資源簡介

專題44 兩條直線的位置關系（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】兩直線的平行與垂直 4
【考點2】兩直線的交點與距離問題 5
【考點3】對稱問題 6
【考點4】直線系方程的應用 8
【分層檢測】 9
【基礎篇】 9
【能力篇】 10
【培優篇】 11
考試要求：
1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.
2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.
3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l1∥l2 k1＝k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設為k1，k2，則l1⊥l2 k1·k2＝－1，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.
2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關系
(1)兩直線的交點
點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標是方程組的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.
(2)兩直線的位置關系
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1與l2的公共點的個數 一個 無數個 零個
直線l1與l2的位置關系 相交 重合 平行
3.距離公式
(1)兩點間的距離公式
平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝.
特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離公式
平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
4.對稱問題
(1)點P(x0，y0)關于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0).
(2)設點P(x0，y0)關于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′.
1.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2”＝0.
2.討論兩直線的位置關系時應考慮直線的斜率是否存在.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空題
4．（2023·北京·高考真題）設，函數，給出下列四個結論：
①在區間上單調遞減；
②當時，存在最大值；
③設，則；
④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結論的序號是 ．
【考點1】兩直線的平行與垂直
一、單選題
1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A．4 B． C．2或 D．或4
2．（23-24高二上·山東·階段練習）瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·廣東·一模）下列說法正確的是（ ）
A．已知直線與平行，則k的值是3
B．直線與圓的位置關系為相交
C．圓上到直線的距離為的點共有3個
D．已知AC、BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形ABCD的面積的最大值為10
4．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）費馬原理是幾何光學中的一條重要定理，由此定理可以推導出圓錐曲線的一些性質，例如，若點是雙曲線（為的兩個焦點）上的一點，則在點處的切線平分.已知雙曲線的左 右焦點分別為，直線為在其上一點處的切線，則下列結論中正確的是（ ）
A．的一條漸近線與直線相互垂直
B．若點在直線上，且，則（為坐標原點）
C．直線的方程為
D．延長交于點，則的內切圓圓心在直線上
三、填空題
5．（23-24高三下·河南·階段練習）已知P，Q是拋物線上的兩個動點，，直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為4，若直線PQ與直線平行，則直線PQ與之間的距離等于 ．
6．（2023·海南·模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則 ．
反思提升：
1.當含參數的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數不能同時為零這一隱含條件.
2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論.
【考點2】兩直線的交點與距離問題
一、單選題
1．（2023·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（ ）
A．個 B．2個 C．個 D．無數個
2．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知點在拋物線上，則C的焦點與點之間的距離為（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、多選題
3．（2023·河北·模擬預測）已知函數，若直線與函數在上有1個公共點，在上有個公共點，則的值不可能為（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024·甘肅定西·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
三、填空題
5．（2024·山東·二模）過直線和的交點，傾斜角為的直線方程為 .
6．（2022·江蘇·模擬預測）過拋物線的焦點作圓的切線，切點為.若，則 ， .
反思提升：
(1)求過兩直線交點的直線方程的方法：先求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程.
(2)利用距離公式應注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數化為相等.
【考點3】對稱問題
一、單選題
1．（2024·天津和平·二模）過直線上的點P作圓C：的兩條切線，，當直線，關于直線對稱時，點P的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設直線 ， 一束光線從原點 出發沿射線 向直線 射出， 經 反射后與 軸交于點 ， 再次經 軸反射后與 軸交于點 . 若 ， 則 的值為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高三上·重慶·階段練習）已知圓，直線（且不同時為0），下列說法正確的是（ ）
A．當直線經過時，直線與圓相交所得弦長為
B．當時，直線與關于點對稱，則的方程為：
C．當時，圓上存在4個點到直線的距離為
D．過點與平行的直線方程為：
4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知直線和三點，，，過點C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點．下列結論正確的是（ ）
A．P在直線l上，則的最小值為
B．直線l上一點使最大
C．當最小時的方程是
D．當最小時的方程是
三、填空題
5．（2023·福建廈門·模擬預測）已知直線：關于直線的對稱直線為軸，則的方程為 .
6．（23-24高二上·福建三明·階段練習）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為 ．
反思提升：
(1)光的反射問題實質是點關于直線的對稱問題，要注意轉化.
(2)直線關于點的對稱：直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.
(3)求直線l1關于直線l對稱的直線l2，有兩種處理方法：
①在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關于直線的對稱點的方法求出這兩點關于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l2的方程.
②設點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關于直線l的對稱點為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據點關于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.
