資源簡介

專題31 復數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】復數的概念 4
【考點2】復數的四則運算 5
【考點3】復數的幾何意義 6
【考點4】復數與方程 7
【分層檢測】 8
【基礎篇】 8
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.理解復數的基本概念.
2.理解復數相等的充要條件.
3.了解復數的代數表示法及其幾何意義.
4.能進行復數代數形式的四則運算.
5.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.
1.復數的有關概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位).
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的 分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.復數的幾何意義
復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.
3.復數的運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.復數的模與共軛復數的關系
z·＝|z|2＝||2.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2023·全國·高考真題）在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）已知，且，其中a，b為實數，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2021·全國·高考真題）復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2021·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【考點1】復數的概念
一、單選題
1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復數的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
2．（2024·河南鄭州·三模）復數（且），若為純虛數，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復數，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．（2024·山東濟寧·三模）已知復數，則下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
三、填空題
5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數單位，若是以的實部為虛部、以的虛部為實部的復數，則的共軛復數的模長為 .
6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數，則，其中為虛數單位，已知復數， 則 ，的實部為 ．
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數，則虛部b＝0，與實部a無關；若z為虛數，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數，當且僅當a＝0且b≠0.
2.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數為＝a－bi，則z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，則＝z.
【考點2】復數的四則運算
一、單選題
1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·云南·模擬預測）已知，是方程的兩個復根，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多選題
3．（2024·河南·二模）已知復數，是的共軛復數，則下列說法正確的是（ ）
A．的實部為
B．復數在復平面中對應的點在第四象限
C．
D．
4．（2023·重慶·二模）已知復數，，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則或
C．若且，則 D．若，則
三、填空題
5．（22-23高三上·天津南開·期中）已知（i為虛數單位，）為純虛數，則 ．
6．（2024·福建廈門·三模）復數滿足，，則 .
反思提升：
(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.
【考點3】復數的幾何意義
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）如圖，復數對應的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·湖南長沙·一模）復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預測）已知是復數，且為純虛數，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點不在實軸上 D．的最大值為
4．（2024·江西·二模）已知復數（且，為虛數單位），若，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面上對應的點位于第四象限
B．
C．
D．若復數滿足，則在復平面內對應的點構成的圖形的面積為
三、填空題
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復平面內，復數所對應的點的坐標為，則 .
6．（2024·安徽·模擬預測）若復數在復平面內對應的點位于第三象限，則實數的取值范圍是 .
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數形結合的方法，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，使問題的解決更加直觀.
【考點4】復數與方程
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·二模）關于 的方程 在復數范圍內的兩個根 ，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北邢臺·二模）已知復數，，下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若是關于x的方程（p，）的一個根，則
C．若，則
D．若，則或
二、多選題
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知，方程有一個虛根為，為虛數單位，另一個虛根為，則（ ）
A． B．該方程的實數根為1
C． D．
4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關于的方程的兩個根，其中，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數單位），z為實系數方程的一個根，則 ．
6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數單位）是關于的實系數一元二次方程的一個虛根，則實數 .
反思提升：
(1)對實系數二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復系數(至少有一個系數為虛數)方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高一下·浙江·期中）若復數滿足，則的虛部為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西景德鎮·三模）下列有關復數，的等式中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西宜春·模擬預測）若為純虛數，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知（為虛數單位），則的虛部是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
5．（2024·河北滄州·模擬預測）復數，則下列說法正確的有（ ）
A．在復平面內對應的點都位于第四象限
B．在復平面內對應的點在直線上
C．
D．的最小值為4
6．（2024·福建泉州·模擬預測）若則（ ）
A． B．
C． D．是純虛數
7．（2024·福建福州·三模）已知復數，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若，則或 D．若且，則
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足，則的最小值為 .
9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數單位，復數滿足，則復數的虛部為 ．
10．（2024·北京·三模）若是純虛數，則實數a的值為 .
