資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題17.2勾股定理的逆定理八大題型（一課一講）
（內(nèi)容:勾股定理逆定理及其應(yīng)用）
【人教版】
題型一：判斷三邊是否能構(gòu)成直角三角形
【經(jīng)典例題1】在△ABC中，，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且 B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°
C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC不是直角三角形
【變式訓練1-1】下列各組數(shù)據(jù)分別是三角形的三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】在△ABC中，下列條件：①；②；③；④，，．能判斷△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練1-3】已知△ABC三邊為，，，下列條件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，，
【變式訓練1-4】下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，，
【變式訓練1-5】設(shè)△ABC的三邊長分別為，，，則滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點
【經(jīng)典例題2】如圖，在方格中作以為一邊的，要求點C也在格點上，這樣的能作出（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．7個
【變式訓練2-1】在如圖所示的的方格圖中，點A和點B均為圖中格點．點C也在格點上，滿足△ABC為以為斜邊的直角三角形．這樣的點C有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練2-2】在平面直角坐標系中，已知點，為坐標原點．若要使是直角三角形，則點的坐標不可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】在如圖的網(wǎng)格中，以為一邊畫，則滿足條件的格點C共有（ ）
A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
【變式訓練2-4】如圖，小正方形組成的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．點，，，，，均在格點上，其中，，，四個點中能與點，構(gòu)成一個直角三角形的是點 ．
【變式訓練2-5】如圖，A，B，P是方格紙中的格點．請按要求畫以為邊的格點三角形（頂點在格點上）．
(1)在圖1中畫一個直角三角形，使點P在△ABC的內(nèi)部（不包括邊界）．
(2)在圖2中畫一個等腰三角形，使點P在一邊的中垂線上．
【變式訓練2-6】在直角坐標系中，我們把橫縱坐標都為整數(shù)的點叫作整點，頂點都是整點的三角形稱為整點三角形．如圖，已知整點，，請在所在的網(wǎng)格區(qū)域（含邊界）畫出符合要求的整點三角形．
(1)在圖1中畫一個．
(2)在圖2中畫一個，使點Q的橫縱坐標相等，且的面積等于3．
題型三：在網(wǎng)格中判斷直角三角形
【經(jīng)典例題3】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長均為1，點均在格點上.
(1)是直角三角形嗎 請說明理由；
(2)求四邊形的面積.
【變式訓練3-1】如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1，△ABC的頂點在格點上．
(1)填空：______，______，______．
(2)是直角嗎？請說明理由．
(3)請建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担懗觯c的坐標．
【變式訓練3-2】如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為，△ABC的頂點均在網(wǎng)格的格點上．
(1) ， ， ；
(2)△ABC是直角三角形嗎？請作出判斷并說明理由．
【變式訓練3-3】如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點均在格點上．點A、B、C的坐標分別為，，．
(1)若與△ABC關(guān)于x軸成軸對稱，畫出；
(2)①判斷△ABC的形狀，并說明理由．
②計算△ABC的面積為 ．
【變式訓練3-4】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點，，均在正方形網(wǎng)格的格點上．
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形，并寫出頂點的坐標；
(2)求出點B到的距離．
題型四：利用勾股定理的逆定理求線段長度
【經(jīng)典例題4】如圖所示，已知，，，則的長為 ．
【變式訓練4-1】如圖，在中，，求的長是多少？
