資源簡介

專題50 拋物線（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 4
【考點(diǎn)1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 4
【考點(diǎn)2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 5
【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題 7
【分層檢測】 8
【基礎(chǔ)篇】 8
【能力篇】 10
【培優(yōu)篇】 10
考試要求：
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).
2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.
1.拋物線的定義
(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
性 質(zhì) 頂點(diǎn) O(0，0)
對稱軸 y＝0 x＝0
焦點(diǎn) F F F F
離心率 e＝1
準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
1.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，稱為拋物線的焦半徑.
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多選題
2．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
3．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
4．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切
C． D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
四、解答題
7．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
【考點(diǎn)1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）過拋物線上的一點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)為A，B，則的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
2．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名．其在力學(xué)、建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．在空間直角坐標(biāo)系中，將一條平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動(dòng)（兩條拋物線的頂點(diǎn)重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標(biāo)原點(diǎn)被稱為馬鞍面的鞍點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（）
A．用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線
B．用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
C．用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線
D．用過原點(diǎn)且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
4．（23-24高二下·河南·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．到直線的距離為2
B．以為圓心，為半徑的圓與相切
C．直線斜率的最大值為2
D．若，則的面積為2
三、填空題
5．（2024·北京朝陽·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則 ；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則 .
6．（2024·安徽·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為 ，的面積為 （為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
反思提升：
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【考點(diǎn)2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2022·江蘇·一模）是拋物線的焦點(diǎn)，以為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，若，則
A． B． C． D．
2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知拋物線，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．3
二、多選題
3．（2023·廣東佛山·二模）如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則（ ）
A． B．四邊形的面積為100
C． D．的取值范圍為
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知曲線上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)與定直線軸的距離的差為定值，其中，點(diǎn)，分別為曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)恒在點(diǎn)的右側(cè)，則（ ）
A．若，則曲線的圖象為一條拋物線
B．若，則曲線的方程為
C．當(dāng)時(shí)，對于任意的，，都有
D．當(dāng)時(shí)，對于任意的，，都有
三、填空題
5．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是 ．
6．（22-23高三上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，記.
①當(dāng)時(shí)，有；
②當(dāng)時(shí)，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命題中正確的有 .
反思提升：
與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略
轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.
轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.
【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題
一、解答題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知曲線．
(1)若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，直線，判斷直線與的位置關(guān)系并證明．
(2)若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．
①試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
②若直線與軸分別交于點(diǎn)，證明：．
2．（2024·江蘇南京·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn).
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，，兩點(diǎn)（），過作軸的垂線交線段于點(diǎn).
①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
②求點(diǎn)A到直線的距離的最大值.
3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)且，直線經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)①若與相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若與在第一象限內(nèi)的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，且關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，證明：直線的傾斜角之和為．
4．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)且斜率為1的直線經(jīng)過點(diǎn)F．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，滿足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，均在拋物線：上，，關(guān)于軸對稱，直線，關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線的上方，直線交軸于點(diǎn)，直線斜率小于2.
(1)求面積的最大值；
(2)記四邊形的面積為，的面積為，若，求.
6．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為正的直線交曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），的中點(diǎn)為，
①過作直線的垂線，垂足分別為，試證明：；
②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若的面積為4，求直線的方程．
反思提升：
1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.
2.涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·北京西城·三模）點(diǎn)F拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2024·山東聊城·二模）點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多選題
5．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）若直線與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)，則的焦點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）已知等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，且，則原點(diǎn)到AB的距離與原點(diǎn)到CD的距離之比為 ．
9．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為
10．（2021·青海西寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，拋物線Ｍ與雙曲線交于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
11．（2021·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線:與拋物線交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證:直線恒過定點(diǎn).
