資源簡介

專題26 正弦定理和余弦定理（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 19
【考點1】利用正、余弦定理解三角形 19
【考點2】判斷三角形的形狀 24
【考點3】和三角形面積有關的問題 28
【分層檢測】 33
【基礎篇】 33
【能力篇】 43
【培優(yōu)篇】 46
考試要求：
掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常見變形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑).
1.三角形中的三角函數關系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B a>b sin A>sin B cos A一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
4．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
5．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
四、解答題
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
7．（2023·全國·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
8．（2023·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
9．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
10．（2022·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
11．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
12．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數，使得為鈍角三角形 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
參考答案：
1．C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數量積運算與余弦定理得到關于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結交于，連結，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結交于，連結，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
2．C
【分析】根據給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，
又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，顯然平面平面，
直線平面，則直線在平面內的射影為直線，
從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
顯然是銳角，，
所以直線與平面所成的角的正切為.
故選：C
3．AC
【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
4．
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據正弦定理求出，即可根據三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
5．/
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.

6．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數基本關系可得；
(2)由題意可得，則，據此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
7．(1)
(2)6
【分析】（1）根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據等面積法求解即可.
【詳解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
8．(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.
【詳解】（1）方法1：在中，因為為中點，，，

則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，
所以.
方法2：在中，因為為中點，，，
則，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，則，
，過作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因為為中點，則，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
9．(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
10．(1)見解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因為，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因為，
由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
11．(1)；
(2)．
【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
12．（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，結合已知條件求出的值，進一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數的基本關系求出，再利用三角形的面積公式可求得結果；
（2）分析可知，角為鈍角，由結合三角形三邊關系可求得整數的值.
【詳解】（1）因為，則，則，故，，
，所以，為銳角，則，
因此，；
（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，
由余弦定理可得，
解得，則，
由三角形三邊關系可得，可得，，故.
【考點1】利用正、余弦定理解三角形
一、單選題
1．（2024·山東棗莊·模擬預測）在中，，為內一點，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江金華·三模）已知橢圓，、分別為其左右焦點，點M在C上，且，若的面積為，則（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多選題
3．（2024·山東濟南·三模）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（ ）
A． B．面積的最大值為
C． D．邊上的高的最大值為
三、填空題
4．（2024·四川成都·三模）的內角的對邊分別為，若且，則 的值為
四、解答題
5．（2024·廣東廣州·模擬預測）在中，角的對邊分別是，且.
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長.
6．（2024·江西·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．
(1)求角；
(2)若的角平分線交于點，點在線段上，，求的面積．
參考答案：
1．B
【分析】在中，設，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，即可得解.
【詳解】在中，設，令，

則，，
在中，可得，，
由正弦定理，
得，
所以，
可得，即．
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：本題解答關鍵是找到角之間的關系，從而通過設元、轉化到中利用正弦定理得到關系式.
2．B
【分析】設，，由題意可得，，結合余弦定理可得，消元可得，求解即可.
【詳解】設，，則，
化簡得：，所以，，
另外，由余弦定理得：，結合以上兩個式子，
消去可得，
又因為，所以化簡可得：，所以，可得.
故選：B.
3．AD
【分析】根據給定條件，利用正弦定理邊化角求出，再結合三角形面積公式、余弦定理逐項計算判斷得解.
【詳解】在中，由及正弦定理，得，而，
則，由余弦定理得，而，解得，
對于A，，A正確；
對于B，顯然，當且僅當時取等號，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.
故選：AD
4．/
【分析】根據題意，利用正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解.
【詳解】因為，由正弦定理得，
又因為，可得，所以，
由余弦定理得.
故答案為：.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將條件式邊化角，化簡求出；
（2）根據余弦定理以及三角形的面積公式求解出的值，從而求出周長.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
所以，
因為，所以，所以.
（2）由（1）易知，因為.所以，
由余弦定理，得.
又因為，所以代入得，
所以，
所以.
