資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題1 函數與導數
1.1 函數的性質（周期性、單調性、奇偶性、對稱性綜合）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
函數的性質 2024年新高考II卷第11題，6分 2024年新高考I卷第8題，5分 2024年新高考I卷第6題，5分 2023年新高考II卷第4題，5分 2023年新高考I卷第4題，5分 2023年乙卷第5題，5分 2023年甲卷第14題，5分 2022年新高考II卷第8題，5分 2022年乙卷第12題，5分 預測2025年新高考，多以選填題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題中，相對獨立，但概率不會太大。 （1）以選擇題或填空題形式出現，考查學生的綜合推理和解析能力。 （2）考查的熱點是單調性、奇偶性、對稱性、周期性的綜合運用和分析。
從近年的全國高考情況來看，函數的性質任是新高考的重點和熱點，函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性是高考的必考內容，重點關注單調性、奇偶性、對稱性、周期性結合在一起，與函數圖象、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數形結合思想．
1．（2024新高考Ⅰ卷）已知函數為，在R上單調遞增，則a取值的范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023全國甲卷）若為偶函數，則 ．
3．（2023新高考Ⅱ卷）若為偶函數，則　　
A． B．0 C． D．1
4．（2022新高考Ⅱ卷）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2021年甲卷數學（理）試題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2021新高考Ⅱ卷）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
7．（多選題）（2023新高考Ⅰ卷）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B． C．是偶函數 D．為的極小值點
8．（2022年乙卷數學（理）真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
9．（多選題）（2022新高考Ⅰ卷）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
10．（多選題）（2024新高考Ⅱ卷）設函數，則（ ）
A．當時，有三個零點 B．當時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
高頻考點一 函數單調性的綜合應用
核心知識：
1）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
④導數法：先求導，再通過導函數的正負判別函數的增減區間。
2）記住幾條常用的結論：
①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
②若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減）函數；
③若且為增（或減）函數，則函數為增（或減）函數，為減（或增）函數；
典例1：（2024·山東·校考一模）定義在上的函數滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
技法點撥
函數單調性常與奇偶性、對稱性結合，用于求解最值、解不等式、證明數列單調性等。通過導數法或定義法判斷單調性，結合圖像直觀分析，可簡化復雜問題，提高解題效率。
變式訓練
1.（2024·河南新鄉·統考一模）已知定義在上的函數滿足，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·江蘇·校考一模）已知函數是上的偶函數，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點2 函數奇偶性的綜合應用
核心知識：
1）奇偶函數的圖象特征
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱。
2）若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足。
3）偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同。
4）運算函數的奇偶性規律
①四則運算下：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶。
②復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇。
5）常見奇偶性函數模型
奇函數：①或；②；
③或函數；
④或函數。
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①；②；③類型的一切函數；④常數函數。
典例2：（2024·廣東惠州·高三校考階段練習）已知函數滿足：對任意的，，，且是上的偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
技法點撥
通過驗證函數是否滿足奇函數或偶函數的定義，我們可以利用這一性質來預測函數在對稱區間上的行為，從而簡化求解過程。此外，奇偶性還可以用于求解參數、判斷函數圖像的對稱性、輔助求解最值問題。掌握函數的奇偶性，不僅能使我們的解題過程更加高效，還能培養我們的數學直覺和邏輯推理能力。
變式訓練：
1．（2025·廣東·高三校考期末）已知是定義在上的增函數，函數的圖象關于點對稱，若不等式的解集為區間，且，則（ ）
A． B． C．2 D．
2.（2024·高三·浙江·期中）已知函數的定義域為，且是偶函數，是奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
高頻考點3 已知f(x)=奇函數+M
核心知識：已知奇函數，，則（1）；（2）。
典例1：（2024·湖北·高三專題練習）設函數,的最大值為,最小值為,那么___________.