12．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程．
(2)將曲線C向上平移4個(gè)單位得到曲線E，已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)且滿足，求直線l的方程．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·三模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
二、多選題
2．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，若定點(diǎn)滿足，則（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為 B．周長的最小值為5
C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為
三、填空題
3．（2024·廣東廣州·一模）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為C的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，直線MF的斜率為，的面積為4．
(1)求C的方程；
(2)過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的垂線交直線AO于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作直線DF的垂線與C的另一交點(diǎn)為E，AE的中點(diǎn)為G，證明：G，B，D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相等．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)雙曲線C的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和C的虛軸端點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線平行．將C的兩條漸近線分別記為，右焦點(diǎn)記為F，若以O(shè)F為直徑的圓M交直線于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)B在上，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為.和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A． B．四邊形的面積為
C． D．的取值范圍為
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)（）是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．直線與拋物線相
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【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 12
【考點(diǎn)1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 12
【考點(diǎn)2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 17
【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題 24
【分層檢測】 35
【基礎(chǔ)篇】 35
【能力篇】 43
【培優(yōu)篇】 47
考試要求：
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).
2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.
1.拋物線的定義
(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
性 質(zhì) 頂點(diǎn) O(0，0)
對稱軸 y＝0 x＝0
焦點(diǎn) F F F F
離心率 e＝1
準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
1.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，稱為拋物線的焦半徑.
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多選題
2．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
3．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
4．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切
C． D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
四、解答題
7．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5
答案 B ABD AC ACD BCD
1．B
【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
2．ABD
【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.
【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，
由，得到，故，
此時(shí)切線長，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，
當(dāng)時(shí)，，，，
不滿足；
當(dāng)時(shí)，，，，
不滿足；
于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化
根據(jù)拋物線的定義，，這里，
于是時(shí)點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問題，
，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.
方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）
設(shè)，由可得，又，又，
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，
，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，
即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD
3．AC
【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，
所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.
B選項(xiàng)：設(shè)，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，
因?yàn)椋?br/>即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.

4．ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯(cuò)誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
5．BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.
【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因?yàn)椋?br/>所以，而，故D正確.
故選：BCD
6．
【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.
【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
7．(1)；
(2).
【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由 得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡得，
反之，若,可得MN過定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.
【整體點(diǎn)評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；
法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；
法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運(yùn)算的好方法．
【考點(diǎn)1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）過拋物線上的一點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)為A，B，則的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
2．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名．其在力學(xué)、建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．在空間直角坐標(biāo)系中，將一條平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動(dòng)（兩條拋物線的頂點(diǎn)重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標(biāo)原點(diǎn)被稱為馬鞍面的鞍點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（）
A．用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線
B．用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
C．用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線
D．用過原點(diǎn)且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
4．（23-24高二下·河南·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．到直線的距離為2
B．以為圓心，為半徑的圓與相切
C．直線斜率的最大值為2
D．若，則的面積為2
三、填空題
5．（2024·北京朝陽·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則 ；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則 .
6．（2024·安徽·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為 ，的面積為 （為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B D AB ABD
1．B
【分析】設(shè)，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑，
由切圓于點(diǎn)，得，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以的最小值為.
故選：B.
2．D
【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達(dá)定理求得，進(jìn)一步通過拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可求解，注意檢驗(yàn)等號成立的條件.
【詳解】由題得的焦點(diǎn)為，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，
與的方程聯(lián)立得，
設(shè)，則，故的方程為.

由拋物線定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，
聯(lián)立拋物線與直線，化簡得，
由得與相離.
分別是過點(diǎn)向準(zhǔn)線、直線以及過點(diǎn)向直線引垂線的垂足，連接，
所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，
所以到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線0的距離，即.
故選：D.
3．AB
【分析】利用空間向量的相關(guān)知識，結(jié)合馬鞍面的標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一變換方程判斷各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】因?yàn)轳R鞍面的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
對于A，平行于平面的面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，
得，故所得軌跡是雙曲線.，故A正確；
對于B，法向量為的平面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，
則，為拋物線方程，故B正確；
對于C，垂直于軸的平面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，
則，為拋物線方程，故C錯(cuò)誤；
對于D，不妨設(shè)平面上的點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)槠矫孢^原點(diǎn)且法向量為，由，得，
故，代入馬鞍面標(biāo)準(zhǔn)方程，得，
當(dāng)時(shí)，方程為，不是拋物線，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
4．ABD
【分析】A選項(xiàng)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，得到答案；B選項(xiàng)，由拋物線焦半徑公式可得B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的斜率取得最大值．設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)根的判別式得到方程，求出直線斜率的最大值；D選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)焦半徑公式得到方程，求出，求出三角形面積.
