資源簡介

專題60 二項式定理（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 6
【考點1】展開式中的通項問題 6
【考點2】二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題 9
【考點3】二項式系數(shù)的最值問題 13
【分層檢測】 16
【基礎篇】 16
【能力篇】 22
考試要求：
能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
1.二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C，C，…，C.
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì) 性質(zhì)描述
對稱性 與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C
增減性 二項式系數(shù)C 當k＜(n∈N*)時，是遞增的
當k＞(n∈N*)時，是遞減的
二項式 系數(shù)最大值 當n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值
當n為奇數(shù)時，中間的兩項與相等且取得最大值
3.各二項式系數(shù)和
(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展開式形式上的特點
(1)項數(shù)為n＋1.
(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
(4)二項式系數(shù)從C，C，一直到C，C.
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
二、填空題
3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為 ．
4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 ．
5．（2024·上海·高考真題）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為 ．
6．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
7．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
8．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
參考答案：
題號 1 2
答案 A B
1．A
【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.
【詳解】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
2．B
【分析】利用賦值法可求的值.
【詳解】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
3．5
【分析】先設展開式中第項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有，進而求出即可求解.
【詳解】由題展開式通項公式為，且，
設展開式中第項系數(shù)最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.
故答案為：5.
4．20
【分析】根據(jù)題意結合二項展開式的通項分析求解即可.
【詳解】因為的展開式的通項為，
令，可得，
所以常數(shù)項為.
故答案為：20.
5．10
【分析】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.
【詳解】令，，即，解得，
所以的展開式通項公式為，令，則，
．
故答案為：10．
6．
【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式，
令可得，，
則項的系數(shù)為.
故答案為：60.
7．-28
【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.
【詳解】因為，
所以的展開式中含的項為，
的展開式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
8．
【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【詳解】含的項為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．
【考點1】展開式中的通項問題
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為（ ）
A． B． C． D．2
2．（2022·廣東·模擬預測）若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項為（ ）
A． B．3360 C．210 D．16
二、多選題
3．（2022·江蘇揚州·模擬預測）已知，則下列說法中正確的有（ ）
A．的展開式中的常數(shù)項為84
B．的展開式中不含的項
C．的展開式中的各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和相等
D．的展開式中的二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項
4．（2022·江蘇泰州·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·上海·模擬預測）在的展開式中，x的系數(shù)為 ．
6．（21-22高三下·山東德州·階段練習）在的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，則展開式的常數(shù)項為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B B AC ABD
1．B
【分析】因為，結合二項展開的通項公式運算求解.
【詳解】的展開式的通項公式為，，
∵，
∴，解得，
故選：B.
2．B
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)信息，求解出方差的值，代入二項式中，求解二項式展開式的通項公式，求解常數(shù)項即可.
【詳解】解：數(shù)據(jù)0，2，0，2的平均值為1，故方差，
故二項式為，其展開式的通項公式為，
令，解得，
故常數(shù)項為.
故選：B.
3．AC
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式以及二項式系數(shù)的性質(zhì)即可解出．
【詳解】因為展開式的通項公式，所以
當，A正確；
當時，，B錯誤；
的展開式中各項系數(shù)和為，二項式系數(shù)之和為，C正確；
根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，最大，所以，的展開式中二項式系數(shù)最大的項是第五項和第六項，D錯誤.
故選：AC.
4．ABD
【分析】令，可求得，判斷A；寫出的求解式子，結合組合數(shù)的性質(zhì)化簡，即可判斷B；令，即可求得的值，判斷C;對兩邊求導數(shù)，令，即可求得，判斷D.
【詳解】當時，，故A對；
，B對；
令，則，
∴，故C錯；
對等式兩邊求導，
即
令，則，
∴，故D對，
故選：ABD．
5．17
【分析】利用二項式定理寫出兩個二項式的展開式，再分析計算作答.
【詳解】因，，
則在的展開式中，含x的項為：，
所以所求x的系數(shù)為17.
故答案為：17
6．
【分析】根據(jù)二項式定理可知各項系數(shù)和為，二項式系數(shù)和為，可求出，然后在判斷展開式的常數(shù)項.
【詳解】解：由題意得：
令，則，所以的展開式中，各項系數(shù)和為
又二項式系數(shù)和為，所以，解得．
二項展開式的通項，令，得
所以展開式的常數(shù)項為．
故答案為：．
反思提升：
(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可.
(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.
(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.
