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專題21 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式（新高考專用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測】 2
【考點(diǎn)突破】 3
【考點(diǎn)1】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用 3
【考點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 4
【考點(diǎn)3】同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 6
【分層檢測】 7
【基礎(chǔ)篇】 7
【能力篇】 8
【培優(yōu)篇】 9
考試要求：
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用單位圓中的對(duì)稱性推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α.
2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口訣 奇變偶不變，符號(hào)看象限
1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
三、解答題
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
【考點(diǎn)1】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）美國數(shù)學(xué)史家、穆倫堡學(xué)院名譽(yù)數(shù)學(xué)教授威廉 鄧納姆在1994年出版的The Mathematical Universe一書中寫道：“相比之下，數(shù)學(xué)家達(dá)到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個(gè)極好的令人信服的圖示就傳達(dá)了證明，甚至不需要任何解釋．很難比它更優(yōu)雅了．”如圖所示正是數(shù)學(xué)家所達(dá)到的“終極優(yōu)雅”，該圖（為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導(dǎo)出的正確選項(xiàng)為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）若，則 .
6．（2024·廣東廣州·二模）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，則 ．
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【考點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知，則（ ）
A．3 B． C． D．2
2．（16-17高三上·廣西梧州·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·陜西咸陽·期末）下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·海南海口·二模）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．
D．在上的值域?yàn)?br/>三、填空題
5．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)，則 ， ．

6．（2024·湖南長沙·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作x軸的垂線交直線于點(diǎn)B，C滿足，過B作x軸的平行線交E：于點(diǎn)P（P在B的右側(cè)），若，則 .
反思提升：
(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【考點(diǎn)3】同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·福建南平·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·河南三門峽·期末）下列等式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）關(guān)于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（ ）
A．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
B．是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心
C．將曲線向左平移個(gè)單位可得到曲線
D．函數(shù)在的值域?yàn)?br/>三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）若，則 ．
6．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，則 .
反思提升：
1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.
2.用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有－α與＋α，＋α與－α，＋α與－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有－θ與＋θ，＋θ與－θ，＋θ與－θ等.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知正方體的外接球的球心為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知，則（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山東聊城·三模）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·重慶涪陵·模擬預(yù)測）已知向量，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．的值為2 D．
6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·全國·模擬預(yù)測）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
三、填空題
8．（2024·北京順義·二模）在中，，，，則的面積為 .
9．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
10．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為米的筒車按逆時(shí)針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒的初始位置為點(diǎn)（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開始計(jì)時(shí)，分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為，則 .
四、解答題
11．（21-22高二下·吉林·階段練習(xí)）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習(xí)）（1）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值；
（2）化簡求值：
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖南常德·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，若角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A． B．
C． D．角的終邊在第一象限
三、填空題
3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則 ．
四、解答題
4．（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的長.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南南陽·一模）已知三個(gè)銳角滿足，則的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2022·湖北武漢·三模）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．若函數(shù)，則的值域?yàn)?br/>C．若函數(shù)，則的值域?yàn)?br/>D．，
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）若，則的最大值為 ，的最小值為 ．
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【知識(shí)梳理】 2
【真題自測】 2
【考點(diǎn)突破】 6
【考點(diǎn)1】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用 6
【考點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 9
【考點(diǎn)3】同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 14
【分層檢測】 17
【基礎(chǔ)篇】 17
【能力篇】 25
【培優(yōu)篇】 27
考試要求：
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用單位圓中的對(duì)稱性推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α.
2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口訣 奇變偶不變，符號(hào)看象限
1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
三、解答題
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，例如但，
即推不出；
當(dāng)時(shí)，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2．A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.
3．C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．
4．D
【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：D.
5．2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br/>所以，即，
則，故，
此時(shí)，
所以，
又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，
所以.
故答案為：2.
6．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
【考點(diǎn)1】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·四川眉山·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）美國數(shù)學(xué)史家、穆倫堡學(xué)院名譽(yù)數(shù)學(xué)教授威廉 鄧納姆在1994年出版的The Mathematical Universe一書中寫道：“相比之下，數(shù)學(xué)家達(dá)到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個(gè)極好的令人信服的圖示就傳達(dá)了證明，甚至不需要任何解釋．很難比它更優(yōu)雅了．”如圖所示正是數(shù)學(xué)家所達(dá)到的“終極優(yōu)雅”，該圖（為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導(dǎo)出的正確選項(xiàng)為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）若，則 .
