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專題19 利用導數研究函數的零點（新高考專用）
【真題自測】 2
【考點突破】 14
【考點1】判斷、證明或討論零點的個數 14
【考點2】根據零點情況求參數范圍 22
【考點3】與函數零點相關的綜合問題 31
【分層檢測】 44
【基礎篇】 44
【能力篇】 54
【培優篇】 59
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、解答題
2．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
3．（2022·全國·高考真題）已知函數．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
4．（2022·全國·高考真題）已知函數．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
6．（2021·全國·高考真題）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
參考答案：
1．B
【分析】寫出，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.
【詳解】，則，
若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當時，，
當，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個零點，則，即，解得，
故選：B.
2．（1）證明見詳解（2）
【分析】（1）分別構建，，求導，利用導數判斷原函數的單調性，進而可得結果；
（2）根據題意結合偶函數的性質可知只需要研究在上的單調性，求導，分類討論和，結合（1）中的結論放縮，根據極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構建，則對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
所以；
構建，
則，
構建，則對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數的定義域為，
若，則，
因為在定義域內單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當時，令
因為，
且，
所以函數在定義域內為偶函數，
由題意可得：，
（i）當時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當時，，則在上單調遞增，
結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當時，取，則，
由（1）可得，
構建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調遞增，且，
所以在內存在唯一的零點，
當時，則，且，
則，
即當時，，則在上單調遞減，
結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點睛：
1.當時，利用，換元放縮；
2.當時，利用，換元放縮.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由導數確定函數的單調性，即可得解；
（2）求導得，按照、及結合導數討論函數的單調性，求得函數的極值，即可得解.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以；
（2），則，
當時，，所以當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以，此時函數無零點，不合題意；
當時，，在上，，單調遞增；
在上，，單調遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當時，，所以單調遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當時，，在上，，單調遞增；
在上，，單調遞減；此時，
由（1）得當時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數研究函數的極值與單調性，把函數零點問題轉化為函數的單調性與極值的問題.
4．(1)
(2)證明見的解析
【分析】（1）由導數確定函數單調性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉化要證明條件為，再利用導數即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規求導
的定義域為，則
令,得
當單調遞減
當單調遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構處理
由得：
令，則即
令，則
故在區間上是增函數
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構造函數
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設
要證,即證
因為,即證
又因為,故只需證
即證
即證
下面證明時，
設，
則
設
所以,而
所以,所以
所以在單調遞增
即,所以
令
所以在單調遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調遞增，故只有1個解
又因為有兩個零點，故
兩邊取對數得：，即
又因為，故，即
下證
因為
不妨設，則只需證
構造，則
故在上單調遞減
故，即得證
【點睛】關鍵點點睛 ：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數證明不等式
這個函數經常出現，需要掌握
5．(1)
(2)
【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可
（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域為
當時,,所以切點為,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
（2）
設
若,當,即
所以在上單調遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當,則
所以在上單調遞增所以,即
所以在上單調遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若
(1)當,則,所以在上單調遞增
所以存在,使得,即
當單調遞減
當單調遞增
所以
當,
令則
所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當
設
所以在單調遞增
所以存在,使得
當單調遞減
當單調遞增,
又
所以存在,使得,即
當單調遞增,當單調遞減，
當，，
又，
而,所以當
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區間各恰有一個零點,求的取值范圍為
【點睛】
方法點睛：本題的關鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
6．(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導函數的解析式，然后分類討論確定函數的單調性即可；
(2)由題意結合(1)中函數的單調性和函數零點存在定理即可證得題中的結論.
【詳解】(1)由函數的解析式可得：，
當時，若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
當時，在上單調遞增；
當時，若，則單調遞增，
若，則單調遞減，
若，則單調遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數的單調性可知函數在區間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當時，，，
而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.
當時，構造函數，則，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當時，，
取，則，
即：，
而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.
，
由于，，故，
結合函數的單調性可知函數在區間上沒有零點.
綜上可得，題中的結論成立.
【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用．
【考點1】判斷、證明或討論零點的個數
一、單選題
1．（2022·浙江寧波·模擬預測）已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為（ ）
A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6
二、多選題
2．（2023·湖南·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．在區間上單調遞增
C．將函數圖象上各點橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象
D．函數的零點個數為7
三、填空題
3．（2021·浙江·模擬預測）已知實數且，為定義在上的函數，則至多有 個零點；若僅有個零點，則實數的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·四川成都·二模）已知函數.
(1)判斷的零點個數并說明理由；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.
5．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知函數.
(1)時，求的零點個數；
(2)若時，恒成立，求a的取值范圍.
6．（2022·全國·模擬預測）已知函數，.
(1)當時，求證：；
(2)求函數的零點個數.
參考答案：
1．A
【分析】畫出函數圖象，令，則，所以，即方程必有兩個不同的實數根，再利用韋達定理及函數圖象分類判斷即可.
【詳解】根據題意作出函數的圖象：，當，函數單調遞增，
當時，函數單調遞減，所以；
函數，時單調遞減，所以，
對于方程，令，則，所以，
即方程必有兩個不同的實數根，且，
當時，，3個交點；
當時，，也是3個交點；
故選：A．
【點睛】函數零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間上是連續不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
2．ABD
【分析】根據給定的函數圖象，結合五點法作答求出函數的解析式，再分析判斷ABC；換元并構造函數，利用導數結合圖形判斷D作答.
