資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一章 數與式
1.1 實數與二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1實數的分類與正負數的意義 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，實數與二次根式的部分，考查3道題，分值為14分左右，通常以選填題（2題）、 計算題（1題）的形式考查。對于實數的復習，需要學生熟練掌握實數、二次根式的相關概念及其性質的應用、實數運算法則和順序等考點。
考點2 科學記數法 ☆☆☆
考點3 相反數、絕對值與數軸 ☆☆☆
考點4 實數的運算及其大小比較 ☆☆☆
考點5 二次根式及其運算 ☆☆☆
實數的分類及相關概念主要以選填題形式考查，比較簡單；實數的大小比較常以選填題形式出現，常與數軸結合考查；科學記數法多以選填題形式考查，有大數和小數兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數與二次根式的運算考查形式多樣，多數以解答題形式出現，結合絕對值、銳角三函數、二次根式、平方根、立方根等知識考查。
2
4
■考點一　實數的分類及正負數的意義 4
■考點二　科學記數法 5
■考點三　相反數、絕對值與數軸 6
■考點四　實數的運算及其大小比較 7
■考點五　二次根式及其運算 9
12
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■考點一　實數的分類及正負數的意義
1、正負數的概念：大于0的數叫做正數，正數前面加上符號“-”的數叫負數，負數前面的負號“-”不能省略。0既不是正數，也不是負數。正負數的意義：表示具有相反意義的量。
2、整數和分數統稱為有理數。無限不循環小數叫做無理數。有理數和無理數統稱為實數。
3、實數的分類：
1）按定義分類： 2）按性質分類：
■考點二　科學記數法
1.科學記數法：科學記數法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數。
1）當原數絕對值大于10時，寫成的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1。
2）當原數絕對值小于1時，寫成的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）。
2.近似數：近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。
有效數字：一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數的有效數字。
■考點三　相反數、絕對值與數軸
數軸：規定了、、的直線叫做數軸。數軸上所有的點與全體實數一一對應。
相反數：只有不同的兩個數稱為互為相反數。若a、b互為相反數，則a+b=0。
絕對值：在數軸上表示數a的點到原點的叫做a的絕對值，記為|a|。
倒數：1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數。若a、b互為倒數，則ab=1。
算術平方根：若一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根。記為，a叫做被開方數。
平方根：若一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。
立方根：如果一個數的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
■考點四　實數的運算及其大小比較
1.乘方：n個相同的因數a相乘記作an，其中a為，n為，乘方的結果叫做。
2.運算順序：（1）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.（2）有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結合律、 乘法分配律。
3.實數的大小比較方法：
1）數軸比較法: 將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大。
2）作差比較法: 若a，b是任意兩個實數，則：①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a3）平方比較法：①對任意正實數a，b，若a2>b2a>b；②對任意負實數a，b，若a2>b2a4）倒數比較法：若>，ab>0，則a5）作商比較法：1)任意正實數a，b，>1a>b，<1a>b；2)任意負實數a，b，>1ab
■考點五　二次根式及其運算
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 。其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數叫做 。
2.最簡二次根式：被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做 。
3.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的幾個二次根式，叫做 。
4.二次根式的性質
（1）雙重非負性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）=；
5.化簡二次根式的步驟：1）把被開方數分解因式；2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；3）化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2。
6.加減法法則：先把各個二次根式化為 后，再將被開方數相同的二次根式 。
【口訣】一化、二找、三合并。
7.乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即： 。
8.除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即： 。
9.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的 ，將分母中的根號去掉的過程。
10.混合運算順序：二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內的。在運算過程中，乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用。
■考點一　實數的分類及正負數的意義
◇典例1：（2024·浙江杭州·模擬預測）下列各數中，負整數是（ ）
A．3 B．0 C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）有4個實數：，0， ，，其中負數是 （ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024·浙江溫州·一模）下列各數是無理數的是（ ）
