資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第一章 數(shù)與式
1.2 整式、分式及其運(yùn)算
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1整式及其運(yùn)算 ☆☆ 浙江中考數(shù)學(xué)（省卷）中，整式與分式的部分，考查3-4道題，分值為10分左右，通常以選填題的形式考查，也不排除有分式的化簡(jiǎn)求值的解答題。 整體來說本專題查難度并不大，所以同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，除了要扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，更需要甄別好主次，合理安排復(fù)習(xí)方向。
考點(diǎn)2 乘法公式 ☆☆
考點(diǎn)3 探索與表達(dá)規(guī)律 ☆☆
考點(diǎn)4 因式分解 ☆☆☆
考點(diǎn)5 分式的概念和性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)6 分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值 ☆☆☆
本節(jié)內(nèi)容中對(duì)考查整式的加減、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大，但考試頻率較高，偶爾考查整式與分式的基本概念。探究與表達(dá)規(guī)律、乘法公式的運(yùn)用偶爾考查難度相對(duì)較大，但考試頻率不算太高。分式的基本性質(zhì)和化簡(jiǎn)求值考查以選填題和解答題都有可能，難度適中。因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以選填題的形式出現(xiàn)，難度不大。
2
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■考點(diǎn)一　整式及其運(yùn)算 5
■考點(diǎn)二　乘法公式 7
■考點(diǎn)三　規(guī)律與表達(dá)探索 9
■考點(diǎn)四　因式分解 12
■考點(diǎn)五　分式的概念和性質(zhì) 14
■考點(diǎn)六　分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值 16
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27
■考點(diǎn)一　整式及其運(yùn)算
1.代數(shù)式：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做 代數(shù)式 。
2.代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫代數(shù)式的值。
3．單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做 單項(xiàng)式 ，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的 次數(shù) ，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的 系數(shù) 。
4．多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做 多項(xiàng)式 ，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的 次數(shù) ，其中不含字母的項(xiàng)叫做 常數(shù)項(xiàng) 。
5．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為 整式 。
6．同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含 字母 相同并且相同字母的 指數(shù) 也相同的項(xiàng)，叫做 同類項(xiàng) 。
7．整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。
8．冪的運(yùn)算：am·an= am+n ；（am）n= amn ；（ab）n= anbn ；am÷an= 。
9．整式的乘法：（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m（a+b+c）= ma+mb+mc 。
（3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m+n）（a+b）= ma+mb+na+nb 。
10．整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
11.整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面。
■考點(diǎn)二　乘法公式
（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
■考點(diǎn)三　探索與表達(dá)規(guī)律
2、規(guī)律探索型問題常見類型
1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。
2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。
3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒有一個(gè)數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律。
■考點(diǎn)四　因式分解
1．因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）運(yùn)用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分組分解 （4項(xiàng)及以上可選擇此法）。
3．分解因式的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。
以上步驟可以概括為“一 提 二 套 三 檢查 ”。
■考點(diǎn)五　分式的相關(guān)概念
1.分式的概念：如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 分式 ，其中A為分子，B為分母。
2.對(duì)于分式來說：①若 B≠0 ，則有意義；②若 B=0 ，則無意義；③若 A=0且B≠0 ，則=0；
④當(dāng) A=B≠0 時(shí)，分式的值為1；⑤若 >0 ，則A、B同號(hào)，若 <0 ，則A、B異號(hào)。
3.分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都 乘以（或除以） 同一個(gè) 不等于零的整式 ，分式的值 不變 。
用式子表示為 或 ，其中A，B，C均為整式。
4.約分及約分法則
（1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的 約分 。
（2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分。
5.最簡(jiǎn)分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做 最簡(jiǎn)分式 。
【注】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．
6.通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的 通分 。（2）通分法則把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：①先求各個(gè)分式的 最簡(jiǎn)公分母 （即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式；③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分。
7.最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的 最小公倍數(shù) 與所有字母因式的最高次冪的 積 作為公分母，這樣的分母叫做 最簡(jiǎn)公分母 。
■考點(diǎn)六　分式的運(yùn)算
1.分式的加減
①同分母的分式相加減法則： 分母不變，分子相加減 ．用式子表示：。
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)?同分母的分式 ，然后再加減。
用式子表示為：。
2.分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示：。
3.分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示：為正整數(shù)，。
5.分式的混合運(yùn)算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算。
混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的。
■考點(diǎn)一　整式及其運(yùn)算
◇典例1：（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】A、 故該項(xiàng)不正確，不符合題意；
B、 故該項(xiàng)不正確，不符合題意；C、故該項(xiàng)不正確，不符合題意；
D、 故該項(xiàng)正確，符合題意；故選：D
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）下列各式計(jì)算結(jié)果為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)不合題意；
B、，故該選項(xiàng)不合題意；C、，故該選項(xiàng)不合題意；
D、，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算的正確結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：，故選：B．
3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】、與不是同類項(xiàng)，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
、，原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；故選：．
◇典例2：（2024·浙江·三模）某校組織了一次籃球聯(lián)賽，原計(jì)劃共有n支球隊(duì)參加比賽，采用單循環(huán)比賽的賽制（任意兩支球隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)）．若賽前有2支球隊(duì)因故放棄比賽，剩余球隊(duì)仍進(jìn)行單循環(huán)比賽，則比賽總場(chǎng)數(shù)比原計(jì)劃減少（ ）
A．場(chǎng) B．場(chǎng) C．場(chǎng) D．場(chǎng)
【答案】C
【詳解】解：由題意可知，支球隊(duì)進(jìn)行的場(chǎng)次為，
支球隊(duì)進(jìn)行的場(chǎng)次為，
則比賽總場(chǎng)數(shù)比原計(jì)劃減少（場(chǎng)），故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬日億，萬萬億日兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億1萬1萬，1兆1萬1萬1億．若1兆，則m的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【詳解】解：1兆1萬1萬1億，則，故選：D．