【詳解】觀察圖象知，函數的周期，則，而，
即有，由知，，因此，A正確；
顯然，當時，，因此單調遞增，B正確；
將圖象上各點橫坐標變為原來的得，再將所得圖象向右平移個單位長度，得，
而，C錯誤；
由，得，令，則，
令，顯然當時，，即恒有，函數在上無零點，
當時，，令，，
函數在上都遞減，即有在上遞減，，
，因此存在，，
當時，，當時，，有在上遞增，在遞減，
，，
于是存在，，當時，，當時，，
則函數在上遞減，在遞增，，，
從而函數在上存在唯一零點，而函數周期為，在上單調遞增，如圖，
，，，
從而函數在上各有一個零點，又0是的零點，即函數在定義域上共有7個零點，
所以函數的零點個數為7，D正確.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：函數零點個數判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數或者將函數變形為易于作圖的兩個函數，作出這兩個函數的圖象，觀察它們的公共點個數.
3．
【分析】令（，且），可得出，構造函數，利用導數分析函數的單調性與極值，將問題轉化為直線與函數的圖象的交點個數，數形結合可得出結論.
【詳解】令（，且），可得，
等式兩邊取自然對數得，即，
構造函數，其中，則.
當時，，此時函數單調遞增；
當時，，此時函數單調遞減.
所以，，且當時，，如下圖所示：
由圖象可知，直線與函數的圖象至多有兩個交點，
所以，函數至多有個零點.
若函數只有一個零點，則或，解得或.
故答案為：；.
【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；
（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍．
4．(1)一個零點，理由見解析
(2)
【分析】（1）首先求函數的導數，并判斷函數的單調性，結合函數特殊點函數值、單調性，即可判斷零點個數；
（2）首先不等式變形為，并構造函數，根據（1）的結果討論和兩種情況，討論不等式恒成立的問題.
【詳解】（1）.
當時，.
函數在上單調遞增；
當時，；
當時，.
在上有且僅有一個零點；
（2），
.
設.
①當時，由，
當時，不合題意.
②當時，由①在上單調遞增.
又在上恒成立.
設.
在上恒成立，在上單調遞減.
又在上恒成立.
，滿足題意.
綜上，的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是利用（1）的 結果，對不等式進行放縮，從而轉化為求恒成立問題.
5．(1)2個；
(2)
【分析】（1）變形得到，得到一個零點為，令，求導得到其單調性和極值情況，得到答案；
（2）求導，分和兩種情況，結合單調性和極值情況，得到不等式，求出答案.
【詳解】（1）時，，
顯然，
令，則，
當時，，當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增；
又，則有且只有1個零點，
∴時，有2個零點和.
（2），
當時，時，，時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
時，，所以符合題意，
當時，可由，解得或，
若，即時，當時，，
當時，，當時，，
故在，上單調遞增，在上單調遞減，
∵，∴，此時要使在時恒成立，還需滿足，即，
若，即時，恒成立，故在R上遞增，則時，符合題意；
若，即時，當時，，
當時，，當時，，
故在，上單調遞增，在上單調遞減，
時，，即符合題意，
綜上所述：.
【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.
6．(1)證明見解析
(2)個
【分析】（1）利用導數求出的單調區間，從而得到的最小值，即可證明；
（2）由（1）可得當時，，則，令，利用導數求出的單調區間，得到的最小值，從而求得零點個數.
【詳解】（1）當時，，則，令，解得，
當時，，則在上單調遞減，
當時，，則在上單調遞增，
.
（2）由（1）知當時，，即，
，，
令，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
最小值為，，
，無零點.
反思提升：
利用導數求函數的零點常用方法
(1)構造函數g(x)，利用導數研究g(x)的性質，結合g(x)的圖象，判斷函數零點的個數.
(2)利用零點存在定理，先判斷函數在某區間有零點，再結合圖象與性質確定函數有多少個零點.
【考點2】根據零點情況求參數范圍
一、單選題
1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）設函數若恰有5個不同零點，則正實數的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2021·山東聊城·二模）用符號表示不超過的最大整數，例如：，.設有3個不同的零點，，，則（ ）
A．是的一個零點
B．
C．的取值范圍是
D．若，則的范圍是.
三、填空題
3．（2021·安徽安慶·三模）已知函數有三個零點，，，且，其中，為自然對數的底數，則的范圍為 ．
四、解答題
4．（2023·陜西寶雞·模擬預測）設函數
(1)若時函數有三個互不相同的零點，求m的范圍；
(2)若函數在內沒有極值點，求a的范圍；
5．（23-24高三上·遼寧沈陽·開學考試）已知函數.
(1)若，求函數在處的切線方程；
(2)若函數在區間上有且只有一個零點，求實數的范圍.
6．（2023·天津濱海新·模擬預測）已知函數，.
(1)若，求的單調區間.
(2)若，且在區間上恒成立，求a的范圍；
(3)若，判斷函數的零點的個數.
參考答案：
1．D
【分析】畫出的圖象，將恰有5個不同零點轉化為與有5個交點即可.
【詳解】由題知，
零點的個數可轉化為與交點的個數，
當時，
所以時，，單調遞增，
時，，單調遞減，
如圖所示：

所以時有最大值：
所以時，由圖可知必有兩個交點；
當時，因為，，
所以，
令，則
則有且，如圖所示：

因為時，已有兩個交點，
所以只需保證與有三個交點即可，
所以只需，解得.
故選：D
【點睛】思路點睛：函數零點問題往往可以轉化為兩個函數圖象的交點問題，利用數形結合方便分析求解.
2．AD
【分析】令，可得或，可知的一個零點是，另外兩個零點是方程的2個解，從而可得到，進而構造函數，可知直線與函數的圖象有2個不同交點，利用數形結合方法，可求出的范圍，及另外兩個零點所在區間，進而結合的含義，可選出答案.
