資源簡介

2025六年級下冊數學第六章《一元二次方程》第二節《一元二次方程的解法》導學案（第四課時）
（第四課時）
一、自主學習
（一）知識回顧
解方程：
(1)5(x+8)－5=0 (2)3(x+2)=4x+5
（二）創設情境
一個數與它的三分之二、它的一半、它的七分之一加起來的和是33,求這個數.
設這個數為x,怎樣列出方程呢
這個方程與上節課學過的一元一次方程有什么不同之處 你會解這個方程嗎
（三）學習目標
1.掌握含有分數系數的一元一次方程的解法;對解方程的步驟有整體的了解；（運算能力）
2.通過去分母解方程,體會數學中的“化歸”思想方法；通過歸納一元一次方程解法的一般步驟,體會解方程的程序化思想方法；（推理能力）
3.培養自覺探索意識,在解題中享受成功的喜悅。
（四）自主學習
【活動1】自主學習（學）
解方程:(x+14)=(x+20)。
解法一： 解法二：
去括號，得 去分母，得
移項，得 去括號，得
合并同類項，得 移項，得
兩邊同除以( )，得 合并同類項，得
方程兩邊同除以( )，得
二、合作探究
【活動3】師徒對研（研、展）
1.(1)比較兩種方法，你有什么發現？
(2)解含分數系數一元一次方程有哪些步驟？與同伴進行交流
【歸納】：（評）
。
【活動4】 小組共研（研、展）
你能說出解方程每一步的基本依據嗎,與同學們進行交流.
【歸納】：（評）
去分母 　　　　去括號 　　　　　
移項 　 合并同類項 　
系數化為1 　
學以致用,鞏固新知（練）
例2　解方程:=1-
拓展延伸
方程的解是_______.
三、整理提升
1.【自主盤點】結合“知識復盤表”，請你想一想，小組內說一說每個時間段的學習任務和學習活動。（理）
2.【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
當堂評價,爭奇斗艷（練）
必做：
1.方程5- ，去分母得( )．
A．5-2(5x+7)=-(x+17) B．20-2(5x+7)=-x+17
C．20-2(5x+7)=-(x+17) D．20-10x+14=-(x+17)
2.若代數式與-1的值相等,則x=____________.
3.解方程：
(1) (2) +1=x－1 (3)
選做：
1.若的倒數與互為相反數,那么a的值是( )
A． B．- C．3 D．-3
2.若方程與關于x的方程的解相同,求a的值.
作業設計
必做：完成課本隨堂練習和習題。
選做：預習下一章節。2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（1）》導學案
一、自主學習
（一）知識回顧
解一元一次方程的一般步驟？
（二）創設情景
將一個底面直徑是20厘米,高為9厘米的“矮胖”形圓柱鍛壓成底面直徑為10厘米的“瘦長”形圓柱，高變成了多少？
（三）學習目標
1.讓學生通過分析實際問題中的“不變量”，建立方程解決問題。
⒉ 讓學生明白運用方程解決問題的關鍵是找到等量關系并建立數學模型。
⒊ 設未知數，正確求解，并驗明解的合理性。
⒋ 激發學生的學習情緒，讓學生在探索問題中學會合作。　
（四）自主學習
鍛造問題
【活動1】（學研展）
探究1：將一個底面直徑是20厘米,高為9厘米的“矮胖”形圓柱鍛壓成底面直徑為10厘米的“瘦長”形圓柱，高變成了多少？
鍛壓前 鍛壓后
底面半徑
高
體 積
根據題意填寫上方表格，并根據等量關系，列出方程：__________________
二、合作探究
（一） 鐵絲問題
【活動2】（研展評）
探究1：小明想用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形。
（1）使得這個長方形的長比寬多1.4米，此時長方形的長、寬各為多少米？
(2)使得該長方形的長比寬多0.8米，此時長方形的長、寬各為多少米？
師徒對研：先獨立思考，再進行師徒對研; 最后徒弟快速陳述，師傅補充修正。限時2分鐘。
(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，此時正方形的邊長是多少米？
結論：圍成_______________時面積最大
（二）擴展題
【活動3】（研展評）
探究2：小明的爸爸想用10米鐵線在墻邊圍成一個雞棚，使長比寬多4米，問小明要幫他爸爸圍成的雞棚的長和寬各是多少呢？
合作共研：先獨立思考，再進行組內共研。限時2分鐘
例1：要鍛造一個直徑為10厘米，高為8厘米的圓柱形毛坯，應截取直徑為8厘米的圓鋼多長？
例2：地球上的海洋面積為陸地面積的2.4倍，地球的表面積約為5.1億平方千米，求地球上的海洋面積和陸地面積（四舍五入到0.1億平方千米）。
例3 ：如圖所示，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為4厘米的長條后，在從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？
三、整理提升（理）
本節課你有哪些收獲？
【當堂檢測】（練）
必做：
一只直徑為90毫米的圓柱體玻璃杯中裝滿了水，把杯中的水倒入一個底面積為131 × 131毫米2、高為81毫米的長方體鐵盒中，當鐵盒裝滿水時，玻璃杯中水的高度大約下降了多少？（可以借助計算器）
【拓展訓練】
選做：
把一塊長、寬、高分別為5cm、3cm、3cm的長方體木塊，浸入半徑為4cm的圓柱形玻璃杯中（盛有水），水面將增高多少？（不外溢）2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（2）》導學案
一、自主學習
（一）知識回顧
1.鍛壓前體積 = 鍛壓后體積
2.列方程的關鍵是正確找出等量關系。
3.線段長度一定時，不管圍成怎樣的圖形，周長不變
4.長方形周長不變時，長方形的面積隨著長與寬的變化而變化，當長與寬相等時，面積最大。
（二）創設情景
今年小亮11歲，小亮的爸爸39歲，多少年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍？
（三）學習目標
1.一元一次方程解實際問題的關鍵步驟。
2.根據題意尋找“等量關系”。
3.拓展，培養創新意識。
（四）自主學習
【活動1】（學研展）
探究1：今年小亮11歲，小亮的爸爸39歲，多少年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍？
（1）這個問題中已知數是什么？未知數是什么？
（2）設x年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍，你能用代數式表示x年后小亮的年齡和爸爸的年齡嗎？試填寫下表：
小亮的年齡 爸爸的年齡
今年
X年后
在這個問題中有什么等量關系？你能利用問題中的等量關系列出方程嗎？與同伴進行交流。
總結：對比小穎和小明的做法，你發現了什么？
注意：列方程時，關鍵是找出問題中的等量關系
思考：
小穎和小明所列的方程正確嗎？
（2）他們分別根據什么等量關系列的方程？
二、合作探究
（一） 年齡問題
【活動2】（研展評）
探究1：(1)在上面的問題中，多少年前，小亮的年齡是爸爸年齡的 ？
合作共研：先獨立思考，再進行組內共研。限時2分鐘
(2)經過若干年后，小亮的年齡能等于爸爸年齡的 五分之四嗎 這個問題給你的啟發是什么？
師徒對研：先獨立思考，再進行師徒對研; 最后徒弟快速陳述，師傅補充修正。限時2分鐘。
（二）擴展題
【活動3】（研展評）
例1：
例2：某商場今年5月份的銷售額是200萬元，這比去年5月份銷售額的2倍少40萬元。去年5月份的銷售額是多少萬元？
三、整理提升（理）
本節課你有哪些收獲？
【當堂檢測】（練）
必做：
小明編了一道這樣的題：我是4月出生的，我的年齡的2倍加上8，正好是我出生那一月的總天數。你猜我有幾歲？請你求出小明的年齡。
2、某造紙廠為節約木材，大力擴大再生紙的生產，這家工廠去年、前年共生產再生紙3000t，已知去年的產量比前年的2倍還多150t。這家工廠前年生產再生紙多少噸？
【拓展訓練】
選做：
3、甲、乙兩隊開展足球對抗賽，規定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，甲隊與乙隊共進行了10場比賽，甲隊保持不敗記錄，一共得了22分，甲隊勝了多少場？平了多少場？2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（3）》導學案
（第三課時）
一、自主學習+合作探究
（一）知識回顧
1、列一元一次方程解應用題的一般步驟是什么？
2、說一說前面我們學習了哪幾種問題？
3、怎樣找問題中的等量關系？你有哪些體會？
（二）創設情境
喜歡秋游嗎？這節課我們就一起來看看秋游里的數學奧秘。
（三）學習目標
