資源簡介

專題56 用樣本估計(jì)總體（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 5
【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計(jì) 5
【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計(jì) 7
【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計(jì) 9
【分層檢測】 11
【基礎(chǔ)篇】 11
【能力篇】 15
考試要求：
1.會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).
2.會用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度.
1.總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2.樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝
，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系
(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
2.平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么
①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表
畝產(chǎn)量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
頻數(shù) 6 12 18 30 24 10
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
2．（2022·全國·高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
二、多選題
3．（2023·全國·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差
D．的極差不大于的極差
三、解答題
4．（2024·上海·高考真題）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．
(1)隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；
(2)進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．
5．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計(jì)
一、單選題
1．（2025·黑龍江大慶·一模）法國當(dāng)?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說過，奧運(yùn)會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專題的答題活動.為了調(diào)查男生和女生對奧運(yùn)會的關(guān)注程度，在高一年級隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：
男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96
女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92
則下列說法錯誤的是（ ）
A．男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86
B．男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)
C．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變
D．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變
2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．86 B．87 C．88 D．90
二、多選題
3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）某學(xué)校共有2000名男生，為了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（ ）

A．樣本的眾數(shù)為67.5 B．樣本的分位數(shù)為72.5
C．樣本的平均值為66 D．該校男生中體重低于的學(xué)生大約為150人
4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）某企業(yè)是一所大學(xué)的社會實(shí)踐基地，實(shí)踐結(jié)束后學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行考核評分，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學(xué)校規(guī)定，把成績位于后的學(xué)生劃定為不及格，把成績位于前的學(xué)生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．本次測試及格分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為60分 B．本次測試優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為75分
C．本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70分 D．本次測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)
三、填空題
5．（2024·上海·模擬預(yù)測）某同學(xué)高三以來成績依次為110，93，92，93，88，86，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為 ．
6．（2024·云南曲靖·二模）抽樣統(tǒng)計(jì)得到某班8名女生的身高分別為，則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是 .
反思提升：
計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計(jì)
一、單選題
1．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（　　）

A． B．
C． D．
2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天
B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3
C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時
D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時
二、多選題
3．（2025·廣東·一模）現(xiàn)有十個點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，它們分別與 關(guān)于點(diǎn)對稱.已知 的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，方差為，極差為，則 這組數(shù)滿足（ ）
A．平均數(shù)為 B．中位數(shù)為
C．方差為 D．極差為
4．（23-24高一下·全國·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（ ）
A．圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)
B．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)
C．圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)
D．圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)
三、填空題
5．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文 數(shù)學(xué) 英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．
關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：
①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小；
②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；
③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；
④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
6．（2014高三·全國·專題練習(xí)）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，，則它們的大小關(guān)系為 .（用“<”連接）
反思提升：
(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)
中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.
(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征
①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；
③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.
【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計(jì)
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知有4個數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個數(shù)據(jù)的新方差為（ ）
A． B． C．6 D．10
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為10，且，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．9.2 B．10.8 C．9.75 D．10.25
二、多選題
3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個點(diǎn)
B．已知命題，，則命題的否定為，
C．若為取有限個值的離散型隨機(jī)變量，則
D．若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為17和54
4．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）下列說法中，正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32
B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則
C．已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則
D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4
三、填空題
5．（2023·吉林·一模）吉林市一中學(xué)有男生900人，女生600人．在“書香校園”活動中，為了解全校學(xué)生的讀書時間，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生，其中男生、女生每天讀書時間的平均值分別為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15．結(jié)合上述數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生每天讀書時間的平均值為 分鐘，方差為 ．