2．（2024·嘉興·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，二維碼具有存儲(chǔ)量大、保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用．某種版本的“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，試比較與的大小關(guān)系： （填“>”，“=”或“<”）．
【答案】>
【詳解】解：∵，，又∵，∴．故答案為：>．
3．（2024·浙江湖州·一模）古希臘一位莊園主把一邊長(zhǎng)為a米（）的正方形土地租給老農(nóng)，第二年他對(duì)老農(nóng)說：“我把這塊地的一邊增加4米，相鄰的一邊減少4米，變成長(zhǎng)方形土地繼續(xù)租給你，租金不變”后來老農(nóng)發(fā)現(xiàn)收益減少，感覺吃虧了．聰明的你幫老農(nóng)算出土地面積其實(shí)減少了 平方米．
【答案】16
【詳解】原來的土地面積為平方米，第二年的面積為，
∵，∴減少了16平方米，故答案為：16．
■考點(diǎn)二　乘法公式
◇典例3：（2023年成都市中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意， 當(dāng)，，則第1個(gè)一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第2個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為，
當(dāng)，，則第4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為，
當(dāng)，，則第5個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第6個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第7個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為……
時(shí)有4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，同理時(shí)有個(gè)，時(shí)有6個(gè)，列表如下，
觀察表格可知當(dāng)時(shí)，時(shí)，智慧數(shù)為，
時(shí)，智慧數(shù)為，，時(shí)，智慧數(shù)為，，時(shí)，智慧數(shù)為，
第1至第10個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，
第11至第20個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，
第21個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，第22個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為，第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為 故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，平方差公式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·上海·中考真題）計(jì)算 ．
【答案】
【詳解】解：，故答案為：．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知代數(shù)式化簡(jiǎn)后為一個(gè)完全平方式，且當(dāng)時(shí)此代數(shù)式的值為0，則下列式子中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)此代數(shù)式的值為0，∴，即：；
∵
∴，由得，故選：A
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知，，．求 ．
【答案】1
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，即，∴，∴．故答案為：
2．（2024·浙江杭州·二模）實(shí)數(shù)、、不全為0，則的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】該題主要考查了分式的化簡(jiǎn)以及完全平方公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形；先運(yùn)用完全平方公式確定，，，再化簡(jiǎn)即可；
【詳解】解：∵，
∴，，∴，
∴，∴ ∴的最大值是1，故選：B．
■考點(diǎn)三　探索與表達(dá)規(guī)律
◇典例5：（2024·浙江嘉興·一模）為美化市容，某廣場(chǎng)要在人行雨道上用大小相同的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示，圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推；若所選的圖中灰磚有64塊，則白磚有（ ）塊
A．28 B．30 C．34 D．36
【答案】D
【詳解】由所給圖形可知，第 1 個(gè)圖形中灰磚塊數(shù)為：，白磚塊數(shù)為：，
第 2 個(gè)圖形中灰磚塊數(shù)為：，白磚塊數(shù)為：，
第3個(gè)圖形中灰磚塊數(shù)為：，白磚塊數(shù)為：，
所以第個(gè)圖形中灰磚塊數(shù)為塊，白磚塊數(shù)為塊，
當(dāng)時(shí)，（舍負(fù)），則（塊），
即所選的圖中灰磚有 64 塊，則白磚有 36 塊．故選：D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在多項(xiàng)式中任意添括號(hào)，添括號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后按給出的運(yùn)算順序重新運(yùn)算，稱此為“新算操作”．例如：，，…有兩個(gè)判斷：①至少存在一種“新算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之差為0；②所有可能的“新算操作”共有4種不同運(yùn)算結(jié)果．判斷正確的是( )
A．①正確，②正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤
【答案】A
【詳解】解：根據(jù)題意有，
存在“新算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之差為，故①正確；
所有可能的新算操作有：第一種：結(jié)果與原式相同；第二種：；
第三種：；第四種：；
共有種不同運(yùn)算結(jié)果，故②的說法正確；正確的有個(gè)；故選：A．
2．（2024·浙江溫州·二模）在二維碼中常用黑白方格表示數(shù)碼1和0，若下圖表示1011，則表示0110的圖是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)材料提示，黑色的為1，白色的為0，∴的圖形規(guī)律為：白黑黑白，故選：D ．
3．（2024·浙江臺(tái)州·一模）一組有序排列的數(shù)具有如下規(guī)律：任意相鄰的三個(gè)數(shù)，中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的積．若這組數(shù)第1個(gè)數(shù)是a，第5個(gè)數(shù)是，則第2028個(gè)數(shù)是 （用含a的式子表示）．
【答案】
【詳解】解：設(shè)第2個(gè)數(shù)為，第3個(gè)數(shù)為，第4個(gè)數(shù)為，由題意，得：，
∴，∴，進(jìn)而可得第六個(gè)數(shù)為，
∴依次可得這組數(shù)據(jù)為，即：這組數(shù)以6個(gè)為一組進(jìn)行循環(huán)，
∵，∴第2028個(gè)數(shù)是；故答案為：．
◇典例6：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：．…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出第5個(gè)等式．
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．
【答案】(1)(2)，見解析
【分析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和列代數(shù)式，從題目中找出數(shù)字間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)上述等式，即可得出第5個(gè)等式：．
（2）第個(gè)等式：，證明等式左邊等式右邊即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)上述等式，可知第5個(gè)等式：．
（2）解：第個(gè)等式：，
證明：等式左邊，
∴等式左邊等式右邊，∴等式成立．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：
；；；；…
根據(jù)上述規(guī)律，解答下列問題：(1)填空： ， ；
(2)用含n（n是正整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，證明你的結(jié)論是正確的．
【答案】(1)48，72．(2)，證明見詳解
【詳解】（1）解： ，，故答案為：48，72．
（2）解：由數(shù)列3，5，7，，得第個(gè)數(shù)為：，
由數(shù)列1，3，5，，得第個(gè)數(shù)為：，
由數(shù)列8，16，24，，得第個(gè)數(shù)為：，
該等式的規(guī)律為：．
等式左邊：，結(jié)論正確．
2．（2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)研究?jī)晌粩?shù)的平方的規(guī)律．
，
，
，…
(1)請(qǐng)按上述規(guī)律寫出關(guān)于的等式；(2)推理說明的平方是的倍數(shù)．
【答案】(1)(2)說明見解析
【詳解】（1）解：∵，，
，，∴；
（2）解：∵的平方為，
∴的平方是的倍數(shù)．
3．（2024·浙江嘉興·一模）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，
第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出第6個(gè)等式．
(2)寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．
【答案】(1)(2)，證明見解析
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得第6個(gè)等式：；
（2）解：根據(jù)題意可得第個(gè)等式為：，
證明：等式左邊，等式右邊，
等式左邊等式左邊， 等式成立．
■考點(diǎn)四　因式分解
◇典例7：（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）把因式分解，結(jié)果正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：．故選D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）分解因式： ．
【答案】
【詳解】解：；故答案為：．
2．（2024·浙江杭州·二模）下列因式分解正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、 ，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．
3．（2024·浙江嘉興·一模）若多項(xiàng)式（為不等于0的常數(shù)）能在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則的值可以是 ．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查因式分解的概念．根據(jù)題意，寫出一個(gè)符合題意的值即可．