1、 能根據含有兩個等量關系的實際問題找到正確的等量關系，列出方程解決實際問題。（運算能力、推理能力）
2、 體驗建立方程模型解決問題的一般過程。（模型思想）
3、 通過學習，更加關注生活，增強應用數學的意識，從而激發學習數學的熱情。（應用意識）
（四）自主學習+合作探究
【活動1】自主學習，觀察思考：（學）
在班級秋游活動中，全體學生和老師共購買了45張門票，成人票每張15元，學生票每張10元，總票款為475元。你知道學生和老師的人數分別是多少嗎？
這個問題涉及哪些量？它們之間有怎樣的等量關系？
（2）設學生人數為x，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎？
有關量 學生 老師
人數
票款/元
（3）根據等量關系，你能列出怎樣的方程？
根據等量關系，可列出方程： 。
解這個方程，得x= 。
因此學生人數為 ，老師人數為 。
【活動2】（學展）
【問題】嘗試·交流：
（1）設學生票款為y元，你能根據哪個等量關系列出方程？請列出方程并解答。
（2）你還能列出不同的方程解決這個問題嗎？與同伴進行交流。
【活動3】合作探究（研展評）
例3 某學校為豐富“陽光體育”活動，現購進籃球和足球共16個，共花了2820元錢。已知籃球和足球的單價分別為185元、150元，那么籃球和足球各購進多少個？
（要求：先自主思考， 再小組交流。）
（提示：本題涉及哪些量？他們之間有怎樣的等量關系？如果設籃球購進x個，你能用含有x的代數式表示它們的數量關系嗎？）
【活動4】小試牛刀（練）
小明用172元錢買了兩種書，共10本，單價分別為18元、10元，每種書小明各買了多少本？
在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的桌子共16個，如果椅子腿數與桌子腿數加起來共60條，那么椅子和桌子各有多少個？
某工程隊共有55人，每人每天平均可挖土2.5m3,或運土3m3,為了合理分配勞力，使挖出的土及時運走，應分配挖土和運土的人數分別是多少？
二、整理提升
（一）課堂小結
【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
（二）達標檢測（練）
必做：
1.用鋁片做聽裝飲料瓶，現有150張鋁片，每張鋁片可制瓶身16張或制瓶底43張,一個瓶身和兩個瓶底可配成一套,設用x張鋁片制瓶身,則下面所列方程正確的是（　　）
A.2×16x=43(150﹣x) B.16x=43(150﹣x)
C.16x=2×43(150﹣x) D.16x=43(75﹣x)
2.成都市為減少霧霾天氣采取了多項措施,如對城區主干道進行綠化.現計劃把某一段公路的一側全部栽上銀杏樹,要求路的兩端各栽一棵,并且每兩棵樹的間隔相等.如果每隔5米栽1棵,則樹苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,則樹苗正好用完.設原有樹苗x棵,則根據題意列出方程正確的是（　　）
A.5(x+21﹣1)=6(x﹣1) B.5(x+21)=6(x﹣1)
C.5(x+21﹣1)=6x D.5(x+21)=6x
3.一份試卷共25道題，答對一題得4分，不答或答錯扣1分，請問在這次考試中，是否有學生的得分為83分，若有，那么他做對了多少道題？若沒有，請說明理由.
選做：
4.請根據圖中提供的信息,回答下列問題 :
（1）一個暖瓶與一個水杯分別是多少元
（2）甲、乙兩家商場同時出售同樣的暖瓶和水杯,為了迎接新年,兩家商場都在搞促銷活動,甲商場規定： 這兩種商品都打九折;乙商場規定：買一個暖瓶贈送一個水杯。若某單位想要買4個暖瓶和15個水杯，請問選擇哪家商場購買更合算，并說明理由.
作業設計
必做：
完成課本習題。
選做：
思考如何快速找準等量關系。2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（4）》導學案
（第四課時）
一、自主學習+合作探究
（一）知識回顧
列一元一次方程解決實際問題的基本思路是什么？
（二）創設情境
《九章算術》是我國古代的第一部自成體系的數學專著.其中的許多數學問題是世界上記載最早的.
例如它首先記錄了“盈不足”問題.“盈不足”問題，即盈虧問題，是指把一定數量的物品平均分給一定數量的人，若按某種標準分，則分配后有余（盈），按另一種標準分，分配后又會有不足（虧）的問題.
（三）學習目標
1.能列一元一次方程解決盈虧問題；(抽象能力、運算能力)
2.會用表格分析復雜問題中的數量關系，并體會盈虧問題未知數的不同設法；(推理能力、數據觀念)
3.進一步體會用一元一次方程解決實際問題的步驟.（模型思想、應用意識）
（四）自主學習+合作探究
【活動1】自主學習，觀察思考：（學）
《九章算術》“盈不足”章第一題:今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問:人數、物價各幾何
題目大意:幾個人合伙買東西,若每人出8錢,則會多出3錢;若每人出7錢,則還少4錢.合伙人數、物品的價格分別是多少
(1)問題中有哪些已知量和未知量 它們之間有怎樣的等量關系
(2)設人數為x,其他未知量能用含x的代數式表示嗎 請完成下表.
(3)設人數為x.
根據等量關系,列出方程:　　　　　　　.
解這個方程,得x=　　　　.
因此,人數為　　　　,物價為　　　　錢.
【活動2】（學展）
【問題】嘗試·交流：
如果設物價為y錢,你能列出怎樣的方程 與同伴進行交流.
【活動3】知識歸納（研展理）
小組歸納：利用一元一次方程解決“盈不足”問題的方法
【活動4】合作探究（研展評）
例4 《九章算術》“盈不足”章第五題:今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.問:人數、金價各幾何
題目大意:幾個人合伙買金,每人出400錢,會多出3400錢;每人出300錢,會多出100錢.合伙人數、金價各是多少
分析：設人數為x，你能把下表補充完整嗎？
（要求：先自主思考， 再小組交流。）
【活動5】思考·交流：（研展評）
(1)對于以上例題，如果設金價為y錢，能列出怎樣的方程
(2)對于以上例題,《九章算術》給出了一種算法:
人數=兩次剩余錢數之差÷兩次每人所出錢數之差;
物價=每人出的錢數×人數-剩余錢數。
你能理解這種解法嗎 與方程的求解過程相比，有什么不同 與同伴進行交流。
【活動6】方法歸納（研展評）
思考：你認為列一元一次方程解應用題的主要步驟有哪些？關鍵是什么？
【活動4】小試牛刀（練）
1.我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩:
“庭前孩童鬧如簇,不知人數不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齊足.”其大意是:孩童們在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4個梨,多12個梨;每人分6個梨,恰好分完.設梨有x個,則可列方程為　　　 　　.
2.《九章算術》里有一題大意:今有人合伙買玉石，每人出錢，會多出4錢；每人出錢，又差3錢.問：人數、玉石的價格各是多少？
3.某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》里這樣一首詩:我問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩中后兩句的意思是:如果每一間客房住7人,那么有7人無房住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.求該店有房客多少人.
二、整理提升
（一）課堂小結
【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
（二）達標檢測（練）
必做：
1.動物園的門票售價:成人票每張50元,兒童票每張30元.某日動物園售出門票700張,收入29 000元.設兒童票售出x張,根據題意可列出方程為( )
A.30x+50(700-x)=29 000 B.50x+30(700-x)=29 000
C.30x+50(700+x)=29 000 D.50x+30(700+x)=29 000
22.古代名著《孫子算經》中有一題:今有三人共車,二車空;二人共車,九人步.問人與車各幾何 設有車x輛,則根據題意,可列出方程是( )
A.3(x+2)=2x-9 B.3(x+2)=2x+9
C.3(x-2)=2x-9 D.3(x-2)=2x+9
3.某校組織七年級學生到江姐故里研學旅行,租用同型號客車4輛,還剩30人沒有座位;租用5輛,還空10個座位.求該客車的載客量.