【考點4】直線系方程的應用
一、單選題
1．（23-24高二下·上海·階段練習）已知直線的方程是，則對任意的實數，直線一定經過（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（23-24高三上·山東臨沂·期末）過圓C：外一點作圓C的切線，切點分別為A，B，則直線過定點（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高二上·江西·階段練習）已知圓，直線，下列說法正確的是（ ）
A．無論取何值，直線與圓相交
B．直線被圓截得的最短弦長為
C．若，則圓關于直線對稱的圓的方程為
D．直線的方程能表示過點的所有直線的方程
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知直線與圓相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．若圓關于直線對稱，則
B．的最小值為
C．當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點
D．若（為坐標原點）四點共圓，則
三、填空題
5．（23-24高三上·重慶九龍坡·階段練習）已知直線恒過定點P，則點P關于直線的對稱點的坐標是 ．
6．（23-24高二上·全國·課后作業）經過點和兩直線；交點的直線方程為 .
反思提升：
幾種常見的直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
【基礎篇】
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線與直線互相垂直，交點坐標為，則的值為（ ）
A．20 B． C．0 D．24
2．（24-25高二上·全國·課后作業）平面上一動點滿足：且，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·河北保定·開學考試）函數圖象上的點到直線距離的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4 B． C． D．
二、多選題
5．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線可以圍成一個三角形，則實數的值可以為（ ）
A． B．0 C．1 D．3
6．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短 在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為
B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是
C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是
D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是
7．（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）已知直線，下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．當時，關于軸的對稱直線為
C．直線一定經過第四象限
D．點到直線的最大距離為
三、填空題
8．（24-25高二·上海·隨堂練習）若與平行，則兩直線之間的距離為 .
9．（23-24高二上·江蘇南京·期末）求過兩條直線和的交點，且與垂直的直線方程 ．
10．（23-24高二下·山西·期中）已知圓：，則圓心到直線：的最大距離為 .
四、解答題
11．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習）已知兩條平行直線與之間的距離是．
(1)求直線關于直線對稱的直線方程；
(2)求直線關于直線對稱的直線方程．
12．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知直線：和：．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若與互相平行，求與間的距離．
【能力篇】
一、單選題
1．（24-25高二上·上海·課堂例題）過原點的直線l的傾斜角為θ，則直線l關于直線對稱的直線的傾斜角不可能為（ ）
A．θ B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四個命題敘述正確的是（ ）
A．直線在軸上的截距是1
B．直線和的交點為，且在直線上，則的值是
C．設點是直線上的動點，為原點，則的最小值是
D．直線，若，則或2
三、填空題
3．（24-25高二上·全國·課后作業）直線：與直線：交于點Q，m是實數，O為坐標原點，則的最大值是 ．
四、解答題
4．（23-24高二上·天津南開·期中）已知直線與直線．
(1)當m為何值時，與相交；
(2)當m為何值時，與平行，并求與的距離；
(3)當m為何值時，與垂直．
【培優篇】
一、單選題
1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面幾何中有定理：已知四邊形的對角線與相交于點，且，過點分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·廣東珠海·一模）中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，中國結有著復雜曼妙的曲線，其中的八字結對應著數學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中，到兩定點，距離之積為常數的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點，則下列結論正確的是（ ）

A．曲線C的圖象關于原點對稱
B．曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3
D．曲線C上有且僅有3個點P滿足
三、填空題
3．（23-24高三下·全國·強基計劃），，有零點，則的最小值為 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題44 兩條直線的位置關系（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】兩直線的平行與垂直 7
【考點2】兩直線的交點與距離問題 13
【考點3】對稱問題 16
【考點4】直線系方程的應用 24
【分層檢測】 28
【基礎篇】 28
【能力篇】 36
【培優篇】 38
考試要求：
1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.
2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.
3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l1∥l2 k1＝k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設為k1，k2，則l1⊥l2 k1·k2＝－1，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.
2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關系
(1)兩直線的交點
點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標是方程組的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.
(2)兩直線的位置關系
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1與l2的公共點的個數 一個 無數個 零個
直線l1與l2的位置關系 相交 重合 平行
3.距離公式
(1)兩點間的距離公式
平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝.
特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝.
(2)點到直線的距離公式
平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
4.對稱問題
(1)點P(x0，y0)關于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0).
(2)設點P(x0，y0)關于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′.
1.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2”＝0.
2.討論兩直線的位置關系時應考慮直線的斜率是否存在.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空題
4．（2023·北京·高考真題）設，函數，給出下列四個結論：
①在區間上單調遞減；
②當時，存在最大值；
③設，則；
④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結論的序號是 ．
參考答案：
1．C
【分析】結合等差數列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數形結合法即可求解.
【詳解】因為成等差數列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，
設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，
，此時.

故選：C
2．D
【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.