四、解答題
11．（22-23高一下·福建三明·階段練習）已知復數.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全國·對口高考）已知復數（a，），存在實數t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·河南商丘·模擬預測）已知復數和滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多選題
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足：為純虛數，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．的最小值為3 D．的最小值為3
三、填空題
3．（2024·上海靜安·二模）已知是虛數單位，復數是純虛數，則實數的值為 ．
四、解答題
4．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）已知復數，為z的共軛復數，且．
(1)求m的值；
(2)若是關于x的實系數一元二次方程的一個根，求該一元二次方程的另一復數根．
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·上海奉賢·一模）復數的模為1，其中為虛數單位，，則這樣的一共有（ ）個.
A．9 B．10 C．11 D．無數
二、多選題
2．（23-24高三上·遼寧·開學考試）設復數，且,其中為確定的復數，下列說法正確的是（ ）.
A．若，則是實數
B．若，則存在唯一實數對使得
C．若 ，則 在復平面內對應的點的軌跡是射線
D．若，則
三、填空題
3．（2022·江蘇鎮江·模擬預測）若為虛數單位，復數滿足，則的最大值為 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題31 復數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】復數的概念 7
【考點2】復數的四則運算 10
【考點3】復數的幾何意義 13
【考點4】復數與方程 16
【分層檢測】 19
【基礎篇】 19
【能力篇】 25
【培優篇】 27
考試要求：
1.理解復數的基本概念.
2.理解復數相等的充要條件.
3.了解復數的代數表示法及其幾何意義.
4.能進行復數代數形式的四則運算.
5.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.
1.復數的有關概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位).
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的 分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.復數的幾何意義
復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.
3.復數的運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.復數的模與共軛復數的關系
z·＝|z|2＝||2.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2023·全國·高考真題）在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）已知，且，其中a，b為實數，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2021·全國·高考真題）復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2021·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
參考答案：
1．C
【分析】根據復數的代數運算以及復數相等即可解出．
【詳解】因為，
所以，解得：．
故選：C.
2．B
【分析】由題意首先計算復數的值，然后利用共軛復數的定義確定其共軛復數即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：B.
3．A
【分析】根據復數的除法運算求出，再由共軛復數的概念得到，從而解出．
【詳解】因為，所以，即．
故選：A．
4．A
【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為，
則所求復數對應的點為，位于第一象限.
故選：A.
5．D
【分析】利用復數的乘法可求.
【詳解】，
故選：D.
6．C
【分析】由共軛復數的概念及復數的運算即可得解.
【詳解】
故選 ：C
7．A
【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可
【詳解】
由,結合復數相等的充要條件為實部、虛部對應相等，
得,即
故選:
8．D
【分析】利用復數的除法可求，從而可求.
【詳解】由題設有，故，故，
故選：D
9．A
【分析】利用復數的除法可化簡，從而可求對應的點的位置.
【詳解】，所以該復數對應的點為，
該點在第一象限，
故選：A.
10．C
【分析】設，利用共軛復數的定義以及復數的加減法可得出關于、的等式，解出這兩個未知數的值，即可得出復數.
【詳解】設，則，則，
所以，，解得，因此，.
故選：C.
11．C
【分析】利用復數的乘法和共軛復數的定義可求得結果.
【詳解】因為，故，故
故選：C.
12．B
【分析】由已知得，根據復數除法運算法則，即可求解.
【詳解】，
.
故選：B.
【考點1】復數的概念
一、單選題
1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復數的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
2．（2024·河南鄭州·三模）復數（且），若為純虛數，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復數，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．（2024·山東濟寧·三模）已知復數，則下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
三、填空題
5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數單位，若是以的實部為虛部、以的虛部為實部的復數，則的共軛復數的模長為 .
6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數，則，其中為虛數單位，已知復數， 則 ，的實部為 ．
參考答案：
1．D
【分析】由錯位相減法化簡復數后再由復數的運算和復數的幾何意義求出結果即可.
【詳解】因為，
，
所以，①
因為，所以，，
所以化簡①可得，
所以虛部為，
故選：D.
2．A
【分析】求出，根據為純虛數即可求解.
【詳解】，
因為為純虛數，所以，
所以.
故選：A.
3．BCD
【分析】利用共軛復數的定義可判定A、C，利用復數的乘法運算法則結合模長公式可判定B、D.
