資源簡介

專題25 函數y＝Asin(＋)的圖象及應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】函數y＝Asin(＋)的圖象及變換 4
【考點2】由圖象確定函數y＝Asin（＋）的解析式 5
【考點3】三角函數圖象、性質的綜合應用 8
【分層檢測】 10
【基礎篇】 10
【能力篇】 12
【培優篇】 14
考試要求：
1.了解函數y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.
2.了解參數A，ω，φ對函數圖象變化的影響.
3.會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型.
1.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函數y＝sin x的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑
3.函數y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1.函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津·高考真題）已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
4．（2022·全國·高考真題）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
【考點1】函數y＝Asin(ωx＋)的圖象及變換
一、單選題
1．（23-24高一上·天津寧河·期末）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點的（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變
2．（2024·四川·模擬預測）已知函數的最小正周期為，且的圖象關于點中心對稱，給出下列三個結論：
①；
②函數在上單調遞減；
③將的圖象向左平移個單位可得到的圖象．
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、多選題
3．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知，下列判斷正確的是（ ）
A．若，且，則
B．時，直線為圖象的一條對稱軸
C．時，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
D．若在上恰有9個零點，則的取值范圍為
4．（2024·云南·一模）為得到函數的圖象，只需要將函數的圖象（ ）
A．向左平行移動個單位 B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位 D．向右平行移動個單位
三、填空題
5．（2007·安徽·高考真題）函數f(x)＝3sin的圖象為C，則以下結論中正確的是 ．(寫出所有正確結論的編號)
①圖象C關于直線x＝對稱；
②圖象C關于點對稱；
③函數f(x)在區間內是增函數；
④由y＝3sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C．
6．（2024·浙江·二模）將函數的圖象上的每個點橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移得到函數的圖象，若函數與函數圖象交于點，其中，則的值為 .
反思提升：
作函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點法作圖，用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；
(2)圖象的變換法，由函數y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
【考點2】由圖象確定函數y＝Asin（ωx＋）的解析式
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）將函數的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），然后再向左平移個單位長度，得到函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數的部分圖象，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·浙江金華·三模）已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C．為偶函數 D．在區間的最小值為
4．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，函數的部分圖象與坐標軸分別交于點、、，且的面積為，則（ ）
A．點的縱坐標為1
B．在上單調遞增
C．點是圖象的一個對稱中心
D．的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將圖象向左平移個單位得到
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，若在區間上恰有兩個極大值點，則實數m的取值范圍是 ．
6．（2023·廣西·模擬預測）已知函數（，）的部分圖象如圖所示．將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度得到函數的圖象，則的值為 ．
反思提升：
由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：
（1）如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點”坐標，那么由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的零點的橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入點的坐標.利用一些已知點（最高點、最低點或零點）坐標代入解析式.再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導公式變換使其符合要求.
【考點3】三角函數圖象、性質的綜合應用
一、單選題
1．（2024·山東泰安·二模）已知函數，將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A． B．在上單調遞增
C．的圖象關于點中心對稱 D．在上的值域為
2．（2024·浙江麗水·二模）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，若對滿足的，有，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數是偶函數，將的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象．若曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（ ）
A．
B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于點對稱
D．若，則在區間上的最大值為
4．（2023·廣東佛山·模擬預測）已知函數的圖象關于對稱，則（ ）
A．的最大值為2
B．是偶函數
C．在上單調遞增
D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于點對稱
三、填空題
5．（2022·四川廣安·二模）函數（）的圖象向右平移后所得函數圖象關于軸對稱，則 ．
6．（2021·陜西西安·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，設，下列結論正確的是 .
①函數值域為；
②函數對稱軸為；
③函數與在內交點的橫坐標之和是；
④函數在是增加的.
反思提升：
（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性質時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題.
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數.
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
2．（2024·山東濰坊·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晉城·二模）將函數的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·二模）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則曲線與直線的所有交點中，相鄰交點距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·浙江·模擬預測）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
6．（2024·安徽合肥·三模）已知是函數的兩個零點，且的最小值是，則（ ）
A．在上單調遞增
B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
D．在上僅有1個零點
7．（22-23高三上·湖南常德·階段練習）函數的圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的最大值為3 B．函數關于點對稱
C．函數在上單調遞增 D．函數的最小正周期為
三、填空題
8．（2021·全國·模擬預測）已知函數(，)，其圖象相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為，且是一個極小值點.若把函數的圖象向左平移個單位長度后，所得函數的圖象關于直線對稱，則實數的最小值為 .
