資源簡介

專題16 導數(shù)與函數(shù)的單調性（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 8
【考點1】不含參函數(shù)的單調性 8
【考點2】含參函數(shù)的單調性 15
【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù) 21
【考點4】函數(shù)單調性的應用 28
【分層檢測】 37
【基礎篇】 37
【能力篇】 45
【培優(yōu)篇】 48
考試要求：
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.
2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).
1.函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系
條件 恒有 結論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上單調遞增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上單調遞減
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)
2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調性.
1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調遞增”的充分不必要條件.
2.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
2．A
【分析】由結合三角函數(shù)的性質可得;構造函數(shù),利用導數(shù)可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構造函數(shù)
因為當
故，故，所以；
設，
，所以在單調遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構造函數(shù)
因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解．
3．C
【分析】構造函數(shù)， 導數(shù)判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數(shù)單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
4．D
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結合導數(shù)判斷函數(shù)的單調性可判斷C，即可得解.
【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對于C，，則，
當時，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
5．BC
【分析】方法一：轉化題設條件為函數(shù)的對稱性，結合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據(jù)函數(shù)的性質逐項判斷即可得解.
【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因為，均為偶函數(shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數(shù)可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質構造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
6．
【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數(shù)的單調性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【考點1】不含參函數(shù)的單調性
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·河南南陽·模擬預測）已知函數(shù)，則（ ）
A．若曲線在處的切線方程為，則
B．若，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為
C．若，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
D．若，則的取值范圍為
三、填空題
3．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調遞增區(qū)間為 ．
四、解答題
4．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)，直線在軸上的截距為，且與曲線相切于點．
(1)求實數(shù)的值；
(2)求函數(shù)的單調區(qū)間與極值．
5．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)
(1)求在處的切線；
(2)比較與的大小并說明理由.
6．（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；
(2)當時，討論的單調性；
(3)若集合有且只有一個元素，求的值．
參考答案：
1．D
【分析】首先利用導數(shù)求出函數(shù)在上的單調性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質得到函數(shù)在上的單調性，即可判斷.
【詳解】當時，，則，
所以當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
故選：D
2．BD
【分析】由，可判定A錯誤；當，利用導數(shù)求得的單調遞增區(qū)間，可判定B正確；當，利用導數(shù)求得函數(shù)的的單調性，求得在上的最小值為，可判定C錯誤；根據(jù)題意，分和、，結合函數(shù)的單調性，以及，可判定D正確.
【詳解】對于A中，因為函數(shù)，可得，
則，所以，解得，所以A錯誤；
對于B中，若，則，
當時，可得，所以的單調遞增區(qū)間為，所以B正確；
對于C中，若，則，
令，解得或（舍去），
當，即時，在上，可得，在上是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上的最小值為；
當，即時，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以函數(shù)在上的最小值為，所以C錯誤；
對于D中，因為，當時，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
則，所以成立；
當時，由C項知：當時，，則成立；
當時，，即在區(qū)間上存在使得，
則不成立，
綜上，實數(shù)的取值范圍為，所以D正確.
故選：BD.
【點睛】方法技巧：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值等問題的求解策略：
1、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到函數(shù)的極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數(shù)值與的各極值進行比較得到函數(shù)的最值；
2、若所給函數(shù)含有參數(shù)，則需通過對參數(shù)分離討論，判斷函數(shù)的單調性，從而的函數(shù)的最值；
3、若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點，這個極值點就是函數(shù)的最值點，此結論在導數(shù)的實際問題中經(jīng)常使用.
3．
【分析】利用導數(shù)求當時的單調遞增區(qū)間，再根據(jù)奇函數(shù)的對稱性求得結果.
【詳解】當時，,
由，解得，所以在區(qū)間上單調遞增，
因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以函數(shù)圖象關于原點對稱，
所以在區(qū)間上單調遞增.
故答案為：.
4．(1)
(2)單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，，
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到切線方程，由切線過點代入計算可得；
（2）由（1）可得的解析式，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性，即可求出極值.
【詳解】（1）因為，則，
所以，，
故直線，
又直線在軸上的截距為，所以，解得．
（2）由（1）得，的定義域為，
又，
由，解得或；由，解得，
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為，
所以在處取得極大值，即，
在處取得極小值，即．
5．(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）求得，得到，且，結合導數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）求得，得到在上單調遞增，結合，得到即可得到.
【詳解】（1）解：因為函數(shù)，可得，
可得，且，
所以在處的切線方程為，即.
（2）解：由，可得，所以在上單調遞增，
又由，所以時，，即在上恒成立，
所以，即.