變式訓練：
1.（2024·河南·校聯考模擬預測）函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
2．（2024·安徽·高三統考階段練習）已知函數，若實數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點4 對稱性（對稱軸）的綜合運用
核心知識：
（1）若函數關于直線對稱，則。
（2）已知函數滿足，則的對稱軸為直線。
（3）函數與關于軸對稱。
等式兩側的外部符號保持相同；其求解方法是：通過計算兩側的平均值來找出對稱軸。
典例1：（2024·四川宜賓·一模）已知函數滿足，若函數與 圖象的交點為，則
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·浙江·一模）函數滿足：對，都有，則a+b為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高頻考點5 對稱性（對稱中心）的綜合運用
核心知識：
（1）已知函數滿足，則的對稱點為點（a，0）．
（2）已知函數滿足，則的對稱點為點（a，b）．
（3）已知函數滿足，則的對稱點為點．
（4）函數與關于原點對稱．
特性：等式兩邊外部的符號不相同；其求解方法是：通過計算等式兩邊的中點（即平均值）來確定對稱中心的位置。
典例1：（2025·四川綿陽·校考一模）若函數滿足，則說的圖象關于點對稱，則函數的對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.（2024·陜西漢中·高三校聯考期中）已知函數滿足，若函數與的圖象的交點為，，…，，則等于（ ）
A．0 B．m C． D．
2.（2024·浙江·一模）設函數的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數具有對稱性，其中點為函數的對稱中心，研究函數的對稱中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
高頻考點6 周期性及雙對稱與周期性的綜合運用
核心知識：
1）周期性常見結論：① ，則是以為周期的周期函數；
②，則是以為周期的周期函數；
③，則是以為周期的周期函數；
④，則是以為周期的周期函數；
2）函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且．
典例1：（2024·江蘇高三校聯考）設定義在上的函數的圖象關于對稱，為奇函數，若，則（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
典例2：（2024·福建高三一模）已知定義在上的函數滿足時，，則（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
變式訓練：
（2024·貴州黔西·一模）已知函數的定義域為R，，為奇函數，且，則（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
2.（2024·四川綿陽·校考二模）已知函數是定義域為的偶函數，是奇函數，則下列結論不正確的是（ ）
A． B． C．是以4為周期的函數 D．的圖象關于對稱
高頻考點7 抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
核心知識：
典例1：（多選題）（2024·安徽·模擬預測）若定義在R上且不恒為零的函數滿足：對于，總有恒成立，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．是偶函數 D．，則周期為6
技法點撥
抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性解題技巧關鍵在于：首先，通過代入特殊值或利用已知條件判斷函數的性質；其次，對于單調性，可利用導數或定義法判斷；奇偶性則通過觀察函數表達式或圖像來判斷；周期性需找出函數重復出現的規律；對稱性則需找出函數圖像的對稱軸或對稱中心。最后，結合這些性質，可以簡化函數表達式，求解最值、解不等式或證明等式等問題，提高解題效率和準確性。
變式訓練：
1.（多選題）（2025·江蘇·高三校考一模）已知定義在上的函數滿足，，且對任意，都有，則下列結論正確的是（ ）
A．是周期為4的奇函數 B．圖象關于直線對稱
C．在區間上單調遞增 D．
2.（多選題）（2024·重慶 高三二模）若定義在上的函數滿足：對任意都有且，則下列結論一定正確的是（ ）
A．點是圖象的一個對稱中心 B．點是圖象的一個對稱中心
C．是周期函數 D．
高頻考點8 似周期與倍增（減）函數
核心知識：
1、似周期函數：若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數值擴大倍．此函數稱為周期為的似周期函數。
2、倍增（減）函數：若函數滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數值擴大倍．此函數稱為倍增函數。
典例1：（2025·湖北·模擬預測）對于函數，有下列四個命題
①任取，，都有；
②（為正整數），對一切恒成立；
③若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則；
④函數有5個零點。上述四個命題中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式訓練：
1.（2025·成都·高三校考階段練習）定義域為R的函數滿足，當時， ，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
2.（2025·河北唐山·高三校考期末）函數的定義域為，滿足，且時，，若，恒有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點9 函數性質與導數綜合
典例1：（多選題）已知函數，均是上的連續函數，，分別為函數和的導函數，且，，若為奇函數，則（ ）
A．是周期函數 B．為奇函數
C．關于對稱 D．存在，使
技法點撥
（1）若函數關于直線對稱，則導函數關于點（a，0）對稱．
（2）若函數關于點（a，b）對稱，則導函數關于直線對稱．
（3）若函數為奇函數，則導數為偶函數；若函數為偶函數，則導數為奇函數．
（4）若導函數為奇函數，則函數為偶函數；若導函數為偶函數，則函數不一定為奇函數．
（5）若原函數為周期函數，則導函數一定為周期函數，且原函數和導函數周期相同．
（6）若導函數為周期函數，則原函數不一定為周期函數．
變式訓練：
1.（多選題）已知函數及其導函數的定義域均為R，記.若，均為奇函數，且，則（ ）
A．關于直線對稱 B．關于點對稱
C．的周期為4 D．
2．（多選題）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且為奇函數，則（ ）
A．的圖象關于對稱 B．
C． D．
1．（2024·重慶·高三校考一模）已知函數，滿足對任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·重慶·高三校聯考階段練習）已知，是定義域為R的函數，且是奇函數，是偶函數，滿足，若對任意的，都有成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江蘇連云港·高三統考階段練習）已知函數，若對任意，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·河南·模擬預測）已知，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
5.（2025·江蘇鎮江·高三校考期中）已知是定義域為的奇函數，是定義域為的偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
6.（2024·河北石家莊·模擬預測）已知函數為定義在R上的奇函數，且在上單調遞減，滿足，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7.（2025·浙江·高三培優）函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱，其中（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2025·黑龍江·高三校考期中）已知函數，則的大小關系（ ）
A． B．
C． D．
9.（2024·遼寧·一模）已知函數為偶函數，且當時，若，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重慶·校聯考模擬預測）對于三次函數給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，若，請你根據這一發現計算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
11.（2024·浙江·高三校考期中）已知函數的定義域為為奇函數，為偶函數，當時，，若，則（ ）
A． B． C． D．
12.（2024·四川·高三校聯考階段練習）已知函數及其導函數的定義域均為，且為奇函數，，，則（ ）
A． B． C． D．
13.（2024·河北唐山·校考一模）若，且，則（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
14．（2024·福建廈門·高三校考階段練習）設函數的定義域為，滿足，且當時，．則下列結論正確的個數是（ ）
①；②若對任意，都有，則a的取值范圍是；
③若方程恰有3個實數根，則m的取值范圍是．
A．0 B．1 C．2 D．3
15．（2025·山西大同·高三統考階段練習）設是定義在上的函數，若是奇函數，是偶函數，函數，若對任意的，恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
16．（多選題）（2023·安徽淮南·高三校考階段練習）已知定義域為的函數滿足，為的導函數，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為奇函數 B．
C． D．對，，
17．（多選題）（2025·江蘇徐州·高三校考階段練習）已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為和都是奇函數，，則下列說法正確的是（ ）
A．關于點對稱 B． C． D．
18．（多選題）（2024·廣西桂林·統考一模）已知函數滿足：，，則（ ）
A． B．為奇函數 C．為周期函數 D．
19．（2022全國乙卷真題）若是奇函數，則 ， ．
20．（2024·廣西 高三模擬預測）已知定義在上的函數滿足，當時，，則___________.