又因為，所以，
所以的周長為.
6．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡可求得，結合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，兩式聯立可得，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，
，故，
，即，
又，則．
（2）
由（1）可知，，又外接圓的半徑為；
由正弦定理可知，
所以，
因為是的平分線，故，
又，
由，
可得，即．①
由余弦定理可知，，即．②
由①②可知．
所以，
又，則，
所以.
反思提升：
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系.
【考點2】判斷三角形的形狀
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）已知的內角A，，所對的邊分別為，，，面積為，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
2．（2024·河北秦皇島·三模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（ ）
A．為直角三角形 B．為銳角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
二、多選題
3．（2021·黑龍江雞西·模擬預測）在中，有如下四個命題正確的有（ ）
A．若，則為銳角三角形
B．若，則的形狀為直角三角形
C．內一點G滿足，則G是的重心
D．若，則點P必為的外心
三、填空題
4．（2021·浙江寧波·模擬預測）在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，若，則 ，三角形的形狀為 .
四、解答題
5．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求角的大?。?br/>(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.
6．（2024·全國·模擬預測）在中，內角的對邊分別為．
(1)判斷的形狀，并證明；
(2)求的最小值．
參考答案：
1．B
【分析】利用正弦定理的邊角變換，結合誘導公式與倍角公式求得B；利用面積公式與向量數量積的定義求得A，從而得解
【詳解】因為，所以，
因為，所以，所以，所以；
因為，所以，所以，所以，
所以，所以，
因為，所以，
所以，因為，所以，
所以，則是直角三角形，
故選：B
2．A
【分析】由正弦定理得，利用正余弦的二倍角公式、兩角和與差的正弦展開式化簡可得，解方程可得答案.
【詳解】由，可得，
則，
，
，
即，
由，故只能為銳角，可得，
因為，所以，.
故選：A.
3．BC
【分析】對于A，由可得角為銳角，從而可判斷，對于B，對兩邊平方化簡，再結合余弦定理可得結論，對于C，由向量加法和共線及三角形重心概念判斷，對于D，由向量運算性質和三角形垂心概念可判斷
【詳解】解：對于A，由，得，所以，所以角為銳角，但不能判斷三角形為銳角三角形，所以A錯誤，
對于B，因為，所以，即，所以,得，因為，所以，所以三角形為直角三角形，所以B正確，
對于C，因為，所以，所以（為的中點），所以三點共線，所以點在邊的中線上，同理，可得點在其它兩邊的中線上，所以G是的重心，所以C正確，
對于D，因為，所以，,所以，所以點在邊的高上，同理可得點 也在其它兩邊的高上，所以點為的垂心，所以D錯誤，
故選：BC
4． 等腰三角形
【分析】由給定等式邊化角得，再用余弦定理求出即可得解.
【詳解】中，由正弦定理及給定等式得：，
因為，所以，所以，
因為，所以，
又，所以；
因，，于是為等腰三角形.
故答案為：；等腰三角形.
5．(1)
(2)4，為等邊三角形
【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，進而根據余弦定理可求；
（2）由三角表面積可求得，根據均值不等式可求得的最小值，根據取得最小值可判斷三角形的形狀.
【詳解】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因為是三角形內角，所以；
（2）由三角形面積公式得：
，
解得，
因為，當且僅當時取等號，
所以的最小值為，此時為等邊三角形.
6．(1)為鈍角三角形，證明見解析
(2)
【分析】（1）由三角恒等變換可得，從而有，進而得，，，即可得結論；
（2）結合正弦定理及，可得，再利用基本不等式求解即可.
【詳解】（1）為鈍角三角形，證明如下：
證明：因為，（二倍角公式的應用）
所以，
所以或（舍去），
（提示：若，則，則，與題意不符）
則，
所以，
所以為鈍角三角形．
（2）由（1）知，
由正弦定理得
，
當且僅當，即時等號成立，
所以當時，最小，最小值為．
反思提升：
1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.