6．(1)
(2)單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用導數(shù)的幾何意義，即可求出結果；
（2）對函數(shù)求導得到，由函數(shù)定義域知，再利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，即可求出結果；
（3）對函數(shù)求導得到，再分和兩種情況討論，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，求出函數(shù)的單調區(qū)間，結合條件，即可求出結果.
【詳解】（1）當時，，
所以,得到，
所以曲線在點處切線的斜率為．
（2）當時，，易知的定義域為，
又，
因為，所以，
所以時，，時，
所以的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為．
（3）因為，所以，
易知，當時，的定義域為，
所以恒成立，故在上單調遞增，
又，所以不合題意，
當時，的定義域為，此時，
所以時，，時，，
故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，
所以．
設，則，
當時，，時，，
所以的單調遞減區(qū)間為；單調遞增區(qū)間為．
所以，
所以集合有且只有一個元素時．
【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法：
一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；
二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；
三是數(shù)形結合法，將不等式轉化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.
反思提升：
確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調遞增區(qū)間；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調遞減區(qū)間.
【考點2】含參函數(shù)的單調性
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．若函數(shù)在上的最小值為3，則實數(shù)a的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列結論正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．當時，有兩個零點
C．一定存在零點
D．若存在，有，則
三、填空題
3．（2023·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)恰有兩個零點，則 .
四、解答題
4．（23-24高三下·江西·階段練習）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程;
(2)若，討論的單調性.
5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性.
6．（2024·河南·二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調性；
(2)若對任意恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：.
參考答案：
1．D
【分析】由已知結合奇函數(shù)定義先求出當時的函數(shù)解析式，然后利用導數(shù)對進行分類討論，確定函數(shù)單調性，進而可求．
【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．
當時，，則，
所以當時，，此時
當時，在，上恒成立，函數(shù)在，上單調遞增，當時，函數(shù)取得最小值，解得（舍，
當時，，，函數(shù)單調遞減；，，函數(shù)單調遞增，時，函數(shù)取得最小值，解得，
綜上，．
故選：D．
2．BD
【分析】求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調性，即可判斷A、C、D，結合零點存在性定理判斷B.
【詳解】定義域為，，
當時恒成立，所以在上單調遞增，
當時令解得，令解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，故A錯誤；
當時，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
所以，
當時，，當時，，
由零點存在定理可知，當時，有兩個零點，故B正確；
當時，，故不存在零點，故C錯誤；
當時在上單調遞增，不存在使得，
當時在上單調遞增，在上單調遞減，
所以若存在，有，則，故D正確.
故選：BD．
3．
【分析】利用導數(shù)，求出的單調區(qū)間，由函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，從而建立等量關系求解可得.
【詳解】因為，
所以
令，則，令，
故當時，函數(shù)為增函數(shù)，
當時，函數(shù)為減函數(shù)，
即當時函數(shù)有最小值，
若，即時，此時函數(shù)在R上為增函數(shù)，與題意不符，且當時，的零點為1；
若，即時，此時函數(shù)與x軸有兩個不同交點，
設交點為，且，即，
所以當或時，即，此時函數(shù)為增函數(shù)，
當時，即，此時函數(shù)為減函數(shù)，
依題意，函數(shù)恰有兩個零點即函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，即或，
所以或，
所以，所以，
故答案為：.
【點睛】根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的一般方法：
設
方法一：轉化為函數(shù)與x軸交點個數(shù)問題，通過求解單調性構造不等式求解；
方法二：轉化為函數(shù)的交點個數(shù)問題求解.
4．(1)
(2)增區(qū)間為，，減區(qū)間為
【分析】（1）根據(jù)條件，利用導數(shù)的幾何意義，即可求出結果；
（2）對求導，根據(jù)條件得到的兩根為，，進而得出，當或時，，當，，即可求出結果.
【詳解】（1）當時，，所以，
當時，，又，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）因為，所以，
令，得到，因為，又，所以，
即有兩根，由求根公式知兩根為，，且，
所以，當或時，，當，，
故的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.
5．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）借助導數(shù)的幾何意義計算即可得；
（2）結合二次函數(shù)的性質，對分類討論計算即可得.
【詳解】（1）當時，，
，
所求切線方程為，整理得：；
（2），
因為，故時，在上單調遞增，
當時，對于，
若，則，此時在上單調遞增，
若，令，得，
當時，單調遞增；
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
綜上所述：時，在上單調遞增；
時，在、上單調遞增，在上單調遞減.
6．(1)答案見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）直接使用導數(shù)并分類討論即可；
（2）先證明熟知的結論，然后在條件中的不等式里取直接得到，再利用不等式及其取對數(shù)后的，直接得出時不等式恒成立；
（3）結合及其對數(shù)版本的取等條件，得到，然后即可直接得到要證明的結果.
【詳解】（1）由，有.