21.（2024·重慶·模擬預測）已知函數，當時，記函數的最大值為，則的最小值為 .
22．（2025·河南·河南省淮陽中學校聯考模擬預測）已知函數，則在上的最大值與最小值之和為______．
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專題1 函數與導數
1.1 函數的性質（周期性、單調性、奇偶性、對稱性綜合）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
函數的性質 2024年新高考II卷第11題，6分 2024年新高考I卷第8題，5分 2024年新高考I卷第6題，5分 2023年新高考II卷第4題，5分 2023年新高考I卷第4題，5分 2023年乙卷第5題，5分 2023年甲卷第14題，5分 2022年新高考II卷第8題，5分 2022年乙卷第12題，5分 預測2025年新高考，多以選填題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題中，相對獨立，但概率不會太大。 （1）以選擇題或填空題形式出現，考查學生的綜合推理和解析能力。 （2）考查的熱點是單調性、奇偶性、對稱性、周期性的綜合運用和分析。
從近年的全國高考情況來看，函數的性質任是新高考的重點和熱點，函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性是高考的必考內容，重點關注單調性、奇偶性、對稱性、周期性結合在一起，與函數圖象、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充分運用轉化思想和數形結合思想．
1．（2024新高考Ⅰ卷）已知函數為，在R上單調遞增，則a取值的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】因為在上單調遞增，且時，單調遞增，
則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.
2．（2023全國甲卷）若為偶函數，則 ．
【答案】2
【解析】因為為偶函數，定義域為，
所以，即，
則，故，此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數，所以.故答案為：2.
3．（2023新高考Ⅱ卷）若為偶函數，則　　
A． B．0 C． D．1
【答案】
【解析】由，得或，由是偶函數，，
得，即，
即，則，
，得，得．故選：．
4．（2022新高考Ⅱ卷）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：賦值加性質
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．
[方法二]：【最優解】構造特殊函數
由，聯想到余弦函數和差化積公式
，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則
，
所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，所以．故選：A．
【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；
5．（2021年甲卷數學（理）試題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]：因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手 由兩個對稱性可知，函數的周期．
所以． 故選：D．
6．（2021新高考Ⅱ卷）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數為偶函數，則，可得，
因為函數為奇函數，則，所以，，
所以，，即，故函數是以為周期的周期函數，
因為函數為奇函數，則，
故，其它三個選項未知.故選：B.
7．（多選題）（2023新高考Ⅰ卷）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B． C．是偶函數 D．為的極小值點
【答案】ABC
【解析】方法1：因，對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：因為，對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
顯然，此時是的極大值，故D錯誤. 故選：.
8．（2022年乙卷數學（理）真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為的圖像關于直線對稱，所以，
因為，所以，即，
因為，所以，代入得，即，
所以，.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，聯立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，所以
因為，所以.
所以.
故選：D
9．（多選題）（2022新高考Ⅰ卷）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤. 故選：BC.
[方法二]：【最優解】特殊值，構造函數法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC. 故選：BC.
[方法三]：因為，均為偶函數，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數可導，所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.
【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解．
10．（多選題）（2024新高考Ⅱ卷）設函數，則（ ）
A．當時，有三個零點 B．當時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
【答案】AD
【解析】A選項，，由于，
故時，故在上單調遞增，
時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，
又，，則，
則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；
B選項，，時，，單調遞減，
時，單調遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；
C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，
即存在這樣的使得，即，
根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，
于是等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，
方法一：利用對稱中心的表達式化簡
，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.