【變式訓練4-2】如圖，△ABC中，，，邊上的中線．
(1)與互相垂直嗎？為什么？
(2)求的長．
【變式訓練4-3】如圖，中，，，，B是延長線上的點，連接，若，
(1)說明為直角，
(2)求的長．
【變式訓練4-4】如圖，在△ABC中，，是上一點，且，．
(1)求證：；
(2)求的長．
【變式訓練4-5】如圖，在△ABC中，，是邊上的一點，，，．
(1)判斷的形狀，并說明理由；
(2)求△ABC的周長．
題型五：利用勾股定理的逆定理求角度
【經(jīng)典例題5】如圖，在四邊形中，，，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】如圖，在△ABC中，，，，點是△ABC外一點，連接，且．求的度數(shù)．
【變式訓練5-2】如圖∠B=90°，，，，，求的度數(shù)．
【變式訓練5-3】如圖，在四邊形中，，，，，，若，求的大小．
【變式訓練5-4】如圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù)．
題型六：利用勾股定理的逆定理求面積
【經(jīng)典例題6】已知如圖，某建筑物地基四邊形，經(jīng)測量米，米，米，米，且，求此建筑物地基四邊形的面積．

【變式訓練6-1】如圖，四邊形中，，連接．
(1)求的長；
(2)判斷三角形的形狀，并求出四邊形的面積．
【變式訓練6-2】如圖，在四邊形中，，，∠ABD=90°，，．求四邊形的面積．
【變式訓練6-3】如圖，四邊形紙片，．經(jīng)測得，，，．
(1)求A、C兩點之間的距離．
(2)求這張紙片的面積．
【變式訓練6-4】如圖，在△ABC中，，，D為邊上的一點，，．
(1)求證：；
(2)求△ABC的面積．
【變式訓練6-5】如圖，內(nèi)有一點，．已知，，，，求圖中陰影部分的面積S．
題型七：勾股定理逆定理的實際應(yīng)用
【經(jīng)典例題7】（教材母題變式）如圖，一艘快艇計劃從地航行到距離地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到達地接人，再從地航行20海里到達地，此時快艇位于地的 方向上．
【變式訓練7-1】如圖，學校有一塊三角形空地，計劃將這塊三角形空地分割成四邊形和三角形，分別擺放兩種不同的花卉．經(jīng)測量，，求四邊形的面積．
【變式訓練7-2】如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地，，，．從點修了一條垂直于的小路，垂足為．點恰好是的中點，且．
(1)求的長；
(2)連接，判斷的形狀并說明理由．
【變式訓練7-3】教育部大力倡導新時代中小學生勞動教育，旨在塑造學生正確勞動價值觀與優(yōu)秀勞動品質(zhì)、某學校積極貫徹落實，把校內(nèi)如圖所示的四邊形空地改造為“勞動樂園”．經(jīng)測量，米，米，米，米，．該“勞動樂園”即將迎來盛大的勞動成果展示活動．
【解析】
(1)為增添活動氛圍，學校打算用一條裝飾彩帶將“勞動樂園”內(nèi)的、兩點連接起來，求至少需要多少米裝飾彩帶？
(2)學校計劃在“勞動樂園”內(nèi)播撒繽紛色彩，在三角形區(qū)域種植玫瑰，每平方米種植5株，在三角形區(qū)域種植郁金香，每平方米種植3株．求總共需要種植多少株花卉．
【變式訓練7-4】在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點、，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（、、在同一條直線上），并新修一條路，測得米，米，米．
(1)問是否為從村莊到河邊最近的路？請通過計算加以說明；
(2)求原來的路線的長．
【變式訓練7-5】全民健身手牽手，社區(qū)運動心連心．為提升社區(qū)居民的幸福感，某小區(qū)準備將轄區(qū)內(nèi)的一塊平地，如圖所示的四邊形進行改建，將四邊形全部鋪設(shè)具有耐磨性和防滑性的運動型塑膠地板．經(jīng)測量，四邊形中，，米，米，米，米．
(1)求的長度；
(2)已知運動型塑膠地板每平方米200元，請計算在四邊形地面上全部鋪設(shè)運動型塑膠地板，購買運動型塑膠地板的費用需要多少元？
題型八：勾股定理逆定理的拓展應(yīng)用
【經(jīng)典例題8】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個三角形的三條邊的長，且最大，我們可以利用，，之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．
（1）若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是 ；
（2）若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為 ；
（3）帶一個三角形的三邊長，，，其中是最長邊長，則該三角形是 三角形．
【變式訓練8-1】定義：a，b，c為正整數(shù)，若，則稱c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 如，則13是“完美勾股數(shù)”，5，12是13的“伴侶勾股數(shù)”．
(1)數(shù)10________“完美勾股數(shù)”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足． 求證：c是“完美勾股數(shù)”．