2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.
【考點3】和三角形面積有關的問題
一、單選題
1．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若點D滿足，且，則（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對邊分別為，D為的中點，已知，，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·江西·二模）已知中，為的角平分線，交于點為中點，下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．的面積為
D．在的外接圓上，則的最大值為
三、填空題
4．（2024·山東·二模）在中，內角的對邊分別為，，且，則面積的最大值為 ．
四、解答題
5．（2024·陜西西安·模擬預測）設的內角所對的邊分別是且向量滿足.
(1)求A；
(2)若，求BC邊上的高.
6．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知分別為內角的對邊，．
(1)求角A；
(2)若的面積為，周長為6，求．
參考答案：
1．A
【分析】由得，進而得到，再結合三角形的面積公式求解即可.
【詳解】由得，，
故，即，得，
設的高為，可得，

由得，，故，
而，故，則，
故，化簡得，故A正確.
故選：A
2．D
【分析】先利用正弦定理化邊為角求出角，在向量化求出邊，再根據三角形的面積公式即可得解.
【詳解】因為，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
在中，D為的中點，則，
則，
即，解得（舍去），
所以.
故選：D.
3．ACD
【分析】對每一個選項逐一判斷，由余弦定理求出，再由角平分線定理可知，利用三角形面積公式求出，再設，將表示為的三角函數求最值即可判斷.
【詳解】在中，由余弦定理得，
由角平分線定理得：，所以A正確；
由得，解得，所以B錯誤；
，所以C正確；
在中，
設，則，由正弦定理得：
，其中，所以D正確.
故選：ACD.
4．
【分析】先由已知條件結合余弦定理和求出，再由余弦定理結合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面積公式求出面積最大值.
【詳解】因為，
所以由余弦定理，得，
所以，又，
則，
所以由余弦定理以及基本不等式得：
，
即，當且僅當時等號成立，
所以，即面積的最大值為，
故答案為：.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據向量平行關系得到方程，結合正弦定理得到，求出；
（2）由余弦定理得到，根據三角形面積得到方程，求出答案.
【詳解】（1）因為，所以，
由正弦定理得，
因為，所以，所以，
又，解得；
（2）因為，所以，
即
化簡得，解得或(舍去)，
由的面積，又，
故，解得.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦定理和三角恒等變換可得，結合角A的范圍分析求解；
（2）利用面積公式可得，再根據余弦定理運算求解.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
又因為，
可得，
且，則，可得，
整理得，
又因為，則，
所以，即.
（2）因為，則，
由余弦定理可得，
解得．
反思提升：
與三角形面積有關問題的解題策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；
(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，則的面積等于（ ）
A．3 B． C．5 D．
3．（2024·四川·模擬預測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
二、多選題
5．（21-22高一下·江蘇南京·期中）三角形 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．
C． D．
6．（2022·吉林長春·模擬預測）如圖所示，設單位圓與x軸的正半軸相交于點，以x軸非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，P，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．扇形的面積為
C．
D．當時，四邊形的面積為
7．（2024·廣東肇慶·模擬預測）若的三個內角的正弦值為，則（ ）
A．一定能構成三角形的三條邊
B．一定能構成三角形的三條邊
C．一定能構成三角形的三條邊
D．一定能構成三角形的三條邊
三、填空題
8．（2024·山東威海·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則= ．
9．（23-24高三下·江西·階段練習）在中，內角的對邊分別是，且，平分交于，，則面積的最小值為 ；若，則的面積為 ．
10．（2024·山東泰安·模擬預測）在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若，且，則的面積為 .
四、解答題
11．（2024·河南·模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求角；
(2)若，求的值．
12．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，的角平分線與相交于點，且.
(1)求的大??；
(2)求的值.
參考答案：
1．A
【分析】由題意，根據誘導公式及和差公式進行化簡求出，進而，結合正弦定理計算即可求解.
