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專題17.1.2勾股定理（二）十二大題型（一課一講）
（內容:勾股定理實際應用）
【人教版】
題型一：以弦圖為背景的計算題
【經典例題1】我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽創制了《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面積是，直角三角形的直角邊長分別為、，且，那么大正方形的面積為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：設大正方形的邊長為，則大正方形的面積是，
，
，
，
，
小正方形的面積為：，
即，
，
，
，
故選D．
【變式訓練1-1】如圖，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為64，小正方形的面積為9，若用，表示直角三角形的兩直角邊（），下列四個說法：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【詳解】解：①，表示直角三角形的兩直角邊（），大正方形的面積為64，
由勾股定理可知，
故①正確；
②小正方形的面積為9，
小正方形的邊長為3，
，
故②正確；
③大正方形的面積直角三角形面積小正方形的面積，
，
故③正確；
④，，
即，
，
有，
或（不合題意，舍去），
故④錯誤．
綜上所述，其中正確的是①②③，
故選：B．
【變式訓練1-2】如圖，是我因古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形拼接而成．若，則正方形的邊長是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【詳解】解：∵正方形為四個全等的直角三角形拼接而成，
∴，，
在中，由勾股定理，
∴，即正方形的邊長是7．
故選C．
【變式訓練1-3】如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成了一個大正方形，連結，交于點P，若，且的面積為4，則正方形的面積為（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
設，
由題意得：，
∴
∴，
∵的面積為4，
∴，
解得：，
∴在中，由勾股定理得，，
∴正方形的面積為30，
故選：B．
【變式訓練1-4】如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【詳解】解：由題意知小正方形的邊長是，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴小正方形的邊長為9．
故選：B．
【變式訓練1-5】我國古代數學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，那么下列結論：（1），（2），（3），（4）中，正確結論的個數有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【詳解】解：設小正方形的邊長為m，大正方形的邊長為n，
由題意可得，，
∴，，
∵直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，
∴，即（1）正確；
由圖可得，即（2）錯誤；
∵小正方形的面積四個直角三角形的面積等于大正方形的面積，
∴，
∴，即（3）正確；
∵，
∴，
∴，即（4）正確．
綜上可得（1）（3）（4）正確，共3個．
故選：B．
題型二：勾股定理與無理數
【經典例題2】如圖，數軸上的點A表示的數是，點B表示的數是1，于點B，且，以點A為圓心，為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴點D表示的數為，
故選：C．
【變式訓練2-1】如圖，已知正方形的面積為5，點A在數軸上，且表示的數為．現以點A為圓心，以的長為半徑畫圓，所得圓和數軸交于點E（E在A的右側），則點E表示的數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵正方形的面積為5，
∴，
∴
∵點A表示的數是，且點E在點A的右側，
∴點E表示的數為．
故選：A．
【變式訓練2-2】如圖， 中，，，，在數軸上，以點為圓心，的長為半徑作弧交數軸的正半軸于．若點在數軸上表示的數為，則點表示的數為 ．
【答案】/
【詳解】解：中，，，，
由勾股定理得：，
以點為圓心，的長為半徑作弧交數軸的正半軸于，
，
點在數軸上表示的數為，
，
，
點表示的數為，
故答案為：．
【變式訓練2-3】如圖，△ABC是直角三角形，點C表示，，，如若以點C為圓心，為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為 ．
【答案】/
【詳解】解：∵，，，
∴，
∵以點C為圓心，為半徑畫弧交數軸于點D，
∴，
∵點C表示，
∴點D表示的數是：，
故答案為：．
【變式訓練2-4】如圖，中，，，，點與數軸上表示的點重合，將△ABC沿數軸正方向旋轉一次使得點落在數軸上，第二次旋轉使得點落在數軸上，依此類推，△ABC第2024次旋轉后，落在數軸上的三角形的頂點中，右邊的點表示的數是 ．
【答案】
【詳解】解：中，，，，
．
的周長為．
有三個頂點，
次旋轉中每三次一個循環．
，
次旋轉共經歷674個循環還余2．
△ABC第2024次旋轉后，落在數軸上的三角形的頂點中，右邊的是點C，
次旋轉后點C共向右移動的總長為．
第一次的起點為，
右邊的點表示的數是．
故答案為：．
【變式訓練2-5】如圖，已知，到數軸的距離為1，數軸上點所表示的數，為不超過的最大整數．
(1)數軸上點所表示的數為 ；
(2)求代數式的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：由勾股定理可得：，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵為不超過的最大整數，
∴，
∴
．
題型三：勾股定理的應用之求梯子滑落的高度
【經典例題3】如圖，一根長5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時為4米，若竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，則竹竿底端外移的距離（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．無法判斷
【答案】A
【詳解】解：斜靠在豎直的墻上，，，
在中，.
竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，
，，
在中，.
.
，
.
.
的長度小于2米.
故答案為：A.
