資源簡介

專題22 兩角和與差的正弦、余弦和正切（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】公式的基本應用 4
【考點2】公式的逆用及變形 5
【考點3】角的變換問題 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 8
【培優(yōu)篇】 9
考試要求：
1.經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.
2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.
3.能運用公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).
1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sinαcosα.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
2.降冪公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
二、多選題
6．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【考點1】公式的基本應用
一、單選題
1．（2024·山東棗莊·模擬預測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·山東棗莊·模擬預測）在中，，為內(nèi)一點，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）如圖，角，的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點，M為線段AB的中點．N為的中點，則下列說法中正確的是（ ）
A．N點的坐標為
B．
C．
D．若的終邊與單位圓交于點C，分別過A，B，C作x軸的垂線，垂足為R，S，T，則
4．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·江西鷹潭·二模）已知，且，則 .
6．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
反思提升：
1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結構特征.
2.使用公式求值，應先求出相關角的函數(shù)值，再代入公式求值.
【考點2】公式的逆用及變形
一、單選題
1．（2024·貴州黔東南·二模）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西·模擬預測）若，則（ ）
A． B．1 C． D．
二、多選題
3．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是
C．的值域為 D．在上單調(diào)遞增
4．（2023·全國·模擬預測）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·江西·模擬預測）已知，，則 .
6．（2023·四川成都·二模）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且，則實數(shù)的取值范圍為 ．
反思提升：
1.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.
2.對asin x＋bcos x化簡時，輔助角φ的值如何求要清楚.
【考點3】角的變換問題
一、單選題
1．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州貴陽·一模）已知滿足，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三上·河南洛陽·開學考試）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知為銳角，滿足，則 ， ．
6．（23-24高一上·湖南益陽·期末）若是銳角，，則 ．
反思提升：
(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.
(3)常見的角變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·湖南·二模）若銳角滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·安徽六安·期末）已知，且，則（ ）
A． B．7 C． D．
4．（2024·江西南昌·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（23-24高三上·黑龍江·階段練習）已知函數(shù)的圖象為C，以下說法中正確的是（ ）
A．函數(shù)的最大值為
B．圖象C關于中心對稱
C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)
D．函數(shù)圖象上，橫坐標伸長到原來的2倍，向左平移可得到
6．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）下列四個式子中，計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）下列化簡結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2024·廣西·二模）已知，則 .
9．（2024·全國·二模）已知，則 .
10．（23-24高一下·廣東茂名·期中）已知，則 .
四、解答題
11．（23-24高一下·北京房山·期中）設函數(shù)由下列三個條件中的兩個來確定：①；②最小正周期為；③．
(1)寫出能確定函數(shù)的兩個條件，并求出的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值及相應的的值．
12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的最小正周期；
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·山東·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·云南昆明·一模）古希臘數(shù)學家托勒密（Ptolemy 85-165）對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應關系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為.例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即.則（ ）
A．
B．若，則
C．
D．（）
三、填空題
3．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù).
（i）若，則函數(shù)的最小正周期為 .
（ii）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實數(shù) .
四、解答題
4．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù)，從條件① 條件② 條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.
(1)求的值；
(2)若不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍.
條件①：；
條件②：的圖象可由的圖象平移得到；
條件③：在區(qū)間內(nèi)無極值點，且.
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇·二模）正三棱錐和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，點P和點Q在平面ABC的異側，這兩個正三棱錐的側面與底面ABC所成的角分別為，，則當最大時，（ ）
A． B． C．-1 D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預測）在單位圓上任取一點，圓O與x軸正半軸的交點是A，設將繞原點O旋轉(zhuǎn)到所成的角為，記x，y關于的表達式分別為，則下列說法中正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)
B．對于恒成立
C．設，若在上有且僅有3個極值點，則
D．函數(shù)的最大值為
三、填空題
3．（2021·浙江·模擬預測）若向量滿足，則的最大值是 .