6．（2024·廣東廣州·二模）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，則 ．
參考答案：
1．A
【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕校?br/>所以
.
故選；A.
2．A
【分析】由倍角公式可得，根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：A.
3．BD
【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的三角函數(shù)值，再結(jié)合二倍角的余弦公式和兩角和的正切公式逐一計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，
所以，，，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確．
故選：BD．
4．ACD
【分析】利用圖形結(jié)合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面積公式求解判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】如圖，
對(duì)于A，在中，，，又，
則，，
在中，可求得，
所以，故A正確；
對(duì)于B， ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在中，因?yàn)椋瑒t，故C正確；
對(duì)于D，，
，
所以，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】利用平方關(guān)系求出，又，利用兩角差的余弦公式求解.
【詳解】，則，
，
因此
.
故答案為：.
6．
【分析】利用復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，求出，再利用二倍角公式得出結(jié)論．
【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，
．
．
故答案為：．
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【考點(diǎn)2】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知，則（ ）
A．3 B． C． D．2
2．（16-17高三上·廣西梧州·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·陜西咸陽·期末）下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·海南海口·二模）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．
D．在上的值域?yàn)?br/>三、填空題
5．（2024·河北邯鄲·二模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)，則 ， ．

6．（2024·湖南長沙·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作x軸的垂線交直線于點(diǎn)B，C滿足，過B作x軸的平行線交E：于點(diǎn)P（P在B的右側(cè)），若，則 .
參考答案：
1．A
【分析】利用輔助角公式結(jié)合同角關(guān)系式結(jié)合條件可得，然后利用誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕裕?br/>又，所以，所以，
所以，故.
故選：A
2．D
【分析】由誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由，得，
則.
故選：D.
3．ABD
【分析】求出的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦求值判斷A；利用兩角和的余弦求值判斷B；利用二倍角的余弦求值判斷C；利用二倍角的正切求值判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br/>對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋傻茫蔇正確.
故選：ABD.
4．AC
【分析】A選項(xiàng)，先根據(jù)圖象求出最小正周期，進(jìn)而得到；B選項(xiàng)，求出，代入求出，得到函數(shù)解析式，計(jì)算出，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，利用誘導(dǎo)公式得到C正確；D選項(xiàng)，整體法求出函數(shù)的值域.
【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)的最小正周期為，則，
故，
因?yàn)椋裕珹正確；
B選項(xiàng)，由圖象可知，，，
將代入解析式得，
故，故，
因?yàn)椋裕?br/>故，
，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，C正確；
D選項(xiàng)，，，
故，D錯(cuò)誤.
故選：AC
5． 0 /0.0625
【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】正五角星可分割成5個(gè)3角形和1個(gè)正五邊形,五個(gè)3角形各自角度之和
正五邊形的內(nèi)角和；每個(gè)角為，
三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為，
三角形內(nèi)角和為，那么三角形頂角，即五角星尖角，
即.
;
因?yàn)?
所以.
故答案為：；.
6．/
【分析】由條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，證明，，由此可得，列方程求，由此可求，再求.
【詳解】依題意不妨設(shè)，則，，
因?yàn)椋裕?br/>所以，又，
所以，，
所以，即，設(shè)，則，，
所以，所以，，
即，所以，
由得，
解得，所以，
所以，
在中，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是結(jié)合三角函數(shù)，平面幾何相關(guān)結(jié)論找到角，之間的關(guān)系.
反思提升：
(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【考點(diǎn)3】同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·福建南平·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高一上·河南三門峽·期末）下列等式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）關(guān)于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（ ）
A．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
B．是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心
C．將曲線向左平移個(gè)單位可得到曲線
D．函數(shù)在的值域?yàn)?br/>三、填空題
5．（2024·福建廈門·一模）若，則 ．
6．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，則 .
參考答案：
1．A
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡代入即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>解得：，
.
故選：A.
