資源簡介

專題59 排列與組合（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 8
【考點1】排列問題 8
【考點2】組合問題 12
【考點3】排列與組合的綜合問題 15
【分層檢測】 19
【基礎篇】 19
【能力篇】 26
考試要求：
1.理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式.
2.能解決簡單的實際問題.
1.排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 并按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列
組合 作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
2.排列數與組合數
(1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A表示.
(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示.
3.排列數、組合數的公式及性質
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n).特別地C＝1
性質 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統一，避免出現重復或遺漏.
2.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區別，避免重復或遺漏.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
3．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
4．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
5．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
6．（2022·全國·高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 ．
8．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
9．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
10．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6
答案 B D C B B D
1．B
【分析】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.
【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數顯然是，
根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
2．D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.
故選：D.
3．C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種，
故選：C.
4．B
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有種.
故選：B.
5．B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解
【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，
故選：B
6．D
【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，
若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
7． 24 112
【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結果，即可求解.
【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，
則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，
第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，
則所有的可能結果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個數之和最大，為.
故答案為：24；112
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結果.
8．
【分析】根據排列可求基本事件的總數，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.
【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當，則，則為：
，
，
故有16種，
當，則，同理有16種，
當，則，同理有10種，
當，則，同理有2種，
共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數為，
故所求概率為.
故答案為：
9．64
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.
【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
10．/0.3
【分析】根據古典概型計算即可
【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；
其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.
故答案為：.
解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數為
甲、乙都入選的方法數為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：
【考點1】排列問題
一、單選題
1．（2023·遼寧·三模）安排包括甲、乙在內的4名大學生去3所不同的學校支教，每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有（ ）
A．36種 B．30種 C．24種 D．12種
2．（23-24高三上·山西運城·期末）第33屆夏季奧運會預計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現有三個場地A，B，C分別承擔這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（ ）
A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種
二、多選題
3．（2024·江蘇·模擬預測）若m，n為正整數且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·遼寧遼陽·期末）某班星期一上午要安排語文、數學、英語、物理4節課，且該天上午總共4節課，下列結論正確的是（ ）
A．若數學課不安排在第一節，則有18種不同的安排方法
B．若語文課和數學課必須相鄰，且語文課排在數學課前面，則有6種不同的安排方法
C．若語文課和數學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法
D．若語文課、數學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家福”“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設在上菜的過程中服務員隨機上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為 ．
6．（2024·廣西·模擬預測）第19屆杭州亞運會的吉祥物，分別取名為“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，是一組承載深厚底蘊和充滿時代活力的機器人，組合名為“江南憶”.現有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數共有 .（用數字作答）
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B A AD ABC
1．B
【分析】利用間接法，先求所有的可能情況，再排除甲、乙安排在同一所學校的可能情況.
【詳解】若每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，則不同的安排方法有種，
若甲、乙安排在同一所學校，則不同的安排方法有種，
所以甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有種.
故選：B.
2．A
【分析】分和兩種情況，結合排列組合知識進行求解.
【詳解】若三個場地分別承擔個項目，則有種安排，
若三個場地分別承擔個項目，則有種安排，
綜上，不同的安排方法有種.
故選：A
3．AD
【分析】根據組合數和排列數的計算公式和性質，對每個選項逐一計算即可判斷.
【詳解】對A：由組合數性質：可知，A正確；
對B：，故B錯誤；
對C：，，左右兩邊不相等，故C錯誤；
對D：，故D正確.
故選：AD
4．ABC
【分析】選項A將數學排在后三節，再將其余3個科目全排列即可；選項B采用捆綁法進行求解；選項C采用插空法進行求解；選項D根據除序法進行求解.
【詳解】對于A，有種排法，故A正確；
對于B，采用捆綁法，有種排法，故B正確；
對于C，采用插空法，有種排法，故C正確；
對于D，有種排法，故D錯誤．
故選：ABC
5．/0.25
【分析】根據元素相鄰關系進行捆綁并結合排列問題得出結果.
