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第12講 函數(shù)與方程
知識梳理
一、函數(shù)的零點(diǎn)
對于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:
①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).
②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號.
③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號.
④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.
必考題型全歸納
題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
【例1】（2024·廣西玉林·博白縣中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為，則（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，若是方程的一個(gè)解，則可能存在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題總結(jié)】
求函數(shù)零點(diǎn)的方法：
（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
【例2】（2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為__________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.
【解題總結(jié)】
本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.
題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題
【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.
【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·天津北辰·統(tǒng)考三模）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則___________.
【解題總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.
題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)滿足（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則n的所有可能的值為
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為
A． B．或 C．或 D．或或
【解題總結(jié)】
1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍．
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．
題型五：函數(shù)的對稱問題
【例5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題
題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型
【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·湖北·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考一模）若至少存在一個(gè)，使得方程成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題總結(jié)】
分類討論數(shù)學(xué)思想方法
題型七：唯一零點(diǎn)求值問題
【例7】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B． C．2 D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)
A． B． C． D．或
【解題總結(jié)】
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：
（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例8】（2024·天津南開·高三南開中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)， 若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【對點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) ，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題總結(jié)】
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
題型九：零點(diǎn)嵌套問題
【例9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，（其中），則的值為
A． B． C．-1 D．1
【對點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
【對點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個(gè)不同的零點(diǎn)且 則的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
【解題總結(jié)】
解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
題型十：等高線問題
【例10】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)
①若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是
②若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是
③若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是
④方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1，2，3，6
四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（ ）
A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）
【解題總結(jié)】
數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法
題型十一：二分法
【例11】（2024·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個(gè)方法，解方程，選取初始值，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練34】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：


那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【對點(diǎn)訓(xùn)練35】（2024·全國·高三專題練習(xí)）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練36】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解（精確到0.1）為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
A． B． C． D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練37】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解題總結(jié)】
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
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知識梳理
一、函數(shù)的零點(diǎn)
對于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:
①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).
②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號.
③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號.
④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.
必考題型全歸納
題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
【例1】（2024·廣西玉林·博白縣中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則，于是，即，
而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，
所以.
故選：D
【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
所以，即，故，
則．
故選：D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對于 ，顯然是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點(diǎn) ；
對于 ，顯然也是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點(diǎn) ；
對于 ，顯然也是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點(diǎn) ；
；
故選：A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，若是方程的一個(gè)解，則可能存在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以，
因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)解，
所以是方程的解，令，
則，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以單調(diào)遞增，
又，
所以.
故選：C.
【解題總結(jié)】
求函數(shù)零點(diǎn)的方法：
（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
【例2】（2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：B.
【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵和在上是增函數(shù)，
∴在上是增函數(shù)，
∴只需即可，即，解得.
故選：D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵是奇函數(shù)，∴，，，易知在上是增函數(shù)，
∴有唯一零點(diǎn)0，
函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，∴在上有解，，∴．
故選：A．
【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】設(shè)，則，
此時(shí)，則，
令，
當(dāng)時(shí)，，
記，則，
所以在上遞增，在上遞減，
故,所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，，，
故，由零點(diǎn)存在性定理知：在區(qū)間上至少有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
，
由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間至少有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，，遞增，
當(dāng)時(shí)，，，遞減，
故在上遞增，在上遞減，
又，即在上，，
故在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).
令，，
可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).
又當(dāng)時(shí)，，符合題意，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍．
故答案為：．
【解題總結(jié)】
本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.
題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題
【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.
【答案】4
【解析】由，即，
即，
令，則，
即，即.
由，得，
設(shè)函數(shù)，顯然該函數(shù)增函數(shù)，
又，
所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，
因此，即，
所以.
故答案為：4.
【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，有，解得，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，解得或，且有，，
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
又因?yàn)椋?br/>所以，存在一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，所以不符合題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得或，且有，
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
又因?yàn)椋?br/>所以，存在一個(gè)負(fù)數(shù)零點(diǎn)，要使存在唯一的零點(diǎn)，
則滿足，解得或，又因?yàn)椋裕?br/>綜上，的取值范圍是．
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榍∮腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，
函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即有三個(gè)解，
而無解，故.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，
當(dāng)時(shí)，與必有1個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，
即，即令在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，

當(dāng)時(shí)，必有1個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，
所以，即在上有根，
令
故，解得：.
綜上所述：的取值范圍是.
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.
【答案】
【解析】設(shè)切線切點(diǎn)為，因，則切線方程為：.
因過，則，由題函數(shù)圖象
與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，
得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，，.
據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時(shí)，曲線有兩條過的切線.
故答案為：
【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·天津北辰·統(tǒng)考三模）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】令，
因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，
又有三個(gè)零點(diǎn)，
所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，且其零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)不相等，
且函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)均為函數(shù)的零點(diǎn)，
由可得，，所以，
所以為函數(shù)的零點(diǎn)，
即，
所以，
令，可得，
由已知有兩個(gè)根，
設(shè)，則有兩個(gè)正根，
所以，，
所以，故，
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，
設(shè)其根為，，則，
設(shè)，則，，
所以，
令，則，
則，，
且，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的零點(diǎn)，又也為函數(shù)的零點(diǎn)，
且與互不相等，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
故答案為：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br/>故，即，
即.
