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2025年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)歸納第12講、函數(shù)與方程(學(xué)生版+解析)

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2025年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)歸納第12講、函數(shù)與方程(學(xué)生版+解析)

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第12講 函數(shù)與方程
知識梳理
一、函數(shù)的零點(diǎn)
對于函數(shù),我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在,使得也就是方程的根.
四、二分法
對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
(1)確定區(qū)間,驗(yàn)證,給定精度.
(2)求區(qū)間的中點(diǎn).
(3)計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn);若,則令(此時(shí)零點(diǎn)).若,則令(此時(shí)零點(diǎn))
(4)判斷是否達(dá)到精確度,即若,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為(或);否則重復(fù)第(2)—(4)步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大,因此往往借助計(jì)算完成.
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:
①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則至多有一個(gè)零點(diǎn).
②連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號.
③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值不一定變號.
④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn),不一定能推出.
必考題型全歸納
題型一:求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
【例1】(2024·廣西玉林·博白縣中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)是奇函數(shù),且,若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則( )
A. B.0 C.2 D.4
【對點(diǎn)訓(xùn)練1】(2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則的值為( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練2】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為,則( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練3】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知,若是方程的一個(gè)解,則可能存在的區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【解題總結(jié)】
求函數(shù)零點(diǎn)的方法:
(1)代數(shù)法,即求方程的實(shí)根,適合于宜因式分解的多項(xiàng)式;(2)幾何法,即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn),適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
題型二:利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
【例2】(2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模)函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn).則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練4】(2024·全國·高三專題練習(xí))函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練5】(2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練6】(2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模)已知函數(shù),若在區(qū)間上有零點(diǎn),則的最大值為__________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練7】(2024·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)在上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.
【解題總結(jié)】
本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像,利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì),建立參數(shù)關(guān)系,列關(guān)于參數(shù)的不等式,解不等式,從而獲解.
題型三:方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題
【例3】(2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù),滿足,,則________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練8】(2024·新疆·校聯(lián)考二模)已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn),且,則的取值范圍是________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練9】(2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模)已知函數(shù),若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則的取值范圍是________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練10】(2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測)若曲線有兩條過的切線,則a的范圍是______.
【對點(diǎn)訓(xùn)練11】(2024·天津北辰·統(tǒng)考三模)設(shè),對任意實(shí)數(shù)x,記.若有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練12】(2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)m,n滿足,則___________.
【解題總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題,可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定,但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性,若在給定區(qū)間上是單調(diào)的,則至多有一個(gè)零點(diǎn);如果不是單調(diào)的,可繼續(xù)分出小的區(qū)間,再類似做出判斷.
題型四:嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例4】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練13】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)滿足( )
A.且 B.且
C.且 D.且
【對點(diǎn)訓(xùn)練14】(2024·四川資陽·高三統(tǒng)考期末)定義在R上函數(shù),若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則n的所有可能的值為
A.2 B.4
C.2或4 D.2或4或6
【對點(diǎn)訓(xùn)練15】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的所有可能的值為
A. B.或 C.或 D.或或
【解題總結(jié)】
1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問題,需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍.
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運(yùn)算,但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí).
題型五:函數(shù)的對稱問題
【例5】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P,函數(shù)g(x)=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q,且P,Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練16】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,若無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練17】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且,關(guān)于軸對稱,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練18】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù))與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【解題總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題
題型六:函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型
【例6】(2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末)若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練19】(2024·湖北·高三校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù),記,若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練20】(2024·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考一模)若至少存在一個(gè),使得方程成立.則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練21】(2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【解題總結(jié)】
分類討論數(shù)學(xué)思想方法
題型七:唯一零點(diǎn)求值問題
【例7】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則實(shí)數(shù)( )
A.1 B. C.2 D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練22】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練23】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且,若函數(shù)有唯一零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為
A.或 B.1或 C.或2 D.或1
【對點(diǎn)訓(xùn)練24】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則負(fù)實(shí)數(shù)
A. B. C. D.或
【解題總結(jié)】
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法:
(1)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.
(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.
題型八:分段函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例8】(2024·天津南開·高三南開中學(xué)校考期末)已知函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練25】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知,函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練26】(2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù), 若函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.3 C.4 D.5
【對點(diǎn)訓(xùn)練27】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù) ,若函數(shù)在內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【解題總結(jié)】
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
題型九:零點(diǎn)嵌套問題
【例9】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中,則的值為( )
A.1 B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練28】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),有三個(gè)不同的零點(diǎn),(其中),則的值為
A. B. C.-1 D.1
【對點(diǎn)訓(xùn)練29】(2024·遼寧·校聯(lián)考二模)已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),,,且,則的值為( )
A.81 B.﹣81 C.﹣9 D.9
【對點(diǎn)訓(xùn)練30】(2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí))設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個(gè)不同的零點(diǎn)且 則的值是( )
A.81 B.-81 C.9 D.-9
【解題總結(jié)】
解決函數(shù)零點(diǎn)問題,常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
題型十:等高線問題
【例10】(2024·全國·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)
①若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,則的取值范圍是
②若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,則的取值范圍是
③若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,則的取值范圍是
④方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1,2,3,6
四個(gè)結(jié)論中,正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【對點(diǎn)訓(xùn)練31】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的解且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練32】(2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,滿足,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練33】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=,若互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足f(x1)=f(x2)=f(x3),則的取值范圍是( )
A.() B.(1,4) C.(,4) D.(4,6)
【解題總結(jié)】
數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法
題型十一:二分法
【例11】(2024·遼寧大連·統(tǒng)考一模)牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替,該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解,以此法連續(xù)迭代,可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個(gè)方法,解方程,選取初始值,在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練34】(2024·全國·高三專題練習(xí))函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算,參考數(shù)據(jù)如下:


那么方程的一個(gè)近似解(精確度為0.1)為( )
A.1.5 B.1.25 C.1.41 D.1.44
【對點(diǎn)訓(xùn)練35】(2024·全國·高三專題練習(xí))利用二分法求方程的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練36】(2024·全國·高三專題練習(xí))用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),根據(jù)參考數(shù)據(jù),可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解(精確到0.1)為( )(參考數(shù)據(jù):,,,,)
A. B. C. D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練37】(2024·全國·高三專題練習(xí))用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn),要求精確度為0.01時(shí),所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解題總結(jié)】
所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
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知識梳理
一、函數(shù)的零點(diǎn)
對于函數(shù),我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在,使得也就是方程的根.
四、二分法
對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
(1)確定區(qū)間,驗(yàn)證,給定精度.
(2)求區(qū)間的中點(diǎn).
(3)計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn);若,則令(此時(shí)零點(diǎn)).若,則令(此時(shí)零點(diǎn))
(4)判斷是否達(dá)到精確度,即若,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為(或);否則重復(fù)第(2)—(4)步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大,因此往往借助計(jì)算完成.
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:
①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則至多有一個(gè)零點(diǎn).
②連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號.
③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值不一定變號.
④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn),不一定能推出.
必考題型全歸納
題型一:求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
【例1】(2024·廣西玉林·博白縣中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)是奇函數(shù),且,若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則( )
A. B.0 C.2 D.4
【答案】D
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn),則,于是,即,
而函數(shù)是奇函數(shù),則有,
所以.
故選:D
【對點(diǎn)訓(xùn)練1】(2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn),
所以,即,故,
則.
故選:D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練2】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】對于 ,顯然是增函數(shù), ,所以 的唯一零點(diǎn) ;
對于 ,顯然也是增函數(shù), ,所以 的唯一零點(diǎn) ;
對于 ,顯然也是增函數(shù), ,所以 的唯一零點(diǎn) ;