【詳解】由，，
得，即，
所以，又，
所以，即，所以，
又，由正弦定理，
得，所以.
故選：A
2．B
【分析】由余弦定理及同角三角函數的平方關系得出，再根據三角形面積公式計算即可．
【詳解】由余弦定理得，，因為為三角形內角，
則，
所以，
故選：B．
3．B
【分析】設，根據雙曲線的定義得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理計算可得.
【詳解】如圖，由于，，且，，
設，則，故，
所以，即，則，，，，
在中由余弦定理.
故選：B
4．D
【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案.
【詳解】，
即，故，
，
因為，所以，故，
因為，所以，
故為等腰直角三角形.
故選：D
5．AC
【分析】根據余弦定理、正弦定理，結合平面向量數量積的定義逐一判斷即可.
【詳解】A：因為a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由，
所以是鈍角三角形，因此本選項正確；
B：由，不能判斷是鈍角三角形，所以本選項不正確；
C：根據正弦定理，由，
由余弦定理可知：，所以是鈍角三角形，因此本選項正確；
D：根據正弦定理，由
，
所以是直角三角形，不符合題意，
故選：AC
6．ACD
【分析】由題意圓的半徑 在平面直角坐標系中寫出的坐標用兩點間的距離公式計算即可得A選項；選項B，利用扇形的面積公式計算即可；選項C，利用兩點間的距離公式寫出化簡即可；選項D，分別表示出來化簡即可
【詳解】由題意圓的半徑
選項A：由題意得
所以
所以，故A正確；
選項B：因為，
所以扇形的面積，
故B錯誤；
選項C，
故C正確；
選項D：
因為，
所以
故D正確
故選：ACD.
7．AD
【分析】根據正弦定理邊角化，結合三角形三邊滿足的關系即可根據選項逐一求解.
【詳解】對于A，由正弦定理得，
所以，，作為三條線段的長一定能構成三角形，A正確，
對于B，由正弦定理得，
例如，則，
由于，，故不能構成三角形的三條邊長，故B錯誤，
對于C, 由正弦定理得，
例如：、、，則、、，
則，，，作為三條線段的長不能構成三角形，C不正確；
對于D，由正弦定理可得，不妨設，則，故，且，
所以，故D正確，
故選：AD
8．
【分析】在中，由余弦定理可得，結合已知求得，再由正弦定理可求得.
【詳解】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
因為，所以，所以
解得，
由，可得，
在中，由正弦定理可得，
所以.
故答案為：.
9． /
【分析】由，求得，利用基本不等式，求得面積的最小值的最小值，再由余弦定理，求得，求得的面積.
【詳解】由題意，平分交于且，
可得，即，
整理得，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值，
因為，即，
又因為，所以，即，
因為，解得，因此．
故答案為：；.

10．
【分析】設的外接圓半徑為，由已知條件及正弦定理可得到，進而有，再使用已知條件及余弦定理即可推知，最后用面積公式即可.
【詳解】設的外接圓半徑為，則.
所以，故，從而.
而，故，得.
故答案為：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及得到、，代入目標式子計算可得.
【詳解】（1）由題意可得，所以由正弦定理得．
即，
在中，因為，，
所以，因為，所以．
（2）由（1）得，
又，故，即，
即，故．
把代入，可得或（舍去），
所以．
12．(1)
(2)
【分析】（1）在中利用正弦定理結合已知條件求出，即可得解；
（2）依題意可得，由求出，再在中利用余弦定理計算可得.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
又，
所以，因為，
所以.
因為，所以.
（2）因為，所以.
因為平分，所以.
因為，
所以，
又，，
所以，
解得，
因為，所以
，
所以.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．12 D．15.
2．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，是半徑上的動點，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·寧夏銀川·三模）已知雙曲線E：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線E的右支交于A，B兩點，若，且雙曲線E的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知圓，若正三角形的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
參考答案：
1．C
【分析】先利用正弦定理化邊為角，可得出的關系，再利用余弦定理求出，進而可得出，再根據三角形的面積公式結合二次函數的性質即可得解.
