資源簡介

專題28 平面向量的概念及線性運算（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】平面向量的概念 4
【考點2】向量的線性運算 5
【考點3】共線向量定理的應用 6
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 11
考試要求：
1.了解向量的實際背景.
2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.
5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.
6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
1.向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點，則=（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
5．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數的值為 ，若是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
6．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數），則CD的長度是 ．

【考點1】平面向量的概念
一、單選題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·浙江·模擬預測）已知向量，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為
C．若與共線，則為或
D．存在θ，使得
4．（2022·遼寧丹東·模擬預測）已知，，為單位向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·遼寧·模擬預測）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，點E在棱PB上，且，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是 .
6．（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量 .
反思提升：
平行向量有關概念的四個關注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與的關系：是與a同方向的單位向量.
【考點2】向量的線性運算
一、單選題
1．（2024·廣西·模擬預測）在中，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北承德·二模）在中，為中點，連接，設為中點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知點O為△ABC內的一點，D，E分別是BC，AC的中點，則（ ）
A．若O為AD中點，則
B．若O為AD中點，則
C．若O為△ABC的重心，則
D．若O為△ABC的外心，且BC＝4，則
4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·上海黃浦·三模）在中，，，的平分線交BC于點D，若，則 ．
6．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點在上，，點在 內 (含邊界)一點，若，則的最大值為 .
反思提升：
1.(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.
(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數的值.
【考點3】共線向量定理的應用
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知平面上點，，滿足，且，點滿足，動點滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．1或
2．（2024·浙江臺州·二模）設，是雙曲線：的左、右焦點，點分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2022·全國·模擬預測）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點，連接AE，BD相交于點F，連接CF，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河南·模擬預測）已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若A，B，C三點共線，則
C．若向量與垂直，則的最小值為1
D．向量與的夾角正切值的最大值為
三、填空題
5．（2023·上海黃浦·一模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數量投影為 .
6．（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數 .
反思提升：
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線 ，共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預測）在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龍江·模擬預測）已知在梯形中，且滿足，E為中點，F為線段上靠近點B的三等分點，設，，則（ ）．
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·吉林長春·階段練習）在中，為上一點，為上任意一點，若，則的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、多選題
5．（22-23高三上·安徽阜陽·期末）在中，已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全國·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若為平面向量，，則
B．若為平面向量，，則
C．若，，則在方向上的投影為
D．在中，M是AB的中點，＝3，BN與CM交于點P，＝+，則λ＝2μ
三、填空題
8．（2022·全國·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足，若，則 .
9．（2024·山西晉城·一模）已知兩個單位向量，的夾角為，則與的夾角為 ．
10．（2023·上海徐匯·一模）在中,,且在方向上的數量投影是-2,則的最小值為 .
四、解答題
11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
12．（21-22高三下·山西呂梁·開學考試）在三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且.
(1)求角C；
(2)E為三角形ABC所在平面內的一點，，且，求線段CE的長.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2022·山東·模擬預測）中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關系象征著中國共產黨領導下的革命與人民大團結．如圖，五角星是由五個全等且頂角為36°的等腰三角形和一個正五邊形組成．已知當時，，則下列結論正確的為（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2023·江蘇南京·二模）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點，①與的面積比為 ；②設，則 ．
四、解答題
4．（2020·北京朝陽·二模）已知橢圓的離心率為，且橢圓C經過點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程;
（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設，，求證：為定值．
【培優篇】
一、單選題
1．（2021·浙江金華·三模）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動點，已知，記，則（ ）
A．若m+n=3，則M的最小值為3
B．若m+n=3，則有唯一C點使M取最小值
C．若m·n=3，則M的最小值為3
D．若m·n=3，則有唯一C點使M取最小值
二、多選題
2．（22-23高一下·山東·階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
三、填空題
3．（2024·吉林長春·模擬預測）已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題28 平面向量的概念及線性運算（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】平面向量的概念 7
【考點2】向量的線性運算 12
【考點3】共線向量定理的應用 17
【分層檢測】 23
【基礎篇】 23
【能力篇】 31
【培優篇】 35
考試要求：
1.了解向量的實際背景.
2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.
4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.
5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.
6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.
1.向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點，則=（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
5．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數的值為 ，若是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
6．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數），則CD的長度是 ．

參考答案：
1．D
【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設,
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
2．A
【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；
【詳解】連結，則為的中位線，
，