【變式訓練3-1】一架長米的梯子，斜靠在豎直的墻上，梯子底端到墻角的水平距離為米，若梯子頂端沿墻下滑米，則梯子底端將向外滑動 米．
【答案】
【詳解】解：由題意可得：，，
故，
梯子頂端沿墻下滑米，
，，
，
，
故答案為：．
【變式訓練3-2】【綜合實踐】
【問題情境】消防云梯的作用是用于高層建筑火災等救援任務，它能讓消防員快速到達高層救援現場，如圖，已知一架云梯長斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻角的距離，．
【獨立思考】（1）求這架云梯頂部距離地面的長度．
【深入探究】（2）消防員接到命令，按要求將云梯從頂部下滑到位置上（云梯長度不改變），則底部沿水平方向向前滑動到位置上，若，求的長度．
【答案】（1）；（2）的長度為
【詳解】解：（1）在中，，
答：長為；
（2），
，
在中，，
，
答：的長度為．
【變式訓練3-3】如圖，一架長為的云梯斜靠在一面墻上，水平地面．
(1)若云梯放置在底端距墻腳的距離時，求消防員達到救火的高度的長．
(2)在演練中，高的墻頭有求救聲，消防員需調整云梯去救援被困人員，經驗表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全．在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達高的墻頭去救援被困人員？
【答案】(1)24米(2)能
【詳解】（1）解：∵，
∴．
∴．
答：的長為24米．
（2）解：設米，則．
∵，
∴能達到．
【變式訓練3-4】如圖，一個長為15m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的距離為，
(1)如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底端也向后滑動嗎？請通過計算解答．
(2)梯子的頂端從處沿墻下滑的距離與點向外移動的距離有可能相等嗎？若有可能，請求出這個距離，沒有可能請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)有可能，當梯子的頂端從處沿墻下滑時，點向外移動
【詳解】（1）解：如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑動，理由如下：
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑動；
（2）解：梯子的頂端從處沿墻下滑的距離與點向外移動的距離有可能相等，理由如下：
由（1）可知，，
設梯子頂端從處沿墻下滑的距離為， 則，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，（不符合題意，舍去），
所以，當梯子的頂端從處沿墻下滑的距離是時，與點向外移動的距離有可能相等．
【變式訓練3-5】云梯消防車設有伸縮式云梯，可帶有升降斗轉臺及滅火裝置，供消防人員登高進行滅火和營救被困人員，適用于高層建筑火災的撲救．如圖，在一次消防演習中，某輛高為的云梯消防車，在點A處將云梯伸長去救援點處的被困人員，已知點處的被困人員距離地面的高度為（即）．云梯伸長的長度保持不變，消防車水平向演習樓房的方向移動到點B處去救援點處的被困人員，已知點處的被困人員距離地面的高度為（即），其中，求消防車水平向演習樓房方向移動的距離（即的長）．
【答案】消防車水平向演習樓房方向移動的距離（即的長）為26m．
【詳解】解：如圖，延長交于點D，
根據題意，得，，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
答：消防車水平向演習樓房方向移動的距離（即的長）為26m．
題型四：勾股定理的應用之求旗桿高度
【經典例題4】春秋季節筑城廣場放風箏已經成為貴陽市的一道靚麗風景線，某校八年級的兩位同學學習了“勾股定理”之后，想要測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為5米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為13米；③牽線放風箏的小明的身高為1.5米．
(1)求風箏的垂直高度；
(2)如果小明想讓風箏沿方向下降2米，則他應該往回收線多少米？
【答案】(1)風箏的高度為米；(2)他應該往回收線米．
【詳解】（1）解：如圖，在中，
由勾股定理得，，
所以，（負值舍去），
所以，（米，
答：風箏的高度為米；
（2）解：如圖，由題意得，，
，
（米，
（米，
他應該往回收線米．
【變式訓練4-1】“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鶯”．又到了放風箏的最佳時節．如圖，小亮的風箏在點C處，點A表示線軸所在的位置，已知引線的長度為10米，兩處的水平距離為8米（風箏本身的長、寬忽略不計）．現要使風箏沿豎直方向上升9米至處，若位置不變，引線的長度應加長多少米？
【答案】米
【詳解】解：在中，米，米，
則（米）．
在中，米，米，
則（米）．
則引線的長度應加長米．
【變式訓練4-2】如圖，數學興趣小組要測量旗桿的高度，同學們發現系在旗桿頂端A的繩子垂到地面多出一段的長度為米，小明同學將繩子拉直，繩子末端落在點處，到旗桿底部的距離為米．
(1)求旗桿的高度；
(2)小明在處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺的米高的臺階上，此時繩子剛好拉直，繩子末端落在點處，問小明需要后退幾米（即的長）？（，結果保留位小數）
【答案】(1)米(2)小明需要后退約米
【詳解】（1）解：設旗桿的高度為，則，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：旗桿的高度為．
（2）解：過作于點，
則，
∴四邊形為長方形，
∴，，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
答：小明需后退．
【變式訓練4-3】如圖是某校操場上的旗桿，小明和小華想測量旗桿高度，他們設計的測步驟如下：
①如圖甲，底座截面是長方形，測出長方形的長，高，旗桿正好在底座的正中間（B是的中點）；（旗桿的直徑忽略不計）將旗桿的繩子拉直垂直于底座時，發現拖在底座上的繩子長度恰好為的長；
②如圖乙，將剛才拖到地上的繩子拉直至地面M處，使繩子底端恰好接觸地面，測量出長為．
請用以上數據計算出該校操場上旗桿的高度．
【答案】該校操場上旗桿的高度為
【詳解】解：根據題意得，
如圖，，
設旗桿，則，，，
在中，，
∴
解得，
∴，
即該校操場上旗桿的高度為．
【變式訓練4-4】某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，
他們進行了如下操作：
①測得的長為15米（注）；
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；
③牽線放風箏的小明身高米．
(1)求風箏的高度．
(2)過點作，垂足為，求的長度．
【答案】(1)米(2)12米
【詳解】（1）解：在中，由勾股定理，得：
（米，
所以（米．
答：風箏的高度為米．
（2）解：由等積法知：，
解得：（米．
答：的長度為12米．
【變式訓練4-5】某實踐探究小組在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：
測量示意圖
測量數據 邊的長度 ①測得水平距離的長為米．
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為米．
③小明牽線放風箏的手到地面的距離為米．
實踐探究小組得到上面數據以后做了認真分析，他們發現根據全部數據就可以計算出風箏離地面的垂直高度．請完成以下任務．
(1)已知：如圖，在中，．求線段的長．
(2)如果小明想要風箏沿方向再上升米，長度不變，則他應該再放出多少米線？
【答案】(1)米(2)8米
【詳解】（1）解：由勾股定理得，，
∴（米），
∴線段的長為米．
（2）解：風箏沿方向再上升米，則，
由勾股定理得，，
∵，
∴他應該再放出8米線．
題型五：勾股定理的應用之求小鳥飛行的距離
【經典例題5】如圖，龍城初級中學操場上有兩棵樹和（都與水平地面垂直），大樹高14米，樹梢D到樹的水平距離（）的長度為9米，小樹高2米，一只小鳥從樹梢D飛到樹梢B，則它至少要飛行的長度為（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
【答案】B
【詳解】解：如圖，連接，
∵
∴
∵樹高14米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故選：B．
【變式訓練5-1】如圖，一段斜坡上有兩棵樹，兩棵樹之間的水平距離為，豎直距離為，樹的高度都是2m．一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，
根據題意得：，
，
一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛，
故選：B．
【變式訓練5-2】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是( )

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：過作于，如圖所示：

由題意可知，，
根據兩點之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，
它要飛回巢中所需的時間至少是（），
故選：C．
【變式訓練5-3】姑婆山國家森林公園古窯沖猴趣園，調皮可愛的猴子隨處可見．如圖：有兩只猴子爬到—棵樹上的點B處，且，突然發現遠方A處有好吃的東西，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹處的池塘A處，另一只猴子先爬到樹頂D處后再沿纜繩線段滑到A處，已知兩只猴子所經過的路程相等，設為．
(1)請用含有x的整式表示線段的長為 m；
(2)求這棵樹高有多少米？
【答案】(1)(2)這棵樹高3.2米
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案為：．
（2）解：由題意知，則在中，
有，
∴，
解得：，
∴．
答：這棵樹高有3.2米
【變式訓練5-4】如圖，一只小鳥旋停在空中點，點到地面的高度米，點到地面點（，兩點處于同一水平面）的距離米．
(1)求出的長度；
(2)若小鳥豎直下降到達點（點在線段上），此時小鳥到地面點的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．
【答案】(1)米(2)小鳥下降的距離為米
【詳解】（1）由題意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）設，
到達D點（D點在線段上），此時小鳥到地面C點的距離與下降的距離相同，
則，，
在中，，
，
解得，
小鳥下降的距離為米．
【變式訓練5-5】如圖，有兩根直桿隔河相對，桿高30m，桿高20m，兩桿相距為50m，兩桿頂各有一只魚鷹，它們同時看到兩桿之間的河面上E處浮起一條小魚，以同樣的速度同時飛下來奪魚，兩只魚鷹同時到達，叼住小魚．兩桿底部距魚的距離，各是多少？
【答案】兩桿底部距魚的距離，分別是30m和20m．
【詳解】解：由題意可得：，
則，
故，
解得：，
則，
答：兩桿底部距魚的距離，分別是30m和20m．
題型六：勾股定理的應用之解決水杯中筷子問題
【經典例題6】一只的鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內部底面直徑是，內壁高，那么這根鉛筆需在筆筒外的部分長度h的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：當鉛筆與筆筒底垂直時x最大，．
當鉛筆如圖放置時x最小．
在中，，
∴，
∴．
∴x的取值范圍：.