【詳解】由題意，令，則或，
顯然是方程的解，也是方程的解，所以選項A正確；
因為有3個不同的零點，所以方程有2個不同的解，且兩解都不等于，
易知，可得，
令，則直線與函數的圖象有2個不同交點，
求導得，，
當時，，此時函數單調遞增；
當時，，此時函數單調遞減.
又當時，；當時，，當時，取得最大值.
可畫出函數的圖象，如下圖所示，
根據圖象可知，當時，直線與函數的圖象沒有交點；
當或時，直線與函數的圖象只有1個交點；
當，即時，直線與函數的圖象有2個不同交點.
又因為，且直線與函數的圖象的2個不同交點的橫坐標不等于，所以，即，
綜上所述，當時，直線與函數的圖象有2個不同交點，且兩個交點的橫坐標都不等于e ，此時有3個不同的零點，故C錯誤；
不妨設，是直線與函數的圖象的2個不同交點，且，
則，，
根據的圖象，當趨近與0時，趨近于1，趨近于無窮大，此時趨近于無窮大，故選項B錯誤；
對于選項D，由，，可得，，
因為，所以，則，
則，，
所以，即，
故選項D正確.
故選：AD.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
3．
【分析】通過換元法將方程變為，其中；利用導數可求得的大致圖象，從而確定其與的交點個數，將所求式子化為，利用韋達定理可求得結果.
【詳解】由，兩邊同時除以變形為，
有
設即，所以
令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
且，，當時，其大致圖像如下．
要使關于x的方程有三個不相等的實數解，，，且．
結合圖像可得關于t的方程一定有兩個不等的實數根，
且，從而．
，，則，．
所以
.
故答案為：
【點睛】方法點睛：已知函數零點(方程根)個數求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解
4．(1)
(2)
【分析】（1）參變分離，利用導數研究函數的單調性及極值即可求得的取值范圍；
（2）根據極值點與導函數的關系并二次函數根的分布計算即可.
【詳解】（1）當時，，
因為有三個互不相同的零點，所以，
即有三個互不相同的實數根．
令，則．
令，令，
所以在和均為減函數，在為增函數，
即的極小值為，極大值為，

故m的取值范圍．
（2）由題意可知，在上沒有變號零點，
又因為，所以，解之得．
故a的范圍為.
5．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求函數的導數，利用導數的幾何意義，求切線方程；
（2）首先得，這樣問題轉化為函數在區間上沒有零點，這樣求函數的導數，討論極值點與定義域的關系，判斷函數的單調性，即可求解的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，，
，，
所以函數在處的切線方程為；
（2），易知，
所求問題等價于函數在區間上沒有零點，
因為，，得，
當，，所以在上單調遞減，
當，，在上單調遞增.
①當，即時，函數在區間上單調遞增，所以，
此時函數在區間上沒有零點，滿足題意.
②當，即時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
要使在上沒有零點，只需，即，解得，
所以.
③當，即時，函數在區間上單調遞減，
在區間上滿足，此時函數在區間上沒有零點，滿足題意.
綜上所述，實數的范圍是或.
6．(1)的單調減區間為，的單調增區間為.
(2)
(3)時，的零點個數為1
【分析】對于（1），求導即可得單調區間；
對于（2），在區間上恒成立等價于在上的最小值大于1；
對于（3），判斷出單調性，后由零點存在性定理可得答案.
【詳解】（1）當時，，.
則，由，得；由，
得.故的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.
（2）在區間上恒成立，則在上的最小值大于1
，
①當時，，得在上單調遞增，故
，又，
則，即不合題意.
②當時，，由，得或；
由，得.
故在上單調遞增，在上單調遞減.
i當，即時，.
ii當，即時，，
由題有，
又，
則.
綜上a的范圍為
（3）由題，.
則，設，
則，當，得；
當，得，故在上單調遞減，
在上單調遞增.則，
又，則，故.
則在上單調遞增.注意到，
設，則，
由，得；由，得.
則在上單調遞減，在上單調遞增.
則，得恒成立
，又，
則
，又，
故，使，即時，有唯一零點·.
【點睛】關鍵點點睛：本題涉及恒成立問題及求含參函數零點個數，難度較大.
（1）問較為基礎，（2）問難點在于時，不清楚與大小，
采用可避免討論，（3）問難點在于零點所在區間的尋找.
反思提升：
1.函數零點個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數，根據圖象的幾何直觀求解.
2.與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點判斷函數的大致圖象，進而求出參數的取值范圍.也可分離出參數，轉化為兩函數圖象的交點情況.
【考點3】與函數零點相關的綜合問題
一、單選題
1．（2024·湖北·二模）已知函數（e為自然對數的底數）．則下列說法正確的是（ ）
A．函數的定義域為R
B．若函數在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，則
C．當時，可能有三個零點
D．當時，函數的極小值大于極大值
二、多選題
2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數，下列說法正確的有（ ）
A．當時，則在上單調遞增
B．當時，函數有唯一極值點
C．若函數只有兩個不等于1的零點，則必有
D．若函數有三個零點，則
三、填空題
3．（2024·安徽·模擬預測）對于函數，當該函數恰有兩個零點時，設兩個零點中最大值為，當該函數恰有四個零點時，設這四個零點中最大值為，求 .
四、解答題
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知函數．
(1)當時，證明：有且僅有一個零點．
(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．
(3)證明：．
5．（2024·江西景德鎮·三模）已知函數，.
(1)當時，求函數的極值；
(2)已知實數.
①求證：函數有且僅有一個零點；
②設該零點為，若圖象上有且只有一對點，關于點成中心對稱，求實數的取值范圍.
