資源簡介

專題29 平面向量基本定理及坐標表示（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】平面向量基本定理的應用 3
【考點2】平面向量的坐標運算 5
【考點3】平面向量共線的坐標表示 7
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.理解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
1.平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
4．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·全國·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
【考點1】平面向量基本定理的應用
一、單選題
1．（21-22高一下·重慶北碚·階段練習）設是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣西·二模）已知內角的對邊分別為為的重心，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
4．（2022·廣東惠州·一模）如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（ ）
A．與能構成一組基底 B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·天津紅橋·二模）太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個對稱的半圓弧組成的，線段MN過點O且兩端點M，N分別在兩個半圓上，點P是大圓上一動點，令，，若，則 ；的最小值為 ．
6．（2024·天津·二模）在中，，是的中點，延長交于點．設，，則可用，表示為 ，若，,則面積的最大值為 ．
反思提升：
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
【考點2】平面向量的坐標運算
一、單選題
1．（12-13高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，若，則（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·湖北十堰·模擬預測）已知向量，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，向量與向量的夾角為銳角
C．存在，使得
D．若，則
4．（2023·全國·模擬預測）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網格中每個小正方形的邊長為1，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．
D．設Z為線段AK上任意一點，則的取值范圍是
三、填空題
5．（2022·湖南岳陽·三模）設點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運動(包含B，C兩個端點)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為 ．
6．（2020·山西·三模）如圖，在△中，，點是線段上的一個動點.，則，滿足的等式是 .
反思提升：
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.
【考點3】平面向量共線的坐標表示
一、單選題
1．（23-24高二上·四川綿陽·期末）直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
二、多選題
3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（ ）
A． B．
C． D．與的夾角為
4．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（ ）
A．對空間任意一點與不共線的三點，若，其中，，且，則四點共面
B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．若，共線，則
D．若，共線，則一定存在實數使得
三、填空題
5．（22-23高三上·廣西貴港·階段練習）已知向量，，若A，B，C三點共線，則 ．
6．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的三內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，設向量，，若向量與向量共線，則角 ．
反思提升：
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知在梯形中，且滿足，E為中點，F為線段上靠近點B的三等分點，設，，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·廣東·模擬預測）古希臘數學家帕波斯在其著作《數學匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結構設計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結構，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結構的平面圖形如圖所示，則（ ）

A． B．
C． D．
3．（2024·陜西·模擬預測）已知兩個向量，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量，若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多選題
5．（2021·全國·模擬預測）在中，，，分別是邊，，的中點，，，交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個單位向量，且，若（），則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·廣東·二模）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則與同向的單位向量為
C．若，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為
D．若，則的最小值為
三、填空題
8．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知向量，，則，則實數 .
9．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則 ．
10．（2023·河南·模擬預測）在平行四邊形中，，，點為線段 的中點，則 .
四、解答題
11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
12．（2023·湖南永州·二模）已知的內角的對邊分別為，且向量與向量共線.
(1)求；
(2)若的面積為，求的值.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知點，，，且，則（ ）
A． B． C． D．2
二、多選題
2．（2023·湖北襄陽·模擬預測）在直角梯形中，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（ ）