故選：B．
【變式訓練6-1】如圖為一個帶蓋的圓柱形鉛筆筒，已知圓柱底面積為，筆筒高度為，則該圓柱形筆筒所能容納鉛筆的最大長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：圓柱底面積為，
該筆筒的底面半徑為：，
該筆筒的直徑為：，
圓桶內最長對角線的長為：，
則桶內能容下的最長的鉛筆為，
故選：C．
【變式訓練6-2】《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題，老師對其進行改編：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，適與岸齊，問水深幾何？”題意為：有一個底面為正方形的池塘，在池塘正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，拉動7尺后它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水深是 尺．
【答案】
【詳解】解：如圖，設水深是尺，
由題意可知，尺，尺，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴水深是尺，
故答案為：．
【變式訓練6-3】如圖，是一種筷子的收納盒，長，寬，高分別為，現將一根長為的筷子插入到收納盒的底部，則筷子露在盒外的部分的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：當筷子放進收納盒里垂直于底面時露在盒外的長度最長；
當筷子放進收納盒里露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，
底面對角線長，高為，
由勾股定理得：收納盒里面筷子長度，
筷子露在收納盒外的長度最短；
筷子露在盒外的部分的取值范圍是，
故答案為：．
【變式訓練6-4】如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面的部分為1米，一陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即），已知紅蓮移動的水平距離為3米，則湖水深為多少？
【答案】米．
【詳解】解：設為米，
∵在中，，，，
∴由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴湖水深為米．
【變式訓練6-5】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長在的中點O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即， 求水池的深度和蘆葦的長度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度；
(2)中國古代數學家劉徽在為《九章算術》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現代符號語言可以表示為：若已知水池寬， 蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過公式計算得到．請證明劉徽解法的正確性．
【答案】(1)12尺(2)見解析
【詳解】（1）解：設水池深度為x尺，則蘆葦高度為尺，
由題意有：尺；
為中點，且丈尺，
(尺)；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
即尺；
答：水池的深度為12尺；
（2）證明：水池深度，則蘆葦高度為，
由題意有：；
為中點，且，
；
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：；
表明劉徽解法是正確的．
題型七：勾股定理的應用之解決航行問題
【經典例題7】如圖，甲輪船以16海里/小時的速度離開港口O向東南方向航行，乙輪船同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口1.5小時后分別到達B、A兩點，且知AB＝30海里，則乙輪船每小時航行（ ）
A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里
【答案】D
【詳解】
（海里/小時）
故選：D
【變式訓練7-1】如圖，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號沿東北方向航行，每小時航行海里，“海天”號沿西北方向航行，每小時航行海里．它們離開港口小時后分別位于點處，此時兩船的距離是（ ）
A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
【答案】D
【詳解】解：“遠航”號沿東北方向航行，“海天”號沿西北方向航行，
∴，
∴，
∵“遠航”號每小時航行海里，“海天”號每小時航行海里，它們離開港口小時，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
故選：D ．
【變式訓練7-2】如圖，甲乙兩船同時從A港出發，甲船沿北偏東的方向，航速是12海里/時，2小時后，兩船同時到達了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？
【答案】9海里/時
【詳解】解：由題意得：（海里），海里，
，
在中
∴（海里），
∴乙船的航速是（海里/時），
答：乙船的航速是9海里/時．
【變式訓練7-3】如圖，在海平面上有，，三個標記點，其中在的北偏西方向上，與的距漓是40海里，在的南偏西方向上，與的距離是30海里．
(1)求點與點之間的距離；
(2)若在點處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為25海里，此時在點處有一艘輪船準備沿直線向點處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向處的過程中，有多少小時可以接收到信號？
【答案】(1)點與點之間的距離為50海里(2)有0.7小時可以接收到信號
【詳解】（1）解：由題意，得：，；
；
海里，海里；
（海里），
即：點與點之間的距離為50海里；
（2）解：過點作交于點，在上取點，，使得海里．
；
；
；
海里；
海里；
海里；
行駛時間為（小時）．
答：有0.7小時可以接收到信號．
【變式訓練7-4】如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地點出發，沿北偏東方向走了到達點，然后再沿北偏西方向走了到達目的地點，求兩點間的距離．
【答案】
【詳解】解：
為直角三角形
，
．
答：兩點間的距離是．
【變式訓練7-5】如圖，甲、乙兩船同時從港出發，甲船的速度是15海里/時，航向是東北方向（射線方向），乙船比它每小時快5海里，航向是東南方向（射線方向），多少小時后兩船相距100海里？
【答案】4小時后兩船相距100海里
【詳解】解：由題意，得，．
設小時后兩船相距100海里，
根據題意得：，
解得：（舍去）或．
答：4小時后兩船相距100海里．
題型八：勾股定理的應用之求地毯長度