【詳解】由題意得，即，
則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
3．C
【分析】根據題意，由條件可得直線過定點，從而可得當時，的最小，結合勾股定理代入計算，即可求解.
【詳解】因為直線，即，令，
則，所以直線過定點，設，
將圓化為標準式為，
所以圓心，半徑，
當時，的最小，
此時.
故選：C
4．②③
【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結論；對于①，取，結合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結合圖像可知的范圍；對于④，取，結合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.
【詳解】依題意，，
當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調遞增的射線；
當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；
當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調遞減的曲線；
對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調遞增，故①錯誤；
對于②，當時，
當時，；
當時，顯然取得最大值；
當時，，
綜上：取得最大值，故②正確；
對于③，結合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，
此時，，故③正確；
對于④，取，則的圖像如下，

因為，
結合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，
同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，
此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，
聯立，解得，則，
顯然在上，滿足取得最小值，
即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.
故答案為：②③.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.
【考點1】兩直線的平行與垂直
一、單選題
1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A．4 B． C．2或 D．或4
2．（23-24高二上·山東·階段練習）瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022·廣東·一模）下列說法正確的是（ ）
A．已知直線與平行，則k的值是3
B．直線與圓的位置關系為相交
C．圓上到直線的距離為的點共有3個
D．已知AC、BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形ABCD的面積的最大值為10
4．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）費馬原理是幾何光學中的一條重要定理，由此定理可以推導出圓錐曲線的一些性質，例如，若點是雙曲線（為的兩個焦點）上的一點，則在點處的切線平分.已知雙曲線的左 右焦點分別為，直線為在其上一點處的切線，則下列結論中正確的是（ ）
A．的一條漸近線與直線相互垂直
B．若點在直線上，且，則（為坐標原點）
C．直線的方程為
D．延長交于點，則的內切圓圓心在直線上
三、填空題
5．（23-24高三下·河南·階段練習）已知P，Q是拋物線上的兩個動點，，直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為4，若直線PQ與直線平行，則直線PQ與之間的距離等于 ．
6．（2023·海南·模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據兩直線平行得到，求出的值，再檢驗即可.
【詳解】因為直線與直線平行，
所以，解得或，
當時直線與直線重合，不符合題意；
當時直線與直線平行.
故選：B
2．B
【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線l方程，后可得交點坐標.
【詳解】由的頂點坐標，可知其重心為.
注意到，直線BC斜率不存在，則為直角三角形，
則其垂心為其直角頂點，則歐拉線方程為：.
因其與垂直，則.
則，則直線與的歐拉線的交點坐標滿足，即交點為.
故選：B
3．BC
【分析】A由直線平行的判定求參數，注意驗證是否重合；B根據直線所過的定點與圓的位置關系判斷即可；C由圓心到直線的距離與半徑的關系即可判斷；D設圓心到的距離分別為，則及，結合基本不等式求最大值即可判斷.
【詳解】A：由平行知：，則或，當時有，滿足題設，當時有，滿足題設，故或，錯誤；
B：由過定點，而在圓內，故它們的關系為相交，正確；
C：由題設知：圓的標準方程為，則圓心為，半徑為，所以圓心到距離為，易知圓上點到直線距離為的點共有3個，正確；
D：設圓心到的距離分別為，則，又相互垂直，所以，而，即當且僅當時等號成立，故，故錯誤.
故選：BC
4．ABD
【分析】根據雙曲線方程即可求出漸近線可判斷A，由角平分線性質可得G點坐標，求出直線方程可判斷C，設出B點坐標由條件可判斷B，假設的內切圓圓心在直線上，由內心性質可判斷D.
【詳解】選項A：雙曲線的一條漸近線方程為與相互垂直，故A正確；
選項BC：因為，所以，，
所以，，
又，所以，所以，
直線：，即，故C錯誤，
設，則，化簡得：，
所以，則，故B正確；
選項D：，直線，
聯立，化簡得：，解得，
所以，，
所以直線，
因為的內切圓圓心在直線直線：上，若又在直線上，
則內切圓圓心為，圓心到直線的距離為：
，
圓心到直線的距離為：
，即，
所以點也在的角平分線上，即點為的內切圓
圓心，圓心在直線上，故D正確；
故選：ABD.
【點睛】關鍵點點睛：充分利用角平分線的性質得出G點坐標，根據直線垂直關系及點到直線距離公式可判斷各項.
5．
【分析】設出直線的方程，聯立曲線，可得與縱坐標有關韋達定理，借助韋達定理轉換題目條件計算可得直線所過定點，或結合直線PQ與直線平行可得具體方程，后借助平行線間的距離公式計算即可得..