9．（2023·湖北·一模）函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，若函數是偶函數，則 ．
10．（2022·陜西咸陽·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到一個偶函數的圖象，則的一個可能取值為 .
四、解答題
11．（22-23高一下·遼寧鐵嶺·階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值.
12．（2021·浙江·三模）函數.
（1）求函數的對稱中心；
（2）將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，其中且，求函數在上的取值范圍.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西漢中·二模）函數的圖象如圖所示，為圖象上兩點，對于向量，為了得到的圖象，需要將圖象上所有點的坐標（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位
B．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位
C．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位
D．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位
二、多選題
2．（2024·安徽·模擬預測）已知函數，下列說法正確的是（ ）
A．是的一個周期
B．在上遞減
C．將圖象向左平移個單位可得到的圖象
D．若，則
三、填空題
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知函數的部分圖象如圖所示.將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象，則下列有關與的描述正確的有 （填序號）.
①；
②方程所有根的和為；
③函數與函數圖象關于對稱.
四、解答題
4．（23-24高三上·吉林白城·階段練習）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式與單調遞減區間；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求方程的所有根的和.
【培優篇】
一、單選題
1．（2020·陜西·模擬預測）如圖是函數的圖象的一部分，則要得到該函數的圖象，只需要將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
二、多選題
2．（2022·海南·模擬預測）已知函數，滿足，且對任意，都有，當取最小值時，則下列錯誤的是（ ）
A．圖像的對稱軸方程為
B．在上的值域為
C．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
D．在上單調遞減
三、填空題
3．（2024·遼寧撫順·一模）已知是函數的兩個零點，且，若將函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于軸對稱，且函數在內恰有2個最值點，則實數的取值范圍為 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題25 函數y＝Asin(＋)的圖象及應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 6
【考點1】函數y＝Asin(＋)的圖象及變換 6
【考點2】由圖象確定函數y＝Asin（＋）的解析式 10
【考點3】三角函數圖象、性質的綜合應用 17
【分層檢測】 23
【基礎篇】 23
【能力篇】 31
【培優篇】 35
考試要求：
1.了解函數y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.
2.了解參數A，ω，φ對函數圖象變化的影響.
3.會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型.
1.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函數y＝sin x的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑
3.函數y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1.函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津·高考真題）已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
4．（2022·全國·高考真題）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全國·高考真題）把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
參考答案：
1．C
【分析】先利用三角函數平移的性質求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因為向左平移個單位所得函數為，所以，
而顯然過與兩點，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關系，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
所以由圖可知，與的交點個數為.
故選：C.
2．A
【分析】根據三角函數的圖象與性質，以及變換法則即可判斷各說法的真假．
【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；
令，而在上遞增，所以在上單調遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；
由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．
故選：A．
3．D
【分析】根據三角函數圖象的變換法則即可求出．
【詳解】因為，所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象．
故選：D.

4．C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，
解得，又，故當時，的最小值為.
故選：C.
5．B
【分析】解法一：從函數的圖象出發，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；
解法二：從函數出發，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.
【詳解】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，
根據已知得到了函數的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
【考點1】函數y＝Asin(ωx＋)的圖象及變換
一、單選題
1．（23-24高一上·天津寧河·期末）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點的（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變
2．（2024·四川·模擬預測）已知函數的最小正周期為，且的圖象關于點中心對稱，給出下列三個結論：
①；
②函數在上單調遞減；
③將的圖象向左平移個單位可得到的圖象．
其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、多選題
3．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知，下列判斷正確的是（ ）
A．若，且，則
B．時，直線為圖象的一條對稱軸
C．時，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱
D．若在上恰有9個零點，則的取值范圍為
4．（2024·云南·一模）為得到函數的圖象，只需要將函數的圖象（ ）
A．向左平行移動個單位 B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位 D．向右平行移動個單位
三、填空題
5．（2007·安徽·高考真題）函數f(x)＝3sin的圖象為C，則以下結論中正確的是 ．(寫出所有正確結論的編號)
①圖象C關于直線x＝對稱；
②圖象C關于點對稱；
③函數f(x)在區間內是增函數；
④由y＝3sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C．
6．（2024·浙江·二模）將函數的圖象上的每個點橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移得到函數的圖象，若函數與函數圖象交于點，其中，則的值為 .