A． B． C． D．0
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）舟山市體育中考，女生立定跳遠的測試中，以為滿分標準，若小賀跳出了，可記作，則小鄭跳出了，應記作（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）熱氣球上升5米記為，則下降3米應該記為（ ）
A．3 B．2 C． D．
■考點二　科學記數法
◇典例3：（2024·浙江寧波·模擬預測）從浙江省文旅廳獲悉，2023年中秋國慶假期全省共接待游客4372.4萬人次，實現旅游收入486.4億元，游客人均消費1113元．數43724000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江嘉興·一模）年春運嘉興南站旅客發送量約萬人次．數據萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江溫州·三模）溫州奧體中心主體育場總建筑面積705000000平方米，將承擔2022杭州亞運會足球小組賽比賽任務．將數705000000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
◇典例4：（2024·浙江·模擬預測）某病毒直徑約為（納米），即為米． 數據用科學記數法表示為 。
◆變式訓練
1．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學記數法表示為 秒．
■考點三　相反數、絕對值與數軸
◇典例5：（2024·浙江嘉興·三模）下列化簡結果為的是( )
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）下列各式的值等于的相反數的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江湖州·模擬預測）的絕對值是（ ）
A． B． C．4 D．16
3．（2024·河南安陽·模擬預測）實數的倒數是（ ）
A． B．24 C． D．
◇典例6：（2024·浙江嘉興·一模）如圖，點A，C分別表示數與5，點B在線段上，且，則點B對應的數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·二模）實數a在數軸上的位置如圖所示，則下列計算結果為正數的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江麗水·二模）點從數軸的原點出發，沿數軸先向左（負方向）移動3個單位長度，再向右移動1個單位長度，用算式表示上述過程與結果，正確的是　　
A． B． C． D．
■考點四　實數的運算及其大小比較
◇典例7：（2024·浙江杭州·模擬預測）某日，哈爾濱、北京、西藏、杭州四個城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是（　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）在，0，2，中選一個數與10相加使結果最小，應選（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．（2024·浙江溫州·模擬預測）在，，，四個數中，絕對值最大的數是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·一模）下列比較兩個數的大小正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模擬預測）下列實數中，最大的是（ ）
A． B． C． D．3.14
◇典例8：（2024·浙江·模擬預測）計算：．
◆變式訓練
1．（2024·浙江湖州·模擬預測）計算：．
2．（2024·浙江金華·模擬預測）計算：．
■考點五　二次根式及其運算
◇典例9：（2024·浙江·模擬預測）要使在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·模擬預測）若式子有意義，則a的值可以是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．7
2．（2024·浙江麗水·二模）設實數的整數部分為，小數部分為．則的值為（ ）
A． B．1 C． D．3
◇典例10：（2024·浙江杭州·二模）計算：（　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）將二次根式化簡，正確的結果是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2024·浙江寧波·二模）已知，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·浙江杭州·二模）計算： ．
4．（2024·浙江·模擬預測）如圖是小明一道題的計算過程：
(1)請用下劃線劃出小明計算出錯的地方．(2)請寫出正確的計算過程．
1．（2024·浙江·中考真題）以下四個城市中某天中午12時氣溫最低的城市是（ ）
北京 濟南 太原 鄭州
A．北京 B．濟南 C．太原 D．鄭州
2．（2024·湖北·中考真題）在生產生活中，正數和負數都有現實意義．例如收入20元記作元，則支出10元記作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．2024年浙江經濟一季度為201370000萬元，其中201370000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）實數的相反數是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京·中考真題）實數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山東威海·中考真題）一批食品，標準質量為每袋．現隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．那么，最接近標準質量的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·內蒙古包頭·中考真題）若互為倒數，且滿足，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2024·北京·中考真題）為助力數字經濟發展，北京積極推進多個公共算力中心的建設.北京數字經濟算力中心日前已部署上架和調試的設備的算力為Flops（Flops是計算機系統算力的一種度量單位），整體投產后，累計實現的算力將是日前已部署上架和調試的設備的算力的5倍，達到Flops，則的值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創新研究院與上海微系統所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·山東·中考真題）下列實數中，平方最大的數是（ ）
A．3 B． C． D．