當時，，
所以在上單調遞減；
當時，有，
故當時，當時.
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
綜上，當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）先證明一個結論：對任意實數(shù)都有，且不等號兩邊取等當且僅當.
證明：設，則，
從而當時有，當時有.
從而在上遞減，在上遞增，
故，即，且等號只在時成立，這就證明了結論.
回到原題.
代入的表達式，將題目中的不等式等價變形為.
整理得到，故我們要求的取值范圍使得對恒成立.
一方面，若該不等式恒成立，則特別地對于成立，即，從而；
另一方面，若，則對，利用之前證明的結論可以得到，再取對數(shù)又能得到，
所以，故原不等式對任意恒成立.
綜上，的取值范圍是.
（3）對，由于，故由（2）證明的結論，有，再取對數(shù)得到.
所以
，這就證明了結論.
反思提升：
1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.
(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大?。蝗舨荒芤蚴椒纸?，則需討論判別式Δ的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).
2.個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).
【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)
一、單選題
1．（23-24高二上·福建南平·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·廣東茂名·一模）若是區(qū)間上的單調函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
三、填空題
3．（22-23高二下·廣西·期中）若函數(shù)在存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)，
(1)若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)當時，求的極值點．
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若在區(qū)間上不是單調函數(shù)，求的取值范圍．
(2)當時，恒成立，求的取值范圍．
6．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)．
(1)若在上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若的最小值為6，求實數(shù)的值．
參考答案：
1．A
【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的關系將問題轉化為恒成立問題，從而得解.
【詳解】因為，所以，
因為在區(qū)間上單調遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因為在上單調遞減，所以，故.
故選：A.
2．CD
【分析】求導，分析導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調性，再由已知建立關于的不等式組，解出即可．
【詳解】由題意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上單調遞減，在，上單調遞減，
若函數(shù)在區(qū)間上單調，
則或或，解得或或，
即或.
故選：CD.
3．
【分析】將題意轉化為：在有解，利用參變量分離得到，轉化為，結合導數(shù)求解即可．
【詳解】，等價于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
則，即在上是增函數(shù)，
∴，所以.
故答案為：.
4．(1)
(2)答案見解析.
【分析】（1）先由在定義域內(nèi)是減函數(shù)得出對于，恒成立，進而分離參數(shù)將問題轉化為函數(shù)的最值；再利用基本不等式得出，即可解答.
（2）分和兩種情況討論，在每一種情況中借助導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可求解.
【詳解】（1）由可得：函數(shù)定義域為，.
因為在定義域內(nèi)是減函數(shù)，
所以對于，恒成立，即對于，恒成立.
則對，恒成立.
因為，
所以，當且僅當時等號成立，
則，
所以
故a的取值范圍為.
（2）因為，，
所以當時，，則函數(shù)在上單調遞增，此時無極值點；
當時，方程的判別式，方程兩根為，.
令，解得；
令，解得或，
則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以函數(shù)的極小值點為，極大值點為.
綜上可得：當時， 無極值點；
當時，函數(shù)的極小值點為，極大值點為.
5．(1)
(2)．
【分析】（1）首先對原函數(shù)求導，方法一：通過討論a的范圍得到函數(shù)的單調區(qū)間，只需要極值點在區(qū)間內(nèi)即可求出a的范圍；方法二：求出函數(shù)恒單調時a的取值范圍，取其補集即可；
（2）原不等式整理后可得在上恒成立，構造新函數(shù)，，通過二次求導結合分類討論思想即可得到答案.
【詳解】（1）方法一 由，得．
若，則恒成立，為增函數(shù)，不符合題意．
若，令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
因為在區(qū)間上不是單調函數(shù)，所以，
所以，所以．
方法二 由，得．
若在區(qū)間上是單調函數(shù)，
則或在上恒成立．
若在上恒成立，則在上恒成立，所以．
若在上恒成立，則在上恒成立，所以．
所以若在區(qū)間上不是單調函數(shù)，則．
（2）當時，，即，
整理得在上恒成立．
令，，則．
令，則．
因為，所以，所以在上為增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)．
所以．
所以．
當，即時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，
所以，即恒成立．
當，即時，因為在上單調遞增，所以，使得．
即當時，，當時，．
又因為，所以在上不恒成立．
綜上可知，的取值范圍是．
【點睛】第二問轉化為在上恒成立，其實只要注意到，必有成立，可以得到這個必要條件，然后再論證是滿足題意也是可行的.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調性得到恒成立，再令新函數(shù)，根據(jù)單調性求最值即可.
（2）根據(jù)函數(shù)單調性構造函數(shù)，再根據(jù)零點存在定理求出零點，解出方程即可求出的值.