【詳解】對于A，由，得，則A錯誤.
對于B，因為，所以，解得或（舍去），則B正確.
對于C，設（，且），
則，所以，則C正確.
對于D，由，得.
設（，且），則，
，從而，則D正確.
故選：BCD
4．AC
【分析】根據復數加法、乘法、乘方運算，結合復數的幾何意義計算，依次判斷選項即可.
【詳解】A：設，則，
所以，
，則，故A正確；
B：設，則，
所以，
，則，故B錯誤；
C：由選項A知，，，
又，所以，不一定有，即推不出；
由，得，則，則，即，
所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；
D：設，則，
若，則，即，推不出；
若，則，
又，
同理可得，所以，；
所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯誤.
故選：AC
5．
【分析】根據復數的實部、虛部的概念可得，再結合共軛復數和模長公式運算求解.
【詳解】因為的實部為2，的虛部為2，
由題意可知：，則，
所以的共軛復數的模長為.
故答案為：.
6． /
【分析】化解復數，由棣莫弗定理可得， ，根據復數模及共軛復數定義即可求解.
【詳解】因為復數，
所以由棣莫弗定理可得，
，
所以.
所以，
所以的實部為.
故答案為：①985；②.
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數，則虛部b＝0，與實部a無關；若z為虛數，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數，當且僅當a＝0且b≠0.
2.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數為＝a－bi，則z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，則＝z.
【考點2】復數的四則運算
一、單選題
1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·云南·模擬預測）已知，是方程的兩個復根，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多選題
3．（2024·河南·二模）已知復數，是的共軛復數，則下列說法正確的是（ ）
A．的實部為
B．復數在復平面中對應的點在第四象限
C．
D．
4．（2023·重慶·二模）已知復數，，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則或
C．若且，則 D．若，則
三、填空題
5．（22-23高三上·天津南開·期中）已知（i為虛數單位，）為純虛數，則 ．
6．（2024·福建廈門·三模）復數滿足，，則 .
參考答案：
1．D
【分析】利用復數的乘方運算和四則運算法則求出復數，繼而得的虛部.
【詳解】由，
則，的虛部為2.
故選：D.
2．B
【分析】
利用求根公式求出兩個復根，然后利用復數的運算法則及模的公式直接計算即可.
【詳解】
已知，是方程的兩個復根，所以，
則設，，所以，
故選：B.
3．ABD
【分析】先化簡得到，然后用實部和共軛實數的定義判斷A和B選項；由于虛數不能比較大小，故C錯誤；直接計算即知D正確.
【詳解】我們有，故的實部為，A正確；
由知，所以在復平面中對應的點是，在第四象限，B正確；
都不是實數，它們不能比較大小，C錯誤；
，D正確.
故選：ABD.
4．BCD
【分析】根據復數的特征、幾何意義以及復數運算判斷各選項即可.
【詳解】對于A，若，例如：，則，故A錯誤；
對于B，若，則，所以或至少有一個成立，即或，故B正確；
對于C，由，則，∵，∴，故C正確；
對于D：若，則，故D正確.
故選：BCD.
5．
【分析】根據復數的除法運算法則，化簡復數，根據復數的概念即可求解.
【詳解】
因為復數為純虛數，所以，.
故答案為：-3.
6．
【分析】根據復數的運算以及模長公式求解即可.
【詳解】設，則，
由，，
得，解得，
所以，
故答案為：.
反思提升：
(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.
【考點3】復數的幾何意義
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）如圖，復數對應的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·湖南長沙·一模）復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預測）已知是復數，且為純虛數，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點不在實軸上 D．的最大值為
4．（2024·江西·二模）已知復數（且，為虛數單位），若，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面上對應的點位于第四象限
B．
C．
D．若復數滿足，則在復平面內對應的點構成的圖形的面積為
三、填空題
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復平面內，復數所對應的點的坐標為，則 .
6．（2024·安徽·模擬預測）若復數在復平面內對應的點位于第三象限，則實數的取值范圍是 .