【詳解】法一：
顯然直線PQ的斜率不為0，故可設，
由，可得，
如圖，設，，則，
所以，
則，同理，
由題意，得，
所以，則，
即，直線，故直線PQ恒過定點．
故當直線PQ與直線平行時，
兩直線之間的距離等于定點到直線的距離，
即.
法二：
由題意，設，
由，得，
由，解得．
設，，則，，又，
所以，
由題意，，解得，故兩平行直線之間的距離為．
故答案為：.
6．
【分析】根據題意求得直線的方程為，以及圓C的圓心坐標和半徑，結合圓的弦長公式，即可求解.
【詳解】由直線，可得斜率，
因為且直線過點，所以直線的斜率為，
所以的方程為，
又由圓，即，
可得圓的圓心坐標為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
所以弦長.
故答案為：.
反思提升：
1.當含參數的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數不能同時為零這一隱含條件.
2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論.
【考點2】兩直線的交點與距離問題
一、單選題
1．（2023·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（ ）
A．個 B．2個 C．個 D．無數個
2．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知點在拋物線上，則C的焦點與點之間的距離為（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、多選題
3．（2023·河北·模擬預測）已知函數，若直線與函數在上有1個公共點，在上有個公共點，則的值不可能為（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024·甘肅定西·一模）下列命題為真命題的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
三、填空題
5．（2024·山東·二模）過直線和的交點，傾斜角為的直線方程為 .
6．（2022·江蘇·模擬預測）過拋物線的焦點作圓的切線，切點為.若，則 ， .
參考答案：
1．C
【分析】考慮三條直線交于一點或與或平行時，滿足條件，求出答案.
【詳解】當三條直線交于一點時，可將平面分為六個部分，
聯立與，解得，
則將代入中，，解得，
當與平行時，滿足要求，此時，
當與平行時，滿足要求，此時，
綜上，滿足條件的的值共有3個.
故選：C
2．D
【分析】根據在拋物線上可求的值，求出焦點坐標后結合距離公式可得正確的選項.
【詳解】因為在拋物線上，故，
整理得到：即，
解得或（舍），故焦點坐標為，
故所求距離為，
故選：D.
3．AD
【分析】作出函數的圖象，由直線與函數在上有1個公共點，可得，又在上有2個公共點，可得且，計算可得的取值范圍．
【詳解】作出函數的圖象如圖所示，

直線與函數在上有個公共點，
與圓在軸上方的半圓相切，
，即，
直線與在上有個公共點，
且，
且，，，，
．
故選：AD．
4．BC
【分析】利用兩點距離公式將題干中復雜式子轉化為幾個點間的距離，結合拋物線的定義，作出圖形，數形結合即可得解.
【詳解】設，
易知點的軌跡是拋物線的上半部分，
拋物線的準線為直線到準線的距離，為拋物線的焦點，
對于AB，
，
所以的最小值為，故A錯誤，B正確；
對于CD，
，
所以的最小值是，故C正確，D錯誤.
故選：BC.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是轉化根號內的式子，聯想到兩點距離公式，從而數形結合即可得解.
5．
【分析】聯立直線求解交點，即可根據點斜式求解直線方程.
【詳解】聯立與可得，
故交點為，傾斜角為，所以斜率為1，
故直線方程為，即，
故答案為：
6．
【分析】利用切線長公式可得，然后利用兩點間距離公式可得.
【詳解】由題可知拋物線的焦點為，圓心的坐標為，圓的半徑，
所以.
由，
解得或.
又，所以.
故答案為：，.
反思提升：
(1)求過兩直線交點的直線方程的方法：先求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程.
(2)利用距離公式應注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數化為相等.
【考點3】對稱問題
一、單選題
1．（2024·天津和平·二模）過直線上的點P作圓C：的兩條切線，，當直線，關于直線對稱時，點P的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設直線 ， 一束光線從原點 出發沿射線 向直線 射出， 經 反射后與 軸交于點 ， 再次經 軸反射后與 軸交于點 . 若 ， 則 的值為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高三上·重慶·階段練習）已知圓，直線（且不同時為0），下列說法正確的是（ ）
A．當直線經過時，直線與圓相交所得弦長為
B．當時，直線與關于點對稱，則的方程為：
C．當時，圓上存在4個點到直線的距離為
D．過點與平行的直線方程為：
4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知直線和三點，，，過點C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點．下列結論正確的是（ ）
A．P在直線l上，則的最小值為
B．直線l上一點使最大
C．當最小時的方程是
D．當最小時的方程是
三、填空題
5．（2023·福建廈門·模擬預測）已知直線：關于直線的對稱直線為軸，則的方程為 .
6．（23-24高二上·福建三明·階段練習）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據直線和圓的位置關系、兩直線的交點等知識求得正確答案.
