資源簡介

專題11 對數與對數函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 12
【考點1】對數的運算 12
【考點2】對數函數的圖象及應用 16
【考點3】對數函數的性質及應用 21
【分層檢測】 25
【基礎篇】 25
【能力篇】 31
【培優篇】 34
考試要求：
1.理解對數的概念及運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
2.通過實例，了解對數函數的概念，能用描點法或借助計算工具畫具體對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
3.了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數.
1.對數的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
2.對數的性質、運算性質與換底公式
(1)對數的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對數的運算性質
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.對數函數及其性質
(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：R
當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱.它們的定義域和值域正好互換.
1.換底公式的兩個重要結論
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大.
一、單選題
1．（2023·北京·高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．（2021·天津·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2021·天津·高考真題）設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023·全國·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
11．（2023·北京·高考真題）已知函數，則 ．
12．（2022·全國·高考真題）若是奇函數，則 ， ．
參考答案：
1．C
【分析】
利用基本初等函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】
對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調，D錯誤.
故選：C.
2．A
【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優解】（構造函數）
由，可得．
根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．
3．C
【分析】構造函數， 導數判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
4．C
【分析】對數函數的單調性可比較、與的大小關系，由此可得出結論.
【詳解】，即.
故選：C.
5．B
【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數,，利用導數分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.
【詳解】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關系.
記，則，，
由于
所以當0所以在上單調遞增，
所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數在[0，+∞)上單調遞減，所以，即，即b綜上，，
故選：B.
[方法二]：
令
，即函數在（1，+∞)上單調遞減
令
，即函數在（1，3)上單調遞增
綜上，，
故選：B.
【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.
6．C
【分析】根據關系，當時，求出，再用指數表示，即可求解.
【詳解】由，當時，，
則.
故選：C.
7．C
【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.
【詳解】，，
.
故選：C.
8．D
【分析】根據指數函數和對數函數的性質求出的范圍即可求解.
【詳解】，，
，，
，，
.
故選：D.
9．ACD
【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
10．
【分析】
原問題等價于恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數的單調性可得實數的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數的取值范圍.
【詳解】
由函數的解析式可得在區間上恒成立，
則，即在區間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數的取值范圍是.
故答案為：.
11．1
【分析】根據給定條件，把代入，利用指數、對數運算計算作答.
【詳解】函數，所以.
故答案為：1
12． ； ．
【分析】根據奇函數的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數的有意義，則且
且，
函數為奇函數，定義域關于原點對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數的奇偶性求參
函數為奇函數
[方法三]：
因為函數為奇函數，所以其定義域關于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數的定義域為，再由可得，．即，在定義域內滿足，符合題意．
故答案為：；．
【考點1】對數的運算
一、單選題
1．（2023·寧夏銀川·三模）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（ ）（結果取整數，參考數據：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列關系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
4．（2024·貴州貴陽·一模）已知，則實數滿足（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，當時，，則 ．
6．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內部作用過程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內走過的距離.（參考數據：光速為米/秒，）
參考答案：
1．C
【分析】根據題意，由對數的運算可知，即可得到結果.
【詳解】因為，，且，
所以.
故選：C
2．D
【分析】設經過個小時才能駕駛，則，再根據指數函數的性質及對數的運算計算可得.
【詳解】設經過個小時才能駕駛，則即.
由于在定義域上單調遞減，.
他至少經過4小時才能駕駛.
故選：D.
3．ABC
【分析】由原方程可得，構適函數，由函數的單調性得出值域，根據函數的值域判斷A；令，代入原方程轉化為判斷是否有解即可判斷B；條件變形放縮后構造函數，利用函數的單調性得出大小，判斷CD.
【詳解】由
得，
令，則分別在和上單調遞增，
令，則分別在和上單調遞增，
當時，的值域為，當時，的值域為，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故選項A正確．
令，則方程
可化為，
由換底公式可得，
顯然關于b的方程在上有解，所以，使，故選項B正確．
當時，因為，所以．
又在上單調遞增，所以．
因為，
令，則在上單調遞增．
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項C正確．
當時，因為，所以．
又在上單調遞增，所以．
因為．
令，則在上單調遞增，
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項D錯誤．
故選：ABC．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據對數式的運算規則和對數函數的單調性求解.