(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 多項式有一個因式，求該多項式的另一個因式．
【變式訓練8-2】在△ABC中，，設(shè)為最長邊，當時，△ABC是直角三角形；當時，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．
(1)當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為________三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為________三角形；
(2)猜想：當________時，△ABC為銳角三角形；當________時，△ABC為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判斷：當時，
當△ABC為直角三角形時，則的取值為________；
當△ABC為銳角三角形時，則的取值范圍________；
當△ABC為鈍角三角形時，則的取值范圍________．
【變式訓練8-3】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：
（1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．
（2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個三角形是直角三角形，求的值．
（3）當，時，判斷△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．
【變式訓練8-4】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱　 　，　 　．
（2）如圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相同的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以△ABC邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，連接DE、DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
【變式訓練8-5】閱讀：判斷三角形的形狀，有一個重要的方法：如果一個三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．這個方法稱為“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三條邊，已知，，，判斷△ABC的形狀．
解：在△ABC中，因為，，所以．所以△ABC是直角三角形．
認真閱讀上述材料后，按此方法解答下列問題：
(1)填空：已知三角形的三邊長分為5、12、13，因為 ，所以這個三角形是直角三角形．
(2)已知△ABC三邊分別為，求證：△ABC是直角三角形．
(3)已知、、是△ABC的三邊，且滿足，試判斷△ABC的形狀．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題17.2勾股定理的逆定理八大題型（一課一講）
（內(nèi)容:勾股定理逆定理及其應(yīng)用）
【人教版】
題型一：判斷三邊是否能構(gòu)成直角三角形
【經(jīng)典例題1】在△ABC中，，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且 B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°
C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC不是直角三角形
【答案】B
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
故選：B．
【變式訓練1-1】下列各組數(shù)據(jù)分別是三角形的三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：A．，不是直角三角形，不符合題意；
B．，是直角三角形，不符合題意；
C．，不是直角三角形，不符合題意；
D．，不是直角三角形，不符合題意，
故選：B．
【變式訓練1-2】在△ABC中，下列條件：①；②；③；④，，．能判斷△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【詳解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，故△ABC是直角三角形，符合題意；
②∵，
∴，故△ABC不是直角三角形，不符合題意；
③∵，
∴，故△ABC是直角三角形，符合題意；
④∵，，，
∴，故△ABC是等邊三角形，不符合題意；
綜上所述，能判斷△ABC是直角三角形的有①③，共個，
故選：B．
【變式訓練1-3】已知△ABC三邊為，，，下列條件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．，，