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題22 兩角和與差的正弦、余弦和正切（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】公式的基本應用 7
【考點2】公式的逆用及變形 11
【考點3】角的變換問題 16
【分層檢測】 19
【基礎篇】 19
【能力篇】 25
【培優(yōu)篇】 28
考試要求：
1.經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.
2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.
3.能運用公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).
1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sinαcosα.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
2.降冪公式：cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
二、多選題
6．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．
（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
2．D
【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因為，而為銳角，
解得：．
故選：D．
3．C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設β=0則sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換
所以
即
故選：C.
4．C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．
【詳解】將式子進行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．
5．B
【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．
【詳解】
過作，過作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因為，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點睛】本題關鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．
6．AC
【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯誤；
故選：AC
【考點1】公式的基本應用
一、單選題
1．（2024·山東棗莊·模擬預測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·山東棗莊·模擬預測）在中，，為內(nèi)一點，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）如圖，角，的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點，M為線段AB的中點．N為的中點，則下列說法中正確的是（ ）
A．N點的坐標為
B．
C．
D．若的終邊與單位圓交于點C，分別過A，B，C作x軸的垂線，垂足為R，S，T，則
4．（2024·全國·模擬預測）已知角的終邊過點，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·江西鷹潭·二模）已知，且，則 .
6．（2024·河北承德·二模）已知，則 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，，再由兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，即，
即角的終邊經(jīng)過點，所以，，
所以.
故選：D
2．B
【分析】在中，設，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，即可得解.
【詳解】在中，設，令，

則，，
在中，可得，，
由正弦定理，
得，
所以，
可得，即．
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：本題解答關鍵是找到角之間的關系，從而通過設元、轉(zhuǎn)化到中利用正弦定理得到關系式.
3．BCD
【分析】
利用三角函數(shù)定義可求得N點的坐標為，可知A錯誤；易知，B正確；求得點橫坐標，再利用中點坐標公式可得C正確；分別表示出各線段長度利用三角恒等變換和三角函數(shù)值域可得D正確.
【詳解】
由N為的中點，則，可得，
由三角函數(shù)定義可得N點的坐標為，故A錯誤；
由，可得，故B正確；
易知，
又因為，，M為線段AB的中點，
則，
所以，故C正確；
由易知線段，，
則，
所以，故D正確，
故選：BCD．
4．BD
【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的三角函數(shù)值，再結合二倍角的余弦公式和兩角和的正切公式逐一計算即可.
【詳解】因為角的終邊過點，所以，
所以，，，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確．
故選：BD．
5．/
【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關系可得，即可得到，由正弦函數(shù)的和差角公式代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，所以，又，
所以，
所以
.
故答案為：
6．/
【分析】利用三角恒等變換化簡算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得結果.
【詳解】，，
所以，
而，
因此原式.
故答案為：.
反思提升：
1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結構特征.
2.使用公式求值，應先求出相關角的函數(shù)值，再代入公式求值.
【考點2】公式的逆用及變形
一、單選題
1．（2024·貴州黔東南·二模）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西·模擬預測）若，則（ ）
A． B．1 C． D．
二、多選題
3．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是
C．的值域為 D．在上單調(diào)遞增
4．（2023·全國·模擬預測）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·江西·模擬預測）已知，，則 .
6．（2023·四川成都·二模）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且，則實數(shù)的取值范圍為 ．
參考答案：
1．C
【分析】找出和的關系，求出和即可求解.
【詳解】，
，
①，，，
②，由①②解得或，
，，
，.
故選：C.
2．A
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式求出，再由二倍角公式公式及同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，再代入計算可得.
【詳解】因為，即，
則．
故選：A
3．AC
【分析】對于A，直接用偶函數(shù)的定義即可驗證；對于B，直接說明即可否定；對于C，先證明，再說明對總有有解即可驗證；對于D，直接說明即可否定.
【詳解】對于A，由于的定義域為，且，
故是偶函數(shù)，A正確；
對于B，由于，，故，這說明不是的周期，B錯誤；
對于C，由于
，
且，故.
