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專題17.1.1勾股定理（一）九大題型（一課一講）
（內容:勾股定理及其證明、應用）
【人教版】
題型一：用勾股定理理解三角形
【經典例題1】若直角三角形的兩直角邊長分別為，，且滿足，則該直角三角形的第三邊長為（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】D
【詳解】解：由題意得，，，
解得：，，
∵，是直角三角形的兩直角邊，
∴直角三角形的第三條邊長為．
故選D．
【變式訓練1-1】在△ABC中，則△ABC的面積為（　　）
A．4 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【詳解】解：如圖，過點作，垂足為點，
，，
，
在中，，
，
，
故選B．
【變式訓練1-2】直角三角形的兩邊滿足，那么這個三角形的面積是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【詳解】解：由，
則，，
∴，，
∴，，
當、為直角三角形兩直角邊時，三角形的面積是；
當為直角邊、為斜邊時，由勾股定理得另一直角邊長為，
此時三角形的面積是；
綜上可知：這個三角形的面積是或，
故選：．
【變式訓練1-3】已知 的三邊分別為 a ，b ，c ，且滿足， 則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．或 5
【答案】D
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
當為直角邊時，
；
當為斜邊時，
．
綜上可知，的值為或 5．
故選D．
【變式訓練1-4】已知兩根竹棍的長度分別是和，第三根竹棍與這兩根竹棍首尾順次相接，恰好構成一個直角三角形，則第三根竹棍的長度是 ．
【答案】或
【詳解】解：當第三根竹棍為直角邊時，長度
當第三根竹棍為斜邊時，長度
故第三根竹棍的長度為或．
故答案為：或．
【變式訓練1-5】已知一個直角三角形的斜邊長是，一條直角邊長是，則斜邊上的高是 ．
【答案】
【詳解】解：∵直角三角形的斜邊長是，一條直角邊長是，
∴另一直角邊的邊長為：，
設該直角三角形斜邊上的高為x，
則，
解得，
故答案為：．
題型二：勾股樹（數）問題
【經典例題2】我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中，下列各組數中，是“勾股數”的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11
【答案】C
【詳解】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整數，故不是勾股數，不符合題意；
B、1，，不是正整數，故不是勾股數，不符合題意；
C、，故6，8，10是勾股數，符合題意；
D、，故不是勾股數，不符合題意，
故選：C．
【變式訓練2-1】對于題目“已知、和是一組勾股數，求的值”，甲的結果是，乙的結果是或，丙的結果是的值不確定，則（ ）
A．甲對 B．乙對 C．丙對 D．甲、乙、丙都不對
【答案】A
【詳解】解：分兩種情況討論：
當為最長邊時，
，
解得：或（不符合題意，故舍去）；
當為最長邊時，
，
解得：（不符合題意，故舍去）；
綜上所述，的值為，
故選：．
【變式訓練2-2】當n為正整數時，下列各組數：①；②；③．其中是勾股數的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【詳解】解：顯然②這組數有分母，故不是勾股數；
∵，且它們都是正整數，
∴①這組數是勾股數；
∵，
∴③這組數不是勾股數；
即三組數中只有一組數是勾股數；
故選：A．
【變式訓練2-3】勾股定理最早出現在《周髀算經》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察下列勾股數：3，4，5；5，，；7，，；這類勾股數的特點如下：勾為奇數，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數，弦與股相差2的一類勾股數，如：6，8，；8，，；若此類勾股數的勾為，為正整數），則弦是（結果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵為正整數，
∴為偶數，
設其股是，則弦為，
由勾股定理得，，
解得，
弦是，
故選：A．
【變式訓練2-4】在探索勾股定理的實踐課上，同學們發現勾股定理本身就是一個關于的方程，滿足這個方程的正整數解，根據該公式可以構造出如下勾股數組：，…，分析上面勾股數組可以發現，，，第6個勾股數組為 ．
【答案】
【詳解】解：由勾股數組：，…，
∴第4組勾股數中間的數為，即勾股數組為，
第5組勾股數中間的數為：，即勾股數組，
第6組勾股數中間的數為：，即勾股數組．
故答案為：．
【變式訓練2-5】世界上第一次給出勾股數通解公式的是我國古代數學著作《九章算術》，其勾股數組公式為：，其中是互質的奇數，則為勾股數．我們令，得到下列順序排列的等式：
①，
②，
③，
④，
…
根據規律寫出第⑩個等式為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴第一個數的底數是，指數是2，
∵，
∴第二個數的底數是，指數是2，
∵第三個數的底數比第二個數的底數大1，指數是2，
∴第n個等式為，
∴第⑩個等式為，
故答案為：．
題型三：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
【經典例題3】1995年，希臘為紀念畢達哥拉斯學派發行了如圖1所示的郵票，圖片中間是三個正方形頂點相連構成一個三角形．如圖2，若中間的三角形為直角三角形，則三個正方形的面積可以是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14
【答案】A
【詳解】解：如圖：
由題意得：，
∴，
∴以為邊長的正方形面積+以為邊長的正方形面積=以為邊長的正方形的面積，
∵，，，，
∴三個正方形紙片的面積可以是2，3，5，
故選：A．
【變式訓練3-1】如圖，在中，，正方形，的面積分別為和，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵在中，
由勾股定理得：，，，
，
．
