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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題1 函數與導數
1.2 指、對、冪等函數值比較大小問題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
指對冪比較大小 2024年北京卷第9題，5分 2024年天津卷第5題，5分 2024年新高考I卷第8題，5分 2023年甲卷第11題，5分 2022年新高考I卷第7題，5分 2022年天津卷第5題，5分 2022年甲卷第12題，5分 預測2025年新高考，指對冪比較大小多以選填壓軸的形式出現，亦或常規選填題的大小比較，估計：（1）以選填題型呈現，側重綜合推理；（2）構造靈活函數比較大小將成為考查熱點和重點。
從近幾年的新高考的考查情況來看，指、對、冪形數的大小比較問題是新高考重點考查的內容之一，也是高考的熱點問題，命題形式主要以選填題為主。幾乎每年高考題都會出現，難度逐年上升。
函數值的大小比較所需知識主要考查學生函數部分知識的掌握情況，解題同時需要的技巧多，試題靈活，突出對函數單調性的運用，考查學生的數形結合與方程思想，及構造、放縮等相關知識。
1．（2024北京卷）已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據指數函數和對數函數的單調性結合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.
【詳解】由題意不妨設，因為函數是增函數，所以，即，
對于選項AB：可得，即，
根據函數是增函數，所以，故A正確，B錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤，故選：B.
2．（2024天津卷）若，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指數函數和對數函數的單調性分析判斷即可.
【詳解】因為在上遞增，且，所以，
所以，即，因為在上遞增，且，
所以，即，所以，故選：B
3．（2024新高考Ⅰ卷）已知函數的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為當時，所以，
又因為，則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；
且無證據表明ACD一定正確. 故選：B.
4．（2023全國甲卷）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因為，而，
所以，即 由二次函數性質知，
因為，而，
即，所以，綜上，，
又為增函數，故，即.故選：A.
5．（2022·新高考Ⅰ卷）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數， 導數判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以 故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ， 令 則 ，
故 在 上單調遞減， 可得 ，即 ，所以 ；
② ， 令
則 ， 令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以 故
6．（2022天津卷）已知，，，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因為是定義域上的單調增函數，所以，即；
因為是定義域上的單調減函數，所以，且，所以；
因為是定義域上的單調增函數，所以，即；
所以．故選：．
7．（2022·全國甲卷文）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優解】（構造函數）
由，可得．根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．
8．（2022·全國甲卷理）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由結合三角函數的性質可得;構造函數,利用導數可得,即可得解.
【詳解】[方法一]：構造函數
因為當故，故，所以；
設，，所以在單調遞增，
故，所以，所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當，取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時， 故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構造函數
因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．
[方法五]：【最優解】不等式放縮
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優解．
9．（2021·全國乙卷）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數,，利用導數分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.
【詳解】[方法一]：
，所以；
下面比較與的大小關系.
記，則，，
由于 所以當0所以在上單調遞增，所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數在[0，+∞)上單調遞減，所以，即，即b綜上，，故選：B.
[方法二]：令 ，即函數在（1，+∞)上單調遞減
令
，即函數在（1，3)上單調遞增
綜上，， 故選：B.
【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.
10．（2021新高考Ⅰ卷）已知，則以下四個數中最大的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令，，則，，
，
，故最大的是，故選：．
11．（2021新高考Ⅱ卷）已知，，，則下列判斷正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，．故選：．
高頻考點一 直接利用單調性
核心知識：
指、對、冪大小比較的常用方法（單調性法）：
①底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；
②指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；
典例1：（2025·湖南長沙·校考模擬預測）設，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指數函數和冪函數單調性證明，利用對數函數單調性證明，即可得到正確結論.
【詳解】指數函數，為減函數，∴，
∵冪函數為增函數，∴，∴，
∵對數函數為減函數，∴，即，∴.故選：A.