2．C
【分析】由可得，再利用整體思想結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式計(jì)算即可得.
【詳解】由，則，則，
，
則，由，故.
故選：C.
3．ABD
【分析】利用誘導(dǎo)公式和三角恒等變換等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】對(duì)A，，A選項(xiàng)正確；
對(duì)B，，B選項(xiàng)正確；
對(duì)C，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)D，
，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ABD
4．ABD
【分析】化簡函數(shù)解析式，整體代入法或驗(yàn)證法求函數(shù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心判斷選項(xiàng)AB，利用圖象平移的規(guī)則判斷選項(xiàng)C，結(jié)合函數(shù)解析式求解區(qū)間內(nèi)函數(shù)的值域判斷選項(xiàng)D.
【詳解】依題意，因?yàn)?br/>令，，當(dāng)時(shí)，，
所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以選項(xiàng)正確；
（另解：因?yàn)椋串?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸）；
令，，當(dāng)，
所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以選項(xiàng)正確；
（另解：因?yàn)椋词呛瘮?shù)的零點(diǎn)，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心）．
因?yàn)椋?br/>又將曲線向左平移個(gè)單位可得到曲線，所以選項(xiàng)不正確；
因?yàn)椋?br/>當(dāng)， 有，則，
得函數(shù)的值域?yàn)椋赃x項(xiàng)正確.
故選：ABD
5．/
【分析】
應(yīng)用誘導(dǎo)公式有，即可求值.
【詳解】.
故答案為：
6．
【分析】應(yīng)用和角余弦公式得，利用誘導(dǎo)公式、倍角余弦公式得，即可得答案.
【詳解】，所以，
則.
故答案為：
反思提升：
1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.
2.用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有－α與＋α，＋α與－α，＋α與－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有－θ與＋θ，＋θ與－θ，＋θ與－θ等.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知正方體的外接球的球心為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知，則（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山東聊城·三模）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·重慶涪陵·模擬預(yù)測）已知向量，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．的值為2 D．
6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·全國·模擬預(yù)測）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
三、填空題
8．（2024·北京順義·二模）在中，，，，則的面積為 .
9．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
10．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為米的筒車按逆時(shí)針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒的初始位置為點(diǎn)（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開始計(jì)時(shí)，分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為，則 .
四、解答題
11．（21-22高二下·吉林·階段練習(xí)）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黃山·階段練習(xí)）（1）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值；
（2）化簡求值：
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)正方體的體對(duì)角線以及面對(duì)角線長，即可利用余弦定理求解，由同角關(guān)系即可求解.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則，
易知正方體的外接球的球心為體對(duì)角線的中點(diǎn)，
.
在中，由余弦定理可得
由于，，
故選：D.
2．C
【分析】利用兩角差的正切公式計(jì)算可得，結(jié)合切弦互化即可求解.
【詳解】由，得，
解得，
所以.
故選：C
3．D
【分析】由降冪公式求出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可．
【詳解】由已知得，，即，
則，
故選：D．
4．A
【分析】先利用整體思想結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角余弦公式計(jì)算得，然后由及可得，即可求得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，
則，即，
由，則，由，得，故，
所以，則，故.
故選：A
5．BD
【分析】先根據(jù)向量加法，可直接求出.
對(duì)選項(xiàng)，直接求出向量和的模，然后驗(yàn)證即可；
對(duì)選項(xiàng)，直接求出余弦值；
對(duì)選項(xiàng)，直接求出向量的模；
對(duì)選項(xiàng)，直接求出正弦值.
【詳解】根據(jù)向量的加法可得：
根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系，且，解得：.
對(duì)選項(xiàng)，，則有：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，則有：，故選項(xiàng)正確；
對(duì)選項(xiàng)，，則有：
故有：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，則有：，故選項(xiàng)正確.
故選：BD.
6．ABC
【分析】利用和角公式可求值驗(yàn)證A項(xiàng)，運(yùn)用輔助角公式和誘導(dǎo)公式可得B項(xiàng)，運(yùn)用兩角和的正切公式可以驗(yàn)證C項(xiàng)，利用倍角公式和誘導(dǎo)公式可以判定D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，
，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，
，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC．
7．BD
【分析】令，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)，即可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值.