【經典例題8】如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬平行，橫截面是邊長為的正方形，若點A處有一只螞蟻，它從點A處爬過木塊到達點C處去吃面包碎，則它需要走的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由題意可知，將木塊展開，相當于是個正方形的邊長，
∴長為米；寬為米．
于是最短路徑為：米．
故選：B．

【變式訓練8-1】如圖，要為一段高為5米，長為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要 米．
【答案】17
【詳解】解：根據勾股定理，樓梯水平長度為米，
則紅地毯至少要米長，
故答案為：17．
【變式訓練8-2】淮安某大酒店為了迎接“淮揚美食文化節”，要在高5米，長13米的一段臺階面上鋪上地毯，臺階的剖面如圖，則地毯的長度至少需要 米．
【答案】
【詳解】解：如圖，利用平移線段，把臺階的橫豎面向上向左平移，構成一個矩形，
則矩形的長為：（米），
地毯的長度為：（米），
故答案為：．
【變式訓練8-3】某賓館裝修，需在一段樓梯臺階上鋪上一塊地毯，將樓梯臺階完全蓋住．樓梯臺階剖面圖如圖，已知，，．
(1)求BC的長；
(2)若已知樓梯寬，需要購買________的地毯才能鋪滿所有臺階．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）解：由題意可得，；
（2）解：利用平移可知，把樓梯臺階的橫豎分別向上向左平移，地毯的長為，
∴地毯面積為，
故答案為：
【變式訓練8-4】如圖，小明與小華爬山時遇到一條筆直的石階路，路的一側設有與坡面平行的護欄．小明量得每一級石階的寬為，高為，爬到山頂后，小華數得石階一共200級，若每一級石階的寬和高都一樣，且構成直角，請你幫他們求護欄的長度．

【答案】
【詳解】解：根據勾股定理，每一級石階的斜邊長為，
．
答：護欄的長度為．
【變式訓練8-5】如圖一個三級臺階，它的每一級的長寬高分別是5，3和1，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，點A上有一只螞蟻，想到點B去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點B的最短路程長是多少？
【答案】
【詳解】解：如圖所示，

∵三級臺階平面展開圖為長方形，寬為5，長為，
∴螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程是此長方形的對角線長，
由勾股定理得，
則螞蟻沿著臺階面爬到點最短路程是13．
【變式訓練8-6】如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．
(1)如果給臺階表面8個矩形區域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？
(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？
【答案】(1)每一級臺階的高為2分米．
(2)螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．
【詳解】（1）解：設每一級臺階的高為x分米，
根據題意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一級臺階的高為2分米；
（2）四級臺階平面展開圖為長方形，長為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，
則螞蟻沿臺階面從點A爬行到C點最短路程是此長方形的對角線長．
由勾股定理得：AC＝（分米），
答：螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．
題型九：勾股定理的應用之判斷是否超速
【經典例題9】如圖，一輛小汽車在一條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方120米的處，過了8秒，小汽車到達處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為200米．
(1)求的長；
(2)“中華人民共和國道路交通管理條例”規定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時，這輛小汽車在段是否超速行駛？請說明理由（參考數據：）
【答案】(1)米(2)超速了，理由見解析
【詳解】（1）解：在中，，
，
答：的長為米；
（2）解：小汽車的速度為：，
，
故小汽車超速了．
【變式訓練9-1】某條路規定小汽車的行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在這條路的直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．這輛小汽車超速了嗎？（參考數據轉換：）
【答案】沒有超速
【詳解】解：在中，，
根據勾股定理可得，
∴小汽車的速度為．
，
∴這輛小汽車沒有超速．
【變式訓練9-2】“中華人民共和國道路交通管理條例”規定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為，這輛小汽車超速了嗎？（參考數據轉換：）
【答案】這輛小汽車超速了
【詳解】解：在中，；
根據勾股定理可得：，
∴小汽車的速度為；
∵；
∴這輛小汽車超速行駛．
答：這輛小汽車超速了．
【變式訓練9-3】如圖，一條東西向的公路l旁有一所中學M，在中學M的大門前有兩條長度均為200米的通道通往公路l旁的兩個公交站點A、B，且A、B兩站點相距320米．
(1)現要在學校到公路l修一條新路，把A、B兩個站點合為一個站點D（在公路l旁），使得學生從學校走到公路l的距離最短，求新路的距離；
(2)為了行車安全，在公路l旁的點B和點C設置區間測速裝置，其中點C在點B的東側，且與中學M相距312米，公路l限速30千米/小時（約8.33米/秒）．一輛汽車經過區間用時16秒，試判斷該車是否超速，并說明理由．
【答案】(1)新路長度是120米(2)該車沒有超速，理由見解析
【詳解】（1）解：過點作，交于點D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路長度是120米．
（2）解：該車沒有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵該車經過區間用時16秒，
∴該車的速度為，
，
∴該車沒有超速．
【變式訓練9-4】某條道路的限速規定：轎車速度不得超過．如圖，一輛轎車在該道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到距離路面檢測儀A正前方的點C處．后，測得轎車行駛到點B，與檢測儀之間的距離為，這輛轎車是否違章？請說明理由．
【答案】這輛轎車違章，理由見解析
【詳解】解：這輛轎車違章，理由如下：
由題意得，，
∴，
∴汽車的速度為，
∵，
∴這輛轎車違章．
題型十：勾股定理的應用之判斷是否受臺風影響
【經典例題10】如圖，鐵路和公路在點O處相交，公路上距離O點的點A到的直線距離為．如果火車行駛時，周圍以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點A處受噪音影響的時間為 ．