故選：A
3．C
【分析】根據向量的加減法運算法則算出即可.
【詳解】
故選：C
【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.
4．
【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數的值.
【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，
解方程可得：.
故答案為：.
5．
【分析】可得，利用平面向量數量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數表達式，利用二次函數的基本性質求得的最小值.
【詳解】，，，
，
解得，
以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
,
∵，∴的坐標為,
∵又∵,則，設，則（其中），
，，
，
所以，當時，取得最小值.
故答案為：；.
【點睛】本題考查平面向量數量積的計算，考查平面向量數量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.
6．或0
【分析】根據題設條件可設，結合與三點共線，可求得，再根據勾股定理求出，然后根據余弦定理即可求解.
【詳解】∵三點共線，
∴可設，
∵，
∴，即，
若且，則三點共線，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
設，，則，.
∴根據余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的長度為.
當時， ，重合，此時的長度為，
當時，，重合，此時，不合題意，舍去.
故答案為：0或.
【點睛】本題考查了平面向量知識的應用、余弦定理的應用以及求解運算能力，解答本題的關鍵是設出．
【考點1】平面向量的概念
一、單選題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·浙江·模擬預測）已知向量，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為
C．若與共線，則為或
D．存在θ，使得
4．（2022·遼寧丹東·模擬預測）已知，，為單位向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·遼寧·模擬預測）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，點E在棱PB上，且，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是 .
6．（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量 .
參考答案：
1．A
【分析】根據題意，得到，得到點為線段的中點，得出為直角三角形，且為等邊三角形，進而求得向量在向量上的投影向量.
【詳解】由，可得，
所以，即點為線段的中點，
又因為的外接圓圓心為，所以為直角三角形，所以
因為，可得，所以為等邊三角形，
故點作，可得，所以，
因為向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量為.
故選；A.
2．A
【分析】以為坐標原點，所在直線為x軸，過垂直BC的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，取的中點為，求得的軌跡方程，數形結合可求.
【詳解】由題意，以為坐標原點，所在直線為x軸，過垂直的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，由，可得是以為直徑的圓，
所以的軌跡方程為，
取的中點為，設，
可得，所以，所以，
所以點的軌跡方程為，圓心為，半徑為，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故選：A.
3．BD
【分析】由向量垂直的坐標表示可知A錯誤，由投影向量的定義可知B正確，由單位向量和共線向量的定義可知C錯誤，由向量與同向，可求得，可知D正確.
【詳解】對于A，若，則有，即，A錯誤；
對于B，，在上的投影為，又因為，所以，
，B正確；
對于C，若與共線，設，所以有，解得，
因為，，，所以，C錯誤；
對于D，若成立，則與同向，所以，即有，，解得，故D正確.
故選：BD.
4．AC
【分析】對移項后平方可得出：，，，對于A，，代入即可判斷A；由可判斷B；由，可判斷C；由代入即可判斷D.
【詳解】因為，，為單位向量，所以，由，則，兩邊同時平方得：，所以；由，則，兩邊同時平方得：，所以；由，則，兩邊同時平方得：，所以；
對于A，，故A正確；
對于B，因為，所以為反向共線的向量，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，
，所以D錯誤；
故選：AC.
5．
【分析】將四棱錐補形為長方體，再根據長方體里面的三角形關系求得，再根據當OE⊥截面時，截面積最小求解即可
【詳解】如圖，將四棱錐補形為長方體，易知該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，∵PC為長方體的體對角線，∴球心O在PC的中點上，∴外接球半徑，設平面為過E的球O的截面，則當OE⊥平面時，截面積最小，由圖可知，設截面半徑為r，則，所以截面圓的面積為，即所得截面面積的最小值為.
故答案為：
【點睛】本題主要考查了球的截面問題，重要思路是當OE⊥截面時，截面積最小，同時也考查了立體幾何中的線段求解，需要利用直角三角形求解，屬于中檔題
6．
【分析】利用與共線且方向相反的單位向量為，即可得出答案.
【詳解】，，所以與共線且方向相反的單位向量是：
.
故答案為：.
反思提升：
平行向量有關概念的四個關注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數圖象的平移混淆.
(4)非零向量a與的關系：是與a同方向的單位向量.
【考點2】向量的線性運算
一、單選題
1．（2024·廣西·模擬預測）在中，，.若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北承德·二模）在中，為中點，連接，設為中點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知點O為△ABC內的一點，D，E分別是BC，AC的中點，則（ ）
A．若O為AD中點，則
B．若O為AD中點，則
C．若O為△ABC的重心，則
D．若O為△ABC的外心，且BC＝4，則
4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·上海黃浦·三模）在中，，，的平分線交BC于點D，若，則 ．
6．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點在上，，點在 內 (含邊界)一點，若，則的最大值為 .
參考答案：
1．C
【分析】將向量看作基底，利用向量的加減法法則以及數乘的運算法則，得到即可.
【詳解】依題意，，
所以，
又因為，
所以，
所以，，
所以，，，，只有選項C正確；
故選：C．
2．D
【分析】利用平面向量基本定理將用表示出來，再用向量的線性運算把用表示即可.
【詳解】由于，所以，
故選：D
3．ABD
【分析】由為中點，結合平面向量的加法法則即可判斷A，B；由重心的性質即可判斷C；由三角形外心性質結合數量積公式判斷D．
【詳解】對于A，因為為中點，所以，故A正確；
對于B，由為中點，則，故B正確；
對于C，由O為△ABC的重心，則根據三角形重心的性質得，所以，故C錯誤；
對于D，若點O為△ABC的外心，BC＝4，則根據三角形外心的性質得，
故，故D正確．
故選：ABD．
4．ABD
【分析】根據向量的線性運算，向量共享定理的推論，得出為中點，為上靠近點的四等分點，對選項進行判斷，得出答案.
【詳解】
對于A選項，，故A正確；
對于B選項，因為為等邊三角形，，為中點，所以，
所以，即，所以
，故B正確；
對于C選項，設，
由（1）得，所以，
又三點共線，所以，解得，所以為上靠近點的四等分點，故C錯誤；
對于D，，設，則，
所以，又三點共線，所以，解得，
所以為中點，所以，故D正確，
故選：ABD.
5．/
【分析】根據給定條件，探求出線段與的倍分關系，再結合平面向量基本定理求解作答.
【詳解】在中，，，則，又平分，即有，