參考答案：
1．B
【分析】利用三角函數的伸縮變換可以得到答案.
【詳解】因為把函數的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，就能得到函數的圖象.
故選：B
2．D
【分析】由題意先求出，再由三角函數的性質對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】因為函數的周期為，所以，
又圖象對稱中心為，即，
則，有，
由，所以，故，
此時，結論①正確；
當時，，函數單調遞減，結論②正確；
將的圖象向左平移個單位可得圖象對應的函數為，
因為，所以結論③正確．
故選：D.
3．BD
【分析】利用二倍角公式化簡，利用余弦函數的圖象和性質依次判斷選項即可.
【詳解】，
對于，根據條件，可得，故A錯誤；
對于，當時，，
所以直線為的一條對稱軸，故B正確；
對于，當時，，將向左平移個單位長度后可得，
為非奇非偶函數，故C錯誤；
對于D，由題意，則，因為在上恰有9個零，
所以，解得，故D正確.
故選：BD.
4．ACD
【分析】根據已知條件，逐項分析各個選項，利用誘導公式化簡函數解析式即可判斷.
【詳解】A選項，向左平行移動個單位，有，A正確；
B選項，向左平行移動個單位，有，B錯誤；
C選項，向右平行移動個單位，有，
，C正確；
D選項，向右平行移動個單位，有，
，D正確；
故選：ACD
5．②③
【分析】對于①：直接求出即可驗證；對于②：用代入法進行判斷；對于③：直接求出增區間即可；對于④：利用相位變換即可判斷.
【詳解】因為f(x)＝3sin
對于①：由得：，
所以f(x)＝3sin的對稱軸方程為：，
令，解得：，故①錯誤；
對于②：因為，
所以圖象C關于點對稱；故②正確；
對于③：令，
解得：，
所以f(x)的遞增區間為，
當k=0時，是f(x)的一個遞增區間，故③正確；
對于④：y＝3sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到，故④錯誤.
故答案為：②③
6．/
【分析】先利用伸縮變換和平移變換得到，再根據題意，由求解.
【詳解】解：由題意得：，
因為函數與函數圖象交于點，
所以，即 ，
整理得，
因為，所以，
又因為，所以，
故答案為：
反思提升：
作函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點法作圖，用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；
(2)圖象的變換法，由函數y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
【考點2】由圖象確定函數y＝Asin（ωx＋）的解析式
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）將函數的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），然后再向左平移個單位長度，得到函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數的部分圖象，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·浙江金華·三模）已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C．為偶函數 D．在區間的最小值為
4．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，函數的部分圖象與坐標軸分別交于點、、，且的面積為，則（ ）
A．點的縱坐標為1
B．在上單調遞增
C．點是圖象的一個對稱中心
D．的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將圖象向左平移個單位得到
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，若在區間上恰有兩個極大值點，則實數m的取值范圍是 ．
6．（2023·廣西·模擬預測）已知函數（，）的部分圖象如圖所示．將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度得到函數的圖象，則的值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】由圖象可得最小正周期，可求，，點的坐標代入函數的解析式，可求解析式，進而利用圖象變換可求函數的解析式.
【詳解】由圖像可得，函數的最小正周期為，
所以，將點的坐標代入函數的解析式，
且函數在附近遞增，所以.
則，
得.因為，所以當時，，
因此.
函數的圖象向右平移個單位長度，然后橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，
得到函數的解析式為.
故選：B.
2．D
【分析】結合圖象，以及周期公式，求出，再結合平移伸縮的法則即可求解.
【詳解】由圖象可知，
則的一個最低點為，
的最小正周期為，則，
，即，
所以，
又因為，所以，
所以，
將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，
得的圖象，
再將所得曲線向左平移個單位長度，
得，
故，
故選：D.
3．ACD
【分析】先由正弦展開式，五點法結合圖象求出，可得A正確，B錯誤；由誘導公式可得C正確；整體代入由正弦函數的值域可得D正確.
【詳解】由題意得，
由圖象可得，
又，所以，
由五點法可得，
所以.