【答案】16
【詳解】解：過點A作，上取點，，使，
由題意可得，，
當火車到B點時對A處產生噪音影響，此時，
∵，，
∴由勾股定理得：，，即，
∵火車在鐵路上沿方向以的速度行駛，
∴影響時間應是：．
故A處受噪音影響的時間是．
故答案為：16．
【變式訓練10-1】如圖，經過村和村（將村看成直線上的點）的筆直公路旁有一塊山地正在開發，現需要在處進行爆破．已知處與村的距離為300米，處與村的距離為400米，且．
(1)求兩村之間的距離；
(2)為了安全起見，爆破點周圍半徑250米范圍內不得進入，在進行爆破時，公路段是否有危險而需要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由．
【答案】(1)500米；(2)公路有危險而需要封鎖．需要封鎖的路段長度為140米．
【詳解】（1）解：在中，米，米，
∴（米）．
答：A，B兩村之間的距離為500米；
（2）公路有危險而需要封鎖．
理由如下：如圖，過C作于D．以點C為圓心，250米為半徑畫弧，交于點E，F，連接，，
∵，
∴（米）．
由于240米250米，故有危險，
因此段公路需要封鎖．
∴米，
∴（米），
故米，
則需要封鎖的路段長度為140米．
【變式訓練10-2】如圖，兩條公路、交于點，在公路旁有一學校，與點的距離為，點（學校）到公路的距離為，一大貨車從點出發，行駛在公路上，汽車周圍范圍內有噪音影響．
(1)貨車開過學校是否受噪音影響？為什么？
(2)若汽車速度為，則學校受噪音影響多少秒鐘？
【答案】(1)受噪音影響，見解析；
(2)秒
【詳解】（1）解：貨車開過學校受噪音影響，理由如下：
點（學校）到公路的距離為，一大貨車從點出發，行駛在公路上，汽車周圍范圍內有噪音影響，
，
∴貨車開過學校受噪音影響；
（2）如圖，設貨車開過，在點至點學校受噪音影響，則，
，
，
由勾股定理得：
，
∵汽車速度為
∴影響時間（秒），
答：學校受噪音影響秒鐘．
【變式訓練10-3】2023年7月，五號臺風“杜蘇芮”登陸，我國很多地區受到嚴重影響．據報道，臺風風力影響半徑為（即以臺風中心為圓心，為半徑的圓形區域都會受臺風影響）．如圖，線段是臺風中心從市向市的大致路線，是某個大型農場，且．若，之間相距，，之間相距．判斷農場是否會受到臺風的影響，請說明理由．
【答案】農場會受到臺風的影響，見解析
【詳解】解：會受到臺風的影響．
理由：如圖，過點作，垂足為．
在中，
，，，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴農場會受到臺風的影響．
【變式訓練10-4】我國大部分東部地區屬于亞熱帶季風氣候，夏季炎熱多雨．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向的處，以每小時的速度向北偏東的方向移動，距離臺風中心的范圍內是受臺風影響的區域．
(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？
(2)若城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？
【答案】(1)受影響，理由見解析(2)6小時
【詳解】（1）解：A城會受到這次臺風的影響，理由如下：
如圖：過A作，垂足為，則，
在中，，
∴，
∵，
∴A城會受臺風影響．
（2）解：設上點，使千米，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分線，
，
在中，千米，千米，
∴（千米），
∴千米，
∴遭受臺風影響的時間是：（小時）．
【變式訓練10-5】如圖，某沿海城市接到臺風預警，在該市正南方向的處有一臺風中心，沿方向以的速度移動，已知城市到的距離為．
(1)臺風中心經過多長時間從點移到點？
(2)如果在距臺風中心的的圓形區域內都將受到臺風的影響，那么市受到臺風影響的時間持續多少小時？
【答案】(1)臺風中心經過30h從點移到點；
(2)市受到臺風影響的時間持續．
【詳解】（1）解：由題意可知，，，，
在中，，
∴，
答：臺風中心經過從點移到點；
（2）解：如圖，在射線上取點，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到臺風影響的時間持續．
題型十一：勾股定理的應用之選址使到兩地距離相等
【經典例題11】如圖，鐵路上A，B兩點相距，C，D為兩村莊，于點A，于點B，已知，現在要在鐵路旁建一個貨運站E，使得C，D兩村到E站距離相等，問E站應建在離A地多遠的地方？
【答案】E站應建在離A地的地方
【詳解】解：設，則，
∵，，
∴，，
∵，
∴，即：，
解得：，
答：E站應建在離A地的地方．
【變式訓練11-1】鐵路上A、B兩點相距，C、D為兩村莊，于點A，于點B，已知，現在要在鐵路上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，請畫出E點位置（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）并求出E站應建在離A站多少千米處？
【答案】作圖見解析，站應建在離站處
【詳解】解：如圖，點E即為所求：
由題意得，使得C，D兩村到E站的距離相等，則直線l是的垂直平分線，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，則．
∵，
∴，
解得：，
∴．
答：站應建在離點處．
【變式訓練11-2】如圖，A、B是公路l同側的兩個村莊，A村到公路l的距離，B村到公路l的距離，且．為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公交站點P，要求該站到村莊A、B的距離相等．請求出點P與點C之間的距離．
【答案】
【詳解】解：設，則，
在中，，
在中，，
，
∴，
∴，
解得，
∴．
【變式訓練11-3】如圖所示，鐵路上有A、B兩點（看作直線上兩點）相距40千米，C、D為兩村莊（看作兩個點），，，垂足分別為A、B，千米，千米，現在要在鐵路旁修建一個煤棧，使得C、D兩村到煤棧的距離相等，問煤棧應建在距A點多少千米處？
【答案】煤棧應建在距A點16千米處．
【詳解】解：設煤棧的位置為點E，如圖，連接，
設千米，則（千米），
∵，，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即千米，
∴煤棧應建在距A點16千米處．
【變式訓練11-4】如圖，鐵路上、兩站相距，、為兩個村莊，，，垂足分別為、，已知，，現在要在鐵路上修建一個中轉站，使得到、兩村的距離和最短．請在圖中畫出點的位置，并求出的最小值．
【答案】圖見解析，的最小值為．
【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接與的交點就是點，
點即為中轉站的位置；
過作的延長線于點，
則，，
，
在中，根據勾股定理，得
，
，
的最小值為．
題型十二：勾股定理的應用之求最短路徑
【經典例題12】如圖，圓柱形容器高為，在其外壁距離下底面的處有一只螞蟻，它想吃到正對面外壁距離上底面的B處的一滴蜂蜜，其中圓柱的底面周長為，則螞蟻爬行的最短距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，將圓柱的側面沿過點的一條母線剪開，得到長方形連接,
則線段的長就是螞蟻爬行的最短距離，
故.
故選：B.