技法點撥
當底數相同，或指數（真數）相同時，一般函數單調性（圖象）進行大小比較即可。
若底數、指數（真數）可轉化相同，也可以采用上述方法。
變式訓練
1．（2024·河北·高三校考階段練習）設，，，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，，
又因為在上單調遞增，所以，即，
因為，所以，又因為在上單調遞增，
所以，即，綜上：.故選：D.
2．（2023·北京順義·高三校考期中）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為函數在上單調遞增，所以，又，所以；
又因為函數在上單調遞增，所以，所以.綜上，.故選：C
高頻考點2 引入介值法
核心知識：
特別注意幾個特殊值：，，。
因為冪指對函數的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1比較大小。
典例1：（2025·廣東·高三模擬預測）設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據指數函數、對數函數的性質判斷即可；
【詳解】解：因為，，即，
又，所以.故選：B
典例2：（2024·天津·高三模擬預測）已知，，，則的大小關系為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等中間值區分各個數值的大小．
【詳解】，，，故，
所以．故選A．
【點睛】本題考查大小比較問題，關鍵選擇中間量和函數的單調性進行比較．
技法點撥
1）當底數和指數（真數）都不同時，一般采用特殊介質0，1進行大小比較，同時注意結合圖像及特殊值。
2）除了考點2中的介質（0，1），一般尋找其他的介質會稍微困難一些，可以適當的積累總結規律：
（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區間；
（2）可以對區間使用二分法（或者利用指對轉化）尋找合適的中間值。
變式訓練：
1．（2024·天津河東·一模）已知，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，，所以.故選：C.
2．（2024·湖南郴州·統考一模）有三個數：，大小順序正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，，
所以.故選：A
3．（2024·山東·高三期中）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指數函數和對數函數的性質，與中間量1，2比較大小即可得到結果．
【詳解】因為，，，
所以．故選：C．
高頻考點3 含變量問題
典例1：（多選題）（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知非零實數，，則可能正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】設函數，，，分情況，討論，構造函數求導確定單調性，即可得取值情況，從而作出判斷.
【詳解】令，，，
①當時，設，則恒成立，所以在上單調遞增，
所以，則，所以；
設，則，所以在上單調遞增，
所以，則，所以所以；
②當時，，，而因為，所以，所以，
而有兩解，一正一負，因為 ，
而，有，所以在單調遞增，所以.
當時，，而在單調遞增，所以，所以;
當時，，綜上，可能正確的是，.故選：BC.
技法點撥
對變量取特殊值代入或者構造函數
變式訓練：
1．（2025·天津濱海新·校考模擬預測）已知正實數x，y，z滿足，則不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，則，，.
選項A，，，，則，故A正確；
選項B，，，，下面比較的大小關系，
因為，，，所以，即，又，
所以，即，故B不正確；
選項C，，，，
因為，又，所以，即，故C正確；
選項D，，因為，所以，
又，所以，故D正確； 故選：B.
2．（多選題）（2024·福建廈門·校考一模）已知實數，，滿足，則下列關系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】設，得到，，，分別作出，，的圖象，結合圖象，即可求解.
【詳解】根據題意，設，其中，則，，，
在同一坐標系中分別畫出函數，，的圖象，
當時，；當時，；當時，，
由此可以看出，不可能出現這種情況. 故選：BCD.
高頻考點4 構造函數
典例1：（2024·安徽滁州·校考二模）設，，，則（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】D
【解析】由，，，得，，，
構造函數，則，當時，x＝1，
時，，單調遞減；時，，單調遞增，
在x＝1處取最小值，時，，即，
取，得，，，即；
設，則，令，，
因為當時，令，，單調遞減，
又時，，則，即，所以，
因為當時，，所以當時，，函數單增，
又，所以，即，所以當時，函數單調遞增，
所以，即，，即，.故選：D
技法點撥
構造函數比大小可以從“形”與“數”兩個角度入手解題。
1）“形”的構造：
不等式兩邊的結構相似時，我們可以構建一個函數，通過分析這個函數的單調性，進而根據“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，”判斷。
2）“數”的構造：
觀察到待比較式子間數與數的關系后，我們可據此構造函數。
變式訓練：
1．（2024·河南·高三統考階段練習）設，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，
構造函數，則，，，，
在上遞增，在上遞減.則有最大，即，.