故選:A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練3】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知,若是方程的一個(gè)解,則可能存在的區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,所以,
因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)解,
所以是方程的解,令,
則,當(dāng)時(shí),恒成立,
所以單調(diào)遞增,
又,
所以.
故選:C.
【解題總結(jié)】
求函數(shù)零點(diǎn)的方法:
(1)代數(shù)法,即求方程的實(shí)根,適合于宜因式分解的多項(xiàng)式;(2)幾何法,即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn),適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
題型二:利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
【例2】(2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模)函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn).則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間存在零點(diǎn),
所以,即,解得,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選:B.
【對點(diǎn)訓(xùn)練4】(2024·全國·高三專題練習(xí))函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵和在上是增函數(shù),
∴在上是增函數(shù),
∴只需即可,即,解得.
故選:D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練5】(2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是奇函數(shù),∴,,,易知在上是增函數(shù),
∴有唯一零點(diǎn)0,
函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),∴在上有解,,∴.
故選:A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練6】(2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模)已知函數(shù),若在區(qū)間上有零點(diǎn),則的最大值為__________.
【答案】
【解析】設(shè),則,
此時(shí),則,
令,
當(dāng)時(shí),,
記,則,
所以在上遞增,在上遞減,
故,所以,
所以的最大值為.
故答案為:.
【對點(diǎn)訓(xùn)練7】(2024·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)在上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí),,,,
故,由零點(diǎn)存在性定理知:在區(qū)間上至少有1個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),,符合題意;
當(dāng)時(shí),,

由零點(diǎn)存在性定理知,在區(qū)間至少有1個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),

因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí),,,遞增,
當(dāng)時(shí),,,遞減,
故在上遞增,在上遞減,
又,即在上,,
故在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有零點(diǎn).
令,,
可知為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
從而,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有零點(diǎn).
又當(dāng)時(shí),,符合題意,
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍.
故答案為:.
【解題總結(jié)】
本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像,利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì),建立參數(shù)關(guān)系,列關(guān)于參數(shù)的不等式,解不等式,從而獲解.
題型三:方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題
【例3】(2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù),滿足,,則________.
【答案】4
【解析】由,即,
即,
令,則,
即,即.
由,得,
設(shè)函數(shù),顯然該函數(shù)增函數(shù),
又,
所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn),
因此,即,
所以.
故答案為:4.
【對點(diǎn)訓(xùn)練8】(2024·新疆·校聯(lián)考二模)已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn),且,則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí),有,解得,所以當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),不符合題意;
當(dāng)時(shí),由,解得或,且有,,
當(dāng),,在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當(dāng),,在區(qū)間上單調(diào)遞減;
當(dāng),,在區(qū)間上單調(diào)遞增;
又因?yàn)椋?br/>所以,存在一個(gè)正數(shù)零點(diǎn),所以不符合題意;
當(dāng)時(shí),令,解得或,且有,
當(dāng),,在區(qū)間上單調(diào)遞減;
當(dāng),,在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當(dāng),,在區(qū)間上單調(diào)遞減;
又因?yàn)椋?br/>所以,存在一個(gè)負(fù)數(shù)零點(diǎn),要使存在唯一的零點(diǎn),
則滿足,解得或,又因?yàn)椋裕?br/>綜上,的取值范圍是.
故答案為:.
【對點(diǎn)訓(xùn)練9】(2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模)已知函數(shù),若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí),,
因?yàn)榍∮腥齻€(gè)不同的零點(diǎn),
函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),即有三個(gè)解,
而無解,故.
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),
即,即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn),如下圖,
當(dāng)時(shí),與必有1個(gè)交點(diǎn),
所以當(dāng)時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),
即,即令在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),
即,即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn),如下圖,

當(dāng)時(shí),必有1個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)時(shí),與有2個(gè)交點(diǎn),
所以,即在上有根,