A．1 B． C． D．3
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形中，點，，．若與的交點為，則的中點的坐標為 ,
四、解答題
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；
(2)點是線段上一點，且滿足，若的面積為，求的最小值.
【培優篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·貴州畢節·階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支交于點A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點，且（O為坐標原點）.下列四個結論正確的是（ ）
①；
②若，則雙曲線的離心率；
③；
④.
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、多選題
2．（21-22高三上·廣東廣州·階段練習）已知向量，，則下列命題正確的是（ ）
A．存在，使得 B．當時，與垂直
C．對任意，都有 D．當時，在方向上的投影為
三、填空題
3．（23-24高三下·天津和平·開學考試）在中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點．設，，記，則 ；若，的面積為，則當 時，取得最小值．
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【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 5
【考點1】平面向量基本定理的應用 5
【考點2】平面向量的坐標運算 11
【考點3】平面向量共線的坐標表示 16
【分層檢測】 19
【基礎篇】 19
【能力篇】 26
【培優篇】 30
考試要求：
1.理解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
1.平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
4．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·全國·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
參考答案：
1．B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
2．D
【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
3．C
【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
4．D
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】因為，所以.
故選：D
5．B
【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
6．
【分析】根據平面向量數量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．
【詳解】因為，所以由可得，
，解得．
故答案為：．
【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數量積的坐標表示，設，
，注意與平面向量平行的坐標表示區分．
【考點1】平面向量基本定理的應用
一、單選題
1．（21-22高一下·重慶北碚·階段練習）設是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣西·二模）已知內角的對邊分別為為的重心，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
4．（2022·廣東惠州·一模）如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（ ）
A．與能構成一組基底 B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·天津紅橋·二模）太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個對稱的半圓弧組成的，線段MN過點O且兩端點M，N分別在兩個半圓上，點P是大圓上一動點，令，，若，則 ；的最小值為 ．
6．（2024·天津·二模）在中，，是的中點，延長交于點．設，，則可用，表示為 ，若，,則面積的最大值為 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據基底的知識確定正確答案.
【詳解】依題意，不共線，
A選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
B選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
C選項，，
所以和不能構成基底.
D選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
故選：C
2．D
【分析】由平面向量數量積公式以及平面向量基本定理求解結果.
【詳解】由已知有，，，
所以．
已知是AC的中點，則，，
所以，
則．
故選：D．
3．BC
【分析】利用重心性質及向量線性運算得，即可判斷A，此式平方后結合基本不等式，向量的數量積的定義可求得，的最大值，直接判斷B，再結合三角形面積公式、余弦定理判斷CD．
【詳解】是的重心，延長交于點，則是中點，
，A錯；
由得，所以，
又，即
所以，所以，當且僅當時等號成立，B正確；
，當且僅當時等號成立，，
，C正確；
由得，
所以，
，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，D錯．
故選：BC．

4．BC
【分析】對A，由正八邊形性質可證與平行，即可由基底定義判斷；
對B，由正八邊形性質可證，即可由向量數量積與向量垂直的關系判斷；
對C，由，利用平行四邊形法則即可計算；
對D，由，即可根據向量數量積定義計算
【詳解】
連接BG，CF，由正八邊形的性質可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構成一組基底，A項錯誤；
，所以，所以，B項正確；
因為，由平行四邊形法則可知，，C項正確；
正八邊形的每一個內角為，，
所以，D項錯誤（或者從正八邊形的性質可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯誤）.
故選：BC
5． / 0
【分析】第一空結合圖形由向量的線性運算可得；第二空先由向量的線性運算得到，再當取得最大值時計算可得.
【詳解】由圓的對稱性可得為的中點，
所以，
；
，
因為，
所以，
所以當取得最大值2時，的最小值為0,；
故答案為：；0.
6． ，
【分析】根據幾何關系，表示向量；設，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根據，以及基本不等式，三角形面積公式，即可求解.
【詳解】由點是的中點，
則；
設，，
則，
，
，
，
所以，得,,
所以，即，
因為，
所以，
，
即，即，當時，即時等號成立，
所以面積的最大值為.