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)若函數的兩個極值點分別為，證明：；
(3)設，求證：當時，有且僅有2個不同的零點．
（參考數據：）
參考答案：
1．D
【分析】對于A：，通過求導找到零點，進而確定定義域；對于B：求出，，，進而可得切線方程，從而得到面積；對于CD：求出，利用零點存在定理，確定零點位置，從而得到極值，進而可判斷零點個數以及極值關系.
【詳解】記，則，所以為單調遞增函數，
，，所以函數有唯一零點，
因為有意義需使，所以函數的定義域為，所以A錯誤；
因為，，，
所以函數在點P處的切線方程為，，
此直線與x軸、y軸的交點分別為，，
由三角形的面積公式得，解得或，所以B錯誤；
當時，，
當時，記，
則，明顯單調遞增，
而，，
由零點存在定理知存在，使得，即，
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
即當時，，所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，其中，，
當時，記，，
所以在上單調遞增，
，，
由零點存在定理知存在，使得，
即當時，，從而有，
當時，，從而有，
綜上可知在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞減，在上單調遞增，其中，且，，
所以，．
又因為，，
所以當時，，當時，，且，
所以最多只有兩個零點，C錯誤，D正確．
故選：D.
【點睛】方法點睛：1．函數零點的判定常用的方法有：
（1）零點存在性定理；（2）數形結合；（3）解方程f(x)＝0.
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實質就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點．
3．轉化思想：方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題．
2．ACD
【分析】對于A：直接代入求單調性即可；對于B：直接代入求極值即可；對于C：將函數兩個不等于1的零點轉化為有兩個不等于1的根，，求導，研究其單調性，根據單調性確定，然后證明和對應的值一樣即可；對于D：將問題轉化為函數有兩個極值點，求導解答即可.
【詳解】對于A：當時，，
則，令，
則，
則當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故，所以在上單調遞增，A正確；
對于B：當時，，
則，令，
則，
則當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故，所以在上單調遞增，無極值，B錯誤；
對于C：令，得，
令，則，
令，則，
所以在上單調遞減，又，
所以當時，，單調遞增，且，
當時，，單調遞減，且，
若函數只有兩個不等于的零點，即函數與有兩個交點，
則不妨取，
當時，，
所以函數與的兩個交點橫坐標互為倒數，即，C正確；
對于D：明顯，所以是函數的一個零點，且，
函數有三個零點，且函數在上為連續函數，則函數必有兩個極值點（不為1），
因為，
所以，
設，則
當時，令，得，單調遞減，
，得，單調遞增，
所以，所以在上單調遞減，不可能有3個零點，
所以，令，得，單調遞減，
，得，單調遞增，
所以，
所以，所以，D正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：導數問題要學會將問題進行轉化，比如選項C，將零點問題轉化為函數圖象的交點問題，選項D，將零點個數問題轉化為極值點個數問題.
3．
【分析】函數恰有兩個零點等價于與直線有且只有兩個交點，根據圖象可知：與直線在點相切，函數恰有四個個零點等價于與直線有且只有四個交點，根據圖象可知：與直線在點相切，根據導數的幾何意義以及三角恒等變換化簡可得答案.
【詳解】函數恰有兩個零點等價于與直線有且只有兩個交點，函數恰有四個個零點等價于與直線有且只有四個交點，與直線的圖象如下：
根據圖象可知， 與直線有且只有兩個交點時，則與在點處相切，且切點的橫坐標為，此時對應的函數解析式為，所以，則，又，所以，則
同理，與直線有且只有四個交點時，則與在點處相切，且切點的橫坐標為，此時對應的函數解析式為，所以，則，又，所以，則
所以
故答案為：.
4．(1)證明見解析；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）利用導數探討函數的單調性，再利用零點存在性定理推理即得.
（2）等價變形給定的不等式，構造函數，利用導數求出函數的最大值即得.
（3）利用（2）的結論得，再賦值并借助不等式性質，等比數列前n項和公式推理即得.
【詳解】（1）當時，函數定義域為，則，
令，則在上恒成立，則在上單調遞增，
則，即在上恒成立，在上單調遞增，
而，，
所以根據零點存在定理知，有且僅有一個零點．
（2）當時，等價于，
令，求導得，令，
則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
則，于是當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，因此，
所以a的取值范圍為．
（3）由（2）可知，當時，有，則，
因此，
所以．
【點睛】思路點睛：不等式恒成立或存在型問題，可構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.
5．(1)取極小值，無極大值
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）求導，分析函數的單調性，可得函數的極值.
（2）①把問題轉化成，換元，令，，所以或，再分別判斷這兩個方程解得情況.
②問題轉化成方程只有一個正根.根據零點的存在性求參數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，則，
令，函數在上單調遞減，
，函數在上單調遞增，
故當時，取極小值.
（2）①令，
換元，，即或.
構造函數，顯然單調遞增，且，
方程必定存在一負根.
對于函數，當時，當時，
恒成立，方程無根.
當實數時，函數有且僅有一個零點.
②由上可知.
構造函數，根據對稱性不妨假設，
若存在唯一正根，則.
.
，，，，
令，即.
令，構造函數，
，且顯然在上單調遞減，
存在正零點的必要條件是.
易證明當時，，
，
只要當時，就有，
故是存在正零點的充要條件，
而，且，，
在上單調遞增，
，又，
故，即實數的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：函數的圖象關于點對稱.