故,解得:.
綜上所述:的取值范圍是.
故答案為:.
【對點(diǎn)訓(xùn)練10】(2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測)若曲線有兩條過的切線,則a的范圍是______.
【答案】
【解析】設(shè)切線切點(diǎn)為,因,則切線方程為:.
因過,則,由題函數(shù)圖象
與直線有兩個(gè)交點(diǎn).,
得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
又,,.
據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得,當(dāng)時(shí),曲線有兩條過的切線.
故答案為:
【對點(diǎn)訓(xùn)練11】(2024·天津北辰·統(tǒng)考三模)設(shè),對任意實(shí)數(shù)x,記.若有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】令,
因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn),函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn),
又有三個(gè)零點(diǎn),
所以必須有兩個(gè)零點(diǎn),且其零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)不相等,
且函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)均為函數(shù)的零點(diǎn),
由可得,,所以,
所以為函數(shù)的零點(diǎn),
即,
所以,
令,可得,
由已知有兩個(gè)根,
設(shè),則有兩個(gè)正根,
所以,,
所以,故,
當(dāng)時(shí),有兩個(gè)根,
設(shè)其根為,,則,
設(shè),則,,
所以,
令,則,
則,,
且,,
所以當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),為函數(shù)的零點(diǎn),又也為函數(shù)的零點(diǎn),
且與互不相等,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
故答案為:.
【對點(diǎn)訓(xùn)練12】(2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)m,n滿足,則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br/>故,即,
即.
由,得.
令,因?yàn)樵龊瘮?shù)+增函數(shù)=增函數(shù),所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增,
而,故,解得,則.
故答案為:
【解題總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題,可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定,但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性,若在給定區(qū)間上是單調(diào)的,則至多有一個(gè)零點(diǎn);如果不是單調(diào)的,可繼續(xù)分出小的區(qū)間,再類似做出判斷.
題型四:嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例4】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br/>由可得,
所以,關(guān)于的方程、共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
①先討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí),由,可得,
當(dāng)時(shí),由,可得,
當(dāng)時(shí),由,可得,
所以,方程只有兩解和;
②下面討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí),由可得,可得或,
當(dāng)時(shí),由,可得,此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解,不合乎題意,
當(dāng)時(shí),由可得,
因?yàn)椋深}意可得或或,
解得或.
因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選:B.
【對點(diǎn)訓(xùn)練13】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)滿足( )
A.且 B.且
C.且 D.且
【答案】C
【解析】令,作出函數(shù)的圖象如下圖所示:
由于方程至多兩個(gè)實(shí)根,設(shè)為和,
由圖象可知,直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0 2 3 4,
由于關(guān)于x的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解,
則關(guān)于u的二次方程的一根為,則,
則方程的另一根為,
直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為4,則,解得.
所以且.
故選:C.
【對點(diǎn)訓(xùn)練14】(2024·四川資陽·高三統(tǒng)考期末)定義在R上函數(shù),若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則n的所有可能的值為
A.2 B.4
C.2或4 D.2或4或6
【答案】B
【解析】∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,∴是奇函數(shù),時(shí),在上遞減,在上遞增,
作出函數(shù)的圖象,如圖,由圖可知的解的個(gè)數(shù)是1,2,3.
或時(shí),有一個(gè)解,時(shí),有兩個(gè)解,時(shí),有三個(gè)解,
方程中設(shè),則方程化為,其判別式為恒成立,方程必有兩不等實(shí)根,,,,兩根一正一負(fù),不妨設(shè),
若,則,,和都有兩個(gè)根,原方程有4個(gè)根;
若,則,,∴,,有三個(gè)根,有一個(gè)根,原方程共有4個(gè)根;
若,則,,∴,,有一個(gè)根,有三個(gè)根,原方程共有4個(gè)根.
綜上原方程有4個(gè)根.
故選:B.
【對點(diǎn)訓(xùn)練15】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的所有可能的值為
A. B.或 C.或 D.或或
【答案】A
【解析】在和上單增,上單減,又當(dāng)時(shí),時(shí),故的圖象大致為:
令,則方程必有兩個(gè)根,且,不仿設(shè) ,當(dāng)時(shí),恰有,此時(shí),有個(gè)根,,有個(gè)根,當(dāng)時(shí)必有,此時(shí)無根,有個(gè)根,當(dāng)時(shí)必有,此時(shí)有個(gè)根,,有個(gè)根,綜上,對任意,方程均有個(gè)根,故選A.
【解題總結(jié)】
1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問題,需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍.
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運(yùn)算,但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí).
題型五:函數(shù)的對稱問題
【例5】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P,函數(shù)g(x)=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q,且P,Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意,函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為,即,
若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q,且P,Q關(guān)于原點(diǎn)對稱,
則等價(jià)為在上有解,即,在上有解,
由,則,
當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù);
當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),
即當(dāng)時(shí),取得極小值同時(shí)也是最小值,且,即,
當(dāng)時(shí),,即,
設(shè),要使得有解,
則當(dāng)過點(diǎn) 時(shí),得,過點(diǎn)時(shí),,解得,
綜上可得.
故選C.
【對點(diǎn)訓(xùn)練16】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,若無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題知,,設(shè),當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增,所以,的圖象如下,由圖可知,當(dāng)時(shí),與無交點(diǎn),即無零點(diǎn).
故選:D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練17】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且,關(guān)于軸對稱,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱,
根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn),
即方程在上有解,
即在上有解.
令,,
則,
可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故當(dāng)時(shí),,
由于,,且,
所以.
故選:A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練18】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù))與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)上一點(diǎn),,且關(guān)于軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)為,在上,
有解,即有解.
令,則,,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增
,,,
有解等價(jià)于與圖象有交點(diǎn), .
故選:B
【解題總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題
題型六:函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型
【例6】(2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末)若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)
所以有解
即有解
令,