【詳解】解：．故答案為：．
◇典例8：（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某課外密碼研究小組接收到一條密文：．已知密碼手冊(cè)的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 愛 中 華 大 地 …
把密文用因式分解解碼后，明文可能是（ ）
A．中華大地 B．愛我中華 C．愛大中華 D．我愛中大
【答案】D
【詳解】解： 原式
∴對(duì)應(yīng)密文可得到的字為：愛，我，中，大；故選：D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江嘉興·一模）若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】本題主要考查了因式分解的意義，利用平方差公式把因式分解為，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：
∵k為任意整數(shù)，∴為整數(shù)，∴一定能被3整除，
∴的值總能被3整除，故選：B．
2．（2024·浙江·一模）某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，由若干名同學(xué)組成一個(gè)25列的長(zhǎng)方形隊(duì)陣．如果原隊(duì)陣中增加64人，就能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣；如果原隊(duì)陣中減少64人，也能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣．則原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué) 人．
【答案】1025
【詳解】解：設(shè)原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué)（為正整數(shù)）人，則由已知與均為完全平方數(shù)，設(shè)正方形方陣的邊長(zhǎng)分別為m，n，可得其中m，n為正整數(shù)．
兩式相減，得，即．
∵，和同奇或同偶，
∴或或，解得或或，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，，不合題意，舍去；
故原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué)1025人．故答案為：1025．
■考點(diǎn)五　分式的概念和性質(zhì)
◇典例9：（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）若分式的值為0，則的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【詳解】解：∵分式的值為0∴，∴，故選：A
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意義，的取值應(yīng)滿足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵要使分式有意義，則必須有，∴，故選．
2．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列分式一定有意義的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：A、，分式有意義，符合題意；
B、，當(dāng)時(shí)，分式無意義，不符合題意；
C、，當(dāng)時(shí)，分式無意義，本選項(xiàng)不符合題意；
D、時(shí)，分式無意義，本選項(xiàng)不符合題意，故選：A．
3．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【詳解】解：，
的值可以等于2，故選：D．
◇典例10：（2024·浙江杭州·三模）已知，則 ．
【答案】//
【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）若分式的值為整數(shù)，則正整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（　?。?br/>A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【詳解】解：＝＝，
∵分式的值為整數(shù)，∴或或或且，
∴正整數(shù)或2或5或1或6或9，共6個(gè)．故選：B．
2．（2024·浙江·二模）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：A．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B．，故選項(xiàng)正確，符合題意；
C．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．
3．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知有意義的分式：，請(qǐng)你寫出一個(gè)含的二次分式，當(dāng)它有意義時(shí)，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：
【答案】
【詳解】解：有意義，，即，解得，且，
，則是一個(gè)含的二次分式，當(dāng)它有意義時(shí)，可能大于0，可能小于0，不可能等于0，故答案為：．
■考點(diǎn)六　分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值
◇典例11：（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中 ．
【答案】，
【詳解】原式，
當(dāng)時(shí)，原式．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江嘉興·二模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn) B． C．0 D．1
【答案】D
【詳解】解：．故選D．
2．（2024·河北邯鄲·三模）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在進(jìn)行分式接力計(jì)算過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的同學(xué)是（ ）
化簡(jiǎn)：
甲同學(xué)：原式；
乙同學(xué)：；
丙同學(xué)：；
丁同學(xué)．
A．甲同學(xué) B．乙同學(xué) C．丙同學(xué) D．丁同學(xué)
【答案】B
【詳解】解：
，∴開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的同學(xué)是乙同學(xué)，故選B．
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）定義：若一個(gè)實(shí)數(shù)與比它小1的數(shù)的乘積為1，則稱這兩個(gè)數(shù)互為“異倒數(shù)”，若實(shí)數(shù)a有異倒數(shù)，則代數(shù)式的值為 ．
【答案】1
【詳解】∵實(shí)數(shù)a有異倒數(shù)，，，
故答案為：1．
4．（2024·浙江杭州·二模）化簡(jiǎn)．下面是小濱、小江兩位同學(xué)的部分運(yùn)算過程．
小濱：原式
小江：原式
(1)小濱解法的依據(jù)是___________（填序號(hào)）；小江解法的依據(jù)是___________（填序號(hào)）．
①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法交換律；④乘法對(duì)加法的分配律．
(2)已知，先化簡(jiǎn)題中代數(shù)式，再求代數(shù)式的值．
【答案】(1)②；④ (2)，
【詳解】（1）解：由題意得：小濱解法的依據(jù)是②分式的基本性質(zhì)，小江解法的依據(jù)是④乘法對(duì)加法的分配律；故答案為：②，④；
（2）解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
◇典例12：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知．
方方說：“p一定大于q”．以下是方方的解答過程．
解： ，
因?yàn)?，所以，即p一定大于q．你覺得方方說法正確嗎？為什么？
【答案】不正確，理由見解析
【詳解】解：方方說法不正確，理由：∵，
而方方在解答過程中將分母去掉了，∴方方說法不正確．
正確的解法為：∵，
∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴p大于q；
∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴p大于q；
∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴p小于q．綜上，p不一定大于q．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于分式，有下列結(jié)論：
結(jié)論一：當(dāng)時(shí)，；結(jié)論二：當(dāng)時(shí)，；結(jié)論三：若，則．
其中正確的結(jié)論是（ ）
A．結(jié)論一 B．結(jié)論二 C．結(jié)論二、結(jié)論三 D．結(jié)論一、結(jié)論二
【答案】B
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則分式無意義，故結(jié)論一不符合題意；
當(dāng)時(shí)，即，解得：，
檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，則是分式方程得解，故結(jié)論二符合題意；
，
若，則，即，∴，故結(jié)論三不符合題意；
綜上，正確的結(jié)論是結(jié)論二，故選：B．
2．（2024·寧波·模擬預(yù)測(cè)）圓圓和方方在做一道練習(xí)題：已知，試比較與的大?。?br/>圓圓說：“當(dāng)時(shí)，有，；因?yàn)?，所以”?br/>方方說：“圓圓的做法不正確，因?yàn)橹皇且粋€(gè)特例，不具一般性．可以……”請(qǐng)你將方方的做法補(bǔ)充完整．
【答案】見詳解
【詳解】解：
1．（2023·浙江湖州·中考真題）若分式的值為0，則x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【詳解】解：依題意得：且，解得．故選：A．
2．（2024·浙江·中考真題）下列式子運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解： A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．
3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【詳解】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，即，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，即，
第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，即，…，按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有個(gè)三角形，
則第674個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：（個(gè)）．故選：B．
4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
