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專題35 數列求和（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】分組轉化求和 4
【考點2】裂項相消法求和 5
【考點3】錯位相減法求和 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.
2.掌握非等差數列，非等比數列求和的幾種常見方法.
1.特殊數列的求和公式
(1)等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式：
Sn＝
2.數列求和的幾種常用方法
(1)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.
(2)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂項求和常用的三種變形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
2．（2024·天津·高考真題）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）求．
3．（2024·全國·高考真題）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
4．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
6．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
7．（2022·天津·高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
8．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
【考點1】分組轉化求和
一、解答題
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
2．（23-24高二下·河南·期中）已知數列 的首項 且
(1)證明: 是等比數列；
(2)求數列 的前項和.
3．（2024·廣西·模擬預測）記數列的前n項和為，對任意正整數n，有．
(1)求數列的通項公式；
(2)對所有正整數m，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數列，求的前91項和．
4．（2024·陜西·三模）數列的前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令，并將數列稱為的“生成數列”．
(1)設數列的“生成數列”為，求證：；
(2)若，求其生成數列的前項和．
反思提升：
1.若數列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和.
2.若數列{cn}滿足cn＝其中數列{an}，{bn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
【考點2】裂項相消法求和
一、解答題
1．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數的取值范圍.
2．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項數列中，，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)，證明：.
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在等差數列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前項和為，證明.
4．（2024·福建泉州·二模）己知數列和的各項均為正，且，是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
反思提升：
1.用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如：＝(－)，＝(－)，裂項后可以產生連續相互抵消的項.
2.消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.
【考點3】錯位相減法求和
一、解答題
1．（2024高三下·四川成都·專題練習）已知數列的前項和為，且滿足．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)已知，求數列的前項和．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
3．（2024·河南·三模）已知數列的各項都為正數，且其前項和.
(1)證明：是等差數列，并求；
(2)如果，求數列的前項和.
4．（2024·山西太原·三模）已知等比數列的前項和為，且也是等比數列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
反思提升：
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形.
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.
③應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2020·內蒙古包頭·二模）已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前20項和為（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
2．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設從上往下各層的球數構成數列，則（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·二模）設數列滿足．設為數列的前項的和，則（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
4．（2022高三·全國·專題練習）已知數列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數列{an}的前n項和，則S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多選題
5．（21-22高二下·全國·單元測試）已知數列的前n項和為，數列的前項和為，則下列選項正確的為（ ）
A．數列是等差數列 B．數列是等比數列
C．數列的通項公式為 D．
6．（2023·遼寧·二模）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設各層球數構成一個數列，且，數列的前n項和為，則正確的選項是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2021·湖南衡陽·一模）設數列的前項和為，若為常數，則稱數列為“吉祥數列”.則下列數列為“吉祥數列”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（2024·山東濟南·三模）數列滿足，若，，則數列的前20項的和為 ．
9．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續量問題轉化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則 ．

10．（2022·上海·模擬預測）設是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數列，若，則數列的前n項和為 ．
四、解答題
11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
12．（2024·黑龍江·三模）已知等差數列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設求數列的前20項和.
【能力篇】
一、單選題
1．（2022·安徽·模擬預測）已知數列，的通項公式分別為，，現從數列中剔除與的公共項后，將余下的項按照從小到大的順序進行排列，得到新的數列，則數列的前150項之和為（ ）
A．23804 B．23946 C．24100 D．24612
二、多選題
2．（2024·江西·三模）已知數列滿足，則（ ）
A．數列是等比數列 B．數列是等差數列
C．數列的前項和為 D．能被3整除
三、填空題
3．（2024·云南昆明·一模）記為數列的前項和，已知則 ．
四、解答題
4．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足.
①求數列的前n項和；
②若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.
【培優篇】
一、解答題
1．（2024·天津·二模）設是等差數列，其前項和，是等比數列，且，，.
(1)求與的通項公式；
(2)設，求數列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
2．（2024·湖南衡陽·三模）已知正項數列的前項和為，首項.
(1)若，求數列的通項公式；
(2)若函數，正項數列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
3．（2024·河北秦皇島·三模）將保護區分為面積大小相近的多個區域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區域進行編號，統計抽取到的每個區域的某種水源指標和區域內該植物分布的數量，得到數組.已知，，.