【詳解】A選項(xiàng)，易知，準(zhǔn)線，所以到直線的距離為2，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，由拋物線的定義，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，所以以為圓心，為半徑的圓與相切，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的斜率取得最大值．設(shè)直線，
與拋物線聯(lián)立可得：，令得：，
所以直線斜率的最大值為1，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，設(shè)，則，解得，
所以的面積為，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD．
5． /0.5
【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計(jì)算即可得.
【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，
則，，由在拋物線上，
故，
由，可得，
即，即.
故答案為：；.
6． /
【分析】由題意求出拋物線方程，進(jìn)而求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得，，結(jié)合計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)A，所以，解得，所以拋物線的方程為，
則，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，
設(shè)，故，，
故的面積為．
故答案為：；
反思提升：
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【考點(diǎn)2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2022·江蘇·一模）是拋物線的焦點(diǎn)，以為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，若，則
A． B． C． D．
2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知拋物線，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．3
二、多選題
3．（2023·廣東佛山·二模）如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則（ ）
A． B．四邊形的面積為100
C． D．的取值范圍為
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知曲線上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)與定直線軸的距離的差為定值，其中，點(diǎn)，分別為曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)恒在點(diǎn)的右側(cè)，則（ ）
A．若，則曲線的圖象為一條拋物線
B．若，則曲線的方程為
C．當(dāng)時(shí)，對于任意的，，都有
D．當(dāng)時(shí)，對于任意的，，都有
三、填空題
5．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是 ．
6．（22-23高三上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，記.
①當(dāng)時(shí)，有；
②當(dāng)時(shí)，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命題中正確的有 .
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 D B ACD AC
1．D
【詳解】由題意，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則由拋物線的定義，可得．則．所以．所以．故本題答案選．
2．B
【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式結(jié)合點(diǎn)在拋物線上有，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圓的半徑即可得到答案.
【詳解】由題意知,設(shè)，則,
所以當(dāng)時(shí),，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以.
故選：B.

3．ACD
【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷B，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，
所以，，故A正確；
如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
所以拋物線的方程為，
連接，由拋物線的定義可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四邊形的面積為，故B錯(cuò)誤；
連接，因?yàn)椋裕?br/>所以，
故，故C正確；
根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，
當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，
當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為，
當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，因?yàn)椋本€，
與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，
則，，
所以；
當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，設(shè)，
與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，
則，，當(dāng)，
即時(shí)取等號，故此時(shí)；
當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；
綜上，，故D正確.
故選：ACD.
4．AC
【分析】設(shè)曲線上的點(diǎn)，由題意求出的方程，分、化簡后逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】對于A，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)，由題意可得，
化簡得，當(dāng)時(shí)，為拋物線，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕@然不成立，
綜上，若，則曲線的圖象為一條拋物線，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)，
由題意可得，
化簡得，當(dāng)時(shí)，為拋物線，
當(dāng)時(shí)，為一條射線，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)，
由題意可得，
化簡得，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
為開口向右，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，，
當(dāng)時(shí)，，
為開口向左，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，，
且與關(guān)于對稱,其圖象大致如下，
因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，
根據(jù)對稱性可得，故C正確；
對于D，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)，
由題意可得，
化簡得，因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
為開口向左，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，
當(dāng)時(shí)，，
為開口向右，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，
且與關(guān)于對稱,其圖象大致如下，
因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，
根據(jù)對稱性可得，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)曲線上的點(diǎn)，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求出答案.
5．
【分析】設(shè)點(diǎn)，由已知關(guān)系，可用點(diǎn)坐標(biāo)表示出.在，有
，進(jìn)而可推出，根據(jù)的范圍，即可得到結(jié)果.
【詳解】
由已知，，.
如圖，設(shè)點(diǎn)，則，
，
在中，有
，
易知，則，
則，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，
又，所以，.
所以，的取值范圍是.
故答案為：.
6．①②
【分析】聯(lián)立方程求得，結(jié)合可得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，求得，即可求得，判斷①；當(dāng)時(shí)，由，求得的值，判斷②；分情況討論為等腰直角三角形情況，判斷③.