6．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文 數(shù)學(xué) 英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．
關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：
①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小；
②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；
③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；
④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
反思提升：
標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某高校為宣揚(yáng)中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽，在比賽中，由A，B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分.根據(jù)兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（ ）
A．B組打分的方差小于A組打分的方差
B．B組打分的中位數(shù)為75
C．A組的意見相對一致
D．A組打分的眾數(shù)為50
2．（2024·四川·一模）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間，，…，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
根據(jù)圖中信息判斷，下列說法中不恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)是（ ）
A．圖中的值為
B．這天中有天的日銷售量不低于kg
C．這天銷售量的中位數(shù)的估計(jì)值為kg
D．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在天中，大約有天可以滿足顧客的需求），則每天的蘋果進(jìn)貨量應(yīng)為kg
3．（2024·廣東珠海·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，則這組數(shù)據(jù)中的數(shù)均相等
B．兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等
C．若兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，則這兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng)
D．已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的觀測值的部分臨界值如下表：
0.1 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量沒有關(guān)系
4．（2024·四川資陽·二模）某產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是50克/袋，抽取8袋該產(chǎn)品，稱出各袋的質(zhì)量（單位：克）如下：48，49，50，50，50，50，51，52.這8袋產(chǎn)品中，質(zhì)量在以平均數(shù)為中心，1倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的有（ ）
A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋
二、多選題
5．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是17
B．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11
C．若隨機(jī)變量，則
D．若隨機(jī)變量，若，則
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．極差是4 B．眾數(shù)小于平均數(shù)
C．方差是1.8 D．?dāng)?shù)據(jù)的80%分位數(shù)為4
7．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某地農(nóng)研所為研究新的大豆品種，在面積相等的80塊豆田上種植一種新型的大豆，得到各塊豆田的畝產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)按，，，，，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)低于180kg
B．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差不高于60kg
C．在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為
D．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)高于
三、填空題
8．（2024·廣東珠海·一模）甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是 分，方差是 分．
9．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知樣本的平均數(shù)為2，方差為2023，則的平均數(shù)為 .
10．（2024·江西·模擬預(yù)測）某新能源汽車店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為 ．
四、解答題
11．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）2024年，全國政協(xié)十四屆二次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月10日上午閉幕；十四屆全國人大二次會議于3月5日上午開幕，11日上午閉幕.為調(diào)查居民對兩會相關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)全體居民得分的方差（各組以區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；
(2)為鼓勵小區(qū)居民學(xué)習(xí)兩會精神，移動公司計(jì)劃為參與本次活動的居民進(jìn)行獎勵，獎勵分為以下兩種方案：
方案一：參與兩會知識問答的所有居民每人獎勵20元話費(fèi)充值卡；
方案二：問答活動得分低于平均分的居民獎勵15元話費(fèi)充值卡，得分不低于平均分的居民獎勵25元話費(fèi)充值卡.
你認(rèn)為哪種方案，小區(qū)居民所得的獎勵更多，請說明理由.
12．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）某機(jī)構(gòu)為了解2023年當(dāng)?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100人，對其2023年全年網(wǎng)購消費(fèi)金額（單位：千元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所統(tǒng)計(jì)的金額均在區(qū)間內(nèi)，并按，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中的值，并估計(jì)居民網(wǎng)購消費(fèi)金額的中位數(shù)；
(2)若將全年網(wǎng)購消費(fèi)金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系？說明理由．
男 女 合計(jì)
網(wǎng)購迷 20
非網(wǎng)購迷 47
合計(jì)
下面的臨界值表僅供參考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（參考公式：，其中
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·二模）有一組樣本數(shù)據(jù)：，，，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，，，2，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（ ）
A．眾數(shù) B．中位數(shù)
C．方差 D．極差
二、多選題
2．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則（ ）
A．
B．估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14
C．估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25
三、填空題
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某小學(xué)對四年級的某個班進(jìn)行數(shù)學(xué)測試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學(xué)測試的總體方差為 ．
四、解答題
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）四月的武漢被百萬株薔薇花覆蓋，形成了全城的花海景觀。薔薇花一般扦插繁殖，園林局為了更好的了解扦插枝條的長度對繁殖狀況的影響，選擇甲乙兩區(qū)按比例分層抽樣來抽取樣本．已知甲區(qū)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙區(qū)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．
(1)求由兩區(qū)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；（結(jié)果保留一位小數(shù)）
(2)為了營造“花在風(fēng)中笑，人在畫中游”的美景，甲乙兩區(qū)決定在各自最大的薔薇花海公園進(jìn)行一次書畫比賽，兩區(qū)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲區(qū)舉行．比賽規(guī)則如下：每場比賽分出勝負(fù)，沒有平局，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲區(qū)舉行時，甲區(qū)代表隊(duì)獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙區(qū)舉行時，甲區(qū)代表隊(duì)獲勝的概率為．假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲區(qū)代表隊(duì)的最終得分記為X，求X的分布列及的值．
參考數(shù)據(jù)：
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題56 用樣本估計(jì)總體（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點(diǎn)突破】 8
【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計(jì) 8
【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計(jì) 12
【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計(jì) 17
【分層檢測】 21
【基礎(chǔ)篇】 21
【能力篇】 30
考試要求：
1.會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).