參考答案：
1．D
【分析】首先根據復數的幾何意義設出復數，再根據復數模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【詳解】由題圖可知，，則，
解得（舍去），
所以，，則向量在向量上的投影向量為，
所以其坐標為．
故選：D
2．B
【分析】由復數四則運算以及幾何意義即可得解.
【詳解】由題意，所以復數在復平面內對應的點位于第二象限.
故選：B.
3．ABC
【分析】先設，代入中并化簡，根據為純虛數得到的關系可判斷A，C；計算判斷B；由復數模的幾何意義得到的最大值為判斷D．
【詳解】由題意設，則．因為為純虛數，所以，且，因此，在復平面內對應的點不在實軸上，所以A，C正確；，所以B正確；表示圓上的點到點的距離，且最大距離為，所以D不正確．
故選：ABC．
【點睛】方法點睛：本題考查復數的運算與幾何意義，對于復數的模，共軛復數，復數的分類包括方程的復數解或實數解等問題可以設，代入運算后利用復數相等或復數的定義得出實數的關系，達到求解的目的．
4．ACD
【分析】由共軛復數的定義，根據復數乘法求得，再由復數的幾何意義及復數的運算判斷各選項．
【詳解】由題意可知，復數，
共軛復數為，
對于A，由得，
所以或（舍去）.
所以復數，共軛復數，
則共軛復數在復平面上對應的點為，位于第四象限，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，設復數，
所以，
即
故復數在復平面對應的點構成的圖形的面積為，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】由已知求得，進一步得到，再根據復數代數形式的乘法運算法則計算可得．
【詳解】解：由題意，，
，
．
故答案為：2．
6．
【分析】由實部和虛部都小于零解不等式組求出即可.
【詳解】由題意得，，解得，
∴實數的取值范圍是.
故答案為：.
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數形結合的方法，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，使問題的解決更加直觀.
【考點4】復數與方程
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·二模）關于 的方程 在復數范圍內的兩個根 ，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北邢臺·二模）已知復數，，下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若是關于x的方程（p，）的一個根，則
C．若，則
D．若，則或
二、多選題
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知，方程有一個虛根為，為虛數單位，另一個虛根為，則（ ）
A． B．該方程的實數根為1
C． D．
4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關于的方程的兩個根，其中，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數單位），z為實系數方程的一個根，則 ．
6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數單位）是關于的實系數一元二次方程的一個虛根，則實數 .
參考答案：
1．D
【分析】根據求根公式求出，在根據復數的四則運算以及復數模的公式即可逐個判斷。
【詳解】由題設方程，不妨取，，
根據韋達定理知，，故A，B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確；
故選：D
2．C
【分析】對于A，令即可判斷；對于D，令即可判斷；對于B，由韋達定理即可驗算；對于C，由共軛復數以及模的運算公式即可判斷.
【詳解】對于A，令，顯然，但都不等于0，故A錯誤；
對于B，由于一元二次方程的虛根是以共軛復數的形式成對出現的，
所以若是關于x的方程（p，）的一個根，
則也是關于x的方程（p，）的一個根，
從而由韋達定理有，故B錯誤；
對于C，設，
而，
所以，故C正確；
對于D，取，顯然有，但不滿足且，故D錯誤.
故選：C.
3．BD
【分析】將代入方程中，結合復數相等的充要條件，即可求解，進而結合選項即可逐一求解.
【詳解】由是方程的根，得，
整理得，而，因此，解得，
對于A，，A錯誤；
對于BC，方程，變形為，
顯然此方程還有一個實根1，另一個虛根，B正確，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：BD
4．ACD
【分析】根據虛根成對原理得到，即可判斷A，再根據復數代數形式的乘法運算判斷B，利用韋達定理判斷C、D.
【詳解】因為是關于的方程的兩個根且，
所以，即，故A正確；
，，所以，故B錯誤；
因為，所以，故C正確；
又，故D正確.
故選：ACD
5．
【分析】
由復數的除法求出，利用韋達定理求出的值即可.
【詳解】已知，則，，
z為實系數方程的一個根，則，，
所以.
故答案為：
6．-2
【分析】利用實系數一元二次方程的虛根成對原理和根與系數的關系即可得出.
