資源簡(jiǎn)介

專題36 基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（新高考專用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 4
【考點(diǎn)突破】 5
【考點(diǎn)1】基本立體圖形 5
【考點(diǎn)2】表面積與體積 7
【考點(diǎn)3】與球有關(guān)的切、接問題 9
【分層檢測(cè)】 11
【基礎(chǔ)篇】 11
【能力篇】 14
【培優(yōu)篇】 16
考試要求：
1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).
2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖.
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺(tái)
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側(cè)棱 平行且相等 相交于一點(diǎn)，但不一定相等 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法.
(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
圓柱 圓錐 圓臺(tái)
側(cè)面展開 圖
側(cè)面積公 式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l
4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積
名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh
臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，
(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a；
(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
2.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
3.正四面體的外接球的半徑R＝a，內(nèi)切球的半徑r＝a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng)).
4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝S原圖形.
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
6．（2023·全國(guó)·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
三、填空題
7．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為 ．
8．（2023·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則 ．
9．（2023·全國(guó)·高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是 ．
10．（2023·全國(guó)·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個(gè)公共點(diǎn)．
11．（2023·全國(guó)·高考真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為 ．
12．（2023·全國(guó)·高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為 ．
【考點(diǎn)1】基本立體圖形
一、單選題
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圓為梯形的內(nèi)切圓，并與，分別切于點(diǎn)，，如圖所示，以所在的直線為軸，梯形和圓分別旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積分別為，，則值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F之間有固定的關(guān)系，即著名的歐拉公式：.如圖所示為上世紀(jì)八十年代科學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)的碳60的電子顯微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)均為碳原子，且每個(gè)頂點(diǎn)引出三條棱，形似足球.根據(jù)以上信息知，碳60的所有面中五邊形的個(gè)數(shù)是（ ）

A．12 B．20 C．32 D．40
二、多選題
3．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體．已知，則關(guān)于圖中的半正多面體，下列說法正確的有（ ）
A．該半正多面體的體積為
B．該半正多面體過三點(diǎn)的截面面積為
C．該半正多面體外接球的表面積為
D．該半正多面體的表面積為
4．（2024·新疆喀什·二模）如圖圓臺(tái)，在軸截面中，，下面說法正確的是（ ）
A．線段
B．該圓臺(tái)的表面積為
C．該圓臺(tái)的體積為
D．沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5
三、填空題
5．（21-22高三上·廣東潮州·期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，，已知?jiǎng)狱c(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為，則該棱錐的外接球的體積為 .
6．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為 .

反思提升：
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.
(2)通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.
(3)在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.”
(4)按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：
S直觀圖＝S原圖形.
(5)幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.
【考點(diǎn)2】表面積與體積
一、單選題
1．（2024·天津紅橋·二模）如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)正四棱臺(tái)物件放入有一定深度的電解槽中，對(duì)其表面進(jìn)行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，且為下底邊長(zhǎng)的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為，則該物件的高為（ ）
A． B．1 C． D．3
二、多選題
3．（2021·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號(hào)坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對(duì)稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長(zhǎng)，外徑長(zhǎng)，筒高，中部為棱長(zhǎng)是的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（ ）
A．該玉琮的體積為() B．該玉琮的體積為()
C．該玉琮的表面積為() D．該玉琮的表面積為()
4．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為3π的扇形，則（ ）
A．該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為
B．若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)圓柱，且其一個(gè)底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的高為
C．若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)球，則當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為
D．若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)正方體，且底面ABCD在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，以A為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長(zhǎng)度為
三、填空題
5．（2024·山西呂梁·二模）已知圓臺(tái)的高為3，中截面（過高的中點(diǎn)且垂直于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為1:2的兩部分，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為 .
6．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的軸截面PAB是邊長(zhǎng)為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則 ；若M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為 .
反思提升：
1.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.
(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
2.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解；
(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
【考點(diǎn)3】與球有關(guān)的切、接問題
一、單選題
1．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東佛山·二模）科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號(hào)”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力．“極目一號(hào)”III型浮空艇長(zhǎng)55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”III型浮空艇的體積約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（ ）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為
C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，平面平面ABC，，，則（ ）
A．
B．三棱錐的外接球的表面積為
C．點(diǎn)A到平面SBC的距離為
D．二面角的正切值為
三、填空題
5．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是 ，它的外接球表面積的最小值為 .
6．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，，將沿AC翻折，當(dāng)三棱錐表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為 .
反思提升：
(1)求解多面體的外接球時(shí)，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點(diǎn)，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的內(nèi)接正方體、長(zhǎng)方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對(duì)角線.
(3) “切”的問題處理規(guī)律：找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決；體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，已知，為棱的中點(diǎn)，則線段在平面上的射影的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，若半徑為的球與的上、下底面及側(cè)面均相切，則的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長(zhǎng)為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺(tái)，已知該圓臺(tái)的上 下底面積分別為和，高超過，該圓臺(tái)上 下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·云南紅河·二模）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．圓錐的軸截面為直角三角形
B．圓錐的表面積大于球的表面積的一半
C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為
D．圓錐的體積與球的體積之比為
6．（2024·河北邯鄲·三模）“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長(zhǎng)也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到如圖，正八面體的棱長(zhǎng)為3，取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（ ）