11．（2024·四川宜賓·中考真題）如果一個數等于它的全部真因數（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數稱為完美數．例如：6的真因數是1、2、3，且，則稱6為完美數．下列數中為完美數的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
12．（2024·重慶·中考真題）估計的值應在（　?。?br/>A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間
13．（2024·湖南·中考真題）計算的結果是（ ）
A． B． C．14 D．
14．（2024·江蘇鹽城·中考真題）矩形相鄰兩邊長分別為、，設其面積為，則S在哪兩個連續整數之間（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
15．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）計算： ．
16．（2024·安徽·中考真題）我國古代數學家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分數形式的近似值為．比較大小： （填“>”或“<”）．
17．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：．
18．（2024·浙江·中考真題）計算：
19．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）計算：．
20．（2024·四川遂寧·中考真題）計算：．
21．（2024·四川廣安·中考真題）計算：．
1．（2024·浙江嘉興·模擬預測）在數中，無理數的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，數軸上的點A和點 B分別在原點的左側和右側．若點A，B對應的實數分別為a，b，則下列結論一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，中國古代用算籌記數，有縱式和橫式兩種．算籌記數的方法是擺個位為縱，十位為橫，百位為縱，千位為橫…這樣縱橫依次交替，數位從高到低．如257表示為，則3182可表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2024·浙江溫州·模擬預測）某一天，溫州、杭州、哈爾濱、北京四個城市的最低氣溫分別是，其中最低氣溫是 （　　）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·一模）如果把收入2024元記作，那么支出2024元記作（ ）
A．2024 B． C． D．
6．（2024·浙江杭州·三模）的相反數是（　　）
A．14 B． C． D．1
7．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，計算結果最大的是（　?。?br/>A． B． C． D．
8．（2024·浙江杭州·二模）在數軸上，點表示的數是4，點表示的數是0，點表示的數是．定義：點在線段上，如果線段的長度有最大值，則稱為點與線段的“閉距離”．例如：，當點與點重合時，．若，則的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．（2024·浙江杭州·二模）已知數軸上有、兩點，點在點的右側，若點、分別表示數、，且滿足，則下列各式的值一定為負數的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）《莊子 天下》云：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”．若設捶長為1，天數為，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·浙江金華·模擬預測）2024年“五一”假期，金華市共接待游客429.6萬人次，數429.6萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·浙江臺州·模擬預測）已知，設，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·浙江·模擬預測）某商場銷售兩種亞運會吉祥物紀念章，已知A種紀念章買兩盒送一盒，每盒62元；B種紀念章打九折，原價每盒90元，東東需要的3盒A種紀念章和2盒B種紀念章共需（ ）
A．366元 B．348元 C．286元 D．304元
13．（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州經濟全面向好，全市GDP總量邁上4千億臺階，達到億元．數據億用科學記數法可以表示為（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·浙江·模擬預測）如圖，以點A為圓心的圓交數軸于B，C兩點（點C在點A的左側，點B在點A的右側），若A，B兩點表示的數分別為1，，則點C表示的數是 ．
15．（2024·浙江嘉興·模擬預測）當今大數據時代，二維碼具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，已被廣泛應用．某種版本的“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數學知識，這200個方格可以生成個不同的數據二維碼，試比較與的大小關系： （填“>”，“=”或“<”）．
16．（2024·浙江·模擬預測）若式子在實數范圍內有意義，則x的值可以是 ．（寫出一個即可）
17．（2024·浙江·一模）已知，，則的值為 ．
18．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知二次根式的值為4，則 ．
19．（2024·浙江·模擬預測）計算：．
20．（2024·浙江杭州·三模）計算：．
21．（2024·浙江臺州·模擬預測）計算：．
22．（2024·浙江·一模）計算：
23．（2024·浙江杭州·一模）以下是小濱計算的解答過程：
解：原式
．
小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
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第一章 數與式
1.1 實數與二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1實數的分類與正負數的意義 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，實數與二次根式的部分，考查3道題，分值為14分左右，通常以選填題（2題）、 計算題（1題）的形式考查。對于實數的復習，需要學生熟練掌握實數、二次根式的相關概念及其性質的應用、實數運算法則和順序等考點。
考點2 科學記數法 ☆☆☆
考點3 相反數、絕對值與數軸 ☆☆☆
考點4 實數的運算及其大小比較 ☆☆☆
