資源簡介

專題58 分類加法計數原理與分步乘法計數原理（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 3
【考點1】分類加法計數原理的應用 3
【考點2】分步乘法計數原理的應用 4
【考點3】兩個計數原理的綜合應用 6
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 10
考試要求：
1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義.
2.能解決簡單的實際問題.
1.分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.
2.分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.
3.分類加法和分步乘法計數原理，區別在于：分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.
分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.
(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.
(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
3．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
4．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2024·上海·高考真題）設集合中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值 ．
6．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
【考點1】分類加法計數原理的應用
一、單選題
1．（2023·湖南·模擬預測）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲 乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳 射擊 體操三個場地進行志愿服務，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（ ）
A．12種 B．18種 C．24種 D．36種
2．（2024·貴州貴陽·模擬預測）2024年3月16日下午3點，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場，伴隨平地村足球隊在對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足球社的五位同學準備前往村超球隊所在村寨調研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠村，已知每個村至少有一位同學前往，五位同學都會進行選擇并且每位同學只能選擇其中一個村，若學生甲和學生乙必須選同一個村，則不同的選法種數是（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
二、多選題
3．（2024·重慶·模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（ ）
A．可以圍成20個不同的正方形
B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)
C．可以圍成516個不同的三角形
D．可以圍成16個不同的等邊三角形
三、填空題
4．（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）在一個圓周上有8個點，用四條既無公共點又無交點的弦連結它們，則連結方式有 種.
5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有序實數組稱為維向量，為該向量的范數，范數在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數為奇數的的個數為，則 ； ．（用含的式子表示）
6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學生去當志愿者，已知該校現有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有 種（用數字作答）.
反思提升：
分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.
(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準.
(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復.
(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.
【考點2】分步乘法計數原理的應用
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山 黃山 廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數為（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
2．（2023·河南開封·模擬預測）有2男2女共4名大學畢業生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數為（ ）
A．12 B．14 C．36 D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務周六 周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則（ ）
A．只有1人未參加服務的選擇種數是30種
B．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是40種
C．只有1人未參加服務的選擇種數是60種
D．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說法正確的有（ ）
A．數據的第75百分位數是40
B．若，則
C．4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數為種
D．展開式中項的二項式系數為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）《九章算術》、《數書九章》、《周髀算經》是中國古代數學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派人參加連續天的志愿服務活動，其中甲連續參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結果用數值表示）
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山 黃山 廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數為（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
2．（2023·河南開封·模擬預測）有2男2女共4名大學畢業生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數為（ ）
A．12 B．14 C．36 D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務周六 周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則（ ）
A．只有1人未參加服務的選擇種數是30種
B．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是40種
C．只有1人未參加服務的選擇種數是60種
D．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說法正確的有（ ）
A．數據的第75百分位數是40
B．若，則
C．4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數為種
D．展開式中項的二項式系數為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）《九章算術》、《數書九章》、《周髀算經》是中國古代數學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派人參加連續天的志愿服務活動，其中甲連續參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結果用數值表示）
反思提升：
1.利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.
2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.
【考點3】兩個計數原理的綜合應用
一、單選題
1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習）某植物園要在如圖所示的5個區域種植果樹，現有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區域不能種同一種果樹，則共有（ ）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480
2．（2024·全國·模擬預測）“142857”這一串數字被稱為走馬燈數，是世界上著名的幾個數之一，當142857與1至6中任意1個數字相乘時，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個數字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個數字中任選4個數字組成無重復數字的四位數，則在這些組成的四位數中，大于5200的偶數個數是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
二、多選題
3．（22-23高二下·貴州貴陽·階段練習）甲 乙 丙 丁4人做傳接球訓練，球從甲手中開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項正確的是（ ）
A．
B．為等比數列
C．設第次傳球之前球在乙手中的概率為
D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種
4．（22-23高二下·山東棗莊·階段練習）現有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是（ ）
A．選1人為負責人的選法種數為30
B．每組選1名組長的選法種數為3024
C．若推選2人發言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數為335
D．若另有3名學生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種
三、填空題
5．（22-23高二下·湖北·期中）用0~9十個數字排成三位數，允許數字重復，把個位 十位 百位的數字之和等于9的三位數稱為“長久數”，則“長久數”一共有 個．
6．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形 一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
反思提升：
1.在綜合應用兩個原理解決問題時應注意：
(1)一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數原理.(2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地列出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化.