2.會用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度.
1.總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
(2)計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2.樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝
，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系
(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
2.平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么
①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表
畝產(chǎn)量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
頻數(shù) 6 12 18 30 24 10
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
2．（2022·全國·高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
二、多選題
3．（2023·全國·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差
D．的極差不大于的極差
三、解答題
4．（2024·上海·高考真題）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．
(1)隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；
(2)進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．
5．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
參考答案：
題號 1 2 3
答案 C B BD
1．C
【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】對于 A, 根據(jù)頻數(shù)分布表可知, ,
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于 , 故 A 錯誤；
對于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，
所以低于的稻田占比為，故B錯誤；
對于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；
對于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯誤.
故選；C.
2．B
【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；
講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；
講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯；
講座后問卷答題的正確率的極差為，
講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.
故選:B.
3．BD
【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，
則，
因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，
可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈担亲畲笾担?br/>則的波動性不大于的波動性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，
例如：，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
顯然，即；故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；
故選：BD.
4．(1)
(2)一級果抽取6箱，二級果抽取2箱
(3)方差克，平均數(shù)克，預(yù)估平均質(zhì)量為克
【分析】（1）利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分層抽樣的定義進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)公式計(jì)算出總體樣本平均質(zhì)量和方差，并預(yù)估平均質(zhì)量.
【詳解】（1）設(shè)A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，
樣本空間的樣本點(diǎn)的個數(shù)，
A事件的樣本點(diǎn)的公式，
所以；
（2）因?yàn)橐患壒鋽?shù)：二級果箱數(shù)，
所以8箱水果中有一級果抽取箱，二級果抽取箱；
（3）設(shè)一級果平均質(zhì)量為，方差為，二級果質(zhì)量為，方差為，
總體樣本平均質(zhì)量為，方差為，
因?yàn)椋?br/>所以克，
克．
預(yù)估平均質(zhì)量為克．
5．(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計(jì)
一、單選題
1．（2025·黑龍江大慶·一模）法國當(dāng)?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說過，奧運(yùn)會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專題的答題活動.為了調(diào)查男生和女生對奧運(yùn)會的關(guān)注程度，在高一年級隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：
男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96
女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92
則下列說法錯誤的是（ ）
A．男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86
B．男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)
C．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變
D．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變
2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（ ）
A．86 B．87 C．88 D．90
二、多選題
3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）某學(xué)校共有2000名男生，為了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（ ）

A．樣本的眾數(shù)為67.5 B．樣本的分位數(shù)為72.5
C．樣本的平均值為66 D．該校男生中體重低于的學(xué)生大約為150人
4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）某企業(yè)是一所大學(xué)的社會實(shí)踐基地，實(shí)踐結(jié)束后學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行考核評分，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學(xué)校規(guī)定，把成績位于后的學(xué)生劃定為不及格，把成績位于前的學(xué)生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．本次測試及格分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為60分 B．本次測試優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為75分
C．本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70分 D．本次測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)
三、填空題
5．（2024·上海·模擬預(yù)測）某同學(xué)高三以來成績依次為110，93，92，93，88，86，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為 ．
6．（2024·云南曲靖·二模）抽樣統(tǒng)計(jì)得到某班8名女生的身高分別為，則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是 .
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 D B AB CD
1．D
【分析】根據(jù)百分位數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的定義一一判斷即可.
【詳解】對于A：，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，故A正確；
對于B：男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故B正確；
對于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；
對于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，
但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.