(1)求樣本的樣本相關系數；
(2)假設該植物的壽命為隨機變量（可取任意正整數），研究人員統計大量數據后發現，對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數量占比相同，均為0.1，這種現象被稱為“幾何分布的無記憶性”.
（i）求的表達式；
（ii）推導該植物壽命期望的值（用表示，取遍），并求當足夠大時，的值.
附：樣本相關系數；當足夠大時，.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題35 數列求和（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 13
【考點1】分組轉化求和 13
【考點2】裂項相消法求和 17
【考點3】錯位相減法求和 21
【分層檢測】 25
【基礎篇】 25
【能力篇】 33
【培優篇】 35
考試要求：
1.熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.
2.掌握非等差數列，非等比數列求和的幾種常見方法.
1.特殊數列的求和公式
(1)等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數列的前n項和公式：
Sn＝
2.數列求和的幾種常用方法
(1)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.
(2)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂項求和常用的三種變形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
2．（2024·天津·高考真題）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）求．
3．（2024·全國·高考真題）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
4．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
6．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
7．（2022·天津·高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
8．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
2．(1)
(2)①證明見詳解；②
【分析】（1）設等比數列的公比為，根據題意結合等比數列通項公式求，再結合等比數列求和公式分析求解；
（2）①根據題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據題意結合等差數列求和公式可得，再結合裂項相消法分析求解.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
因為，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當時，則，即
可知，
，
可得，
當且僅當時，等號成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當時，，可知為等差數列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
【點睛】關鍵點點睛：1.分析可知當時，，可知為等差數列；
2.根據等差數列求和分析可得.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．
（2）利用錯位相減法可求.
【詳解】（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，
∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
5．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
6．(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；
（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
7．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數列的通項公式進行基本量運算即可得解；
（2）由等比數列的性質及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；
（3）先求得，進而由并項求和可得，再結合錯位相減法可得解.
【詳解】（1）設公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因為所以要證，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因為
，
所以
，
設
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
8．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導函數法
設，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；
方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優解；
方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，
方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.
【考點1】分組轉化求和
一、解答題
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
2．（23-24高二下·河南·期中）已知數列 的首項 且
(1)證明: 是等比數列；
(2)求數列 的前項和.
3．（2024·廣西·模擬預測）記數列的前n項和為，對任意正整數n，有．
(1)求數列的通項公式；
(2)對所有正整數m，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數列，求的前91項和．
4．（2024·陜西·三模）數列的前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令，并將數列稱為的“生成數列”．
(1)設數列的“生成數列”為，求證：；
(2)若，求其生成數列的前項和．
參考答案：
1．(1)；
(2)
【分析】（1）根據作差得到，從而得到，結合等差數列的定義計算可得；
（2）由（1）可得，記，則，利用并項求和法計算可得.
【詳解】（1）由，，
兩式相減得，即，
因為，所以，即，
故是首項為，公差為的等差數列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
記，則，
2．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用等比數列的定義證明即可；
（2）結合（1）中結論求得的通項公式，再利用錯位相減法及分組求和法即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，，
顯然，則，
故是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）知，，所以，
則，
令，
故，
上兩式相減得，，
所以，
所以.
3．(1).
(2)11563.
【分析】（1）利用時，；時，求解即可.
（2）先確定前91項的最后一項，然后分別對其中的和插入的進行求和.
【詳解】（1）當時，．
又時，得，也滿足上式，
故．
（2）由，所以，
又，所以前91項中有87項來自，
所以
．
4．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由“生成數列”的定義證明即可；
（2）由分組求和求解即可.
【詳解】（1）由題意可知，
所以，因此，
即是單調遞增數列，且，
由“生成數列”的定義可得．
（2）當時，．
，又，
，
當時，．
設數列的前項和為．則．
當時，
又符合上式，所以．
反思提升：
1.若數列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列{cn}的前n項和.
2.若數列{cn}滿足cn＝其中數列{an}，{bn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
【考點2】裂項相消法求和
一、解答題
1．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數的取值范圍.
2．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項數列中，，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)，證明：.
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在等差數列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前項和為，證明.
4．（2024·福建泉州·二模）己知數列和的各項均為正，且，是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
參考答案：
1．(1)證明見解析，
(2).