若有兩個解，則，
所以所以
即,令，則，
故在上單增,所以，即在上，.
若，則有，即.故，所以.
當時，有，故所以.綜上所述：.故選：A
2．（2024·廣西河池·高三校聯考階段練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，，則，
設，，
設，則，
當時，，所以在上單調遞減，
，所以，即在上單調遞增，
因為，所以，即，
又，即，所以.故選：C.
3．（2024·安徽蕪湖·三模）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，則，令，則，
所以函數在上單調遞增，所以，即，
所以，而，
令，則，
當時，，所以函數在上單調遞減，所以，
即，所以，,令，
則，
令，則，
當時，，所以函數在上單調遞減，所以，
即當時，，所以函數在上單調遞增，所以，
即，所以，綜上所述，.故選：A.
高頻考點5 數形結合
典例1：（2024·江蘇·高三階段練習）均為正實數，且，，，則的大小順序為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函數，，，的圖象如下圖所示：
則、、視為函數與函數、函數與函數，函數與函數的交點的橫坐標，由圖象可知.故選：D.
技法點撥
數形結合法：即轉化為兩函數圖象交點的橫坐標，從而比較交點橫坐標的大小即可。
變式訓練：
1．（2024·湖北·高三專題練習）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：函數，，的零點，
即為函數分別與函數、、的圖象交點的橫坐標，如圖所示：
由圖可得.故選：B
2．（2024·云南·高三期中）已知正數，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，可得，，可得，
，可得，且考慮和的圖象相交，
在同一平面直角坐標系中畫出、、與的圖象如下：
根據圖象可知.故選：B.
高頻考點6 特殊值法、估算法
典例1：（多選題）（2024·海南·校考模擬預測）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】A應用作差法比較；B特殊值，判斷；C根據不等式性質判斷；D利用對應指數函數單調性判斷.
【詳解】對于A，，
由于的大小不確定，無法比較大小，錯誤；
對于B，當，時，，，此時，錯誤；
對于C，由已知有，所以，正確；
對于D，由已知有，且，所以，正確. 故選：CD
典例2：（2024·貴州貴陽·高三統考開學考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】構造函數，
所以在上單調遞增，所以，
，；故只需比較與；也即比較與；
也即比較與，而，，
所以，所以.綜上所述，.故選：B
技法點撥
估算先要比較數值的大致范圍，從而判斷其大小關系，此法的難點是特殊值和零界范圍的選擇，望大家平時多練習多積累，這樣以后遇上才能從容不迫。
變式訓練：
1．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
【答案】A
【解析】令，則，∴在上單調遞增，
，即，∴，又，，
∵，，，故，∴．故選：A．
2．（多選題）（2024·河南·模擬預測）已知正數，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】取特值驗證可判斷B；根據對數函數、指數函數的單調性，結合不等式的性質可判斷ACD.
【詳解】因為，所以，C正確；
又因為在上單調遞增，所以，A正確；
不妨取，則，B錯誤；因為，所以，
又在R上單調遞增，所以，D錯誤. 故選：AC.
高頻考點7 放縮法與同構法
核心知識：
1）對數：利用單調性，放縮底數（或真數），糖水不等式也是不錯的選擇；指數和冪函數結合來放縮；
2）與對數型函數有關的常見不等式有：
，，.
3）與指數型函數有關的常見不等式有：
，，.
4）與三角函數有關的常見不等式有：
，，.
典例1：（2024·天津·高三統考期末）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【答案】D
【解析】，因函數在上單調遞增，
則，.