4．ABD
【分析】由條件求出，結合對數運算，基本不等式逐項判斷即可.
【詳解】因為，
所以，，
所以，A正確；
，B正確，
，C錯誤，
由，可得，D正確，
故選：ABD.
5．
【分析】根據題意，求得，結合對數的運算性質，求得的值，即可求解.
【詳解】因為函數是定義在上的奇函數可得，
又當時，，則，
所以．
故答案為：.
6．31
【分析】依題意可得尺子經過天后，剩余的長度米，結合對數運算可得結果.
【詳解】依題意，光在2“阿托秒”內走的距離為米，
經過天后，剩余的長度米，由，得，
兩邊同時取對數，得，
而，則，所以至少需要經過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內走的距離.
故答案為：31.
反思提升：
1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.
2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.
【考點2】對數函數的圖象及應用
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）函數的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·貴州黔東南·二模）若函數的值域為.則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（21-22高一上·河北張家口·期末）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖南岳陽·一模）已知函數（且）的圖象如下所示．函數的圖象上有兩個不同的點，，則（ ）
A．， B．在上是奇函數
C．在上是單調遞增函數 D．當時，
三、填空題
5．（2024·陜西西安·模擬預測）若直線過函數，且）的定點，則的最小值為 .
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數則函數有 個零點．
參考答案：
1．C
【分析】先求的定義域，判斷奇偶性，再計算的值，利用排除法即可選出正確的選項．
【詳解】解：由題可知，的定義域為，
，
是偶函數，排除A，B，
又，排除D，
故選：C．
2．C
【分析】由對數函數圖象性質可得需滿足，可得，再利用對數函數單調性以及運算法則可得結果.
【詳解】依題意可得要取遍所有正數，
則需要求，因為，解得；
故.
故選：C
3．BD
【分析】分和兩種情況討論兩個函數的單調性進行判斷.
【詳解】當時，在單調遞增且其圖象恒過點，
在單調遞增且其圖象恒過點，
則選項B符合要求；
當時，在單調遞減且其圖象恒過點，
在單調遞減且其圖象恒過點，
則選項D符合要求；
綜上所述，選項B、D符合要求.
故選：BD.
4．BCD
【分析】對于A結合對數型函數圖像相關知識求解；對于B運用定義法判斷是否在上是奇函數；對于C運用定義法判斷函數單調性；對于D通過作差法并對式子變形即可判斷.
【詳解】對于A，由圖像可知，函數（且）在上單調遞增，所以，因為經過，所以，所以，，故A錯誤.
對于B，，定義域關于原點對稱，，所以在上是奇函數，故B正確.
對于C，對于，由題意不妨令，則，因為，，所以，即，所以在上是單調遞增函數，故C正確.
對于D，，因為，，所以，所以，當且僅當時等號成立，即當時，成立，故D正確.
故選：BCD
5．6
【分析】先根據對數型函數的特點求得定點坐標，代入直線方程得利用其將變形成，最后運用常值代換法即可求得結論.
【詳解】時，，
函數，且的圖象恒過定點，
定點在直線上，
,
由，
當且僅當時取等號.
即當且僅當時，取得最小值為.
故答案為：6.
6．7
【分析】設，則等價于，作出函數的圖像，由圖可知有3個根，再根據結合函數的圖象得出交點的個數，即得到結果.
【詳解】令，則，設，則等價于，
則函數的零點個數問題即為解的個數問題．
二次函數，其圖像開口向上，過點，對稱軸為，最小值為，
由題意得作出函數的圖像如圖所示．
由圖可知有3個根，當時，，即；
當時，，即.
則對于，當時，;
當時，，此時共有3個解．
對于，此時有1個解，，即有2個解．
對于，此時有1個解，，即無解．
因此，此時函數有7個零點．
故答案為：7.