方法二：直接利用拐點結論
任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，
，，，
由，于是該三次函數的對稱中心為，
由題意也是對稱中心，故，
即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD
高頻考點一 函數單調性的綜合應用
核心知識：
1）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
④導數法：先求導，再通過導函數的正負判別函數的增減區間。
2）記住幾條常用的結論：
①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
②若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減）函數；
③若且為增（或減）函數，則函數為增（或減）函數，為減（或增）函數；
典例1：（2024·山東·校考一模）定義在上的函數滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據定義域為且可知，
又，所以對，恒成立；
即可知函數在上單調遞減；又，可得，
不等式可化為，解得，
可得不等式的解集為.故選：B
技法點撥
函數單調性常與奇偶性、對稱性結合，用于求解最值、解不等式、證明數列單調性等。通過導數法或定義法判斷單調性，結合圖像直觀分析，可簡化復雜問題，提高解題效率。
變式訓練
1.（2024·河南新鄉·統考一模）已知定義在上的函數滿足，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，得.
令，得，解得，則不等式轉化為，
因為是增函數，且，所以不等式的解集為.故選：A
2.（2025·江蘇·校考一模）已知函數是上的偶函數，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題意，函數是上的偶函數，則函數的圖象關于直線對稱，
又由對任意，且，都有成立，則函數在上為增函數，
又，，，
又，所以，由函數的圖象關于直線對稱，知，
又，所以，故，故選：A．
高頻考點2 函數奇偶性的綜合應用
核心知識：
1）奇偶函數的圖象特征
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱。
2）若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足。
3）偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同。
4）運算函數的奇偶性規律
①四則運算下：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶。
②復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇。
5）常見奇偶性函數模型
奇函數：①或；②；
③或函數；
④或函數。
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①；②；③類型的一切函數；④常數函數。
典例2：（2024·廣東惠州·高三校考階段練習）已知函數滿足：對任意的，，，且是上的偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據題意，是上的偶函數，則函數的圖象關于直線對稱，
由函數滿足對任意的，，，則函數在上是增函數，
又函數的圖象關于直線對稱，則函數在上是減函數，
若，則有，即，解得：或，
所以的取值范圍是．故選：D．
技法點撥
通過驗證函數是否滿足奇函數或偶函數的定義，我們可以利用這一性質來預測函數在對稱區間上的行為，從而簡化求解過程。此外，奇偶性還可以用于求解參數、判斷函數圖像的對稱性、輔助求解最值問題。掌握函數的奇偶性，不僅能使我們的解題過程更加高效，還能培養我們的數學直覺和邏輯推理能力。
變式訓練：
1．（2025·廣東·高三校考期末）已知是定義在上的增函數，函數的圖象關于點對稱，若不等式的解集為區間，且，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵函數的圖象關于點對稱，
∴函數的圖象關于點對稱，又是定義在上的增函數，
∴函數是定義在上的奇函數且在上的增函數，由，
可得，
∴的解集為區間，且，
作出函數與的圖象，
函數表示圓心在原點，半徑為4的圓的上半部分，表示過定點的直線，由圖象結合條件可知，又，
∴，即直線與半圓的交點的橫坐標為2，故，∴.故選：B.
2.（2024·高三·浙江·期中）已知函數的定義域為，且是偶函數，是奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數為偶函數，則，
令可得，所以，，
因為函數為奇函數，則，
所以，函數的圖象關于直線對稱，關于點對稱，
又因為函數的定義域為，則，則，
、、的值都不確定.故選：D.
高頻考點3 已知f(x)=奇函數+M
核心知識：已知奇函數，，則（1）；（2）。
典例1：（2024·湖北·高三專題練習）設函數,的最大值為,最小值為,那么___________.
【答案】4040
【解析】令，，
因為，，
故，所以為上的奇函數，故.
又，，故. 故答案為：.
變式訓練：
1.（2024·河南·校聯考模擬預測）函數的最大值為，最小值為，若，則 ．
【答案】1
【解析】，
設，則，記，
因為，
所以是在上的奇函數，最大值為，最小值為，所以，
又因為，所以，故答案為：1．
2．（2024·安徽·高三統考階段練習）已知函數，若實數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一方面由題意有，
另一方面若有成立，結合以上兩方面有，
且注意到，
所以由復合函數單調性可得在上嚴格單調遞增，
若，則只能，因此當且僅當；
又已知，所以，即，
由基本不等式得，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.
高頻考點4 對稱性（對稱軸）的綜合運用
核心知識：
（1）若函數關于直線對稱，則。
（2）已知函數滿足，則的對稱軸為直線。
（3）函數與關于軸對稱。
等式兩側的外部符號保持相同；其求解方法是：通過計算兩側的平均值來找出對稱軸。
典例1：（2024·四川宜賓·一模）已知函數滿足，若函數與 圖象的交點為，則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，），∴的圖象關于直線 對稱，、
又的圖象關于直線對稱，
當為偶數時，兩圖象的交點兩兩關于直線對稱，∴．
當為奇數時，兩圖象的交點有個兩兩對稱，另一個交點在對稱軸上，∴
故選B．
變式訓練：
1.（2024·浙江·一模）函數滿足：對，都有，則a+b為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因為函數滿足：對，都有，
所以，即，解得，
經檢驗滿足題意，所以，故選：C.