【考點2】二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題
一、單選題
1．（2021·江西·模擬預測）在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為0，則含的項系數(shù)為（ ）
A．45 B．-45 C．120 D．-120
2．（2022·山東德州·二模）已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
二、多選題
3．（2022·福建龍巖·一模）已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（ ）
A．展開式共有7項 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項
C．所有二項式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項共有4項
4．（2022·廣東深圳·二模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·遼寧沈陽·一模）在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和的比值為，則二項展開式中的常數(shù)項為 .
6．（2022·湖南長沙·一模）已知，則 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 A C CD AD
1．A
【分析】先由只有第六項的二項式系數(shù)最大，求出n=10；再由展開式的所有項的系數(shù)和為0，用賦值法求出a= -1,用通項公式求出的項的系數(shù).
【詳解】∵在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，
∴在的展開式有11項，即n=10；
而展開式的所有項的系數(shù)和為0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展開式的通項公式為：，
要求含的項，只需10-2r=6，解得r=2，所以系數(shù)為.
故選：A
【點睛】二項式定理類問題的處理思路：利用二項展開式的通項進行分析．
2．C
【分析】先根據(jù)“所有項的系數(shù)和”求得，然后利用二項式展開式的通項公式求得正確答案.
【詳解】令，則可得所有項的系數(shù)和為且，解得，
∵的展開式中的通項，
∴當時，展開式中的常數(shù)項為.
故選：C
3．CD
【分析】運用代入法，結合二項式系數(shù)和公式、通項公式以及二項式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因為二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，
所以令可得：.
A：因為，所以展開式共有項，因此本選項說法不正確；
B：因為，所以二項式系數(shù)最大的項是第4項和第項，
因此本選項說法不正確；
C：因為，所以所有二項式系數(shù)和為，所以本選項說法正確；
D：由B可知：，當時，對應的項是有理項，
故本選項說法正確，
故選：CD
4．AD
【分析】結合賦值法、導數(shù)運算以及二項式展開式的通項公式求得正確答案.
【詳解】由，
令得，A選項正確.
令得，B選項錯誤.
二項式展開式的通項公式為，
由此可知是負數(shù)，為正數(shù)，
所以令得，
，
即，C選項錯誤
由，
兩邊求導得，
令得，所以D選項正確.
故選：AD
5．240
【分析】由已知求得，再根據(jù)二項式通項公式的展開式求出常數(shù)項即可.
【詳解】的展開式中，二項式系數(shù)和為，
令，得的展開式中，各項系數(shù)和為，
由題意可得，即，解得，
所以的展開式的通項為，
令，解得，故展開式的常數(shù)項為，
故答案為：240
6．0
【分析】利用賦值法可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，今，得，令，得，
因此，
故答案為：0.
反思提升：
1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
【考點3】二項式系數(shù)的最值問題
一、單選題
1．（2022·山西臨汾·二模）的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（ ）
A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項
二、多選題
3．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 B．所有項的系數(shù)和為
C．二項式系數(shù)最大的項為第6項或第7項 D．有理項共5項
4．（2024高三下·河南·專題練習）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為2187，則下列說法正確的是（ ）
A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為64
B．展開式中存在常數(shù)項
C．展開式中含項的系數(shù)為560
D．展開式中系數(shù)最大的項為
三、填空題
5．（21-22高三下·全國·開學考試）已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項式系數(shù)值為 ．
6．（2024高三上·全國·競賽）在的展開式中，若的系數(shù)為，則 ；若展開式中有且僅有項的系數(shù)最大，則的取值范圍是 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 A C BD ACD
1．A
【分析】根據(jù)可知二項式系數(shù)最大值為，再根據(jù)二項展開式的通項公式賦值即可求出．
【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，即時，x的系數(shù)為，而二項式系數(shù)最大值為，所以，即．
故選：A．
2．C
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和可得，即可根據(jù)通項特征，列舉比較可得最大值.
【詳解】由已知，故，故通項為（，1，…，8），故奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，
故最大，因此第七項的系數(shù)最大，
故選：C．
3．BD
【分析】根據(jù)展開式的通向公式以及二項式系數(shù)的的性質(zhì)求解判斷.