因?yàn)椋矣蓤D象可知,所以
所以在上單調(diào)遞減,令得
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減
所以
且當(dāng)時(shí)
所以的取值范圍為函數(shù)的值域,即
故選:A
【對點(diǎn)訓(xùn)練19】(2024·湖北·高三校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù),記,若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>又,
∵函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),
∴方程有解,
即有解.
令,
則,
∴當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
∴.
又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
要使方程有解,則需滿足,
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練20】(2024·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考一模)若至少存在一個(gè),使得方程成立.則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原方程化簡得:有解,令,,當(dāng)時(shí),,所以f(x)在單調(diào)遞減,當(dāng)x【對點(diǎn)訓(xùn)練21】(2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意得,函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),且,
可構(gòu)造函數(shù)和,
因?yàn)椋_口向上,對稱軸為,所以為單調(diào)遞減,為單調(diào)遞增;
而,則,由于,所以為單調(diào)遞減,為單調(diào)遞增;
可知函數(shù)及均在處取最小值,所以在處取最小值,
又因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn),只需即可,即:
解得:.
故選:D.
【解題總結(jié)】
分類討論數(shù)學(xué)思想方法
題型七:唯一零點(diǎn)求值問題
【例7】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則實(shí)數(shù)( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】設(shè),定義域?yàn)镽,
∴,
故函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,
∵有唯一零點(diǎn),
∴,即.
故選:D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練22】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,則,
記,則,令則,所以是偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,因?yàn)橹挥形ㄒ坏牧泓c(diǎn),所以零點(diǎn)只能是于是
故選:C
【對點(diǎn)訓(xùn)練23】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且,若函數(shù)有唯一零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為
A.或 B.1或 C.或2 D.或1
【答案】A
【解析】已知,①
且,分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù),
則,
得:,②
①+②得:,
由于關(guān)于對稱,
則關(guān)于對稱,
為偶函數(shù),關(guān)于軸對稱,
則關(guān)于對稱,
由于有唯一零點(diǎn),
則必有,,
即:,
解得:或.
故選:A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練24】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則負(fù)實(shí)數(shù)
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】函數(shù)有唯一零點(diǎn),
設(shè)
則函數(shù)有唯一零點(diǎn),

設(shè)∴ 為偶函數(shù),
∵函數(shù) 有唯一零點(diǎn),
∴與有唯一的交點(diǎn),
∴此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0, 解得 或(舍去),
故選A.
【解題總結(jié)】
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法:
(1)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.
(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.
題型八:分段函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例8】(2024·天津南開·高三南開中學(xué)校考期末)已知函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
存在兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),在同一直角坐標(biāo)系中繪制兩個(gè)函數(shù)的圖象:
由圖可知,保證兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),滿足,解得:
故選:A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練25】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知,函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè),,
求導(dǎo)
由反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增,
且,,故在內(nèi)必有唯一零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
令,解得或2,可作出函數(shù)的圖像,
令,即,在之間解得或或,
作出圖像如下圖
數(shù)形結(jié)合可得:,
故選:A
【對點(diǎn)訓(xùn)練26】(2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù), 若函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,