【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為，，
因為在上單調遞減，所以恒成立且不恒為0，
所以，即恒成立．
設，則，
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減，
所以，
則，
所以實數(shù)的取值范圍是．
（2）解法一 由（1）知，，
因為的最小值為6，所以，得．
設，則，
所以在上單調遞增，
因為，，
所以存在，使得，
當時，，即，在上單調遞減；
當時，，即，在上單調遞增，
所以．
因為，所以，
解得（舍去）或，
所以．
解法二 由題意知在上恒成立，則在上恒成立．
令，則，
，
由得，由得或，
所以在和上單調遞減，在上單調遞增．
又，當時，，
所以，故．
因為的最小值為6，所以．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題，其中關鍵是零點存在定理的應用.在研究函數(shù)的單調性時，利用零點存在定理找到導函數(shù)的隱零點，即存在，使得，再根據(jù)最值求解的值即可.
反思提升：
根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)的一般思路：
(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集.
(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.
(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.
【考點4】函數(shù)單調性的應用
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·江蘇·三模）三角函數(shù)表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦表”，可以用來查詢非特殊角的三角函數(shù)近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數(shù)值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數(shù)值，就比如下面幾個選項，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且滿足（為函數(shù)的導函數(shù)），，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2023·山東·模擬預測）已知函數(shù)及其導函數(shù)滿足，且．
(1)求的解析式，并比較，，的大?。?br/>(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)．
5．（2024·河南開封·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；
(2)函數(shù)；若方程在上存在實根，試比較與的大?。?br/>6．（23-24高三下·浙江杭州·階段練習）已知函數(shù).
(1)當時，證明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在區(qū)間存在零點，求的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】結合已知要比較函數(shù)值的結構特點，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，通過函數(shù)單調性比較大小即可.
【詳解】構造函數(shù)，則，，，
由，令得，令得，
則在上單調遞增，在上單調遞減．
因為，所以，所以；
因為，所以，所以；
令，且，則，
令，，
則，
所以在上單調遞增，
又，所以，所以，
因為，且，所以，所以.
故選：B
2．BC
【分析】對于A，利用三角函數(shù)的性質判斷出，，即可判斷；對于B，判斷出，即可判斷；對于C，令，，利用導數(shù)判斷單調性即可判斷；對于D，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出，即可判斷，
【詳解】對于A，∵，
，
∴，故A錯誤；
對于B，記，，則，
記，，則，
令，，則恒成立，
所以在上單調遞增，所以，
所以，所以在上單調遞增，
而，所以，
所以在上單調遞增，所以，
所以，，所以，
所以，，，故，故B正確；
對于C，記，則，
令，得；令，得；
函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以對任意，都有，即恒成立，
令，，所以，
對于函數(shù)，，因為恒成立，
所以在上單調遞增，所以，即在上恒成立，
因為，即，所以，
因為，
所以，故C正確，
對于D，令，若，令，
，由解得：，解得：，
所以在上單調遞減；上單調遞增，所以，
記，因為，
所以在上單調遞增，因為，
所以，即，
所以，則，故D錯.
故選：BC.
【點睛】方法點睛：比較大小類題目解題方法：
（1）結構相同的，構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性比較大?。?br/>（2）結構不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較.
3．
【分析】利用已知以及導數(shù)的運算法則求得的解析式，進而參變分離，得到在上有解，令，通過求得，可求得實數(shù)的取值范圍．
【詳解】由及得，
故，故（為常數(shù)），又，
所以，解得，所以．
由存在，使得，得在上有解．
令，則，
當時，，，則；
當時，，，則．
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是利用導數(shù)求出的解析式，再利用分離參數(shù)處理能成立問題.
4．(1)
(2)2個
【分析】（1）可設，得到，利用導數(shù)得到函數(shù)的單調性，結合時，，求得，再設函數(shù)，得到函數(shù)在上單調遞增，進而得到，即可求解；
（2）根據(jù)題意，當時，；當時，，分，和，三種情況討論，求得函數(shù)的單調性，即可求解.
【詳解】（1）解：由，可得，
可設且為常數(shù)，
令，可得，所以，
則，當時，，所以在單調遞增，
因為均小于，只需比較這三個數(shù)的大小即可，
設，
因為當時，，所以，所以，又，所以，
設函數(shù)，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，所以，所以，
所以.
（2）解：由題意知，函數(shù)，
當時，；當時，，
（i）令，當時，，
所以在上單調遞減，
因為，所以存在唯一的，使得，
當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減；
（ii）當時，令，則，
所以在上單調遞減，所以，
又因為在上，，
所以，在上單調遞減；
（iii）當時，，在上單調遞減，
由（i）（ii）（iii）可得，在上單調遞增，在在上單調遞減，
因為，
所以存在唯一的，使得，
故在區(qū)間上僅有兩個零點.