【詳解】服務員隨機上這八道菜有種排法，
“沙蔥牛肉”，“北京烤鴨”相鄰有種排法，
所以所求概率．
故答案為：.
6．336
【分析】
分兩種情況，前排含有兩種不同名稱的吉祥物和前排含有三種不同名稱的吉祥物，結合排列組合知識進行求解.
【詳解】
由題意可分兩種情形：
①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，
首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，有種情況，
從選出的兩種吉祥物中，其中一種取兩個，另一種選一個，有種排法，
選出的三個吉祥物進行排列，選一個的一定放中間，名字相同的放兩邊，
由于屬于不同的吉祥物，故有種排法，
綜上，有種排法；
其次，后排剩余兩個相同名字的吉祥物和另一個名字不同的吉祥物，
故有種排法，故共有種不同的排法；
②前排含有三種不同名稱的吉祥物，
先從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各二選一，有種選法，
再進行全排列，故有種排法；
同理后排有種排法，此時共有種排法；
因此，共有種排法，
故答案為：336.
反思提升：
排列應用問題的分類與解法
(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.
(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.
【考點2】組合問題
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預測）將8個數學競賽名額全部分給4個不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個名額，則不同的分配方案種數為（ ）
A．56 B．84 C．126 D．210
2．（2024·河南商丘·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·吉林·三模）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創新大賽，下列說法正確的是（ ）
A．若4人中男生女生各選2人，則有18種選法
B．若男生甲和女生乙必須在內，則有12種選法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在內，則有15種選法
D．若4人中既有男生又有女生，則有34種選法
4．（2024·河南信陽·二模）下列命題中真命題是（ ）
A．設一組數據的平均數為，方差為，則
B．將4個人分到三個不同的崗位工作，每個崗位至少1人，有36種不同的方法
C．一組數據148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數為158
D．已知隨機變量的分布列為，則
三、填空題
5．（2024·湖北·二模）已知，且，，，則方程的解的組數為 .
6．（2024·廣東·模擬預測）將1到10這10個正整數平均分成甲、乙兩組，每組5個正整數，且甲組的中位數比乙組的中位數小1，則不同的平分方法共有 種.
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B C AD ABC
1．B
【分析】將問題等價轉換為將 10個數學競賽名額全部分給4個不同的班，每個班至少有1個名額的分法，利用隔板法即可求解.
【詳解】將8個數學競賽名額全部分給4個不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個名額的分法，
等價于將 10個數學競賽名額全部分給4個不同的班，每個班至少有1個名額的分法.
用3個隔板插入10個小球中間的空隙中，將球分成4堆，
由于 10個小球中間共有 9個空隙，因此共有 種不同的分法.
故選：B.
2．C
【分析】利用組合數公式可得，再求和并結合二項式系數的性質求出，然后賦值即得.
【詳解】依題意，
，
則
，
所以.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：正確掌握并運用組合數公式及階乘的運算性質是解決本題的關鍵.
3．AD
【分析】選項A、B根據組合及分步計數原理的知識可列出表達式，進行計算可得結果；選項C、D可采用間接的方法，先計算出反面一共有多少種，然后用總的種數減去反面的種數即可得到結果．
【詳解】對選項A, 依題意，根據組合及分步計數原理，可知一共有種．所以該選項正確；
對選項B, 依題意，要從7名同學中選取4人，而甲乙必須在內，則相當于從5名同學中選取2人，一共有種．所以該選項不正確；
對選項C, 依題意，要從7名同學中選取4人，一共有種，而甲乙都不在內一共有種，
甲與乙至少要有1人在內有種．所以該選項錯誤；
對選項D, 依題意，假設全是男生一共有種，全是女生的情況沒有，
既有男生又有女生一共有種．所以該選項正確.
故選：AD
4．ABC
【分析】對于A，由方差公式平均數公式化簡即可；對于B，由先分組再分配即可；對于C，由百分位數的定義求解即可；對于D，由所以概率之和為1，裂項求和即可判斷.