由，得.
令，因?yàn)樵龊瘮?shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
而，故，解得，則.
故答案為：
【解題總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.
題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br/>由可得，
所以，關(guān)于的方程、共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
①先討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
所以，方程只有兩解和；
②下面討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由可得，可得或，
當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，不合乎題意，
當(dāng)時(shí)，由可得，
因?yàn)椋深}意可得或或，
解得或.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)滿足（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【解析】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由于方程至多兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為和，
由圖象可知，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0 2 3 4，
由于關(guān)于x的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
則關(guān)于u的二次方程的一根為，則，
則方程的另一根為，
直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為4，則，解得.
所以且.
故選：C.
【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則n的所有可能的值為
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
【答案】B
【解析】∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，∴是奇函數(shù)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，
作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知的解的個(gè)數(shù)是1，2，3.
或時(shí)，有一個(gè)解，時(shí)，有兩個(gè)解，時(shí)，有三個(gè)解，
方程中設(shè)，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實(shí)根，，，，兩根一正一負(fù)，不妨設(shè)，
若，則，，和都有兩個(gè)根，原方程有4個(gè)根；
若，則，，∴，，有三個(gè)根，有一個(gè)根，原方程共有4個(gè)根；
若，則，，∴，，有一個(gè)根，有三個(gè)根，原方程共有4個(gè)根．
綜上原方程有4個(gè)根．
故選：B.
【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】A
【解析】在和上單增，上單減，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，故的圖象大致為：
令，則方程必有兩個(gè)根，且，不仿設(shè) ，當(dāng)時(shí)，恰有，此時(shí)，有個(gè)根，，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)無根，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)有個(gè)根，，有個(gè)根，綜上，對任意，方程均有個(gè)根，故選A.
【解題總結(jié)】
1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍．
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．
題型五：函數(shù)的對稱問題
【例5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為，即，
若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則等價(jià)為在上有解，即，在上有解，
由，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，取得極小值同時(shí)也是最小值，且，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)，要使得有解，
則當(dāng)過點(diǎn) 時(shí)，得，過點(diǎn)時(shí)，，解得，
綜上可得．
故選C．
【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與無交點(diǎn)，即無零點(diǎn)．
故選：D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，
根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
則，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，
由于，，且，
所以．
故選：A．
【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)上一點(diǎn)，，且關(guān)于軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，在上，
有解，即有解．
令，則，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
，，，
有解等價(jià)于與圖象有交點(diǎn)， ．
故選：B
【解題總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題
題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型
【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)
所以有解
即有解
令，
則
因?yàn)椋矣蓤D象可知，所以
所以在上單調(diào)遞減，令得
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
所以
且當(dāng)時(shí)
所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即
故選：A
【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·湖北·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>又，
∵函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程有解，
即有解．
令，
則，
∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
∴．
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
要使方程有解，則需滿足，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考一模）若至少存在一個(gè)，使得方程成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原方程化簡得:有解,令,,當(dāng)時(shí),,所以f(x)在單調(diào)遞減,當(dāng)x【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意得，函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，且，
可構(gòu)造函數(shù)和，
因?yàn)椋_口向上，對稱軸為，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；
而，則，由于，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；
可知函數(shù)及均在處取最小值，所以在處取最小值，
又因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，只需即可，即：
解得：.
故選：D.
【解題總結(jié)】
分類討論數(shù)學(xué)思想方法
題型七：唯一零點(diǎn)求值問題
【例7】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】設(shè)，定義域?yàn)镽,
∴，
故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
∵有唯一零點(diǎn)，
∴，即．
故選：D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則，
記，則，令則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，因?yàn)橹挥形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，所以零點(diǎn)只能是于是
故選：C
【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
【答案】A
【解析】已知，①
且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
則，
得：，②
①+②得：，
由于關(guān)于對稱，
則關(guān)于對稱，
為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，
則關(guān)于對稱，
由于有唯一零點(diǎn)，
則必有，，
即：，
解得：或.
故選：A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
設(shè)
則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
則
設(shè)∴ 為偶函數(shù)，
∵函數(shù) 有唯一零點(diǎn)，
∴與有唯一的交點(diǎn)，
∴此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0， 解得 或（舍去），
故選A．
【解題總結(jié)】
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：
（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例8】（2024·天津南開·高三南開中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
存在兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中繪制兩個(gè)函數(shù)的圖象：
由圖可知，保證兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足，解得：
故選：A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，
求導(dǎo)
由反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
且，，故在內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
令，解得或2，可作出函數(shù)的圖像，
令，即，在之間解得或或，
作出圖像如下圖
數(shù)形結(jié)合可得：，
故選：A
【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)， 若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，且定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，故為奇函數(shù)，
所以我們求出時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，
，，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，而，故在有1零點(diǎn)，
，故在上有1零點(diǎn)，圖像大致如圖所示：
故在上有2個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù)，則其在上也有2個(gè)零點(diǎn)，且，故共5個(gè)零點(diǎn)，
故選：D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) ，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，對任意的，在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，.
