，
易得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s＝
＝＝≈≈13.9，
所以σ＝13.9，所以非原料成本y服從正態(tài)分布N(23，13.92)，
所以[μ－σ，μ＋σ]＝[23－13.9，23＋13.9]＝[9.1，36.9]．
因?yàn)?6.5在[μ－σ，μ＋σ]之外，所以此非原料成本數(shù)據(jù)需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因．

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