故答案為：；.
反思提升：
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
【考點2】平面向量的坐標運算
一、單選題
1．（12-13高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，若，則（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·湖北十堰·模擬預測）已知向量，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，
B．當時，向量與向量的夾角為銳角
C．存在，使得
D．若，則
4．（2023·全國·模擬預測）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網格中每個小正方形的邊長為1，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．
D．設Z為線段AK上任意一點，則的取值范圍是
三、填空題
5．（2022·湖南岳陽·三模）設點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運動(包含B，C兩個端點)，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為 ．
6．（2020·山西·三模）如圖，在△中，，點是線段上的一個動點.，則，滿足的等式是 .
參考答案：
1．C
【分析】根據平面向量坐標的線性運算即可求解.
【詳解】因為，
所以，
又，，
所以，解得.
故選：C.
2．D
【分析】由平面向量的線性運算可得，即可求出，進而求出的值.
【詳解】
，
所以，所以，
所以，
.
故選：D.
3．AD
【分析】對A，將1代入公式計算即可，對B，利用求向量夾角公式可知要判斷夾角性質只需要驗證結果，
對C，利用共線向量性質可得，對D，由向量垂直可得.
【詳解】當時，，所以，故A項正確；
，當時，，但當時，向量與向量同向，夾角為，故B項錯誤；
若，則，故C項錯誤；
若，則，即，解得，故D項正確．
故選：AD．
4．AD
【分析】根據已知條件建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量垂直的條件及向量相等的條件，結合向量的坐標運算及二次函數的性質即可求解.
【詳解】以A為坐標原點，AD，AJ所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.
A選項：易知，，，，所以，，
則，所以，所以A正確.
B選項：易知，，，，
，，所以，，，
所以，得，解得，，所以，所以B錯誤.
C選項：由選項A，B知，則，
，，所以C錯誤.
D選項：易知，，設，則，，
所以.因為，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值40.所以的取值范圍是，所以D正確.
故選：AD.
5．[1，2]
【分析】建立直角坐標系，利用平面向量線性運算的坐標公式，結合輔助角公式和正弦型函數的性質進行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，
，設，
所以，因此有，
因為，，
所以有，
于是有，
因為，所以，所以，
即，
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：建立直角坐標系，利用平面向量線性運算的坐標表示公式是題的關鍵.
6．
【分析】由可得，結合條件知，又B、P、D三點共線即可得，的等量關系
【詳解】∵，有
又，即
∵B、P、D三點共線
∴，即
故答案為：
【點睛】本題考查了向量的幾何應用，結合定比分點--三點共線求參數的等量關系，屬于簡單題
反思提升：
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.
【考點3】平面向量共線的坐標表示
一、單選題
1．（23-24高二上·四川綿陽·期末）直線的一個方向向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
二、多選題
3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（ ）
A． B．
C． D．與的夾角為
4．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（ ）
A．對空間任意一點與不共線的三點，若，其中，，且，則四點共面
B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．若，共線，則
D．若，共線，則一定存在實數使得
三、填空題
5．（22-23高三上·廣西貴港·階段練習）已知向量，，若A，B，C三點共線，則 ．
6．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的三內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，設向量，，若向量與向量共線，則角 ．
參考答案：
1．A
【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個方向向量，再求與共線的向量即可.
【詳解】直線的斜率為，則直線的一個方向向量，
對于A，因，即向量與共線，A是；
對于B，因，即向量與不共線，B不是；
對于C，因，即向量與不共線，C不是；
對于D，因，即向量與不共線，D不是.
故選：A.
2．A
【分析】根據向量共線的坐標關系運算求出的值，判斷得解.
【詳解】向量，，
若與共線，則.解得或，
所以“”是“與共線”的充分不必要條件，
故選：A.
3．ACD
【分析】根據投影向量的公式求出的值，再根據向量坐標運算逐項判斷即可.
【詳解】對于A，因為在上的投影向量為，即，
所以，即，解得，故A正確；
對于B，，所以，故B錯誤；
對于C，，所以，故C正確；
對于D，，所以與的夾角為，故D正確.
故選：ACD.
4．BCD
【分析】根據空間向量基本定理判斷A，根據數量積的坐標表示及平面向量共線的坐標表示判斷B，利用特殊值判斷C、D.
【詳解】對于A：因為，則，
所以，即，
所以，所以四點共面，故A正確；
對于B：因為，，與的夾角為鈍角，
所以且與不共線反向，
若，則，解得；
若與共線，則，解得，
綜上可得或，故B錯誤；
對于C：若、同向且，此時，
即不成立，故C錯誤；
對于D：若，，顯然與共線，但是不存在使得，故D錯誤.
故選：BCD
5．5
【分析】由向量共線的坐標表示求解.
【詳解】由A，B，C三點共線知，則，解得．
故答案為：5．
6．
【分析】由向量共線的坐標運算，得，利用余弦定理求出，可得角.
【詳解】因為向量，共線，所以，
即，得，
在中，由余弦定理得，，
又，所以．
故答案為：.
反思提升：
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知在梯形中，且滿足，E為中點，F為線段上靠近點B的三等分點，設，，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·廣東·模擬預測）古希臘數學家帕波斯在其著作《數學匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結構設計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結構，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結構的平面圖形如圖所示，則（ ）