，因，則
.
故，綜上有.故選：D
典例2：（2024·高三·江西·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A選項，當時，，因為，所以A錯誤；
C選項，，由，得，
令，則，，由，得，由，得，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，且時，，當時，，
因為，由，得，即，所以，選項C正確；
B選項，由C知，則，即，所以B錯誤；
D選項，因為，所以，得，D錯誤. 故選：C.
技法點撥
放縮法比較指對冪大小，關鍵在于合理估計與調整。可通過適當放大或縮小數值，轉化為更易比較的形式，如利用指數、對數的性質進行放縮，或結合均值不等式等。需注意保持放縮方向的一致性，以確保比較結果的準確性。
同構法比較指對冪大小，核心在于構造相同結構的函數。通過變形使待比較式具有相同函數形式，利用函數單調性或圖像直觀比較大小。關鍵在于準確識別并構造同構函數，簡化比較過程。
變式訓練：
1．（2024·全國·模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分別對，，兩邊取對數，得，，．
．
由基本不等式，得:，
所以，即，所以．又，所以.故選：D．
2．（2024·福建龍巖·高三校考階段練習）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質量分數為，這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式（，）數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可判斷與的大小：例如，試比較 的大小（填”<”或”>”或”=”）
【答案】<
【分析】根據糖水不等式的知識求得正確答案.
【詳解】依題意. 故答案為：
3．（多選題）（2024·長郡中學校聯考二模）已知，且滿足，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】等式，等號兩邊同除以，可得，
所以，所以，所以，
構造函數，則，
顯然，函數在定義域內是增函數，所以，即．
而，而，故，故，故D正確. 故選：AD．
高頻考點8 泰勒展開、帕德逼近估算法
核心知識：常見函數的展開式：
①；②；
③；④；
⑤；⑥。
典例1：（2024·廣東·高三校考階段練習），，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，，因為，所以，
由泰勒展開得，，
所以，
故，綜上所述a，b，c的大小關系是.故選：C
典例2：已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，綜上，．故選：B
技法點撥
帕德逼近估算法比較指對冪大小，即通過構造有理函數逼近原函數，利用逼近函數的性質來估計原函數值的大小，從而比較指對冪的大小。關鍵在于選擇合適的逼近階數，以確保逼近的精度和有效性。
變式訓練：
1．（2024·湖南長沙·校考三模）已知，則a，b，c的大小關系為 。
【答案】
【解析】設，則，，
，計算得．
2.（2024·安徽池州·高三校考階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
綜上，．故選：B．
1．（2024·天津和平·高三校考階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要比較，，中的大小，
等價于比較，，中的大小，
∵，由定義域可知，故，
∵在定義域上單調遞減，，，
∵，∴，∵，∴，故，則，
，，由定義域可知：，
又∵，∴，則，，故，
∵，，∴，，.故選：A.
2．（2024·遼寧·校聯考模擬預測）下列不等式中，正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A，令，則，即證，
令，則，
所以在上單調遞增，故，
所以，即，故A正確；
對于B，當時顯然不成立，故B錯誤；
對于C，當是第三象限角時，則，所以，
可得，故C錯誤； 對于D，當時，為單調遞增函數，
若，則，
這與矛盾，故D錯誤.故選：A.
3．（2024·廣東·高三專題練習）若，，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．的大小不能確定
【答案】A
【詳解】令，則，
令，則，
因為，所以，故，
所以在上是單調遞減，則，故，所以在上是減函數，
所以由得，即，故，即.故選：A.
4．（2025·陜西西安·校考模擬預測）已知函數，，的零點分別為、、，則、、的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數、均為上的增函數，故函數為上的增函數，
因為，，所以，，
因為函數、在上均為增函數，故函數在上為增函數，
因為，，所以，，
由可得，因此，. 故選：A.
5．（2025·安徽合肥·校考模擬預測）已知函數，，的零點分別為a，b，c則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由得，，由得，由得.