【詳解】（i為虛數單位）是關于的實系數一元二次方程的一個虛根，
（i為虛數單位）也是關于的實系數一元二次方程的一個虛根，
，解得.
故答案為：-2.
反思提升：
(1)對實系數二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復系數(至少有一個系數為虛數)方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（23-24高一下·浙江·期中）若復數滿足，則的虛部為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西景德鎮·三模）下列有關復數，的等式中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西宜春·模擬預測）若為純虛數，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知（為虛數單位），則的虛部是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
5．（2024·河北滄州·模擬預測）復數，則下列說法正確的有（ ）
A．在復平面內對應的點都位于第四象限
B．在復平面內對應的點在直線上
C．
D．的最小值為4
6．（2024·福建泉州·模擬預測）若則（ ）
A． B．
C． D．是純虛數
7．（2024·福建福州·三模）已知復數，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若，則或 D．若且，則
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足，則的最小值為 .
9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數單位，復數滿足，則復數的虛部為 ．
10．（2024·北京·三模）若是純虛數，則實數a的值為 .
四、解答題
11．（22-23高一下·福建三明·階段練習）已知復數.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全國·對口高考）已知復數（a，），存在實數t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】根據復數模的運算和商的運算化簡復數，然后根據虛部的概念求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以的虛部為.
故選：B
2．A
【分析】利用代數形式的復數加法、乘法運算，結合復數的模及共軛計算判斷BCD；舉例說明判斷A.
【詳解】設，
對于A，令，，A錯誤；
對于B，
，B正確；
對于C，，
則，，
因此，C正確；
對于D，，D正確.
故選：A
3．A
【分析】由復數的乘法和除法運算化簡復數，由題意可得且，解方程即可得出答案.
【詳解】由題得，
因為為純虛數．所以且，
解得．
故選：A．
4．C
【分析】先化簡復數，再利用復數虛部的概念求解.
【詳解】因為復數，所以的虛部是1.
故選：C
5．BC
【分析】由復數的幾何意義，即可判斷A和B；根據共軛復數的概念及復數的加減運算法則判斷C；由復數的模即可判斷D．
【詳解】對于AB，因為，所以在復平面內對應的點為，故A錯誤，B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，當時，取最小值為2，故D錯誤；
故選：BC．
6．AB
【分析】根據復數的幾何意義得到復數點所對應的軌跡，再利用共軛復數的概念即可判斷AB；舉反例即可判斷CD.
【詳解】利用復數的幾何意義知在復平面內，對應的點在對應線段的中垂線即直線上，
對A，因為直線上的點到點的距離相等，則A正確；
對B，因為與關于實軸對稱，則對應的點在直線上，且該直線上的點到點的距離相等，所以B正確；
對C，在直線上取點，則其所對應的復數為，則，則，故C錯誤；
對D，在直線上取點，則其所對應的復數為，則，故D錯誤.
故選：AB.
7．BCD
【分析】通過列舉特殊復數驗證A；設，則，通過復數計算即可判斷B；由得，即可判斷C；設，通過復數計算即可判斷D.
【詳解】對于A，設，則，所以，而，
所以，故A不正確；
對于B，設，
則，故B正確；
對于C，若，所以，所以，
所以 或，所以至少有一個為0，故C正確.
對于D，設，則，
所以，而，
所以，故D正確.
故選：BCD.
8．
【分析】設，由條件得，所求式消元后化成，結合點的軌跡圖形特征，求得的范圍，結合函數單調性即得的最小值.
【詳解】設，由兩邊平方整理得：，
即而，
作出復數對應的點的軌跡的圖形如圖.
易得，因在定義域內為增函數，
故，
即當且僅當時，取最小值.
故答案為:.
9．/
【分析】首先求出，再根據復數代數形式的除法運算化簡復數，即可判斷其虛部.
【詳解】因為，又，
所以，
所以復數的虛部為.
故答案為：
10．
【分析】求出復數的代數形式，然后根據純虛數的定義列方程求解即可.
【詳解】，
因為是純虛數，
所以，得.
故答案為：
11．(1)，
(2)
【分析】（1）根據復數相等的概念，即可求得答案；
（2）根據復數的除法運算，可求得答案.