A．共有18個(gè)頂點(diǎn) B．共有36條棱
C．表面積為 D．體積為
7．（2021·重慶·三模）設(shè)一空心球是在一個(gè)大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上 所有面均與內(nèi)球相切，則（ ）
A．該正方體的棱長(zhǎng)為2 B．該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為
C．空心球的內(nèi)球半徑為 D．空心球的外球表面積為
三、填空題
8．（2023·江西九江·一模）如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn).則的最小值為

9．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)，以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球被平面所截的圓面的面積為 .
10．（23-24高二下·浙江·期中）圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，在圓錐體內(nèi)部放入一個(gè)體積最大的球，該球的表面積為 ．
四、解答題
11．（22-23高二下·陜西榆林·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積.
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，都是正三角形．
(1)求證：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求三棱錐的表面積．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）若正四面體的棱長(zhǎng)為，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是棱上的一點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四棱錐的體積為定值
D．若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四邊形的面積不為定值
三、填空題
3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的全等正四面體組合而成（每一個(gè)四面體的各個(gè)面都過另一個(gè)四面體的三條共點(diǎn)的棱的中點(diǎn)）.如圖，若正四面體棱長(zhǎng)為2，則該組合體的表面積為 ；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切球體積的比值為 .
四、解答題
4．（23-24高二下·江西贛州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)若以為直徑的球的表面積為，求二面角的余弦值.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，P為棱（不包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作平面，使，與此正四面體的其他棱分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)，則的面積S隨x變化的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則（ ）
A．若是棱的中點(diǎn)，則平面
B．若平面，則是的中點(diǎn)
C．若在棱上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)），則點(diǎn)到直線的距離最小值為
D．若與重合時(shí)，四面體的外接球的表面積為
三、填空題
3．（2024·江西新余·二模）如圖1，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點(diǎn)M是四邊形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為 .
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題36 基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（新高考專用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 4
【考點(diǎn)突破】 15
【考點(diǎn)1】基本立體圖形 15
【考點(diǎn)2】表面積與體積 21
【考點(diǎn)3】與球有關(guān)的切、接問題 28
【分層檢測(cè)】 35
【基礎(chǔ)篇】 35
【能力篇】 45
【培優(yōu)篇】 51
考試要求：
1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).
2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.
3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖.
1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺(tái)
圖形
底面 互相平行且全等 多邊形 互相平行且相似
側(cè)棱 平行且相等 相交于一點(diǎn)，但不一定相等 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀 平行四邊形 三角形 梯形
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
軸截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圓面
側(cè)面展開圖 矩形 扇形 扇環(huán)
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法.
(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.
②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?
3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
圓柱 圓錐 圓臺(tái)
側(cè)面展開 圖
側(cè)面積公 式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l
4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積
名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh
臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，
(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a；
(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
2.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
3.正四面體的外接球的半徑R＝a，內(nèi)切球的半徑r＝a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng)).
4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝S原圖形.
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
6．（2023·全國(guó)·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
三、填空題
7．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為 ．
8．（2023·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則 ．
9．（2023·全國(guó)·高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是 ．
10．（2023·全國(guó)·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個(gè)公共點(diǎn)．
11．（2023·全國(guó)·高考真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為 ．
12．（2023·全國(guó)·高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為 ．
參考答案：
1．B
【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.
【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，
可知，
設(shè)正三棱臺(tái)的為，
則，解得，
如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，
則，，
可得，
結(jié)合等腰梯形可得,
即，解得，
所以與平面ABC所成角的正切值為；
解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，
則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，
因?yàn)椋瑒t，
可知，則，
設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，
取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，
所以與平面ABC所成角的正切值.
故選：B.
2．B
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長(zhǎng)為，
而它們的側(cè)面積相等，所以即，
故，故圓錐的體積為.
故選：B.
3．A
【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故選：A
4．C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕瑒t，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕?br/>在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因?yàn)椋裕?br/>即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
5．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.
【詳解】在中，，而，取中點(diǎn)，連接，有，如圖，
，，由的面積為，得，
解得，于是，
所以圓錐的體積.
故選：B
6．ABD
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋辞蝮w的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，
所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋芍酌嬲叫尾荒馨瑘A柱的底面圓，
如圖，過的中點(diǎn)作，設(shè)，
可知，則，
即，解得，
且，即，
故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，
若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，
可知：，則，
即，解得，
根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；
故選：ABD.
7．
【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.
【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為，
，
所以.
故答案為：.
8．2
【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，
設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，
則，可得，
設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，
因?yàn)椋矗獾?
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法
（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；
（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；
（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；
（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．
9．
【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.
【詳解】設(shè)球的半徑為.
當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，
正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即，故；