【答案】D
【詳解】解：A、由，，，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合題意；
B、由，又，則，是直角三角形，不符合題意；
C、由，得，，是直角三角形，不符合題意；
D、由，，得，，不是直角三角形，符合題意．
故選：D．
【變式訓練1-4】下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，，
【答案】D
【詳解】解：A、由條件，可得，又，可求得，故△ABC是直角三角形；
B、，可設(shè)，，，則，故△ABC是直角三角形；
C、由條件，且，可求得，故△ABC是直角三角形；
D、由條件可得到，不滿足勾股定理的逆定理，故△ABC不是直角三角形．
故選：D．
【變式訓練1-5】設(shè)△ABC的三邊長分別為，，，則滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、，，
，
，
△ABC是直角三角形，故A選項不符合題意；
B、設(shè)，則，，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：，
解得：，即，
△ABC是直角三角形，故B選項不符合題意；
C、當，，時，
，
根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC不是直角三角形，故C選項符合題意；
D、變形可得：，
根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形，故D選項不符合題意；
故選：C．
題型二：圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點
【經(jīng)典例題2】如圖，在方格中作以為一邊的，要求點C也在格點上，這樣的能作出（ ）
A．2個 B．4個 C．6個 D．7個
【答案】C
【詳解】解：當是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、D、E、H四個；
當是直角邊，A是直角頂點時，第三個頂點是F點；
當是直角邊，B是直角頂點時，第三個頂點是G．
因而共有6個滿足條件的頂點．
故選C．
【變式訓練2-1】在如圖所示的的方格圖中，點A和點B均為圖中格點．點C也在格點上，滿足△ABC為以為斜邊的直角三角形．這樣的點C有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【詳解】解：如圖，滿足條件的點C共有4個，
故選D．
【變式訓練2-2】在平面直角坐標系中，已知點，為坐標原點．若要使是直角三角形，則點的坐標不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖所示，點的坐標不可能是，
A.點時，，此項不符合題意；
B.點時，，此項不符合題意；
C.點時，如圖，不是直角三角，符合題意；
D.點時，由勾股定理求得,故，即,此項不符合題意；
故選：C．

【變式訓練2-3】在如圖的網(wǎng)格中，以為一邊畫，則滿足條件的格點C共有（ ）
A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
【答案】B
【詳解】如圖所示，
當是斜邊時，由網(wǎng)格可得，，
∴
∵
∴
∵
∴
∴第三個頂點所在的位置有：C、D、E、H四個；
當是直角邊，A是直角頂點時，
∵
∴；
∴第三個頂點可以是F點；
當是直角邊，B是直角頂點時，
∵
∴；
∴第三個頂點可以是G．
∴共有6個滿足條件的頂點．
故選：B．
【變式訓練2-4】如圖，小正方形組成的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．點，，，，，均在格點上，其中，，，四個點中能與點，構(gòu)成一個直角三角形的是點 ．
【答案】
【詳解】解：點、，，，
，
不是直角三角形，故點不符合題意；
點、，，，
，
不是直角三角形，故點不符合題意；
點、，，，
，
是直角三角形，故點符合題意；
點、，，，
，
不是直角三角形，故點不符合題意；
故答案為：．
【變式訓練2-5】如圖，A，B，P是方格紙中的格點．請按要求畫以為邊的格點三角形（頂點在格點上）．
(1)在圖1中畫一個直角三角形，使點P在△ABC的內(nèi)部（不包括邊界）．
(2)在圖2中畫一個等腰三角形，使點P在一邊的中垂線上．
【詳解】（1）解：△ABC即為所求（答案不唯一）；
（2）解：即為所求（答案不唯一）．
【變式訓練2-6】在直角坐標系中，我們把橫縱坐標都為整數(shù)的點叫作整點，頂點都是整點的三角形稱為整點三角形．如圖，已知整點，，請在所在的網(wǎng)格區(qū)域（含邊界）畫出符合要求的整點三角形．
(1)在圖1中畫一個．
(2)在圖2中畫一個，使點Q的橫縱坐標相等，且的面積等于3．
【詳解】（1）解：如圖，當分別為直角邊和斜邊時，
（2）解：如圖：
點Q的橫縱坐標相等，
點Q在直線上，
根據(jù)割補法依次計算可得：點Q的位置如上圖．
題型三：在網(wǎng)格中判斷直角三角形
【經(jīng)典例題3】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長均為1，點均在格點上.
(1)是直角三角形嗎 請說明理由；
(2)求四邊形的面積.