因此，即有，，整理得，
而，且不共線，于是，
所以.
故答案為：
6．
【分析】先利用向量線性運算得到，作出輔助線，得到，且，從而得到答案.
【詳解】，
取的中點，連接，
因為，故，
又，所以，故，且，
所以的最大值為，此時點與點重合.
故答案為：
反思提升：
1.(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.
(2)在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為用已知向量線性表示.
2.與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數的值.
【考點3】共線向量定理的應用
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知平面上點，，滿足，且，點滿足，動點滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．1或
2．（2024·浙江臺州·二模）設，是雙曲線：的左、右焦點，點分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2022·全國·模擬預測）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點，連接AE，BD相交于點F，連接CF，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河南·模擬預測）已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若A，B，C三點共線，則
C．若向量與垂直，則的最小值為1
D．向量與的夾角正切值的最大值為
三、填空題
5．（2023·上海黃浦·一模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數量投影為 .
6．（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數 .
參考答案：
1．A
【分析】由題設三個條件依次得到，推得點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，再得點，，三點共線，通過建系將問題轉化成由點向圓做切線，求原點到該切線的最短距離問題.
【詳解】由題意，得
，所以．
因為，所以．
又，即，所以點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓．
如圖，以為坐標原點，以的方向為軸正方向，建立平面直角坐標系．
易知，，則點的軌跡方程為．
由，得點，，三點共線．
過點作圓的切線，設其方程為，即．
由點到該切線的距離為，可得，解得或．
由圖知，當時，最小，切線的方程為，
此時的最小值即為點到切線的距離，即．
故選：A．
2．B
【分析】設與的交點為，，進而根據下向量關系得，再結合雙曲線的性質即可得，，進而結合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，進而可得答案.
【詳解】解：如圖，設與的交點為，，
因為，所以，
所以，由雙曲線的定義可知：，，
因為，所以，
所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入數據整理得：，
所以，雙曲線的離心率為：.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于利用向量的關系得到，進而在中結合余弦定理求得.
3．ABD
【分析】根據平面向量的線性運算并結合平面向量共線定理即可判斷答案.
【詳解】對于A選項，
，故A選項正確；
對于B選項，因為B，F，D三點共線，設，由，所以存在唯一實數，使得，結合A可知，，因為不共線，所以，所以，故B選項正確；
對于C選項，結合B，，故C選項錯誤；
對于D選項，結合B，，故D選項正確.
故選：ABD.
4．AD
【分析】根據給定條件，用坐標表示向量，再結合向量的坐標運算逐項計算判斷即得.
【詳解】在平面直角坐標系中，令，
由，，得，，則，
對于A，，因此，A正確；
對于B，由三點共線，得，即，
于是，解得，即，B錯誤；
對于C，，由向量與垂直，得，
而，則，
當且僅當時取等號，C錯誤；
對于D，令向量與的夾角為，，當時，，，
當時，不妨令，，則，，顯然，
，
當且僅當時取等號，D正確.