故選：D
2．B
【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，
因?yàn)椋?br/>所以第75百分位數(shù)是．
故選：B．
3．AB
【分析】由頻率分布直方圖的眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)以及頻數(shù)的計(jì)算公式對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A：樣本的眾數(shù)為67.5，故A正確；
對于B：設(shè)樣本的分位數(shù)為，
因?yàn)椋?br/>則，解得：，故B正確；
對于C：設(shè)樣本的平均值為，
則，故C不正確；
對于D：該校男生中低于的學(xué)生所占的頻率為：，
該校男生中低于的學(xué)生大約為人，故D不正確.
故選：AB.
4．CD
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷AB，根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷，根據(jù)頻率分布直方圖左拖尾可判斷D．
【詳解】A．由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)小于60分的概率為，分?jǐn)?shù)小于50分的概率為，
所以分?jǐn)?shù)的分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，故A錯誤；
B．由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)大于80分的概率為0.2，分?jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5，
所以優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其為，
則，
解得，故B錯誤；
C．因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5，所以本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70分，故C正確；
D．因?yàn)轭l率分布直方圖左拖尾，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確．
故選：CD．
5．
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行求解.
【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列，，
，故從小到大，選擇第3個數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)，即.
故答案為：92
6．159
【分析】利用百分位數(shù)的估計(jì)公式計(jì)算可得.
【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大排列為：，
由，得第75百分位數(shù)是.
故答案為：159
反思提升：
計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計(jì)
一、單選題
1．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（　　）

A． B．
C． D．
2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天
B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3
C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時
D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時
二、多選題
3．（2025·廣東·一模）現(xiàn)有十個點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，它們分別與 關(guān)于點(diǎn)對稱.已知 的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，方差為，極差為，則 這組數(shù)滿足（ ）
A．平均數(shù)為 B．中位數(shù)為
C．方差為 D．極差為
4．（23-24高一下·全國·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（ ）
A．圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)
B．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)
C．圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)
D．圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)
三、填空題
5．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文 數(shù)學(xué) 英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．
關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：
①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小；
②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；
③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；
④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
6．（2014高三·全國·專題練習(xí)）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，，則它們的大小關(guān)系為 .（用“<”連接）
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 D C ABCD ACD
1．D
【分析】根據(jù)題意求中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，對比即可得結(jié)果.
【詳解】30個數(shù)中第15個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以中位數(shù)，
由題意可知：眾數(shù)，
平均值＝.
所以.
故選：D.
2．C
【分析】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.
【詳解】對于A，該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的天數(shù)為：天，故A錯誤；
對于B，估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為，故B錯誤；
對于C，的頻率為，的頻率為，
則該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為，故C正確；
對于D，估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為，故D錯誤；
故選：C
3．ABCD
【分析】根據(jù)對稱知識可得，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的性質(zhì)，即可判斷出答案.
【詳解】由于 ，它們分別與 關(guān)于點(diǎn)對稱，
則有，即有 .
則由平均數(shù)的性質(zhì)可得這組數(shù)的平均數(shù)為 ，
結(jié)合中位數(shù)性質(zhì)可知中位數(shù)為 ，結(jié)合方差性質(zhì)可得方差為，極差非負(fù)，所以極差為.
故選：ABCD
4．ACD
【詳解】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.
【分析】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；
圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯誤，C正確；
圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.
故選：ACD.
5．①②④
【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的定義判斷①；求得語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生人數(shù)判斷②；求得語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名的同學(xué)判斷③；求得從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率判斷④.
【詳解】①：三科中，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)比英語對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離近且較為密集，
數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離比語文對應(yīng)的點(diǎn)到縱軸距離近且較為密集，
所以數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；
②：語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人.判斷正確；
③：本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名為同一名同學(xué).判斷錯誤；
④：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學(xué)，
語文排名大于200且英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的同學(xué)僅有1位同學(xué).
故從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，
則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．判斷正確.
故答案為①②④
6．
【分析】根據(jù)平均數(shù)公式及方差公式分別計(jì)算、、，即可判斷；
【詳解】由圖甲：平均值為，
，
，
，
，
，
則標(biāo)準(zhǔn)差，
故答案為：.
反思提升：
(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)
中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.
(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征
①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；
③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.