考點5 二次根式及其運算 ☆☆☆
實數的分類及相關概念主要以選填題形式考查，比較簡單；實數的大小比較常以選填題形式出現，常與數軸結合考查；科學記數法多以選填題形式考查，有大數和小數兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數與二次根式的運算考查形式多樣，多數以解答題形式出現，結合絕對值、銳角三函數、二次根式、平方根、立方根等知識考查。
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■考點一　實數的分類及正負數的意義 4
■考點二　科學記數法 5
■考點三　相反數、絕對值與數軸 6
■考點四　實數的運算及其大小比較 7
■考點五　二次根式及其運算 9
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■考點一　實數的分類及正負數的意義
1、正負數的概念：大于0的數叫做正數，正數前面加上符號“-”的數叫負數，負數前面的負號“-”不能省略。0既不是正數，也不是負數。正負數的意義：表示具有相反意義的量。
2、整數和分數統稱為有理數。無限不循環小數叫做無理數。有理數和無理數統稱為實數。
3、實數的分類：
1）按定義分類： 2）按性質分類：
■考點二　科學記數法
1.科學記數法：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數。
1）當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1。
2）當原數絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）。
2.近似數：近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。
有效數字：一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數的有效數字。
■考點三　相反數、絕對值與數軸
數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。數軸上所有的點與全體實數一一對應。
相反數：只有符號不同的兩個數稱為互為相反數。若a、b互為相反數，則a+b=0。
絕對值：在數軸上表示數a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|。
倒數：1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數。若a、b互為倒數，則ab=1。
算術平方根：若一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根。記為，a叫做被開方數。
平方根：若一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根。
立方根：如果一個數的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
■考點四　實數的運算及其大小比較
1.乘方：n個相同的因數a相乘記作an，其中a為底數，n為指數，乘方的結果叫做冪。
2.運算順序：（1）運算順序：先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的.（2）有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結合律、 乘法分配律。
3.實數的大小比較方法：
1）數軸比較法: 將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大。
2）作差比較法: 若a，b是任意兩個實數，則：①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a3）平方比較法：①對任意正實數a，b，若a2>b2a>b；②對任意負實數a，b，若a2>b2a4）倒數比較法：若>，ab>0，則a5）作商比較法：1)任意正實數a，b，>1a>b，<1a>b；2)任意負實數a，b，>1ab
■考點五　二次根式及其運算
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數叫做 被開方數 。
2.最簡二次根式：被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做 最簡二次根式 。
3.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的幾個二次根式，叫做 同類二次根式 。
4.二次根式的性質
（1）雙重非負性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）=；
5.化簡二次根式的步驟：1）把被開方數分解因式；2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；3）化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2。
6.加減法法則：先把各個二次根式化為 最簡二次根式 后，再將被開方數相同的二次根式 合并 。
【口訣】一化、二找、三合并。
7.乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即： 。
8.除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即： 。
9.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的 有理化因式子 ，將分母中的根號去掉的過程。
10.混合運算順序：二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內的。在運算過程中，乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用。
■考點一　實數的分類及正負數的意義
◇典例1：（2024·浙江杭州·模擬預測）下列各數中，負整數是（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【詳解】解：3是正整數，0既不是正數也不是負數，是分數；是負整數；故選：C．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）有4個實數：，0， ，，其中負數是 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【詳解】解：在，0， ，中，是負數，故答案為：A．
2．（2024·浙江溫州·一模）下列各數是無理數的是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【詳解】解：A．是無理數，故本選項符合題意；
B．是有理數，不是無理數，故本選項不符合題意；
C．，是有理數，不是無理數，故本選項不符合題意；
D．0是有理數，不是無理數，故本選項不符合題意；故選：A．