分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，
連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.
綜上，.
故答案為：
10．12
【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.
【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，
由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，
則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，
同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，
所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.
故答案為：12
11．/
【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)椋?br/>則，
故，則，
所以所求體積為.
故答案為：.
12．
【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，
所以正四棱錐的體積為，
截去的正四棱錐的體積為，
所以棱臺(tái)的體積為.
方法二：棱臺(tái)的體積為.
故答案為：.
【考點(diǎn)1】基本立體圖形
一、單選題
1．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知等腰梯形，，，圓為梯形的內(nèi)切圓，并與，分別切于點(diǎn)，，如圖所示，以所在的直線為軸，梯形和圓分別旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積分別為，，則值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F之間有固定的關(guān)系，即著名的歐拉公式：.如圖所示為上世紀(jì)八十年代科學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)的碳60的電子顯微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)均為碳原子，且每個(gè)頂點(diǎn)引出三條棱，形似足球.根據(jù)以上信息知，碳60的所有面中五邊形的個(gè)數(shù)是（ ）

A．12 B．20 C．32 D．40
二、多選題
3．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體．已知，則關(guān)于圖中的半正多面體，下列說法正確的有（ ）
A．該半正多面體的體積為
B．該半正多面體過三點(diǎn)的截面面積為
C．該半正多面體外接球的表面積為
D．該半正多面體的表面積為
4．（2024·新疆喀什·二模）如圖圓臺(tái)，在軸截面中，，下面說法正確的是（ ）
A．線段
B．該圓臺(tái)的表面積為
C．該圓臺(tái)的體積為
D．沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5
三、填空題
5．（21-22高三上·廣東潮州·期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，，已知?jiǎng)狱c(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為，則該棱錐的外接球的體積為 .
6．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為 .

參考答案：
1．C
【分析】先確定旋轉(zhuǎn)體的形狀，再求解幾何體的體積即可得出結(jié)果.
【詳解】梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周形成圓臺(tái)，且圓臺(tái)的上底面半徑為,下底面半徑為,
由圓O和梯形ABCD相切可得，，
所以圓臺(tái)高, 圓O半徑，
所以，,
所以，.
故選：C.
2．A
【分析】設(shè)五邊形面有個(gè)，六邊形面有個(gè)，即可得到總棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)，再根據(jù)歐拉公式得到方程組，解得即可；
【詳解】解：設(shè)五邊形面有個(gè)，共條棱，六邊形面有個(gè)，共條棱，由于每條棱出現(xiàn)在兩個(gè)面中，故會(huì)被重復(fù)計(jì)算一次，因此總棱數(shù)，同理每個(gè)頂點(diǎn)出現(xiàn)在三個(gè)面中，總頂點(diǎn)數(shù)為，故，又，故，即，與聯(lián)立可解得．
故選：A
3．ABD
【分析】先將該半正多面體補(bǔ)形為正方體，利用正方體與棱錐的體積公式判斷A，利用該半正多面體的對(duì)稱性，得到截面為正六邊形與外接球的球心位置，從而判斷BC，利用正三角形與正方體的面積公式判斷D.
【詳解】A：如圖，因?yàn)椋?br/>所以該半正多面體是由棱長(zhǎng)為的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，
所以該半正多面體的體積為：，故A正確；
B：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，過三點(diǎn)的截面為正六邊形，
又，所以正六邊形面積為，故B正確；
C：根據(jù)該半正多面體的對(duì)稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心，
即正六邊形的中心，故半徑為，
所以該半正多面體外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；
D：因?yàn)樵摪胝嗝骟w的八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形，棱長(zhǎng)皆為，
所以其表面積為，故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵有二，一是將該半正多面體補(bǔ)形為正方體，二是充分利用該半正多面體的對(duì)稱性，從而得解.
4．ABD
【分析】在等腰梯形中求出判斷A；利用圓臺(tái)表面積公式、體積公式計(jì)算判斷BC；利用側(cè)面展開圖計(jì)算判斷D.
【詳解】顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺(tái)的高
對(duì)于A，在等腰梯形中，，A正確；
對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積，B正確；
對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，
而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開為且，又，
在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，
所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.