2．（2024·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】作出函數和的圖象以及直線的圖象，如圖，
由函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，
由題意知，也即,由于函數和互為反函數，
二者圖像關于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點,
故關于對稱，故.故選：B.
高頻考點5 對稱性（對稱中心）的綜合運用
核心知識：
（1）已知函數滿足，則的對稱點為點（a，0）．
（2）已知函數滿足，則的對稱點為點（a，b）．
（3）已知函數滿足，則的對稱點為點．
（4）函數與關于原點對稱．
特性：等式兩邊外部的符號不相同；其求解方法是：通過計算等式兩邊的中點（即平均值）來確定對稱中心的位置。
典例1：（2025·四川綿陽·校考一模）若函數滿足，則說的圖象關于點對稱，則函數的對稱中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函數定義域為，
定義域的對稱中心為，所以可猜，
則，
，故
所以的對稱中心為，故選：C．
變式訓練：
1.（2024·陜西漢中·高三校聯考期中）已知函數滿足，若函數與的圖象的交點為，，…，，則等于（ ）
A．0 B．m C． D．
【答案】B
【解析】由得，函數的圖象關于點中心對稱，
顯然也是函數的對稱中心，
所以當為偶數時，；當為奇數時，；綜上.故選：B.
2.（2024·浙江·一模）設函數的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數具有對稱性，其中點為函數的對稱中心，研究函數的對稱中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【解析】令函數，則，
所以函數為奇函數，其圖象關于原點對稱，可得的圖象關于點中心對稱，即當，可得，
設 ，
所以
所以.故選：C.
高頻考點6 周期性及雙對稱與周期性的綜合運用
核心知識：
1）周期性常見結論：① ，則是以為周期的周期函數；
②，則是以為周期的周期函數；
③，則是以為周期的周期函數；
④，則是以為周期的周期函數；
2）函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且．
典例1：（2024·江蘇高三校聯考）設定義在上的函數的圖象關于對稱，為奇函數，若，則（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
【答案】B
【解析】在上的函數的圖象關于對稱，則，
由為奇函數，得，于是，
，因此函數是以4為周期的周期函數，
由，得，由，得，
而，則，所以.故選：B
典例2：（2024·福建高三一模）已知定義在上的函數滿足時，，則（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】由，即是周期為4的周期函數，結合函數的解析式，求出 的值，進而得到的值，求得，再根據周期性，即可求得，即可求解．
【詳解】根據題意，函數滿足，則，
即是周期為4的周期函數，
當時，，則，，
又由，則，所以，
所以．故選：D．
【點睛】本題考查函數的周期性的應用，關鍵是分析函數的周期，屬于基礎題．
變式訓練：
（2024·貴州黔西·一模）已知函數的定義域為R，，為奇函數，且，則（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由函數為奇函數，可得關于點對稱，且，
所以，即，
又因為，可得，
即，則，所以，
所以函數是周期為的周期函數，
因為，，可得，，
所以.
故選：C.
2.（2024·四川綿陽·校考二模）已知函數是定義域為的偶函數，是奇函數，則下列結論不正確的是（ ）
A． B． C．是以4為周期的函數 D．的圖象關于對稱
【答案】B
【解析】因為函數是定義域為的偶函數，所以，
因為是奇函數，所以，
將換成，則有，
A：令，所以，因此本選項正確；
B：因為，所以函數關于點對稱，
由，可得，的值不確定，
因此不能確定的值，所以本選項不正確；
C：因為，所以，
所以，因此是以4為周期的函數，因此本選項正確；
D：因為，所以，
因此有，所以函數的圖象關于對稱，由上可知是以4為周期的函數，
所以的圖象也關于對稱，因此本選項正確，故選：B.
高頻考點7 抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性
核心知識：
典例1：（多選題）（2024·安徽·模擬預測）若定義在R上且不恒為零的函數滿足：對于，總有恒成立，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C．是偶函數 D．，則周期為6
【答案】ACD
【解析】令，得，所以
且函數不恒為零,∴，A選項正確，B選項錯誤；
令，，即.
∴對任意的實數總成立，∴為偶函數，C選項正確；
若，令，得，所以，
兩式相加得
所以，即得
所以，可得函數周期為6. 故選：ACD.