【詳解】圓的圓心為，
直線關于直線對稱時，與直線垂直，
所以直線的方程為，
由解得，所以.
故選：A.
2．B
【分析】根據光學的性質，根據對稱性可先求關于直線的對稱點，后求直線，可得、兩點坐標，進而由可得.
【詳解】
如圖，設點關于直線的對稱點為，
則得，即，
由題意知與直線不平行，故，
由，得，即，
故直線的斜率為，
直線的直線方程為：，
令得，故，
令得，故由對稱性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，則第二次反射后光線不會與軸相交，故不符合條件．
故，
故選：B.
3．AB
【分析】對于A選項：利用直線經過得到，求出圓心到直線的距離，借助圓的弦長公式計算即可;
對于B選項：利用直線關于點對稱的直線的求法，求解即可;
對于C選項：借助圓心到直線的距離，半徑，以及圓上的點到直線的距離的大小關系判斷即可;
對于D選項：借助直線平行的相關知識，求出與之平行的直線即可.
【詳解】因為圓，所以圓心為，半徑，
對于A選項：因為直線經過，所以，，
所以圓心到直線的距離為，
直線與圓相交所得弦長為，故A選項正確；
對于B選項：當時，直線，因為直線與關于點對稱，所以直線與平行, 由于到的距離為2，所以到的距離也為2，
所以的方程為：，故B選項正確；
對于C選項：當時，直線,此時圓心到直線的距離為，
由于半徑，
所以在直線的右側：，所以在直線的右側不存在滿足條件的點；
在直線的左側：，所以在直線的左側存在滿足條件的點有2個；
所以圓上只存在2個點到直線的距離為，故C選項錯誤;
對于D選項：過點與平行的直線方程可設為: ，
將點代入，所以，即,
所以過點與平行的直線方程為: ，故D選項錯誤.
故選：AB.
4．BC
【分析】對于A：求出點關于直線l的對稱點，然后通過求最小值；對于B：通過，當三點共線時取最大值來求解；對于C：設，求出坐標，表示出，利用基本不等式求最小值；對于D：表示出，利用基本不等式求最小值.
【詳解】對于A：設點關于直線l的對稱點為，
則，解得
，
當三點共線時取最小值.A錯誤；
對于B：，當三點共線時取最大值，
又，即，
聯立，解得，
即直線l上一點使最大，B正確；
對于C：設，
當時，，當時，，
即，
，
當且僅當，即時等號成立，
此時，即，C正確；
對于D：，
當且僅當，即時等號成立，
此時，即，D錯誤.
故選：BC.
5．或
【分析】根據題意，求出與軸的交點，設出直線的方程，根據點關于直線的對稱點在軸上，列出方程，即可得到結果.
【詳解】

直線交軸于點，交軸于點，
設直線的方程為，則關于直線的對稱點在軸上，
所以，則的中點在直線上，所以①，
又②，聯立①②可得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
6．
【分析】結合兩點間線段最短，只需求其中一個點關于直線的對稱點，再求對稱點與另一點的距離即可.
【詳解】

由題可知在的同側，
設點關于直線的對稱點為，
則，解得即．
將軍從出發點到河邊的路線所在直線即為，又，
所以直線的方程為，
設將軍在河邊飲馬的地點為，
則即為與的交點，
，解得，
所以．
故答案為：
反思提升：
(1)光的反射問題實質是點關于直線的對稱問題，要注意轉化.
(2)直線關于點的對稱：直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.
(3)求直線l1關于直線l對稱的直線l2，有兩種處理方法：
①在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關于直線的對稱點的方法求出這兩點關于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l2的方程.
②設點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關于直線l的對稱點為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據點關于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.
【考點4】直線系方程的應用
一、單選題
1．（23-24高二下·上海·階段練習）已知直線的方程是，則對任意的實數，直線一定經過（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（23-24高三上·山東臨沂·期末）過圓C：外一點作圓C的切線，切點分別為A，B，則直線過定點（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（23-24高二上·江西·階段練習）已知圓，直線，下列說法正確的是（ ）
A．無論取何值，直線與圓相交
B．直線被圓截得的最短弦長為
C．若，則圓關于直線對稱的圓的方程為
D．直線的方程能表示過點的所有直線的方程
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知直線與圓相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．若圓關于直線對稱，則
B．的最小值為
C．當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點
D．若（為坐標原點）四點共圓，則
三、填空題
5．（23-24高三上·重慶九龍坡·階段練習）已知直線恒過定點P，則點P關于直線的對稱點的坐標是 ．
6．（23-24高二上·全國·課后作業）經過點和兩直線；交點的直線方程為 .