故選：ABD
5．
【分析】將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設(shè)，利用余弦定理求出，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，求出外接球的半徑，即可求出其體積.
【詳解】解：將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，
設(shè)，即，由題意得，
在中，由余弦定理得
即
即，解得或（舍去），
將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖2所示，
該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，
則外接球的半徑，
所以外接球的體積.
故答案為：
6．
【分析】由題意如圖所示，由球的半徑可求得的值，進(jìn)而可得的正弦值，所以可求出的值，即可以求出的值，由圓柱的底面半徑可以求出的值，進(jìn)而可以求出離心率.
【詳解】如圖所示：

由題意可得，所以，
又因?yàn)椋Y(jié)合可知
，
所以，而，即，
所以，所以離心率.
故答案為：.
反思提升：
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.
(2)通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.
(3)在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.”
(4)按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：
S直觀圖＝S原圖形.
(5)幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.
【考點(diǎn)2】表面積與體積
一、單選題
1．（2024·天津紅橋·二模）如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)正四棱臺(tái)物件放入有一定深度的電解槽中，對(duì)其表面進(jìn)行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，且為下底邊長(zhǎng)的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為，則該物件的高為（ ）
A． B．1 C． D．3
二、多選題
3．（2021·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號(hào)坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對(duì)稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長(zhǎng)，外徑長(zhǎng)，筒高，中部為棱長(zhǎng)是的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（ ）
A．該玉琮的體積為() B．該玉琮的體積為()
C．該玉琮的表面積為() D．該玉琮的表面積為()
4．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為3π的扇形，則（ ）
A．該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為
B．若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)圓柱，且其一個(gè)底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的高為
C．若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)球，則當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為
D．若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)正方體，且底面ABCD在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，以A為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長(zhǎng)度為
三、填空題
5．（2024·山西呂梁·二模）已知圓臺(tái)的高為3，中截面（過高的中點(diǎn)且垂直于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為1:2的兩部分，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為 .
6．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的軸截面PAB是邊長(zhǎng)為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則 ；若M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為 .
參考答案：
1．B
【分析】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，結(jié)合題意面積比得到，再計(jì)算二者的體積比即可.
【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，
則母線長(zhǎng)為，
所以圓錐的側(cè)面積是，
半球的面積，
由題意可得，
解得，
所以圓錐的體積為，半球的體積為，
所以此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為，
故選：B.
2．C
【分析】作出正四棱臺(tái)的圖形，設(shè)，利用該四棱臺(tái)側(cè)面的面積求得，進(jìn)而利用勾股定理即可得解.
【詳解】設(shè)，則.
因?yàn)樵撍睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，所以各個(gè)側(cè)面都為等腰梯形，上、下底面為正方形，
在四邊形中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，所以，
所以，解得，
在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
易知為正四棱臺(tái)的高，則，
所以.
故選：C.
3．BD
【分析】體積為圓筒體積（外圓柱減去內(nèi)圓柱體積）加上正方體體積減去內(nèi)切圓柱體積．
組合體的表面包含下面幾個(gè)部分：外圓柱側(cè)面在正方體外面的部分，正方體上下兩個(gè)底面去掉其內(nèi)切圓的部分，圓筒的上下兩個(gè)底面（兩個(gè)圓環(huán)），正方體的4個(gè)側(cè)面，內(nèi)圓柱的側(cè)面，面積相加可得．
【詳解】由圖可知，組合體的體積().
().
故選：BD．
4．ACD
【分析】先根據(jù)圓錐側(cè)面積公式和扇形弧長(zhǎng)公式得出圓錐的母線長(zhǎng)、底面半徑和高即可求出圓錐的母線與底面所成角正弦值，進(jìn)而判斷A；根據(jù)三角形相似比得出圓柱高與其底面半徑比的關(guān)系，再代入圓柱體積公式得到 ，再利用導(dǎo)數(shù)工具求出最值即可突破求解進(jìn)而判斷B；CD屬于簡(jiǎn)單幾何體的接切和相交問題，要結(jié)合相應(yīng)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和關(guān)系進(jìn)行分析判斷，具體看詳解.
【詳解】對(duì)于A，由圓錐側(cè)面積公式和扇形弧長(zhǎng)公式得，
，所以圓錐的高，
設(shè)圓錐的母線與底面所成角，則，故A對(duì)；

對(duì)于B，設(shè)圓錐內(nèi)切圓柱底面半徑為，高為，
則有，
所以圓柱體積為，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以時(shí)y取得最大值，即時(shí)圓柱體積取得最大，此時(shí)圓柱的高，故B錯(cuò).