【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計(jì)
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知有4個數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個數(shù)據(jù)的新方差為（ ）
A． B． C．6 D．10
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為10，且，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．9.2 B．10.8 C．9.75 D．10.25
二、多選題
3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個點(diǎn)
B．已知命題，，則命題的否定為，
C．若為取有限個值的離散型隨機(jī)變量，則
D．若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為17和54
4．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）下列說法中，正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32
B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則
C．已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則
D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4
三、填空題
5．（2023·吉林·一模）吉林市一中學(xué)有男生900人，女生600人．在“書香校園”活動中，為了解全校學(xué)生的讀書時間，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生，其中男生、女生每天讀書時間的平均值分別為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15．結(jié)合上述數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生每天讀書時間的平均值為 分鐘，方差為 ．
6．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文 數(shù)學(xué) 英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．
關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：
①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小；
②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；
③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；
④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 C B BD BC
1．C
【分析】設(shè)原來的 4 個數(shù)依次為 , , , , 再利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式結(jié)合整體法即可.
【詳解】設(shè)原來的4個數(shù)依次為，，，，
原來4個數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，
，
，
，
，
現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
，
則這6個數(shù)據(jù)的方差為:
.
故選：C.
2．B
【分析】根據(jù)條件中的方差和，代入新數(shù)據(jù)的方差公式，即可求解.
【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，
且樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為，
故：
故選：B
3．BD
【分析】對于選項(xiàng)A，回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，回歸直線可能不過任何一個點(diǎn)；對于選項(xiàng)B，全稱量詞命題的否定的方法是改量詞，否結(jié)論；對于選項(xiàng)C，由即可判斷正誤；對于選項(xiàng)D，計(jì)算出、的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.
【詳解】對于選項(xiàng)A，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，但不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B，命題的否定為“”，故B正確；
對于選項(xiàng)C，為取有限個值的離散型隨機(jī)變量，，則，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D，由題意可知，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，則，
所以，數(shù)據(jù)、、、，
平均數(shù)為，，
方差為，
即方差為，所以.
將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、、、、、、，
平均數(shù)為，
方差為，
即方差為. 故D正確.
故選：BD.
4．BC
【分析】根據(jù)第50百分位數(shù)為中位數(shù)判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B，根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)判斷C，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.
【詳解】對數(shù)據(jù)排列：，因?yàn)榈?0百分位數(shù)為中位數(shù)，所以50百分位數(shù)為，故A錯誤；
因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，所以，所以，所以，故B正確；
因?yàn)椋瑒t，故C正確；
因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為2，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯誤.
故選：BC.
5． 68 108
【分析】利用分層抽樣的平均值與方差公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知男生女生抽取比例分別為：，
故抽取樣本的平均值為：，
方差為：.
以此估計(jì)該校學(xué)生每天讀書時間的平均值為68；方差為108.
故答案為：68；108.
6．①②④
【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的定義判斷①；求得語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生人數(shù)判斷②；求得語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名的同學(xué)判斷③；求得從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率判斷④.
【詳解】①：三科中，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)比英語對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離近且較為密集，
數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離比語文對應(yīng)的點(diǎn)到縱軸距離近且較為密集，
所以數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；
②：語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人.判斷正確；
③：本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名為同一名同學(xué).判斷錯誤；
④：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學(xué)，
語文排名大于200且英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的同學(xué)僅有1位同學(xué).
故從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，
則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．判斷正確.