參考答案：
1．A
【分析】
首先求直線所過定點，再判斷選項.
【詳解】，
，得，定點在第一象限，則直線一定經過第一象限
故選：A
2．A
【分析】首先求以為直徑的圓的方程，再讓兩圓相減得到直線的方程，即可求解直線所過的定點.
【詳解】以為直徑的圓的方程為，
即，圓，
兩圓方程相減就是直線的方程，即可，
整理為，
聯立，得，
所以直線恒過定點.
故選：A
3．AC
【分析】求出直線所過定點的坐標，判斷定點與圓的位置關系，可判斷A選項；求出圓心到直線距離的最大值，結合勾股定理可判斷B選項；當時，求出圓關于直線的對稱圓的方程，可判斷C選項；
【詳解】對于A選項，直線的方程可變形為，
由可得，所以，直線過定點，
因為，所以，點在圓內，
故無論取何值，直線與圓相交，A對；
對于B選項，圓心為坐標原點，半徑為，
當時，點到直線的距離取最大值，且其最大值為，
此時，直線被圓截得的弦長最短，且最短弦長為，B錯；
對于C選項，當時，直線的方程為，
設圓心關于直線的對稱點為，
則線段的中點在直線上，則①，
直線，且直線的斜率為，則②，聯立①②可得，，
故若，則圓關于直線對稱的圓的方程為，C對；
對于D選項，若直線表示直線，則，無解，
且直線過點，故直線不能表示直線，D錯.
故選：AC.
4．BCD
【分析】根據對稱性判斷直線過圓心，即可判斷A，將直線的方程整理為，即可說明直線所故定點，當定點為弦的中點時，此時弦長最短，根據弦長公式判斷B，根據圓系方程，可判斷C，根據幾何關系，設出過四點的圓的方程，再求過圓和圓的交點的直線的方程，代入定點，即可判斷D.
【詳解】A.若圓關于直線對稱，則直線過圓的圓心，即，得，故A錯誤；
B. ，整理為，不管為何值，直線始終過點，當是線段的中點時，此時弦長最短，
圓，圓心是，半徑，
圓心和點的距離是，所以最短弦長，故B正確；
C. 當時，直線，
曲線，即，
所以曲線為過直線與圓交點的曲線方程，故C正確；
D.若四點共圓，設此圓為圓，圓的圓心，
的中點為，所以的垂直平分線方程為，所以，
圓的方程為，整理為，
直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得
所以直線的方程是，
將直線所過的定點坐標代入上式得，得，
所以直線，即直線的斜率為，即，則，故D正確.
故選：BCD
5．
【分析】
首先化簡直線方程，求出定點的坐標，再代入點關于直線對稱的點的計算公式，即可求解.
【詳解】由直線化為，
令，解得，于是此直線恒過點．
設點P關于直線的對稱點為，
則，解得，∴．
故答案為：
6．
【分析】設所求直線方程為，將點代入方程，求得，即可求解.
【詳解】設所求直線方程為，
點在直線上，
，
解得，
所求直線方程為，即．
故答案為：.
反思提升：
幾種常見的直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
【基礎篇】
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線與直線互相垂直，交點坐標為，則的值為（ ）
A．20 B． C．0 D．24
2．（24-25高二上·全國·課后作業）平面上一動點滿足：且，則動點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·河北保定·開學考試）函數圖象上的點到直線距離的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（24-25高二上·全國·課后作業）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4 B． C． D．
二、多選題
5．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線可以圍成一個三角形，則實數的值可以為（ ）
A． B．0 C．1 D．3
6．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短 在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為
B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是
C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是
D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是
7．（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）已知直線，下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．當時，關于軸的對稱直線為
C．直線一定經過第四象限
D．點到直線的最大距離為
三、填空題
8．（24-25高二·上海·隨堂練習）若與平行，則兩直線之間的距離為 .
9．（23-24高二上·江蘇南京·期末）求過兩條直線和的交點，且與垂直的直線方程 ．
10．（23-24高二下·山西·期中）已知圓：，則圓心到直線：的最大距離為 .
四、解答題
11．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習）已知兩條平行直線與之間的距離是．
(1)求直線關于直線對稱的直線方程；
(2)求直線關于直線對稱的直線方程．
12．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知直線：和：．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若與互相平行，求與間的距離．
參考答案：
1．B
【分析】根據兩直線垂直可求出的值，將公共點的坐標代入直線的方程，可得出的值，再將公共點的坐標代入直線的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【詳解】已知直線的斜率為，直線的斜率為．
又兩直線垂直，則，解得．
，即，
將交點代入直線的方程中，得．
將交點代入直線的方程中，得．
所以，．
故選：B．
2．C
【分析】設，借助兩點間距離公式代入計算后化簡即可得.