【詳解】對于A，由方差定義可得，
所以
，A 正確；
對于B，先把4個人分成3組，每組至少一個人，有種分法，
再把三族人分配到三個不同的工作崗位，有種分配方法，
所以共有種不同的方法，故B正確；
對于C，，所以該組數據的第75百分位數為158，故C正確；
對于D，，
所以，所以，故D錯誤.
故選：ABC.
5．15
【分析】問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的方法個數，利用隔板法求解即可.
【詳解】由題意，原問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的方法個數，在7個相同的小球之間形成的6個空中，任選2個放入兩個隔板，共有種方法，
即方程的解的組數為15.
故答案為：15
6．36
【分析】首先確定甲和乙的中位數，再從其他的數字分組，利用組合數公式，即可求解.
【詳解】依題意，甲組的中位數必為5，乙組的中位數必為6，
所以甲組另外四個數，可從1，2，3，4和7，8，9，10這兩組數各取2個，共有.
故答案為：
反思提升：
組合問題常有以下兩類題型變化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.
【考點3】排列與組合的綜合問題
一、單選題
1．（22-23高三下·湖北·階段練習）甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現有三個小區可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區.則每個小區至少有一名志愿者，且甲不在小區的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·江蘇蘇州·開學考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍三種顏色的油漆對其進行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（ ）種不同的放置與上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
二、多選題
3．（21-22高二·全國·單元測試）帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則（ ）
A．全部投入4個不同的盒子里，共有種放法
B．放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法
C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法
D．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
三、填空題
4．（2024·廣東佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點下車，且在每一個公交站點最多只有兩人同時下車，從同一公交站點下車的兩人不區分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數是 ．
5．（2023·廣東汕頭·三模）現在有5人通過3個不同的閘機進站乘車，每個閘機每次只能過1人，要求每個閘機都要有入經過，則有 種不同的進站方式（用數字作答）
參考答案：
題號 1 2 3
答案 B C ACD
1．B
【分析】根據題意，先求得所有情況數，然后求得甲去的情況數，從而得到甲不去小區的情況數，再結合概率公式，即可得到結果.
【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，
再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，
5人被分為或
當5人被分為時，情況數為;
當5人被分為時，情況數為；
所以共有.
由于所求甲不去，情況數較多，反向思考，求甲去的情況數，最后用總數減即可，
當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則
共計種，
當5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，
所以甲不在小區的概率為
故選：B.
2．C
【分析】進行顏色分配，然后利用分類原理的相加和分步相乘的原理進行分析即可.
【詳解】①3個1，3個2，0個3如表：
1 2 1
2 1 2
只用兩種顏色，并選取兩個位置放AB,此時有：種，
②1個1，2個2，3個3如表：
1 3 2
3 2 3
選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個位置放AB,此時有：種，
或
3 1 3
2 3 2
選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個位置放AB,此時有：種，
③2個1，2個2，2個3如表：
3 2
2 3
選用三種顏色（2+2+2），并選取兩個位置放AB，此時有：種，
或
2 3
2 3
選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個位置放AB，此時有：種，
所以不同的放置與上色方式有：
.
故選：C.
3．ACD
【分析】對A：根據分步乘法計數原理運算求解；對B：分類討論一共用了幾個球，再結合捆綁法運算求解；對C：根據分步乘法計數原理運算求解；對D：利用捆綁法運算求解.
【詳解】對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，則共有種放法，A正確；
對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：
全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，B錯誤；
對于C：先選擇4個球，有種，再選擇一個盒子，有種，故共有種放法，C正確；
對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，D正確；
故選：ACD.
4．120
【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點1人獨自出下車和3人中有2人在同一公交站點下車，另人在另外一公交站點下車，兩種情況討論即可，
【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點1人獨自出下車，共有種，
3人中有2人在同一公交站點下車，另1人在另外一公交站點下車，共有種，
故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數是種.
故答案為：120.
5．720
【分析】考慮和兩種情況，結合同一閘機的不同人的順序，計算相加得到答案.