技法點撥
抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性解題技巧關鍵在于：首先，通過代入特殊值或利用已知條件判斷函數的性質；其次，對于單調性，可利用導數或定義法判斷；奇偶性則通過觀察函數表達式或圖像來判斷；周期性需找出函數重復出現的規律；對稱性則需找出函數圖像的對稱軸或對稱中心。最后，結合這些性質，可以簡化函數表達式，求解最值、解不等式或證明等式等問題，提高解題效率和準確性。
變式訓練：
1.（多選題）（2025·江蘇·高三校考一模）已知定義在上的函數滿足，，且對任意，都有，則下列結論正確的是（ ）
A．是周期為4的奇函數 B．圖象關于直線對稱
C．在區間上單調遞增 D．
【答案】ABD
【解析】任意，有，令，則，解得，
任意，令，則，
即，所以是奇函數，則的圖象關于原點對稱；
又，則函數的圖象關于直線對稱；
又，則，
所以函數為周期函數，4為函數的一個周期，故A正確，B正確；
C項，對任意，都有，
故在單調遞增，又圖象關于原點對稱，
則在單調遞增，又的圖象關于直線對稱，則在單調遞減，故C錯誤；
D項，由的周期為4，且的圖象關于直線對稱，
則，故D正確：故選：ABD.
2.（多選題）（2024·重慶 高三二模）若定義在上的函數滿足：對任意都有且，則下列結論一定正確的是（ ）
A．點是圖象的一個對稱中心 B．點是圖象的一個對稱中心
C．是周期函數 D．
【答案】ABD
【解析】令，則，有，
令，則，得，
又，所以點是圖象的一個對稱中心，故A正確；
令，則，令，則，又，
所以點是圖象的一個對稱中心，故B正確；
設，符合題意，但不是周期函數，故C錯誤；
令，有，則，
令，有，，
所以時是3為首項1為公差的等差數列，
這樣，故D正確. 故選：ABD
高頻考點8 似周期與倍增（減）函數
核心知識：
1、似周期函數：若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數值擴大倍．此函數稱為周期為的似周期函數。
2、倍增（減）函數：若函數滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數值擴大倍．此函數稱為倍增函數。
典例1：（2025·湖北·模擬預測）對于函數，有下列四個命題
①任取，，都有；
②（為正整數），對一切恒成立；
③若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則；
④函數有5個零點。上述四個命題中正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于①，函數的圖象如圖所示，由圖可知，，
任取，，都有，故①正確；
對于②，當時，，而由解析式可知，故②不正確；
對于③，函數與函數的圖象如圖所示，
若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，
則，由對稱性可知，故③正確；
對于④，函數和的圖象如圖所示，
由圖可知兩函數圖象有個交點，所以函數有個零點，故④不正確；
所以四個命題中正確的個數為. 故選：B.
變式訓練：
1.（2025·成都·高三校考階段練習）定義域為R的函數滿足，當時， ，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是，
所以當時，的取值范圍是,
因為函數滿足，所以，
又當時,,故的取值范圍是，
所以時，，故，解得，
所以實數的取值范圍是，故選：D.
2.（2025·河北唐山·高三校考期末）函數的定義域為，滿足，且時，，若，恒有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，且時，，
所以當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
所以當時，，解得或，
作出函數的大致圖象，如圖所示，
由圖可知，，恒有，必有，即的取值范圍是，故選：B
高頻考點9 函數性質與導數綜合
典例1：（多選題）已知函數，均是上的連續函數，，分別為函數和的導函數，且，，若為奇函數，則（ ）
A．是周期函數 B．為奇函數
C．關于對稱 D．存在，使
【答案】ACD
【解析】函數，均是定義在上的連續函數，①，
②，將②式中換為得③，
①+③得，則的圖象關于點中心對稱；
將②式中換為得：④，
①-④得：，因此不是奇函數，B錯誤；
，即，所以關于對稱，C正確；
由及為奇函數，得，
即，同時求導可得：，
即，所以是周期函數，周期為2，故A正確；
又為奇函數，，，則，結合
當時，數列是首項為3，公差為6的等差數列，
則，
當時，數列是首項為6，公差為6的等差數列，
則，因此時，，顯然滿足上式，
即，，令，解得：，D正確.故選：ACD
技法點撥
（1）若函數關于直線對稱，則導函數關于點（a，0）對稱．
（2）若函數關于點（a，b）對稱，則導函數關于直線對稱．
（3）若函數為奇函數，則導數為偶函數；若函數為偶函數，則導數為奇函數．
（4）若導函數為奇函數，則函數為偶函數；若導函數為偶函數，則函數不一定為奇函數．
（5）若原函數為周期函數，則導函數一定為周期函數，且原函數和導函數周期相同．
（6）若導函數為周期函數，則原函數不一定為周期函數．
變式訓練：
1.（多選題）已知函數及其導函數的定義域均為R，記.若，均為奇函數，且，則（ ）
A．關于直線對稱 B．關于點對稱
C．的周期為4 D．
【答案】BCD
【解析】對于A，由為奇函數可得，
故關于對稱，故A錯誤，
對于B，由于為奇函數，故，故關于點對稱，B正確，
對于C，由和可得，
令，故，故，因此，
結合關于對稱可得，
故的周期為4，C正確，
對于D，由于，故，
且，由于，令，則，
，故D正確，故選：BCD
2．（多選題）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且為奇函數，則（ ）
A．的圖象關于對稱 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由題意可得，兩式相減可得①，
所以,令，可得,所以，
所以的圖象關于對稱，故A正確；
因為為奇函數，所以關于中心對稱，
所以②，②式兩邊對求導可得，
結合，可得：
所以，令，可得：，
所以即，故B錯，
因為，可知也是周期為4的周期函數，
即，兩邊求導可得，所以，故C正確；
是周期為4的周期函數，所以，
因為，令，則，即，
又，所以，又因為是周期為4的周期函數，
則，由可得，
所以，所以，D正確.故選：ACD
1．（2024·重慶·高三校考一模）已知函數，滿足對任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數滿足對任意的實數，都有成立，
不妨設，則，則，即，
則函數在上為減函數，則，解得，
因此，實數的取值范圍是，故選：D．
2.（2025·重慶·高三校聯考階段練習）已知，是定義域為R的函數，且是奇函數，是偶函數，滿足，若對任意的，都有成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，
因為是奇函數，是偶函數，所以，
聯立，解得，
又因為對于任意的，都有成立，
所以，所以成立，
構造，所以由上述過程可得在單調遞增，
（1）若，則對稱軸，解得；
（2）若，則在單調遞增，滿足題意；
（3）若，則對稱軸恒成立；綜上，.故選：D.