【詳解】由圓與，聯(lián)立方程，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，
所以，
從而，
即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，
則，
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，由于，
所以，所以，
由題意知，所以，故①正確；
②當(dāng)時(shí)，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正確；
③若是等腰直角三角形，
則或或?yàn)橹苯牵?br/>因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，則，得，
此時(shí)，不是等腰直角三角形，
由對稱性可知當(dāng)時(shí)，也不是等腰直角三角形，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭紫仁堑妊切危蓲佄锞€的對稱性可知點(diǎn)在軸上，
此時(shí)，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
綜上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③錯(cuò)誤，
故答案為：①②.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：題目中涉及到向量的運(yùn)算即，因此要利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出，則①②即可判斷；判斷是否為等腰直角三角形，要討論直角頂點(diǎn)可能的位置，即分類討論，結(jié)合拋物線的對稱性進(jìn)行解答.
反思提升：
與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略
轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.
轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.
【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題
一、解答題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知曲線．
(1)若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，直線，判斷直線與的位置關(guān)系并證明．
(2)若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．
①試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
②若直線與軸分別交于點(diǎn)，證明：．
2．（2024·江蘇南京·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn).
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，，兩點(diǎn)（），過作軸的垂線交線段于點(diǎn).
①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
②求點(diǎn)A到直線的距離的最大值.
3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)且，直線經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)①若與相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若與在第一象限內(nèi)的兩個(gè)不同交點(diǎn)為，且關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，證明：直線的傾斜角之和為．
4．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)且斜率為1的直線經(jīng)過點(diǎn)F．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，滿足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，均在拋物線：上，，關(guān)于軸對稱，直線，關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線的上方，直線交軸于點(diǎn)，直線斜率小于2.
(1)求面積的最大值；
(2)記四邊形的面積為，的面積為，若，求.
6．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為正的直線交曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），的中點(diǎn)為，
①過作直線的垂線，垂足分別為，試證明：；
②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若的面積為4，求直線的方程．
參考答案：
1．(1)相切，證明見解析
(2)①為定值；；②證明見解析
【分析】（1）利用點(diǎn)在曲線上，結(jié)合聯(lián)立方程，利用判別式，即可得出結(jié)論并證明之；
（2）①設(shè)，可得切線，的方程，進(jìn)而求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合是直線上的動(dòng)點(diǎn)，即可得結(jié)論；
②設(shè)，設(shè)相關(guān)參數(shù)，表示出，利用兩角差的正切公式推出，從而證明∽，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則，
聯(lián)立，得，
則，故直線與相切；
（2）①：為定值
設(shè)，
由（1）知切線AE為，切線BE為，
聯(lián)立得，則，
又E點(diǎn)在直線上，故，
則，
故，即為定值；
②證明：設(shè)，直線AB的斜率必存在，設(shè)為k，傾斜角為，
則，
的斜率存在，不妨設(shè)為，傾斜角為，
的斜率存在，不妨設(shè)為，傾斜角為，
則，
，
由題意知為銳角，
則，
又，故∽，
所以.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系以及定值和線段成比例問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，難點(diǎn)在于（2）中，要證明線段成比例，即證明∽，其中計(jì)算過程比較復(fù)雜，計(jì)算量大，且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，要十分細(xì)心.
2．(1)或
(2)①；②
【分析】（1）分類討論焦點(diǎn)所在位置，結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得.①求得，進(jìn)而可得直線，聯(lián)立求點(diǎn)得坐標(biāo)，即可得方程；②聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可證直線經(jīng)過定點(diǎn)，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)拋物線的方程為，
且拋物線過點(diǎn)，所以，解得；
若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)拋物線的方程為，
且拋物線過點(diǎn)，所以，解得；
綜上所述：拋物線的方程為或.