A：由以上解析可得，故A正確；
B：由以上解析可得，故B錯誤；
C：，故C正確；
D：當時，，
所以最小值為，故D正確；
故選：ACD.
4．ABC
【分析】首先根據周期，以及條件求函數的解析式，再根據函數的性質判斷BC，以及根據函數圖象變換規律判斷D.
【詳解】對于A，由周期可知，，所以，
則，即點的縱坐標為1，故A正確；
即，且，
所以，即，
對于B，當時，，
所以在上單調遞增，故B正確；
對于C，，所以點是圖象的一個對稱中心，故C正確；
對于D，將的圖象上各點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），
得，再將圖象向左平移個單位得，故D錯誤.
故選：ABC
5．
【分析】結合圖象求得的最小正周期，即可求得，然后結合圖象上的點的坐標及可求得，得到的解析式，進而利用三角函數圖象的變換法則得到的解析式，最后利用正弦函數的圖象求得m的取值范圍．
【詳解】設的最小正周期為T，則由圖象知，
所以，則，
由在處取得最小值，可得，，
得，．因為，所以，
所以；
（或由題意可得，，亦可得）
，
由，得，
所以由題意得，解得，
即實數m的取值范圍是．
故答案為：.
6．
【分析】根據圖象可知半個周期，求得，代入點的坐標結合已知可求得，再利用圖象平移即可得出的解析式，進而求出.
【詳解】由圖象可知的最小正周期為，
解得，
代入可得，
解得，
又，所以，
故，
左移個單位長度得，
故．
故答案為：
反思提升：
由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：
（1）如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點”坐標，那么由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的零點的橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.
（2）代入點的坐標.利用一些已知點（最高點、最低點或零點）坐標代入解析式.再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導公式變換使其符合要求.
【考點3】三角函數圖象、性質的綜合應用
一、單選題
1．（2024·山東泰安·二模）已知函數，將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A． B．在上單調遞增
C．的圖象關于點中心對稱 D．在上的值域為
2．（2024·浙江麗水·二模）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，若對滿足的，有，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數是偶函數，將的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象．若曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（ ）
A．
B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于點對稱
D．若，則在區間上的最大值為
4．（2023·廣東佛山·模擬預測）已知函數的圖象關于對稱，則（ ）
A．的最大值為2
B．是偶函數
C．在上單調遞增
D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于點對稱
三、填空題
5．（2022·四川廣安·二模）函數（）的圖象向右平移后所得函數圖象關于軸對稱，則 ．
6．（2021·陜西西安·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，設，下列結論正確的是 .
①函數值域為；
②函數對稱軸為；
③函數與在內交點的橫坐標之和是；
④函數在是增加的.
參考答案：
1．C
【分析】根據三角函數圖象的伸縮變換可得，結合正弦函數的圖象與性質，依次判斷選項即可.
【詳解】A：將的圖象上所有點的橫坐標變為原來的一半，縱坐標變為原來的2倍，
得到函數，故A錯誤；
B：由選項A可知，
由，得，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；
C：由選項A可知，則，
所以函數圖象關于點中心對稱，故C正確；
D：由選項A可知，由，得，
所以，則，即的值域為，故D錯誤.
故選：C
2．A
【分析】根據函數圖象的平移可得，利用三角函數的最值，求出自變量，的值，然后判斷選項即可，
【詳解】因函數的最小正周期為，
將的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，
若對滿足的可知，兩個函數的最大值與最小值的差為2，有，
不妨，則，即在取得最小值，
當時，，
此時，，，不合題意，
當時，，
此時，，，當，滿足題意，
故選：A，
3．BC
【分析】首先利用三角函數的性質求出和的關系，進一步利用三角函數的性質求出結果.
【詳解】由于函數是偶函數，所以，
由于將的圖象向左平移個單位長度，
再將圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），
得到的圖象，則，
對于A，因為曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，
故，解得，故A不正確；
所以函數，則或，
，則或，
對于B，令，解得，
所以當時，的圖象關于直線對稱，故B正確；
對于C,令，解得，
所以當時，所以的圖象關于點對稱，故C正確；
對于D，當時，或，
所以或，
當時，當時，，
所以在上單調遞增，故函數的最大值為；
當時，當時，，
所以在上單調遞減，故函數的最大值為，故D錯誤；
故選：BC.