對(duì)于C，當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，設(shè)球的半徑設(shè)為R，此時(shí)圓錐與球的軸截面如圖，
因?yàn)?
又，所以，
正四面體可由正方體面的對(duì)角線切割得到，如圖，正四面體外接球與相對(duì)應(yīng)正方體外接球?yàn)橥粋€(gè)球，

當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為時(shí)，其相對(duì)應(yīng)的正方體棱長(zhǎng)為，
所以外接球直徑為，所以外接球半徑為，
所以該圓錐內(nèi)部有一個(gè)球，則當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為，故C對(duì)；
對(duì)于D，設(shè)圓錐內(nèi)接最大正方體棱長(zhǎng)為a，則沿著正方體體對(duì)角面作圓錐軸截面得到截面圖如下，

則有，
所以正方體面的對(duì)角線長(zhǎng)為，
所以以正方體頂點(diǎn)A為球心，半徑為的球與正方體表面交線情況如下圖所示，

所以交線有兩組各有三條長(zhǎng)度相等的曲線，第一組曲線如圖（1），第二組曲線如圖（2），

由上，，
所以，
所以，，
所以交線的總長(zhǎng)度為. ，故D對(duì).
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：簡(jiǎn)單幾何體相交交線是直線還是曲線是容易出錯(cuò)的點(diǎn)，一般情況下經(jīng)過曲面的交線是曲線，但交線過旋轉(zhuǎn)體母線的是直線，如下圖：

5．5
【分析】作出圓臺(tái)軸截面圖象，根據(jù)梯形中位線性質(zhì)，圓臺(tái)側(cè)面積公式可求上底和下底的半徑，根據(jù)圖形性質(zhì)即可求出母線.
【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上 下底面圓的半徑分別為，因?yàn)橹薪孛娴陌霃綖?，所以根據(jù)梯形中位線性質(zhì)可知：.
又中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為的兩部分，
所以根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式可知：，解得，所以.
又圓臺(tái)的高為3，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為.
故答案為：5.
6． ； .
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出球O的半徑，從而可分別求出圓錐的體積為和球O的體積為；
設(shè)MN的中點(diǎn)為C，連接PC，DM，首先求出點(diǎn)到直線的距離，然后結(jié)合球O的半徑，即可求出平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r.
【詳解】如圖，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接PD，由題意知PD為圓錐的高，且，
易知球O的半徑，
所以，，所以；
設(shè)MN的中點(diǎn)為C，連接PC，DM，則，
易知，，所以，所以.
過O點(diǎn)作，垂足為E，易知，則，
又，則.
設(shè)平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r，
則，所以截面的面積為.
故答案為：；.
反思提升：
1.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.
(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
2.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解；
(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
【考點(diǎn)3】與球有關(guān)的切、接問題
一、單選題
1．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·廣東佛山·二模）科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號(hào)”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力．“極目一號(hào)”III型浮空艇長(zhǎng)55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”III型浮空艇的體積約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（ ）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為
C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，平面平面ABC，，，則（ ）
A．
B．三棱錐的外接球的表面積為
C．點(diǎn)A到平面SBC的距離為
D．二面角的正切值為
三、填空題
5．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是 ，它的外接球表面積的最小值為 .
6．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，，將沿AC翻折，當(dāng)三棱錐表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為 .
參考答案：
1．B
【分析】將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng) 寬 高分別為、、，長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，而長(zhǎng)方體外接球的直徑即為其體對(duì)角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.
【詳解】將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng) 寬 高分別為、、，
四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，
而長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為，
故，所以外接球表面積為.
故選：B.
2．A
【分析】先根據(jù)圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為，而圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為，再根據(jù)球、圓柱和圓臺(tái)的體積公式即可求解．
【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為（m），而圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為（m），
則（m3），
（m3），
（m3），
所以（m3）．
故選：A．
3．ACD
【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗(yàn)證各選項(xiàng).
【詳解】

對(duì)A：由題知，各側(cè)面均為邊長(zhǎng)為的正三角形，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；
對(duì)B：連接，則，底面，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，
故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；
對(duì)D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，
故內(nèi)切球的表面積，故D正確；
故選：ACD．
4．AD
【分析】根據(jù)平面ABC可判斷A正誤；求出直徑SC，再根據(jù)球的表面積公式課判斷B的正誤；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知點(diǎn)A到平面SBC的距離為AG，求出AG可判斷C正誤；根據(jù)題意可知∠SBA為二面角的平面角，進(jìn)而求出正切值可判斷D正誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，，即，
平面平面，平面SAB，所以平面ABC，
又因?yàn)槠矫鍭BC，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br/>所以平面SAB，因?yàn)槠矫鍿AB，
所以.又平面ABC，平面ABC，
所以，即，
所以三棱錐外接球的直徑為SC.因?yàn)椋?br/>所以，
所以三棱錐的外接球的表面積，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍿AB，平面SBC，
所以平面平面SBC，過點(diǎn)A作，交SB于點(diǎn)G，
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面SBC，
故點(diǎn)A到平面SBC的距離為AG，由，，
得，則，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，所以∠SBA為二面角的平面角，
在中，，故D正確；
故選：AD.
5．
【分析】根據(jù)余弦定理以及不等式可得，進(jìn)而可求解面積的最大值，進(jìn)而根據(jù)，即可求解高的最大值，進(jìn)而可求解體積，根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可根據(jù)球的性質(zhì)求解球半徑的最小值，即可由表面積公式求解.
【詳解】由余弦定理可得,
故，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，
故面積的最大值為，
，
由于，所以點(diǎn)在以為直徑的球上（不包括平面），故當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)最大為半徑，
故，
由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，
設(shè)四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，
故外接球的表面積為,
故答案為：,