【分析】（1）利用等比數列的定義證明，再根據等比數列的通項公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂項相消可知，進而求解二次不等式即可.
【詳解】（1）由題可知：，又，
故是首項為2，公比為2的等比數列，，即.
（2），
，且當趨于時，趨近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
2．(1)，；
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知得，得到是以為公比的等比數列，求出通項公式；
（2）求出，利用裂項相消法即可求證.
【詳解】（1）由，，
得，又，
則是以為首項，為公比的等比數列，
所以，.
（2）證明：因為
，
所以
.
3．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出等差數列的首項與公差，即可得解；
（2）利用裂項相消法求出，進而可得出結論.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由，即，解得，
所以，
所以數列的通項公式為；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化簡得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）利用遞推公式可證得數列是等差數列，可求出數列的通項；利用等比數列的性質，可求出通項；
（2）根據裂項相消和分組求和法求解即可；
【詳解】（1）由題設，當時或（舍），
由，知，
兩式相減得，
（舍）或，即，
∴數列是首項為2，公差為2的等差數列，．
又．
（2）
則
當n為偶數時，；
當n為奇數時，．
所以.
反思提升：
1.用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如：＝(－)，＝(－)，裂項后可以產生連續相互抵消的項.
2.消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.
【考點3】錯位相減法求和
一、解答題
1．（2024高三下·四川成都·專題練習）已知數列的前項和為，且滿足．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)已知，求數列的前項和．
2．（2024·陜西西安·模擬預測）記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
3．（2024·河南·三模）已知數列的各項都為正數，且其前項和.
(1)證明：是等差數列，并求；
(2)如果，求數列的前項和.
4．（2024·山西太原·三模）已知等比數列的前項和為，且也是等比數列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由與的關系，結合等比數列的定義和通項公式，可得所求；
（2）由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，可得所求和．
【詳解】（1）當時，，解得，
當時，由，可得,
兩式相減得，所以，即，
又因為，所以是首項為，公比為的等比數列，
所以，所以數列的通項公式為；
（2）由（1）知，，
所以數列 的前項和為，
可得，
兩式相減得，
所以．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列前項公式得到方程組，解出即可；
（2）首先得到，再利用錯位相減法求和即可得到答案.
【詳解】（1）設的公差為，則，，
解得，.
故.
（2）由（1）可得，
所以，①
則，②
①②，得
，
所以.
3．(1)證明見解析，
(2).
【分析】（1）借助與的關系，結合等差數列定義計算即可得解；
（2）借助錯位相減法計算即可得.
【詳解】（1）當時，或，
因為，所以，
，
兩式相減得，
因為，所以，
故是首項為1，公差為的等差數列，
；
（2）由（1）知，
，
，
則，
，
所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據是等比數列得，利用等比數列求和公式基本量運算求得，即可求出等比數列通項公式；
（2）利用對數運算得，然后利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）設數列的公比為，
由是等比數列得，
或(舍去)，
.
（2）由（1）得，所以，
，
，
兩式相減得，
.
反思提升：
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形.
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.
③應用等比數列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2020·內蒙古包頭·二模）已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前20項和為（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
2．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設從上往下各層的球數構成數列，則（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·二模）設數列滿足．設為數列的前項的和，則（ ）
A．110 B．120 C．288 D．306
4．（2022高三·全國·專題練習）已知數列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數列{an}的前n項和，則S2021=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多選題
5．（21-22高二下·全國·單元測試）已知數列的前n項和為，數列的前項和為，則下列選項正確的為（ ）
A．數列是等差數列 B．數列是等比數列
C．數列的通項公式為 D．
6．（2023·遼寧·二模）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設各層球數構成一個數列，且，數列的前n項和為，則正確的選項是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2021·湖南衡陽·一模）設數列的前項和為，若為常數，則稱數列為“吉祥數列”.則下列數列為“吉祥數列”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（2024·山東濟南·三模）數列滿足，若，，則數列的前20項的和為 ．
9．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續量問題轉化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則 ．

10．（2022·上海·模擬預測）設是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數列，若，則數列的前n項和為 ．
四、解答題
11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
12．（2024·黑龍江·三模）已知等差數列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設求數列的前20項和.
參考答案：
1．D
【解析】根據函數滿足，利用倒序相加法求出，再求前20項和.