6．(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導得，設，分類討論的根的情況，可得的單調區間；
（2）求導根據題意可得方程在上有兩個不同的實數解，可得解得，要證，需證，進而換元可證結論；
（3）在上有且僅有2個不同的根，等價于直線與函數的圖象在上有2個交點，求導得，分，討論可證結論．
【詳解】（1）函數的定義域為，
．
設，
則函數為二次函數，對稱軸為直線，
且．
令，則．
當，即時，，
故當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間．
當時，，
故當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間．
當時，令，得，
當時，，當時，，
故當時，函數的單調遞增區間為和，函數的單調遞減區間為．
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．
（2）．
因為函數有兩個極值點，
所以方程在上有兩個不同的實數解，
則解得，
所以
．
要證，
即證．
不妨設，
則只需證．
設，則只需證．
令．
則，
所以在上單調遞增，
所以，得證．
（3）由得，
在上有且僅有2個不同的根，
等價于直線與函數的圖象在上有2個交點．
設，
①當時，令，，
所以在上單調遞增．
又因為，
即當時，存在，且的圖象連續，
所以在上有且僅有1個零點，即存在，使．
當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，
所以在上存在唯一的極小值點．
①當時，又，
記，則，則在上單調遞減，
所以，所以當時，恒成立，
則，
所以當時，直線與函數的圖象在上有1個交點．
②當時，，
所以在上單調遞增．
已證在上單調遞增，
所以在上單調遞增．
又因為，
由①知，
所以當時，直線與函數的圖象在上有1個交點．
③當時，，
設，則，
故函數在上單調遞增，
所以，
則當時，直線與函數的圖象在上無交點．

綜上，當時，直線與函數的圖象在上有2個交點．
即當時，有且僅有2個不同的零點．
【點睛】方法點睛：求含參數的函數的單調區間，求導后能轉化為一元二次方程的問題，常利用判別式進行分類討論求解；函數有兩個極值點即為導函數有兩個零點，在此基礎上證不等式恒成立問題，常轉化為構造函數，通過求最大值與最小值證明；函數有幾個零點問題，常轉化為兩個函數的圖象有幾個交點問題處理.
反思提升：
在求解函數問題時，很多時候都需要求函數f(x)在區間I上的零點，但所述情形都難以求出其準確值，導致解題過程無法繼續進行時，可這樣嘗試求解：先證明函數f(x)在區間I上存在唯一的零點(例如，函數f(x)在區間I上是單調函數且在區間I的兩個端點的函數值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設出其零點是x0.因為x0不易求出(當然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點x0叫做隱零點；若x0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續進行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設而不求”的方法.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·云南昆明·一模）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．為增函數 B．有兩個零點
C．的最大值為2e D．的圖象關于對稱
2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（22-23高三下·江西·階段練習）若函數有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·內蒙古包頭·一模）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．有兩個零點 B．點是曲線的對稱中心
C．有兩個極值點 D．直線是曲線的切線
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數，，下列正確的是（ ）
A．若函數有且只有1個零點，則
B．若函數有兩個零點，則
C．若函數有且只有1個零點，則，
D．若有兩個零點，則
6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函數，下列結論成立的是（ ）
A．函數在定義域內無極值
B．函數在點處的切線方程為
C．函數在定義域內有且僅有一個零點
D．函數在定義域內有兩個零點，，且
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數，，則（ ）
A．若有極值點，則
B．當時，有一個零點
C．
D．當時，曲線上斜率為2的切線是直線
三、填空題
8．（2023·四川內江·模擬預測）若函數有兩個零點，則的取值范圍為 ．
9．（2021·海南·二模）函數的零點個數為 .
10．（20-21高三上·吉林長春·期中）若函數有且只有一個零點，則實數的值為 .
四、解答題
11．（20-21高二下·重慶·期末）已知函數的圖象在處的切線與直線垂直.
（1）求的值；
（2）若函數在上無零點，求的取值范圍.
12．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個不同的零點，證明．
參考答案：
1．D
【分析】利用導數討論函數的單調性，結合選項依次計算，即可求解.
【詳解】A：，令，得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤；
B：由選項A知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
且，所以函數在R上沒有零點，故B錯誤；
C：由選項A知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即函數的最小值為，故C錯誤；
D：，所以函數圖象關于直線對稱，故D正確.
故選：D
2．C
【分析】
求導，研究函數單調性，極值，畫圖，根據圖象得零點個數.
【詳解】,
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
又，，，，
則的草圖如下：
由圖象可得函數的零點個數為.
故選：C.
3．C
【分析】
通過導數求解函數的單調區間，得到其最小值，令最小值小于等于零進行求解即可.
【詳解】已知函數，則，，
當時，；當時，.
在區間上單調遞減；在區間上單調遞增.
所以，則，又，
所以.
故選：C.
4．C
【分析】利用導函數討論單調性和極值、最值即可求解A,C，再根據奇函數的對稱關系可判斷B，根據導數的幾何意義可判斷D.
【詳解】，
令解得，令解得或，
所以在單調遞減，單調遞增，單調遞減，
，且，
所以在各有一個零點，共3個零點，A錯誤；
為奇函數，所以圖象關于對稱，
所以的圖象關于點對稱，B錯誤；
由單調性可知有兩個極值點為，C正確；
對于D，令，解得則，
但是當時，對于直線，有，即直線不經過切點，D錯誤，
故選:C.
5．AD
【分析】根據函數零點的性質，結合常變量分離法，導數的性質逐一判斷即可.
【詳解】由，
當時，
令，
當時，，函數單調遞增，
當時，函數單調遞減，故，
函數的圖象如下圖所示：
當時，直線與函數的圖象沒有交點，所以函數沒有零點，
當時，直線與函數的圖象只有一個交點，所以函數只有一個零點，而，所以選項A正確，選項C不正確；
當時，直線與函數的圖象只有二個交點，所以函數只有二個零點，因此選項B不正確，選項D正確，
故選：AD
6．ABD
【分析】求出定義域與導函數可判斷A；利用導數的幾何意義可判斷B；利用函數單調性以及零點存在性定理可判斷C；根據選項C可判斷D.