【變式訓練12-1】如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點到點的所有路徑中，最短路徑的長是 ．
【答案】5
【詳解】將將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，
連接，
則最短路徑
故答案為：5．
【變式訓練12-2】如圖，有一長方體容器（無蓋），，，，一只螞蟻沿長方體的表面，從點A爬到點的最短爬行路程是 ．
【答案】10
【詳解】解：在長方體容器，，，，
∴，
當從正面和右側面爬行時，從點A爬到點的最短爬行距離為的長度，如圖，
在中
．
當從下面和后面爬行時，從點A爬到點的最短爬行距離為的長度，如圖，
在中
．
∵，
∴從點A爬到點的最短爬行路程是10．
故答案為：10．
【變式訓練12-3】如圖，一個長方體建筑物的長、寬、高分別為3米、1米和6米，為了美觀，現要在該建筑物上纏繞燈線以便安裝小彩燈，燈線的繞法是從下底面的頂點A開始經過四個側面繞3圈繞到上底面的頂點B，那么用在該建筑物上的燈線最短需要 米．
【答案】10
【詳解】解：如圖所示，米，米，
∴米，
故答案為： ．
【變式訓練12-4】臨汾是帝堯之都，有著堯都之稱．堯都華表柱身祥云騰龍，頂蹲沖天吼，底座浮雕長城和黃河壺口瀑布，是中華民族歷史悠久、文化燦爛的標志．如圖，在底面周長約為6米且帶有層層回環不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達柱頂正上方（從點A到點，為的中點），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為 ．
【答案】20
【詳解】解：根據題意得：把圓柱體的側面展開后是長方形，
如圖，雕龍把大長方形均分為2個小長方形，則雕刻在石柱上的巨龍的最短長度為2個小長方形的對角線的和，
∵底面周長約為6米，柱身高約16米，
∴，，
在中
，
∴雕刻在石柱上的巨龍至少為米．
故答案為：20．
【變式訓練12-5】如圖，圓柱形杯子的高為，底面周長為，在杯內壁（杯子的厚度忽略不計）離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到達內壁處的最短距離為 ．（假設蜂蜜不會下滑）
【答案】20
【詳解】解：如圖，將圓柱形杯子的側面展開，作關于的對稱點，連接交于點，
由對稱性可得，
，
從外壁處到達內壁處的最短距離為的長，
由題意得，，，
在中，．
故答案為：20．
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專題17.1.2勾股定理（二）十二大題型（一課一講）
（內容:勾股定理實際應用）
【人教版】
題型一：以弦圖為背景的計算題
【經典例題1】我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽創制了《勾股弦圖》，它是由四個全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面積是，直角三角形的直角邊長分別為、，且，那么大正方形的面積為（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為64，小正方形的面積為9，若用，表示直角三角形的兩直角邊（），下列四個說法：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【變式訓練1-2】如圖，是我因古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形拼接而成．若，則正方形的邊長是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式訓練1-3】如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成了一個大正方形，連結，交于點P，若，且的面積為4，則正方形的面積為（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【變式訓練1-4】如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【變式訓練1-5】我國古代數學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，那么下列結論：（1），（2），（3），（4）中，正確結論的個數有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
題型二：勾股定理與無理數
【經典例題2】如圖，數軸上的點A表示的數是，點B表示的數是1，于點B，且，以點A為圓心，為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】如圖，已知正方形的面積為5，點A在數軸上，且表示的數為．現以點A為圓心，以的長為半徑畫圓，所得圓和數軸交于點E（E在A的右側），則點E表示的數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖， 中，，，，在數軸上，以點為圓心，的長為半徑作弧交數軸的正半軸于．若點在數軸上表示的數為，則點表示的數為 ．
【變式訓練2-3】如圖，△ABC是直角三角形，點C表示，，，如若以點C為圓心，為半徑畫弧交數軸于點D，則點D表示的數為 ．
【變式訓練2-4】如圖，中，，，，點與數軸上表示的點重合，將△ABC沿數軸正方向旋轉一次使得點落在數軸上，第二次旋轉使得點落在數軸上，依此類推，△ABC第2024次旋轉后，落在數軸上的三角形的頂點中，右邊的點表示的數是 ．
【變式訓練2-5】如圖，已知，到數軸的距離為1，數軸上點所表示的數，為不超過的最大整數．
(1)數軸上點所表示的數為 ；
(2)求代數式的值．
題型三：勾股定理的應用之求梯子滑落的高度
【經典例題3】如圖，一根長5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時為4米，若竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，則竹竿底端外移的距離（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．無法判斷
【變式訓練3-1】一架長米的梯子，斜靠在豎直的墻上，梯子底端到墻角的水平距離為米，若梯子頂端沿墻下滑米，則梯子底端將向外滑動 米．
【變式訓練3-2】【綜合實踐】
【問題情境】消防云梯的作用是用于高層建筑火災等救援任務，它能讓消防員快速到達高層救援現場，如圖，已知一架云梯長斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻角的距離，．
【獨立思考】（1）求這架云梯頂部距離地面的長度．
【深入探究】（2）消防員接到命令，按要求將云梯從頂部下滑到位置上（云梯長度不改變），則底部沿水平方向向前滑動到位置上，若，求的長度．
【變式訓練3-3】如圖，一架長為的云梯斜靠在一面墻上，水平地面．
(1)若云梯放置在底端距墻腳的距離時，求消防員達到救火的高度的長．
(2)在演練中，高的墻頭有求救聲，消防員需調整云梯去救援被困人員，經驗表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全．在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達高的墻頭去救援被困人員？
【變式訓練3-4】如圖，一個長為15m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的距離為，
(1)如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底端也向后滑動嗎？請通過計算解答．
(2)梯子的頂端從處沿墻下滑的距離與點向外移動的距離有可能相等嗎？若有可能，請求出這個距離，沒有可能請說明理由．
【變式訓練3-5】云梯消防車設有伸縮式云梯，可帶有升降斗轉臺及滅火裝置，供消防人員登高進行滅火和營救被困人員，適用于高層建筑火災的撲救．如圖，在一次消防演習中，某輛高為的云梯消防車，在點A處將云梯伸長去救援點處的被困人員，已知點處的被困人員距離地面的高度為（即）．云梯伸長的長度保持不變，消防車水平向演習樓房的方向移動到點B處去救援點處的被困人員，已知點處的被困人員距離地面的高度為（即），其中，求消防車水平向演習樓房方向移動的距離（即的長）．
題型四：勾股定理的應用之求旗桿高度
【經典例題4】春秋季節筑城廣場放風箏已經成為貴陽市的一道靚麗風景線，某校八年級的兩位同學學習了“勾股定理”之后，想要測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為5米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為13米；③牽線放風箏的小明的身高為1.5米．
(1)求風箏的垂直高度；
(2)如果小明想讓風箏沿方向下降2米，則他應該往回收線多少米？