故答案為①②④
反思提升：
標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某高校為宣揚(yáng)中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽，在比賽中，由A，B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分.根據(jù)兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（ ）
A．B組打分的方差小于A組打分的方差
B．B組打分的中位數(shù)為75
C．A組的意見相對一致
D．A組打分的眾數(shù)為50
2．（2024·四川·一模）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間，，…，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
根據(jù)圖中信息判斷，下列說法中不恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)是（ ）
A．圖中的值為
B．這天中有天的日銷售量不低于kg
C．這天銷售量的中位數(shù)的估計(jì)值為kg
D．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在天中，大約有天可以滿足顧客的需求），則每天的蘋果進(jìn)貨量應(yīng)為kg
3．（2024·廣東珠海·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，則這組數(shù)據(jù)中的數(shù)均相等
B．兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等
C．若兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，則這兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng)
D．已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的觀測值的部分臨界值如下表：
0.1 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量沒有關(guān)系
4．（2024·四川資陽·二模）某產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是50克/袋，抽取8袋該產(chǎn)品，稱出各袋的質(zhì)量（單位：克）如下：48，49，50，50，50，50，51，52.這8袋產(chǎn)品中，質(zhì)量在以平均數(shù)為中心，1倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的有（ ）
A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋
二、多選題
5．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（ ）
A．樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是17
B．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11
C．若隨機(jī)變量，則
D．若隨機(jī)變量，若，則
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．極差是4 B．眾數(shù)小于平均數(shù)
C．方差是1.8 D．?dāng)?shù)據(jù)的80%分位數(shù)為4
7．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某地農(nóng)研所為研究新的大豆品種，在面積相等的80塊豆田上種植一種新型的大豆，得到各塊豆田的畝產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)按，，，，，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)低于180kg
B．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差不高于60kg
C．在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為
D．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)高于
三、填空題
8．（2024·廣東珠海·一模）甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是 分，方差是 分．
9．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知樣本的平均數(shù)為2，方差為2023，則的平均數(shù)為 .
10．（2024·江西·模擬預(yù)測）某新能源汽車店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為 ．
四、解答題
11．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）2024年，全國政協(xié)十四屆二次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月10日上午閉幕；十四屆全國人大二次會議于3月5日上午開幕，11日上午閉幕.為調(diào)查居民對兩會相關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)全體居民得分的方差（各組以區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；
(2)為鼓勵小區(qū)居民學(xué)習(xí)兩會精神，移動公司計(jì)劃為參與本次活動的居民進(jìn)行獎勵，獎勵分為以下兩種方案：
方案一：參與兩會知識問答的所有居民每人獎勵20元話費(fèi)充值卡；
方案二：問答活動得分低于平均分的居民獎勵15元話費(fèi)充值卡，得分不低于平均分的居民獎勵25元話費(fèi)充值卡.
你認(rèn)為哪種方案，小區(qū)居民所得的獎勵更多，請說明理由.
12．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）某機(jī)構(gòu)為了解2023年當(dāng)?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100人，對其2023年全年網(wǎng)購消費(fèi)金額（單位：千元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所統(tǒng)計(jì)的金額均在區(qū)間內(nèi)，并按，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中的值，并估計(jì)居民網(wǎng)購消費(fèi)金額的中位數(shù)；
(2)若將全年網(wǎng)購消費(fèi)金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系？說明理由．
男 女 合計(jì)
網(wǎng)購迷 20
非網(wǎng)購迷 47
合計(jì)
下面的臨界值表僅供參考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（參考公式：，其中
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D A B ABD AC BC
1．C
【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖一一分析即可.
【詳解】對于A：觀察折線圖可知，B組的極差大于A組的極差，
且數(shù)據(jù)波動性較A組更大，所以B組打分的方差大于A組打分的方差，故A錯誤；
對于B：B組打分的分值按照從小到大排列為：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中間數(shù)為66，故中位數(shù)為66，故B錯誤；
對于C：A組的打分成績比較均勻，波動更小，故A組意見相對一致，故C正確；
對于D：A組打分的分值為：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以A組打分的分值的眾數(shù)為47，故D錯誤．
故選：C．
2．D
【分析】選項(xiàng)A，利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解；選項(xiàng)B，利用頻率分布直方圖，得到不低于kg的頻率為，即可求解；選項(xiàng)C，設(shè)中位數(shù)為，根據(jù)條件，建立方程，即可求解；選項(xiàng)D，將問題轉(zhuǎn)化成求第分位數(shù)，即可判斷出正誤.
【詳解】對于選項(xiàng)A，由圖知，解得，所以選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B，由圖知日銷售量不低于kg的頻率為，由，所以選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，設(shè)中位數(shù)為，由，解得，所選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，設(shè)第分位數(shù)為，則有，得到，所以選項(xiàng)D錯誤，
故選：D.