在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，
由圖象知，，.故選：D
6．（24-25高三上·四川綿陽·開學考試）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】令，則，令恒成立，
即在定義域單調遞增，且
因此在區間上必然存在唯一使得，
所以當時單調遞減，當時單調遞增，故A，B均錯誤；
令，，當時，，∴在區間上為減函數，
∵，∴，即，∴選項C正確，D不正確.故選:C.
7．（2024·四川自貢校考一模）若，，，則a、b、c滿足的大小關系式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】顯然，即，而，
設，求導得在上單調遞增，
則，即當時，，因此；
設，求導得，
令，，
則函數，即在上單調遞增，，
即函數在上單調遞增，于是，則當時，，
從而，而，即有，所以.故選：A
8．（2024·廣東汕頭·統考三模）已知，，，則a，b，c大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】可以看成與圖象的交點的橫坐標為，
可以看成與圖象的交點的橫坐標為，
可以看成與圖象的交點的橫坐標為，畫出函數的圖象如下圖所示，

由圖象可知，.故選：D.
9．（2024江西·校聯考模擬預測）已知函數，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由已知條件得的零點可以看成與的交點的橫坐標，的零點可以看成與的交點的橫坐標，的零點可以看成與的交點的橫坐標，
在同一坐標系分別畫出，，，的函數圖象，如下圖所示,
可知，故選：.
10．（2024·湖南·校聯考模擬預測）若，（）試比較的大小關系（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，故，又，故，由常用數據得，下面說明，令，，
當時，，單增，當時，，單減，則，
則，則，，
令，則，，
，則，綜上，.故選：D.
11．（2024·湖南郴州·校考一模）有三個數：，大小順序正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，，，，
所以. 故選：A
12．（2024·陜西寶雞·統考三模）設，，，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，，，令，則，
當時，，當時，，所以函數再上遞增，在上遞減，
由，得，所以，即.故選：B.
13．（2024.吉林長春質量監測）已知，，，若，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：根據基本初等函數的單調性可知的范圍，即可求解.
【詳解】[方法一]：函數性質法
由，所以，，，所以．故選：B.
[方法二]：【最優解】特值法
取，則，，，所以.故選：B.
【整體點評】法一：根據單調性確定各字母的范圍，從而得出大小關系，是比較大小的最基本方法，是通性通法；
法二：對于較簡單的比較大小問題，利用特殊值得到各字母的范圍，是不錯的選擇，是該題的最優解．
14．（2024·湖南郴州·校考一模）有三個數：，大小順序正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用指數函數、三角函數、對數函數的單調性，結合“媒介數”比較大小作答.
【詳解】， ，
所以. 故選：A
15．（2023·天津市二模）設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據對數函數、指數函數的單調性以及作商法比較大小，即可求解.
【詳解】依題意，，
，所以故選：A
16．（2024河南平頂山模擬預測）已知，，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合對數的運算公式以及對數函數的單調性進行轉化求解即可．
【詳解】由題意得：，
，，
因為函數在上單調遞增，
所以，則，所以.故選：D.
17．（多選題）（2024·江蘇·金陵中學校聯考三模）三角函數表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦表”，可以用來查詢非特殊角的三角函數近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數值，就比如下面幾個選項，其中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】對于A，∵，
，∴，故A錯誤；
對于B，記，，則，
記，，則，
令，，則恒成立，
所以在上單調遞增，所以，
所以，所以在上單調遞增，而，所以，
所以在上單調遞增，所以，所以，，所以，
所以，，，故，故B正確；
對于C，記，則，令，得；令，得；
函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以對任意，都有，即恒成立，
令，，所以，
對于函數，，因為恒成立，
所以在上單調遞增，所以，即在上恒成立，
因為，即，所以，
因為，所以，故C正確，
對于D，令，若，令，
，由解得：，解得：，
所以在上單調遞減；上單調遞增，所以，
記，因為，
所以在上單調遞增，因為，
所以，即，所以，則，故D錯.故選：BC.