故選：A．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，分別以三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，若等邊三角形的面積分別用，，表示，則，，之間的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：過點作于點，
，
，
是等邊三角形，，
，，
，
，
同理：，，
，
故選：A．
【變式訓練3-3】有一個邊長為1的正方形，經過1次“生長”后，在它的左右肩上長出兩個小正方形，其中，三個正方形的三條邊圍成的三角形是直角三角形，再經過1次這樣的“生長”后，變成了如圖1所示的圖形．如果照此規律繼續“生長”下去，它將變成如圖2所示的“枝繁葉茂的勾股樹”，請你算出“生長”了2025次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【詳解】解：如圖，

由題意得，正方形A的面積為1，
∵三個正方形的三條邊圍成的三角形是直角三角形，
∴由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積，
∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為，
同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和等于第1次“生長”出的兩個正方形面積，
∴2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，
∴ “生長”了n次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為，
∴“生長”了2025次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2026，
故選：C．
【變式訓練3-4】如圖所示，已知在中，，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，，則的值等于 ．
【答案】
【詳解】解：由題意，得，，
所以，
故答案為：.
【變式訓練3-5】如圖，直線l上有三個正方形，若a，b的面積分別為9和16，則c的面積為 ．
【答案】
【詳解】解：，
，，
，
在和中，
，
，
，
a，b的面積分別為9和16，
，，
在中，，
，
c的面積為，
故答案為：
題型四：勾股定理與三角形綜合應用
【經典例題4】如圖所示，與都是等腰直角三角形，，點為邊上的一點．
(1)求證：；
(2)若，，求的長度．
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）證明：與都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可得：，，
，，
，
在中，由勾股定理可得：
，
．
【變式訓練4-1】如圖，已知，，，，求AC．
【答案】
【詳解】解：∵，，
∴．
∵，
∴為直角三角形．
∵，
∴由勾股定理知：．
【變式訓練4-2】如圖，已知，E是的中點
(1)求證：平分，平分；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析(2)20
【詳解】（1）證明：延長交的延長線于F點，
∵，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴平分；
（2）解：設，則，
∵，E是的中點，
∴，
由勾股定理得，，
在中，①，
在中，②，
由①②解得：
∴．
【變式訓練4-3】如圖，在△ABC中，，，分別是腰，上的高．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)6
【詳解】（1）證明：∵，分別是腰，上的高，
∴
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴
又由（1）得，，
∴．
【變式訓練4-4】如圖，是△ABC的高線，為上一點，連結，交于點，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)若點是的中點，，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：，
，
是的高線，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：過點作于點，
，
點是的中點，，
，
，，
，
，，，
，
，
是等腰三角形，，
．
【變式訓練4-5】如圖，在△ABC中，，點P在上運動，點D在上，始終保持與相等，的垂直平分線交于點E，交于點F，連接．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，，求線段的長．
【答案】(1)，見解析(2)
【詳解】（1）解：，理由如下；
由題意知，，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，
設，則，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴線段的長為．
題型五：勾股定理與網格問題
【經典例題5】如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，連接，
由題知，，，，
，，
，為直角三角形，即，
．
故選：C．
【變式訓練5-1】如圖在的網格中，每個小正方形的邊長均為2，則B到直線的距離為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，為邊上的高，
，
，，
，
解得：．
故選：B．
【變式訓練5-2】如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若是△ABC的高，則的長為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由勾股定理得：，
，
，
，
；
故選：C．
【變式訓練5-3】如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D都在格點上，以A為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，則的長為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵以點A為圓心，長為半徑作弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