3．A
【分析】應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差公式判斷A,特殊值法判斷B,根據(jù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)判斷C,應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義，一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差
時，
顯然A正確；
B選項(xiàng)，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)未必相等，
如均為1和均為2的兩組數(shù)據(jù)，它們的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，
但它們的平均數(shù)分別為1和，B錯誤；
C選項(xiàng)，兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，兩個變量的相關(guān)性越弱，C錯誤；
D選項(xiàng)，，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理，
在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量有關(guān)系，D錯誤.
故選：A
4．B
【分析】根據(jù)方差的運(yùn)算公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】這8袋產(chǎn)品的平均質(zhì)量，
方差，
標(biāo)準(zhǔn)差.質(zhì)量在以平均數(shù)為中心，1倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，即在內(nèi)的產(chǎn)品有6袋.
故選：B
5．ABD
【分析】對于A由下四分位數(shù)的概念即可判斷；對于B，由平均數(shù)的計(jì)算公式即可判斷；對于C由二項(xiàng)分布即可判斷;對于D由正態(tài)分布的對稱性即可判斷.
【詳解】對于A.從小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由，所以下四分位數(shù)是17正確；
對于B，正確；
對于C，由二項(xiàng)分布可得：，錯誤；
對于D，由正態(tài)分布的對稱性可得：，正確
故選：ABD
6．AC
【分析】由極差的定義計(jì)算后判斷選項(xiàng)A；由眾數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算后判斷選項(xiàng)B；計(jì)算數(shù)據(jù)方差判斷選項(xiàng)C；計(jì)算80%分位數(shù)判斷選項(xiàng)D.
【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，3，3，3，3，4，5，5．
對于A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；
對于B，眾數(shù)為3，平均數(shù)為，兩者相等，故B錯誤；
對于C，方差為，故C正確；
對于D，，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第8個數(shù)和第9個數(shù)的平均數(shù)4.5，故D錯誤．
故選：AC．
7．BC
【分析】對于A，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解；對于B，根據(jù)極差的定義即可求解；對于C，根據(jù)頻率分布直方圖縱坐標(biāo)的意義即可求解；先根據(jù)百分位數(shù)的定義求出第75百分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)分析即可求解.
【詳解】對于A，前三組的頻率為，
前四組的頻率為：，
所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)在之間，故不低于180kg，則A錯誤；
對于B，，，
所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差高于40kg，且不高于60kg，則B正確；
對于C，在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為，則C正確．
對于D，，，
所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)不低于180kg，
當(dāng)畝產(chǎn)量在內(nèi)的豆田的畝產(chǎn)量都是180kg時，這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)為180kg，則D錯誤．
故選：BC.
8． 80
【分析】利用平均數(shù)的定義求出90名學(xué)生的平均成績，根據(jù)局部方差和整體方差的公式進(jìn)行求解.
【詳解】甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績?yōu)榉郑?br/>方差為
故答案為：80，
9．
【分析】根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由題意，可得，所以，
又由，
即，
所以.
故答案為：.
10．13
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后算出分位數(shù)的位置，由百分位數(shù)的定義，即可得到答案.
【詳解】將這8個數(shù)據(jù)從小到大排列得，
因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．
故答案為：13
11．(1)129；
(2)方案一小區(qū)居民所得的獎勵更多，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)直方圖先求平均數(shù)，然后再根據(jù)方差公式計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)直方圖求得分低于平均數(shù)的頻率，然后根據(jù)頻率計(jì)算方案二所需費(fèi)用，再計(jì)算出方案一所需費(fèi)用即可得結(jié)論.
【詳解】（1）依題意，得分平均數(shù)為.
所以方差
（2）得分低于74的頻率為，得分高于74分的頻率為0.48.
因此，方案一所需充值費(fèi)用為：元；
方案二所需充值費(fèi)用為：元.
所以方案一小區(qū)居民所得的獎勵更多.