【詳解】由，由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
當，即時，取得最大值.
故選：C.
2．A
【分析】設，在中利用正弦定理及三角形面積公式列出函數關系，再求出函數最大值即得.
【詳解】設，由，得，
在中，由正弦定理得，即，
則的面積
，顯然，因此當，即時，，
所以面積的最大值為.
故選：A
3．D
【分析】由雙曲線的定義結合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導公式得，設，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.
【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，因為，
所以，
由雙曲線的定義可得，
所以，
在中，
由余弦定理得，
在中，，
設，則，
由得
，解得，所以，
所以.
故選：D.
.
4．D
【分析】首先，設，用表示出的邊長；再用表示出；然后，在中利用余弦定理，用表示出，化簡并求出的最大值.
【詳解】如圖，設，則，
因為，所以，
因為是正三角形，所以
易知取最大值時，點與點在線段的異側，
此時，，
在中，由余弦定理得
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時有最大值為2.
故選：D．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時，（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）在平面四邊形中，已知，且，則（ ）
A．的面積為
B．的面積為2
C．四邊形為等腰梯形
D．在方向上的投影向量為
三、填空題
3．（2024·安徽池州·模擬預測）在中，是的角平分線，且的面積為1，當最短時， ．
參考答案：
1．A
【分析】先根據條件，結合正、余弦定理，得到角的關系，再用角的三角函數表示的面積，換元，利用導數的分析面積最大值，對應的角的三角函數值，再利用角的關系，求.
【詳解】因為，
又由余弦定理：，所以，
所以.
由正弦定理得：，
所以或（舍去），故.
因為，所以.
由正弦定理：.
所以.
因為，所以.
設，.
則，
由，
由，
所以在上單調遞增，在上遞減，
所以當時，有最大值.
即當時，的面積最大.
此時
.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：本題用到了三倍角公式，因為有些教材不講這個公式，所以該公式的記憶或推導在該題中就格外重要.
2．ABD
【分析】根據題意，利用向量的數量積的運算公式，求得可得，得到為等邊三角形，可判定A正確；設，由余弦定理得到，利用向量的數據的運算公式，列出方程求得，得到，可判定B正確；根據角之間的大小關系，可判定C錯誤；根據余弦定理，求得，結合投影的定義與運算，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由，可得，
所以，即，
因為，所以，
又因為，所以，所以為等邊三角形，
所以，所以A正確；
對于B中，設，由余弦定理的，
由，
可得，解得，
所以，所以，所以，所以B正確；
對于C中，因為，
所以與不平行，與也不平行，所以C錯誤；
對于D中，因為，所以，
又因為，所以，
由余弦定理得
，所以，
所以向量在方向上的投影向量為
，所以D正確.
故選：ABD.
.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用平面向量數量積的運算法則分別判斷得是正三角形，是等腰三角形，從而得解.
3．/
【分析】記，，然后計算得到，再使用余弦定理說明，并通過基本不等式的取等條件得知當取到最小值時，，最后通過即得結果.
【詳解】記，，則，從而.
因為，
且，
所以，且，
從而.
在中，由余弦定理可得：
，
當且僅當即時取等號.
所以當取到最小值時，，此時，
所以．
故答案為：.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題26 正弦定理和余弦定理（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 5
【考點1】利用正、余弦定理解三角形 5
【考點2】判斷三角形的形狀 6
【考點3】和三角形面積有關的問題 7
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 10
【培優(yōu)篇】 11
考試要求：
掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常見變形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑).