A． B．
C． D．
3．（2024·陜西·模擬預測）已知兩個向量，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量，若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多選題
5．（2021·全國·模擬預測）在中，，，分別是邊，，的中點，，，交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個單位向量，且，若（），則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·廣東·二模）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則與同向的單位向量為
C．若，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍為
D．若，則的最小值為
三、填空題
8．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知向量，，則，則實數 .
9．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則 ．
10．（2023·河南·模擬預測）在平行四邊形中，，，點為線段 的中點，則 .
四、解答題
11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
12．（2023·湖南永州·二模）已知的內角的對邊分別為，且向量與向量共線.
(1)求；
(2)若的面積為，求的值.
參考答案：
1．C
【分析】根據平面向量線性運算法則計算可得.
【詳解】如圖所示，
由題意可得，
而.
故選：C．
2．B
【分析】利用坐標法，建立如圖所示的平面直角坐標系，表示出各點坐標利用坐標運算結合平面向量基本定理即得.
【詳解】以D為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.

不妨設，則，，，，，
故，，.
設，則，
解得，
所以.
故選：B.
3．B
【分析】利用垂直關系的向量表示，結合模的坐標表示求解即得.
【詳解】由，得，則，即，
因此，所以.
故選：B
4．A
【分析】根據向量平行滿足的坐標關系即可求解.
【詳解】，由于，所以，解得，
故選：A
5．BCD
【分析】由向量的數乘運算判斷A；由平行四邊形法則判斷B；根據向量的加減法以及數乘運算判斷C；由重心的性質結合數乘以及平行四邊形法則判斷D.
【詳解】因為，，分別是邊，，的中點，所以，故A錯誤；
由平行四邊形法則可知，，故B正確；
，故C正確；
由題意知，點為的重心，所以，D正確.
故選：BCD.
6．ABC
【解析】以向量、方向為x，y軸建立坐標系，則終點在單位圓上的向量，可計算取值范圍，即得結果.
【詳解】依題意，、是一組垂直的單位向量，如圖建立坐標系，向量、作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓上任一點C（表示由x軸非負半軸旋轉到OC所形成的角）構成的向量，，
因為，，，，
所以，故，，
故，故可以是選項中的0，1，.
故選：ABC.
7．BD
【分析】根據向量的線性運算可判斷AB選項，再根據向量夾角公式可判斷C選項，結合向量垂直的坐標表示及基本不等式可判斷D選項.
【詳解】由，，
A選項：，
則，解得，則，，
所以不存在，使，即，不共線，A選項錯誤；
B選項：，則，解得，
即，，，
所以與同向的單位向量為，B選項正確；
C選項：時，，
又與的夾角為銳角，
則，解得，且，
即，C選項錯誤；
D選項：由，得，即，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，D選項正確；
故選：BD.
8．2
【分析】根據向量坐標運算求，結合向量平行坐標表示求.
【詳解】因為，，
所以，
因為，
所以，
解得，
故答案為：.
9．
【分析】根據向量共線的坐標表示求出和，再利用向量數量積的坐標表示求解即可.
【詳解】，即，，，
，，.
故答案為：.
10．
【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標運算求向量數量積.
【詳解】，以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
，則，
有，，，，，
.
故答案為：
11．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據幾何圖形進行線性運算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以 ，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

12．(1)
(2)
【分析】（1）由向量共線列出等式，用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求得角；
（2）由面積公式解出的值，再由余弦定理解得的值.
【詳解】（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，
∴，
由，，∴，，又，∴.
（2）由（1）知，∴，，
，得，
由余弦定理：，
∴，解得.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知點，，，且，則（ ）
A． B． C． D．2
二、多選題
2．（2023·湖北襄陽·模擬預測）在直角梯形中，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（ ）