【答案】(1)是，見解析(2)
【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
，
,
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：四邊形的面積
．
【變式訓練3-1】如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1，△ABC的頂點在格點上．
(1)填空：______，______，______．
(2)是直角嗎？請說明理由．
(3)請建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担懗觯c的坐標．
【答案】(1)；；5
(2)是直角，理由見解析
(3)圖見解析，， ，（答案不唯一）
【詳解】（1）解：正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1，
，，．
故答案為：，，5；
（2）解：是直角，理由如下：
，
△ABC為直角三角形，
是直角．
（3）解：以為原點，建立如下所示的平面直角坐標系，
由圖知，， ，．
【變式訓練3-2】如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為，△ABC的頂點均在網(wǎng)格的格點上．
(1) ， ， ；
(2)△ABC是直角三角形嗎？請作出判斷并說明理由．
【答案】(1)，，
(2)△ABC是直角三角形，理由見解析
【詳解】（1）解：由網(wǎng)格得，，，，
故答案為：，，；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
【變式訓練3-3】如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點均在格點上．點A、B、C的坐標分別為，，．
(1)若與△ABC關(guān)于x軸成軸對稱，畫出；
(2)①判斷△ABC的形狀，并說明理由．
②計算△ABC的面積為 ．
【答案】(1)圖見解析
(2)等腰直角三角形，理由見解析
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作；
（2）解：①△ABC為等腰直角三角形，理由如下：
由勾股定理可得：，，，
∴，，
∴，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
②△ABC的面積，
故答案為：5．
【變式訓練3-4】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點，，均在正方形網(wǎng)格的格點上．
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形，并寫出頂點的坐標；
(2)求出點B到的距離．
【答案】(1)見解析，(2)2
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
頂點的坐標為；
（2）解：根據(jù)題意得：
，
，
∴△ABC為直角三角形，
設(shè)點B到的距離為h，
，
，
解得：，
即點B到的距離為2．
題型四：利用勾股定理的逆定理求線段長度
【經(jīng)典例題4】如圖所示，已知，，，則的長為 ．
【答案】
【詳解】解：如圖，延長至點E，使，
則，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-1】如圖，在中，，求的長是多少？
【答案】的長為
【詳解】解：∵，即，
∴是直角三角形，
∵，
∴是的高，
∵，
∴，
∴的長為．
【變式訓練4-2】如圖，△ABC中，，，邊上的中線．
(1)與互相垂直嗎？為什么？
(2)求的長．
【答案】(1)與互相垂直，理由見解析(2)．
【詳解】（1）解：與互相垂直，
證明：∵是邊上的中線，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，．
【變式訓練4-3】如圖，中，，，，B是延長線上的點，連接，若，
(1)說明為直角，
(2)求的長．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
【變式訓練4-4】如圖，在△ABC中，，是上一點，且，．
(1)求證：；
(2)求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
即的長是．
【變式訓練4-5】如圖，在△ABC中，，是邊上的一點，，，．
(1)判斷的形狀，并說明理由；
(2)求△ABC的周長．
【答案】(1)直角三角形；理由見解析(2)
【詳解】（1）解：是直角三角形；理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，則，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，則
∴△ABC的周長．
題型五：利用勾股定理的逆定理求角度
【經(jīng)典例題5】如圖，在四邊形中，，，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，連接，
∵，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故選：C．
【變式訓練5-1】如圖，在△ABC中，，，，點是△ABC外一點，連接，且．求的度數(shù)．
【答案】
【詳解】解： ，
，
在 中，
，
，
．
【變式訓練5-2】如圖∠B=90°，，，，，求的度數(shù)．
【答案】∠D=90°
【詳解】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
【變式訓練5-3】如圖，在四邊形中，，，，，，若，求的大小．
【答案】
【詳解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練5-4】如圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù)．
【答案】
【詳解】解：連接，
，，
.
在中，，
在中，，
，
，
題型六：利用勾股定理的逆定理求面積
【經(jīng)典例題6】已知如圖，某建筑物地基四邊形，經(jīng)測量米，米，米，米，且，求此建筑物地基四邊形的面積．

【答案】建筑物地基四邊形的面積為324平方米
【詳解】解：連接，

∵，
∴為直角三角形，
由勾股定理知：，
∴，
∵，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