反思提升：
1.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
2.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.
【考點3】對數函數的性質及應用
一、單選題
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程和方程的根分別為，設函數，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·寧夏銀川·二模）中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率C取決于信道帶寬W，經科學研究表明：C與W滿足，其中S是信道內信號的平均功率，N是信道內部的高斯噪聲功率，為信噪比.當信噪比比較大時，上式中真數中的1可以忽略不計.若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
二、多選題
3．（20-21高三上·遼寧大連·期中）對于實數，，下列真命題的為（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．若，且，則的最小值為
4．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數值域為
B．函數是增函數
C．不等式的解集為
D．
三、填空題
5．（2023·甘肅平涼·模擬預測）已知冪函數的圖象過點，設，則a、b、c的大小用小于號連接為 ．
6．（22-23高三上·湖北武漢·期末）對任意正實數，記函數在上的最小值為，函數在上的最大值為，若，則的所有可能值 .
參考答案：
1．B
【分析】畫出的圖象，由反函數的性質得，結合二次函數性質即可得解.
【詳解】由得，由得，
所以令，這3個函數圖象情況如下圖所示：
設交于點，交于點，
由于的圖象關于直線對稱，
而的交點為，所以，
注意到函數的對稱軸為直線，即，
且二次函數的圖象是開口向上的拋物線方程，
從而.
故選：B.
2．B
【分析】先計算和時的最大數據傳輸速率和，再計算增大的百分比即可.
【詳解】當時，；
當時，.
所以增大的百分比為：.
故選：B.
3．BCD
【分析】根據不等式的性質判斷ABC，利用對數函數的性質，基本不等式判斷D．也可舉反例說明．
【詳解】時，，A錯誤；
，則，
，所以，B正確；
，若，則，則成立，
若，則顯然成立，
若，則，，所以，綜上成立，C正確；
，且，因為是增函數，所以且，
，當且僅當，即時等號成立．D正確．
故選：BCD．
4．ACD
【分析】對于A，令，利用換元法和對數函數的性質即可求得；對于B，令由復合函數的單調性進行判斷即可；對于C，利用函數的奇偶性和單調性進行解不等式；對于D，由即可求解.
【詳解】對于A，令，又因為在上遞增，所以，由對數函數的性質可得，的值域為R，故A正確；
對于B，因為在上遞增，在上遞減，由復合函數的單調性可知，為減函數，故B錯誤；
對于C，因為的定義域為，且,
，所以為奇函數，且在上為減函數，
不等式等價于即，
等價于，解得，故C正確；
對于D，因為且，所以
，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】首先求出冪函數的解析式，再利用其單調性即可比較大小.
【詳解】冪函數的圖象過點，
則，
所以冪函數的解析式為，且函數為單調遞增函數，
又，所以，即.
故答案為：.
6．或
【分析】根據 和 函數圖像，對a分類討論求解即可.
【詳解】 和 的圖像如圖：
當 時， ， ， ， ；
當 時， ；
故答案為： 或 .
反思提升：
利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·河南三門峽·模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發生了里氏5.7級地震，所釋放的能量記為年1月13日在湯加群島發生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為，則比值的整數部分為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·湖南·一模）已知，且，則是的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·甘肅武威·模擬預測）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·一模）函數的圖象經過變換后得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·海南·模擬預測）下列函數最小值為2的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建廈門·一模）已知實數，，滿足，則下列關系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·模擬預測）已知正數，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2022·上海·模擬預測）若函數（且）有最大值，則的取值范圍是 .
9．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）已知函數的零點為，函數的零點為，則 ．
10．（2021·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，則 .
四、解答題
11．（21-22高一上·四川資陽·期末）已知（其中且）．
(1)若，，求實數的取值范圍；
(2)若，的最大值大于1，求的取值范圍．
12．（2023·四川成都·二模）已知函數
(1)當時，求函數的定義域；
(2)當函數的值域為R時，求實數的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】由對數運算性質可得，進而可得，結合可得結果.