選做：
4.某班舉行聯歡會，有x位師生，購買了y份禮品盒。若每人發3個，則還剩7份禮品盒；若每人發4個，則最后還缺24份禮品盒。下列5個方程符合題意的是( )
①3x＋7＝4x－24；②；③3x－7＝4x＋24；
④； ⑤3x＋7＝y。
A.①② B.①②⑤
C.①②③④⑤ D.③④⑤
作業設計
完成課本習題。2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（5）》第五課時導學案
（第五課時）
自主學習
知識回顧
1、列一元一次方程解應用題的基本步驟：
（1）審題（2）設未知數（3）列一元一次方程（4）解方程（5）檢驗（6）寫出答案
2、回顧前面所出現問題是怎樣找等量關系的？
3、說說前面所學“行程問題”的基本等量關系。
（二）創設情境
小明每天早上要在7:50之前趕到距家1000m的學校，一天，小明以80m/min的速度出發，5min后，小明的爸爸發現小明忘了帶語文書。于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多長時間？
（2）追上小明時距學校還有多遠？
（三）學習目標
1．正確理解“行程問題”各量之間的數量關系，路程=速度×時間.
2．能根據“行程問題”的等量關系，列方程解應用題．
3．學會用“線段法”分析實際問題中的等量關系．
（四）自主學習
預習課本，嘗試思考解決課本中的問題，并總結用一元一次方程解決實際問題的步驟。
二、合作探究
【活動探究一】直線追及問題（學）
小明每天早上要在7:50之前趕到距家1000m的學校，一天，小明以80m/min的速度出發，5min后，小明的爸爸發現小明忘了帶語文書。于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多長時間？追上小明時距學校還有多遠？
(1)問題中涉及哪些量 哪些是已知量 哪些是未知量
(2)想象一下追及的過程，你能用一個圖直觀表示問題中各個量之間的關系嗎
(3)你是怎樣列出方程的 與同伴進行交流。
（要求：先獨立思考，有問題及時請教同學，限時3分鐘）（研、展）
小試牛刀（練）：
小彬和小強每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4 m,小強每秒跑6 m。
(1)如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇
(2)如果小強站在百米跑道的起點處，小彬站在他前面10 m處，兩人同時同向起跑，經過幾秒小強能追上小彬
【活動探究二】環形跑道相遇問題（研、展）
例5 小明和小華兩人在400 m的環形跑道上練習長跑，小明每分鐘跑260 m,小華每分鐘跑300 m,兩人起跑時站在跑道同一位置。
(1)如果小明起跑后1min小華才開始跑，那么小華用多長時間能追上小明
(2)如果小明起跑后1 min小華開始反向跑，那么小華起跑后多長時間兩人首次相遇
（要求：先獨立思考，再徒弟先說，師傅訂正補充，時間3分鐘）
小試牛刀（練）：
1.在一個環形跑道上，小明從起點出發，每分鐘跑3圈，小紅從起點出發，每分鐘跑2圈，請問她們何時能再次相遇？
2.在一個環形跑道上，小明從起點出發，每分鐘跑3圈，小紅從起點的反方向出發，每分鐘跑2圈，請問她們何時能再次相遇？
【活動探究三】一元一次方程解決實際問題的步驟（研、展）
用一元一次方程解決實際問題的步驟是什么？與同伴交流。
三、整理提升
（理）1.直線相遇追及問題的解題方法是什么？
2.環形跑道相遇追及問題的解題方法是什么？
3.一元一次方程解決實際問題的步驟是什么？
當堂檢測（練）
必做：
1.育英學校六年級學生步行到郊外旅行。六(1)班的學生組成前隊，步行速度為4 km/h,六(2)班的學生組成后隊，速度為6 km/h。前隊出發1 h后，后隊才出發，同時后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯絡，他騎車的速度為12 km/h。
(1)后隊出發后，經過多長時間可以追上前隊
(2)聯絡員出發后追上前隊時，距離后隊有多遠
2.今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸;屈繩量之，不足一尺。問:幾何 (選自《孫子算經》)
題目大意:有一根木材，不知道它的長度，用一根繩子來量，繩子長出4尺5寸;將這根繩子對折來量，繩子差1尺。這根木材有多長
選做：
一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35 km/h的速度前進。突然，1號隊員加快速度，以45 km/h的速度獨自行進，行進10 km后掉轉車頭，仍以45 km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合。1號隊員從離隊開始到與其他隊員重新會合，經過了多長時間
作業設計
必做：完成課本隨堂練習和習題。
選做：完成本節課思維導圖。2025初中六年級下冊數學第七章《相交線與平行線》第一節《兩條直線的位置關系》導學案（第一課時）
一、自主學習＋合作探究
（一）知識回顧
同學們，你知道平面內兩直線的位置關系有哪兩種嗎？ 和 。
（二）創設情境
1.播放公益廣告：《筷子篇》
一雙筷子不僅是一種餐具，更代表了中國文化，它象征著文明、禮儀、團圓，幸福，希望同學們將這種文化和情感傳承下去。
2.提出問題：請同學們觀察生活，我們日常在使用筷子過程中，兩根筷子的擺放位置可能出現哪些情形？
學生活動：一生黑板展示，余下學生同桌利用手中的兩支筆，擺一擺，說一說。
（三）學習目標
1. 能夠通過具體事例了解在同一平面內兩條直線的位置關系。（抽象能力、幾何直觀）
2. 在兩直線的位置關系的基礎上理解對頂角、余角、補角的概念，掌握對頂角、余角、補角的性質。 （空間觀念、推理能力）
3.能靈活應用對頂角，余角，補角的性質解決數學問題，并進行簡單的有條理的表達。 （應用意識）
（四）自主學習＋合作探究
【活動1】自主學習課本66頁上半部分，完成下列問題。(學)
1.相交線定義：若兩條直線_______________，我們稱這兩條直線為相交線。
2.平行線定義：在_______平面內，_______的兩條直線叫做平行線。
3.說一說生活中有關直線相交和平行的現象。（研，展）
4.火眼金睛 判斷正誤：（練）
（1）在同一平面內，不相交的兩條線段是平行線。( ）
（2）沒有公共點的兩條直線是平行線。( )
【活動2】（學研展）
【問題】對頂角（提示：善于歸納，結合抽象出的圖形，總結形成概念）
如圖，直線AB與CD相交于點O，那么∠1與∠2的位置有什么關系？它們的
大小有什么關系？為什么？
發現1：∠1與∠2的位置關系(學)
對頂角的定義：
如圖，直線AB與CD相交于點O，∠1與∠2有___________，它們的兩邊________________，這樣的兩個角叫做_______。
發現2：∠1與∠2的大小關系（有幾種驗證方法？）(研展)
方法1：______________；方法2：_____________；
方法3：因為∠1+∠3=_____°，∠2+∠3=______°，則∠1+____=∠2+____，
所以______=______。
對頂角的性質：______________________。
小試牛刀：（練）
1.下列各圖中，∠1與∠2互為對頂角的是( )。
2.如圖所示，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器量出這個扇形零件的圓心角度數為____，測量原理為：_________。
【活動3】補角、余角的定義及性質（學，展，評）
（一）互余、互補的定義（學）
互為余角：如果_____________，那么稱這兩個角_________。
互為補角: 如果_____________，那么稱這兩個角_________。
幾何語言：（展）
∵∠1＋∠3=______°，∴∠1與∠3______。
∵∠α＋∠β=______°，∴∠α與∠β______。
注意：互余互補只與兩個角的數量有關，與位置無關。（評）
乘風破浪（練）
填寫下面表格：
∠α ∠α的余角 ∠α的補角
70°
95°
x°（0°判斷正誤：
1.若∠1+∠2+∠3=180 ,則∠1，∠2，∠3互補。 ( )
2.互為補角的兩個角一定是一個銳角一個鈍角。 ( )
3.一個銳角的補角比它的余角大90°。 ( )
(二)余角、補角的性質
1.補角的性質：（學，評）
如圖，打臺球時，選擇適當的方向用白球擊打紅球，反彈后的紅球想直接入袋，
需要滿足∠1=∠2。
思考下列問題：
問題1：∠1的補角是__________，∠2的補角是_________。
問題2：∠AOC與∠BOD有什么關系 為什么？
歸納總結：補角的性質：_____________________________。
2.余角的性質：（研，展，評）
如圖，ON與DC相交所成的∠DON =∠CON= 90°，
且∠1=∠2。
(類比“補角性質”的探究思路，小組交流以下問題：)
問題1：∠1的余角是________，∠2的余角是_________。
問題2：∠3與∠4有什么關系？為什么？
因為∠DON =∠CON= 90°
所以∠1+____=90°，∠2+____=90°，
所以∠1+____=∠2+____。
因為∠1=∠2，
所以____=_____。
發現1：_________________。