C、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D、，故該選項(xiàng)是正確的；故選：D．
5．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D．，原計(jì)算正確，符合題意；故選：D．
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù)．
由于，即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，
∴奇數(shù)有個(gè)．故選：D
7．（2024·廣西·中考真題）如果，，那么的值為（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【詳解】解：∵，，∴；
8．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數(shù)，且滿足，則a與b的關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意得：，∴，∴，故選：A．
9．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）下列單項(xiàng)式中，的同類項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：A．是同類項(xiàng)，此選項(xiàng)符合題意；
B．字母a的次數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．相同字母的次數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．相同字母的次數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．
10．（2024·重慶·中考真題）已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；③滿足條件的整式共有16個(gè)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br/>A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【詳解】解：∵為自然數(shù)，為正整數(shù)，且，∴，
當(dāng)時(shí)，則，∴，，滿足條件的整式有，
當(dāng)時(shí)，則，∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，，當(dāng)時(shí)，則，
∴，，，，，，
滿足條件的整式有：，，，，，；
當(dāng)時(shí)，則，∴，，，，
滿足條件的整式有：，，，；當(dāng)時(shí)，，滿足條件的整式有：；
∴滿足條件的單項(xiàng)式有：，，，，，故①符合題意；
不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；故②符合題意；
滿足條件的整式共有個(gè)．故③符合題意；故選D
11．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)這個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為 ；若，則的值為 ．
【答案】 9 144
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，則；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，四種取法，則；
故當(dāng)時(shí)，有，，，，，六種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，，，，，，九種取法，則；依次類推，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，故答案為：9，144．
12．（2024·四川樂山·中考真題）已知，，則 ．
【答案】
【詳解】解：由題意知，，故答案為：．
13．（2024·四川德陽·中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上，結(jié)果是，則這個(gè)多項(xiàng)式為 ．
【答案】
【詳解】解：依題意這個(gè)多項(xiàng)式為．
故答案為：
14．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）單項(xiàng)式的次數(shù)是 ．
【答案】
【詳解】單項(xiàng)式的次數(shù)是：，故答案為：．
15．（2024·四川涼山·中考真題）已知，且，則 ．
【答案】
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴．故答案為：．
16．（2024·浙江·中考真題）因式分解： 。
【答案】
【詳解】解：．故答案為：．
17．（2023·浙江紹興·中考真題）因式分解： ．
【答案】
【詳解】解：由題意知，，故答案為：．
18．（2024·陜西·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】，6
【詳解】解：；
當(dāng)，時(shí)，原式．
19．（2023·浙江紹興·中考真題）解答下列各題：(1)計(jì)算：
(2)當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值．
【答案】(1)3(2)
【詳解】（1）解：，
（2）解
當(dāng)時(shí)，原式．
20．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大小．
小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br/>小華：∵，∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…
(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大小：__________．（填“”“”或“”）
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：，
，，；
（2）解：，．故答案為：．
21．（2024·安徽·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為（均為自然數(shù)）”的問題．
(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（為正整數(shù)）：
奇數(shù) 的倍數(shù)
表示結(jié)果
一般結(jié)論 ______
按上表規(guī)律，完成下列問題：（）（ ）（ ）；（）______；
(2)興趣小組還猜測(cè)：像這些形如（為正整數(shù)）的正整數(shù)不能表示為（均為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：
假設(shè)，其中均為自然數(shù)． 分下列三種情形分析： 若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)， 則為的倍數(shù)． 而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)． 若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)， 則______為的倍數(shù)． 而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)． 若一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則為奇數(shù)． 而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)． 由可知，猜測(cè)正確．
閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾蔚臋M線上填寫所缺內(nèi)容．
【答案】(1)（），；（）；(2)
【詳解】（1）（）由規(guī)律可得，，故答案為：，；
（）由規(guī)律可得，，故答案為：；
（2）解：假設(shè)，其中均為自然數(shù)．分下列三種情形分析：
若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，
則為的倍數(shù)．
而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．
若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，
則為的倍數(shù)．
而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．
若一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則為奇數(shù)．
而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)．
由可知，猜測(cè)正確．故答案為：．
22．（2024·福建·中考真題）已知實(shí)數(shù)滿足．
(1)求證：為非負(fù)數(shù)；(2)若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．
【答案】(1)證明見解析；(2)不可能都為整數(shù)，理由見解析．
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br/>則．
因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，所以為非負(fù)數(shù)．
（2）不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．
①當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．又，所以．
因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
②當(dāng)為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．
又因?yàn)椋裕驗(yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
綜上所述，不可能都為整數(shù)．
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）下列多項(xiàng)式中，屬于的一個(gè)因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：，所以的因式是或．故選：C．
2．（2024·浙江·一模）下列計(jì)算正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不符合題意；
B．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不符合題意；
C．，計(jì)算正確，故選項(xiàng)符合題意；
D．，原計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不符合題意；故選：C．
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)興趣小組的四位同學(xué)在討論“比較與的大小”這一問題時(shí)意見產(chǎn)生了分歧，你認(rèn)為說法正確的同學(xué)是（ ）
小明：無法比較它們的大小，與x的取值有關(guān)．
小紅：無論x取何值，都有．
小華：無論x取何值，都有．
小敏：的值與的值可能相等．
A．小明 B．小紅 C．小華 D．小敏
【答案】B
【詳解】解：
，
∴無論x取何值，都有，即小紅說法正確，故選：B．