【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.
結論拓展：與和相關的常見同構模型
①，構造函數(shù)或；
②，構造函數(shù)或；
③，構造函數(shù)或.
5．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調性與極值；
（2）利用導數(shù)說明的單調性，即可得到，，令，則方程在，上存在實根，結合（1）中函數(shù)的單調性，可得，即，則，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可得到，從而得解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
又，
當時，恒成立，所以在上單調遞增，無極值，
當時，令，解得，
所以當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以當時，取到極小值，無極大值，
綜上所述，當時，在上單調遞增，無極值，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，極小值為，無極大值．
（2）因為，，
則，
令，解得或（舍），
所以當時，單調遞增，
所以，即，
令，，則，
若方程在上存在實根，
則方程在，上存在實根，
當時在上單調，則在上有解，
即應該在上有解，但是在上無解，不合題意，
所以在上不單調，即，
由（1）知，即，
所以，，
令，，
則，
所以在上單調遞增，
所以，
所以．
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．
6．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）當時，有，由基本不等式有，當時，有，可得，繼而得證；
（2）由，需判斷正負，通過指對同構，只需判斷，設，，通過求導判斷出即可；
（3）通過時函數(shù)值正負，易得時函數(shù)無零點；當時，通過假設函數(shù)恒大于，進而得出矛盾說明函數(shù)存在零點.
【詳解】（1）證明：函數(shù)，定義域為，當時，有，
由基本不等式有，當且僅當即時等號成立，
則當時，有，則，可得，即.
（2）函數(shù)，.
令，則，解得，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增. 由已知當時，
設，則，.設，，設，由，所以單調遞增.又因為，當時，，則，，即，即.
所以時， ，即單調遞減 ； 時， ，單調遞增.所以.由有解，得，即的最小值為.
（3）若，恒成立恒成立.
而 ，二者矛盾，因此當時有零點，
當 時，無零點；
當 時，，無零點.
反思提升：
1.利用導數(shù)比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而根據(jù)單調性比較大小.
2.與抽象函數(shù)有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性，從而求解不等式.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高二下·北京·階段練習）已知函數(shù)，則下列選項正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·重慶渝北·期中）若函數(shù)在上存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)在R上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（23-24高二下·重慶·階段練習）設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（ ）
A．函數(shù)在上為增函數(shù)
B．函數(shù)在上為增函數(shù)
C．函數(shù)有極大值和極小值
D．函數(shù)有極大值和極小值
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)，下列結論中正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的值域為R
C．若是的極值點，則
D．若是的極小值點，則在區(qū)間單調遞減
三、填空題
7．（21-22高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，，若對，，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍是 .
8．（23-24高二下·湖北·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為 ．
9．（23-24高二下·江蘇·期中）如果定義在R上的函數(shù)的單調增區(qū)間為，那么實數(shù)的值為 ．
四、解答題
10．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若曲線在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．
11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函數(shù)在點處的切線的斜率為
(1)求；
(2)求的單調區(qū)間和極值．
12．（23-24高二下·江蘇·期中）設函數(shù)，．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)在（1）的條件下求的單調區(qū)間和極小值：
(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
參考答案：
1．D
【分析】利用導數(shù)判斷的單調性，結合單調性比較大小.
【詳解】因為在上恒成立，可知在上單調遞增，
又，所以.
故選：D.
2．A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析求出定義域，求導，求解單調性.
【詳解】由的定義域為，，
令，解得,
當,則，
所以的單調遞減區(qū)間為，
故選：A
3．B
【分析】由題意，利用，經(jīng)等價轉化，得到在區(qū)間上能成立，故只需先求即得.
【詳解】依題意，在區(qū)間上能成立，
即在區(qū)間上能成立，
設，則，故只需求在上的最小值，
而在時，取得最小值，故得.
故選：B.
4．A
【分析】由題設可得在上恒成立，結合判別式的符號可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)，則，
因為在上為單調遞增函數(shù)，故在上恒成立，
所以，即，經(jīng)檢驗，當也符合.
故選：A.
5．AD
【分析】結合的圖象，分析的取值情況，即可得到的單調性與極值點.
【詳解】由圖可知當時，所以，
當時，所以，
當時，所以，
當時，所以，
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，
在上為增函數(shù)，故A正確，B錯誤，
則在處取得極大值，處取得極小值，
即函數(shù)有極大值和極小值，故C錯誤，D正確.
故選：AD
6．ABC
【分析】求導可得，利用導數(shù)分類討論當、時對應的單調性，結合極值點的概念依次判斷選項即可.