而對，有，，故由零點存在定理知一定存在使得.
所以的值域為，C正確；
對于D，由于，，故在上并不是單調(diào)遞增的，D錯誤.
故選：AC.
4．ABC
【分析】由兩角和差的三角函數(shù)公式、平方關系結合已知運算即可.
【詳解】由已知，得，，
兩式分別平方相加，得，，
整理得，∴，∴A正確；
同理由，，兩式分別平方相加，易得，∴B正確；
由，，兩式分別平方相加，易得．
∵，∴，∴，
∴，∴C正確，D錯誤.
故選：ABC．
5．
【分析】利用和角、差角的余弦公式以及二倍角公式求解即可.
【詳解】因為，，
所以，
所以，
所以.
故答案為：.
6．
【分析】由兩角和的正切公式化簡可得，再根據(jù)三角形形狀以及正弦、余弦定理可限定出，將參數(shù)表示成再利用函數(shù)單調(diào)性即可求得其范圍.
【詳解】在中，由可得,
又因為，
所以，即
則，
所以可得，由正弦定理得．
又可知．又為銳角三角形，所以，
由余弦定理得．所以，
即，所以，
解得．
又，所以．
又因為，所以，
即．
令，則，則．
因為在上單調(diào)遞增，又，，
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：
【點睛】方法點睛：求解解三角形綜合問題時一般會綜合考慮三角恒等變換、正弦定理、余弦定理等公式的靈活運用，再結合基本不等式或者通過構造函數(shù)利用導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性等求出參數(shù)取值范圍.
反思提升：
1.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.
2.對asin x＋bcos x化簡時，輔助角φ的值如何求要清楚.
【考點3】角的變換問題
一、單選題
1．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州貴陽·一模）已知滿足，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高三上·河南洛陽·開學考試）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知為銳角，滿足，則 ， ．
6．（23-24高一上·湖南益陽·期末）若是銳角，，則 ．
參考答案：
1．D
【分析】由降冪公式求出，再結合誘導公式求解即可．
【詳解】由已知得，，即，
則，
故選：D．
2．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角、差角的正切公式計算即可.
【詳解】由，得，
所以.
故選：B
3．ACD
【分析】
利用同角三角函數(shù)的關系,兩角差的余弦公式和倍角公式計算.
【詳解】
，，則，A正確.
，C正確.
因為，，所以，B錯誤.
，
，所以，D正確.
故選：ACD
4．BCD
【分析】由同角三角函數(shù)的平方關系計算，和驗證ABD選項；，由兩角和的正弦公式計算驗證C選項.
【詳解】，則，
，，故A錯誤，D正確；
，故B選項正確；
，故C選項正確；
故選：BCD.
5． / /
【分析】由，利用兩角和與差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.
【詳解】因為，所以
，
又，所以，
因為為銳角，所以為銳角，
又，所以，
又，所以，
所以．
故答案為：；.
6．
【分析】根據(jù)給定條件，利用平方關系及差角的余弦公式計算即得.
【詳解】由是銳角，得，又，則，
所以.
故答案為：
反思提升：
(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.
(3)常見的角變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·湖南·二模）若銳角滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·安徽六安·期末）已知，且，則（ ）
A． B．7 C． D．
4．（2024·江西南昌·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（23-24高三上·黑龍江·階段練習）已知函數(shù)的圖象為C，以下說法中正確的是（ ）
A．函數(shù)的最大值為
B．圖象C關于中心對稱
C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)
D．函數(shù)圖象上，橫坐標伸長到原來的2倍，向左平移可得到
6．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）下列四個式子中，計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習）下列化簡結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（2024·廣西·二模）已知，則 .
9．（2024·全國·二模）已知，則 .
10．（23-24高一下·廣東茂名·期中）已知，則 .