6．
【分析】求內(nèi)切球的表面積，只需根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可求解.
【詳解】

因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，對(duì)角線互相垂直
三棱錐中，面與面的面積是確定的，所以要使三棱錐表面積最大，則需要面與面最大即可，而且；
，當(dāng)時(shí)，取得最大值.
過點(diǎn)向平面作垂線，設(shè)的中點(diǎn)為垂足為，

因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ碇?br/>所以，易得.
所以.
因?yàn)椋?br/>設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則根據(jù)等體積法，有：
，
即，解之得，
所以其內(nèi)切球的表面積為
故答案為：
反思提升：
(1)求解多面體的外接球時(shí)，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點(diǎn)，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(2)求解球的內(nèi)接正方體、長(zhǎng)方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對(duì)角線.
(3) “切”的問題處理規(guī)律：找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決；體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，已知，為棱的中點(diǎn)，則線段在平面上的射影的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，若半徑為的球與的上、下底面及側(cè)面均相切，則的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長(zhǎng)為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺(tái)，已知該圓臺(tái)的上 下底面積分別為和，高超過，該圓臺(tái)上 下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·云南紅河·二模）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．圓錐的軸截面為直角三角形
B．圓錐的表面積大于球的表面積的一半
C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為
D．圓錐的體積與球的體積之比為
6．（2024·河北邯鄲·三模）“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長(zhǎng)也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到如圖，正八面體的棱長(zhǎng)為3，取各條棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（ ）

A．共有18個(gè)頂點(diǎn) B．共有36條棱
C．表面積為 D．體積為
7．（2021·重慶·三模）設(shè)一空心球是在一個(gè)大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上 所有面均與內(nèi)球相切，則（ ）
A．該正方體的棱長(zhǎng)為2 B．該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為
C．空心球的內(nèi)球半徑為 D．空心球的外球表面積為
三、填空題
8．（2023·江西九江·一模）如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn).則的最小值為

9．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)，以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球被平面所截的圓面的面積為 .
10．（23-24高二下·浙江·期中）圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，在圓錐體內(nèi)部放入一個(gè)體積最大的球，該球的表面積為 ．
四、解答題
11．（22-23高二下·陜西榆林·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積.
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，都是正三角形．
(1)求證：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求三棱錐的表面積．
參考答案：
1．D
【分析】取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證明出平面，求出即可求解．
【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，
則，點(diǎn)四點(diǎn)共面，，，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則，
在中，，解得，
，則，
由正四棱柱得，平面，則平面，
又平面，所以，，
所以，
因?yàn)椋矫妫移矫妫?br/>所以平面，所以線段在平面上的射影為線段，
故選：D．

2．A
【分析】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，利用切線長(zhǎng)定理結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解，，然后代入圓臺(tái)體積公式求解即可.
【詳解】如圖，設(shè)的上、下底面圓心分別為，，則的內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處．
設(shè)球O與的母線AB切于M點(diǎn)，則，，
，，所以．過A作，垂足為G，
則，由，得，所以，
所以的體積為．
故選：A．
3．C
【分析】根據(jù)題意，求得圓錐底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，即可求解.
【詳解】圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線與底面所成角為，所以底面圓的半徑為，
所以該圓錐的側(cè)面積為.
故選：C
4．B
【分析】畫出圖形，首先根據(jù)球的表面積公式計(jì)算得球的半徑為，通過勾股定理得的值，進(jìn)而得圓臺(tái)的高，結(jié)合圓臺(tái)的體積公式即可得解.
【詳解】
設(shè)球的半徑為，上 下底面分別為圓（這里上底面是指大的那個(gè)底面），
依題意，，解得，
因?yàn)椋?br/>則，同理可得，，因?yàn)閳A臺(tái)的高超過，則該圓臺(tái)的高為，該圓臺(tái)的體積為.
故選：B.
5．ABD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件由圓錐以及球的表面積體積公式代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于A，設(shè)球的半徑為，則如圖所示：，
所以，故A正確；
對(duì)于B，圓錐的表面積為，
球的表面積為，所以，故B正確；
對(duì)于C，圓錐的母線長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)為，
所以圓錐側(cè)面展開圖中圓心角的弧度數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，，故D正確.
故選：ABD.
6．BD
【分析】根據(jù)正八面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合題意，利用正方形與正六邊形的面積公式以及正四棱錐的體積公式，可得答案.
【詳解】由圖可知該多面體有24個(gè)頂點(diǎn)，36條棱，故A錯(cuò)誤，B正確；
該多面體的棱長(zhǎng)為1，且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，
故該多面體的表面積為，故C錯(cuò)誤；
正八面體可分為兩個(gè)全等的正四面體，其棱長(zhǎng)為，
過作平面于，連接，如下圖：