函數(shù)的對稱軸為直線，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上無零點(diǎn)，
所以，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，
由題意可得，解得，此時(shí)不存在；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在上只有個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，不合乎題意；
③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，此時(shí)；
④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，此時(shí)，.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
【解題總結(jié)】
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
題型九：零點(diǎn)嵌套問題
【例9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則，
故當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，
可得處取得最小值，
，，畫出的圖象，
由可化為，
故結(jié)合題意可知，有兩個(gè)不同的根，
故，故或，
不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，
①若，，
與相矛盾，故不成立；
②若，則方程的兩個(gè)根，一正一負(fù)；
不妨設(shè)，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，
故
又，，
．
故選：A．
【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，（其中），則的值為
A． B． C．-1 D．1
【答案】D
【解析】令f（x）=0，分離參數(shù)得a=令h（x）=由h′（x）= 得x=1或x=e．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數(shù)，在（1，e）上為增函數(shù)．
∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=則a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，
μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，
對于μ=， 則當(dāng)0＜x＜e時(shí)，μ′＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，μ′＜0．而當(dāng)x＞e時(shí)，μ恒大于0．不妨設(shè)μ1＜μ2，則μ1=， =（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）
=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．
故選D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
【答案】A
【解析】
∴
∴
令，，則，
∴
令，解得
∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；
∴，，
∴a﹣3
∴.
設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實(shí)根，，
∴，可得或.
∵，故
∴舍去
∴6，.
又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
由于，∴，（不妨設(shè)）.
∵，可得，，.
則可知，.
∴.
故選：A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個(gè)不同的零點(diǎn)且 則的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
【答案】A
【解析】由有三個(gè)不同的零點(diǎn)知：有三個(gè)不同的實(shí)根，即有三個(gè)不同實(shí)根，
若，則，整理得，若方程的兩根為，
∴，而，
∴當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；即當(dāng)時(shí)有極小值為，又，有，即.
∵方程最多只有兩個(gè)不同根，
∴，即，，
∴.
故選：A
【解題總結(jié)】
解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
題型十：等高線問題
【例10】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)
①若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是
②若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是
③若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是
④方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1，2，3，6
四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于①：作出的圖像如下：
若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則，不妨設(shè)，
則，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
所以，，所以，所以，
所以，故①正確；
對于②：由上可知，，，且，
所以，
所以，，
所以，
所以，故②錯(cuò)誤；
對于③：方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
因?yàn)楹氵^坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)最多2個(gè)交點(diǎn)，所以，
當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，
即，所以，解得，所以，所以，
所以當(dāng)與相切時(shí)， 即時(shí)，此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，
若有4個(gè)實(shí)數(shù)根，即有4個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)由圖可知只有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，
令，，則，則當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，，
又及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當(dāng)無限大時(shí)，即在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即有5個(gè)實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤；
對于④：，
所以，
所以或，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，
當(dāng)，0時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，
當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，
當(dāng)時(shí)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
所以若時(shí)，則，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，
若時(shí)，則，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，
若，則，交點(diǎn)有個(gè)，
若且時(shí)，則且，交點(diǎn)有個(gè)，
若，交點(diǎn)有1個(gè)，
綜上所述，交點(diǎn)可能有1，2，3，6個(gè)，即方程不同實(shí)數(shù)根1，2，3，6，故④正確；
故選：B．
【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
先作圖象，由圖象可得
因此為，
，
從而.
故選：A
【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，
則，
即：，所以，
，所以，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得：，
，
考慮函數(shù)單調(diào)遞增，
，
所以時(shí)的取值范圍為.
故選：A
【對點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（ ）
A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）
【答案】A
【解析】畫出分段函數(shù)f(x)＝的圖像如圖：
令互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），
則x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），
則＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，
又t∈（0，），
∴∈（）．
故選：A．
【解題總結(jié)】
數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法
題型十一：二分法
【例11】（2024·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個(gè)方法，解方程，選取初始值，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，
令，即，可得，
迭代關(guān)系為，
取，則，，
故選：D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練34】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：


那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【答案】C
【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，
因?yàn)椋?br/>所以根在內(nèi)，
因?yàn)椋圆粷M足精確度，
繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，
因?yàn)?，，
所以根在區(qū)間，
因?yàn)椋圆粷M足精確度，
繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>所以根在區(qū)間內(nèi)，
因?yàn)闈M足精確度，
因?yàn)椋愿趦?nèi)，
所以方程的一個(gè)近似解為，
故選：C
【對點(diǎn)訓(xùn)練35】（2024·全國·高三專題練習(xí)）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足（a）（b）時(shí)，在區(qū)間上有零點(diǎn)，
即方程在區(qū)間上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在區(qū)間上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是.
故選：C．
【對點(diǎn)訓(xùn)練36】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解（精確到0.1）為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)及所給數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)函數(shù)值，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可獲得解答.由題意可知：
，
，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，
約為
故選：C.
【對點(diǎn)訓(xùn)練37】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，原來區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過二分法的一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>則經(jīng)過n次操作后，區(qū)間的長度為，若，即.
故選：B．
【解題總結(jié)】
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
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