【詳解】，則，
當即時，方程至多有1個實根，
此時，函數(shù)在R上單調遞增；
當即時，方程有2個不等的實根，設為，且，
則，；，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
A：當時，；當時，，所以，故A正確；
B：由選項A知，的值域為R，故B正確；
C：若是的極值點，則，故C正確；
D：若是的極小值點，則，
在上單調遞增，在上單調遞減，故D錯誤.
故選：ABC
7．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質求出函數(shù)的值域，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，進而作出其大致圖象，根據(jù)圖象列出不等式組，解之即可.
【詳解】因為函數(shù)，
所以，
所以對，函數(shù)的值域為；
由，，
得，
當時，，函數(shù)單調遞減，不符合題意，
所以，令，解得，則，否則不符題意
則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
故，
作出函數(shù)在上的大致圖象，如圖，
由圖象可知，要使對，使得成立，
則，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
8．
【分析】利用導函數(shù)值恒大于或等于0來研究原函數(shù)單調遞增，即可解決問題.
【詳解】由得：，
因為在區(qū)間上單調遞增，所以，
即，又因為，所以，
即，
故答案為：.
9．
【分析】根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調性，將單調區(qū)間的端點代入導函數(shù)值為零，計算并驗證即可.
【詳解】由題意可得：且，解得
此時，令解得符合題意，故.
故答案為：.
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）依題意可得當時，恒成立，參變分離可得當時，恒成立，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可求出的范圍，從而得解.
【詳解】（1）當時，，則，
所以切線斜率，
又因為，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
（2）由題意可知，當時，恒成立，
即當時，恒成立，
設，，
則，
所以在上單調遞減，
所以，
所以，
即實數(shù)的取值范圍為．
11．(1)
(2)的單調遞增區(qū)間為、，的單調遞減區(qū)間為，極大值，極小值.
【分析】（1）由求得；
（2）由確定的單調區(qū)間和極值．
【詳解】（1），則， 解得；
（2）由，故，
則，，
故當時，，當時，，當時，，
故的單調遞增區(qū)間為、，的單調遞減區(qū)間為，
故有極大值，
有極小值.
12．(1)
(2)單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，極小值為2
(3)
【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結合導數(shù)的幾何意義可求得的值；
（2）利用導數(shù)與單調性以及極值的關系即可求解；
（3）將在上存在增區(qū)間轉化為有解，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題可得，
因為曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，當時，取得極小值；
（3）由在上存在增區(qū)間，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，易知在上單調遞增，在上單調遞減，
則，
所以
即的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧·二模）已知定義在R上的函數(shù)，設，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A．若是函數(shù)的極值點，則
B．若，則在上的最小值為0
C．若在上單調遞減，則
D．若在上恒成立，則
三、填空題
3．（23-24高二下·福建泉州·階段練習）已知函數(shù)，若在,上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)
(1)討論的單調性；
(2)證明：.
參考答案：
1．A
【分析】構造函數(shù)并判斷奇偶性，通過導函數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)單調性比較大小即可
【詳解】令，因為，
所以為偶函數(shù)．
，
因為當時，，，此時，
所以在上單調遞增．
因為，，，
因為，，，
所以，所以，
即．
故選：A．
2．AB
【分析】根據(jù)為函數(shù)的極值點可對A判斷；由可求得即可對B判斷；由在上單調遞減等價于在區(qū)間上恒成立，即可對C判斷；由在上恒成立等價于，構造函數(shù)，，再利用導數(shù)從而求出，即可對D判斷．
【詳解】
對于A，由，得，因為是函數(shù)的極值點，
所以，得，經(jīng)檢驗是函數(shù)的極小值點，故A正確．
對于B，由選項A，由，得，可知，
則，由，得，由，得，
所以在遞增，在上遞減，
所以當時，時，取得最小值，故B正確．
對于C，因為在上單調遞減，所以，即，
得在上恒成立，令，則，
所以在單調遞增，所以，即，所以，故C不正確．
對于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，
即在上恒成立，令，，則，
所以在上單調遞增，所以，所以，故D不正確．
故選：AB．
3．,
【分析】將在,上單調遞增，轉化為恒成立即可，設，求導確定單調性即可得最值，從而可得實數(shù)的取值范圍．
【詳解】，，
若在,上單調遞增，則只需在,上恒成立，
即在,上恒成立，令，，
在,上單調遞增，
，則，解得，
則實數(shù)的取值范圍為,．
故答案為：,．
4．(1)答案見詳解
(2)證明見詳解
【分析】（1）求導可得，分和兩種情況，結合導函數(shù)的符號判斷原函數(shù)單調性；
（2）構建，，根據(jù)單調性以及零點存在性定理分析的零點和符號，進而可得的單調性和最值，結合零點代換分析證明.