12．(1)，17.5（千元）
(2)表格見解析，有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中的網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，進(jìn)而給根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可求解，
（2）完善二聯(lián)表，即可計(jì)算卡方，進(jìn)而與臨界值比較即可求解.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：，
解得，
直方圖中從左到右6組的頻率分別為：0.05，0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，
可得網(wǎng)購金額的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，
故，解得：（千元）；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖得樣本中網(wǎng)購迷的人數(shù)為，
列聯(lián)表如下：
男 女 合計(jì)
網(wǎng)購迷 15 20 35
非網(wǎng)購迷 47 18 65
合計(jì) 62 38 100
算得．
有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中的網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·二模）有一組樣本數(shù)據(jù)：，，，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，，，2，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（ ）
A．眾數(shù) B．中位數(shù)
C．方差 D．極差
二、多選題
2．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則（ ）
A．
B．估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14
C．估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25
三、填空題
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某小學(xué)對四年級的某個班進(jìn)行數(shù)學(xué)測試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學(xué)測試的總體方差為 ．
四、解答題
4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）四月的武漢被百萬株薔薇花覆蓋，形成了全城的花海景觀。薔薇花一般扦插繁殖，園林局為了更好的了解扦插枝條的長度對繁殖狀況的影響，選擇甲乙兩區(qū)按比例分層抽樣來抽取樣本．已知甲區(qū)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙區(qū)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．
(1)求由兩區(qū)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；（結(jié)果保留一位小數(shù)）
(2)為了營造“花在風(fēng)中笑，人在畫中游”的美景，甲乙兩區(qū)決定在各自最大的薔薇花海公園進(jìn)行一次書畫比賽，兩區(qū)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲區(qū)舉行．比賽規(guī)則如下：每場比賽分出勝負(fù)，沒有平局，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲區(qū)舉行時，甲區(qū)代表隊(duì)獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙區(qū)舉行時，甲區(qū)代表隊(duì)獲勝的概率為．假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲區(qū)代表隊(duì)的最終得分記為X，求X的分布列及的值．
參考數(shù)據(jù)：．
參考答案：
題號 1 2
答案 D BCD
1．D
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、方差以及極差的定義，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.
【詳解】對A：假設(shè)，，中，有兩個2，兩個3，其它4個數(shù)據(jù)都不相同，且這8個數(shù)據(jù)平均數(shù)為，那么眾數(shù)為和；
再添加一個2后，有三個2，故眾數(shù)為2，眾數(shù)發(fā)生改變，故A錯誤；
對B：假設(shè)，，分別為：，滿足平均數(shù)為，其中位數(shù)為；
添加以后，其中位數(shù)為，中位數(shù)發(fā)生改變，故B錯誤；
對C：，，的平均數(shù)為，方差；
添加2以后，其平均數(shù)還是，方差，故方差發(fā)生改變；
對D：若是，，的最大值或最小值，因?yàn)槠淦骄鶖?shù)為，故這組數(shù)據(jù)都是2，其極差為，添加2后，極差也是0；
若不是，，的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值沒有改變，極值也不發(fā)生變化，故D正確.
故選：D.
2．BCD
【分析】A項(xiàng)，由各組頻率之和為求參數(shù)；B項(xiàng)可由頻率分布直方圖面積與比較，估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間，利用面積關(guān)系建方程求解可得；C項(xiàng)，兩組求加權(quán)平均數(shù)可得；D項(xiàng)，由分別兩組成績的方差與兩組總方差的關(guān)系求解即可.
【詳解】A項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，
則，解得，故A錯誤；
項(xiàng)，前兩個矩形的面積之和為
前三個矩形的面積之和為.
設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，
根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，
所以，估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為，故B正確；
C項(xiàng)，估計(jì)成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為
分，故C正確；
D項(xiàng)，估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為
，故D正確.
故選：BCD.
3．
【分析】先求出總體的平均數(shù)，在利用計(jì)算得解.
【詳解】設(shè)全體同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均分為，方差為，
記，，，，，，
依題意有，
則
.
故答案為：.
4．(1)，
(2)分布列見解析，
【分析】（1）利用平均數(shù)的計(jì)算公式求得，再利用方差的計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得解；
（2）先根據(jù)題意得到的所有可能取值，再利用獨(dú)立事件的概率公式分別求得各個取值的概率，從而利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，得，
因?yàn)?br/>，
同理，
所以
所以總樣本的平均數(shù)為，方差．
（2）依題意可知，的所有可能取值為，
設(shè)“第場比賽在甲鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，
“第場比賽在乙鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，
且，則，，
所以，
，
，
則的分布列為：
X 0 1 2
P
數(shù)學(xué)期望．
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