1.三角形中的三角函數關系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B a>b sin A>sin B cos A一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
4．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
5．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
四、解答題
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
7．（2023·全國·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
8．（2023·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
9．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
10．（2022·全國·高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
11．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
12．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．
（1）若，求的面積；
（2）是否存在正整數，使得為鈍角三角形 若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【考點1】利用正、余弦定理解三角形
一、單選題
1．（2024·山東棗莊·模擬預測）在中，，為內一點，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江金華·三模）已知橢圓，、分別為其左右焦點，點M在C上，且，若的面積為，則（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多選題
3．（2024·山東濟南·三模）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（ ）
A． B．面積的最大值為
C． D．邊上的高的最大值為
三、填空題
4．（2024·四川成都·三模）的內角的對邊分別為，若且，則 的值為
四、解答題
5．（2024·廣東廣州·模擬預測）在中，角的對邊分別是，且.
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長.
6．（2024·江西·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．
(1)求角；
(2)若的角平分線交于點，點在線段上，，求的面積．
反思提升：
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數關系，也可以把已知條件化為三角形邊的關系.
【考點2】判斷三角形的形狀
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）已知的內角A，，所對的邊分別為，，，面積為，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
2．（2024·河北秦皇島·三模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（ ）
A．為直角三角形 B．為銳角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
二、多選題
3．（2021·黑龍江雞西·模擬預測）在中，有如下四個命題正確的有（ ）
A．若，則為銳角三角形
B．若，則的形狀為直角三角形
C．內一點G滿足，則G是的重心
D．若，則點P必為的外心
三、填空題
4．（2021·浙江寧波·模擬預測）在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，若，則 ，三角形的形狀為 .
四、解答題
5．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求角的大??；
(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.
6．（2024·全國·模擬預測）在中，內角的對邊分別為．
(1)判斷的形狀，并證明；
(2)求的最小值．
反思提升：
1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.
2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.
【考點3】和三角形面積有關的問題
一、單選題
1．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若點D滿足，且，則（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對邊分別為，D為的中點，已知，，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·江西·二模）已知中，為的角平分線，交于點為中點，下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．的面積為
D．在的外接圓上，則的最大值為
三、填空題
4．（2024·山東·二模）在中，內角的對邊分別為，，且，則面積的最大值為 ．
四、解答題
5．（2024·陜西西安·模擬預測）設的內角所對的邊分別是且向量滿足.
(1)求A；
(2)若，求BC邊上的高.
6．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知分別為內角的對邊，．
(1)求角A；
(2)若的面積為，周長為6，求．
反思提升：
與三角形面積有關問題的解題策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；
(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，則的面積等于（ ）
A．3 B． C．5 D．
3．（2024·四川·模擬預測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
二、多選題
5．（21-22高一下·江蘇南京·期中）三角形 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．
C． D．
6．（2022·吉林長春·模擬預測）如圖所示，設單位圓與x軸的正半軸相交于點，以x軸非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，P，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．扇形的面積為
C．
D．當時，四邊形的面積為
7．（2024·廣東肇慶·模擬預測）若的三個內角的正弦值為，則（ ）
A．一定能構成三角形的三條邊
B．一定能構成三角形的三條邊
C．一定能構成三角形的三條邊
D．一定能構成三角形的三條邊
三、填空題
8．（2024·山東威海·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則= ．
9．（23-24高三下·江西·階段練習）在中，內角的對邊分別是，且，平分交于，，則面積的最小值為 ；若，則的面積為 ．
10．（2024·山東泰安·模擬預測）在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若，且，則的面積為 .
四、解答題
11．（2024·河南·模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求角；
(2)若，求的值．
12．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，的角平分線與相交于點，且.
(1)求的大小；
(2)求的值.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．12 D．15.
2．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，是半徑上的動點，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·寧夏銀川·三模）已知雙曲線E：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線E的右支交于A，B兩點，若，且雙曲線E的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知圓，若正三角形的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時，（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）在平面四邊形中，已知，且，則（ ）
A．的面積為
B．的面積為2
C．四邊形為等腰梯形
D．在方向上的投影向量為
三、填空題
3．（2024·安徽池州·模擬預測）在中，是的角平分線，且的面積為1，當最短時， ．
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