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）舟山市體育中考，女生立定跳遠的測試中，以為滿分標準，若小賀跳出了，可記作，則小鄭跳出了，應記作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：根據題意，小鄭跳出了，應記作．故選：A
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）熱氣球上升5米記為，則下降3米應該記為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】解：熱氣球上升5米記為，那么下降3米應該記為．故選：D．
■考點二　科學記數法
◇典例3：（2024·浙江寧波·模擬預測）從浙江省文旅廳獲悉，2023年中秋國慶假期全省共接待游客4372.4萬人次，實現旅游收入486.4億元，游客人均消費1113元．數43724000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：．故選：B．
◆變式訓練
1．（2024·浙江嘉興·一模）年春運嘉興南站旅客發送量約萬人次．數據萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：萬，故選：A．
2．（2024·浙江溫州·三模）溫州奧體中心主體育場總建筑面積705000000平方米，將承擔2022杭州亞運會足球小組賽比賽任務．將數705000000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：，故選：C．
◇典例4：（2024·浙江·模擬預測）某病毒直徑約為（納米），即為米． 數據用科學記數法表示為 。
【答案】
【詳解】解：，故答案為：．
◆變式訓練
1．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學記數法表示為 秒．
【答案】
【詳解】解：根據題意1阿秒是秒可知，43阿秒秒，故答案為：．
■考點三　相反數、絕對值與數軸
◇典例5：（2024·浙江嘉興·三模）下列化簡結果為的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意； C.，故該選項正確，符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）下列各式的值等于的相反數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：的相反數是2，∵，，，，
∴選項D符合題意，選項A、B、C不符合題意，故選：D．
2．（2024·浙江湖州·模擬預測）的絕對值是（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【詳解】解：的絕對值是4，故選C．
3．（2024·河南安陽·模擬預測）實數的倒數是（ ）
A． B．24 C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，∴的倒數是．故選：A．
◇典例6：（2024·浙江嘉興·一模）如圖，點A，C分別表示數與5，點B在線段上，且，則點B對應的數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】解：設點B對應的數為，由題意得，，
∵，∴，解得，∴點B對應的數為3，故選：C．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·二模）實數a在數軸上的位置如圖所示，則下列計算結果為正數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由數軸可知，，對于A，，此時為負數，不符合題意；
對于B，，此時為負數，不符合題意；對于C，，此時a 1為負數，不符合題意；對于D，，此時為正數，符合題意．故選：D．
2．（2024·浙江麗水·二模）點從數軸的原點出發，沿數軸先向左（負方向）移動3個單位長度，再向右移動1個單位長度，用算式表示上述過程與結果，正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：點從數軸的原點出發，沿數軸先向左（負方向）移動3個單位長度，再向右移動1個單位長度，用算式表示上述過程與結果，正確的是：．故選：C．
■考點四　實數的運算及其大小比較
◇典例7：（2024·浙江杭州·模擬預測）某日，哈爾濱、北京、西藏、杭州四個城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：，，最低氣溫是，故選：A．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）在，0，2，中選一個數與10相加使結果最小，應選（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【詳解】解：，，，，∵，故選：D．
2．（2024·浙江溫州·模擬預測）在，，，四個數中，絕對值最大的數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，，，，∴，
∴絕對值最大的數是，故選：．
3．（2024·浙江杭州·一模）下列比較兩個數的大小正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解： ，，∴，故選：B．
4．（2024·浙江·模擬預測）下列實數中，最大的是（ ）
A． B． C． D．3.14
【答案】A
【詳解】解：， ，，最大的是，故選A．
◇典例8：（2024·浙江·模擬預測）計算：．
【答案】4
【詳解】解：原式．
◆變式訓練
1．（2024·浙江湖州·模擬預測）計算：．
【答案】5
【詳解】．
2．（2024·浙江金華·模擬預測）計算：．
【答案】2
【詳解】解： ．
■考點五　二次根式及其運算
◇典例9：（2024·浙江·模擬預測）要使在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】/
【詳解】解：∵式子在實數范圍內有意義，
∴，解得：，故答案為：．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·模擬預測）若式子有意義，則a的值可以是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【詳解】解：∵有意義，∴，解得，則a的值可以是7．故選：D．
2．（2024·浙江麗水·二模）設實數的整數部分為，小數部分為．則的值為（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
先估算的近似值，確定、的值，再代入計算即可．
【詳解】解：，即，，，
，故選：D
◇典例10：（2024·浙江杭州·二模）計算：（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：， 故選：B ．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）將二次根式化簡，正確的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解： 故選：C．