4．AB
【分析】依題意可求出，從而可得，結合函數的圖象性質逐一判斷即可.
【詳解】因為函數的圖象關于對稱，
所以，解得，
所以，其最大值為2，故A正確；
令，
定義域為，，
所以即是偶函數，故B正確；
時，，在單調遞增，
在單調遞減，故C錯誤；
把的圖象向左平移個單位長度，得到函數
的圖象，
因為，
所以的圖象不關于點對稱，故D錯誤.
故選：AB
5．
【分析】根據函數的平移變換及函數的奇偶性即可求解.
【詳解】由的圖象向右平移后，可得
的圖象，
因為的圖象關于軸對稱，
所以,解得
因為，解得，
當時，.
故答案為：.
6．①②③
【分析】由已知得，根據平移規律可得，
由得的值域可判斷① ；由的對稱軸為可判斷② ；畫出函數與在的圖象可判斷③ ；由圖象可判斷④ .
【詳解】由
，
的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，
所以，
當時，，所以，
所以，故①正確；
的對稱軸為即為，
函數對稱軸為，故②正確；
令得，
如圖函數與在內交點共有8個，前4個是關于對稱的，后4個是關于對稱的，所以交點的橫坐標之和是，所以③正確；
如圖由于是的一條對稱軸，所以在是下降的，所以④錯誤.
故答案為：①②③.
【點睛】本題主要考查了三角函數的性質，解題的關鍵點是對函數解析式進行化簡和畫出函數的圖象，考查了學生分析問題解決問題的能力.
反思提升：
（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性質時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題.
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數.
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
2．（2024·山東濰坊·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晉城·二模）將函數的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數的圖象，若函數在區間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·二模）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則曲線與直線的所有交點中，相鄰交點距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·浙江·模擬預測）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
6．（2024·安徽合肥·三模）已知是函數的兩個零點，且的最小值是，則（ ）
A．在上單調遞增
B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
D．在上僅有1個零點
7．（22-23高三上·湖南常德·階段練習）函數的圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的最大值為3 B．函數關于點對稱
C．函數在上單調遞增 D．函數的最小正周期為
三、填空題
8．（2021·全國·模擬預測）已知函數(，)，其圖象相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為，且是一個極小值點.若把函數的圖象向左平移個單位長度后，所得函數的圖象關于直線對稱，則實數的最小值為 .
9．（2023·湖北·一模）函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，若函數是偶函數，則 ．
10．（2022·陜西咸陽·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度后，得到一個偶函數的圖象，則的一個可能取值為 .
四、解答題
11．（22-23高一下·遼寧鐵嶺·階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，求函數在區間上的最大值和最小值.
12．（2021·浙江·三模）函數.
（1）求函數的對稱中心；
（2）將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，其中且，求函數在上的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】
結合誘導公式，利用三角函數圖象的平移和變換求解即可.
【詳解】
因為，
所以只需將函數的圖象向左平移個單位長度.
故選：A
2．B
【分析】根據平移變換和周期變換的原則求解即可.
【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度，
得，
再將所得圖象上的所有點，縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，
得.
故選：B.
3．C
【分析】根據三角函數圖象的平移變換可得，由在上有2個零點得，解之即可求解.
【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度，
得的圖象， 由，得，
又在上有2個零點，所以，
解得，即實數的取值范圍為.
故選：C
4．A
【分析】根據三角函數的圖象變換得，再解方程求解可得答案．
【詳解】函數的圖象向左平移個單位長度，
得到函數的圖象，，
令，，
則，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相鄰交點距離的最小值為．
故選：A．
5．AD
【分析】根據函數圖象平移結論逐項檢驗可得結論.
【詳解】把函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數的圖象，A正確；
把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數的圖象，B錯誤；
把函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，
可得函數的圖象，C錯誤；
把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，
可得函數的圖象，D正確；
故選：AD.
6．ABD
【分析】依題意可得的最小正周期，即可求出，從而得到解析式，再根據正弦函數的性質一一判斷即可.