【詳解】將5人分為3組，有和兩種情況：
當分組為時：共有；
當分組為時：共有；
綜上所述：共有種不同的進站方式.
故答案為：.
反思提升：
(1)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.
(2)對于分堆與分配問題應注意三點
①處理分配問題要注意先分堆再分配.
②被分配的元素是不同的.
③分堆時要注意是否均勻.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·貴州·三模）2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學校的3名同學和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學，則不同的站法有（ ）種.
A．48 B．64 C．72 D．120
2．（2024·廣東深圳·二模）已知某六名同學在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學獲得的名次情況可能有（ ）
A．72種 B．96種 C．144種 D．288種
3．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯歡會原定5個節目，已排成節目單，開演前又增加了2個節目，現將這2個新節目插入節目單中，要求新節目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數為（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60．
4．（2024·山東煙臺·一模）將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數為（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
二、多選題
5．（23-24高三上·福建廈門·期中）以下結論中,正確的是（ ）
A．若復數,則
B．若復數滿足,則的最大值為
C．已知復數,其中,,則復數是純虛數的概率為
D．五名學生按任意次序站成一排,則和站兩端的概率為
6．（2023·湖北武漢·一模）已知離散型隨機變量服從二項分布，其中，記為奇數的概率為，為偶數的概率為，則下列說法中正確的有（ ）
A． B．時，
C．時，隨著的增大而增大 D．時，隨著的增大而減小
7．（2024·山東青島·一模）袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件“取出的球的數字之積為奇數”，事件“取出的球的數字之積為偶數”，事件“取出的球的數字之和為偶數”，則（ ）
A．事件與是互斥事件 B．事件與是對立事件
C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨立
三、填空題
8．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習）校運會期間，需要學生志愿者輔助裁判老師進行記錄工作，學生會將從6名志愿者中任意選派3名同學分別承擔鉛球記錄、跳高記錄、跳遠記錄工作，其中甲、乙2人不承擔鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有 種．
9．（2024·廣西·二模）智慧農機是指配備先進的信息技術，傳感器 自動化和機器學習等技術，對農業機械進行數字化和智能化改造的農業裝備，例如：自動育秧機和自動插秧機.正值春耕備耕時節，某智慧農場計劃新購2臺自動育秧機和3臺自動插秧機，現有6臺不同的自動育秧機和5臺不同的自動插秧機可供選擇，則共有 種不同的選擇方案.
10．（2024·河南鄭州·一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會在鄭州國際會展中心拉開帷幕．世界5G大會是全球5G領域國際性盛會，也是首次在豫舉辦．本次大會以“5G變革共繪未來”為主題，以持續推動5G不斷演進創新為目標．現場邀請全球有影響力的科學家、企業家、國際組織負責人等參會，并進行高層次、高水平交流研討．為確保大會順利進行，面向社會招聘優秀志愿者，參與大會各項服務保障工作．現從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務組”、“物料組”、“機動組”四個不同的崗位工作，每人去一個組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有 種．（用數字作答）
四、解答題
11．（2024·河北·模擬預測）有個型號和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現對產品隨機地逐一檢測.
(1)求檢測過程中兩件次品不相鄰的概率；
(2)設檢測完后兩件次品中間相隔正品的個數為，求的分布列和數學期望.
12．（2024·遼寧·二模）小明從4雙鞋中，隨機一次取出2只，
(1)求取出的2只鞋都不來自同一雙的概率；
(2)若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個數為X，求X的分布列及數學期望，
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C C B BC ABC AB
1．C
【分析】利用插空法和分步乘法計數原理即可求解.
【詳解】根據題意，分兩步進行：
第一步：安排3名同學站成一排合影，不同的站法共種；
第二步：安排2名老師，采用插空法，不同的站法共種；
由分步乘法計數原理可得：不同的站法共種.
故選：C
2．C
【分析】根據題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計數原理計算即可.
【詳解】由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況，
若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種，
若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種，
所以所有符合條件的可能是種.