2.解決涂色問題，可按顏色的種數分類，也可按不同的區域分步完成.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·模擬預測）小明在某一天中有七個課間休息時段，為準備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習唱歌，但他希望任意兩個練習的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習的方案.
A．31 B．18 C．21 D．33
2．（2023·河北唐山·一模）將英文單詞“”中的6個字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（ ）
A．120種 B．240種 C．480種 D．960種
3．（2022·遼寧·二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實現了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數學形狀如圖（同一類格子形狀相同）：
“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質地嫩脆、頃刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；
“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（ ）
A．108 B．36 C．9 D．6
4．（2023·云南昆明·模擬預測）如圖所示某城區的一個街心花園，共有五個區域，中心區域E已被設計為代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABCD四個區域中種植鮮花，現有四個品種的鮮花可供選擇，要求每個區域只種一個品種且相鄰區域所種品種不同，則不同的種植方法的種數為（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
二、多選題
5．（2023·湖南·三模）已知一組數據：0，1，2，4，則下列各選項正確的是（ ）
A．該組數據的極差，中位數，平均數之積為10
B．該組數據的方差為2.1875
C．從這4個數字中任取2個不同的數字可以組成8個兩位數
D．在這4個數字中任取2個不同的數字組成兩位數，從這些兩位數中任取一數，取得偶數的概率為
三、填空題
6．（2023·河北保定·一模）某校為促進拔尖人才培養開設了數學、物理、化學、生物、信息學五個學科競賽課程，現有甲、乙、丙、丁四位同學要報名競賽課程，由于精力和時間限制，每人只能選擇其中一個學科的競賽課程，則恰有兩位同學選擇數學競賽課程的報名方法數為 ．
7．（22-23高三·廣東汕頭·階段練習）如果一個四位數的各位數字互不相同，且各位數字之和等于10，則稱此四位數為“完美四位數（如1036），則由數字0，1，2，3，4，5，6，7構成的“完美四位數”中，奇數的個數為 ．
8．（2023·安徽·模擬預測）數學課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標系中有一個3乘3方格圖（小正方形邊長為1），一共有十六個紅色的格點，游戲規則是每一步可以改變其中一個點的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個點由紅色改成綠色，則這個點周圍與之相鄰的點也要從原來的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個點也要變成綠色，那么最少需要 步，才能使得位于直線上的四個點變成綠色，而其他點都是紅色.
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種 B．32種 C．24種 D．16種
2．（2023·四川雅安·一模）甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有五個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
3．（2024·福建泉州·二模）2024年“花開刺桐城”閩南風情系列活動在泉州舉辦，包含美術、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，文藝晚會等內容．假如在美術、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區域有2幅不同的美術作品、3幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術作品不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F六個區域涂色，要求相鄰區域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有 種.
5．（2024·安徽合肥·模擬預測）除數函數（divisor function）的函數值等于n的正因數的個數，例如，，．則 ．
6．（23-24高三上·河北·期末）將1，2，3，…，9這9個數填入如圖所示的格子中（要求每個數都要填入，每個格子中只能填一個數），記第1行中最大的數為，第2行中最大的數為，第3行中最大的數為，則的填法共有 種.
7．（2024·重慶·模擬預測）重慶位于中國西南部、長江上游地區，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有 種涂色方式．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題58 分類加法計數原理與分步乘法計數原理（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 5
【考點1】分類加法計數原理的應用 5
【考點2】分步乘法計數原理的應用 8
【考點3】兩個計數原理的綜合應用 13
【分層檢測】 17
【基礎篇】 17
【能力篇】 22
考試要求：
1.通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義.