【變式訓練5-4】如圖，在的正方形網格中，點，，，都在格點上，則與的周長的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，，，，，
∴的周長為，
的周長為，
∴與的周長的比是，
故選
【變式訓練5-5】如圖所示邊長為1的正方形網格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，則點A到的距離等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【詳解】解：過點作于，
由網格特征和勾股定理可得，
，，，
，
是直角三角形，
，
即，
，
故選：C．
題型六：勾股定理與折疊問題
【經典例題6】如圖，將長方形沿直線折疊，頂點恰好落在邊上點處，已知，，則邊的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設邊的長為，
∵四邊形是長方形，
∴，，．
，
．
由折疊的性質可知，，
．
在中，
∵，
，
解得，
∴邊的長為，
故選：C．
【變式訓練6-1】如圖，在中，，點在邊上，連接，將沿折疊，點恰好與延長線上的點重合．若，，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】解：∵將沿折疊，點恰好與延長線上的點重合，
∴，，
在中，，
設，則，
在中，，
∴，
解得：；
∴；
故選B．
【變式訓練6-2】如圖，在四邊形中，，E是上一點，將沿折疊，B，D兩點恰好重合，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設，
∵，
∴由折疊的性質可得：，
∵，
，
即，解得：，
．
即的長度為，
故選：C
【變式訓練6-3】如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點B落在點E處，連接交于點F，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵在中，，，，
∴，
由折疊的性質得：，
∴，
∴當的值最小時，取得最大值，
由垂線段最短可知，當時，的值最小，
此時，
∴，
∴的最大值為，
故選：C．
【變式訓練6-4】在如圖所示的三角形紙片中，點，分別在邊，上，把沿著折疊，點落在線段上的點處；再把沿折疊，點與點重合．若，，則△ABC紙片的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵沿著折疊，點落在線段上的點處，，，
∴，，，
∵沿折疊，點與點重合，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
在和，，
∴，
解得：，
∴，
，
∴，
∴紙片的面積是．
故選：B．
【變式訓練6-5】如圖，中，，，，將折疊后點恰好落在邊上的點處，折痕為，，則線段的長為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【詳解】解：設，由折疊可知，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即線段的長為，
故選：C
題型七：利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）
【經典例題7】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點，若，，則 ．
【答案】73
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，根據勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案為：73．
【變式訓練7-1】如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O．若，，，則 ．

【答案】21
【詳解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
【變式訓練7-2】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線，交于點．
(1)若，，，，請求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)請根據（1）（2）題中的信息，寫出關于“垂美”四邊形關于邊的一條結論．
【答案】(1)，，，(2)
(3)“垂美”四邊形對邊的平方和相等
【詳解】（1）解：四邊形是“垂美”四邊形，對角線，交于點，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四邊形是“垂美”四邊形，對角線，交于點，
，
，，
，，
；
（3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四邊形對邊的平方和相等．
【變式訓練7-3】如圖，在△ABC中，．
(1)求證：；
(2)當，，時，求的值．
【答案】(1)證明見解析；(2)；
【詳解】（1）證明： ，
在和中，根據勾股定理得，
，，
，
移項得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
【變式訓練7-4】如圖，中，，為中點，點在邊上（點不與點，重合），連接，過點作交于點，連接．
(1)求證：.
(2)若，，，直接寫出線段的長．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：作，交延長線于，連接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：設，
，，，
則，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
【變式訓練7-5】如圖，在中，已知，是斜邊的中點，交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的周長及的長．
【答案】(1)見解析
(2)的周長為，
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵是斜邊的中點，，
∴是線段的垂直平分線，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵是斜邊的中點，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周長為.