【詳解】（1）由題意復數，
則由可得；
（2）當,時，，
故.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）對化簡整理可得，結合復數的相等分析運算；（2）根據復數模長的定義和公式，結合運算求解.
【詳解】（1）∵，則，
由復數相等，消去t得，
故為定值.
（2）
∵，且
∴，
又∵，即，則，整理得，
∴原不等式組即為，解得，
故a的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·河南商丘·模擬預測）已知復數和滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多選題
2．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足：為純虛數，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．的最小值為3 D．的最小值為3
三、填空題
3．（2024·上海靜安·二模）已知是虛數單位，復數是純虛數，則實數的值為 ．
四、解答題
4．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）已知復數，為z的共軛復數，且．
(1)求m的值；
(2)若是關于x的實系數一元二次方程的一個根，求該一元二次方程的另一復數根．
參考答案：
1．A
【分析】設，利用復數的模長結合已知組成方程組，解出即可.
【詳解】設
因為，所以，即，①
又，所以，即，②
又，所以，即，③
②③可得，④
把①代入④可得，
所以，故A正確；
故選：A.
2．ABD
【分析】借助復數的基本概念與模長運算可得A；借助復數的幾何意義計算可得B；借助圓與直線的距離可得C、D.
【詳解】對A：為純虛數，可設選項A正確；
對B：設，，
則，即，
則所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
，選項B正確；
對C：為純虛數，對應點在軸上（除去原點），
所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
的取值范圍為，無最小值，選項C錯誤；
對D： ，
表示點到以為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，
為純虛數或0，在軸上（除去點），
當時取得最小值3，∴選項D正確.
故選：ABD．
3．/
【分析】根據題意，由復數的運算，結合純虛數的定義即可得到結果.
【詳解】因為，
所以復數是純虛數，則滿足，則，
故答案為：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據共軛復數的概念，結合復數的加法運算即可求解參數的值；
（2）首先將代入一元二次方程中求出參數，的值，然后再根據求根公式求解另外一個復數根即可.
【詳解】（1）已知，則，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，將代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
帶入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一個復數根為
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·上海奉賢·一模）復數的模為1，其中為虛數單位，，則這樣的一共有（ ）個.
A．9 B．10 C．11 D．無數
二、多選題
2．（23-24高三上·遼寧·開學考試）設復數，且,其中為確定的復數，下列說法正確的是（ ）.
A．若，則是實數
B．若，則存在唯一實數對使得
C．若 ，則 在復平面內對應的點的軌跡是射線
D．若，則
三、填空題
3．（2022·江蘇鎮江·模擬預測）若為虛數單位，復數滿足，則的最大值為 .
參考答案：
1．C
【分析】先根據復數的模為1及復數模的運算公式，求得即，接下來分與兩種情況進行求解，結合，求出的個數.
【詳解】，其中，所以，即，，當時，①，，所以，，因為，所以或；②，，所以，，因為，所以，，，，或；當時，①，，即，，因為，所以，②，，即，，因為，所以，，，，，綜上：，，一共有11個.
故選：C
2．ACD
【分析】根據復數的概念及運算性質，以及共軛復數的性質和復數模的性質，逐項計算，即可求解.
【詳解】對于A中，若，因為，則，可得，
設，則，所以A正確；
對于B中，由A得，設，若，
則，
只要或，選項B就不正確；
例如：，此時，
可表示為或，
所以表示方法不唯一，所以B錯誤.
對于C中，若，則，可得，
則，所以且，
設，則，其中，
則復數對應的向量與復數對應的向量方向共線，且長度是倍，
故在復平面內對應的點的軌跡是射線（且與方向共線），所以C正確.
對于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因為，所以成立，
所以成立，所以D正確.
故選：ACD.
3．
【分析】利用復數的幾何意義知復數對應的點到點的距離滿足，表示復數對應的點到點的距離，數形結合可求得結果.
【詳解】復數滿足，即
即復數對應的點到點的距離滿足
設，表示復數對應的點到點的距離
數形結合可知的最大值
故答案為：
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