2.能解決簡單的實際問題.
1.分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.
2.分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.
3.分類加法和分步乘法計數原理，區別在于：分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.
分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.
(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.
(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
3．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
4．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2024·上海·高考真題）設集合中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值 ．
6．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B C D D
1．B
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有種.
故選：B.
2．C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種，
故選：C.
3．D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.
故選：D.
4．D
【分析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
所以這2名學生來自不同年級的概率為.
故選：D.
5．329
【分析】三位數中的偶數分個位是0和個位不是0討論即可.
【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數，其余均是偶數．
首先討論三位數中的偶數，
①當個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數有個；
②當個位不為0時，則個位有個數字可選，百位有個數字可選，十位有個數字可選，
根據分步乘法這樣的偶數共有，
最后再加上單獨的奇數，所以集合中元素個數的最大值為個．
故答案為：329．
6．64
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.
【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
【考點1】分類加法計數原理的應用
一、單選題
1．（2023·湖南·模擬預測）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲 乙等4名杭州亞運會志愿者到游泳 射擊 體操三個場地進行志愿服務，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（ ）
A．12種 B．18種 C．24種 D．36種
2．（2024·貴州貴陽·模擬預測）2024年3月16日下午3點，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場，伴隨平地村足球隊在對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足球社的五位同學準備前往村超球隊所在村寨調研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠村，已知每個村至少有一位同學前往，五位同學都會進行選擇并且每位同學只能選擇其中一個村，若學生甲和學生乙必須選同一個村，則不同的選法種數是（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
二、多選題
3．（2024·重慶·模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（ ）
A．可以圍成20個不同的正方形
B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)
C．可以圍成516個不同的三角形
D．可以圍成16個不同的等邊三角形
三、填空題
4．（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）在一個圓周上有8個點，用四條既無公共點又無交點的弦連結它們，則連結方式有 種.
5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有序實數組稱為維向量，為該向量的范數，范數在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數為奇數的的個數為，則 ； ．（用含的式子表示）
6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學生去當志愿者，已知該校現有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有 種（用數字作答）.
參考答案：
題號 1 2 3
答案 C B ABC
1．C
【分析】本題只需考慮游泳場有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.
【詳解】①游泳場地安排2人，則不同的安排方法有種，
②游泳場地只安排1人，則不同的安排方法有種，
所以不同的安排方法有種.
故選：C
2．B
【分析】分和兩種情況，分別求出不同的選法再相加即可.
【詳解】若五位同學最終選擇為，先選擇一位同學和學生甲和學生乙組成3人小組，
剩余兩人各去一個村，進行全排列，此時有種選擇，
若五位同學最終選擇為，將除了甲乙外的三位同學分為兩組，再進行全排列，
此時有種選擇，
綜上，共有種選擇.
故選：B
3．ABC
【分析】利用分類計算原理及組合，結合圖形，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.
【詳解】不妨設兩個釘子間的距離為1，
對于選項A，由圖知，邊長為1的正方形有個，邊長為的正方形有個，
邊長為3的正方形有1個，邊長為的正方形有個，邊長為的有2個，共有20個，所以選項A正確，
對于選項B，由圖知，寬為1的長方形有個，寬為2的長方形有個，
寬為3的長方形有5個，寬為的有2個，共有24個，所以選項B正確，
對于選項C，由圖知，可以圍成個不同的三角形，所以選項C正確，
對于選項D，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項D錯誤，
故選：ABC.
4．14
【分析】根據加法分類計數原理求解即可.
【詳解】不妨設圓周上的點依次為，
要使得四條弦既無公共點又無交點，如圖所示：

符合圖①的連結方式有2種；符合圖②的連結方式有4種；符合圖③的連結方式有8種；
共計種.
故答案為：.
5． 40
【分析】根據乘法原理和加法原理即可求解；根據和的展開式相減得到的通項公式.