18.（多選題）（2024·湖北·模擬預測）已知（且），則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】CD
【詳解】由滿足的情況有以下六種：
（1）如圖1所示，可得，（2）如圖2所示，可得，（3）如圖3所示，可得，

（4）如圖4所示，可得，（5）如圖5所示，可得，（6）如圖6所示，可得，

對于A中，當時，第（4）種情況不滿足，所以A錯誤；
對于B中，當時，第（1）種和第（5）種情況不滿足，所以B錯誤；
對于C中，當時，第（2）種、第（3）種和第（6）種情況均有，所以C正確；
對于D中，當時，如第（1）種情況，則，所以成立，所以D正確. 故選：CD．
19．（多選題）（2024·安徽合肥·三模）已知實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】對于A中，由，可得，所以A錯誤；
對于B中，由，則，所以B正確；
對于C中，令，可得，當時，，單調遞增，
因為，則，所以，即，所以，所以C正確；
對于D中，由函數在上單調遞增，
因為，則，即，
所以，所以D正確．故選：BCD．
20．（多選題）（2024·海南·校考模擬預測）若，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【詳解】由于，
對于A：由于 ，所以函數 為減函數，所以 ，故A錯誤；
對于B：由于 ，所以函數 為減函數，所以 ，故B錯誤；
對于C：由于，所以函數 在上為增函數，所以 ，故C正確；
對于D：由于，所以 ，
所以 ，所以，故D正確.故選：CD.
21.（多選題）（2024·廣東廣州·校考一模）已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】由，可得，又，所以，解得.
當時，，則，又，所以，
所以此時，故A錯誤；
令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，即，由知，所以，所以，故正確；由可得，可得（時取等號），因為，所以，所以，故C正確；
因為，所以.令，則，令，所以，令，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增，所以1，所以，故D正確.故選：BCD
【點睛】判斷D選項時，對式子進行變形換元后得到是解題的第一個關鍵，構造函數，利用兩次求導可得出函數的最小值是解題的第二個關鍵點.
22．（2024·北京·高三校考開學考試）已知，，，比較a，b，c的大小： （用“<”連接）
【答案】
【詳解】令，恒成立，當且僅當取等號，所是增函數，當時，，即，所以，
又，又因為，所以，故由的單調性知，，所以，從而，又易知，又由函數的單調性知，，所以.
故答案為：
23．（2024·廣東·校聯考一模）設，則的大小關系為___________．（從小到大順序排）
【答案】
【解析】，由函數切線放縮得，因此．
故答案為：
24.（2024·河南·模擬預測）若，則滿足的大小關系式是 。
【答案】.
【解析】由于，所以.設，
在上單調遞增，
所以，所以當時，，
則，即.
設，，
所以在上單調遞增，，所以在上單調遞增，，
所以當時，，即，
所以，而，所以，所以.