若把探究過程中的∠2換成∠1，你能得到∠3與∠4有什么關系？
發現2：_________________。
問題3：你能得到什么結論？
歸納總結：余角的性質：___________________________。
（要求：先獨立思考后，徒弟先說，師傅訂正補充，時間3分鐘）
大顯身手：（練）
填空：
1.若∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3，則_____=_____。理由：________________。
2. 如圖，在電線桿C處引兩根拉線固定電線桿，若∠1+∠2=90°，∠1+
∠3=90°，那么∠2 =____。理由_________________。
二、整理提升（理）
1.【自主盤點】根據導學案的內容回顧梳理本節課的內容。
2.【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。
達標檢測,評價反饋（練）
必做：
1.如圖，直線AB,CD相交于點o，∠1=38°，求∠2，∠3，∠4的度數。
2.在長方形的臺球桌上，∠1＋∠3=90°∠2=∠3。如果∠2=58°，求∠1等于多少度？
選做：
以臺球桌面為背景，自編題目并解答
作業設計
鞏固性作業：完成課本隨堂練習2和習題4。
拓展性作業：根據本節課所學內容制作思維導圖。
平行線教會我們獨立思考，相交線教會我們合作與交流。希望同學們在追求夢想的道路上，既有平行線的堅定，又有相交線的精彩。2025初中六年級下冊數學第七章《相交線與平行線》第一節《兩條直線的位置關系》導學案（第二課時）
一、自主學習+合作探究
（一）知識回顧
1.平行線和相交線的定義
2.互余、互補的定義
3.余角、補角的性質
（二）創設情景：（學）
觀察下面圖片,你能找出其中相交的直線嗎 它們有什么特殊的位置關系
日常生活中，如圖中的兩條直線的關系很常見，你能再舉出其他例子嗎？
（三）學習目標
1.能通過具體情境說出并掌握垂直和垂線的概念.
2.學會用三角板或利用方格紙畫一條直線的垂線.
3.理解“垂線的性質”“垂線段最短的性質”以及點到直線的距離.
（四）自主學習+合作探究：
探究一：垂直的定義與表示（獨立思考，師徒對研，時間3分鐘）（學研展）
想一想：兩條相交直線在什么情況下是垂直的？
1.如圖，若∠1=60°，那么∠2=_____、∠3=_____、∠4=______.
2.改變圖中∠1的大小，若∠1=90°,則∠2= _____ ，∠3= ______ ，∠4=________ ，這時兩條直線的關系是________ .
閱讀課本69--70頁內容，完成下列問題：
(1)垂直的定義：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是_______，那么稱這兩條直線_______.其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做_______.
(2)垂直的表示方法：“直線AB與CD垂直，交于點O”，記作：AB____CD于點O；如果用____,m表示這兩條直線，那么“直線_____與 m 垂直，交于點O”，記作：______m 于點O.
思考.交流（獨立思考，小組合作，時間5分鐘）（學研展）
如圖，O為直線AB上一點，∠AOC=∠BOC，那么OC與AB垂直嗎 為什么
以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎 你知道她每一步的依據嗎
由∠AOC＝∠BOC，且∠AOC+∠BOC＝180°，
可得∠AOC＝∠BOC=90°，
所以OC⊥AB.
如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC嗎 為什么 與同伴進行交流。
練一練（練）
1、下面四種判定兩條直線垂直的方法，正確的有（ ）個
（1）兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直
（2）兩條直線相交，只要有一組鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直
（3）兩條直線相交，所成的四個角相等，這兩條直線互相垂直
（4）兩條直線相交，有一組對頂角互補，則這兩條直線互相垂直
（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1
2.如圖，C為直線 AB上一點，過點C引兩條射線 CE，CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°.那么CE，CD的位置關系是什么 為什么
探究二：垂線的畫法
（學研展）
(1)你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看！
(2)如果只有直尺，你能在方格紙上畫出已知直線的垂線嗎？你還能再畫出兩條互相垂直的直線嗎？
探究三：垂線的性質和點到直線的距離
（獨立思考，同桌對研，時間5分鐘）（學研展）
嘗試.思考：(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條
(2)如圖，點A在直線l上, 你能用三角板過點A畫直線l的垂線嗎？你能畫出多少條
(3)如圖，點A在直線l外, 過點A畫直線l的垂線，
你能畫出多少條呢
知識歸納（評）
垂線的性質1：
如圖所示，P是直線l外一點,PO⊥l,點O是垂足.點A,B,C在直線l上,比較線段PO,PA,PB,PC的長短,你發現了什么
知識歸納（評）
垂線的性質2：
鞏固練習：（練）
1.如圖所示，在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.
若AC=4 cm,BC=3 cm,AB=5 cm,則點A到直線BC的距離為________　cm,點B到直線AC的距離為______cm,點C到直線AB的距離為______　cm.
2. P為直線m外一點，A,B,C為直線m上的三點，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,則點P到直線m的距離 (　　)
A.等于4cm B.等于2cm C.小于2cm D.不大于2cm
二、整理提升（理）
(一）課堂小結，畫出本節課思維導圖。
（二）當堂檢測：（練）
必做
1.如圖所示，直線AB，CD相交于點O，下列條件中，不能說明AB⊥CD的是(　　)
A.∠AOD=90° B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC+∠BOD=180°D.∠AOC+∠BOD=180°
2.如圖所示,已知點O在直線AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,則∠3的度數為　__________ .
3.如圖所示，單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處.他們的做法是:過點C作CD⊥l于點D,將水泵房建在了D處.這樣做最節省水管,其數學道理是　________________　　.
選做.
1.如圖所示，過點A畫CB的垂線,并指出哪條線段的長度表示點A到直線CB的距離.
2.如圖所示，直線AB，CD，EF都經過點O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度數.2025初中六年級下冊數學第七章《相交線與平行線》第二節《探索直線平行的條件》導學案（第一課時）
一、自主學習
（一）知識回顧
同一平面內兩直線的位置關系：
在同一平面內 有一個交點
沒有交點
的兩直線叫做平行線。
其實，咱們的勞動人民是智慧的，對于找兩直線平行的條件，請看咱們的裝修工人是怎么做的.
（二）創設情境
思考：如圖，裝修工人正在向墻上釘木條。如果木條b與墻壁邊緣垂直，那么木條a與墻壁邊緣所夾角是多少度時，才能使木條a與木條b平行？實際問題中在判斷兩根木條平行時，借助了墻壁作為參照，你能將上述問題抽象為數學問題嗎？試著畫出圖形，并結合圖形說明.
（三）學習目標
1.能夠通過具體事例掌握同位角的概念，理解并掌握直線平行的條件，會用三角尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線，掌握平行公理及其推論，能夠運用其解決實際問題；（抽象能力、幾何直觀）
2.經歷對具有平行特征的圖形進行觀察、操作、想象、推理、交流等活動，進一步發展空間觀念、推理能力和有條理表達的能力；（空間觀念、推理能力）
3.增強探索數學奧秘的興趣和好奇心，通過平行的實例感受數學與生活的緊密聯系。（應用意識）
（四）自主學習
【活動1】觀察∠1， ∠2大小與直線的位置關系（學展評）
（要求：先獨立思考，再限組內5-6號回答。時間：1分鐘）
觀察∠1， ∠2大小關系以及直線a與b的位置關系
當∠1 ∠2，直線a與b ；
當∠1 ∠2，直線a與b ；
當∠1 ∠2，直線a與b 。
二、合作探究
【活動2】同位角的概念與形狀特征（學研展評）
（要求：先獨立思考， 組內共研。由3、4號快速陳述，1、2號補充修正。時間5分鐘）
【問題】1.直線AB，CD被直線EF所截，構成了____個角。
2.探究∠1與∠2的位置關系。
①在截線EF的（ ）
②在被截線AB、CD的（ ）
具有∠1與∠2這樣位置關系的角稱為同位角.