因?yàn)槠矫妫移矫妫裕?br/>正方形中，由邊長(zhǎng)為，則對(duì)角線長(zhǎng)為，則，
在中，，則，
正八面體的體積為，
切割掉6個(gè)棱長(zhǎng)均為1的正四棱錐，減少的體積為，
所以該阿基米德多面體的體積為，故D正確．
故選：BD.
7．BD
【分析】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，利用正方體的對(duì)角線求得，根據(jù)兩球上點(diǎn)的距離最小值為，求解后得到r，R，進(jìn)而求得正方體的對(duì)角線和外接球的表面積.
【詳解】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，則正方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，∴，
又由題知，所以，，
∴正方體棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，
∴外接球表面積為，
故選：BD.
8．
【分析】將側(cè)面沿展開，使得側(cè)面與側(cè)面在同一平面內(nèi)，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間線段最短可求得答案.
【詳解】

解：將側(cè)面沿展開，使得側(cè)面與側(cè)面在同一平面內(nèi)，
如圖，連接交于，則的最小值為此時(shí)的，
，
的最小值為.
故答案為：.
9．
【分析】首先做過點(diǎn)的平面的垂線，判斷得出，進(jìn)而得出截面的形狀，求出截面圓的半徑，即可求解.
【詳解】正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，
過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，且側(cè)棱長(zhǎng)，
正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
得：，
所以.
作交于點(diǎn)，則，
因?yàn)榍虻陌霃綕M足：，
故以為球心的球被平面所截的圓面如圖所示，
其中，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>故所求截面的面積為.
故答案為：.
10．
【分析】根據(jù)球的半徑是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑來求解.
【詳解】球的半徑是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，即半徑為，
所以球的表面積．
故答案為：.
11．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，從而可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)即可求解.
【詳解】（1）∵是與的交點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，
又是棱的中點(diǎn)，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）由正方體的性質(zhì)可得平面，
所以.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知可得，，可證平面，可得，又易得，進(jìn)而可證平面．
（2）由已知可得，，利用體積可求得的值，進(jìn)而可求表面積.
【詳解】（1）因?yàn)槭钦切危c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)椋钦切危c(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，．
因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面．
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面．
（2）設(shè)，則是邊長(zhǎng)為的正三角形，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槭钦切危遥裕?br/>所以三棱錐的體積，所以，
的面積為，
與的面積相等，其面積之和為，
在中，，，
所以的面積為．
所以三棱錐的表面積為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）若正四面體的棱長(zhǎng)為，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是棱上的一點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四棱錐的體積為定值
D．若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則四邊形的面積不為定值
三、填空題
3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的全等正四面體組合而成（每一個(gè)四面體的各個(gè)面都過另一個(gè)四面體的三條共點(diǎn)的棱的中點(diǎn)）.如圖，若正四面體棱長(zhǎng)為2，則該組合體的表面積為 ；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切球體積的比值為 .
四、解答題
4．（23-24高二下·江西贛州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)若以為直徑的球的表面積為，求二面角的余弦值.
參考答案：
1．A
【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)分析外接球的球心位置，再構(gòu)造長(zhǎng)度的等量關(guān)系，即可求解三棱錐的體積.
【詳解】如圖，
在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)H為外心．
在上取一點(diǎn)O，滿足，則O為三棱錐的外接球球心．
當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)H重合．
作，垂足為N，，
為三棱錐的高．
由正四面體的棱長(zhǎng)為，易知，
所以，，．
由，設(shè)，則，．
由，得，解得．
．．
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是確定外接球的球心位置.
2．BCD
【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理證明，，然后可得，取E不是棱的中點(diǎn)，可判斷A；取E為棱的中點(diǎn)，可判斷B；由的面積為定值，以及平面，平面，可判斷C；取點(diǎn)E為中點(diǎn)，和點(diǎn)E與點(diǎn)重合兩種情況求出四邊形的面積可判斷D.
【詳解】在長(zhǎng)方體中，若，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以，同理，
對(duì)于A，由，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，得平行四邊形，則，，
于是，若E不是棱的中點(diǎn)，則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)E是棱的中點(diǎn)時(shí)，由上知，F(xiàn)為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，
則，而平面，平面，因此平面，B正確；
對(duì)于C，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，且平面，平面，
則平面，同理可得平面，即點(diǎn)E，F(xiàn)到平面的距離為定值，
又的面積為定值，因此三棱錐和三棱錐的體積都為定值，
所以四棱錐的體積為定值，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)E為中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形，，，
四邊形的面積為，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)與D重合，四邊形為矩形，
面積為，四邊形的面積不為定值，D正確.
故選：BCD
3． 27
【分析】該組合體一共有24個(gè)面，每一個(gè)面都是全等的邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則可求出其表面積；