∵
∴，
即，
解得：．
題型八：利用勾股定理證明線段關系
【經典例題8】如圖，已知△ABC和，，，，點關于直線的對稱點為，線段交邊于點，交的平分線于點，連接．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析(2)(3)，見解析
【詳解】（1）證明：平分，，
，
，，
，
；
（2）解：連接．
點與點關于直線對稱，
，
，
，，
；
（3）解：，理由如下：
作，垂足為．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【變式訓練8-1】在△ABC和△ADE中，點在邊上，，，．
(1)如圖1，當時，連接，寫出，，之間的數量關系，并說明理由；
(2)如圖2，當時，過點作的垂線并延長，交于點，若，，求線段的長．
【答案】(1)，理由見詳解(2)
【詳解】（1）解：，，之間的數量關系是：，理由如下：
當時，則，
，，
和均為等腰直角三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即；
（2）解：連接，，過作交的延長線于，如下圖所示：
當時，，
，，
和均為等邊三角形，
，
同理可證：，
，，
，
，
，
在中，，，
，由勾股定理得：，
設，則，
，，
，
，
為等邊三角形，，
是線段的垂直平分線，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【變式訓練8-2】在中，，D是的中點，以為腰向外作等腰直角連接，交于點F，交于點G．
(1)求證：；
(2)試判斷線段與三者之間的等量關系，并證明你的結論．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【詳解】（1）證明：∵，D是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
由題意得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練8-3】如圖，在等腰中，，點D是上一點，作等腰Rt△DCE，且，連接

(1)求證：；
(2)請你判斷線段之間的關系？并說明理由．
【答案】(1)證明見解析(2)，見解析
【詳解】（1）證明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在與中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
，
，
∵，
．
【變式訓練8-4】(1)如圖1，四邊形的對角線于點．判斷與的數量關系，并說明理由．
(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，交點為．
①判斷，的關系，并說明理由．
②連接．若，，請直接寫出的長．
【答案】(1)，理由見解析；(2)①，，理由見解析；②
【詳解】解：（1）∵，∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即；
（2）①∵四邊形和四邊形為正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
綜上，，；
②
解析：在四邊形中，，由（1）知
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
圖2
【變式訓練8-5】在△ABC中，，是的中點，以為腰向外作等腰直角，，連接，交于點，交于點．

(1)若，求的度數；
(2)求證：；
(3)求證：．
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）證明：，是的中點，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）證明：由（2）得：，
，
，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
題型九：勾股定理的證明方法
【經典例題9】將四塊全等的直角三角紙板拼成如圖1所示的圖案，你能由此確定出直角三角形三邊長a，b，c之間的關系嗎？試試看．
(1)大正方形的面積可以表示為______，又可以表示為______，從而可得到______．
(2)若將這四塊紙板拼成如圖2所示的圖案，你能通過對比圖1與圖2，換一種方法證明勾股定理嗎？
【答案】(1)，，(2)能，見解析
【詳解】（1）解：大正方形的邊長為：，
∴大正方形的面積為：，
∵大正方形由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成，
∴大正方形的面積為：，
∴，
∴，即：；
故答案為：，，；
（2）解：能；
由圖（2）可知：大正方形的面積等于2個長方形的面積加上兩個小正方形的面積，則：，
由（1）可知：，
∴，
∴．
【變式訓練9-1】數學家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立等量關系．”類似的，我們可以用兩種不同的方法來表示同一個圖形的面積，從而得到一個等式．
(1)如圖1，大正方形是由兩個小正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成．請用兩種不同的方法表示圖中大正方形的面積．
方法1：_______；
方法2：______．
根據以上信息，可以得到的等式是_______．
(2)如圖2，大正方形是由四個邊長分別為a，b，c的直角三角形（c為斜邊）和一個小正方形拼成．請用兩種不同的方法分別表示小正方形的面積，并推導得到a，b，c之間的數量關系．
(3)在（2）的條件下，若，，求圖2中小正方形的面積．
【答案】(1)；；
(2)；；(3)25
【詳解】（1）解：，
，
∴，
故答案為：；；．
（2）解：∵從整體看，小正方形的邊長為c，
∴．
從組成看，小正方形面積由大正方形面積減去四個直角三角形面積，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴小正方形的面積為25．