【詳解】根據乘法原理和加法原理得到．
奇數維向量，范數為奇數，則的個數為奇數，即1的個數為1，3，5，…，，
根據乘法原理和加法原理得到，
兩式相減得到.
故答案為：40；.
6．105
【分析】分別求出恰有兩名女生人選、恰有3名女生人選、恰有4名女生人選的選法種數，根據分類加法計數原理，即可求得答案.
【詳解】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有種，
恰有3名女生人選的選法有種，
恰有4名女生人選的選法有種，
所以至少有兩名女生人選的選法有（種），
故答案為：105
反思提升：
分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.
(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準.
(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復.
(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.
【考點2】分步乘法計數原理的應用
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山 黃山 廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數為（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
2．（2023·河南開封·模擬預測）有2男2女共4名大學畢業生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數為（ ）
A．12 B．14 C．36 D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務周六 周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則（ ）
A．只有1人未參加服務的選擇種數是30種
B．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是40種
C．只有1人未參加服務的選擇種數是60種
D．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說法正確的有（ ）
A．數據的第75百分位數是40
B．若，則
C．4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數為種
D．展開式中項的二項式系數為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）《九章算術》、《數書九章》、《周髀算經》是中國古代數學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派人參加連續天的志愿服務活動，其中甲連續參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結果用數值表示）
一、單選題
1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山 黃山 廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數為（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
2．（2023·河南開封·模擬預測）有2男2女共4名大學畢業生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數為（ ）
A．12 B．14 C．36 D．72
二、多選題
3．（23-24高二上·四川·階段練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務周六 周天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則（ ）
A．只有1人未參加服務的選擇種數是30種
B．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是40種
C．只有1人未參加服務的選擇種數是60種
D．恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是60種
4．（2024·甘肅·一模）下列說法正確的有（ ）
A．數據的第75百分位數是40
B．若，則
C．4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數為種
D．展開式中項的二項式系數為56
三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）《九章算術》、《數書九章》、《周髀算經》是中國古代數學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有 種．
6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派人參加連續天的志愿服務活動，其中甲連續參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 種．（結果用數值表示）
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 A B AD ABD
1．A
【分析】先將不平均分組問題分成兩大類，然后由排列組合知識結合加法、乘法計數原理即可得解.
【詳解】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.
第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點，當成2人組時，
其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；
當在4人組時，有種方法.
第二種情況分成2人，3人，3人：當成2人組時，有種方法；
當在3人組時，有種方法.
故這8名同學游玩行程的方法數為.
故選：A.
2．B
【分析】根據題意，分廠只接受1個女生和廠接受2個女生兩類情況，結合廠的分派方案，利用分類、分步計數原理，即可求解.
【詳解】由題意，可分為兩種情況：
①若廠只接受1個女生，有種分派方案，
則廠分派人數可以為或，則有種分派方案，
由分步計數原理可得，共有種不同的分派方案；
②若廠接受2個女生，只有1種分派方案，
則廠分派人數為，則有種分派方案，
此時共有種不同的分派方案，
綜上，由分類計數原理可得，共有種不同的分派方案.
故選：B.
3．AD
【分析】
有1人未參加服務或恰有1人連續參加兩天服務都要先從5人中選出1人，再從余下的人中選取服務于周六周日，根據分步乘法原理，即可求得答案.
【詳解】由題意得只有1人未參加服務，先從5人中選1人，未參加服務，有種選法，
再從余下4人中選2人參加周六服務，剩余2人參加周日服務，有種選法，
故只有1人未參加服務的選擇種數是種，A正確，C錯誤；
恰有1人連續參加兩天服務，先從5人中選1人，服務周六 周天兩天，有種選法，
再從余下4人中選1人參加周六服務，剩余3人選1人參加周日服務，有種選法，
故恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數是種，B錯誤，D正確，
故選：AD
4．ABD
【分析】
由百分位數的定義計算結果判斷選項A；由正態分布的對稱性判斷選項B；由分步計數原理判斷選項C；由二項式定理求指定項的二項式系數判斷選項D.