【詳解】因為，所以，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故A錯誤，
令，得所有項的系數(shù)和為，故B正確，
由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第7項，故C錯誤，
因為展開式通項為，
當為整數(shù)時，，3，6，9，12，共有5項，故D正確．
故選：BD．
4．ACD
【分析】利用通項公式結合第4項與第5項的二項式系數(shù)相等可知，可推出，再由各項系數(shù)和為2187，利用賦值可得，解得，從而得到一個已知的二項式，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)和方法去判斷各選項.
【詳解】由二項式的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，
又展開式的各項系數(shù)之和為2187，即當時，，解得，
所以二項式的系數(shù)之和為，
又由奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，
則奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故A正確；
由的展開式的通項，令，
解得，故展開式中不存在常數(shù)項，故B錯誤；
又令，解得，所以展開式中含項的系數(shù)為，故正確；
由得，，又，所以5，
所以展開式中系數(shù)最大的項為，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】寫出通項公式，然后得第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)，列式求解，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解答案.
【詳解】由題意，的展開式的通項為，所以展開式中第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，所以，即，得，所以展開式中最大的二項式系數(shù)值為或.
故答案為：
6． －1
【分析】第一空，根據(jù)二項式展開式中的系數(shù)，列式求解，可得a的值；第二空，討論a的取值范圍，結合題意，列出不等式組，求解即可得答案.
【詳解】由題意知在的展開式中，的系數(shù)為，
即，
若展開式中有且僅有項的系數(shù)最大，不合題意，
當時，所以項的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足，
即得；
當時，奇數(shù)項的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)均為負數(shù)，
則此時需滿足，解得，
綜合可得的取值范圍是，
故答案為：-1；
【點睛】關鍵點點睛：本題第二空解決的關鍵是，注意時，二項展開式中系數(shù)的正負情況，從而列式得解.
反思提升：
二項式系數(shù)最大項的確定方法：當n為偶數(shù)時，展開式中第＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·北京懷柔·模擬預測）在的展開式中，常數(shù)項是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇·二模）已知，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（2024·遼寧·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．55 B． C．30 D．
4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C．9 D．13
二、多選題
5．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128
B．二項式系數(shù)最大的項為第5項
C．有理項共有兩項
D．所有項的系數(shù)的和為
6．（2023·山東青島·一模）在的展開式中,下列說法正確的是( )
A．常數(shù)項是 B．第四項和第六項的系數(shù)相等
C．各項的二項式系數(shù)之和為 D．各項的系數(shù)之和為
7．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結論正確的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)
B．
C．第2020行的第1010個數(shù)最大
D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為
三、填空題
8．（2023·河北·模擬預測）已知多項式，則 .
9．（22-23高二下·湖南·期末）在二項式的展開式中只有第4項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為 .
10．（2023·江蘇南通·一模）展開式中含項的系數(shù)為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D C B AB AC ABD
1．A
【分析】由二項式定理得展開通項并整理，令，求出回代到展開通項即可求解.
【詳解】的展開式通項為，
由題意令，解得，從而常數(shù)項是.
故選：A.
2．D
【分析】先根據(jù)二項展開式的通項公式求得，再利用賦值法，令，進而即可求解．
【詳解】由，
則，得，
令，得，
左右兩邊除以，得，
所以．
故選：D．
3．C
【分析】借助二項式展開式的通項公式計算即可得.
【詳解】對，有，
令，有，
令，有，
則，
故的展開式中的系數(shù)為.
故選：C.
4．B
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可得，則能被整除，結合選項即可求解.
【詳解】因為
，
又能被整除，
所以能被整除，
由選項知當時符合，當，或時均不符合.
故選：B．
5．AB
【分析】先求出二項式系數(shù)和，奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，即可確定A；二項式系數(shù)的最大項，即為中間項，可確定B；整理出通項公式，再對賦值，即可確定C；令，可求出所有項的系數(shù)的和，從而確定D.
【詳解】對于A,二項式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，故A正確；
對于B, 二項式系數(shù)最大為，則二項式系數(shù)最大的項為第5項，故B正確；
對于C,，為有理項，可取的值為，所以有理項共有三項，故C錯誤；
對于D,令，則所有項系數(shù)和為，故D錯誤.
故選：AB.
6．AC
【分析】根據(jù)二項式定理,的通項公式為,對于A,令進行判斷;對于B,令和計算判斷即可;對于C,因為,所以各項的二項式系數(shù)之和為可進行判斷;對于D,令即可進行判斷.