故選：C.
3．C
【分析】根據題意，分為當新節目插在中間的四個空隙中的一個和新節目插在中間的四個空隙中的兩個，結合排列數與組合數的計算，即可求解.
【詳解】根據題意，可分為兩類：
①當新節目插在中間的四個空隙中的一個時，有種方法；
②當新節目插在中間的四個空隙中的兩個時，有種方法，
由分類計數原理得，共有種不同的差法.
故選：C.
4．B
【分析】對每個盒子放入2個球，再看余下2個球的去向即可得解.
【詳解】依題意，每個盒子放入2個球，余下2個球可以放入一個盒子有種方法，放入兩個盒子有種方法，
所以不同放法的種數為.
故選：B
5．BC
【分析】對于A根據復數的除法運算即可判斷;對于B根據復數的模的幾何意義可得復數對應在復平面內的軌跡為以點為圓心，以為半徑的圓即可判斷;對于C由題意得,根據已知符合題意的有組即可求解;對于D先把和排兩端再排其他學生,即根據分布計數原理即可求解.
【詳解】對于A,由,得,,故A錯誤;
對于B,可以看作復數對應的點到的距離為,故復數對應在復平面內的軌跡為以點為圓心,以為半徑的圓,故當點運動到與軸的交點,且向上的位置時,此時最大,最大值為,故B正確;
對于C,在中,,,因為復數為純虛數,所以,此時有共組,所以復數是純虛數的概率為,故 C正確;
對于D,首先將和排兩端共有種情況,再將其余三人全排列共有種情況,所以共有種情況,
因為五名學生按任意次序站成一排,共有種情況,
故和站兩端的概率為,選項D錯誤.
故選:BC.
6．ABC
【分析】選項A利用概率的基本性質即可，B選項由條件可知滿足二項分布，利用二項分布進行分析，選項C，D根據題意把的表達式寫出，然后利用單調性分析即可.
【詳解】對于A選項，由概率的基本性質可知，，
故A正確，
對于B選項，由時，離散型隨機變量服從二項分布，
則，
所以，
，
所以，故B正確，
對于C,D選項，，
當時，為正項且單調遞增的數列，
故隨著的增大而增大故選項C正確，
當時，為正負交替的擺動數列，
故選項D不正確.
故選：ABC.
7．AB
【分析】利用互斥，對立，相互獨立的概念逐一判斷.
【詳解】對于AB：取出的球的數字之積為奇數和取出的球的數字之積為偶數不可能同時發生，且必有一個發生，故事件與是互斥事件，也是對立事件，AB正確；
對于C：如果取出的數為，則事件與事件均發生，不互斥，C錯誤；
對于D：，
則，即事件與不相互獨立，D錯誤；
故選：AB.
8．
【分析】先安排鉛球工作，再安排其他兩項工作進而求解.
【詳解】依題意，分兩步：①在甲乙之外人中任選人，承擔鉛球記錄工作，有種情況；②在剩下的人中任選人，承擔跳高和跳遠記錄工作，有種情況，則不同的安排方法有種
故答案為：
9．150
【分析】利用乘法原理，結合組合知識求解．
【詳解】第一步從6臺不同的自動育秧機選2臺，第二步從5臺不同的自動插秧機選3臺，由乘法原理可得選擇方案數為，
故答案為：150.
10．
【分析】首先計算出所有的選派方式，再挑選出不合題意選派方式，即可計算出結果.
【詳解】根據題意可知6人中選派4人參與選派方式共有種，
其中甲、乙都不參與的選派方式共有種，
其中甲、乙至少有一人參加且甲去“簽到組”的選派方式共有種，
所以甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種.
故答案為：
11．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）用插空法求出符合條件的事件數，再由古典概型計算可得；
（2）依題意的可能取值為、、、，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望.
【詳解】（1）記檢測過程中兩件次品不相鄰為事件，
依題意即將個芯片排列，其中兩件次品不相鄰的概率，
所以.