【詳解】設，由，所以6，
整理得，即動點的軌跡方程為.
故選：C.
3．A
【分析】設與直線平行且與函數圖象相切的直線方程為，利用導數的幾何意義求得切點，再求出切點到直線的距離，即得答案.
【詳解】設與直線平行且與函數圖象相切的直線方程為，
設切點為，
又因為，所以，解得，
所以切點，
又因為點到直線的距離為，
所以函數圖象上的點到直線的距離的最小值是.
故選：A.
4．D
【分析】根據平行線間方程的特征，結合平行線間距離公式進行求解即可.
【詳解】因為和互相平行，
所以，解得.
直線可以轉化為，
由兩條平行直線間的距離公式可得.
故選：D
5．BD
【分析】由題意可得三條直線兩兩都不平行且不同時過同一個點，寫出限定條件即可得結果.
【詳解】根據題意可知三條直線兩兩都不平行，且不同時過同一個點；
當平行時可得，此時不合題意，因此；
聯立，即，解得交點坐標為，
因此不在上，即可得，可得；
所以若三條直線圍成一個三角形，只需且即可.
故選：BD
6．ABD
【分析】確定關于直線對稱點，確定關于直線對稱點，利用兩點之間距離最小來判斷.
【詳解】對于A，如圖①所示，設點關于直線的對稱點為，
由解得，
所以將軍在河邊飲馬的地點的坐標為，故A錯誤；
對于B，如圖②所示，因為點關于直線的對稱點為，
將軍先去河流飲馬，再返回軍營的最短路程是，故B錯誤；
對于C，如圖③所示，因為點關于直線的對稱點分別為，；
點關于直線的對稱點為，
所以將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程，故C正確；
對于D，如圖④所示，設點關于直線的對稱點分別為，
由解得；點關于直線的對稱點為，
將軍先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回軍營的最短路程是，故D錯誤.
故選：ABD.


7．BD
【分析】A.由判斷；B.由時，直線方程為判斷；C.由時，直線方程為判斷；D.點到定點的距離判斷.
【詳解】對于A，直線，所以直線過定點，故A錯誤；
對于B.當時，直線方程為，關于軸的對稱直線為，故B正確；
對于C，當時，直線方程為，直線不經過第四象限，故C錯誤；
對于D，如圖所示：
設，由圖象知：，點到直線的最大距離為，故D正確；
故選：BD
8．
【分析】先根據直線與平行求出參數，再由兩平行直線間的距離公式可得答案.
【詳解】∵直線與平行，∴，解得，
∴直線，直線，
∴直線與之間的距離，
故答案為：.
9．
【分析】先求出直線和的交點，再設直線，代入交點求解即可．
【詳解】由得，
設直線為，代入解得，
故方程為，
故答案為：．
10．5
【分析】求出圓心坐標，與直線過定點坐標，再求兩點間的距離，即可得解.
【詳解】圓：的圓心為，半徑，
直線：，即，令，解得，
所以直線過定點，則圓心到直線的最大距離為.
故答案為：
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用兩條直線平行的性質求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.
（2）根據所求直線過已知兩直線的交點，以及上的任一點關于對稱的點在所求直線上即可求解.
【詳解】（1）因為直線：與：平行，所以，
又兩條平行直線：與：之間的距離是，
所以解得或（舍去），
即直線：，：，
設直線關于直線對稱的直線方程為，
則，解得或7（舍去），
故所求直線方程為，
（2）設直線關于直線對稱的直線為，
由，解得，所以直線經過點，
在上取一點關于對稱的點設為，
則有，解得，所以直線經過點，
所以直線的斜率為，所以直線的方程為，
即：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用直線垂直的充要條件求出的值；
（2）利用直線平行的充要條件求出的值，進一步求出兩平行線間的距離．
【詳解】（1）直線和．
當直線與互相垂直，故，
解得；故；
（2）當直線與互相平行，則，故直線的方程為；
所以直線與間的距離．
【能力篇】
一、單選題
1．（24-25高二上·上海·課堂例題）過原點的直線l的傾斜角為θ，則直線l關于直線對稱的直線的傾斜角不可能為（ ）
A．θ B． C． D．
二、多選題
2．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四個命題敘述正確的是（ ）
A．直線在軸上的截距是1
B．直線和的交點為，且在直線上，則的值是
C．設點是直線上的動點，為原點，則的最小值是
D．直線，若，則或2
三、填空題
3．（24-25高二上·全國·課后作業）直線：與直線：交于點Q，m是實數，O為坐標原點，則的最大值是 ．
四、解答題
4．（23-24高二上·天津南開·期中）已知直線與直線．
(1)當m為何值時，與相交；
(2)當m為何值時，與平行，并求與的距離；
(3)當m為何值時，與垂直．
參考答案：
1．C
【分析】利用直線與直線對稱，得到傾斜角之間的關系，然后對選項進行逐個分析判斷即可.