3．（2025·江蘇連云港·高三統考階段練習）已知函數，若對任意，，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對函數求導得，
對函數繼續求導得，
由基本不等式得，
所以在上單調遞增，
又注意到，所以、隨的變化情況如下表：
由上表可知在上單調遞減，在上單調遞增，
又函數的定義域為，關于原點對稱，
且，所以函數是偶函數，
結合函數的單調性可知，成立當且僅當，
而成立當且僅當，
所以原問題轉化成了對任意，不等式組恒成立，
將不等式組變形為，所以對任意，只需，
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，，綜上：滿足題意的實數的取值范圍是.故選：C.
4.（2024·河南·模擬預測）已知，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得：，的定義域為；
，為定義在上的偶函數，
，，
當時，，即，又，，
，在上單調遞增，又為偶函數，
圖象關于軸對稱，在上單調遞減，
由得：，解得：，
的解集為.故選：D.
5.（2025·江蘇鎮江·高三校考期中）已知是定義域為的奇函數，是定義域為的偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為是定義域為的奇函數，
所以，所以函數關于點對稱，且
因為是定義域為的偶函數，
所以，所以函數關于直線對稱，所以，即.故選：A
6.（2024·河北石家莊·模擬預測）已知函數為定義在R上的奇函數，且在上單調遞減，滿足，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數為定義在R上的奇函數，且在上單調遞減，所以在上是減函數，
，即，
所以，所以，所以，即實數a的取值范圍為.故選：.
7.（2025·浙江·高三培優）函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱，其中（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】設點在函數的圖像上，則點關于直線的對稱點，則，則，則，即與關于直線對稱，則，得.故選：D
8．（2025·黑龍江·高三校考期中）已知函數，則的大小關系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先設函數判斷函數是偶函數，利用導數判斷函數的單調性，根據平移關系，可判斷函數的對稱性和單調性，再將，，以及轉化在同一個單調區間，根據單調性比較大小.令，所以是偶函數；
當時，，在上是增函數，
將圖像向右平移一個單位得到圖像，所以關于直線對稱，且在單調遞增.
∵，，，
∴，∴，
又∵關于直線對稱，∴，∴.故選：A
9.（2024·遼寧·一模）已知函數為偶函數，且當時，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為函數為偶函數，故其圖象關于y軸對稱，則的圖象關于直線對稱，
當時，，因為在上單調遞增且，
而在上單調遞減，故在上單調遞減，則在上單調遞增，
故由可得，即，
則，故，故選：A
10．（2024·重慶·校聯考模擬預測）對于三次函數給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，若，請你根據這一發現計算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】由題意可知，所以，令，則，
所以，由題意可知函數的對稱中心為，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.故選：C
11.（2024·浙江·高三校考期中）已知函數的定義域為為奇函數，為偶函數，當時，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由為奇函數，得，
故①，函數的圖象關于點對稱；
由為偶函數，得②，則函數的圖象關于直線對稱；
由①②得， 則，
故的周期為，所以，
由，令得，即③，
已知，由函數的圖象關于直線對稱，得，
又函數的圖象關于點對稱，得
所以，即，所以④，聯立③④解得
故時，，由關于對稱，可得.
故選：A.