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）有如下數(shù)列：，滿足，已知，，則（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【詳解】解：，，且，∴，
同理，可得：，
所以，1，2，4，4，2，1，六個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，又∴，故選：D
5．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，矩形是由4塊矩形拼接而成，矩形是由4個(gè)直角三角形和一個(gè)平行四邊形拼接而成．則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：若，則，，即，由圖可知，，A錯(cuò)誤，故不符合要求；
如圖1，由矩形的性質(zhì)，勾股定理得，，
∵不一定相等，∴B錯(cuò)誤，故不符合要求；
由題意知，，
∵，∴，即，
∴C錯(cuò)誤，故不符合要求；D正確，故符合要求；故選：D．
6．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）我們把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（x必然存在），互異性（三個(gè)數(shù)互不相等，如），無序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變），若集合，我們說．已知集合，集合 ，若，則的值是（　?。?br/>A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【答案】D
【詳解】解：由題可得，集合A中，，∴集合B中的，，，
∵，∴x與y都為負(fù)數(shù)，，，，，
∵，，，，．故選：D．
7．（2024·浙江杭州·二模）若分式的值是0，則的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】分式的值為0，∴且．解得：．故選：A．
8．（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意得，，∵，∴，
∴，，故選：A．
9．（2024·河北石家莊·一模）如圖所示，某同學(xué)不小心將分式運(yùn)算的作業(yè)紙撕壞了一角，若已知該運(yùn)算正確的情況下，則撕壞的部分中“■”代表的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意，得：“■”代表的是；故選：A．
10．（2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）分式方程，各分母的最簡(jiǎn)公分母是 ．
【答案】
【詳解】解：分式方程，各分母的最簡(jiǎn)公分母是，故答案為：．
11．（2023·浙江金華·一模）已知分式滿足條件“只含有字母x，且當(dāng)時(shí)分式的值為0”，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：“只含有字母x，且當(dāng)時(shí)分式的值為0”的分式為，
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式值為0的條件：分子=0，分母≠0．
12．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知，請(qǐng)計(jì)算代數(shù)式的值為 ．
【答案】
【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，
，故答案為：．
13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則代數(shù)式的值為 ．
【答案】3
【詳解】解：，
，，故答案為：3．
14．（2024·浙江金華·二模）多項(xiàng)式去括號(hào)的結(jié)果是 ．
【答案】
【詳解】解：．故答案為：．
15．（2024·浙江紹興·一模）某班40名同學(xué)按學(xué)號(hào)1，2，3，…，40順次順時(shí)針方向圍坐成一圈做游戲：從某個(gè)同學(xué)開始，沿順時(shí)針方向，按1，2，3，…依次報(bào)數(shù)，報(bào)到數(shù)字40的同學(xué)退出游戲，剩下39人，第一輪結(jié)束；接著從退出游戲的后一個(gè)同學(xué)開始繼續(xù)沿順時(shí)針方向按1，2，3，…依次報(bào)數(shù)，報(bào)到數(shù)字40的同學(xué)退出游戲，剩下38人，第二輪結(jié)束；……，按這種方式，在第五輪中，恰好學(xué)號(hào)18的同學(xué)退出游戲，則第一輪第一位報(bào)數(shù)同學(xué)的學(xué)號(hào)是 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)第一輪第一位報(bào)數(shù)同學(xué)的學(xué)號(hào)是a，共40人，則第一輪報(bào)號(hào)40的同學(xué)學(xué)號(hào)為,
∴第二輪第一個(gè)報(bào)號(hào)的同學(xué)學(xué)號(hào)仍為a，共39人，則第二輪報(bào)號(hào)40的同學(xué)學(xué)號(hào)為,
∴第三輪第一個(gè)報(bào)號(hào)的同學(xué)學(xué)號(hào)仍為，共38人，則第三輪報(bào)號(hào)40的同學(xué)學(xué)號(hào)為,
∴第四輪第一個(gè)報(bào)號(hào)的同學(xué)學(xué)號(hào)仍為，共37人，則第四輪報(bào)號(hào)40的同學(xué)學(xué)號(hào)為,
∴第五輪第一個(gè)報(bào)號(hào)的同學(xué)學(xué)號(hào)仍為，共36人，則第五輪報(bào)號(hào)40的同學(xué)學(xué)號(hào)為,
∵在第五輪中，恰好學(xué)號(hào)18的同學(xué)退出游戲，∴，∴，故答案為：9
16．（2024·浙江寧波·二模）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積為，則 ．
【答案】
【詳解】解：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積為，設(shè)多項(xiàng)式，由題意得：
，，，，
，故答案為：．
17．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，100枚1元硬幣按的方法不重疊地放在正方形框中，設(shè)1元硬幣的半徑為r．

（1）正方形框的邊長(zhǎng)為 （用含r的代數(shù)式表示）．
（2）在該正方形框中，最多能不重疊地放置 枚硬幣．
【答案】 106
【詳解】解：（1）由題意得，正方形框的邊長(zhǎng)為，故答案為：；
（2）當(dāng)按照題干圖所示的方法進(jìn)行擺放時(shí)，最多可以擺放100個(gè)，這時(shí)每一排所占的高度為r；
如圖2-1所示，當(dāng)在的正方形中，第一排擺3個(gè)半徑為r的圓，第2排擺2個(gè)半徑為r的圓，第3排擺3個(gè)半徑為r的圓，連接兩小圓的圓心，過點(diǎn)分別作水平線和豎直線的平行線，二者交于H，∴，，∴，
∴此時(shí)半徑為r的小圓在豎直方向所占的高度為，
∴這樣在紅線的下方節(jié)約了高度為的高度，
因此當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)增加時(shí)，紅線下方的高度一定能滿足多擺放一排，

如圖2-2所示，從下邊數(shù)起，按照第1排先擺10個(gè)半徑為r的小圓，第2排擺9個(gè)半徑為r的小圓，第3排先擺10個(gè)半徑為r的小圓，第4排擺9個(gè)半徑為r的小圓，……，擺滿10排后的高度為，
∴剩余的高度為，
∵，∴，∴，
∴在擺滿10排的基礎(chǔ)上還可以再擺放一排，∴此時(shí)最多能擺放個(gè)，
如圖2-3所示，按照此種擺放方式時(shí)，所占的總高度為，
∵，∴，
∴下圖的擺放符合題意，∴此時(shí)最多可以擺放106個(gè)；

綜上所述，在該正方形框中，最多能不重疊地放置106枚硬幣．故答案為：106．
18．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）若，則 ．
【答案】8
【詳解】解：∵，∴
∴，故答案為：8
19．（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知，則＝ ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴＝＝＝＝．故答案為：．
20．（2024·浙江寧波·二模）已知，，則 ．
【答案】
【詳解】解：∵，∴，
∴
∵∴
∴；故答案為：．
21．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知代數(shù)式是一個(gè)關(guān)于的完全平方式，則n的值是 ；且當(dāng)時(shí)M的最大值是 ．
【答案】 / /6.25/
【詳解】∵是一個(gè)關(guān)于的完全平方式，∴，∴，
∴（矛盾，n不存在），或，，∴，
∵，對(duì)稱軸為直線，∴M的圖象開口向上，2與關(guān)于對(duì)稱，
∴與時(shí)，M的值相等，∵時(shí)，M隨a的增大而減小，，且，
∴當(dāng)時(shí)，M取得最大值，最大值為，故答案為：，．
22．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足則的值為 ．
【答案】2或
【詳解】解：∵∴ 先記
∴
∵∴ 則
∴或 綜上：
當(dāng)時(shí)，∴∴，負(fù)值已舍去；
當(dāng)時(shí)，∴∴，負(fù)值已舍去；
當(dāng)時(shí)， ∴∴，負(fù)值已舍去；
綜上：2或 故答案為：2或
23．（2024·浙江臺(tái)州·二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】，3
【詳解】解：，
當(dāng)，時(shí)，原式．
24．（2024·浙江·一模）觀察前后兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差：
①；②；③；……
(1)寫出第n個(gè)等式，并進(jìn)行證明．(2)問是否可以寫成兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差？如果能，請(qǐng)寫出這兩個(gè)整數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，證明見解析(2)可以，和
【詳解】（1）解：由，可得；
由，可得；
由，可得；……
∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第n個(gè)等式是：；
證明：左邊右邊．
（2）解：令，解得，，∴．
答：存在整數(shù)和，使寫成兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差．
25．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）小孫同學(xué)化簡(jiǎn)分式，解答過程如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
你認(rèn)為小孫的解答過程是否正確？如果不正確，請(qǐng)指出是從第幾步開始出錯(cuò)的，并寫出此題正確的解答過程．
【答案】小孫的解答過程不正確，他是從第一步開始出錯(cuò)的，正確解答見解析
【詳解】解：小孫的解答過程不正確，他是從第一步開始出錯(cuò)的．正確解答過程如下：
原式．
26．（2024·河北石家莊·一模）老師設(shè)計(jì)了一個(gè)“接力游戲”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，由學(xué)生合作完成分式的計(jì)算．如圖，老師把題目交給一位同學(xué)，他完成一步解答后交給第二位同學(xué)，依次進(jìn)行，最后完成計(jì)算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．