【變式訓練9-2】［核必素養］勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明靈感，他發現，當兩個全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時，都可以用“面積法”來證明勾股定理．下面是小明利用圖①證明勾股定理的過程．
如圖①，，求證：．
證明：連接，過點作交的延長線于點，則，
則．
又，
，
．
請參照上述證法，利用圖②進行證明．
將兩個全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中，連接．求證：．
【答案】見解析
【詳解】證明：如答圖，連接，過點作交的延長線于點，則．
，
，
，
．
【變式訓練9-3】材料學習：在勾股定理的學習中，我們已經學會了運用圖1、圖2的圖形，驗證著名的勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數與代數，圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律．
靈活運用：如圖，等腰直角三角板如圖放置，直角頂點C在直線m上，分別過點A、B作直線m于點E，直線m于點 M，
(1)材料中的方法體現的數學思想是（ ）
A．函數思想 B．分類討論思想 C．數形結合思想 D．整體思想
(2)試說明 ；
(3)若設三邊分別為a、b、c．參照以前的學習經驗，利用此圖證明勾股定理．
【答案】(1)C；
(2)見解析；
(3)見解析．
【詳解】（1）解：根據題意可得它體現的數學思想是數形結合思想，
故選：C
（2）解：由題意得：
∵直線m ，直線m
∴
（3）解：由（2）可知：
又
【變式訓練9-4】勾股定理體現了數與形的完美結合，小明在學習了教材中介紹的拼圖證法以后突發靈感，發現新的拼圖方法：兩個全等的直角三角板和直角三角板，頂點在邊上，頂點、重合，連接、.設、交于點．，，，．請你回答以下問題：
(1)填空：______°，______（用含字母的代數式來表示）；
(2)請用兩種方法計算四邊形的面積，并以此為基礎證明勾股定理．
【答案】(1)90，(2)見解析
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴ ，
故答案為：90，；
（2）解：方法一： ；
方法二： ．
根據上面的方法可得出，
∴．
【變式訓練9-5】歷史上對勾股定理的一種證法采用了如圖所示的梯形，其中點E是邊AB上的點．
(1)請用a，b，c分別表示的面積；
(2)請你利用等面積法驗證勾股定理．
【答案】(1)
(2)見解析
【詳解】（1）的面積，
的面積，
的面積，
（2）∵四邊形ABCD的面積
，
或四邊形的面積的面積的面積的面積
，
，
∵兩種方法求得面積相等
∴．
∴
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專題17.1.1勾股定理（一）九大題型（一課一講）
（內容:勾股定理及其證明、應用）
【人教版】
題型一：用勾股定理理解三角形
【經典例題1】若直角三角形的兩直角邊長分別為，，且滿足，則該直角三角形的第三邊長為（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【變式訓練1-1】在△ABC中，則△ABC的面積為（　　）
A．4 B．12 C．16 D．24
【變式訓練1-2】直角三角形的兩邊滿足，那么這個三角形的面積是（ ）
A． B．或 C． D．或
【變式訓練1-3】已知 的三邊分別為 a ，b ，c ，且滿足， 則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．或 5
【變式訓練1-4】已知兩根竹棍的長度分別是和，第三根竹棍與這兩根竹棍首尾順次相接，恰好構成一個直角三角形，則第三根竹棍的長度是 ．
【變式訓練1-5】已知一個直角三角形的斜邊長是，一條直角邊長是，則斜邊上的高是 ．
題型二：勾股樹（數）問題
【經典例題2】我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中，下列各組數中，是“勾股數”的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11
【變式訓練2-1】對于題目“已知、和是一組勾股數，求的值”，甲的結果是，乙的結果是或，丙的結果是的值不確定，則（ ）
A．甲對 B．乙對 C．丙對 D．甲、乙、丙都不對
【變式訓練2-2】當n為正整數時，下列各組數：①；②；③．其中是勾股數的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【變式訓練2-3】勾股定理最早出現在《周髀算經》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察下列勾股數：3，4，5；5，，；7，，；這類勾股數的特點如下：勾為奇數，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數，弦與股相差2的一類勾股數，如：6，8，；8，，；若此類勾股數的勾為，為正整數），則弦是（結果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】在探索勾股定理的實踐課上，同學們發現勾股定理本身就是一個關于的方程，滿足這個方程的正整數解，根據該公式可以構造出如下勾股數組：，…，分析上面勾股數組可以發現，，，第6個勾股數組為 ．
【變式訓練2-5】世界上第一次給出勾股數通解公式的是我國古代數學著作《九章算術》，其勾股數組公式為：，其中是互質的奇數，則為勾股數．我們令，得到下列順序排列的等式：
①，
②，
③，
④，
…
根據規律寫出第⑩個等式為 ．
題型三：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