【詳解】由已知得，所以，
所以，
因為，所以，
所以.
故選：B.
2．D
【分析】利用不等式的性質、對數運算及充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】若，符合，但此時，不滿足充分性，
若，符合，但是，不滿足必要性.
故選：D
3．D
【分析】利用中間值“1”與比較得出，再由作差比較法比較，利用換底公式和對數函數的單調性即得.
【詳解】因為，所以．同理
又因在定義域內為減函數，故，
而，
因，，且，故，即，所以．
故選：D.
4．B
【分析】由已知可得出，代入可得出的表達式，即可得出的表達式.
【詳解】由已知可得，代入可得，則，
即，因此，.
故選：B.
5．ABC
【分析】A選項直接由二次函數的性質判斷；B、C選項指數函數結合基本不等式進行判斷；D選項通過對數函數的性質進行判斷.
【詳解】對于A，，最小值為2；
對于B，，當且僅當，時取得最小值2；
對于C，，當且僅當，即時取得最小值2；
對于D，，當時取得最小值1，綜上可知：ABC正確.
故選：ABC.
6．BCD
【分析】設，得到，，，分別作出，，的圖象，結合圖象，即可求解.
【詳解】根據題意，設，其中，則，，，
在同一坐標系中分別畫出函數，，的圖象，
當時，；當時，；當時，，
由此可以看出，不可能出現這種情況.
故選：BCD.

7．AC
【分析】取特值驗證可判斷B；根據對數函數、指數函數的單調性，結合不等式的性質可判斷ACD.
【詳解】因為，所以，C正確；
又因為在上單調遞增，所以，A正確；
不妨取，則，B錯誤；
因為，所以，
又在R上單調遞增，所以，D錯誤.
故選：AC.
8．
【分析】因為內函數的是開口向下的二次函數，有最大值，則外函數為增函數，且內函數的最大值為正數，由此可列出不等式組求解.
【詳解】因為內函數的是開口向下的二次函數，有最大值，則外函數為增函數，且內函數的最大值為正數,所以， 解得
故答案為：
9．2
【分析】根據零點的定義，等價轉化為兩個函數求交點，根據反函數的定義，結合對稱性，可得答案.
【詳解】由，得， 函數與互為反函數，
在同一坐標系中分別作出函數，，的圖象，
如圖所示，則，，由反函數性質知A，B關于對稱，
則，.
故答案為：.
10．
【分析】根據函數為奇函數，求出當時的解析式，進而求出.
【詳解】因為當時，，
所以.
因為是奇函數，所以，所以當x<0時，，
則，所以.
故答案為：
11．(1)
(2)
【分析】（1）由對數函數的定義域和單調性解不等式即可求解的取值范圍；
（2）由取值范圍求出取值范圍，分類討論參數，由函數的增減性，確定函數最大值，再令解不等式即可.
【詳解】（1）當時，，
即有，
所以解得，
故實數的取值范圍是；
（2）因為，則時，．
當時，則函數最大值，解得；
當時，則函數最大值，解得；
綜上所述，的取值范圍是．
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用零點分段法解不等式，求出函數的定義域；
（2）由的值域為R得到能取遍所有正數，結合絕對值三角不等式得到，故，求出實數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，令，
即①，或②，或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
所以定義域為；
（2）因為的值域為R，
故能取遍所有正數，
由絕對值三角不等式，
故，所以，故實數的取值范圍是.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）設a，b，c都是正數，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·山西晉中·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若函數的定義域為，則函數的定義域為
B．當時，不等式恒成立，則的取值范圍是
C．函數在區間上單調遞減
D．若函數的值域為，則實數的取值范圍是
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）表示兩個實數，中的較小數．已知函數，且當時，，則的最小值為 ．
四、解答題
4．（2022·四川成都·模擬預測）已知函數.
(1)若，求的定義域；
(2)若，，求證：.
參考答案：
1．D
【分析】將指數式化為對數式，根據對數換底公式、對數運算法則逐項驗證即可．
【詳解】依題意設，則，，，
所以，
則，故A，C錯誤；
則，故B錯誤；
則，故D正確.