【詳解】數據，共8個數據，
從小到大排列為，，
所以第75百分位數是第6個數據與第7個數據的平均值，即，A選項正確；
若，則正態密度曲線的對稱軸為，
所以，B選項正確；
4名學生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數為種，C選項錯誤；
由二項式定理可知，展開式中項的二項式系數為，D選項正確.
故選：ABD.
5．
【分析】先求出三人選書沒有要求的選法，再排除三人選擇的書完全相同的選法即可.
【詳解】若三人選書沒有要求，則有種，
若三人選擇的書完全相同，則有種，
所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有種.
故答案為：.
6．
【分析】首先考慮甲連續天的情況，再其余人全排列，按照分步乘法計數原理計算可得.
【詳解】在天里，連續天的情況，一共有種，
則剩下的人全排列有種排法，
故一共有種排法．
故答案為：．
反思提升：
1.利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.
2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.
【考點3】兩個計數原理的綜合應用
一、單選題
1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習）某植物園要在如圖所示的5個區域種植果樹，現有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區域不能種同一種果樹，則共有（ ）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．480
2．（2024·全國·模擬預測）“142857”這一串數字被稱為走馬燈數，是世界上著名的幾個數之一，當142857與1至6中任意1個數字相乘時，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個數字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個數字中任選4個數字組成無重復數字的四位數，則在這些組成的四位數中，大于5200的偶數個數是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
二、多選題
3．（22-23高二下·貴州貴陽·階段練習）甲 乙 丙 丁4人做傳接球訓練，球從甲手中開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項正確的是（ ）
A．
B．為等比數列
C．設第次傳球之前球在乙手中的概率為
D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種
4．（22-23高二下·山東棗莊·階段練習）現有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是（ ）
A．選1人為負責人的選法種數為30
B．每組選1名組長的選法種數為3024
C．若推選2人發言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數為335
D．若另有3名學生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種
三、填空題
5．（22-23高二下·湖北·期中）用0~9十個數字排成三位數，允許數字重復，把個位 十位 百位的數字之和等于9的三位數稱為“長久數”，則“長久數”一共有 個．
6．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形 一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 C A BCD ABC
1．C
【分析】利用分類計數原理求解，按2與4兩區域種植果樹是否相同進行分類即可.
【詳解】分兩類情況：
第一類：2與4種同一種果樹，
第一步種1區域，有5種方法；
第二步種2與4區域，有4種方法；
第三步種3區域，有3種方法；
最后一步種5區域，有3種方法，
由分步計數原理共有種方法；
第二類：2與4種不同果樹，
第一步在1234四個區域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有種方法；
第二步種5號區域，有2種方法，
由分步計數原理共有種方法.
再由分類計數原理，共有種不同的方法.
故選：C.
2．A
【分析】按千位數分別是5，7，8進行分類討論即可.
【詳解】若千位數字是5，則百位數字不能是1，故共有（個）；
（①一個四位數為偶數，則其個位上的數字一定是偶數；②組成的四位數要大于5200，則其千位上的數字是5，7或8）
若千位數字是7，則共有（個）；
若千位數字是8，則共有（個）．
故符合條件的四位數共有（個）．
故選：A
3．BCD
【分析】對于A，求得，可判斷A錯誤；對于B，依題意可得，從而可證明，即可判斷B選項；對于C，由B選項求得，從而可判斷；對于D，列舉法可判斷.