【詳解】（1）由題意可得：的定義域為，，
當時，則在上恒成立，
可知在上單調遞減；
當時，令，解得；令，解得；
可知在上單調遞減，在上單調遞增；
綜上所述：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）構建，
則，
由可知，
構建，
因為在上單調遞增，則在上單調遞增，
且，
可知在上存在唯一零點，
當，則，即；
當，則，即；
可知在上單調遞減，在上單調遞增，
則，
又因為，則，，
可得，
即，所以.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·湖北·二模）求解下列問題，
(1)若恒成立，求實數(shù)k的最小值；
(2)已知a，b為正實數(shù)，，求函數(shù)的極值．
2．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數(shù)，其中．
(1)若，證明：時，；
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調遞增，求實數(shù)的值；
(3)已知數(shù)列的通項公式為，求證：．
3．（2024·河北邯鄲·二模）已知函數(shù)．
(1)是否存在實數(shù)，使得和在上的單調區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(2)已知是的零點，是的零點．
①證明：，
②證明：．
參考答案：
1．(1)1
(2)答案見解析
【分析】（1）求導，然后分和討論，確定單調性，進而得最值；
（2）先發(fā)現(xiàn)，當時，，當，時，取，，求導，研究單調性，進而求出最值得答案.
【詳解】（1）記，則需使恒成立，
，
當時，恒成立，則在上單調遞減，
且在時，，不符合題意，舍去；
當時．令，解得，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
要使恒成立，只要即可，
解得，所以k的最小值為1；
（2），，，，易知，
當時，，此時函數(shù)無極值；
當，時，，
取，，，，，，，
則，當時，由得，由（1）知，
當時，，
因為，所以，所以，即，當時，，
所以，則，所以，
即在上單調遞增，在單調遞減．
所以函數(shù)，，，
當時，同理有，
由得，即在上單調遞增，在上單調遞減．
所以函數(shù)，，，
綜上可知，當時，函數(shù)沒有極值；當時，函數(shù)有唯一的極大值，其中，沒有極小值．
【點睛】關鍵點點睛：取，將兩個參數(shù)的問題轉化為一個參數(shù)的問題，進而求導解答問題.
2．(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）構建，利用導數(shù)判斷其單調性，結合單調性分析證明；
（2）求導可得，分、和三種情況，結合導數(shù)分析單調性即可；
（3）根據(jù)（1）（2）分析可得，進而可得，根據(jù)題意結合裂項相消法分析證明.
【詳解】（1）由題意可知：等價于，其中．
構建，
則，
可知在上單調遞減，則時，，
所以時，．
（2）由題意可知：，
則
①若，則，由可得，
可知在上單調遞減，不合題意；
②若，則，
可知上為增函數(shù)，符合題意；
③若，則，由可得，
可知在上單調遞減，不合題意；
綜上所述：．
（3）由（2）知：在上單調遞增，
所以時，，即，
由（1）知：時，，
則，
所以時，，
令得：，
即，
因為，
所以，
由知：，又因為，
所以，
所以．
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構造新的函數(shù)；
（3）利用導數(shù)研究的單調性或最值；
（4）根據(jù)單調性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
3．(1)存在，且
(2)①證明見解析 ②證明見解析
【分析】（1）結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分與進行討論即可得；
（2）①利用導數(shù)得到的單調性后，借助零點的存在性定理可得，解出即可得；②構造函數(shù)，結合導數(shù)得到函數(shù)的單調性，畫出相應圖象，可得從而得到，，從而可得，結合的范圍即可得解.
【詳解】（1）由題意得，
當時，，所以和在上都單調遞增，符合題意；
當時，若和在上的單調區(qū)間相同，
則和有相同的極值點，即，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，
所以無解，
綜上，當時，和在上的單調區(qū)間相同；
（2）①由題意，有兩個零點，，
若，則，所以在上單調遞增，不符合題意，
若，則當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
且當時，，當時，，
所以，解得，得證；
②令，得，即，
令，則，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
在同一坐標平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，
它們有公共點，如圖，
故，且有，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，
故.
【點睛】關鍵點點睛：本題最后一問關鍵點在于構造函數(shù)，結合導數(shù)得到函數(shù)的單調性，從而得到.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題16 導數(shù)與函數(shù)的單調性（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 2
【考點突破】 3
【考點1】不含參函數(shù)的單調性 3
【考點2】含參函數(shù)的單調性 4
【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù) 6
【考點4】函數(shù)單調性的應用 7
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 10
【培優(yōu)篇】 10
考試要求：
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.
2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).
1.函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系
條件 恒有 結論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上單調遞增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上單調遞減
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)
2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調性.
1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調遞增”的充分不必要條件.