故選：D.
2．AD
【分析】A選項，利用抽象函數定義域的求解判斷即可；B選項，分和兩種情況，結合根的判別式得到不等式，求出答案；C選項，求出的定義域即可判斷；D選項，將問題轉化為能夠取到所有正數，分和兩種情況，結合根的判別式得到不等式組，求出答案.
【詳解】A選項，對于，由，得，
對于，令，解得，
故函數的定義域為，A正確；
B選項，當時，恒成立，滿足要求，
當時，需滿足，解得，
綜上，的取值范圍是，B錯誤；
C選項，令，解得，
當 時顯然無意義，所以不可能在上單調遞減，C錯誤；
D選項，若函數的值域為，
則能夠取到所有正數，
當時，能夠取到所有正數，滿足要求，
當時，需滿足，即，解得，
綜上，實數的取值范圍是，D正確.
故選：AD.
3．16
【分析】先分情況討論得出，然后根據單調性得出若，，則，，最后根據基本不等式即得的最小值為16.
【詳解】，
當，即時，，
而當，即時，，
即.
作出函數的大致圖象如圖所示，由于在上遞增，在上遞減，
從而若，，則，，即.
所以，當，時，等號成立，所以的最小值為．
故答案為：16.
4．(1)
(2)見解析
【分析】（1）當時,由對數的真數大于0,解不等式得,從而得到的定義域為;
（2）將式子與作差,化簡整理得,再令,以為單位將真數的分子與分母的差進行放縮,可得.
【詳解】（1）當時,
令,即，
整理得
解這個不等式,得,結合,得，
,得的定義域為
（2）當且時,
設,因為,所以,則
，
而，
，
則，
綜上所述,可得當且時,.
【培優篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·山西大同·期末）設函數的定義域為，若，，則實數（ ）
A．-2 B． C． D．2
二、多選題
2．（2023·遼寧撫順·模擬預測）已知實數a，b滿足，，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C． D．
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）函數在區間上的最大值與最小值之和為，則的最小值為 ．
參考答案：
1．A
【分析】設，由此可得關于的表示，再根據得到關于的表示，兩式聯立可求的值.
【詳解】對任意，設，則，整理可得①，
由得，可得②，
由①②可知：，化簡可得，
顯然不恒為，所以，所以，
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵是，通過反解以及代入求解出之間的關系式，然后構建方程求解出結果.
2．ABC
【分析】構造函數，利用導數判斷單調性，結合對數函數的性質進行求解判斷即可.
【詳解】因為，
令函數，則，
則函數在上單調遞增，且，
可知當時，；當時，；
且，則有：
當時，，即，可得，故A正確；
當時，，即，可得，故B正確；
又因為當時，在定義域內單調遞減，可得；
當時，在定義域內單調遞增，可得，
所以C正確，D錯誤．
故選：ABC.
【點睛】關鍵點睛：構造函數，利用導數判斷單調性，結合單調性進行求解運算是解題的關鍵.
3．/
【分析】將解析式變形為，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可.
【詳解】
，
令，，
因為定義域關于原點對稱，且，
所以為奇函數，所以在區間上的最大值與最小值之和為0，
則函數在區間上的最大值與最小值之和為2，即．
又，，
所以
，
當且僅當，，即，，等號成立．
故答案為：
【點睛】難點點睛：本題難點在于對函數解析式的變形，然后根據奇偶性得到，從而利用“1”的妙用得解.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題11 對數與對數函數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】對數的運算 4
【考點2】對數函數的圖象及應用 6
【考點3】對數函數的性質及應用 7
【分層檢測】 8
【基礎篇】 9
【能力篇】 10
【培優篇】 11
考試要求：
1.理解對數的概念及運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.
2.通過實例，了解對數函數的概念，能用描點法或借助計算工具畫具體對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.
3.了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數.
1.對數的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
2.對數的性質、運算性質與換底公式
(1)對數的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對數的運算性質
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.對數函數及其性質
(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：R
當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)
當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱.它們的定義域和值域正好互換.