故選：AD
5．10
【分析】運用向量共線、向量垂直畫圖，運用平行線性質及直角三角形性質可得、，再運用數量積運算及幾何意義即可求得結果.
【詳解】因為，所以A、D、E三點共線，且，
又因為，所以，所以，
因為，所以B、E、F三點共線，又因為，所以，如圖所示，
設，則，
所以，解得：，
所以在上的數量投影為.
故答案為：10.
6．
【分析】由題設共線，作，垂足分別為，結合拋物線定義及相似比求參數值即可.
【詳解】由題設知：共線，且，如下圖，
作，垂足分別為，則，
所以，又，則，
所以，即，故.
故答案為：2
反思提升：
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線 ，共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預測）在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龍江·模擬預測）已知在梯形中，且滿足，E為中點，F為線段上靠近點B的三等分點，設，，則（ ）．
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·吉林長春·階段練習）在中，為上一點，為上任意一點，若，則的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、多選題
5．（22-23高三上·安徽阜陽·期末）在中，已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全國·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．若為平面向量，，則
B．若為平面向量，，則
C．若，，則在方向上的投影為
D．在中，M是AB的中點，＝3，BN與CM交于點P，＝+，則λ＝2μ
三、填空題
8．（2022·全國·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足，若，則 .
9．（2024·山西晉城·一模）已知兩個單位向量，的夾角為，則與的夾角為 ．
10．（2023·上海徐匯·一模）在中,,且在方向上的數量投影是-2,則的最小值為 .
四、解答題
11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
12．（21-22高三下·山西呂梁·開學考試）在三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且.
(1)求角C；
(2)E為三角形ABC所在平面內的一點，，且，求線段CE的長.
參考答案：
1．A
【分析】由單位向量的定義、向量坐標的線性運算以及向量模的坐標公式即可求解.
【詳解】由題意，所以，
從而與向量同方向的單位向量為.
故選：A.
2．D
【分析】運用平面向量加法、減法、數乘運算即可.
【詳解】如圖，
因為，所以，
又，所以，
所以.
故選：D.
3．C
【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】如圖所示，
由題意可得，
而.
故選：C．
4．C
【分析】先由共線定理得出，再利用基本不等式求出最值即可.
【詳解】因為為上任意一點，，
因為三點共線，所以由共線定理得，
則，
當且僅當且，即時取等號，此時的最小值是12．
故選：C
5．ABD
【分析】畫出三角形，應用向量線性表示，三角形法則，數量積關系逐項分析即可.
【詳解】如圖所示：
因為，所以，
所以，
故選項A正確，
因為，所以
所以
，
故C選項錯誤，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故選項D正確，
由，
所以在中，因為，
所以，故B正確，
故選：ABD.
6．BD
【分析】如圖，根據向量的線性運算和數量積的定義計算，依次判斷選項即可.
【詳解】如圖，
A：，故A錯誤；
B：，故B正確；
C：，故C錯誤；
D：，
由，得，
所以，故D正確.
故選：BD
7．CD
【分析】利用向量共線的概念判斷A、B，；利用向量數量積的定義可判斷C；利用向量共線的推論即可判斷D.
【詳解】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯誤；
B，若，則，，當共面時，，
若不共面時，與不平行，故B錯誤；
C，若，則，所以，
在方向上的投影為，故C正確；
D，，設,
則
，
設，則，即，①
，設，
，
，即，②
由①②可得，，即，故D正確.
故選：CD
8．1
【分析】
利用向量線性運算求得，與題干對照即可求解.
【詳解】
，則，，
所以.
故答案為：1
9．
【分析】利用向量加減運算結合夾角定義求解.
【詳解】設，，，因為，均為單位向量，
所以四邊形為菱形，且平分，
所以與的夾角為，則與的夾角為．
故答案為：
10．
【分析】根據在方向上的數量投影先求出,取,則,即求的最小值,過點作的垂線即可求得.
【詳解】解:由題知在方向上的數量投影是-2,
,
,
,即,
記,
則,
若求的最小值即求的最小值,
過點作的垂線交于點,此時最小,
如圖所示:
,
故答案為:
11．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據幾何圖形進行線性運算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以 ，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