四、解答題
11．（23-24高一下·北京房山·期中）設函數(shù)由下列三個條件中的兩個來確定：①；②最小正周期為；③．
(1)寫出能確定函數(shù)的兩個條件，并求出的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值及相應的的值．
12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的最小正周期；
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
參考答案：
1．D
【分析】利用兩角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值.
【詳解】.
于是，當且僅當時取等號，
則的最小值為.
故選：D.
2．A
【分析】根據(jù)題意，利用兩角和與差的三角函數(shù)，準確運算，即可求解.
【詳解】由，
即，所以.
故選：A.
3．B
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系求得，及，再利用兩角和正切公式求解即可.
【詳解】由題意，消去并化簡得，
解得，所以，，所以.
故選：B
4．D
【分析】利用余弦的和角公式化簡得，再根據(jù)二倍角公式及誘導公式計算即可.
【詳解】由已知知：，
化簡得
，
令，則，，
所以
.
故選：D
5．CD
【分析】
根據(jù)降冪公式、二倍角正弦公式，結合正弦型函數(shù)的最值、對稱性、單調(diào)性、圖象變換性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】.
A：函數(shù)的最大值為，因此本選項不正確；
B：因為，所以圖象C不關于中心對稱，因此本選項不正確；
C：當時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，因此本選項正確；
D：函數(shù)圖象上，橫坐標伸長到原來的2倍，得到，再向左平移可得到，所以本選項正確，
故選：CD
6．ACD
【分析】根據(jù)和角的余弦公式可判斷A；根據(jù)誘導公式可判斷B；根據(jù)二倍角的正弦公式可判斷C；根據(jù)誘導公式和二倍角的余弦公式可判斷D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：ACD.
7．BCD
【分析】利用和（差）角公式計算可得.
【詳解】對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B正確；
對于C：
，故C正確；
對于D：
，故D正確.
故選：BCD
8．1或
【分析】由已知可得或，從而可求出的值.
【詳解】由可得，所以 或，
即 或，
當時，
當 時，，
故答案為：1或.
9．/0.28
【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式計算即可.
【詳解】，
得，
解得或（舍）
所以.
故答案為：.
10．/
【分析】先根據(jù)平方關系求出，再利用降冪公式和二倍角的正弦公式即可得解.
【詳解】，
.
故答案為：.
11．(1)兩個條件為②③，
(2)時，函數(shù)的最小值為
【分析】（1）條件①不成立，選擇兩個條件②③，由最小正周期求，由求出；
（2）由，有，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小值和最小值點.
【詳解】（1），條件①不成立，
能確定函數(shù)的兩個條件為②③.
.
因為函數(shù)的最小正周期為，，所以.
又，得，所以，得.
由，得.
所以.
（2）因為，所以.
所以當，即時，函數(shù)的最小值為.
12．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）直接代入，由特殊角的三角函數(shù)值求出的值；
（2）根據(jù)二倍角公式化簡整理把函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)的形式得，由正弦型函數(shù)的周期公式求出最小正周期；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，把看成一個整體，解不等式，求出的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】（1）
（2）因為
所以函數(shù)的最小正周期.
（3）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
由，
得.
即.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·山東·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·云南昆明·一模）古希臘數(shù)學家托勒密（Ptolemy 85-165）對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應關系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為.例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即.則（ ）
A．
B．若，則
C．
D．（）
三、填空題
3．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù).
（i）若，則函數(shù)的最小正周期為 .
（ii）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實數(shù) .
四、解答題
4．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù)，從條件① 條件② 條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.
(1)求的值；
(2)若不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍.
條件①：；
條件②：的圖象可由的圖象平移得到；
條件③：在區(qū)間內(nèi)無極值點，且.
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
參考答案：
1．D
【分析】先利用兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)結合兩角和差的余弦公式化簡即可得解.
【詳解】，
，
所以.
故選：D.