【詳解】對于A，因為第2次傳球之前球不在甲手中，所以， A錯誤；
對于B，因為第次傳球之前球在甲手中的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲手中的概率為，第次傳球之前球不在甲手中的概率為，
則，從而，又，
是以為首項，公比為的等比數列，故正確；
對于C，由選項可得，故，故C正確；
對于D，第3次傳球后球在甲手中有：甲乙丙甲，甲乙丁甲，甲丙乙甲，甲丙丁甲，甲丁乙甲，甲丁丙甲，共6種傳法，
第3次傳球后球在丙手中有：甲乙甲丙，甲乙丁丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，甲丙丁丙，甲丁甲丙，甲丁乙丙，共7種傳法，
第3次傳球后球在丁手中有：甲乙甲丁，甲乙丙丁，甲丙甲丁，甲丙乙丁，甲丁甲丁，甲丁乙丁，甲丁丙丁，共7種傳法，
所以第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式共20種，故D正確.
故選：BCD.
4．ABC
【分析】利用加法計數原理判斷選項A；利用乘法計數原理判斷選項B；利用乘法及加法計數原理判斷選項C；利用間接法并結合乘法計數原理判斷選項D.
【詳解】對于A，選1人為負責人的選法種數：，故A正確；
對于B，每組選1名組長的選法：，故B正確；
對于C，2人需來自不同的小組的選法：，故C正確；
對于D，依題意：若不考慮限制，每個人有4種選擇，共有種選擇，若第一組沒有人選，每個人有3種選擇，共有種選擇，
所以不同的選法有：，故D錯誤；
故選：ABC.
5．
【分析】將“長久數”的排列轉化為將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．
【詳解】設對應個位到百位上的數字，則且，相當于將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，如圖，
這11個數有10個空，用2個隔板隔開分為3組，左起第一組數的和作為，第二組數的和作為，第三組數的和作為，
故共種，
故答案為：45．
6．
【分析】畫圖分析其中四板塊必涂上不同顏色，再根據分類分步計數原理計算剩下的部分即可.
【詳解】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨一色，剩下6個板塊中每2個區域涂同一種顏色.
又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.
①當板塊與板塊同色時，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；
②當板塊與板塊同色時，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.
又板塊顏色可排列，故共種.
故答案為：
反思提升：
1.在綜合應用兩個原理解決問題時應注意：
(1)一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數原理.(2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地列出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化.
2.解決涂色問題，可按顏色的種數分類，也可按不同的區域分步完成.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·模擬預測）小明在某一天中有七個課間休息時段，為準備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習唱歌，但他希望任意兩個練習的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（ ）種練習的方案.
A．31 B．18 C．21 D．33
2．（2023·河北唐山·一模）將英文單詞“”中的6個字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（ ）
A．120種 B．240種 C．480種 D．960種
3．（2022·遼寧·二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實現了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數學形狀如圖（同一類格子形狀相同）：
“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質地嫩脆、頃刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；
“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（ ）
A．108 B．36 C．9 D．6
4．（2023·云南昆明·模擬預測）如圖所示某城區的一個街心花園，共有五個區域，中心區域E已被設計為代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍ABCD四個區域中種植鮮花，現有四個品種的鮮花可供選擇，要求每個區域只種一個品種且相鄰區域所種品種不同，則不同的種植方法的種數為（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
二、多選題
5．（2023·湖南·三模）已知一組數據：0，1，2，4，則下列各選項正確的是（ ）
A．該組數據的極差，中位數，平均數之積為10
B．該組數據的方差為2.1875
C．從這4個數字中任取2個不同的數字可以組成8個兩位數
D．在這4個數字中任取2個不同的數字組成兩位數，從這些兩位數中任取一數，取得偶數的概率為
三、填空題
6．（2023·河北保定·一模）某校為促進拔尖人才培養開設了數學、物理、化學、生物、信息學五個學科競賽課程，現有甲、乙、丙、丁四位同學要報名競賽課程，由于精力和時間限制，每人只能選擇其中一個學科的競賽課程，則恰有兩位同學選擇數學競賽課程的報名方法數為 ．
7．（22-23高三·廣東汕頭·階段練習）如果一個四位數的各位數字互不相同，且各位數字之和等于10，則稱此四位數為“完美四位數（如1036），則由數字0，1，2，3，4，5，6，7構成的“完美四位數”中，奇數的個數為 ．
8．（2023·安徽·模擬預測）數學課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標系中有一個3乘3方格圖（小正方形邊長為1），一共有十六個紅色的格點，游戲規則是每一步可以改變其中一個點的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個點由紅色改成綠色，則這個點周圍與之相鄰的點也要從原來的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個點也要變成綠色，那么最少需要 步，才能使得位于直線上的四個點變成綠色，而其他點都是紅色.