2．（2024·浙江寧波·二模）已知，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【詳解】解：設，，，，，
，，，即，
，，
，，．故選：．
3．（2024·浙江杭州·二模）計算： ．
【答案】
【詳解】解：故答案為：．
4．（2024·浙江·模擬預測）如圖是小明一道題的計算過程：
(1)請用下劃線劃出小明計算出錯的地方．(2)請寫出正確的計算過程．
【答案】(1)見解析；(2)見解析．
【詳解】（1）解：；
（2），．
1．（2024·浙江·中考真題）以下四個城市中某天中午12時氣溫最低的城市是（ ）
北京 濟南 太原 鄭州
A．北京 B．濟南 C．太原 D．鄭州
【答案】C
【詳解】解：∵，∴四個城市中某天中午12時氣溫最低的城市是太原．故選：C．
2．（2024·湖北·中考真題）在生產生活中，正數和負數都有現實意義．例如收入20元記作元，則支出10元記作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【詳解】解：如果收入20元記作元，那么支出10元記作元，故選：B．
3．2024年浙江經濟一季度為201370000萬元，其中201370000用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】201370000用科學記數法表示為．故選：D．
4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）實數的相反數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：實數的相反數是，故選：D．
5．（2024·北京·中考真題）實數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、由數軸可知，故本選項不符合題意；
B、由數軸可知，由絕對值的意義知，故本選項不符合題意；
C、由數軸可知，而，則，故，故本選項符合題意；
D、由數軸可知，而，因此，故本選項不符合題意．故選：C．
6．（2024·山東威海·中考真題）一批食品，標準質量為每袋．現隨機抽取4個樣品進行檢測，把超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．那么，最接近標準質量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵超過標準質量的克數用正數表示，不足的克數用負數表示．
∴∴最接近標準質量的是故選：C．
7．（2024·內蒙古包頭·中考真題）若互為倒數，且滿足，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【詳解】解：∵互為倒數，∴，∵，∴，則，故選：B．
8．（2024·北京·中考真題）為助力數字經濟發展，北京積極推進多個公共算力中心的建設.北京數字經濟算力中心日前已部署上架和調試的設備的算力為Flops（Flops是計算機系統算力的一種度量單位），整體投產后，累計實現的算力將是日前已部署上架和調試的設備的算力的5倍，達到Flops，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，故選D．
9．（2024·山東威海·中考真題）據央視網2023年10月11日消息，中國科學技術大學中國科學院量子創新研究院與上海微系統所、國家并行計算機工程技術研究中心合作，成功構建了255個光子的量子計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術水平和量子計算優越性的世界紀錄．“九章三號”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內所處理的最高復雜度的樣本，需要當前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間．將“百萬分之一”用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：百萬分之一．故選：B．
10．（2024·山東·中考真題）下列實數中，平方最大的數是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，，，，而，
∴平方最大的數是3；故選A
11．（2024·四川宜賓·中考真題）如果一個數等于它的全部真因數（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數稱為完美數．例如：6的真因數是1、2、3，且，則稱6為完美數．下列數中為完美數的是（ ）
A．8 B．18 C．28 D．32
【答案】C
【詳解】解∶∵，，∴8不是完美數，故選項A不符合題意；
∵，，∴18不是完美數，故選項B不符合題意；
∵，，∴28是完美數，故選項C符合題意；
∵，，∴32不是完美數，故選項D不符合題意；
故選：C
12．（2024·重慶·中考真題）估計的值應在（　　）
A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間
【答案】C
【詳解】解：∵，而，∴，故答案為：C
13．（2024·湖南·中考真題）計算的結果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【詳解】解：，故選：D
14．（2024·江蘇鹽城·中考真題）矩形相鄰兩邊長分別為、，設其面積為，則S在哪兩個連續整數之間（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【詳解】解：，
，，，即S在3和4之 間，故選：C．
15．（2024·山東威海·中考真題）計算： ．
【答案】
【詳解】解：故答案為：．
16．（2024·安徽·中考真題）我國古代數學家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分數形式的近似值為．比較大?。? （填“>”或“<”）．
【答案】>
【詳解】解：∵，，而，
∴，∴；故答案為：
17．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：．
【答案】
【詳解】解：．
18．（2024·浙江·中考真題）計算：
【答案】7
【詳解】．
19．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）計算：．
【答案】
【詳解】解：
．
20．（2024·四川遂寧·中考真題）計算：．
【答案】
【詳解】解：．
21．（2024·四川廣安·中考真題）計算：．
【答案】1
【詳解】解：
1．（2024·浙江嘉興·模擬預測）在數中，無理數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：在中，是無理數的是：；故選D．