【變式訓練4-1】“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鶯”．又到了放風箏的最佳時節．如圖，小亮的風箏在點C處，點A表示線軸所在的位置，已知引線的長度為10米，兩處的水平距離為8米（風箏本身的長、寬忽略不計）．現要使風箏沿豎直方向上升9米至處，若位置不變，引線的長度應加長多少米？
【變式訓練4-2】如圖，數學興趣小組要測量旗桿的高度，同學們發現系在旗桿頂端A的繩子垂到地面多出一段的長度為米，小明同學將繩子拉直，繩子末端落在點處，到旗桿底部的距離為米．
(1)求旗桿的高度；
(2)小明在處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺的米高的臺階上，此時繩子剛好拉直，繩子末端落在點處，問小明需要后退幾米（即的長）？（，結果保留位小數）
【變式訓練4-3】如圖是某校操場上的旗桿，小明和小華想測量旗桿高度，他們設計的測步驟如下：
①如圖甲，底座截面是長方形，測出長方形的長，高，旗桿正好在底座的正中間（B是的中點）；（旗桿的直徑忽略不計）將旗桿的繩子拉直垂直于底座時，發現拖在底座上的繩子長度恰好為的長；
②如圖乙，將剛才拖到地上的繩子拉直至地面M處，使繩子底端恰好接觸地面，測量出長為．
請用以上數據計算出該校操場上旗桿的高度．
【變式訓練4-4】某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，
他們進行了如下操作：
①測得的長為15米（注）；
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；
③牽線放風箏的小明身高米．
(1)求風箏的高度．
(2)過點作，垂足為，求的長度．
【變式訓練4-5】某實踐探究小組在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：
測量示意圖
測量數據 邊的長度 ①測得水平距離的長為米．
②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為米．
③小明牽線放風箏的手到地面的距離為米．
實踐探究小組得到上面數據以后做了認真分析，他們發現根據全部數據就可以計算出風箏離地面的垂直高度．請完成以下任務．
(1)已知：如圖，在中，．求線段的長．
(2)如果小明想要風箏沿方向再上升米，長度不變，則他應該再放出多少米線？
題型五：勾股定理的應用之求小鳥飛行的距離
【經典例題5】如圖，龍城初級中學操場上有兩棵樹和（都與水平地面垂直），大樹高14米，樹梢D到樹的水平距離（）的長度為9米，小樹高2米，一只小鳥從樹梢D飛到樹梢B，則它至少要飛行的長度為（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
【變式訓練5-1】如圖，一段斜坡上有兩棵樹，兩棵樹之間的水平距離為，豎直距離為，樹的高度都是2m．一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是( )

A． B． C． D．
【變式訓練5-3】姑婆山國家森林公園古窯沖猴趣園，調皮可愛的猴子隨處可見．如圖：有兩只猴子爬到—棵樹上的點B處，且，突然發現遠方A處有好吃的東西，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹處的池塘A處，另一只猴子先爬到樹頂D處后再沿纜繩線段滑到A處，已知兩只猴子所經過的路程相等，設為．
(1)請用含有x的整式表示線段的長為 m；
(2)求這棵樹高有多少米？
【變式訓練5-4】如圖，一只小鳥旋停在空中點，點到地面的高度米，點到地面點（，兩點處于同一水平面）的距離米．
(1)求出的長度；
(2)若小鳥豎直下降到達點（點在線段上），此時小鳥到地面點的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．
【變式訓練5-5】如圖，有兩根直桿隔河相對，桿高30m，桿高20m，兩桿相距為50m，兩桿頂各有一只魚鷹，它們同時看到兩桿之間的河面上E處浮起一條小魚，以同樣的速度同時飛下來奪魚，兩只魚鷹同時到達，叼住小魚．兩桿底部距魚的距離，各是多少？
題型六：勾股定理的應用之解決水杯中筷子問題
【經典例題6】一只的鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內部底面直徑是，內壁高，那么這根鉛筆需在筆筒外的部分長度h的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】如圖為一個帶蓋的圓柱形鉛筆筒，已知圓柱底面積為，筆筒高度為，則該圓柱形筆筒所能容納鉛筆的最大長度為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題，老師對其進行改編：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，適與岸齊，問水深幾何？”題意為：有一個底面為正方形的池塘，在池塘正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，拉動7尺后它的頂端恰好碰到池邊的水面．則水深是 尺．
【變式訓練6-3】如圖，是一種筷子的收納盒，長，寬，高分別為，現將一根長為的筷子插入到收納盒的底部，則筷子露在盒外的部分的取值范圍是 ．
【變式訓練6-4】如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面的部分為1米，一陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即），已知紅蓮移動的水平距離為3米，則湖水深為多少？
【變式訓練6-5】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長在的中點O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即， 求水池的深度和蘆葦的長度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度；
(2)中國古代數學家劉徽在為《九章算術》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現代符號語言可以表示為：若已知水池寬， 蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過公式計算得到．請證明劉徽解法的正確性．
題型七：勾股定理的應用之解決航行問題
【經典例題7】如圖，甲輪船以16海里/小時的速度離開港口O向東南方向航行，乙輪船同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口1.5小時后分別到達B、A兩點，且知AB＝30海里，則乙輪船每小時航行（ ）
A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里
【變式訓練7-1】如圖，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號沿東北方向航行，每小時航行海里，“海天”號沿西北方向航行，每小時航行海里．它們離開港口小時后分別位于點處，此時兩船的距離是（ ）
A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
【變式訓練7-2】如圖，甲乙兩船同時從A港出發，甲船沿北偏東的方向，航速是12海里/時，2小時后，兩船同時到達了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？
【變式訓練7-3】如圖，在海平面上有，，三個標記點，其中在的北偏西方向上，與的距漓是40海里，在的南偏西方向上，與的距離是30海里．
(1)求點與點之間的距離；
(2)若在點處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為25海里，此時在點處有一艘輪船準備沿直線向點處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向處的過程中，有多少小時可以接收到信號？
【變式訓練7-4】如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地點出發，沿北偏東方向走了到達點，然后再沿北偏西方向走了到達目的地點，求兩點間的距離．
【變式訓練7-5】如圖，甲、乙兩船同時從港出發，甲船的速度是15海里/時，航向是東北方向（射線方向），乙船比它每小時快5海里，航向是東南方向（射線方向），多少小時后兩船相距100海里？
題型八：勾股定理的應用之求地毯長度
【經典例題8】如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬平行，橫截面是邊長為的正方形，若點A處有一只螞蟻，它從點A處爬過木塊到達點C處去吃面包碎，則它需要走的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練8-1】如圖，要為一段高為5米，長為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要 米．