參考答案：
題號 1 2 3 4 5
答案 B B C D BD
1．B
【分析】根據練習唱歌的課間個數進行分類討論，利用列舉法來求得正確答案.
【詳解】七個課間編號為，
如果僅有一個課間練習，則每個課間都可以，有7種方案，
若有兩個課間練習，選法有，
共種方案，
三個課間練習，選法為，共種，
故總數為種.
故選：B
2．B
【分析】先排除b之外的其余四個字母，再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b即可.
【詳解】由題意可先排除b之外的其余四個字母，有種排法，
再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b，有種放法，
故字母b不相鄰的排列方法共有（種），
故選：B
3．C
【分析】利用分步計數原理及分類計數原理即得.
【詳解】由題可知中間格只有一種放法；
十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；
四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有兩種放法，或每種都放兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；
所以不同放法共有種.
故選：C.
4．D
【分析】根據四個區域所種植鮮花的種類進行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.
【詳解】由題意可知：四個區域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：
當種植的鮮花為兩種時：和相同，和相同，共有種種植方法；
當種植鮮花為三種時：和相同或和相同，此時共有種種植方法；
當種植鮮花為四種時：四個區域各種一種，此時共有種種植方法，
綜上：則不同的種植方法的種數為種，
故選：.
5．BD
【分析】對于AB選項，根據極差、中位數、平均數、方差的求法計算即可；對于C選項，利用分步計數原理計算即可；對于D項，根據古典概型計算即可.
【詳解】由數據計算可得：該組數據的極差為4-0=4，中位數為（1+2）÷2=1.5，平均數為（0+1+2+4）÷4=1.75，它們之積為4×1.5×1.75=10.5，故A錯誤；
方差為，故B正確；
先排十位數，有三種排法，再排個位數也是三種派發，故可以組成9個兩位數，即C錯誤；
而組成的9個兩位數其中只有21，41兩個奇數，從中隨機抽一數，抽到偶數的概率為，故D正確.
故選：BD.
6．96
【分析】利用分步加法和分類乘法原理，先安排4名同學的2名選擇數學競賽，在安排剩下的2名同學到其他競賽課程中即可.
【詳解】由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學的2名選擇數學競賽課程，
則有：種情況，
剩下2名同學在選擇物理、化學、生物、信息學四個學科競賽課程時有：
①2名同學選擇1個學科競賽則有：種情況，
②2名同學各選擇1個學科競賽則有種情況，
所以恰有兩位同學選擇數學競賽課程的報名方法數為：
種情況，
故答案為：96.
7．44
【分析】分尾數為1，3，5，7，四種情況，每種情況下考慮有0，無0的情況，結合排列組合知識進行求解，最后相加得到答案.
【詳解】若尾數為1，前三位的數字為，或，或時，0放在百位或十位上，剩余兩個數進行全排列，故共有個完美四位數，
若前三位數字為時，則有個完美四位數；
若尾數為3，前三位的數字為，或時，0放在百位或十位上，剩余兩個數進行全排列，故共有個完美四位數，
若前三位數字為時，有個完美四位數；
若尾數為5，若前三位數字為或時，0放在百位或十位上，剩余兩個數進行全排列，共有個完美四位數，
若尾數為7，若前三位數字為時，0放在百位或十位上，剩余兩個數進行全排列，有個完美四位數；
綜上所述：共有個完美四位數.
故答案為：44
8．4
【分析】先確定點的顏色，再根據題意分步求解即得結果.