2．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，數軸上的點A和點 B分別在原點的左側和右側．若點A，B對應的實數分別為a，b，則下列結論一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由圖知，，，，，故A項結論不成立，不符合題意；
，故B項結論不成立，不符合題意；，故C項結論成立，符合題意；
，故D項結論不成立，不符合題意；故選：C．
3．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，中國古代用算籌記數，有縱式和橫式兩種．算籌記數的方法是擺個位為縱，十位為橫，百位為縱，千位為橫…這樣縱橫依次交替，數位從高到低．如257表示為，則3182可表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：千位是橫式的3；百位是縱式的1；十位是橫式的8；個位是縱式的2，故選：A．
4．（2024·浙江溫州·模擬預測）某一天，溫州、杭州、哈爾濱、北京四個城市的最低氣溫分別是，其中最低氣溫是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，∴最低氣溫是，故選：C
5．（2024·浙江·一模）如果把收入2024元記作，那么支出2024元記作（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：收入2024元記作，那么支出2024元記作，故選：D
6．（2024·浙江杭州·三模）的相反數是（　　）
A．14 B． C． D．1
【答案】A
【詳解】解：的相反數是14，故選：A．
7．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，計算結果最大的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，，，，
，計算結果最大的是故選：B．
8．（2024·浙江杭州·二模）在數軸上，點表示的數是4，點表示的數是0，點表示的數是．定義：點在線段上，如果線段的長度有最大值，則稱為點與線段的“閉距離”．例如：，當點與點重合時，．若，則的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【詳解】解：若，則當點與點重合時，取得最大值，故選：D．
9．（2024·浙江杭州·二模）已知數軸上有、兩點，點在點的右側，若點、分別表示數、，且滿足，則下列各式的值一定為負數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由題意得，，
∵，即，∴，∴，∴，故選：B．
10．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）《莊子 天下》云：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”．若設捶長為1，天數為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：如圖，第次后，共截?。海O，
∴，∴，
∵，∴，即．故選：A．
11．（2024·浙江金華·模擬預測）2024年“五一”假期，金華市共接待游客429.6萬人次，數429.6萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查科學記數法，根據科學記數法的表示方法求解即可．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．解題關鍵是正確確定a的值以及n的值．
【詳解】解：數429.6萬用科學記數法表示為．故選：B．
11．（2024·浙江臺州·模擬預測）已知，設，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．，正確，不符合題意；
B．，正確，不符合題意；C．，正確，不符合題意；
D．，錯誤，符合題意；故選：D．
12．（2024·浙江·模擬預測）某商場銷售兩種亞運會吉祥物紀念章，已知A種紀念章買兩盒送一盒，每盒62元；B種紀念章打九折，原價每盒90元，東東需要的3盒A種紀念章和2盒B種紀念章共需（ ）
A．366元 B．348元 C．286元 D．304元
【答案】C
【詳解】解：由題意可得：東東需要的3盒A種紀念章和2盒B種紀念章共需
（元），故選：C．
13．（2024·浙江杭州·二模）2023年湖州經濟全面向好，全市GDP總量邁上4千億臺階，達到億元．數據億用科學記數法可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：億．故答案為：C．
14．（2024·浙江·模擬預測）如圖，以點A為圓心的圓交數軸于B，C兩點（點C在點A的左側，點B在點A的右側），若A，B兩點表示的數分別為1，，則點C表示的數是 ．
【答案】/
【詳解】解：，B兩點表示的數分別為1，，
根據圓的性質可得：，，
點C表示的數是，故答案為：．
15．（2024·浙江嘉興·模擬預測）當今大數據時代，二維碼具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，已被廣泛應用．某種版本的“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數學知識，這200個方格可以生成個不同的數據二維碼，試比較與的大小關系： （填“>”，“=”或“<”）．
【答案】>
【詳解】解：∵，，又∵，∴．故答案為：>．
16．（2024·浙江·模擬預測）若式子在實數范圍內有意義，則x的值可以是 ．（寫出一個即可）
【答案】0（答案不唯一）
【詳解】解：∵式子在實數范圍內有意義，∴，解得．
∴x的值可以是0，故答案為：0（答案不唯一）．
17．（2024·浙江·一模）已知，，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，，∴，，
∴，故答案為：．
18．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知二次根式的值為4，則 ．
【答案】5
【詳解】解：由題知，，，，．故答案為：5．
19．（2024·浙江·模擬預測）計算：．
【答案】
【詳解】解：
．
20．（2024·浙江杭州·三模）計算：．
【答案】2
【詳解】解：
．
21．（2024·浙江臺州·模擬預測）計算：．
【答案】
【詳解】解：
．
22．（2024·浙江·一模）計算：
【答案】
【詳解】解：原式，
．
23．（2024·浙江杭州·一模）以下是小濱計算的解答過程：
解：原式
．
小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
【答案】有錯誤；
【詳解】解：小濱的解答過程有錯誤；
正確的解答過程:
．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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