(1)寫出這個(gè)“接力游戲”中計(jì)算錯(cuò)誤的同學(xué)；
(2)請(qǐng)你寫出正確的解答過程．
【答案】(1)小明，小紅 (2)，過程見解析
【詳解】（1）解： 故小明計(jì)算錯(cuò)誤；
故小紅計(jì)算錯(cuò)誤；
故這個(gè)“接力游戲”中計(jì)算錯(cuò)誤的同學(xué)有：小明，小紅；
（2）正確的解答過程如下：．
27．（2024·浙江溫州·一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【答案】，
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
28．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下：，若是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡(jiǎn)：，再求值．
【答案】，．
【詳解】解：，
，
，
∵，∴的平方根為，∵，∴，
又∵為的平方根，∴，∴原式．
29．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b表示兩個(gè)正數(shù)，若這兩個(gè)正數(shù)的差等于它們的積，則比小2．(1)任選一組滿足條件的正數(shù)a，b的值，驗(yàn)證上述結(jié)論．
(2)在一般情況下，驗(yàn)證上述結(jié)論．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得：，當(dāng)時(shí)，；
，，即，比大2；
（2）證明：，，比大2．
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第一章 數(shù)與式
1.2 整式、分式及其運(yùn)算
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1整式及其運(yùn)算 ☆☆ 浙江中考數(shù)學(xué)（省卷）中，整式與分式的部分，考查3-4道題，分值為10分左右，通常以選填題的形式考查，也不排除有分式的化簡(jiǎn)求值的解答題。 整體來說本專題查難度并不大，所以同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，除了要扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，更需要甄別好主次，合理安排復(fù)習(xí)方向。
考點(diǎn)2 乘法公式 ☆☆
考點(diǎn)3 探索與表達(dá)規(guī)律 ☆☆
考點(diǎn)4 因式分解 ☆☆☆
考點(diǎn)5 分式的概念和性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)6 分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值 ☆☆☆
本節(jié)內(nèi)容中對(duì)考查整式的加減、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大，但考試頻率較高，偶爾考查整式與分式的基本概念。探究與表達(dá)規(guī)律、乘法公式的運(yùn)用偶爾考查難度相對(duì)較大，但考試頻率不算太高。分式的基本性質(zhì)和化簡(jiǎn)求值考查以選填題和解答題都有可能，難度適中。因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以選填題的形式出現(xiàn)，難度不大。
2
5
■考點(diǎn)一　整式及其運(yùn)算 5
■考點(diǎn)二　乘法公式 7
■考點(diǎn)三　規(guī)律與表達(dá)探索 9
■考點(diǎn)四　因式分解 12
■考點(diǎn)五　分式的概念和性質(zhì) 14
■考點(diǎn)六　分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值 16
20
27
■考點(diǎn)一　整式及其運(yùn)算
1.代數(shù)式：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做 。
2.代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫 。
3．單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做 ，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的 ，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的 。
4．多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做 ，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的 ，其中不含字母的項(xiàng)叫做 。
5．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為 。
6．同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含 相同并且相同字母的 也相同的項(xiàng)，叫做 。
7．整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。
8．冪的運(yùn)算：am·an= ；（am）n= ；（ab）n= ；am÷an= 。
9．整式的乘法：（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m（a+b+c）= 。
（3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m+n）（a+b）= 。
10．整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
11.整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面。
■考點(diǎn)二　乘法公式
（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
■考點(diǎn)三　探索與表達(dá)規(guī)律
2、規(guī)律探索型問題常見類型
1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。
2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。
3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒有一個(gè)數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律。
■考點(diǎn)四　因式分解
1．因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫 ，因式分解與整式乘法是 運(yùn)算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）運(yùn)用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分組分解 （4項(xiàng)及以上可選擇此法）。
3．分解因式的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。
以上步驟可以概括為“一 二 三 ”。
■考點(diǎn)五　分式的相關(guān)概念
1.分式的概念：如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 ，其中A為分子，B為分母。
2.對(duì)于分式來說：①若 ，則有意義；②若 ，則無意義；③若 ，則=0；
④當(dāng) 時(shí)，分式的值為1；⑤若 ，則A、B同號(hào)，若 ，則A、B異號(hào)。
3.分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都 同一個(gè) ，分式的值 。
用式子表示為 或 ，其中A，B，C均為整式。
4.約分及約分法則
（1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的 。
（2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分。
5.最簡(jiǎn)分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做 。
【注】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．
6.通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的 。（2）通分法則把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：①先求各個(gè)分式的 （即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式；③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分。
7.最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的 與所有字母因式的最高次冪的 作為公分母，這樣的分母叫做 。
■考點(diǎn)六　分式的運(yùn)算
1.分式的加減
①同分母的分式相加減法則： ．用式子表示：。
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)? ，然后再加減。
用式子表示為：。
2.分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示： 。
3.分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示： 。
5.分式的混合運(yùn)算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算。
混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的。
■考點(diǎn)一　整式及其運(yùn)算
◇典例1：（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）下列各式計(jì)算結(jié)果為的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算的正確結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2024·浙江·三模）某校組織了一次籃球聯(lián)賽，原計(jì)劃共有n支球隊(duì)參加比賽，采用單循環(huán)比賽的賽制（任意兩支球隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)）．若賽前有2支球隊(duì)因故放棄比賽，剩余球隊(duì)仍進(jìn)行單循環(huán)比賽，則比賽總場(chǎng)數(shù)比原計(jì)劃減少（ ）
A．場(chǎng) B．場(chǎng) C．場(chǎng) D．場(chǎng)
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬日億，萬萬億日兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億1萬1萬，1兆1萬1萬1億．若1兆，則m的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2024·嘉興·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，二維碼具有存儲(chǔ)量大、保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用．某種版本的“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，試比較與的大小關(guān)系： （填“>”，“=”或“<”）．