【詳解】A，函數定義域為，
，
在和上單調遞增，則函數在定義域內無極值，故A正確；
B，由，則，
又，
函數在點處的切線方程為
即，故B正確；
C，在上單調遞增，
又，
，
所以函數在存在，使，
又，即，
且，
即為函數的一個零點，所以函數在定義域內有兩個零點,故C錯誤.
D，由選項C可得，所以，故D正確.
故選：ABD
7．BC
【分析】對A，判斷當時情況即可；對B，求導分析函數的單調性，結合零點存在性定理判斷即可；對C，根據得關于對稱，再判斷的對稱性判斷即可；對D，根據導數的幾何意義判斷即可.
【詳解】對A，由題得，當時，遞增，不存在極值點，故A選項錯誤；
對B，當時，，令得或，
令得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增．
因為，，，
所以函數在上有一個零點，在上無零點．
綜上所述，函數有一個零點，故B選項正確；
對C，由得關于對稱，
令，該函數的定義域為R，因為，
則是奇函數，圖象的對稱中心是原點，
將的圖象向上平移一個單位長度得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C選項正確；
對D，令，可得．又，，
所以當切點為時，切線方程為，
當切點為時，切線方程為，故D選項錯誤.
故選：BC．
8．
【分析】分離常數，將問題轉化為y＝與y＝的圖象有兩個交點，令（x∈R），利用導數求出的最值，再給合的正負分析即可得答案．
【詳解】解：因為有兩個零點，
即有兩個零點 有兩個解，
即y＝與y＝的圖象有兩個交點，
令（x∈R），
則，
所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；
所以，
又因當時，＝＜0，
當時，＝＞0，
當時，＝＝0，
要使y＝與y＝的圖象有兩個交點，
所以0＜＜，即
故的取值范圍為．
故答案為：．
9．1
【解析】根據函數零點的定義，結合導數進行判斷即可,.
【詳解】因為，
所以單調遞增，又因為，所以有且僅有1個零點.
故答案為：1
10．1
【解析】求出導函數，利用導數與函數單調性的關系求出單調區間，由題意，只需即可求解.
【詳解】由，（），則，
令，解得，
令，解得，
所以函數在上單調遞減，
在上單調遞增，
所以在時取得極小值.
所以函數有且只有一個零點，
只需，即，解得.
故答案為：1
11．（1）；（2）
【分析】（1）首先求出導函數，由即可求解.
（2）由題意可得在上無解，分離參數，轉化為兩個函數無交點即可求解.
【詳解】（1）由函數，，
，所以可得，解得.
（2）若函數在上無零點，即在上無解，
即在上無解，
令，，
，在上，
所以在上單調遞增，
所以，
即，
若在上無解，
則或，
即或.
所以的取值范圍為
12．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）直接用導數求出的最大值即可；
（2）構造并證明時，并對該不等式代入特殊值即可得證.
【詳解】（1）首先由可知的定義域是，從而.
故，從而當時，當時.
故在上遞增，在上遞減，所以具有最大值.
所以命題等價于，即.
所以的取值范圍是.
（2）不妨設，由于在上遞增，在上遞減，故一定有.
在的范圍內定義函數.
則，所以單調遞增.
這表明時，即.
又因為，且和都大于，
故由在上的單調性知，即.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·遼寧·三模）已知函數為實數，下列說法正確的是（ ）
A．當時，則與有相同的極值點和極值
B．存在，使與的零點同時為2個
C．當時，對恒成立
D．若函數在上單調遞減，則的取值范圍為
三、填空題
3．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知，分別是函數和的零點，且，，則 ．
四、解答題
4．（22-23高二上·山東濱州·期末）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，求的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】進行合理換元和同構，轉化為的圖象與直線有兩個交點，轉化為交點問題，再利用導數研究函數的單調性、最值，最后得到參數的取值范圍即可.
【詳解】令，
所以．
令，定義域為，
令，易知在上單調遞增，且．
所以，
則函數有兩個零點轉化為函數的圖象與直線有兩個交點．
則，當時，；當時，，
即在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，當時，；當時，，
則，解得，即實數的取值范圍是．
故選：D．
2．AC
【分析】對于A，分別各自求導，結合導數與函數極值的關系即可判斷；對于B，分別求出與的零點為2個時的范圍，看它們的交集是否為空集即可判斷；對于C，構造函數，求導，對分類討論，只需判斷是否成立即可；對于D，原問題等價于對恒成立，從而即可進一步求解.
【詳解】對于A，當時，
，
當時，有，此時均單調遞減，
當時，有，此時均單調遞增，
所以當時，均各自取到相應的極值，且，
所以當時，則與有相同的極值點和極值，故A正確；
，
令，
，，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
當時，，當，，
當時，有極大值，，
在同一平面直角坐標系中，畫出直線的圖象與函數的圖象，如圖所示，
所以方程有兩個根當且僅當，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
當從1的左邊趨于1時，趨于正無窮，當從1的右邊趨于1時，趨于負無窮，
當時，，單調遞增，
令，則，，當時，，
當時，有極小值，，
在同一平面直角坐標系中，畫出直線的圖象與函數的圖象，如圖所示，
方程有兩個根當且僅當，
綜上所述，不存在，使與的零點同時為2個，故B錯誤；
設，
，
，
當時，顯然，
若，即，在此情況下：
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
，
即在的情況下，對恒成立，
若，即，在此情況下：
當時，，單調遞減，
所以，
所以在的情況下，對恒成立，
綜上所述，當時，對恒成立，故C正確；
對于D，若函數在上單調遞減，
這意味著對恒成立，
也就是說對恒成立，即對恒成立，
注意到在上單調遞減，
所以，也就是說的取值范圍為，故D錯誤.