2.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
【考點1】不含參函數(shù)的單調性
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·河南南陽·模擬預測）已知函數(shù)，則（ ）
A．若曲線在處的切線方程為，則
B．若，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為
C．若，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
D．若，則的取值范圍為
三、填空題
3．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，的單調遞增區(qū)間為 ．
四、解答題
4．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)，直線在軸上的截距為，且與曲線相切于點．
(1)求實數(shù)的值；
(2)求函數(shù)的單調區(qū)間與極值．
5．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)
(1)求在處的切線；
(2)比較與的大小并說明理由.
6．（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；
(2)當時，討論的單調性；
(3)若集合有且只有一個元素，求的值．
反思提升：
確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調遞增區(qū)間；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調遞減區(qū)間.
【考點2】含參函數(shù)的單調性
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，．若函數(shù)在上的最小值為3，則實數(shù)a的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
2．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列結論正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．當時，有兩個零點
C．一定存在零點
D．若存在，有，則
三、填空題
3．（2023·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)恰有兩個零點，則 .
四、解答題
4．（23-24高三下·江西·階段練習）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程;
(2)若，討論的單調性.
5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性.
6．（2024·河南·二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調性；
(2)若對任意恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：.
反思提升：
1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.
(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因式分解，則需討論判別式Δ的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).
2.個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數(shù).
【考點3】根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)
一、單選題
1．（23-24高二上·福建南平·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·廣東茂名·一模）若是區(qū)間上的單調函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
三、填空題
3．（22-23高二下·廣西·期中）若函數(shù)在存在單調遞減區(qū)間，則a的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)，
(1)若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)當時，求的極值點．
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若在區(qū)間上不是單調函數(shù)，求的取值范圍．
(2)當時，恒成立，求的取值范圍．
6．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)．
(1)若在上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若的最小值為6，求實數(shù)的值．
反思提升：
根據(jù)函數(shù)單調性求參數(shù)的一般思路：
(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集.
(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.
(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.
【考點4】函數(shù)單調性的應用
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2023·江蘇·三模）三角函數(shù)表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦表”，可以用來查詢非特殊角的三角函數(shù)近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數(shù)值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數(shù)值，就比如下面幾個選項，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且滿足（為函數(shù)的導函數(shù)），，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2023·山東·模擬預測）已知函數(shù)及其導函數(shù)滿足，且．
(1)求的解析式，并比較，，的大小；
(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)．
5．（2024·河南開封·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；
(2)函數(shù)；若方程在上存在實根，試比較與的大?。?br/>6．（23-24高三下·浙江杭州·階段練習）已知函數(shù).
(1)當時，證明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在區(qū)間存在零點，求的取值范圍.
反思提升：
1.利用導數(shù)比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而根據(jù)單調性比較大小.
2.與抽象函數(shù)有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設形成解題鏈條，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性，從而求解不等式.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高二下·北京·階段練習）已知函數(shù)，則下列選項正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·重慶渝北·期中）若函數(shù)在上存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)在R上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（23-24高二下·重慶·階段練習）設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（ ）
A．函數(shù)在上為增函數(shù)
B．函數(shù)在上為增函數(shù)
C．函數(shù)有極大值和極小值
D．函數(shù)有極大值和極小值
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)，下列結論中正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的值域為R
C．若是的極值點，則
D．若是的極小值點，則在區(qū)間單調遞減
三、填空題
7．（21-22高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，，若對，，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍是 .
8．（23-24高二下·湖北·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為 ．
9．（23-24高二下·江蘇·期中）如果定義在R上的函數(shù)的單調增區(qū)間為，那么實數(shù)的值為 ．
四、解答題
10．（23-24高二下·北京·期中）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若曲線在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．
11．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函數(shù)在點處的切線的斜率為
(1)求；
(2)求的單調區(qū)間和極值．
12．（23-24高二下·江蘇·期中）設函數(shù)，．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)在（1）的條件下求的單調區(qū)間和極小值：
(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧·二模）已知定義在R上的函數(shù)，設，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A．若是函數(shù)的極值點，則
B．若，則在上的最小值為0
C．若在上單調遞減，則
D．若在上恒成立，則
三、填空題
3．（23-24高二下·福建泉州·階段練習）已知函數(shù)，若在,上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)
(1)討論的單調性；
(2)證明：.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·湖北·二模）求解下列問題，
(1)若恒成立，求實數(shù)k的最小值；
(2)已知a，b為正實數(shù)，，求函數(shù)的極值．
2．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數(shù)，其中．
(1)若，證明：時，；
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調遞增，求實數(shù)的值；
(3)已知數(shù)列的通項公式為，求證：．
3．（2024·河北邯鄲·二模）已知函數(shù)．
(1)是否存在實數(shù)，使得和在上的單調區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(2)已知是的零點，是的零點．
①證明：，
②證明：．
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