（2）依題意的可能取值為、、、，
所以，，，
，
所以的分布列為：
所以.
12．(1)
(2)分布列見解析；
【分析】（1）利用組合的知識，結合古典概型的概率公式即可得解；
（2）根據題意確定X的取值：0，1，2；然后分別求出概率，列出分布列，計算期望即可.
【詳解】（1）由題可得：取出2只都不來自同一雙的概率為：.
（2）由題可知X的取值為：0，1，2，
，，，
故X的分布列為：
X 0 1 2
P
，
故.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·河南·三模）有除顏色外大小相同的9個小球，其中有2個紅球，3個白球，4個黑球，同色球不加區分，將這9個球排成一列，要求2個紅球相鄰，3個白球兩兩互不相鄰，不同的排列種數為（ ）
A．100 B．120 C．10800 D．21600
二、多選題
2．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）若，為正整數且，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·吉林長春·模擬預測）春暖花開季節，小王 小李 小張 小劉四人計劃“五 一”去踏青，現有三個出游的景點：南湖 凈月 蓮花山，假設每人隨機選擇一處景點，在至少有兩人去南湖的條件下有人去凈月的概率為 .
四、解答題
4．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）遠程桌面連接是一種常見的遠程操作電腦的方法，除了windows系統中可以使用內置的應用程序，通過輸入IP地址等連接到他人電腦，也可以通過向日葵，anyviewer等遠程桌面軟件，雙方一起打開軟件，通過軟件隨機產生的對接碼，安全的遠程訪問和控制另一臺電腦.某遠程桌面軟件的對接碼是一個由“1，2，3”這3個數字組成的五位數，每個數字至少出現一次.
(1)求滿足條件的對接碼的個數；
(2)若對接碼中數字1出現的次數為，求的分布列和數學期望.
參考答案：
題號 1 2
答案 A BD
1．A
【分析】將4個黑球放好，把兩個紅球捆綁插空，然后將3個白球插空即可求解.
【詳解】將4個黑球放好有一種，形成5個空，從中選一個空將2個紅球作為一個整體排上，有種排法，
如此就形成6個空，將3個白球插空到6個空中，有種排法，
由分步計數原理得，共有種不同排法．
故選：A．
2．BD
【分析】對A：借助二項式的展開式計算即可得；對B、C、D：結合排列數與組合數的計算公式計算即可得.
【詳解】對A：，又，故A錯誤；
對B：
，
故B正確；
對C： ，
，即，故C錯誤；
對D：，
，即，故D正確.
故選：BD.
3．
【分析】由古典概率結合條件概率的形式計算即可.
【詳解】至少有兩人去南湖的情況有三種：兩人去，三人去，四人去，
其概率為，
至少有兩人去南湖且有人去凈月的概率為，
所以在至少有兩人去南湖的條件下有人去凈月的概率為，
故答案為：.
4．(1)150；
(2)分布列見解析，.
【分析】（1）分兩種情況討論：①當對接碼中一個數字出現3次，另外兩個數字各出現1次；②當對接的中兩個數字各出現2次，另外一個數字出現1次，根據分類加法計數原理即可求解；
（2）隨機變量的取值為1，2，3，求出對應的概率可得分布列，再根據期望公式即可求解.
【詳解】（1）當對接碼中一個數字出現3次，另外兩個數字各出現1次時，
種數為：，
當對接的中兩個數字各出現2次，另外一個數字出現1次時，
種數為：，
所有滿足條件的對接碼的個數為150.
（2）隨機變量的取值為1，2，3，其分布為：
，，
，
故的分布列為：
1 2 3
故.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題59 排列與組合（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】排列問題 4
【考點2】組合問題 5
【考點3】排列與組合的綜合問題 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
考試要求：
1.理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式.
2.能解決簡單的實際問題.
1.排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 并按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列
組合 作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
2.排列數與組合數
(1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A表示.
(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示.
3.排列數、組合數的公式及性質
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n).特別地C＝1
性質 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統一，避免出現重復或遺漏.