3.用自己的話總結同位角的概念。
4.圖中的同位角還有哪些？
5.同位角形狀上有什么特征呢？（提示：同位角從復雜的圖形里抽出來的）
教師通過動畫演示從復雜圖形中抽離出同位角使問題更直觀化。（評）
當堂練習（練）
1. 如圖中的∠1和∠2是同位角嗎 為什么
2.如圖，∠1和∠2不能構成同位角的圖形是（ ）
回到兩直線平行的判斷上來,當∠1和∠2相等時，兩直線 ，即得到：
判斷兩直線平行的方法：
【活動3】用三角尺和直尺畫平行線（學研展評）
（要求：先獨立思考，再組內共研。時間：5分鐘）
用心感悟：用三角尺和直尺畫平行線的方法，
在畫圖過程中，三角尺起著什么樣的作用？
教師通過動畫演示用三角尺和直尺畫過直線外一點作已知直線的平行線，使操作更直觀化。（評）
【活動4】平行公理及其推論（學研展評）
（要求：先自主思考，徒弟有問題及時請教師傅。時間：3分鐘）
根據要求畫出圖形，再探究性質.
（1）你能過直線AB外一點P畫直線AB的平行線嗎？能畫出幾條？
（2）在下圖中，分別過點C，D畫直線AB的平行線EF，GH。EF與GH有怎樣的位置關系？
根據畫出圖形，你得出什么結論？
當堂練習（練）
1.如圖，直線a,b,c被直線m,n所截，且∠1=∠2，
∠3+∠4=180°，那a與b平行嗎？請說明理由。
（要求：先獨立思考再師徒共研，時間3分鐘）
3、整理提升
（一）課堂小結
【自主盤點】總結本節課學到的知識點和需要注意的地方。（理）
【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
（二）達標檢測（練）
必做：
1. ∠1的同位角有哪些？
2. 找出下面點陣圖中互相平行的線段，并說明理由.（點陣中相鄰的四個點構成正方形）
3.如圖，已知AD平分∠CAE，∠B=∠1,試說明：AD∥BC
選做：
4.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD AB于D,E,F分別為AB，AC上的點，且∠AFE=∠B,試說明EF∥CD
【作業設計】
必做：完成課本隨堂練習和習題。
選做：完成本節課思維導圖。2025初中六年級下冊數學第七章《相交線與平行線》第二節《探索直線平行的條件》導學案（第二課時）
（第二課時）
一、自主學習+合作探究
（一）知識回顧
1.∠1與∠2都是 ，
圖形特征：形如 。
2.從∠5= ，可以推出AB∥CD，
理由 。
（二）創設情境
小明有一塊小畫板，他想知道它的上下邊緣CD與EF是否平行，于是，他在兩個邊緣之間畫了一條線段AB。小明只有一個量角器，他通過測量某些角的大小就能知道這個畫板的上下邊緣是否平行，你知道他是怎樣做的嗎？
（三）學習目標
1.知道內錯角和同旁內角的概念，會識別幾何圖形中的內錯角與同旁內角。由內錯角與同旁內角的關系，判定兩直線平行。（抽象能力、幾何直觀）
2.經歷對具有平行特征的圖形進行觀察、操作、推理、交流等活動，進一步發展空間觀念、推理能力和有條理表達的能力。（空間觀念、推理能力）
3.增強探索數學奧秘的興趣和好奇心，通過平行的實例感受數學與生活的緊密聯系。（應用意識）
（四）自主學習+合作探究
【活動1】內錯角和同旁內角的概念與形狀特征（學研展）
（要求：先獨立思考，再師徒共研。時間：6分鐘）
【問題】1.直線AB與CD被EF所截，觀察∠3與∠5，有怎樣的位置關系？
∠3與∠5 同在被截線AB、CD_____，在截線EF_____側。我們把有∠3與∠5這種特征的 角叫做內錯角。
2.你還能找出其他的內錯角嗎？
3.內錯角呈 形。（提示：簡化圖形，只保留目標角的邊，位置關系就一目了然）
4.直線AB與CD被EF所截，∠3與∠6，有怎樣的位置關系？
∠3與∠6同在被截線AB、CD_____，在截線EF_____側。我們把有∠3與∠5這種特征的角叫做同旁內角。
5.你還能找出其他的同旁內角嗎？
6.同旁內角呈 形。
（提示：善于歸納，結合抽象出的圖形，總結形成概念）
教師通過動畫演示從復雜圖形中抽離出內錯角和同旁內角使問題更直觀化。（展評）
【活動2】比較同位角、內錯角、同旁內角（學展評）
（要求：先獨立思考，限號4、5、6號回答。時間3分鐘）
生活中的數學：三線八角手勢
當堂練習（練）
1.如圖，直線DE,BC被直線AB所截. ∠1與∠2， ∠1和∠3，
∠1和∠4各是什么角？
2.（1）如圖1,若ED,BF被AB所截,則∠1與____是同位角.
（2）如圖2,若ED,BC被AF所截,則∠3與___ 是內錯角.
(3)∠1與∠3是AB和AF被_____所截構成的 角；
(4)∠2與∠4是 和 被BC所截構成的____角.
【活動3】探究內錯角、同旁內角與直線平行的關系（學研展評）
（要求：先自主思考，組內談論，由3、4號快速陳述，1、2號補充修正。時間：8分鐘）
【問題1】如果兩條直線被第三條直線所截，那么能否利用內錯角來判定兩條直線平行呢？
如圖，由∠3= ∠2，可推出a//b嗎？如何推出？
結論：
幾何語言：
【問題2】如果兩條直線被第三條直線所截，那么能否利用同旁內角來判定兩條直線平行呢？如圖，如果∠1+∠2=180°，你能判定a//b嗎
結論：
幾何語言：
總結：證明直線平行的4種方法
1.
2.
3.
4.
當堂練習（練）
1.如圖三個相同的三角尺拼成一個圖形，請找出圖中的一組平行線，并說明你的理由。
2.根據條件完成填空：
（1）∵∠1= （已知）
∴AB//CE（內錯角相等，兩直線平行）
（2）∵∠1+ =180°（已知）
∴CD//BF（ ）
（3）∵∠4+ =180°（已知）
∴CE//AB（ ）
（4）∵∠2=∠4（已知）
∴ // （ ）
【活動4】尺規作圖（學研展評）
（要求：先自主思考，再組內談論。時間：5分鐘）
某公園現有兩條直道AB和CD交于O,為方便游客觀賞，公園管理部門決定過直道CD上的點P,再修建一條直道MN，并使MN與AB平行，你能在圖中畫出直道MN嗎？
（1）過點P的直線有多少條？
（2）滿足什么條件的直線才能與AB平行？
進一步思考
已知點P在直線AB外，用尺規作直線MN，使MN經過點P，且MN//AB
二、整理提升
（一）課堂小結
【自主盤點】總結本節課學到的知識點和需要注意的地方。（理）
【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
（二）達標檢測
必做：
1.已知，如圖，直線AB，CD被直線ED所截，∠1=130°，∠2=50°。
求證：AB∥CD（請用三種方法證明）
2.如圖所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF嗎？
選做：
3. 如圖，EF平分∠BEG，GF平分∠DGE，若∠1+∠2=90°，猜測AB、CD的位置關系，并說明理由。
【作業設計】
必做：完成課本隨堂練習和習題。
選做：完成本節課思維導圖。2025六年級下冊數學第六章《一元二次方程》第二節《一元二次方程的解法》導學案（第三課時）
一、自主學習
（一）知識回顧
1.等式的基本性質是什么？
2.去括號法則是什么？
3.解方程2x+6=1的步驟是什么？
（二）創設情境
小穎在超市買了1袋牛奶和4瓶礦泉水,她付給售貨員20元,售貨員找回3元.已知1瓶礦泉水比1袋牛奶貴0.5元,你能算出1袋牛奶多少錢嗎
你用的什么方法解決這個實際問題 直接計算方便嗎
（三）學習目標
1.正確理解和使用去括號法則；（推理能力）
2.會解含有括號的一元一次方程；（運算能力）
3.嘗試從不同的角度，用不同的方法有效地解方程，并能評價不同方法之間的差異。
（四）自主學習
【活動1】自主學習，思考題目中有哪些量 這些量之間有什么樣的等量關系，請列出方程.（學）
【活動2】探究用去括號解一元一次方程
1.解方程 4(x+0.5)+x=20-3
解：去括號，得
移項，得
合并同類項，得
方程兩邊同除以 ，得
二、合作探究
【活動3】師徒對研 （研、展）
思考:通過以上解方程的過程,你能總結出解含括號的一元一次方程的一般步驟嗎
【歸納】：（評）
1. 。
2. 。
3. 。
4. 。
精講精練：（練）
1.解方程：
（1）4x-3（20-x）=3 （2）11x+1=5（2x+1）
2.解方程:-2(x-1)=4（提示與要求：嘗試兩種解法）
解法一：
解法二：（溫馨提示-------將“x-1”看成一個整體，運用“整體”的數學思想方法）
【活動4】 小組共研（研、展）
觀察例題兩種解方程的方法,說出它們的區別,并與同學們進行交流.