3．（2024·浙江湖州·一模）古希臘一位莊園主把一邊長(zhǎng)為a米（）的正方形土地租給老農(nóng)，第二年他對(duì)老農(nóng)說：“我把這塊地的一邊增加4米，相鄰的一邊減少4米，變成長(zhǎng)方形土地繼續(xù)租給你，租金不變”后來老農(nóng)發(fā)現(xiàn)收益減少，感覺吃虧了．聰明的你幫老農(nóng)算出土地面積其實(shí)減少了 平方米．
■考點(diǎn)二　乘法公式
◇典例3：（2023年成都市中考真題）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算 ．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知代數(shù)式化簡(jiǎn)后為一個(gè)完全平方式，且當(dāng)時(shí)此代數(shù)式的值為0，則下列式子中正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知，，．求 ．
2．（2024·浙江杭州·二模）實(shí)數(shù)、、不全為0，則的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
■考點(diǎn)三　探索與表達(dá)規(guī)律
◇典例5：（2024·浙江嘉興·一模）為美化市容，某廣場(chǎng)要在人行雨道上用大小相同的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示，圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推；若所選的圖中灰磚有64塊，則白磚有（ ）塊
A．28 B．30 C．34 D．36
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在多項(xiàng)式中任意添括號(hào)，添括號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后按給出的運(yùn)算順序重新運(yùn)算，稱此為“新算操作”．例如：，，…有兩個(gè)判斷：①至少存在一種“新算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之差為0；②所有可能的“新算操作”共有4種不同運(yùn)算結(jié)果．判斷正確的是( )
A．①正確，②正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤
2．（2024·浙江溫州·二模）在二維碼中常用黑白方格表示數(shù)碼1和0，若下圖表示1011，則表示0110的圖是（ ）
A． B．C． D．
3．（2024·浙江臺(tái)州·一模）一組有序排列的數(shù)具有如下規(guī)律：任意相鄰的三個(gè)數(shù)，中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的積．若這組數(shù)第1個(gè)數(shù)是a，第5個(gè)數(shù)是，則第2028個(gè)數(shù)是 （用含a的式子表示）．
◇典例6：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：．…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出第5個(gè)等式．
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：
；；；；…
根據(jù)上述規(guī)律，解答下列問題：(1)填空： ， ；
(2)用含n（n是正整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，證明你的結(jié)論是正確的．
2．（2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)研究?jī)晌粩?shù)的平方的規(guī)律．
，
，
，…
(1)請(qǐng)按上述規(guī)律寫出關(guān)于的等式；(2)推理說明的平方是的倍數(shù)．
3．（2024·浙江嘉興·一模）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，
第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出第6個(gè)等式．
(2)寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的等式表示），并證明．
■考點(diǎn)四　因式分解
◇典例7：（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）把因式分解，結(jié)果正確的是( )
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）分解因式： ．
2．（2024·浙江杭州·二模）下列因式分解正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
3．（2024·浙江嘉興·一模）若多項(xiàng)式（為不等于0的常數(shù)）能在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則的值可以是 ．（寫出一個(gè)即可）
◇典例8：（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某課外密碼研究小組接收到一條密文：．已知密碼手冊(cè)的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 愛 中 華 大 地 …
把密文用因式分解解碼后，明文可能是（ ）
A．中華大地 B．愛我中華 C．愛大中華 D．我愛中大
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江嘉興·一模）若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
2．（2024·浙江·一模）某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，由若干名同學(xué)組成一個(gè)25列的長(zhǎng)方形隊(duì)陣．如果原隊(duì)陣中增加64人，就能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣；如果原隊(duì)陣中減少64人，也能組成一個(gè)正方形隊(duì)陣．則原長(zhǎng)方形隊(duì)陣中有同學(xué) 人．
■考點(diǎn)五　分式的概念和性質(zhì)
◇典例9：（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）若分式的值為0，則的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·二模）要使分式有意義，的取值應(yīng)滿足（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）下列分式一定有意義的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·二模）分式的值，可以等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
◇典例10：（2024·浙江杭州·三模）已知，則 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）若分式的值為整數(shù)，則正整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（　?。?br/>A．4 B．6 C．7 D．8
2．（2024·浙江·二模）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知有意義的分式：，請(qǐng)你寫出一個(gè)含的二次分式，當(dāng)它有意義時(shí)，使它可能大于0，可能小于0，不可能等于0：
■考點(diǎn)六　分式的運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值
◇典例11：（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江嘉興·二模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn) B． C．0 D．1
2．（2024·河北邯鄲·三模）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在進(jìn)行分式接力計(jì)算過程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的同學(xué)是（ ）
化簡(jiǎn)：
甲同學(xué)：原式；
乙同學(xué)：；
丙同學(xué)：；
丁同學(xué)．
A．甲同學(xué) B．乙同學(xué) C．丙同學(xué) D．丁同學(xué)
3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）定義：若一個(gè)實(shí)數(shù)與比它小1的數(shù)的乘積為1，則稱這兩個(gè)數(shù)互為“異倒數(shù)”，若實(shí)數(shù)a有異倒數(shù)，則代數(shù)式的值為 ．
4．（2024·浙江杭州·二模）化簡(jiǎn)．下面是小濱、小江兩位同學(xué)的部分運(yùn)算過程．
小濱：原式
小江：原式
(1)小濱解法的依據(jù)是___________（填序號(hào)）；小江解法的依據(jù)是___________（填序號(hào)）．
①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法交換律；④乘法對(duì)加法的分配律．
(2)已知，先化簡(jiǎn)題中代數(shù)式，再求代數(shù)式的值．
◇典例12：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知．
方方說：“p一定大于q”．以下是方方的解答過程．
解： ，
因?yàn)?，所以，即p一定大于q．你覺得方方說法正確嗎？為什么？
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于分式，有下列結(jié)論：
結(jié)論一：當(dāng)時(shí)，；結(jié)論二：當(dāng)時(shí)，；結(jié)論三：若，則．
其中正確的結(jié)論是（ ）
A．結(jié)論一 B．結(jié)論二 C．結(jié)論二、結(jié)論三 D．結(jié)論一、結(jié)論二
2．（2024·寧波·模擬預(yù)測(cè)）圓圓和方方在做一道練習(xí)題：已知，試比較與的大小．
圓圓說：“當(dāng)時(shí)，有，；因?yàn)椋浴保?br/>方方說：“圓圓的做法不正確，因?yàn)橹皇且粋€(gè)特例，不具一般性．可以……”請(qǐng)你將方方的做法補(bǔ)充完整．
1．（2023·浙江湖州·中考真題）若分式的值為0，則x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2024·浙江·中考真題）下列式子運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形．第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
7．（2024·廣西·中考真題）如果，，那么的值為（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
8．（2024·河北·中考真題）若a，b是正整數(shù)，且滿足，則a與b的關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）下列單項(xiàng)式中，的同類項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重慶·中考真題）已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個(gè)單項(xiàng)式；