2.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區別，避免重復或遺漏.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
3．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
4．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
5．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
6．（2022·全國·高考真題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 ．
8．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
9．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
10．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
【考點1】排列問題
一、單選題
1．（2023·遼寧·三模）安排包括甲、乙在內的4名大學生去3所不同的學校支教，每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有（ ）
A．36種 B．30種 C．24種 D．12種
2．（23-24高三上·山西運城·期末）第33屆夏季奧運會預計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現有三個場地A，B，C分別承擔這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（ ）
A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種
二、多選題
3．（2024·江蘇·模擬預測）若m，n為正整數且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·遼寧遼陽·期末）某班星期一上午要安排語文、數學、英語、物理4節課，且該天上午總共4節課，下列結論正確的是（ ）
A．若數學課不安排在第一節，則有18種不同的安排方法
B．若語文課和數學課必須相鄰，且語文課排在數學課前面，則有6種不同的安排方法
C．若語文課和數學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法
D．若語文課、數學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家福”“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設在上菜的過程中服務員隨機上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為 ．
6．（2024·廣西·模擬預測）第19屆杭州亞運會的吉祥物，分別取名為“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，是一組承載深厚底蘊和充滿時代活力的機器人，組合名為“江南憶”.現有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數共有 .（用數字作答）
反思提升：
排列應用問題的分類與解法
(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.
(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.
【考點2】組合問題
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預測）將8個數學競賽名額全部分給4個不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個名額，則不同的分配方案種數為（ ）
A．56 B．84 C．126 D．210
2．（2024·河南商丘·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·吉林·三模）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創新大賽，下列說法正確的是（ ）
A．若4人中男生女生各選2人，則有18種選法
B．若男生甲和女生乙必須在內，則有12種選法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在內，則有15種選法
D．若4人中既有男生又有女生，則有34種選法
4．（2024·河南信陽·二模）下列命題中真命題是（ ）
A．設一組數據的平均數為，方差為，則
B．將4個人分到三個不同的崗位工作，每個崗位至少1人，有36種不同的方法
C．一組數據148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數為158
D．已知隨機變量的分布列為，則
三、填空題
5．（2024·湖北·二模）已知，且，，，則方程的解的組數為 .
6．（2024·廣東·模擬預測）將1到10這10個正整數平均分成甲、乙兩組，每組5個正整數，且甲組的中位數比乙組的中位數小1，則不同的平分方法共有 種.
反思提升：
組合問題常有以下兩類題型變化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.
【考點3】排列與組合的綜合問題
一、單選題
1．（22-23高三下·湖北·階段練習）甲 乙 丙 丁 戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現有三個小區可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區.則每個小區至少有一名志愿者，且甲不在小區的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·江蘇蘇州·開學考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍三種顏色的油漆對其進行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（ ）種不同的放置與上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
二、多選題
3．（21-22高二·全國·單元測試）帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則（ ）
A．全部投入4個不同的盒子里，共有種放法
B．放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法
C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法
D．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法
三、填空題
4．（2024·廣東佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點下車，且在每一個公交站點最多只有兩人同時下車，從同一公交站點下車的兩人不區分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數是 ．
5．（2023·廣東汕頭·三模）現在有5人通過3個不同的閘機進站乘車，每個閘機每次只能過1人，要求每個閘機都要有入經過，則有 種不同的進站方式（用數字作答）
反思提升：
(1)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.
(2)對于分堆與分配問題應注意三點
①處理分配問題要注意先分堆再分配.
②被分配的元素是不同的.
③分堆時要注意是否均勻.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·貴州·三模）2023年全國中學生數學奧林匹克競賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學校的3名同學和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學，則不同的站法有（ ）種.