【歸納】：（評）
去括號的規律:去括號,看符號;是“+”, ;是“-”, .
學以致用,鞏固新知（練）
1.若x=-3是關于x的方程m(x+4)-x-2m=5的解,則m的值是(　 　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5
2.解下列方程
　　(1)　-3(x-5)＝6； (2)　2(3-x)＝9。
三、整理提升
1.【自主盤點】結合“知識復盤表”，請你想一想，小組內說一說每個時間段的學習任務和學習活動。（理）
2.【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
當堂評價,爭奇斗艷（練）
必做：
1.判斷下列解方程 是否正確？若有錯誤請改正。
（1）解方程：4-（3-2x）=3
解：去括號，得 4-3-2x=3
合并同類項，得 -2x=2
兩邊同除以-2，得 x=-1 （ ）
（2）解方程：3（x-1）=5
解：去括號，得 3x-1=5
合并同類項，得 3x=6
兩邊同除以3，得 x=2 （ ）
2.解方程
（1）5（x-1）=1 （2） 2-（1-x）=-2 （3）4x-3（20-x）=3
3.用兩種方法解方程：
-4（1-x）=12
解：法一 ： 法二：
選做：
4.（1） （x-3）=2-（x-3）
（2）若x=1是方程m（x-1）-3（x+m）=0的解，求m的值。
作業設計
必做：完成課本隨堂練習和習題。
選做：預習下一章節。2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（1）》導學案
一、自主學習
（一）知識回顧
解一元一次方程的一般步驟？
（二）創設情景
將一個底面直徑是20厘米,高為9厘米的“矮胖”形圓柱鍛壓成底面直徑為10厘米的“瘦長”形圓柱，高變成了多少？
（三）學習目標
1.讓學生通過分析實際問題中的“不變量”，建立方程解決問題。
⒉ 讓學生明白運用方程解決問題的關鍵是找到等量關系并建立數學模型。
⒊ 設未知數，正確求解，并驗明解的合理性。
⒋ 激發學生的學習情緒，讓學生在探索問題中學會合作。　
（四）自主學習
鍛造問題
【活動1】（學研展）
探究1：將一個底面直徑是20厘米,高為9厘米的“矮胖”形圓柱鍛壓成底面直徑為10厘米的“瘦長”形圓柱，高變成了多少？
鍛壓前 鍛壓后
底面半徑
高
體 積
根據題意填寫上方表格，并根據等量關系，列出方程：__________________
二、合作探究
（一） 鐵絲問題
【活動2】（研展評）
探究1：小明想用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形。
（1）使得這個長方形的長比寬多1.4米，此時長方形的長、寬各為多少米？
(2)使得該長方形的長比寬多0.8米，此時長方形的長、寬各為多少米？
師徒對研：先獨立思考，再進行師徒對研; 最后徒弟快速陳述，師傅補充修正。限時2分鐘。
(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，此時正方形的邊長是多少米？
結論：圍成_______________時面積最大
（二）擴展題
【活動3】（研展評）
探究2：小明的爸爸想用10米鐵線在墻邊圍成一個雞棚，使長比寬多4米，問小明要幫他爸爸圍成的雞棚的長和寬各是多少呢？
合作共研：先獨立思考，再進行組內共研。限時2分鐘
例1：要鍛造一個直徑為10厘米，高為8厘米的圓柱形毛坯，應截取直徑為8厘米的圓鋼多長？
例2：地球上的海洋面積為陸地面積的2.4倍，地球的表面積約為5.1億平方千米，求地球上的海洋面積和陸地面積（四舍五入到0.1億平方千米）。
例3 ：如圖所示，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為4厘米的長條后，在從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？
三、整理提升（理）
本節課你有哪些收獲？
【當堂檢測】（練）
必做：
一只直徑為90毫米的圓柱體玻璃杯中裝滿了水，把杯中的水倒入一個底面積為131 × 131毫米2、高為81毫米的長方體鐵盒中，當鐵盒裝滿水時，玻璃杯中水的高度大約下降了多少？（可以借助計算器）
【拓展訓練】
選做：
把一塊長、寬、高分別為5cm、3cm、3cm的長方體木塊，浸入半徑為4cm的圓柱形玻璃杯中（盛有水），水面將增高多少？（不外溢）2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（2）》導學案
一、自主學習
（一）知識回顧
1.鍛壓前體積 = 鍛壓后體積
2.列方程的關鍵是正確找出等量關系。
3.線段長度一定時，不管圍成怎樣的圖形，周長不變
4.長方形周長不變時，長方形的面積隨著長與寬的變化而變化，當長與寬相等時，面積最大。
（二）創設情景
今年小亮11歲，小亮的爸爸39歲，多少年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍？
（三）學習目標
1.一元一次方程解實際問題的關鍵步驟。
2.根據題意尋找“等量關系”。
3.拓展，培養創新意識。
（四）自主學習
【活動1】（學研展）
探究1：今年小亮11歲，小亮的爸爸39歲，多少年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍？
（1）這個問題中已知數是什么？未知數是什么？
（2）設x年后爸爸的年齡是小亮年齡的3倍，你能用代數式表示x年后小亮的年齡和爸爸的年齡嗎？試填寫下表：
小亮的年齡 爸爸的年齡
今年
X年后
在這個問題中有什么等量關系？你能利用問題中的等量關系列出方程嗎？與同伴進行交流。
總結：對比小穎和小明的做法，你發現了什么？
注意：列方程時，關鍵是找出問題中的等量關系
思考：
小穎和小明所列的方程正確嗎？
（2）他們分別根據什么等量關系列的方程？
二、合作探究
（一） 年齡問題
【活動2】（研展評）
探究1：(1)在上面的問題中，多少年前，小亮的年齡是爸爸年齡的 ？
合作共研：先獨立思考，再進行組內共研。限時2分鐘
(2)經過若干年后，小亮的年齡能等于爸爸年齡的 五分之四嗎 這個問題給你的啟發是什么？
師徒對研：先獨立思考，再進行師徒對研; 最后徒弟快速陳述，師傅補充修正。限時2分鐘。
（二）擴展題
【活動3】（研展評）
例1：
例2：某商場今年5月份的銷售額是200萬元，這比去年5月份銷售額的2倍少40萬元。去年5月份的銷售額是多少萬元？
三、整理提升（理）
本節課你有哪些收獲？
【當堂檢測】（練）
必做：
小明編了一道這樣的題：我是4月出生的，我的年齡的2倍加上8，正好是我出生那一月的總天數。你猜我有幾歲？請你求出小明的年齡。
2、某造紙廠為節約木材，大力擴大再生紙的生產，這家工廠去年、前年共生產再生紙3000t，已知去年的產量比前年的2倍還多150t。這家工廠前年生產再生紙多少噸？
【拓展訓練】
選做：
3、甲、乙兩隊開展足球對抗賽，規定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，甲隊與乙隊共進行了10場比賽，甲隊保持不敗記錄，一共得了22分，甲隊勝了多少場？平了多少場？2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（3）》導學案
（第三課時）
一、自主學習+合作探究
（一）知識回顧
1、列一元一次方程解應用題的一般步驟是什么？
2、說一說前面我們學習了哪幾種問題？
3、怎樣找問題中的等量關系？你有哪些體會？
（二）創設情境
喜歡秋游嗎？這節課我們就一起來看看秋游里的數學奧秘。