（2）因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過第二象限，由（1）可知，拋物線的方程為，

且,，
①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，令，得，
在中，令，得，
又因?yàn)椋瑒t，可得直線，
由，解得或，即，
所以直線，即；
②設(shè)，，，
由，消去整理得，
所以，，，
且，即，
則，
令，得
，
所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，
所以當(dāng)，即點(diǎn)A以直線的距離取得最大值，為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法
（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；
（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€ C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．
3．(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）由化簡得，再根據(jù)定義得，代入即可的拋物線方程；
（2）①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點(diǎn)代入即可；②設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，，然后計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
又P是C上一點(diǎn)，
所以，
所以，解得，
所以拋物線C的方程為．
（2）①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)椋裕芯€的斜率為，
所以切線方程為，
將代入上式，得，
所以，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．
②由①得，直線的斜率都存在，
要證：直線的傾斜角之和為，
只要證明：直線的斜率之和為．
設(shè)直線的方程為，，，,
則，，
由得，
所以，，，即，
所以，
即直線的傾斜角之和為．
【點(diǎn)睛】
4．(1)
(2)存在；
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，即可求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】（1）由題意過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，即，令，則，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，
∴．拋物線C的方程為．
（2）由（1）得拋物線C：，假設(shè)存在定點(diǎn)，
設(shè)直線AB的方程為（），，，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足，，
∴存在定點(diǎn)．
5．(1)16
(2)
【分析】（1）設(shè)，則，令可得的坐標(biāo)，由韋達(dá)定理可表示出，從而可求得面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求解；
（2）設(shè)的面積為， 由題意，由韋達(dá)定理以及同理思想可得，由公式可知也可以用表示，進(jìn)而可以得出關(guān)于的方程，解出，結(jié)合二倍角公式、平方關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）由題意，解得，所以拋物線：，
因?yàn)椋P(guān)于軸對稱，直線，關(guān)于直線對稱，
所以斜率互為相反數(shù)，不妨設(shè)，
則，
設(shè)與軸交于點(diǎn)，而直線交軸于點(diǎn)，
所以，
聯(lián)立與拋物線：，化簡并整理得，
，
設(shè)，
則，
設(shè)面積為，
則
，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
所以面積的最大值為16；
（2）
由（1）可知，解得，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得，
所以，
設(shè)的面積為，而四邊形的面積為，的面積為，
由題意，所以，
而，
而，所以，即，解得，
由題意軸，且，設(shè)，
所以，
所以.
6．(1)
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）由拋物線的定義知P點(diǎn)軌跡是拋物線，方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦參數(shù)可得；
（2）①設(shè)直線的方程為，，可求得，進(jìn)而可得，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，進(jìn)而可得，可證結(jié)論；
②求得的中點(diǎn)，進(jìn)而可得線段的垂直平分線方程為，進(jìn)而可得，結(jié)合已知可得，可求直線的方程.
【詳解】（1）依題意可得圓心到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離相等，
所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
又到直線的距離為，所心拋物線的方程為；
（2）①設(shè)直線的方程為，，
則的中點(diǎn)，由（1）可知，，
聯(lián)立方程組，消去可得，
所以，，
所以，
又，所以，所以；
②由①可得，代入，可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以，又線段的垂直平分線的斜率為，
所以線段的垂直平分線方程為，
令，可得，所以，
所以，
所以，
又的面積為4，所以，所以，
解得，所以直線的主程為，即.
反思提升：
1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.
2.涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·北京西城·三模）點(diǎn)F拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2024·山東聊城·二模）點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多選題
5．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）若直線與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)，則的焦點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）已知等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，且，則原點(diǎn)到AB的距離與原點(diǎn)到CD的距離之比為 ．
9．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為
10．（2021·青海西寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，拋物線Ｍ與雙曲線交于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
11．（2021·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線:與拋物線交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證:直線恒過定點(diǎn).
12．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程．
(2)將曲線C向上平移4個(gè)單位得到曲線E，已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)且滿足，求直線l的方程．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D A A AC BC ABD
1．C
【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再由可得為的重心，從而可求出，再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
由，得，所以，準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)椋詾榈闹匦模?br/>所以，所以，
所以
，
故選：C
2．D
【分析】寫出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，利用拋物線的定義化簡已知式并將韋達(dá)定理代入計(jì)算即得.
【詳解】
如圖，，直線的方程為：代入中，消去，可整理得，，
顯然設(shè)，由韋達(dá)定理可得：（*）
因，由，
將（*）代入可得，，解得.
故選：D.
3．A
【分析】由拋物線的定義列方程可得.
【詳解】拋物線，準(zhǔn)線，,
由拋物線的定義可知，解得.