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專題1 函數與導數
1.2 指、對、冪等函數值比較大小問題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
指對冪比較大小 2024年北京卷第9題，5分 2024年天津卷第5題，5分 2024年新高考I卷第8題，5分 2023年甲卷第11題，5分 2022年新高考I卷第7題，5分 2022年天津卷第5題，5分 2022年甲卷第12題，5分 預測2025年新高考，指對冪比較大小多以選填壓軸的形式出現，亦或常規選填題的大小比較，估計：（1）以選填題型呈現，側重綜合推理；（2）構造靈活函數比較大小將成為考查熱點和重點。
從近幾年的新高考的考查情況來看，指、對、冪形數的大小比較問題是新高考重點考查的內容之一，也是高考的熱點問題，命題形式主要以選填題為主。幾乎每年高考題都會出現，難度逐年上升。
函數值的大小比較所需知識主要考查學生函數部分知識的掌握情況，解題同時需要的技巧多，試題靈活，突出對函數單調性的運用，考查學生的數形結合與方程思想，及構造、放縮等相關知識。
1．（2024北京卷）已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024天津卷）若，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024新高考Ⅰ卷）已知函數的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023全國甲卷）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·新高考Ⅰ卷）設，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022天津卷）已知，，，則　　
A． B． C． D．
7．（2022·全國甲卷文）已知，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國甲卷理）已知，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全國乙卷）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
10．（2021新高考Ⅰ卷）已知，則以下四個數中最大的是　　
A． B． C． D．
11．（2021新高考Ⅱ卷）已知，，，則下列判斷正確的是　　
A． B． C． D．
高頻考點一 直接利用單調性
核心知識：
指、對、冪大小比較的常用方法（單調性法）：
①底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；
②指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；
典例1：（2025·湖南長沙·校考模擬預測）設，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
技法點撥
當底數相同，或指數（真數）相同時，一般函數單調性（圖象）進行大小比較即可。
若底數、指數（真數）可轉化相同，也可以采用上述方法。
變式訓練
1．（2024·河北·高三校考階段練習）設，，，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京順義·高三校考期中）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B． C． D．
高頻考點2 引入介值法
核心知識：
特別注意幾個特殊值：，，。
因為冪指對函數的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1比較大小。
典例1：（2025·廣東·高三模擬預測）設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·天津·高三模擬預測）已知，，，則的大小關系為
A． B． C． D．
技法點撥
1）當底數和指數（真數）都不同時，一般采用特殊介質0，1進行大小比較，同時注意結合圖像及特殊值。
2）除了考點2中的介質（0，1），一般尋找其他的介質會稍微困難一些，可以適當的積累總結規律：
（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區間；
（2）可以對區間使用二分法（或者利用指對轉化）尋找合適的中間值。
變式訓練：
1．（2024·天津河東·一模）已知，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南郴州·統考一模）有三個數：，大小順序正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東·高三期中）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
高頻考點3 含變量問題
典例1：（多選題）（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知非零實數，，則可能正確的是（ ）
A． B． C． D．
技法點撥
對變量取特殊值代入或者構造函數
變式訓練：
1．（2025·天津濱海新·校考模擬預測）已知正實數x，y，z滿足，則不正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）（2024·福建廈門·校考一模）已知實數，，滿足，則下列關系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點4 構造函數
典例1：（2024·安徽滁州·校考二模）設，，，則（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
技法點撥
構造函數比大小可以從“形”與“數”兩個角度入手解題。
1）“形”的構造：
不等式兩邊的結構相似時，我們可以構建一個函數，通過分析這個函數的單調性，進而根據“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，”判斷。
2）“數”的構造：
觀察到待比較式子間數與數的關系后，我們可據此構造函數。
變式訓練：
1．（2024·河南·高三統考階段練習）設，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣西河池·高三校聯考階段練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽蕪湖·三模）設，則（ ）
A． B． C． D．
高頻考點5 數形結合
典例1：（2024·江蘇·高三階段練習）均為正實數，且，，，則的大小順序為
A． B． C． D．
技法點撥
數形結合法：即轉化為兩函數圖象交點的橫坐標，從而比較交點橫坐標的大小即可。
變式訓練：
1．（2024·湖北·高三專題練習）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南·高三期中）已知正數，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點6 特殊值法、估算法
典例1：（多選題）（2024·海南·校考模擬預測）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2024·貴州貴陽·高三統考開學考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
技法點撥
估算先要比較數值的大致范圍，從而判斷其大小關系，此法的難點是特殊值和零界范圍的選擇，望大家平時多練習多積累，這樣以后遇上才能從容不迫。
變式訓練：
1．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）若，b=1.2，c=ln3.2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c
2．（多選題）（2024·河南·模擬預測）已知正數，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點7 放縮法與同構法
核心知識：
1）對數：利用單調性，放縮底數（或真數），糖水不等式也是不錯的選擇；指數和冪函數結合來放縮；
2）與對數型函數有關的常見不等式有：
，，.