1.換底公式的兩個重要結論
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大.
一、單選題
1．（2023·北京·高考真題）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．（2021·天津·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2021·天津·高考真題）設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·全國·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023·全國·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
11．（2023·北京·高考真題）已知函數，則 ．
12．（2022·全國·高考真題）若是奇函數，則 ， ．
【考點1】對數的運算
一、單選題
1．（2023·寧夏銀川·三模）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（ ）（結果取整數，參考數據：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列關系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
4．（2024·貴州貴陽·一模）已知，則實數滿足（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，當時，，則 ．
6．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內部作用過程的持續時間可用“阿托秒”表示.《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內走過的距離.（參考數據：光速為米/秒，）
反思提升：
1.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.
2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.
【考點2】對數函數的圖象及應用
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）函數的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·貴州黔東南·二模）若函數的值域為.則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（21-22高一上·河北張家口·期末）在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖南岳陽·一模）已知函數（且）的圖象如下所示．函數的圖象上有兩個不同的點，，則（ ）
A．， B．在上是奇函數
C．在上是單調遞增函數 D．當時，
三、填空題
5．（2024·陜西西安·模擬預測）若直線過函數，且）的定點，則的最小值為 .
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數則函數有 個零點．
反思提升：
1.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
2.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.
【考點3】對數函數的性質及應用
一、單選題
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程和方程的根分別為，設函數，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·寧夏銀川·二模）中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率C取決于信道帶寬W，經科學研究表明：C與W滿足，其中S是信道內信號的平均功率，N是信道內部的高斯噪聲功率，為信噪比.當信噪比比較大時，上式中真數中的1可以忽略不計.若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
二、多選題
3．（20-21高三上·遼寧大連·期中）對于實數，，下列真命題的為（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若，則 D．若，且，則的最小值為
4．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數值域為
B．函數是增函數
C．不等式的解集為
D．
三、填空題
5．（2023·甘肅平涼·模擬預測）已知冪函數的圖象過點，設，則a、b、c的大小用小于號連接為 ．
6．（22-23高三上·湖北武漢·期末）對任意正實數，記函數在上的最小值為，函數在上的最大值為，若，則的所有可能值 .
反思提升：
利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·河南三門峽·模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發生了里氏5.7級地震，所釋放的能量記為年1月13日在湯加群島發生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為，則比值的整數部分為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·湖南·一模）已知，且，則是的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·甘肅武威·模擬預測）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·一模）函數的圖象經過變換后得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·海南·模擬預測）下列函數最小值為2的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建廈門·一模）已知實數，，滿足，則下列關系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·模擬預測）已知正數，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2022·上海·模擬預測）若函數（且）有最大值，則的取值范圍是 .
9．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）已知函數的零點為，函數的零點為，則 ．
10．（2021·全國·模擬預測）已知函數是奇函數，則 .
四、解答題
11．（21-22高一上·四川資陽·期末）已知（其中且）．
(1)若，，求實數的取值范圍；
(2)若，的最大值大于1，求的取值范圍．
12．（2023·四川成都·二模）已知函數
(1)當時，求函數的定義域；
(2)當函數的值域為R時，求實數的取值范圍.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預測）設a，b，c都是正數，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·山西晉中·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若函數的定義域為，則函數的定義域為
B．當時，不等式恒成立，則的取值范圍是
C．函數在區間上單調遞減
D．若函數的值域為，則實數的取值范圍是
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）表示兩個實數，中的較小數．已知函數，且當時，，則的最小值為 ．
四、解答題
4．（2022·四川成都·模擬預測）已知函數.
(1)若，求的定義域；
(2)若，，求證：.
【培優篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·山西大同·期末）設函數的定義域為，若，，則實數（ ）
A．-2 B． C． D．2
二、多選題
2．（2023·遼寧撫順·模擬預測）已知實數a，b滿足，，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C． D．
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預測）函數在區間上的最大值與最小值之和為，則的最小值為 ．
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