故選：A.
4．A
【分析】由拋物線的定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)和準(zhǔn)線的位置，求點(diǎn)到軸的距離.
【詳解】拋物線開口向右，準(zhǔn)線方程為，
點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，
點(diǎn)在y軸右邊，所以點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4．
故選：A．
5．AC
【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義和余弦定理，即可求解.
【詳解】由，可得，即，
聯(lián)立方程組，解得或，所以A正確，B不正確；
又由拋物線的定義，可得，所以C正確；
在中，可得，
由余弦定理得，所以D錯(cuò)誤．
故選：AC.

6．BC
【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，整理得，
由，解得或（舍去），此時(shí)對應(yīng)的的坐標(biāo)為.
故選：BC.
7．ABD
【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，即可求出拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式判斷B，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)斜率公式判斷D.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故A正確；
所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，
設(shè)直線，則，消去整理得，
則，所以，，
則，
，
所以，故B正確；
所以，，所以，故C錯(cuò)誤；
，故D正確；
故選：ABD
8．
【分析】根據(jù)題意分析可知且軸，設(shè)設(shè)，，結(jié)合拋物線方程分析求解.
【詳解】由題意可知，且軸，
設(shè)，，則，可知，
所以原點(diǎn)到AB的距離與原點(diǎn)到CD的距離之比為．
故答案為：.
9．8
【分析】分別求出拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得，即可求解．
【詳解】因?yàn)閽佄锞€（）的焦點(diǎn)為，
且橢圓的右頂點(diǎn)為，
由題意可得：，解得．
故答案為：8.
10．
【分析】由拋物線和雙曲線的對稱性可以確定兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)既在拋物線又在雙曲線上，可建立的關(guān)系，從而求出離心率.
【詳解】解：由拋物線和雙曲線的對稱性可知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且，
因?yàn)椋裕腚p曲線方程有，
所以，
即，解得．
故答案為：.
11．(1)
(2)證明見解析
【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)即可求出,從而寫出拋物線方程即可;
(2)聯(lián)立直線方程和拋物線方程,由判別式大于0及韋達(dá)定理可求出,代入拋物線方程可求出,根據(jù),代入即可求出的值,代入直線方程中,即可證明過定點(diǎn).
【詳解】（1）解:由題知拋物線的焦點(diǎn)為,
,即,
拋物線的方程為:;
（2）證明:由(1)知拋物線的方程為:,
聯(lián)立,
整理可得,
,
,
,
,
即,
解得,符合，
直線的方程為:,
故直線恒過定點(diǎn).
12．(1)
(2)或
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)斜率之差的值整理可得曲線C的方程為；
（2）易知曲線E為，聯(lián)立曲線E和直線l的方程并利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn),根據(jù)題意可知，
直線AM的斜率為，直線BM的斜率；
即可得，
整理可得.
（2）如下圖所示：

將曲線C向上平移4個(gè)單位得到曲線E為；
設(shè)直線l的方程為，；
聯(lián)立曲線E和直線l整理可得，
所以；
因此，
即，解得或；
當(dāng)時(shí)，方程的根為，符合題意；
當(dāng)時(shí)，方程的根為，符合題意；
因此可知，直線l的方程為或.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·三模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
二、多選題
2．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，若定點(diǎn)滿足，則（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為 B．周長的最小值為5
C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為
三、填空題
3．（2024·廣東廣州·一模）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為C的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，直線MF的斜率為，的面積為4．
(1)求C的方程；
(2)過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的垂線交直線AO于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作直線DF的垂線與C的另一交點(diǎn)為E，AE的中點(diǎn)為G，證明：G，B，D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相等．
參考答案：
題號 1 2
答案 B BD
1．B
【分析】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，可得，所以，，
則．因?yàn)椋裕?br/>則，解得或．因?yàn)椋裕?br/>故選：B
2．BD
【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出，求出拋物線方程，即可判斷A；根據(jù)拋物線的定義判斷B，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷C；設(shè)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解.