【詳解】由題意可知，函數的最小正周期，，．
對于，當時，，
因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，故A正確；
對于B，因為，
所以的圖象關于直線對稱，故B正確；
對于C，將的圖象向右平移個單位長度得到：
，故C錯誤；
對于D，當時，，僅當，即時，，
即在上僅有1個零點，故D正確．
故選：ABD．
7．ACD
【分析】根據題意由函數的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由圖象頂點坐標求出的值，再利用正弦函數的圖象和性質，得出結論．
【詳解】由圖可知，，，，
將點代入，得，
故，向右平移個單位長度得：
，
函數的最大值為3，故A正確；
，故B錯誤；
，，函數在上單調遞增，故C正確；
函數的最小正周期為，故D正確.
故選：ACD．
8．
【分析】利用三角函數的圖象的性質求得周期，進而得到原函數右側的第一個最值點，也就是對稱軸，也就是對稱軸，然后得到的最小值.
【詳解】相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為，∴,∴，
∴最小值點右側最近的一個最大值點為，第二個最值點為最小值點，即是第一個超過的最值點，即右側第一條對稱軸為，∴把函數的圖象向左平移個單位長度后，所得函數的圖象關于直線對稱，則實數的最小值為,
故答案為：.
【點睛】本題考查三角函數的圖象和性質，考查三角函數的平移變換，屬基礎題.注意相鄰的中心與軸間的距離為四分之一周期，相鄰極值點間的距離為半個周期.注意平移的方向，找到函數在直線右側的第一條對稱軸是關鍵.
9．
【分析】根據函數圖象的平移可得，進而根據偶函數即可求解,進而可求解.
【詳解】，
由于是偶函數，所以,故，
所以，
故答案為：
10．（答案不唯一）
【分析】根據輔角公式可知原函數為，再將其按照題意平移后函數，根據函數為偶函數，可知，由此即可求出結果.
【詳解】因為，
所以將函數的圖象向右平移個單位長度后，
由題意可知，函數是偶函數，
所以，即.
故答案為：（答案不唯一）.
11．(1)，
(2).
【分析】（1）由圖象可知，相鄰的對稱中心和對稱軸距離相差，再代入關鍵點可得解析式；
（2）根據圖象的變換得到解析式，再根據正弦函數的圖象與性質可得其在區間上最值.
【詳解】（1）由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；
又∴，
將點代入，
∴，
∵∴
故答案為：，.
（2）由的圖象向右平移個單位長度得到函數
∵
∴
∴當時，即，；
當時，即，.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）化簡函數，令，即可求得函數的對稱中心；
（2）由三角函數的圖象變換，得到，根據題設條件，求得，結合正弦函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數
，
令，解得，
所以函數的對稱中心為.
（2）由題意，將函數的圖象向左平移個單位得到，
因為，且，可得，，且，
又因為，所以，
當時，函數取得最大值，最大值為，
當時，取得最小值，最小值為，
所以.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西漢中·二模）函數的圖象如圖所示，為圖象上兩點，對于向量，為了得到的圖象，需要將圖象上所有點的坐標（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位
B．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位
C．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位
D．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位
二、多選題
2．（2024·安徽·模擬預測）已知函數，下列說法正確的是（ ）
A．是的一個周期
B．在上遞減
C．將圖象向左平移個單位可得到的圖象
D．若，則
三、填空題
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知函數的部分圖象如圖所示.將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象，則下列有關與的描述正確的有 （填序號）.
①；
②方程所有根的和為；
③函數與函數圖象關于對稱.
四、解答題
4．（23-24高三上·吉林白城·階段練習）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.
(1)求的解析式與單調遞減區間；
(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求方程的所有根的和.
參考答案：
1．D
【分析】根據圖象及題設條件，求出，從而得到，再利用圖象的平移變換，即可求出結果.
【詳解】設的最小正周期為，如圖，易知，，所以，
又，所以，得到，所以，即，
又由圖象知，過點，所以，即，
又，所以，得到，
為了得到的圖象，需要將圖象上所有點的坐標橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位，
故選：D.
2．ACD
【分析】由三角函數的最小正周期公式可判斷A；通過的單調性可判斷B；通過函數圖象左右平移作用于自變量，且左加右減可判斷C；由題代入求出，再通過誘導公式和二倍角公式湊角求值可判斷D.