（三）學習目標
1、 能根據含有兩個等量關系的實際問題找到正確的等量關系，列出方程解決實際問題。（運算能力、推理能力）
2、 體驗建立方程模型解決問題的一般過程。（模型思想）
3、 通過學習，更加關注生活，增強應用數學的意識，從而激發學習數學的熱情。（應用意識）
（四）自主學習+合作探究
【活動1】自主學習，觀察思考：（學）
在班級秋游活動中，全體學生和老師共購買了45張門票，成人票每張15元，學生票每張10元，總票款為475元。你知道學生和老師的人數分別是多少嗎？
這個問題涉及哪些量？它們之間有怎樣的等量關系？
（2）設學生人數為x，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎？
有關量 學生 老師
人數
票款/元
（3）根據等量關系，你能列出怎樣的方程？
根據等量關系，可列出方程： 。
解這個方程，得x= 。
因此學生人數為 ，老師人數為 。
【活動2】（學展）
【問題】嘗試·交流：
（1）設學生票款為y元，你能根據哪個等量關系列出方程？請列出方程并解答。
（2）你還能列出不同的方程解決這個問題嗎？與同伴進行交流。
【活動3】合作探究（研展評）
例3 某學校為豐富“陽光體育”活動，現購進籃球和足球共16個，共花了2820元錢。已知籃球和足球的單價分別為185元、150元，那么籃球和足球各購進多少個？
（要求：先自主思考， 再小組交流。）
（提示：本題涉及哪些量？他們之間有怎樣的等量關系？如果設籃球購進x個，你能用含有x的代數式表示它們的數量關系嗎？）
【活動4】小試牛刀（練）
小明用172元錢買了兩種書，共10本，單價分別為18元、10元，每種書小明各買了多少本？
在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的桌子共16個，如果椅子腿數與桌子腿數加起來共60條，那么椅子和桌子各有多少個？
某工程隊共有55人，每人每天平均可挖土2.5m3,或運土3m3,為了合理分配勞力，使挖出的土及時運走，應分配挖土和運土的人數分別是多少？
二、整理提升
（一）課堂小結
【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
（二）達標檢測（練）
必做：
1.用鋁片做聽裝飲料瓶，現有150張鋁片，每張鋁片可制瓶身16張或制瓶底43張,一個瓶身和兩個瓶底可配成一套,設用x張鋁片制瓶身,則下面所列方程正確的是（　　）
A.2×16x=43(150﹣x) B.16x=43(150﹣x)
C.16x=2×43(150﹣x) D.16x=43(75﹣x)
2.成都市為減少霧霾天氣采取了多項措施,如對城區主干道進行綠化.現計劃把某一段公路的一側全部栽上銀杏樹,要求路的兩端各栽一棵,并且每兩棵樹的間隔相等.如果每隔5米栽1棵,則樹苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,則樹苗正好用完.設原有樹苗x棵,則根據題意列出方程正確的是（　　）
A.5(x+21﹣1)=6(x﹣1) B.5(x+21)=6(x﹣1)
C.5(x+21﹣1)=6x D.5(x+21)=6x
3.一份試卷共25道題，答對一題得4分，不答或答錯扣1分，請問在這次考試中，是否有學生的得分為83分，若有，那么他做對了多少道題？若沒有，請說明理由.
選做：
4.請根據圖中提供的信息,回答下列問題 :
（1）一個暖瓶與一個水杯分別是多少元
（2）甲、乙兩家商場同時出售同樣的暖瓶和水杯,為了迎接新年,兩家商場都在搞促銷活動,甲商場規定： 這兩種商品都打九折;乙商場規定：買一個暖瓶贈送一個水杯。若某單位想要買4個暖瓶和15個水杯，請問選擇哪家商場購買更合算，并說明理由.
作業設計
必做：
完成課本習題。
選做：
思考如何快速找準等量關系。2025六年級下冊數學第六章《一元一次方程》第三節《一元一次方程的應用（4）》導學案
（第四課時）
一、自主學習+合作探究
（一）知識回顧
列一元一次方程解決實際問題的基本思路是什么？
（二）創設情境
《九章算術》是我國古代的第一部自成體系的數學專著.其中的許多數學問題是世界上記載最早的.
例如它首先記錄了“盈不足”問題.“盈不足”問題，即盈虧問題，是指把一定數量的物品平均分給一定數量的人，若按某種標準分，則分配后有余（盈），按另一種標準分，分配后又會有不足（虧）的問題.
（三）學習目標
1.能列一元一次方程解決盈虧問題；(抽象能力、運算能力)
2.會用表格分析復雜問題中的數量關系，并體會盈虧問題未知數的不同設法；(推理能力、數據觀念)
3.進一步體會用一元一次方程解決實際問題的步驟.（模型思想、應用意識）
（四）自主學習+合作探究
【活動1】自主學習，觀察思考：（學）
《九章算術》“盈不足”章第一題:今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問:人數、物價各幾何
題目大意:幾個人合伙買東西,若每人出8錢,則會多出3錢;若每人出7錢,則還少4錢.合伙人數、物品的價格分別是多少
(1)問題中有哪些已知量和未知量 它們之間有怎樣的等量關系
(2)設人數為x,其他未知量能用含x的代數式表示嗎 請完成下表.
(3)設人數為x.
根據等量關系,列出方程:　　　　　　　.
解這個方程,得x=　　　　.
因此,人數為　　　　,物價為　　　　錢.
【活動2】（學展）
【問題】嘗試·交流：
如果設物價為y錢,你能列出怎樣的方程 與同伴進行交流.
【活動3】知識歸納（研展理）
小組歸納：利用一元一次方程解決“盈不足”問題的方法
【活動4】合作探究（研展評）
例4 《九章算術》“盈不足”章第五題:今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.問:人數、金價各幾何
題目大意:幾個人合伙買金,每人出400錢,會多出3400錢;每人出300錢,會多出100錢.合伙人數、金價各是多少
分析：設人數為x，你能把下表補充完整嗎？
（要求：先自主思考， 再小組交流。）
【活動5】思考·交流：（研展評）
(1)對于以上例題，如果設金價為y錢，能列出怎樣的方程
(2)對于以上例題,《九章算術》給出了一種算法:
人數=兩次剩余錢數之差÷兩次每人所出錢數之差;
物價=每人出的錢數×人數-剩余錢數。
你能理解這種解法嗎 與方程的求解過程相比，有什么不同 與同伴進行交流。
【活動6】方法歸納（研展評）
思考：你認為列一元一次方程解應用題的主要步驟有哪些？關鍵是什么？
【活動4】小試牛刀（練）
1.我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩:
“庭前孩童鬧如簇,不知人數不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齊足.”其大意是:孩童們在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4個梨,多12個梨;每人分6個梨,恰好分完.設梨有x個,則可列方程為　　　 　　.
2.《九章算術》里有一題大意:今有人合伙買玉石，每人出錢，會多出4錢；每人出錢，又差3錢.問：人數、玉石的價格各是多少？
3.某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》里這樣一首詩:我問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩中后兩句的意思是:如果每一間客房住7人,那么有7人無房住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.求該店有房客多少人.