∴平方米，
所以，此建筑物地基四邊形的面積為324平方米．
【變式訓練6-1】如圖，四邊形中，，連接．
(1)求的長；
(2)判斷三角形的形狀，并求出四邊形的面積．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，四邊形的面積為
【詳解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∴是直角三角形，
∴，，
∵，
∴四邊形的面積為．
【變式訓練6-2】如圖，在四邊形中，，，∠ABD=90°，，．求四邊形的面積．
【答案】
【詳解】解：∠ABD=90°，，，
，，
，，
是直角三角形，，
四邊形的面積．
【變式訓練6-3】如圖，四邊形紙片，．經(jīng)測得，，，．
(1)求A、C兩點之間的距離．
(2)求這張紙片的面積．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：連接，如圖．
在中，，，，，
∴，
解得（負值舍去）
即A、C兩點之間的距離為；
（2）解：∵，
∴，
∴四邊形紙片的面積
．
【變式訓練6-4】如圖，在△ABC中，，，D為邊上的一點，，．
(1)求證：；
(2)求△ABC的面積．
【答案】(1)見解析(2)84
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根據(jù)勾股定理，得，
∴，
∴△ABC的面積為：．
【變式訓練6-5】如圖，內(nèi)有一點，．已知，，，，求圖中陰影部分的面積S．
【答案】cm2．
【詳解】解：，
由勾股定理得，即，
在中，，
是直角，
．
題型七：勾股定理逆定理的實際應(yīng)用
【經(jīng)典例題7】（教材母題變式）如圖，一艘快艇計劃從地航行到距離地16海里的地，它先沿北偏西方向航行12海里到達地接人，再從地航行20海里到達地，此時快艇位于地的 方向上．
【答案】北偏東
【詳解】解：由題意知，，，，
，
，
是直角三角形，
，
，
此時快艇位于地的北偏東方向上．
故答案為：北偏東．
【變式訓練7-1】如圖，學校有一塊三角形空地，計劃將這塊三角形空地分割成四邊形和三角形，分別擺放兩種不同的花卉．經(jīng)測量，，求四邊形的面積．
【答案】18
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
答：四邊形的面積為18．
【變式訓練7-2】如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地，，，．從點修了一條垂直于的小路，垂足為．點恰好是的中點，且．
(1)求的長；
(2)連接，判斷的形狀并說明理由．
【答案】(1)(2)是直角三角形
【詳解】（1）解：，
．
在中，
，，
．
是的中點，
．
（2）解：如圖，
，是的中點，
．
，，
，
，
是直角三角形．
【變式訓練7-3】教育部大力倡導新時代中小學生勞動教育，旨在塑造學生正確勞動價值觀與優(yōu)秀勞動品質(zhì)、某學校積極貫徹落實，把校內(nèi)如圖所示的四邊形空地改造為“勞動樂園”．經(jīng)測量，米，米，米，米，．該“勞動樂園”即將迎來盛大的勞動成果展示活動．
【解析】
(1)為增添活動氛圍，學校打算用一條裝飾彩帶將“勞動樂園”內(nèi)的、兩點連接起來，求至少需要多少米裝飾彩帶？
(2)學校計劃在“勞動樂園”內(nèi)播撒繽紛色彩，在三角形區(qū)域種植玫瑰，每平方米種植5株，在三角形區(qū)域種植郁金香，每平方米種植3株．求總共需要種植多少株花卉．
【答案】(1)米(2)株
【詳解】（1）解如圖，連接
，
（米）
至少需要米裝飾彩帶；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，
（平方米），
（平方米），
（株），
共需要種植株花卉．
【變式訓練7-4】在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點、，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（、、在同一條直線上），并新修一條路，測得米，米，米．
(1)問是否為從村莊到河邊最近的路？請通過計算加以說明；
(2)求原來的路線的長．
【答案】(1)是最近的路，說明見解析(2)米
【詳解】（1）由題知：米，米，米，
∵，
∴在中：，
∴是直角三角形，，
則，
即是最近的路．
（2）設(shè)米，則米，
在中，根據(jù)勾股定理，
即，
解得，
則米，得：米．
【變式訓練7-5】全民健身手牽手，社區(qū)運動心連心．為提升社區(qū)居民的幸福感，某小區(qū)準備將轄區(qū)內(nèi)的一塊平地，如圖所示的四邊形進行改建，將四邊形全部鋪設(shè)具有耐磨性和防滑性的運動型塑膠地板．經(jīng)測量，四邊形中，，米，米，米，米．
(1)求的長度；
(2)已知運動型塑膠地板每平方米200元，請計算在四邊形地面上全部鋪設(shè)運動型塑膠地板，購買運動型塑膠地板的費用需要多少元？
【答案】(1)25米(2)46800元
【詳解】（1）解：，米，米，
（米），
的長度為25米．
（2）解：由（1）得，米，
又米，米，
，
，
（平方米），
（平方米），
（平方米），
運動型塑膠地板每平方米200元，
購買運動型塑膠地板的費用為：（元）．
答：購買運動型塑膠地板的費用需要46800元．
題型八：勾股定理逆定理的拓展應(yīng)用
【經(jīng)典例題8】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個三角形的三條邊的長，且最大，我們可以利用，，之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．
（1）若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是 ；
（2）若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為 ；
（3）帶一個三角形的三邊長，，，其中是最長邊長，則該三角形是 三角形．
【答案】 銳角三角形 或 鈍角
【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是銳角三角形，
故答案為：銳角三角形；
（2）∵這個三角形是直角三角形，當x為斜邊，
∴52+122=x2，
∴x=13，
當12是斜邊，
則52+x2=122，
解得：x=，
綜上所述：x=13或．
故答案為：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴該三角形是鈍角三角形．