【詳解】因為函數滿足，
①，
②，
由①②可得，，
所以數列是首項為1，公差為的等差數列，其前20項和為.
故選：D.
【點睛】本題主要考查函數的性質及倒序相加法求和，屬于基礎題.
2．B
【分析】由題可得，后由裂項求和法可得答案.
【詳解】注意到，則.
則
.
故選：B
3．A
【分析】利用分組求和法，結合已知，可得答案.
【詳解】
.
故選：A.
4．C
【分析】根據遞推關系式得出數列是周期為6的周期數列，利用周期性即可求解.
【詳解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，
故數列{an}是周期為6的周期數列，且每連續6項的和為0，
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
故選：C.
5．BCD
【分析】由數列的遞推式可得，兩邊加1后，運用等比數列的定義和通項公式可得，由數列的裂項相消求和可得.
【詳解】解：由即為，可化為，由，可得數列是首項為2，公比為2的等比數列，則，即，
又，可得
故選：BCD
6．BC
【分析】運用累和法、裂項相消法，結合等差數列的前n項和公式逐一判斷即可.
【詳解】由題意可知：，于是有，
顯然可得：， ，因此選項A不正確，選項B正確；
當 時，，
顯然適合上式，，因此選項D不正確；
，
，因此選項C正確，
故選：BC
7．BC
【分析】按照求和方法對各個選項逐一求和驗證即可得出結論.
【詳解】對于A，，，，
所以不為常數，故A不正確；
對于B，由并項求和法知：，，，故B正確；
對于C，，，，
所以，故C正確；
對于D，，，，
所以不為常數，故D錯誤；
故選：BC.
8．210
【分析】數列的奇數項、偶數項都是等差數列，結合等差數列求和公式、分組求和法即可得解.
【詳解】數列滿足，若，，則，
所以數列的奇數項、偶數項分別構成以1，2為首項，公差均為2的等差數列
所以數列的前20項的和為
.
故答案為：210.
9．/
【分析】根據給定條件，求出數列的遞推關系，利用累加法求出通項，再利用裂項相消法求和作答.
【詳解】依題意，在數列中，，
當時，，滿足上式，
因此，，數列的前項和為，
則，
所以.
故答案為：
10．
【分析】根據圖像結合幾何知識可證，利用錯位相減法求數列的前n項和．
【詳解】的傾斜角，設圓、與直線的切點分別為，連接，過作，垂足為，
則
∵，整理得
數列是以首項，公比的等比數列，即
∴，設數列的前n項和為，則有：
兩式相減得：
即
故答案為：．
11．(1)
(2)．
【分析】（1）設等比數列的公比為，由已知條件和等比數列基本量的計算，求出數列首項和公比，得通項公式；
（2）利用錯位相減法可得數列的前n項和．
【詳解】（1）設數列的公比為，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
兩式相減得，
∴．
12．(1)數列的通項公式為；
(2)數列的前20項和為.
【分析】（1）根據等差中項求出，再根據求出公差，最后根據等差數列的通項公式，求出的通項公式；
（2）先寫出，對為偶數的情況進行裂項，再用分組求和法求出.
【詳解】（1）因為為等差數列，且與的等差中項為5，
所以，解得，
因為，
所以，解得，
因為，所以，
所以，
故數列的通項公式為；
（2）由題知，
即
所以
，
故數列的前20項和為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2022·安徽·模擬預測）已知數列，的通項公式分別為，，現從數列中剔除與的公共項后，將余下的項按照從小到大的順序進行排列，得到新的數列，則數列的前150項之和為（ ）
A．23804 B．23946 C．24100 D．24612
二、多選題
2．（2024·江西·三模）已知數列滿足，則（ ）
A．數列是等比數列 B．數列是等差數列
C．數列的前項和為 D．能被3整除
三、填空題
3．（2024·云南昆明·一模）記為數列的前項和，已知則 ．
四、解答題
4．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足.
①求數列的前n項和；
②若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】易得數列為偶數列，為數列，故只需分析偶數列中的項即可
【詳解】因為，，，故數列的前項中包含的前項，故數列的前150項包含的前項排除與公共的8項.
記數列，的前項和分別為，，
故選：D.
2．BCD
【分析】利用構造法得到數列是等比數列，從而求得通項，就可以判斷選項，對于數列求和，可以用分組求和法，等比數列公式求和完成，對于冪的整除性問題可以轉化為用二項式定理展開后，再加以證明.