二、整理提升
（一）課堂小結
【分享收獲】說一說學習的知識和思想方法等。（理）
（二）達標檢測（練）
必做：
1.動物園的門票售價:成人票每張50元,兒童票每張30元.某日動物園售出門票700張,收入29 000元.設兒童票售出x張,根據題意可列出方程為( )
A.30x+50(700-x)=29 000 B.50x+30(700-x)=29 000
C.30x+50(700+x)=29 000 D.50x+30(700+x)=29 000
22.古代名著《孫子算經》中有一題:今有三人共車,二車空;二人共車,九人步.問人與車各幾何 設有車x輛,則根據題意,可列出方程是( )
A.3(x+2)=2x-9 B.3(x+2)=2x+9
C.3(x-2)=2x-9 D.3(x-2)=2x+9
3.某校組織七年級學生到江姐故里研學旅行,租用同型號客車4輛,還剩30人沒有座位;租用5輛,還空10個座位.求該客車的載客量.
選做：
4.某班舉行聯歡會，有x位師生，購買了y份禮品盒。若每人發3個，則還剩7份禮品盒；若每人發4個，則最后還缺24份禮品盒。下列5個方程符合題意的是( )
①3x＋7＝4x－24；②；③3x－7＝4x＋24；
④； ⑤3x＋7＝y。
A.①② B.①②⑤
C.①②③④⑤ D.③④⑤
作業設計
完成課本習題。2025初中六年級數學下冊第七章《相交線與平行線》第三節《平行線的性質》導學案（第二課時）
（第二課時）
自主學習+合作探究
知識回顧
1、判定方法與性質的比較
兩條直線被第三條直線直線所截，
2、根據圖形標注的角說出平行線判定和性質:
∵∠1= ，∴ .
∵∠4= ，∴ .
∵ =180°，∴ .
創設情境
如何來應用平行線的判定和性質呢？
（三）學習目標
1.熟練掌握判斷直線平行的條件和平行線的性質，并能解決一些問題；（推理能力）
2.經歷探索平行線性質的過程，發展好奇心、想象力和創新意識；（創造能力）
3.綜合運用平行線的性質和判定進行計算和說理，并能解決實際問題。（應用意識）
（四）自主學習+合作探究
【活動探究一】（學）
如圖：（1）若∠1=∠2，可以判定哪兩條直線平行？根據是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪兩條直線平行？根據是什么？
（3）若∠2 +∠3=180°，可以判定哪兩條直線平行？根據是什么？
變式：已知∠1=∠2， ∠2=∠M，試說明：AM∥CE.
（要求：先獨立思考，有問題及時請教同學，限時2分鐘）（研、展）
歸納小結（評）
平行線的判定是先已知角相等或互補，后得到兩直線平行。
平行線的性質是先已知兩直線平行，后得到角相等或互補。
小試牛刀1（練）
如圖，根據條件說出圖中的平行線。
（1）∠1=∠4，可得 ∥ ，根據是： ；
（2）∠2=∠3，可得 ∥ ，根據是：
（3）∠B=∠5，可得 ∥ ，根據是： ；
（4）∠D=∠5，可得 ∥ ，根據是：
（5）∠D+∠BCD=180°，可得 ∥ ， 根據是： ；
（6）∠B+∠BCD=180°，可得： ∥ ，根據是： ；
2. 如圖，已知∠1=105°， ∠2=75°，你能判斷a∥b嗎？
例題講解（評）
例2 如圖 ，AB∥CD，如果∠1=∠2， 那么EF與AB 平行嗎？說說你的理由．
小試牛刀2（練）
1.如圖，AE∥CD，若∠1 = 37°,∠D =54°，求∠2 和∠BAE的度數.
如圖，AC平分∠BAD，∠1 = ∠2 可以判斷哪兩條線段平行？說明理由
例題講解（評）
例3 如圖，已知直線a∥b，直線c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3 的度數.
小試牛刀3（練）
1. 如圖，AC∥ED，AB∥DF，∠A=64°求∠EDF的度數.
變式一 如圖，AF∥ED，AE∥DF，∠A=64°,求∠D的度數.
變式二 如圖，AF∥ED，AE∥DF，試說明：∠D= ∠A.
二、整理提升
（理）1、梳理一下平行線的判定與性質的區別．
2.本節課運用了哪些數學思想方法
當堂檢測（練）
必做：
1、 如圖，∠A＝∠C＝ 60 ， ∠1＝120 ，可以判斷哪些直線平行？說明理由.
變式一 如圖，AE∥CF，AB∥CD，∠A=60°, 求∠C的度數.
變式二 如果兩個角的兩邊分別平行,那么這兩個角有何數量關
選做： 某村要修建一條灌溉水渠，水渠從A村沿北偏東65°方向到B村，從B村沿北偏西25°方向到C村，如圖所示，水渠從C村什么方向修建，可以保持與AB的方向一致？
作業設計
必做：完成課本隨堂練習和習題。
選做：完成本節課思維導圖。
碩果累累
得分環節 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總分
得分2025初中六年級數學下冊第七章《相交線與平行線》第三節《平行線的性質》導學案（第一課時）
自主學習+合作探究
知識回顧（學）
（1）因為∠1=∠5 (已知)
所以 a∥b（ ）
（2）因為∠4=∠ (已知)
所以a∥b（ ）
（3）因為∠4+∠ =180° (已知)
所以a∥b（ ）
創設情境
平行線的判定方法有？如果把已知和結論交換一下，還能成立嗎？
（三）學習目標
1.經歷觀察、操作、推理、交流等活動探索平行線的性質，并掌握平行線的性質 ，進一步發展空間觀念、幾何直觀；（推理能力）
2.經歷探索平行線性質的過程，發展好奇心、想象力和創新意識；（創造能力）
3.能夠應用平行線的性質解決簡單的實際問題，提高數學素養。（應用意識）
（四）自主學習+合作探究
【活動探究一】（學）
如圖：直線 a 與b 直線平行。
測量同位角∠1和∠5的大小，它們有什么關系？圖中還有其它同位角嗎？它們的大小有什么關系？
圖中有幾對內錯角？它們的大小有什么關系？為什么？
（3）圖中有幾對同旁內角？它們的大小有什么關系？為什么？
（要求：先獨立思考，有問題及時請教同學，限時2分鐘）（研、展）
規律總結（評）
兩條平行直線被第三條直線直線所截， 。
定理驗證（研、展、評）
已知當a∥b,同位角∠1和∠2有什么關系？為什么？
已知：a// b那么∠3與∠2有什么關系？為什么？
已知：a// b那么∠2與∠4有什么關系？為什么？
定理歸納（評）
平行線性質定理
符號語言：
符號語言：
符號語言：
例題講解（評）
例題：如圖，直線a∥b, ∠1 = 115°，求∠2的度數。
小試牛刀1（練）
1、如圖所示，AB∥CD，AC∥BD。分別找出與∠1相等或互補的角。
2.如圖a∥b，c ∥d，
∠１=60°,那么 ①∠2=____ ②∠3=____
③ ∠4=____ ④ ∠5=____
【活動探究二】（研、展、評）
如圖一束平行線AB 與DE射向一個水平鏡面后反射，此時∠1=∠2，∠3=∠4
（1）∠1與∠3的大小有什么關系？∠2與∠4呢？
（2）反射光線BC與EF也平行嗎？
小試牛刀2（練）
如圖，一輛大巴在5.1假期旅游中，經過一條公路兩次拐彎后，和原來的方向相同，也就是拐彎前后的兩條路互相平行.第一次拐的角∠B等于142度，第二次拐的角∠C是多少度？為什么？
二、整理提升
（理）1、本節課學行線的三個性質，總結了平行線的判定與性質的區別．
2.本節課運用了哪些數學思想方法
當堂檢測（練）
必做：
1. 如圖（1），直線AB，CD被直線AE 所截，AB∥CD，
∠1=105°. 求∠2，∠3，∠4的度數.（寫出證明過程）
選做：
一條小船上測得燈塔的方向是北偏西48度，那么這條小船在燈塔的什么方向？
作業設計
必做：完成課本隨堂練習和習題。
選做：完成本節課思維導圖。
碩果累累
得分環節 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總分
得分

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