12.（2024·四川·高三校聯考階段練習）已知函數及其導函數的定義域均為，且為奇函數，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，令，得，所以，
由為奇函數，得，所以，故①．
又②，由①和②得，即，
所以，③ 令，得，得，
令，得，得， 又④，
由③-④得，即，所以函數是以8為周期的周期函數，
故，所以，
所以
，故選：B．
13.（2024·河北唐山·校考一模）若，且，則（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【答案】A
【解析】令，，得，得，
令，，
又，故，即，
故得到周期，
令，，即，故是偶函數，
又，，所以得到圖象關于對稱，
所以，，，，
所以. 故選：A
14．（2024·福建廈門·高三校考階段練習）設函數的定義域為，滿足，且當時，．則下列結論正確的個數是（ ）
①；②若對任意，都有，則a的取值范圍是；
③若方程恰有3個實數根，則m的取值范圍是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】依題意，，當時，，且在區間上的最大值為1，
當時，，，在區間上的最大值為2，
當時，，，在區間上的最大值為4，
當時，，，在區間上的最大值為8，
顯然，①正確；作出函數的部分圖象，如圖，
當時，必有，由整理得：，于是得，
因為對任意，都有，因此，所以a的取值范圍是，②正確；
方程恰有3個實數根，即直線與函數的圖象恰有3個公共點，
顯然直線與在區間上的圖象有且只有1個公共點，
當直線與在區間上的圖象相切時，由消去y整理得：
，則，解得，
而在區間上的最大值為，直線，
當時，，此時該直線與在區間上的圖象有兩個公共點，
因此直線與函數在時的圖象有公共點時，公共點個數大于3，不符合題意，
當直線與在區間上的圖象相切時，由消去y整理得：
，則，解得，
當直線與在區間上的圖象相切時，由消去y整理得：
，則，解得，
觀察圖象知，方程恰有3個實數根，則m的取值范圍是，③錯誤.
所以正確結論的個數是2.故選：C
15．（2025·山西大同·高三統考階段練習）設是定義在上的函數，若是奇函數，是偶函數，函數，若對任意的，恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為是奇函數，是偶函數，
所以，解得，由，
當時，則，所以，
同理：當時，，以此類推，可以得到的圖象如下：
由此可得，當時，，由，得，解得或，
又因為對任意的，恒成立，所以，所以實數的最大值為.故選：B.
16．（多選題）（2023·安徽淮南·高三校考階段練習）已知定義域為的函數滿足，為的導函數，且，則下列說法正確的是（ ）
A．為奇函數 B．
C． D．對，，
【答案】ABC
【解析】由題意定義域為的函數滿足
令，則，
令，則，即，故為奇函數，A正確；
由于，故，即，則為偶函數，由可得，
由，令得，
故，令，則，B正確；
又，則，
令，則，
由柯西方程知，，故，
則，由于，故，即，則，C正確；
對
,故，D錯誤，故選：ABC.
17．（多選題）（2025·江蘇徐州·高三校考階段練習）已知函數是定義在上的可導函數，其導函數為和都是奇函數，，則下列說法正確的是（ ）
A．關于點對稱 B． C． D．
【答案】ABD
【解析】對于A：把的圖象向左平移1個單位，可得的圖象，
又為奇函數，圖象關于原點對稱，所以的圖象關于點對稱，故A正確；
對于B：由為奇函數，則，
又為的導函數，所以，即，則，
又為奇函數，所以，即，
由上得，故，故，
即，即是奇函數，故B正確；對于C：由于，
故，即，故4是的一個周期，
又，即，所以為周期為4的周期函數，
因為，令可得，即，
所以，故C錯誤；
對于D：因為是上的奇函數，故，結合得，
，
故，故D正確．故選：ABD
18．（多選題）（2024·廣西桂林·統考一模）已知函數滿足：，，則（ ）
A． B．為奇函數 C．為周期函數 D．
【答案】ACD
【解析】取，代入，
得，解得，故A正確，B錯誤；
令，則，即，
故，
所以是周期為6的周期函數，故C正確；
又，，所以，故D正確．故選：ACD
19．（2022全國乙卷真題）若是奇函數，則 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函數定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數的有意義，則且 且，
函數為奇函數，定義域關于原點對稱，，解得，
由得，，，故答案為：；．
[方法二]：函數的奇偶性求參
，
函數為奇函數
[方法三]：
因為函數為奇函數，所以其定義域關于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數的定義域為，再由可得，．即，在定義域內滿足，符合題意．故答案為：；．
20．（2024·廣西 高三模擬預測）已知定義在上的函數滿足，當時，，則___________.
【答案】
【分析】依題意首先求出函數的周期，再結合周期及相關條件分別求得和，進而可得到結果.
【詳解】函數滿足：，
可得：對，都有，∴ 函數的周期.
∴ ，
由得， ∴.故答案為：.
【點睛】定義在上的函數，若存在非零常數，使得對，都有，則函數的周期.
21.（2024·重慶·模擬預測）已知函數，當時，記函數的最大值為，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】根據題意，，是偶函數，
當時，，由二次函數的性質，在上的最大值為或，
由偶函數對稱性，在上的最大值為或，
，則，
即.，即的最小值為. 故答案為：.
22．（2025·河南·河南省淮陽中學校聯考模擬預測）已知函數，則在上的最大值與最小值之和為______．
【答案】
【解析】；
令，當時，，；
令，，
，為定義在上的奇函數，，
，即，
在上的最大值和最小值之和為. 故答案為：.
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