【詳解】設直線的傾斜角為，則，
因為直線和直線關于直線對稱，
所以直線和直線也關于直線對稱 ，
所以或，
對于A，當時，，所以A正確，
對于B，當時，，所以B正確，
對于C，若，則不成立，且也不成立，所以C錯誤，
對于D，當時，，所以D正確.
故選：C
2．BC
【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點到直線的距離判斷C；驗證判斷D.
【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；
對于B，由解得，即，則，解得，B正確；
對于C，依題意，，C正確；
對于D，當時，直線重合，D錯誤.
故選：BC
3．
【分析】利用兩點間距離公式求出，再分析得到最值即可.
【詳解】因為：與直線：的交點坐標為，
所以，
若最大，則最小，則最小，
而，當且僅當時取等，此時，
所以的最大值是．
故答案為：
4．(1)且
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用兩直線相交的充要條件，運算得解；
（2）利用兩直線平行的充要條件及兩平行線間距離公式，運算得解；
（3）利用兩直線垂直的充要條件，運算得解.
【詳解】（1）由直線與相交，則，解得且.
（2）由直線與平行，則，解得，
所以此時直線，，
所以與的距離為.
（3）由直線與垂直，則，解得或.
【培優篇】
一、單選題
1．（23-24高二下·河南焦作·期末）平面幾何中有定理：已知四邊形的對角線與相交于點，且，過點分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點，則圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·廣東珠海·一模）中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，中國結有著復雜曼妙的曲線，其中的八字結對應著數學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中，到兩定點，距離之積為常數的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點，則下列結論正確的是（ ）

A．曲線C的圖象關于原點對稱
B．曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）
C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3
D．曲線C上有且僅有3個點P滿足
三、填空題
3．（23-24高三下·全國·強基計劃），，有零點，則的最小值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】由已知可得，，，的坐標，根據垂直關系聯立方程組可分別求出，的坐標，根據，，三點在圓上，分別求線段，的垂直平分線所在直線方程，通過聯立解方程組求解圓心的坐標，即可求解圓的方程.
【詳解】

由得，由得，
由得，
因為，對角線與相交于點，所以，
因為，所以所在直線方程為，
與聯立方程組解得，
因為，所以所在直線方程為，
與聯立方程組解得，
因為，所以線段的垂直平分線方程為，
線段的垂直平分線方程為，
聯立，解得，所以，
又，
所以圓的方程為.
故選：.
【點睛】方法點睛：求圓的方程的常用方法：
（1）直接法：直接求出圓心坐標和圓的半徑，寫出方程；
（2）待定系數法：根據已知條件設出方程，代入求解.
2．AC
【分析】根據題意求出軌跡的方程，把代入的方程可判斷；令，，得的范圍可判斷；由曲線的方程可得，根據可判斷；由題意得，設，結合題意計算可判斷.
【詳解】對于選項A：
化簡得到：，
將代入可得，
所以曲線.
把代入得，
所以，曲線的圖象關于原點對稱，故A正確；
對于選項B：令解得，即：曲線經過，
結合圖象，得.
今，得，
令，得，
因此，結合圖象曲線只能經過3個整點.
故B錯誤；
對于選項C：可得，
所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，
即：都不超過3，故C正確；
對于選項D：點滿足，則在垂直平分線上，則，
設，則，
，
故只有原點滿足，故D錯誤.
故選：.
【點睛】方法點睛：相關點代入法求軌跡方程的方法：
一般情況下，所求點的運動，依賴于另外一個或多個點的運動，可以通過對這些點設坐標來尋找代換關系.
（1）求誰設誰，設所求點的坐標為；
（2）所依賴的點稱之為“參數點”，設為等；
（3）“參數點”滿足某個（些）方程，可供代入；
（4）尋找所求點與“參數點”之間的坐標關系，反解參數值；
（5）代入方程，消去參數值.
3．/
【分析】將方程看成關于的二元一次方程，轉化為原點到直線的距離的平方，再結合基本不等式，即可求解.
【詳解】由題意可知，方程有實數根，
將關于的方程看成關于的直線方程，
則可視為直線上的點到原點的距離的平方，
其最小值即為原點到直線的距離的平方，
所以距離的平方，
，
令，則，
因為，所以，當且僅當，即時取等號，
則，
由對勾函數的單調性可知，函數在上單調遞增，
所以，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是方程主次元的轉化，構造的幾何意義.
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