2．BCD
【分析】
根據(jù)所給定義即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A，圓心角所對弦長為
若，則弦長為,顯然,故A錯誤，
對于B，若，則弦長為,而直徑為，故，B正確，
對于C，圓心角所對的弦長為，故，C正確，
對于D, 根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知：所對的弦長之和大于所對的弦長，所以，（），故D正確，
故選：BCD
3．
【分析】根據(jù)二倍角公式即可結合周期公式求解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.
【詳解】當時，,所以最小正周期為，
，
當時，，且二次函數(shù)開口向下，
要使得在區(qū)間上的最小值為，則需要，
且當時取最小值，故，解得，
故答案為：，
4．(1)條件選擇見解析，；
(2).
【分析】（1）選條件①，由的解不唯一，此條件不符合題意；選條件②，由周期求出；選條件③，由給定等式確定最大最小值條件，求出周期范圍，由給定區(qū)間內(nèi)無極值點求出周期即可.
（2）由（1）求出函數(shù)的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.
【詳解】（1）依題意，，
選條件①，由，得，即，
于是或，顯然的值不唯一，
因此函數(shù)不唯一，不符合題意.
選條件②，的圖象可由的圖象平移得到，
因此的最小正周期為函數(shù)的最小正周期，而，則，
所以.
選條件③，在區(qū)間內(nèi)無極值點，且，
則，即函數(shù)分別在時取得最大值 最小值，
于是的最小正周期，
由在區(qū)間內(nèi)無極值點，得的最小正周期，
因此，而，
所以.
（2）由（1）知，由，得，
由不等式在區(qū)間內(nèi)有解，即在區(qū)間內(nèi)有解，
則有，解得，
所以的取值范圍是.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·江蘇·二模）正三棱錐和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，點P和點Q在平面ABC的異側，這兩個正三棱錐的側面與底面ABC所成的角分別為，，則當最大時，（ ）
A． B． C．-1 D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預測）在單位圓上任取一點，圓O與x軸正半軸的交點是A，設將繞原點O旋轉(zhuǎn)到所成的角為，記x，y關于的表達式分別為，則下列說法中正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)
B．對于恒成立
C．設，若在上有且僅有3個極值點，則
D．函數(shù)的最大值為
三、填空題
3．（2021·浙江·模擬預測）若向量滿足，則的最大值是 .
參考答案：
1．D
【分析】由題意可得球心在，設與的交點為， 于M，為兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為，設外接球的 半徑為,球心到平面的距離為,可得，，進而計算可求最大時，的值.
【詳解】由題意可得球心在，設與的交點為， 于M，
由題意可得，
所以為兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為，
所以，，設外接球的 半徑為,球心到平面的距離為,
則，
設的邊長為，由正三角形的性質(zhì)，
所以，， ,
所以
所以
，所以，故當時，最大，
此時.
故選：D.
【點睛】方法點睛：利用正切函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)的值的最大值以確定角的最大值，表示三角函數(shù)是解本題的關鍵.
2．ACD
【分析】關鍵利用任意角三角函數(shù)定義可知，再結合輔助角公式，從而可以判斷A、B；對于C選項，要用好正弦函數(shù)曲線，把相位看成一個整體變量，就很容易分析并得到參數(shù)的范圍；對于D選項，這個式子的最大值求法上雖然不能轉(zhuǎn)化為二次型復合函數(shù)，但是用構造四元均值不等式來突破很是方便.
【詳解】由題意可知，．
因為是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故選項A正確．
因為，
又因為，所以，則，故選項B錯誤．
因為在上有且僅有3個極值點，且，
再根據(jù)正弦函數(shù)曲線在上有且僅有3個極值點，
即：且，
則，解得，故選項C正確．
令函數(shù)，由于函數(shù)的最大值一定是正數(shù)，所以平方可得：
，
所以正數(shù)的最大值是，即當時，函數(shù)能取到最大值，故選項D正確．
故選：ACD．
3．
【分析】設，再利用基本不等式的推廣形式，即可求解.
【詳解】解：設
，
令，得：
，等號在時取到.
故，
故答案為：
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