【變式訓練8-1】定義：a，b，c為正整數(shù)，若，則稱c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 如，則13是“完美勾股數(shù)”，5，12是13的“伴侶勾股數(shù)”．
(1)數(shù)10________“完美勾股數(shù)”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足． 求證：c是“完美勾股數(shù)”．
(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 多項式有一個因式，求該多項式的另一個因式．
【答案】(1)是(2)見解析(3)
【詳解】（1）解：，
數(shù)10是“完美勾股數(shù)”，
故答案為：是；
（2）證明：
，
，
是“完美勾股數(shù)”；
（3）解：由題意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一個因式為，
，
∴另一個因式為．
【變式訓練8-2】在△ABC中，，設(shè)為最長邊，當時，△ABC是直角三角形；當時，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．
(1)當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為________三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為________三角形；
(2)猜想：當________時，△ABC為銳角三角形；當________時，△ABC為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判斷：當時，
當△ABC為直角三角形時，則的取值為________；
當△ABC為銳角三角形時，則的取值范圍________；
當△ABC為鈍角三角形時，則的取值范圍________．
【答案】(1)銳角；鈍角(2)
(3)①；②；③
【詳解】（1）解：當兩直角邊為6、8時，斜邊
當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形
當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
當時，△ABC為銳角三角形；
當時，△ABC為鈍角三角形；
（3）解：當為直角三角形時，；
當△ABC為銳角三角形時，，
；
當△ABC為鈍角三角形時，，
則的取值范圍為，
兩邊之和大于第三邊，
．
【變式訓練8-3】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：
（1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．
（2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個三角形是直角三角形，求的值．
（3）當，時，判斷△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．
【答案】（1）銳角；（2）169或119；（3）見解析
【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是銳角三角形，
故答案為：銳角；
（2）∵這個三角形是直角三角形，當x為斜邊，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
當12是斜邊，
則52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值為169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是鈍角三角形，
則或，
則或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
則或，
則或；
若△ABC是銳角三角形，
則或，
則或，
∴．
【變式訓練8-4】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱　 　，　 　．
（2）如圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相同的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以△ABC邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，連接DE、DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
【答案】（1）直角梯形，長方形；（2）圖見解析；（3）證明見解析
【詳解】解：（1）填直角梯形，長方形；
（2）如圖，
（3）證明：∵△ABD為等邊三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
連接EC，連接AC．則△BCE為等邊三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【變式訓練8-5】閱讀：判斷三角形的形狀，有一個重要的方法：如果一個三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．這個方法稱為“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三條邊，已知，，，判斷△ABC的形狀．
解：在△ABC中，因為，，所以．所以△ABC是直角三角形．
認真閱讀上述材料后，按此方法解答下列問題：
(1)填空：已知三角形的三邊長分為5、12、13，因為 ，所以這個三角形是直角三角形．
(2)已知△ABC三邊分別為，求證：△ABC是直角三角形．
(3)已知、、是△ABC的三邊，且滿足，試判斷△ABC的形狀．
【答案】(1)(2)見解析(3)等腰三角形或直角三角形
【詳解】（1）解：∵，
∴這個三角形是直角三角形，
故答案為：；
（2）證明：∵，
∴，
∴，即，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：∵，
∴，
∴
∴或，
解得或，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
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