【詳解】設(shè)，
由，得，則，
又由，得，
所以，
又因?yàn)楹瘮?shù)和在上單調(diào)遞增，
所以在上為增函數(shù)，
，，
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查之間的關(guān)系，涉及利用函數(shù)單調(diào)性求最值，屬綜合基礎(chǔ)題.
8．
【分析】將兩邊平方，結(jié)合余弦定理可得，利用平方關(guān)系求出即可得解.
【詳解】由余弦定理得①，
又，得②，
聯(lián)立①②解得，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
故答案為：
9．/
【分析】利用三角恒等變換化簡算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得結(jié)果.
【詳解】，，
所以，
而，
因此原式.
故答案為：.
10．3
【分析】由題意得，，，又時(shí)，，代入求值，得到，求出函數(shù)解析式，求出答案.
【詳解】由題意得，又，故，
且，解得，
故，
當(dāng)時(shí)，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案為：3
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)角的范圍確定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根據(jù)弦切齊次式即可求解.
【詳解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
12．（1）；（2）2
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，利用誘導(dǎo)公式化簡后，代入，求出答案；
（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)，
所以，
所以
（2）
.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖南常德·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·浙江溫州·二模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，若角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A． B．
C． D．角的終邊在第一象限
三、填空題
3．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則 ．
四、解答題
4．（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的長.
參考答案：
1．A
【分析】使用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】
.
故選：A.
2．ACD
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求角的三角函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函數(shù)值，結(jié)合三角函數(shù)的概念指出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，由對(duì)稱性確定角終邊與單位圓交點(diǎn)，從而判斷BCD的真假.
【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，
所以：，所以，，所以，故A對(duì)；
又，
，
所以的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，
因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，所以角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，
所以，且的終邊在第一象限，故CD正確；
又因?yàn)榻K邊在直線的角為：，角的終邊與角的終邊關(guān)于對(duì)稱，
所以，故B錯(cuò)誤.
故選：ACD
3．
【分析】利用韋達(dá)定理可得，，再利用兩角和差公式和三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解即可.
【詳解】因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)根，
所以，，則，
所以．
故答案為：
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化簡已知條件即可求解；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，由向量加法運(yùn)算得，
平方化簡即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>所以，由得，
即，平方化簡得，所以.
（2）由題意，所以，即,
又由（1）知，，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南南陽·一模）已知三個(gè)銳角滿足，則的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2022·湖北武漢·三模）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．若函數(shù)，則的值域?yàn)?br/>C．若函數(shù)，則的值域?yàn)?br/>D．，
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）若，則的最大值為 ，的最小值為 ．
參考答案：
1．D
【分析】先根據(jù)題意分別求出，再根據(jù)平方關(guān)系求出的關(guān)系，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)銳角滿足，
所以，
則，
所以，
整理得，
又，
于是解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)求出，再根據(jù)平方關(guān)系求出的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
2．AC
【分析】求出函數(shù)式確定單調(diào)性判斷A；舉特例說明判斷BD；變形函數(shù)式，分類討論判斷C即可.
【詳解】對(duì)于A，，，有，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；
對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
，
當(dāng)時(shí)，，，有，
當(dāng)時(shí)，，，有，
綜上：的值域?yàn)椋蔆正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，有，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的解決關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式將函數(shù)化為，從而結(jié)合高斯函數(shù)的定義即可得解.
3． 9 1
【分析】借助誘導(dǎo)公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化，再利用兩點(diǎn)間的距離公式將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，利用形的直觀來求最值.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以
，
此式可看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離．
而點(diǎn)的軌跡是圓．
又點(diǎn)到圓心的距離為2，所以的最大值，的最小值．
故答案為：9；1
【點(diǎn)睛】將所給函數(shù)式展開必將陷入命題人的圈套，此時(shí)要整體把握目標(biāo)，借助誘導(dǎo)公式將函數(shù)式轉(zhuǎn)化，再利用兩點(diǎn)間的距離公式將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，利用形的直觀來求最值，既簡單又節(jié)省時(shí)間．本題不僅要求學(xué)生具備扎實(shí)的基本功，具有整體把握目標(biāo)的能力，還對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等要求較高．
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