該組合體的外接球也是任意一個(gè)正四面體的外接球，可用一個(gè)正四面體來看，求出外接球半徑為，兩正交四面體公共部分一共有8個(gè)面，且每一個(gè)面都是全等的邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則中間部分的體積為，設(shè)其內(nèi)切球半徑為，由，求出，即可得到體積的比值.
【詳解】該組合體一共有24個(gè)面，每一個(gè)面都是全等的邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
則其表面積為，
該組合體的外接球也是任意一個(gè)正四面體的外接球，可用一個(gè)正四面體來看，
是的中心，是球心，
則，則，
，
設(shè)外接球半徑為，則，
又，解得，
兩正交四面體公共部分一共有8個(gè)面，且每一個(gè)面都是全等的邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
則其表面積為，
大正四面體的體積為，
則每個(gè)小正四面體的體積為，
則中間部分的體積為，
設(shè)其內(nèi)切球半徑為，則中間部分的體積也可表示為
，解得，
故外接球和內(nèi)切球體積之比為.
故答案為：，27.
4．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則，根據(jù)線面平行的判定定理證明即可.
（2）建系，利用二面角的向量求法求解即可.
【詳解】（1）
連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且，
因?yàn)橐詾橹睆降那虻谋砻娣e為，
所以，解得，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，豎直向上為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得，
，設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得，
因?yàn)椋?br/>由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，P為棱（不包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作平面，使，與此正四面體的其他棱分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)，則的面積S隨x變化的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則（ ）
A．若是棱的中點(diǎn)，則平面
B．若平面，則是的中點(diǎn)
C．若在棱上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)），則點(diǎn)到直線的距離最小值為
D．若與重合時(shí)，四面體的外接球的表面積為
三、填空題
3．（2024·江西新余·二模）如圖1，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點(diǎn)M是四邊形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為 .
參考答案：
1．C
【分析】取線段的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，分析可知平面與平面平行或重合，分、、三種情況討論，計(jì)算出的面積，利用三角形相似可得出的表達(dá)式，即可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椤榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，，
，、平面，平面，
因?yàn)槠矫妫裕矫媾c平面平行或重合，
且，
取的中點(diǎn)，連接，則，
且，故.
①當(dāng)時(shí)，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下圖所示：
則，則；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下圖所示：
則，則.
綜上所述，，故函數(shù)的圖象如C選項(xiàng)中的圖象.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵對(duì)分類討論，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而辨別出函數(shù)的圖象.
2．ACD
【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，根據(jù)中位線得到線線平行，得到線面平行；B選項(xiàng)，建立空間之間坐標(biāo)系，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，，，故線面不垂直；C選項(xiàng)，設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離的向量公式得到點(diǎn)到直線的距離，并求出最小值；D選項(xiàng)，先證明出線面垂直，并得到四面體的外接球的球心在上，設(shè)出，根據(jù)半徑相等，列出方程，得到的值，得到半徑，進(jìn)而求出表面積.
【詳解】A選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以且，
又是棱的中點(diǎn)，所以且，
故且，
故四邊形為平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，A正確；
B選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，，
故，，
故，
故與不垂直，故與平面不垂直，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，若在棱上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)），設(shè)，
，
點(diǎn)到直線的距離，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)到直線的距離最小值為，C正確；
D選項(xiàng)，連接，則，
其中，
，
故⊥，⊥，
又，平面，
故⊥平面，
又三角形為等邊三角形，設(shè)交平面于點(diǎn)，
其中，，，
由于，故，點(diǎn)為的中心，
故四面體的外接球的球心在上，
設(shè)球心為O，則，故，
根據(jù)得，
解得，
外接球半徑為，
故表面積為.
若與重合時(shí)，四面體的外接球的表面積為，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑
3．60π
【分析】先結(jié)合線面角的定義與已知條件可得，從而知，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三棱錐的體積公式，將條件轉(zhuǎn)化為取得最大值，再結(jié)合勾股定理確定點(diǎn)的位置，然后利用補(bǔ)形法求外接球的半徑即可．
【詳解】翻折前，，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
所以即為直線與平面所成的角，
同理可得，即為直線與平面所成的角，
因?yàn)橹本€與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，
所以，
而，，
所以，即，
設(shè)，則，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
即點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)槿忮F的體積，且為定值，
所以要使三棱錐的體積取得最大值，則需取得最大值，
設(shè)，，則，
由勾股定理知，，，
所以，，
消去整理得，，，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值12，即取得最大值，此時(shí)點(diǎn)在線段上，且，
所以，，兩兩垂直，
所以三棱錐的外接球就是以，，為鄰邊構(gòu)成的長(zhǎng)方體的外接球，
所以，
所以外接球的半徑，
所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解
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