3）與指數型函數有關的常見不等式有：
，，.
4）與三角函數有關的常見不等式有：
，，.
典例1：（2024·天津·高三統考期末）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
典例2：（2024·高三·江西·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
技法點撥
放縮法比較指對冪大小，關鍵在于合理估計與調整。可通過適當放大或縮小數值，轉化為更易比較的形式，如利用指數、對數的性質進行放縮，或結合均值不等式等。需注意保持放縮方向的一致性，以確保比較結果的準確性。
同構法比較指對冪大小，核心在于構造相同結構的函數。通過變形使待比較式具有相同函數形式，利用函數單調性或圖像直觀比較大小。關鍵在于準確識別并構造同構函數，簡化比較過程。
變式訓練：
1．（2024·全國·模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建龍巖·高三校考階段練習）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質量分數為，這個質量分數決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式（，）數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可判斷與的大小：例如，試比較 的大小（填”<”或”>”或”=”）
3．（多選題）（2024·長郡中學校聯考二模）已知，且滿足，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點8 泰勒展開、帕德逼近估算法
核心知識：常見函數的展開式：
①；②；
③；④；
⑤；⑥。
典例1：（2024·廣東·高三校考階段練習），，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
典例2：已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
技法點撥
帕德逼近估算法比較指對冪大小，即通過構造有理函數逼近原函數，利用逼近函數的性質來估計原函數值的大小，從而比較指對冪的大小。關鍵在于選擇合適的逼近階數，以確保逼近的精度和有效性。
變式訓練：
1．（2024·湖南長沙·校考三模）已知，則a，b，c的大小關系為 。
2.（2024·安徽池州·高三校考階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·天津和平·高三校考階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·遼寧·校聯考模擬預測）下列不等式中，正確的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·廣東·高三專題練習）若，，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．的大小不能確定
4．（2025·陜西西安·校考模擬預測）已知函數，，的零點分別為、、，則、、的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽合肥·校考模擬預測）已知函數，，的零點分別為a，b，c則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·四川綿陽·開學考試）若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川自貢校考一模）若，，，則a、b、c滿足的大小關系式是（ ）.
A． B． C． D．
8．（2024·廣東汕頭·統考三模）已知，，，則a，b，c大小為（ ）
A． B． C． D．
9．（2024江西·校聯考模擬預測）已知函數，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南·校聯考模擬預測）若，（）試比較的大小關系（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南郴州·校考一模）有三個數：，大小順序正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·陜西寶雞·統考三模）設，，，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
13．（2024.吉林長春質量監測）已知，，，若，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·湖南郴州·校考一模）有三個數：，大小順序正確的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·天津市二模）設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
16．（2024河南平頂山模擬預測）已知，，，則（ ）．
A． B． C． D．
17．（多選題）（2024·江蘇·金陵中學校聯考三模）三角函數表最早可以追溯到古希臘天文學家托勒密的著作《天文學大成》中記錄的“弦表”，可以用來查詢非特殊角的三角函數近似值，為天文學中很多復雜的運算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函數值大小比較的問題卻不一定要求出準確的三角函數值，就比如下面幾個選項，其中正確的是（ ）
A． B． C． D．
18.（多選題）（2024·湖北·模擬預測）已知（且），則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
19．（多選題）（2024·安徽合肥·三模）已知實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
20．（多選題）（2024·海南·校考模擬預測）若，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
21.（多選題）（2024·廣東廣州·校考一模）已知，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·北京·高三校考開學考試）已知，，，比較a，b，c的大小： （用“<”連接）
23．（2024·廣東·校聯考一模）設，則的大小關系為___________．（從小到大順序排）
24.（2024·河南·模擬預測）若，則滿足的大小關系式是 。
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