【詳解】對于A，由題意，函數，可得的最小正周期為，
所以是的一個周期，故A正確；
對于B，由，可得，
所以函數在上不單調，故B錯誤；
對于C，將的圖象向左平移個單位可得，，
即，故C正確；
對于D，若，即，即，
所以，
故D正確.
故選：ACD.
3．①③
【分析】根據圖象分別確定，結合五點作圖法可最終求得解析式；利用三角函數平移變換可知①正確；利用三角恒等變換知識化簡方程為，結合范圍求得方程的根，可得②錯誤；利用誘導公式化簡可得，知③正確.
【詳解】由圖象可知：，，；
又，由五點法可知：，解得：；
；
對于①，，①正確；
對于②，，即；
，，或或或，
所有根的和為，②錯誤；
對于③，，
與圖象關于對稱，③正確.
故答案為：①③
【點睛】思路點睛：本題考查三角函數性質的綜合應用問題，涉及到已知圖象求解析式、整體法求解方程的根、圖象對稱性問題；已知圖象求解解析式的基本思路是通過五點作圖法的方式，將圖象與正弦函數圖象進行對應，從而確定參數的取值.
4．(1)，
(2).
【分析】（1）利用恒等變換化簡后，結合三角函數的性質求解；
（2）利用圖象變換法,求得的函數表達式，解方程求得的值，利用換元思想，結合三角函數的圖象和性質分析求出即可.
【詳解】（1）由題意可得：因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，
所以的最小正周期為，即可得，
又為奇函數，則，
又，所以，故.
令，得，
所以函數的遞減區間為.
（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象，
又，則或，
即或.
令，當時，，
畫出的圖象如圖所示：
的兩個根對應的點關于直線對稱，即，
有，
在上有兩個不同的根，
所以；
又的根為，
所以方程在內所有根的和為.
【培優篇】
一、單選題
1．（2020·陜西·模擬預測）如圖是函數的圖象的一部分，則要得到該函數的圖象，只需要將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
二、多選題
2．（2022·海南·模擬預測）已知函數，滿足，且對任意，都有，當取最小值時，則下列錯誤的是（ ）
A．圖像的對稱軸方程為
B．在上的值域為
C．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象
D．在上單調遞減
三、填空題
3．（2024·遼寧撫順·一模）已知是函數的兩個零點，且，若將函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于軸對稱，且函數在內恰有2個最值點，則實數的取值范圍為 ．
參考答案：
1．B
【分析】先由圖用求出，由 求出,由 求出,
得到；運用二倍角公式和輔助角公式化簡
利用三角函數圖象平移性質得解.
【詳解】如圖知: ,
， , 又
,,
解得：
又,，，
由三角函數圖象平移性質得
(技巧：由三角函數圖象平移性質得 )
所以函數向右平移個單位長度得到.
故選：B
【點睛】本題考查由圖象求函數的解析式.
確定的步驟和方法:
(1)求 ：確定函數的最大值和最小值，則 ，；
(2)求：確定函數的周期，則可；
(3)求：常用的方法有代入法和五點法．
①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時已知)或代入圖象與直線的交點求解(此時要注意交點是在上升區間上還是在下降區間上)．
②五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口．
2．ABC
【分析】根據題意的圖象關于點對稱，又當時，取得最小值，
當取最小值時，即周期最大，可得，所以，函數在時取得最小值，所以．求得，再逐項分析判斷即可得解.
【詳解】因為，所以的圖象關于點對稱，又對任意，都有，所以當時，取得最小值，
當取最小值時，即周期最大，
可得．得，所以，
函數在時取得最小值，
所以．因為，所以．
即．
令，得．故A錯誤；
當時，．
此時的值域為，故B錯誤；
將的圖象向左平移個單位長度得到函數
的圖象，故C錯誤；
當時，，單調遞減，故D正確．
故選：ABC
3．
【分析】根據函數零點的最小距離可得，再利用平移規則和函數奇偶性可求得，根據函數在內恰有2個最值點可限定出，即可解得實數的取值范圍.
【詳解】由可得或；
根據正弦函數圖象性質可知，解得；
將函數的圖象向左平移個單位后可得為偶函數，
則，又可得；
因此；
當時，可知，
若函數在內恰有2個最值點，可知，
解得，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用正弦函數圖象性質根據兩零點的最小距離求得，再由平移后的函數為偶函數求得，得出函數的解析式后問題便迎刃而解.
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