【詳解】由題意可知，需要使，，，變成綠色，其他點都是紅色，
第一步：變成綠色，則，也變成綠色；
第二步：變成綠色，則，變成紅色，，變成綠色；
第三步：變成綠色，則，變成紅色，，變成綠色；
第四步：變成綠色，則，變成紅色.
故答案為：4.
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（ ）
A．48種 B．32種 C．24種 D．16種
2．（2023·四川雅安·一模）甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有五個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
3．（2024·福建泉州·二模）2024年“花開刺桐城”閩南風情系列活動在泉州舉辦，包含美術、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，文藝晚會等內容．假如在美術、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區域有2幅不同的美術作品、3幅不同的書法作品、1幅不同的攝影作品，將這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上，第一排掛4幅，第二排掛2幅，則美術作品不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（23-24高二下·江西贛州·期中）提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F六個區域涂色，要求相鄰區域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有 種.
5．（2024·安徽合肥·模擬預測）除數函數（divisor function）的函數值等于n的正因數的個數，例如，，．則 ．
6．（23-24高三上·河北·期末）將1，2，3，…，9這9個數填入如圖所示的格子中（要求每個數都要填入，每個格子中只能填一個數），記第1行中最大的數為，第2行中最大的數為，第3行中最大的數為，則的填法共有 種.
7．（2024·重慶·模擬預測）重慶位于中國西南部、長江上游地區，地跨青藏高原與長江中下游平原的過渡地帶．東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西．現用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有 種涂色方式．
參考答案：
題號 1 2 3
答案 B C C
1．B
【分析】由排列組合以及分類分步計數原理即可得解.
【詳解】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有種排法，
當老師從左到右排在第三位時，共有種排法，于是共有種排法.
故選：B.
2．C
【分析】
根據給定條件，利用兩個原理結合排列、組合應用列式計算即得.
【詳解】求不相同的選擇種數有兩類辦法：恰有3個學校所選研學基地不同有種方法，
4個學校所選研學基地都不相同有種方法，
所以不相同的選擇種數有（種）.
故選：C
3．C
【分析】利用排列組合公式，還需要用到分類計數加法原理和分步計數乘法原理，因為遇到不相鄰問題，還得用插空法原理.
【詳解】由題意知這6幅作品排成兩排掛在同一面墻上的不同掛法有：種，
由于美術作品不相鄰，按以下情形分類：
①美術作品掛在第一排的不同掛法有：種；
②美術作品分掛在兩排的不同掛法有：種；
所以美術作品不相鄰的概率是：，
故選：C.
4．6120
【分析】根據和、和同色或者不同色分類，每一種情況中用分步乘法計數原理，最后利用分類加法計數原理得到涂色方法的數量.
【詳解】假定涂色順序為
若、涂相同顏色，則有種涂法；
若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；
若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；
故由分類加法計數原理得不同的涂色方法共有種.
故答案為：6120.
5．
【分析】根據定義寫出的質數因數，即可得解.
【詳解】因為，它的因數形如，
其中，
所以不同的因數有個，即.
故答案為：.
6．60480
【分析】按第行、第行、第行的順序進行填寫，結合組合和排列的知識求得正確答案.
【詳解】第3行，，可選的位置有3個，其余2個位置任取2個數，共有種情況.
第2行，取剩下6個數中最大的數為，可選的位置有3個，
其余2個位置任取2個數，共有種情況，
第1行，剩下3個數任意排列，則有種情況，
故共有種填法.
故答案為：
7．
【分析】根據題意，得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一中顏色，利用窮舉法，結合排列數公式，即可求解.
【詳解】根據題意，用4種顏色標注6個省份的地圖區域，相鄰省份地圖顏色不相同，
則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個不相鄰的地區涂同一中顏色，
共有：{“四川和湖南”且“貴州和湖北”}、{“四川和湖南”且“貴州和陜西”}、{“四川和湖北”且“貴州和陜西”、{“四川和湖北”且“湖南和陜西”、{“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5種情況，
所以不同的涂色共有種.
故答案為：.
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