【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
又點(diǎn)滿足，則，
整理得，解得或（舍去），
即拋物線，
所以準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義可知，
則周長
，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號，
所以周長的最小值為，故B正確；
對于選項(xiàng)C：過點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，
即，解得，即，
則，
所以四邊形不是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：設(shè)，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以的最小值為，故D正確；
故選：BD
3．2
【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圖形并借助到兩點(diǎn)距離的和不小于這兩點(diǎn)間距離求出最小值即得.
【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則，
化簡得：，即；
當(dāng)時(shí)，，則，
化簡得，，即，
對于曲線上的任意一點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)時(shí)取等號，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)重合于時(shí)取等號，
所以的最小值為2.
故答案為：2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
4．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N，根據(jù)直線MF的斜率為，得到，再根據(jù)的面積為1求出，即可得解.
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，將代入直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，根據(jù)直線與直線垂直，可得，然后列出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出G，B，D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相等.
【詳解】（1）設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N，
∵直線MF的斜率為，∴，又，
∴，∴．
故拋物線C的方程為：．
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立，得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
又因?yàn)橹本€AO的方程為，
將代入，可得，即點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋瑒t，
所以直線AE的方程為，
聯(lián)立，得，則，
故，，
故G，B，D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相等.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)雙曲線C的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和C的虛軸端點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線平行．將C的兩條漸近線分別記為，右焦點(diǎn)記為F，若以O(shè)F為直徑的圓M交直線于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)B在上，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為.和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A． B．四邊形的面積為
C． D．的取值范圍為
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)（）是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．直線與拋物線相切
參考答案：
題號 1 2 3
答案 A ACD BCD
1．A
【分析】直線l與C的一條漸近線平行求出可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)得點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得漸近線方程，設(shè)，求出，利用平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、余弦的二倍角公式計(jì)算可得答案.
【詳解】過的直線斜率為，則，則，依題知，
且，則，即，
根據(jù)，得，代入，
得，漸近線方程，
設(shè)，
，由，所以，
．
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)解析中與向量問題的結(jié)合時(shí)，一般的思路有兩個(gè)，一個(gè)是尋找?guī)缀侮P(guān)系，比如：中點(diǎn)、垂直、角平分線等，利于數(shù)形結(jié)合求解；另一個(gè)是通過向量坐標(biāo)化，進(jìn)而轉(zhuǎn)成代數(shù)運(yùn)算求解.
2．ACD
【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷A，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面積，從而判斷B，連接，由定義得到，從而得到，，即可推出，從而判斷C，不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)求出，當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時(shí)求出，再求出當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)的范圍，即可判斷D.
【詳解】設(shè)直線與直線分別交于、，由題可知，，
所以，，故A正確；
如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
所以拋物線的方程為，
連接，由拋物線的定義可知，，又，
所以，所以，代入，可得，
所以，又，故四邊形的面積為，故B錯(cuò)誤；
連接，因?yàn)椋裕?br/>所以，故，故C正確；
根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，
設(shè)在直線上的射影分別為，
當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，
當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為，
當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，因?yàn)椋?br/>直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，
設(shè)，則，所以，所以；
當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，設(shè)，
與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，
設(shè)，則，
則，
當(dāng)，即時(shí)取等號，故此時(shí)；
當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；
綜上可得，故D正確．
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是拋物線的定義的理解及應(yīng)用，將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.
3．BCD
【分析】對A：借助斜率公式可表示出直線的斜率，即可表示直線的方程，聯(lián)立曲線，結(jié)合相切的性質(zhì)與根的判別式計(jì)算即可得；對B：同A可得，結(jié)合因式分解計(jì)算即可得；對C：將B中所得代入A中所得即可得；對D：將直線的方程與拋物線聯(lián)立，可得其根的判別式，即可得解.
【詳解】對A：∵直線的斜率為，
∴直線的方程為，
即，
∵，∴直線的方程為，
聯(lián)立，消得：，
∵直線與拋物線相切，∴，
∴，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對B：同理可得，∴，
∵，∴
整理得，
∵，∴，∴選項(xiàng)B正確；
對C：由可得，
代入得，∴選項(xiàng)C正確；
對D：將直線的方程與拋物線聯(lián)立，
同理可得，
∴直線與拋物線相切，∴選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助相切的性質(zhì)，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，從而通過計(jì)算去得到所有縱坐標(biāo)的關(guān)系.
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