【詳解】由可得：，所以數列是等比數列，即，
則顯然有，所以不成等比數列，故選項A是錯誤的；
由數列是等比數列可得：，即，故選項B是正確的；
由可得：前項和，故選項C是正確的；
由
，故選項D是正確的；
方法二：由，1024除以3余數是1，所以除以3的余數還是1，從而可得能補3整除，故選項D是正確的；
故選：BCD．
3．
【分析】注意到，進一步由裂項相消法即可求解.
【詳解】由題意，
所以
.
故答案為：.
4．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用數列的遞推關系求的通項公式；
（2）①利用錯位相減求和即可；②設，根據數列的單調性，分n為偶數、為奇數討論可得答案.
【詳解】（1）因為①，
當時，，當時，②，
得，即；因為符合，所以；
（2）①，由（1）知，所以，，
所以，兩式相減得，
，
所以；
②，由①得，
設，則數列是遞增數列.
當n為偶數時，恒成立，所以；
當n為奇數時，恒成立，所以即.
綜上，的取值范圍是.
【培優篇】
一、解答題
1．（2024·天津·二模）設是等差數列，其前項和，是等比數列，且，，.
(1)求與的通項公式；
(2)設，求數列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
2．（2024·湖南衡陽·三模）已知正項數列的前項和為，首項.
(1)若，求數列的通項公式；
(2)若函數，正項數列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
3．（2024·河北秦皇島·三模）將保護區分為面積大小相近的多個區域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區域進行編號，統計抽取到的每個區域的某種水源指標和區域內該植物分布的數量，得到數組.已知，，.
(1)求樣本的樣本相關系數；
(2)假設該植物的壽命為隨機變量（可取任意正整數），研究人員統計大量數據后發現，對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數量占比相同，均為0.1，這種現象被稱為“幾何分布的無記憶性”.
（i）求的表達式；
（ii）推導該植物壽命期望的值（用表示，取遍），并求當足夠大時，的值.
附：樣本相關系數；當足夠大時，.
參考答案：
1．(1)，
(2)
(3).
【分析】（1）結合等差數列的通項公式，求和公式以及等比數列的通項公式進行求解；
（2）可以采取分組求和的方式，即將奇數項與偶數項的和分開求解，再利用錯位相減法以及裂項相消法分別求和；
（3）對于求參數的范圍，一般可以采用分離參數的方法，對于求后面式子的最值，結合函數的單調性進行分析求解．
【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
由，，又，，，
由，，又，，，
，，
即，．
（2）當為奇數時，，
記，則有
，
，
得：
，
，
，
當為偶數時，，
記，
，
．
（3）由與恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
設，
，
單調遞增，
又，
，
．
2．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，結合變形，再利用等差數列求出通項.
（2）（i）利用導數證明不等式，由此放縮各，再利用分組求和法求解即得；（ii）由（i）推理證得及，再利用裂項相消法求和推理即得.
【詳解】（1）正項數列中，，，，當時，，
兩式相減得，即，
而，則，因此數列是首項為1，公差為2的等差數列，
所以數列的通項公式為.
（2）（i）令，求導得，當時，，當時，，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，
于是，
即，即，
當時，，
當時，因此，
所以
（ii）由已知，所以，得，
當時，，于是，
當時，，
又，所以，恒有，當時，，
由，得當時，，
則當時，，
從而
，
于是，
所以.
【點睛】思路點睛：給出與的遞推關系，求，常用思路是：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與n之間的關系，再求.
3．(1)0.8
(2)（i）；（ii），10
【分析】（1）利用相關系公式計算即可；
（2）（i）由題意可得，進而可得，可得；
（ii）由定義知，，由錯位相減法可得，可求足夠大時，的值.
【詳解】（1）由，，.
得樣本相關系數，.
（2）（i）依題意，，
又，
則，
當時，把換成，
則，
兩式相減得，
即，
又，
所以對任意都成立，
從而是首項為0.1，公比為0.9的等比數列，
所以.
（ii）由定義知，，
而，，
顯然，
于是，
兩式相減得，
因此，
當足夠大時，，
則，可認為，
所以該植物壽命期望的值是10.
【點睛】方法點睛：如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解．
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