A．48 B．64 C．72 D．120
2．（2024·廣東深圳·二模）已知某六名同學在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學獲得的名次情況可能有（ ）
A．72種 B．96種 C．144種 D．288種
3．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯歡會原定5個節目，已排成節目單，開演前又增加了2個節目，現將這2個新節目插入節目單中，要求新節目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數為（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60．
4．（2024·山東煙臺·一模）將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數為（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
二、多選題
5．（23-24高三上·福建廈門·期中）以下結論中,正確的是（ ）
A．若復數,則
B．若復數滿足,則的最大值為
C．已知復數,其中,,則復數是純虛數的概率為
D．五名學生按任意次序站成一排,則和站兩端的概率為
6．（2023·湖北武漢·一模）已知離散型隨機變量服從二項分布，其中，記為奇數的概率為，為偶數的概率為，則下列說法中正確的有（ ）
A． B．時，
C．時，隨著的增大而增大 D．時，隨著的增大而減小
7．（2024·山東青島·一模）袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件“取出的球的數字之積為奇數”，事件“取出的球的數字之積為偶數”，事件“取出的球的數字之和為偶數”，則（ ）
A．事件與是互斥事件 B．事件與是對立事件
C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨立
三、填空題
8．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習）校運會期間，需要學生志愿者輔助裁判老師進行記錄工作，學生會將從6名志愿者中任意選派3名同學分別承擔鉛球記錄、跳高記錄、跳遠記錄工作，其中甲、乙2人不承擔鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有 種．
9．（2024·廣西·二模）智慧農機是指配備先進的信息技術，傳感器 自動化和機器學習等技術，對農業機械進行數字化和智能化改造的農業裝備，例如：自動育秧機和自動插秧機.正值春耕備耕時節，某智慧農場計劃新購2臺自動育秧機和3臺自動插秧機，現有6臺不同的自動育秧機和5臺不同的自動插秧機可供選擇，則共有 種不同的選擇方案.
10．（2024·河南鄭州·一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會在鄭州國際會展中心拉開帷幕．世界5G大會是全球5G領域國際性盛會，也是首次在豫舉辦．本次大會以“5G變革共繪未來”為主題，以持續推動5G不斷演進創新為目標．現場邀請全球有影響力的科學家、企業家、國際組織負責人等參會，并進行高層次、高水平交流研討．為確保大會順利進行，面向社會招聘優秀志愿者，參與大會各項服務保障工作．現從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務組”、“物料組”、“機動組”四個不同的崗位工作，每人去一個組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有 種．（用數字作答）
四、解答題
11．（2024·河北·模擬預測）有個型號和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現對產品隨機地逐一檢測.
(1)求檢測過程中兩件次品不相鄰的概率；
(2)設檢測完后兩件次品中間相隔正品的個數為，求的分布列和數學期望.
12．（2024·遼寧·二模）小明從4雙鞋中，隨機一次取出2只，
(1)求取出的2只鞋都不來自同一雙的概率；
(2)若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個數為X，求X的分布列及數學期望，
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·河南·三模）有除顏色外大小相同的9個小球，其中有2個紅球，3個白球，4個黑球，同色球不加區分，將這9個球排成一列，要求2個紅球相鄰，3個白球兩兩互不相鄰，不同的排列種數為（ ）
A．100 B．120 C．10800 D．21600
二、多選題
2．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）若，為正整數且，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·吉林長春·模擬預測）春暖花開季節，小王 小李 小張 小劉四人計劃“五 一”去踏青，現有三個出游的景點：南湖 凈月 蓮花山，假設每人隨機選擇一處景點，在至少有兩人去南湖的條件下有人去凈月的概率為 .
四、解答題
4．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）遠程桌面連接是一種常見的遠程操作電腦的方法，除了windows系統中可以使用內置的應用程序，通過輸入IP地址等連接到他人電腦，也可以通過向日葵，anyviewer等遠程桌面軟件，雙方一起打開軟件，通過軟件隨機產生的對接碼，安全的遠程訪問和控制另一臺電腦.某遠程桌面軟件的對接碼是一個由“1，2，3”這3個數字組成的五位數，每個數字至少出現一次.
(1)求滿足條件的對接碼的個數；
(2)若對接碼中數字1出現的次數為，求的分布列和數學期望
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