②不存在任何一個(gè)，使得滿足條件的整式有且只有3個(gè)；③滿足條件的整式共有16個(gè)．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br/>A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2024·四川成都·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)這個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為 ；若，則的值為 ．
12．（2024·四川樂山·中考真題）已知，，則 ．
13．（2024·四川德陽·中考真題）若一個(gè)多項(xiàng)式加上，結(jié)果是，則這個(gè)多項(xiàng)式為 ．
14．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）單項(xiàng)式的次數(shù)是 ．
15．（2024·四川涼山·中考真題）已知，且，則 ．
16．（2024·浙江·中考真題）因式分解： 。
17．（2023·浙江紹興·中考真題）因式分解： ．
18．（2024·陜西·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
19．（2023·浙江紹興·中考真題）解答下列各題：(1)計(jì)算：
(2)當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值．
20．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大?。?br/>小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br/>小華：∵，∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…
(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）
21．（2024·安徽·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為（均為自然數(shù)）”的問題．
(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（為正整數(shù)）：
奇數(shù) 的倍數(shù)
表示結(jié)果
一般結(jié)論 ______
按上表規(guī)律，完成下列問題：（）（ ）（ ）；（）______；
(2)興趣小組還猜測(cè)：像這些形如（為正整數(shù)）的正整數(shù)不能表示為（均為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：
假設(shè)，其中均為自然數(shù)． 分下列三種情形分析： 若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)， 則為的倍數(shù)． 而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)． 若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)， 則______為的倍數(shù)． 而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)． 若一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則為奇數(shù)． 而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)． 由可知，猜測(cè)正確．
閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾蔚臋M線上填寫所缺內(nèi)容．
22．（2024·福建·中考真題）已知實(shí)數(shù)滿足．
(1)求證：為非負(fù)數(shù)；(2)若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）下列多項(xiàng)式中，屬于的一個(gè)因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·一模）下列計(jì)算正確的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)興趣小組的四位同學(xué)在討論“比較與的大小”這一問題時(shí)意見產(chǎn)生了分歧，你認(rèn)為說法正確的同學(xué)是（ ）
小明：無法比較它們的大小，與x的取值有關(guān)．
小紅：無論x取何值，都有．
小華：無論x取何值，都有．
小敏：的值與的值可能相等．
A．小明 B．小紅 C．小華 D．小敏
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）有如下數(shù)列：，滿足，已知，，則（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，矩形是由4塊矩形拼接而成，矩形是由4個(gè)直角三角形和一個(gè)平行四邊形拼接而成．則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）我們把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（x必然存在），互異性（三個(gè)數(shù)互不相等，如），無序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變），若集合，我們說．已知集合，集合 ，若，則的值是（　?。?br/>A．4 B．2 C．0 D．﹣2
7．（2024·浙江杭州·二模）若分式的值是0，則的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為和，若，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北石家莊·一模）如圖所示，某同學(xué)不小心將分式運(yùn)算的作業(yè)紙撕壞了一角，若已知該運(yùn)算正確的情況下，則撕壞的部分中“■”代表的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè)）分式方程，各分母的最簡(jiǎn)公分母是 ．
11．（2023·浙江金華·一模）已知分式滿足條件“只含有字母x，且當(dāng)時(shí)分式的值為0”，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的分式 ．
12．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知，請(qǐng)計(jì)算代數(shù)式的值為 ．
13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則代數(shù)式的值為 ．
14．（2024·浙江金華·二模）多項(xiàng)式去括號(hào)的結(jié)果是 ．
15．（2024·浙江紹興·一模）某班40名同學(xué)按學(xué)號(hào)1，2，3，…，40順次順時(shí)針方向圍坐成一圈做游戲：從某個(gè)同學(xué)開始，沿順時(shí)針方向，按1，2，3，…依次報(bào)數(shù)，報(bào)到數(shù)字40的同學(xué)退出游戲，剩下39人，第一輪結(jié)束；接著從退出游戲的后一個(gè)同學(xué)開始繼續(xù)沿順時(shí)針方向按1，2，3，…依次報(bào)數(shù)，報(bào)到數(shù)字40的同學(xué)退出游戲，剩下38人，第二輪結(jié)束；……，按這種方式，在第五輪中，恰好學(xué)號(hào)18的同學(xué)退出游戲，則第一輪第一位報(bào)數(shù)同學(xué)的學(xué)號(hào)是 ．
16．（2024·浙江寧波·二模）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積為，則 ．
17．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，100枚1元硬幣按的方法不重疊地放在正方形框中，設(shè)1元硬幣的半徑為r．

（1）正方形框的邊長(zhǎng)為 （用含r的代數(shù)式表示）．
（2）在該正方形框中，最多能不重疊地放置 枚硬幣．
18．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）若，則 ．
19．（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知，則＝ ．
20．（2024·浙江寧波·二模）已知，，則 ．
21．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知代數(shù)式是一個(gè)關(guān)于的完全平方式，則n的值是 ；且當(dāng)時(shí)M的最大值是 ．
22．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足則的值為 ．
23．（2024·浙江臺(tái)州·二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
24．（2024·浙江·一模）觀察前后兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差：
①；②；③；……
(1)寫出第n個(gè)等式，并進(jìn)行證明．(2)問是否可以寫成兩個(gè)差為4的整數(shù)的平方差？如果能，請(qǐng)寫出這兩個(gè)整數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．
25．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）小孫同學(xué)化簡(jiǎn)分式，解答過程如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
你認(rèn)為小孫的解答過程是否正確？如果不正確，請(qǐng)指出是從第幾步開始出錯(cuò)的，并寫出此題正確的解答過程．
26．（2024·河北石家莊·一模）老師設(shè)計(jì)了一個(gè)“接力游戲”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，由學(xué)生合作完成分式的計(jì)算．如圖，老師把題目交給一位同學(xué)，他完成一步解答后交給第二位同學(xué)，依次進(jìn)行，最后完成計(jì)算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．
(1)寫出這個(gè)“接力游戲”中計(jì)算錯(cuò)誤的同學(xué)；
(2)請(qǐng)你寫出正確的解答過程．
27．（2024·浙江溫州·一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
28．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下：，若是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡(jiǎn)：，再求值．
29．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b表示兩個(gè)正數(shù)，若這兩個(gè)正數(shù)的差等于它們的積，則比小2．(1)任選一組滿足條件的正數(shù)a，b的值，驗(yàn)證上述結(jié)論．
(2)在一般情況下，驗(yàn)證上述結(jié)論．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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