【變式訓練8-2】淮安某大酒店為了迎接“淮揚美食文化節”，要在高5米，長13米的一段臺階面上鋪上地毯，臺階的剖面如圖，則地毯的長度至少需要 米．
【變式訓練8-3】某賓館裝修，需在一段樓梯臺階上鋪上一塊地毯，將樓梯臺階完全蓋住．樓梯臺階剖面圖如圖，已知，，．
(1)求BC的長；
(2)若已知樓梯寬，需要購買________的地毯才能鋪滿所有臺階．
【變式訓練8-4】如圖，小明與小華爬山時遇到一條筆直的石階路，路的一側設有與坡面平行的護欄．小明量得每一級石階的寬為，高為，爬到山頂后，小華數得石階一共200級，若每一級石階的寬和高都一樣，且構成直角，請你幫他們求護欄的長度．

【變式訓練8-5】如圖一個三級臺階，它的每一級的長寬高分別是5，3和1，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，點A上有一只螞蟻，想到點B去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點B的最短路程長是多少？
【變式訓練8-6】如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．
(1)如果給臺階表面8個矩形區域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？
(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？
題型九：勾股定理的應用之判斷是否超速
【經典例題9】如圖，一輛小汽車在一條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方120米的處，過了8秒，小汽車到達處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為200米．
(1)求的長；
(2)“中華人民共和國道路交通管理條例”規定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時，這輛小汽車在段是否超速行駛？請說明理由（參考數據：）
【變式訓練9-1】某條路規定小汽車的行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在這條路的直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．這輛小汽車超速了嗎？（參考數據轉換：）
【變式訓練9-2】“中華人民共和國道路交通管理條例”規定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀處的正前方的處，過了后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為，這輛小汽車超速了嗎？（參考數據轉換：）
【變式訓練9-3】如圖，一條東西向的公路l旁有一所中學M，在中學M的大門前有兩條長度均為200米的通道通往公路l旁的兩個公交站點A、B，且A、B兩站點相距320米．
(1)現要在學校到公路l修一條新路，把A、B兩個站點合為一個站點D（在公路l旁），使得學生從學校走到公路l的距離最短，求新路的距離；
(2)為了行車安全，在公路l旁的點B和點C設置區間測速裝置，其中點C在點B的東側，且與中學M相距312米，公路l限速30千米/小時（約8.33米/秒）．一輛汽車經過區間用時16秒，試判斷該車是否超速，并說明理由．
【變式訓練9-4】某條道路的限速規定：轎車速度不得超過．如圖，一輛轎車在該道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到距離路面檢測儀A正前方的點C處．后，測得轎車行駛到點B，與檢測儀之間的距離為，這輛轎車是否違章？請說明理由．
題型十：勾股定理的應用之判斷是否受臺風影響
【經典例題10】如圖，鐵路和公路在點O處相交，公路上距離O點的點A到的直線距離為．如果火車行駛時，周圍以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點A處受噪音影響的時間為 ．
【變式訓練10-1】如圖，經過村和村（將村看成直線上的點）的筆直公路旁有一塊山地正在開發，現需要在處進行爆破．已知處與村的距離為300米，處與村的距離為400米，且．
(1)求兩村之間的距離；
(2)為了安全起見，爆破點周圍半徑250米范圍內不得進入，在進行爆破時，公路段是否有危險而需要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由．
【變式訓練10-2】如圖，兩條公路、交于點，在公路旁有一學校，與點的距離為，點（學校）到公路的距離為，一大貨車從點出發，行駛在公路上，汽車周圍范圍內有噪音影響．
(1)貨車開過學校是否受噪音影響？為什么？
(2)若汽車速度為，則學校受噪音影響多少秒鐘？
【變式訓練10-3】2023年7月，五號臺風“杜蘇芮”登陸，我國很多地區受到嚴重影響．據報道，臺風風力影響半徑為（即以臺風中心為圓心，為半徑的圓形區域都會受臺風影響）．如圖，線段是臺風中心從市向市的大致路線，是某個大型農場，且．若，之間相距，，之間相距．判斷農場是否會受到臺風的影響，請說明理由．
【變式訓練10-4】我國大部分東部地區屬于亞熱帶季風氣候，夏季炎熱多雨．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向的處，以每小時的速度向北偏東的方向移動，距離臺風中心的范圍內是受臺風影響的區域．
(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？
(2)若城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？
【變式訓練10-5】如圖，某沿海城市接到臺風預警，在該市正南方向的處有一臺風中心，沿方向以的速度移動，已知城市到的距離為．
(1)臺風中心經過多長時間從點移到點？
(2)如果在距臺風中心的的圓形區域內都將受到臺風的影響，那么市受到臺風影響的時間持續多少小時？
題型十一：勾股定理的應用之選址使到兩地距離相等
【經典例題11】如圖，鐵路上A，B兩點相距，C，D為兩村莊，于點A，于點B，已知，現在要在鐵路旁建一個貨運站E，使得C，D兩村到E站距離相等，問E站應建在離A地多遠的地方？
【變式訓練11-1】鐵路上A、B兩點相距，C、D為兩村莊，于點A，于點B，已知，現在要在鐵路上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，請畫出E點位置（要求尺規作圖，保留作圖痕跡）并求出E站應建在離A站多少千米處？
【變式訓練11-2】如圖，A、B是公路l同側的兩個村莊，A村到公路l的距離，B村到公路l的距離，且．為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公交站點P，要求該站到村莊A、B的距離相等．請求出點P與點C之間的距離．
【變式訓練11-3】如圖所示，鐵路上有A、B兩點（看作直線上兩點）相距40千米，C、D為兩村莊（看作兩個點），，，垂足分別為A、B，千米，千米，現在要在鐵路旁修建一個煤棧，使得C、D兩村到煤棧的距離相等，問煤棧應建在距A點多少千米處？
【變式訓練11-4】如圖，鐵路上、兩站相距，、為兩個村莊，，，垂足分別為、，已知，，現在要在鐵路上修建一個中轉站，使得到、兩村的距離和最短．請在圖中畫出點的位置，并求出的最小值．
題型十二：勾股定理的應用之求最短路徑
【經典例題12】如圖，圓柱形容器高為，在其外壁距離下底面的處有一只螞蟻，它想吃到正對面外壁距離上底面的B處的一滴蜂蜜，其中圓柱的底面周長為，則螞蟻爬行的最短距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練12-1】如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點到點的所有路徑中，最短路徑的長是 ．
【變式訓練12-2】如圖，有一長方體容器（無蓋），，，，一只螞蟻沿長方體的表面，從點A爬到點的最短爬行路程是 ．
【變式訓練12-3】如圖，一個長方體建筑物的長、寬、高分別為3米、1米和6米，為了美觀，現要在該建筑物上纏繞燈線以便安裝小彩燈，燈線的繞法是從下底面的頂點A開始經過四個側面繞3圈繞到上底面的頂點B，那么用在該建筑物上的燈線最短需要 米．
【變式訓練12-4】臨汾是帝堯之都，有著堯都之稱．堯都華表柱身祥云騰龍，頂蹲沖天吼，底座浮雕長城和黃河壺口瀑布，是中華民族歷史悠久、文化燦爛的標志．如圖，在底面周長約為6米且帶有層層回環不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達柱頂正上方（從點A到點，為的中點），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為 ．
【變式訓練12-5】如圖，圓柱形杯子的高為，底面周長為，在杯內壁（杯子的厚度忽略不計）離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到達內壁處的最短距離為 ．（假設蜂蜜不會下滑）
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