【詳解】根據(jù)二項式定理,的通項公式為,
對于A,常數(shù)項為,故A正確;
對于B,第四項的系數(shù)為,第六項的系數(shù)為,故B錯誤;
對于C,因為,所以各項的二項式系數(shù)之和為,故C正確;
對于D,令,各項的系數(shù)之和為,故D錯誤.
故選:AC.
7．ABD
【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A，利用組合數(shù)公式判斷B，分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)，即可判斷D.
【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個數(shù)字分別為：，，，其和為；
而第行第個數(shù)字就是，故A正確；
對于B：因為，，
所以，故B正確；
對于C：由圖可知：第行有個數(shù)字，
如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；
如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，
所以第行的第個數(shù)最大，故C錯誤；
對于D：依題意：第行從左到右第個數(shù)為，第行從左到右第個數(shù)為，
所以第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故D正確；
故答案為：ABD.
8．74
【分析】利用二項展開式的通項分別求得和的展開式的項，進而求得的值.
【詳解】對于，
其二項展開式的通項為，
令，得，
故，
對于，
其二項展開式的通項為，
令，得，故，
所以.
故答案為：74.
9．
【分析】根據(jù)題意可確定n的值，繼而求得二項展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得答案.
【詳解】因為二項式的展開式中只有第4項二項式系數(shù)最大，
故二項式的展開式有7項，則，
故的通項公式為，
令，
故展開式中的常數(shù)項為，
故答案為：
10．－60
【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.
【詳解】，
設該二項式的通項公式為，
因為的次數(shù)為，所以令，
二項式的通項公式為，
令，
所以項的系數(shù)為，
故答案為：
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項為（ ）
A．24 B．25 C．48 D．49
2．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）被除的余數(shù)為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多選題
3．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知二項展開式，下列說法正確的有（ ）
A．的展開式中的常數(shù)項是
B．的展開式中的各項系數(shù)之和為
C．的展開式中的二項式系數(shù)最大值是
D．，其中為虛數(shù)單位
4．（2024·遼寧·模擬預測）若的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則二項展開式中的有理項（項中是整數(shù)）可以是（ ）
A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項
三、填空題
5．（23-24高三下·江西·階段練習）展開式中項系數(shù)為 .
6．（22-23高三下·四川成都·開學考試）二項式的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，則二項式的展開式中常數(shù)項為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 D B BC ACD
1．D
【分析】利用二項式定理連續(xù)展開兩次，然后令，從而滿足題意的數(shù)組可以是：，將這些數(shù)組回代入通項公式即可運算求解.
【詳解】的展開式通項為
，
令，得滿足題意的數(shù)組可以是：，
規(guī)定，
故所求為.
故選：D.
2．B
【分析】由，寫出的展開式，即可求出被除的余數(shù).
【詳解】因為
，
其中
能被整除，
又，
所以被除的余數(shù)為.
故選：B
3．BC
【分析】結合二項式系數(shù)的性質(zhì)、系數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算計算即可得.
【詳解】，
對A：令，即，則，故A錯誤；
對B：令，即，故各項系數(shù)之和為，故B正確；
對C：由，故二項式系數(shù)中的最大值為，故C正確；
對D：，故D錯誤.
故選：BC.
4．ACD
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的最值可得或，結合二項展開式分析求解.
【詳解】由題意可知：的展開式通項為，
因為中第4項的二項式系數(shù)最大，
當為偶數(shù)，則，即，此時，
令為整數(shù)，可得，
即第1項，第4項，第7項為有理項，故C正確；
當為奇數(shù)，則或，即或，
且，可得，此時，
令為整數(shù)，可得，
即第2項，第5項，第8項為有理項，故AD正確；
故選：ACD.
5．
【分析】可將轉(zhuǎn)化為，然后再利用二項式定理展開求解.
【詳解】由題意得可化簡為，
且其展開式通項為，
其中對于的展開式通項為，，
當時，此時，則的系數(shù)為，
當時，此時，則的系數(shù)為，
所以項系數(shù)為.
故答案為：.
6．
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和公式求，再由二項展開式的通項公式求常數(shù)項即可.
【詳解】由二項式的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，得，即．
所以．
令，得，
所以二項式的展開式中常數(shù)項為．
故答案為：
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題60 二項式定理（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】展開式中的通項問題 3
【考點2】二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題 4
【考點3】二項式系數(shù)的最值問題 5
【分層檢測】 6
【基礎篇】 6
【能力篇】 8
考試要求：
能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
1.二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C，C，…，C.