故選：AC.
3．1
【分析】求，判斷函數在上的單調性，根據函數零點及單調性可得，化簡可得的值.
【詳解】由題意可得，，
又，當時，，所以在上單調遞減，
因為，，且，
又，所以，所以．
故答案為：1.
4．(1)答案見解析；
(2)
【分析】（1）求出導函數，根據和分類討論求解即可；
（2）根據函數的單調性易知且，根據零點存在性定理結合函數的單調性列不等式求解即可.
【詳解】（1）．
①若，，在為增函數；
②若，令，得.
當時，為減函數，
當時，為增函數.
綜上所述，當時，在單調遞增；
當時，在單調遞減，在單調遞增.
（2）當時，在單調遞增，不可能有兩個零點，不符合題意.
當時，在單調遞減，在單調遞增，
因為有兩個零點，必有，
因為，所以.令，
則，所以在單調遞減，而，
所以當時，，即.
又，故在有1個零點；
當時，因為，則，由得，由得，
所以函數在單調遞減，在單調遞增，所以，即，故，所以，
取，有，
所以在有1個零點.
綜上所述，當有兩個零點時，.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·甘肅武威·模擬預測）已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知函數，，，則（ ）
A．當時，函數有兩個零點
B．存在某個，使得函數與零點個數不相同
C．存在，使得與有相同的零點
D．若函數有兩個零點，有兩個零點，，一定有
三、填空題
3．（2024·廣東佛山·二模）若函數（）有2個不同的零點，則實數的取值范圍是 ．
參考答案：
1．C
【分析】先將的圖象向左平移2個單位長度，可得函數圖像，即把問題轉化為直線與函數圖象交點的個數問題；再證明為奇函數，然后求導后得到在區間上為減函數；再求出曲線在點處的切線方程為，求出，，時的范圍；最后作出的圖象和的圖像，數形結合得到結果.
【詳解】將的圖象向左平移2個單位長度，可得函數的圖象，
所以原題轉化為“函數有3個零點”，
即研究直線與函數圖象交點的個數問題．
因為的定義域為，且，
所以為奇函數．
因為，
所以在區間上為減函數，
且曲線在點處的切線方程為．
當時，；
當時，；
當的，，
作出的圖象．如圖：
由圖知：當時，直線與函數的圖象有3個交點．
故實數的取值范圍是．
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是將的圖象向左平移2個單位長度，可得函數圖像，即把問題轉化為直線與函數圖象交點的個數問題；再根據函數的奇偶性和單調性作出函數圖像.
2．ACD
【分析】利用導數研究函數的單調性與最值，結合零點存在性定理及同構式一一判定選項即可.
【詳解】由，
令，令，
即在上單調遞減，在上單調遞增，
即，
對于A項，當時，則，
又易知，且時，，
根據零點存在性定理可知函數在和內各有一個零點，故A正確；
對于B項，當時，此時，則有一個零點，
當時，，則此時無零點，
又易得，
則，函數的零點個數與的零點個數相同，故B錯誤；
對于C項，由A、B項結論可知：當時，有兩個零點，，
同時有兩個零點，，
則根據單調遞增可知，存在唯一的滿足成立，
有，
若C正確，因為，則只能有，即，
由題意易知：，
令，則時，，
時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，
且時，，時，，
設，，
因為，時，，，
所以存在，使得，即，所以，，
即存在，使得與有相同的零點，故C正確；
對于D項，由C項結論可知，此時，
則由，故D正確.
綜上：ACD正確.
故選：ACD
【點睛】難點點睛：可以先利用導數含參討論函數的單調性與最值，結合零點存在性定理判定零點個數，對于第二項，注意觀察兩個函數的解析式，利用同構式判定可零點之間的聯系；第三項，構造函數利用其單調性可判定同構式是否有解.
3．
【分析】化簡函數，得到和在上單增，結合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，結合，進而得到實數的取值范圍．
【詳解】由函數，
設，可得，單調遞增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
令，即，
設，可得，則在上單增，
又由且時，，
所以當時，存在唯一的，使，即，
若時，可得，則，可得，所以，
所以，
綜上所述，實數的取值范圍為．
故答案為：．
【點睛】方法技巧：已知函數零點（方程根）的個數，求參數的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據題設條件構建關于參數的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數的取值范圍2、分離參數法，先分離參數，將問題轉化成求函數值域問題加以解決；
3、數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象，然后數形結合求解.
結論拓展：與和相關的常見同構模型
①，構造函數或；
②，構造函數或；
③，構造函數或.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題19 利用導數研究函數的零點（新高考專用）
【真題自測】 2
【考點突破】 3
【考點1】判斷、證明或討論零點的個數 3
【考點2】根據零點情況求參數范圍 4
【考點3】與函數零點相關的綜合問題 5
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 8
【培優篇】 9
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、解答題
2．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
3．（2022·全國·高考真題）已知函數．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
4．（2022·全國·高考真題）已知函數．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
6．（2021·全國·高考真題）已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
【考點1】判斷、證明或討論零點的個數
一、單選題
1．（2022·浙江寧波·模擬預測）已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為（ ）
A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6
二、多選題
2．（2023·湖南·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．在區間上單調遞增
C．將函數圖象上各點橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象
D．函數的零點個數為7
三、填空題
3．（2021·浙江·模擬預測）已知實數且，為定義在上的函數，則至多有 個零點；若僅有個零點，則實數的取值范圍為 ．
四、解答題
4．（2024·四川成都·二模）已知函數.
(1)判斷的零點個數并說明理由；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.