12．(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互化計算得，所以可得；（2）由余弦定理計算得，可得，所以，再由，得且，所以四邊形是矩形，求解得，從而得.
【詳解】（1）因為，由得，，
由正弦定理得，
因為，所以，
故，
得，即，
又，所以.
（2）由余弦定理得，所以，即，又因為，即，因為不共線，所以且，所以四邊形是矩形，所以，即，所以.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2022·山東·模擬預測）中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關系象征著中國共產黨領導下的革命與人民大團結．如圖，五角星是由五個全等且頂角為36°的等腰三角形和一個正五邊形組成．已知當時，，則下列結論正確的為（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2023·江蘇南京·二模）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點，①與的面積比為 ；②設，則 ．
四、解答題
4．（2020·北京朝陽·二模）已知橢圓的離心率為，且橢圓C經過點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程;
（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設，，求證：為定值．
參考答案：
1．D
【分析】根據平面向量的線性運算法則進行運算即可.
【詳解】
，
故選：D．

2．AB
【分析】連接DH，AF，CH，BH，利用五角星的結構特征逐項分析判斷作答.
【詳解】對于A，連接DH，如圖，由DF=FH，得：，，A正確；
對于B，連接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，則，B正確；
對于C，與不共線，C不正確；
對于D，連接CH，BH，由選項A知，，而，則四邊形是平行四邊形，
，D不正確.
故選：AB
3．
【分析】①根據類比圖形的結構特點，找到與的面積聯系即可.
②利用向量加減法的三角形法則，用，表示出即可.
【詳解】如圖：
連接，由題意知，且分別為的中點，.
所以，
,
得.
，，
化簡得，
所以
故答案為：①；②.
4．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析
【解析】（Ⅰ）由離心率得，由橢圓過一點．得，兩者結合可解得，得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線方程為，設，直線方程代入橢圓方程后可得，由，，把用表示，然后計算并代入即可得證．
【詳解】（Ⅰ）由題意，解得，
∴橢圓方程為；
（Ⅱ）易知直線斜率存在，設其方程為，設，
由，消元整理得，
∴，，
把代入得，即，
由，得，，
由，得，，
∴，
∴為定值．
【點睛】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題．解題方法是設而不求的思想方法，即設直線方程為，設，直線方程代入橢圓方程應用韋達定理求得，把它代入題中需求的量化簡可得結論．
【培優篇】
一、單選題
1．（2021·浙江金華·三模）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動點，已知，記，則（ ）
A．若m+n=3，則M的最小值為3
B．若m+n=3，則有唯一C點使M取最小值
C．若m·n=3，則M的最小值為3
D．若m·n=3，則有唯一C點使M取最小值
二、多選題
2．（22-23高一下·山東·階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
三、填空題
3．（2024·吉林長春·模擬預測）已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為 .
參考答案：
1．A
【分析】設，以為原點，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，把轉化為關于的表達式，可解決此題．
【詳解】：設，如圖：
以為原點，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，則，，，，
，，
．
①若，取，，則，
，，，，
,，此時，、兩點重合，所以正確；
取，，則，
當時取最小值，此時、兩點重合，所以點不唯一，故B錯誤；
②若，取，則
，
當時，，故C錯誤；
取，時，則，
當時，取最小值，點不唯一，故D錯誤.
故選：A．
【點睛】本題考查平面向量的線性運算的意義和模的意義，涉及與圓有關的最值問題，關鍵是題目中的參數較多，故而應當想到直接解決困難較大，應用特值排除的方法解決較為方便，這是在解決一些選擇題是常常需要用到的思想方法.
2．ABD
【分析】A選項，，作出輔助線，得到，，三點共線，同理可得為的重心；B選項，設內切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項，設外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值；D選項，得到，作出輔助線，由面積關系得到線段比，設，，，表示出，，，結合三角函數得到，，進而求出余弦值；
【詳解】對A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故，，三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得，，三點共線，，，三點共線，
所以為的重心，A正確；

對B選項，若為的內心，可設內切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對C選項，若，，為的外心，則，
設的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯誤；

對D選項，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設，，，則，，，
因為，，
所以，即，
，則，D正確；
故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量與四心關系應用，關鍵是利用三角形的幾何關系及向量數量積及向量線性表示逐項判斷.
3．
【分析】令，利用向量模的計算公式把表示成t的函數，求出函數最小值即可.
【詳解】因向量與共線，令，
則，而向量，為單位向量，且，
于是得
，
當且僅當時取“=”，
所以的最小值為.
故答案為：
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