A．1 B． C． D．3
三、填空題
3．（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形中，點，，．若與的交點為，則的中點的坐標為 ,
四、解答題
4．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；
(2)點是線段上一點，且滿足，若的面積為，求的最小值.
參考答案：
1．D
【分析】由知與的夾角為，所以，由平行向量的坐標表示求解即可.
【詳解】由得與的夾角為．
，，
由得，故．
當時，，與的夾角為；
當時，，與的夾角為，舍去．
故選：D．
2．AB
【分析】建立平面直角坐標系，設，用坐標表示出，再根據列方程可得，然后可得.
【詳解】
如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，
不妨設，則，
則
設，則
∵，
∴，
∴整理得，
因為，所以
故選：AB.
3．
【分析】利用平行四邊形法則表示出向量，利用坐標運算計算出向量的坐標，由為坐標原點，所以即可得的坐標
【詳解】在平行四邊形中，
因為與的交點為，且為的中點，
所以
，
由為坐標原點，所以向量的坐標即為的坐標，
故點的坐標為．
故答案為：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）設，在和中利用正弦定理，建立等量關系求的余弦值；
（2）利用C、M、D三點共線，求得，再根據三角形的面積求得，根據向量數量積求，展開后利用基本不等式求最小值.
【詳解】（1）由題意可設，
在中①
在中②
由①②可得，
解得，則，解得.
故.
（2），
且C、M、D三點共線，所以，
，
故．
，
當且僅當時；所以.
【培優篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·貴州畢節·階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支交于點A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點，且（O為坐標原點）.下列四個結論正確的是（ ）
①；
②若，則雙曲線的離心率；
③；
④.
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、多選題
2．（21-22高三上·廣東廣州·階段練習）已知向量，，則下列命題正確的是（ ）
A．存在，使得 B．當時，與垂直
C．對任意，都有 D．當時，在方向上的投影為
三、填空題
3．（23-24高三下·天津和平·開學考試）在中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點．設，，記，則 ；若，的面積為，則當 時，取得最小值．
參考答案：
1．C
【分析】對于①：根據可得，根據勾股定理分析判斷；對于②：根據向量共線可得，代入雙曲線方程可得離心率；對于③：根據雙曲線的定義及三角形的三邊關系分析判斷；對于④：根據兩點間距離以及A的橫坐標的范圍分析判斷.
【詳解】對于①：因為，且為的中點，則，
所以，故①正確；
對于②：由題意可知：直線，
設，則，可得，
即，
設，由，可得，
因為，則，解得，
即，由點A在雙曲線上可得，
整理得，解得或（舍去），故②正確；
對于③：設直線與雙曲線的右支交于點，
由雙曲線的定義可得：，
在中可得，即，
所以，
即，故③錯誤；
對于④：設，則，可得，
則，
因為，則，可得，
所以，即，故④正確；
故選：C.
【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．
2．焦點三角形的作用
在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．
2．BD
【分析】A選項考察向量平行坐標之間的關系；B選項考察向量垂直時坐標之間的關系；C選項分別求出，可以得到是否存在，使得；D選項中根據數量積求出角的三角函數值，可以求出在方向上的投影
【詳解】選項A中，若，則，，所以不存在這樣的，所以A錯誤
選項B中，若，則，，得：，所以選項B正確
選項C中，，，當時，，所以C錯誤
選項D中，，兩邊同時平方得： ，
化簡得：，同除得：，，所以，即，解得：，設與的夾角為，所以在方向上的投影，D選項正確
故選：BD.
3． /0.5 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結合和平面向量數量積公式，基本不等式得到的最小值，此時，由余弦定理得到.
【詳解】由題意得
，
故，故；
由三角形面積公式得，
故，
其中，
故
，
當且僅當，即時，等號成立，
此時
，
故.
故答案為：，2
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