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì) 性質(zhì)描述
對稱性 與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C
增減性 二項式系數(shù)C 當k＜(n∈N*)時，是遞增的
當k＞(n∈N*)時，是遞減的
二項式 系數(shù)最大值 當n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值
當n為奇數(shù)時，中間的兩項與相等且取得最大值
3.各二項式系數(shù)和
(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展開式形式上的特點
(1)項數(shù)為n＋1.
(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
(4)二項式系數(shù)從C，C，一直到C，C.
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
二、填空題
3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為 ．
4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 ．
5．（2024·上海·高考真題）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為 ．
6．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
7．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
8．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
【考點1】展開式中的通項問題
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值為（ ）
A． B． C． D．2
2．（2022·廣東·模擬預測）若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項為（ ）
A． B．3360 C．210 D．16
二、多選題
3．（2022·江蘇揚州·模擬預測）已知，則下列說法中正確的有（ ）
A．的展開式中的常數(shù)項為84
B．的展開式中不含的項
C．的展開式中的各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和相等
D．的展開式中的二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項
4．（2022·江蘇泰州·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·上海·模擬預測）在的展開式中，x的系數(shù)為 ．
6．（21-22高三下·山東德州·階段練習）在的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，則展開式的常數(shù)項為 ．
反思提升：
(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可.
(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.
(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.
【考點2】二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題
一、單選題
1．（2021·江西·模擬預測）在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為0，則含的項系數(shù)為（ ）
A．45 B．-45 C．120 D．-120
2．（2022·山東德州·二模）已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
二、多選題
3．（2022·福建龍巖·一模）已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（ ）
A．展開式共有7項 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項
C．所有二項式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項共有4項
4．（2022·廣東深圳·二模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·遼寧沈陽·一模）在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和的比值為，則二項展開式中的常數(shù)項為 .
6．（2022·湖南長沙·一模）已知，則 ．
反思提升：
1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
【考點3】二項式系數(shù)的最值問題
一、單選題
1．（2022·山西臨汾·二模）的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（ ）
A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項
二、多選題
3．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 B．所有項的系數(shù)和為
C．二項式系數(shù)最大的項為第6項或第7項 D．有理項共5項
4．（2024高三下·河南·專題練習）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為2187，則下列說法正確的是（ ）
A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為64
B．展開式中存在常數(shù)項
C．展開式中含項的系數(shù)為560
D．展開式中系數(shù)最大的項為
三、填空題
5．（21-22高三下·全國·開學考試）已知的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項式系數(shù)值為 ．
6．（2024高三上·全國·競賽）在的展開式中，若的系數(shù)為，則 ；若展開式中有且僅有項的系數(shù)最大，則的取值范圍是 ．
反思提升：
二項式系數(shù)最大項的確定方法：當n為偶數(shù)時，展開式中第＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·北京懷柔·模擬預測）在的展開式中，常數(shù)項是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇·二模）已知，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（2024·遼寧·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．55 B． C．30 D．
4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C．9 D．13
二、多選題
5．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（ ）
A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128
B．二項式系數(shù)最大的項為第5項
C．有理項共有兩項
D．所有項的系數(shù)的和為
6．（2023·山東青島·一模）在的展開式中,下列說法正確的是( )
A．常數(shù)項是 B．第四項和第六項的系數(shù)相等
C．各項的二項式系數(shù)之和為 D．各項的系數(shù)之和為
7．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結論正確的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)
B．
C．第2020行的第1010個數(shù)最大
D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為
三、填空題
8．（2023·河北·模擬預測）已知多項式，則 .
9．（22-23高二下·湖南·期末）在二項式的展開式中只有第4項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為 .
10．（2023·江蘇南通·一模）展開式中含項的系數(shù)為 ．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項為（ ）
A．24 B．25 C．48 D．49
2．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）被除的余數(shù)為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多選題
3．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知二項展開式，下列說法正確的有（ ）
A．的展開式中的常數(shù)項是
B．的展開式中的各項系數(shù)之和為
C．的展開式中的二項式系數(shù)最大值是
D．，其中為虛數(shù)單位
4．（2024·遼寧·模擬預測）若的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則二項展開式中的有理項（項中是整數(shù)）可以是（ ）
A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項
三、填空題
5．（23-24高三下·江西·階段練習）展開式中項系數(shù)為 .
6．（22-23高三下·四川成都·開學考試）二項式的展開式中所有二項式系數(shù)之和為64，則二項式的展開式中常數(shù)項為
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