【經典例題3】1995年，希臘為紀念畢達哥拉斯學派發行了如圖1所示的郵票，圖片中間是三個正方形頂點相連構成一個三角形．如圖2，若中間的三角形為直角三角形，則三個正方形的面積可以是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14
【變式訓練3-1】如圖，在中，，正方形，的面積分別為和，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，分別以三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，若等邊三角形的面積分別用，，表示，則，，之間的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-3】有一個邊長為1的正方形，經過1次“生長”后，在它的左右肩上長出兩個小正方形，其中，三個正方形的三條邊圍成的三角形是直角三角形，再經過1次這樣的“生長”后，變成了如圖1所示的圖形．如果照此規律繼續“生長”下去，它將變成如圖2所示的“枝繁葉茂的勾股樹”，請你算出“生長”了2025次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【變式訓練3-4】如圖所示，已知在中，，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，，則的值等于 ．
【變式訓練3-5】如圖，直線l上有三個正方形，若a，b的面積分別為9和16，則c的面積為 ．
題型四：勾股定理與三角形綜合應用
【經典例題4】如圖所示，與都是等腰直角三角形，，點為邊上的一點．
(1)求證：；
(2)若，，求的長度．
【變式訓練4-1】如圖，已知，，，，求AC．
【變式訓練4-2】如圖，已知，E是的中點
(1)求證：平分，平分；
(2)若，求的長．
【變式訓練4-3】如圖，在△ABC中，，，分別是腰，上的高．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【變式訓練4-4】如圖，是△ABC的高線，為上一點，連結，交于點，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)若點是的中點，，，求的長．
【變式訓練4-5】如圖，在△ABC中，，點P在上運動，點D在上，始終保持與相等，的垂直平分線交于點E，交于點F，連接．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，，求線段的長．
題型五：勾股定理與網格問題
【經典例題5】如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】如圖在的網格中，每個小正方形的邊長均為2，則B到直線的距離為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若是△ABC的高，則的長為（）
A． B． C． D．
【變式訓練5-3】如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D都在格點上，以A為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，則的長為（ ）．

A． B． C． D．
【變式訓練5-4】如圖，在的正方形網格中，點，，，都在格點上，則與的周長的比是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-5】如圖所示邊長為1的正方形網格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，則點A到的距離等于（ ）
A． B．2 C． D．
題型六：勾股定理與折疊問題
【經典例題6】如圖，將長方形沿直線折疊，頂點恰好落在邊上點處，已知，，則邊的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】如圖，在中，，點在邊上，連接，將沿折疊，點恰好與延長線上的點重合．若，，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式訓練6-2】如圖，在四邊形中，，E是上一點，將沿折疊，B，D兩點恰好重合，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練6-3】如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點B落在點E處，連接交于點F，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-4】在如圖所示的三角形紙片中，點，分別在邊，上，把沿著折疊，點落在線段上的點處；再把沿折疊，點與點重合．若，，則△ABC紙片的面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-5】如圖，中，，，，將折疊后點恰好落在邊上的點處，折痕為，，則線段的長為（ ）
A．2 B．3 C． D．
題型七：利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）
【經典例題7】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點，若，，則 ．
【變式訓練7-1】如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O．若，，，則 ．

【變式訓練7-2】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線，交于點．
(1)若，，，，請求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)請根據（1）（2）題中的信息，寫出關于“垂美”四邊形關于邊的一條結論．
【變式訓練7-3】如圖，在△ABC中，．
(1)求證：；
(2)當，，時，求的值．
【變式訓練7-4】如圖，中，，為中點，點在邊上（點不與點，重合），連接，過點作交于點，連接．
(1)求證：.