5．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知函數.
(1)時，求的零點個數；
(2)若時，恒成立，求a的取值范圍.
6．（2022·全國·模擬預測）已知函數，.
(1)當時，求證：；
(2)求函數的零點個數.
反思提升：
利用導數求函數的零點常用方法
(1)構造函數g(x)，利用導數研究g(x)的性質，結合g(x)的圖象，判斷函數零點的個數.
(2)利用零點存在定理，先判斷函數在某區間有零點，再結合圖象與性質確定函數有多少個零點.
【考點2】根據零點情況求參數范圍
一、單選題
1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）設函數若恰有5個不同零點，則正實數的范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2021·山東聊城·二模）用符號表示不超過的最大整數，例如：，.設有3個不同的零點，，，則（ ）
A．是的一個零點
B．
C．的取值范圍是
D．若，則的范圍是.
三、填空題
3．（2021·安徽安慶·三模）已知函數有三個零點，，，且，其中，為自然對數的底數，則的范圍為 ．
四、解答題
4．（2023·陜西寶雞·模擬預測）設函數
(1)若時函數有三個互不相同的零點，求m的范圍；
(2)若函數在內沒有極值點，求a的范圍；
5．（23-24高三上·遼寧沈陽·開學考試）已知函數.
(1)若，求函數在處的切線方程；
(2)若函數在區間上有且只有一個零點，求實數的范圍.
6．（2023·天津濱海新·模擬預測）已知函數，.
(1)若，求的單調區間.
(2)若，且在區間上恒成立，求a的范圍；
(3)若，判斷函數的零點的個數.
反思提升：
1.函數零點個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數，根據圖象的幾何直觀求解.
2.與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點判斷函數的大致圖象，進而求出參數的取值范圍.也可分離出參數，轉化為兩函數圖象的交點情況.
【考點3】與函數零點相關的綜合問題
一、單選題
1．（2024·湖北·二模）已知函數（e為自然對數的底數）．則下列說法正確的是（ ）
A．函數的定義域為R
B．若函數在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，則
C．當時，可能有三個零點
D．當時，函數的極小值大于極大值
二、多選題
2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數，下列說法正確的有（ ）
A．當時，則在上單調遞增
B．當時，函數有唯一極值點
C．若函數只有兩個不等于1的零點，則必有
D．若函數有三個零點，則
三、填空題
3．（2024·安徽·模擬預測）對于函數，當該函數恰有兩個零點時，設兩個零點中最大值為，當該函數恰有四個零點時，設這四個零點中最大值為，求 .
四、解答題
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知函數．
(1)當時，證明：有且僅有一個零點．
(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．
(3)證明：．
5．（2024·江西景德鎮·三模）已知函數，.
(1)當時，求函數的極值；
(2)已知實數.
①求證：函數有且僅有一個零點；
②設該零點為，若圖象上有且只有一對點，關于點成中心對稱，求實數的取值范圍.
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)若函數的兩個極值點分別為，證明：；
(3)設，求證：當時，有且僅有2個不同的零點．
（參考數據：）
反思提升：
在求解函數問題時，很多時候都需要求函數f(x)在區間I上的零點，但所述情形都難以求出其準確值，導致解題過程無法繼續進行時，可這樣嘗試求解：先證明函數f(x)在區間I上存在唯一的零點(例如，函數f(x)在區間I上是單調函數且在區間I的兩個端點的函數值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設出其零點是x0.因為x0不易求出(當然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點x0叫做隱零點；若x0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續進行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設而不求”的方法.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·云南昆明·一模）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．為增函數 B．有兩個零點
C．的最大值為2e D．的圖象關于對稱
2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（22-23高三下·江西·階段練習）若函數有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·內蒙古包頭·一模）已知函數，則下列結論正確的是（ ）
A．有兩個零點 B．點是曲線的對稱中心
C．有兩個極值點 D．直線是曲線的切線
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數，，下列正確的是（ ）
A．若函數有且只有1個零點，則
B．若函數有兩個零點，則
C．若函數有且只有1個零點，則，
D．若有兩個零點，則
6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函數，下列結論成立的是（ ）
A．函數在定義域內無極值
B．函數在點處的切線方程為
C．函數在定義域內有且僅有一個零點
D．函數在定義域內有兩個零點，，且
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數，，則（ ）
A．若有極值點，則
B．當時，有一個零點
C．
D．當時，曲線上斜率為2的切線是直線
三、填空題
8．（2023·四川內江·模擬預測）若函數有兩個零點，則的取值范圍為 ．
9．（2021·海南·二模）函數的零點個數為 .
10．（20-21高三上·吉林長春·期中）若函數有且只有一個零點，則實數的值為 .
四、解答題
11．（20-21高二下·重慶·期末）已知函數的圖象在處的切線與直線垂直.
（1）求的值；
（2）若函數在上無零點，求的取值范圍.
12．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個不同的零點，證明．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·遼寧·三模）已知函數為實數，下列說法正確的是（ ）
A．當時，則與有相同的極值點和極值
B．存在，使與的零點同時為2個
C．當時，對恒成立
D．若函數在上單調遞減，則的取值范圍為
三、填空題
3．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知，分別是函數和的零點，且，，則 ．
四、解答題
4．（22-23高二上·山東濱州·期末）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，求的取值范圍.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·甘肅武威·模擬預測）已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知函數，，，則（ ）
A．當時，函數有兩個零點
B．存在某個，使得函數與零點個數不相同
C．存在，使得與有相同的零點
D．若函數有兩個零點，有兩個零點，，一定有
三、填空題
3．（2024·廣東佛山·二模）若函數（）有2個不同的零點，則實數的取值范圍是 ．
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