(2)若，，，直接寫出線段的長．
【變式訓練7-5】如圖，在中，已知，是斜邊的中點，交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的周長及的長．
題型八：利用勾股定理證明線段關系
【經典例題8】如圖，已知△ABC和，，，，點關于直線的對稱點為，線段交邊于點，交的平分線于點，連接．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)探究與的數量關系，并說明理由．
【變式訓練8-1】在△ABC和△ADE中，點在邊上，，，．
(1)如圖1，當時，連接，寫出，，之間的數量關系，并說明理由；
(2)如圖2，當時，過點作的垂線并延長，交于點，若，，求線段的長．
【變式訓練8-2】在中，，D是的中點，以為腰向外作等腰直角連接，交于點F，交于點G．
(1)求證：；
(2)試判斷線段與三者之間的等量關系，并證明你的結論．
【變式訓練8-3】如圖，在等腰中，，點D是上一點，作等腰Rt△DCE，且，連接

(1)求證：；
(2)請你判斷線段之間的關系？并說明理由．
【變式訓練8-4】(1)如圖1，四邊形的對角線于點．判斷與的數量關系，并說明理由．
(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，交點為．
①判斷，的關系，并說明理由．
②連接．若，，請直接寫出的長．
【變式訓練8-5】在△ABC中，，是的中點，以為腰向外作等腰直角，，連接，交于點，交于點．

(1)若，求的度數；
(2)求證：；
(3)求證：．
題型九：勾股定理的證明方法
【經典例題9】將四塊全等的直角三角紙板拼成如圖1所示的圖案，你能由此確定出直角三角形三邊長a，b，c之間的關系嗎？試試看．
(1)大正方形的面積可以表示為______，又可以表示為______，從而可得到______．
(2)若將這四塊紙板拼成如圖2所示的圖案，你能通過對比圖1與圖2，換一種方法證明勾股定理嗎？
【變式訓練9-1】數學家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立等量關系．”類似的，我們可以用兩種不同的方法來表示同一個圖形的面積，從而得到一個等式．
(1)如圖1，大正方形是由兩個小正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成．請用兩種不同的方法表示圖中大正方形的面積．
方法1：_______；
方法2：______．
根據以上信息，可以得到的等式是_______．
(2)如圖2，大正方形是由四個邊長分別為a，b，c的直角三角形（c為斜邊）和一個小正方形拼成．請用兩種不同的方法分別表示小正方形的面積，并推導得到a，b，c之間的數量關系．
(3)在（2）的條件下，若，，求圖2中小正方形的面積．
【變式訓練9-2】［核必素養］勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明靈感，他發現，當兩個全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時，都可以用“面積法”來證明勾股定理．下面是小明利用圖①證明勾股定理的過程．
如圖①，，求證：．
證明：連接，過點作交的延長線于點，則，
則．
又，
，
．
請參照上述證法，利用圖②進行證明．
將兩個全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中，連接．求證：．
【變式訓練9-3】材料學習：在勾股定理的學習中，我們已經學會了運用圖1、圖2的圖形，驗證著名的勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數與代數，圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律．
靈活運用：如圖，等腰直角三角板如圖放置，直角頂點C在直線m上，分別過點A、B作直線m于點E，直線m于點 M，
(1)材料中的方法體現的數學思想是（ ）
A．函數思想 B．分類討論思想 C．數形結合思想 D．整體思想
(2)試說明 ；
(3)若設三邊分別為a、b、c．參照以前的學習經驗，利用此圖證明勾股定理．
【變式訓練9-4】勾股定理體現了數與形的完美結合，小明在學習了教材中介紹的拼圖證法以后突發靈感，發現新的拼圖方法：兩個全等的直角三角板和直角三角板，頂點在邊上，頂點、重合，連接、.設、交于點．，，，．請你回答以下問題：
(1)填空：______°，______（用含字母的代數式來表示）；
(2)請用兩種方法計算四邊形的面積，并以此為基礎證明勾股定理．
【變式訓練9-5】歷史上對勾股定理的一種證法采用了如圖所示的梯形，其中點E是邊AB上的點．
(1)請用a，b，c分別表示的面積；
(2)請你利用等面積法驗證勾股定理．
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