,且定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱,故為奇函數(shù),
所以我們求出時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可,
,,令,解得,
故在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
且,而,故在有1零點(diǎn),
,故在上有1零點(diǎn),圖像大致如圖所示:
故在上有2個(gè)零點(diǎn),又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù),則其在上也有2個(gè)零點(diǎn),且,故共5個(gè)零點(diǎn),
故選:D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練27】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù) ,若函數(shù)在內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí),對任意的,在上至多個(gè)零點(diǎn),不合乎題意,所以,.
函數(shù)的對稱軸為直線,.
所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且.
①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),則函數(shù)在上無零點(diǎn),
所以,函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,則,
由題意可得,解得,此時(shí)不存在;
②當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,則,則函數(shù)在上只有個(gè)零點(diǎn),
此時(shí),函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為,不合乎題意;
③當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn),
則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn),
則,解得,此時(shí);
④當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn),
則函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn),
則,解得,此時(shí),.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選:D.
【解題總結(jié)】
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
題型九:零點(diǎn)嵌套問題
【例9】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中,則的值為( )
A.1 B. C. D.
【答案】A
【解析】令,則,
故當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,是減函數(shù),
可得處取得最小值,
,,畫出的圖象,
由可化為,
故結(jié)合題意可知,有兩個(gè)不同的根,
故,故或,
不妨設(shè)方程的兩個(gè)根分別為,,
①若,,
與相矛盾,故不成立;
②若,則方程的兩個(gè)根,一正一負(fù);
不妨設(shè),結(jié)合的性質(zhì)可得,,,,

又,,

故選:A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練28】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),有三個(gè)不同的零點(diǎn),(其中),則的值為
A. B. C.-1 D.1
【答案】D
【解析】令f(x)=0,分離參數(shù)得a=令h(x)=由h′(x)= 得x=1或x=e.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x∈(1,e)時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),h′(x)<0.
即h(x)在(0,1),(e,+∞)上為減函數(shù),在(1,e)上為增函數(shù).
∴0<x1<1<x2<e<x3,a=令μ=則a=即μ2+(a-1)μ+1-a=0,
μ1+μ2=1-a<0,μ1μ2=1-a<0,
對于μ=, 則當(dāng)0<x<e時(shí),μ′>0;當(dāng)x>e時(shí),μ′<0.而當(dāng)x>e時(shí),μ恒大于0.不妨設(shè)μ1<μ2,則μ1=, =(1-μ1)2(1-μ2)(1-μ3)
=[(1-μ1)(1-μ2)]2=[1-(1-a)+(1-a)]2=1.
故選D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練29】(2024·遼寧·校聯(lián)考二模)已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),,,且,則的值為( )
A.81 B.﹣81 C.﹣9 D.9
【答案】A
【解析】


令,,則,

令,解得
∴時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增;
∴,,
∴a﹣3
∴.
設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實(shí)根,,
∴,可得或.
∵,故
∴舍去
∴6,.
又∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,
由于,∴,(不妨設(shè)).
∵,可得,,.
則可知,.
∴.
故選:A.
【對點(diǎn)訓(xùn)練30】(2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí))設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個(gè)不同的零點(diǎn)且 則的值是( )
A.81 B.-81 C.9 D.-9
【答案】A
【解析】由有三個(gè)不同的零點(diǎn)知:有三個(gè)不同的實(shí)根,即有三個(gè)不同實(shí)根,
若,則,整理得,若方程的兩根為,
∴,而,
∴當(dāng)時(shí),即在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),即在上單調(diào)遞增;即當(dāng)時(shí)有極小值為,又,有,即.
∵方程最多只有兩個(gè)不同根,
∴,即,,
∴.
故選:A
【解題總結(jié)】
解決函數(shù)零點(diǎn)問題,常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
題型十:等高線問題
【例10】(2024·全國·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)
①若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,則的取值范圍是
②若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,則的取值范圍是
③若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,則的取值范圍是
④方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1,2,3,6
四個(gè)結(jié)論中,正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】對于①:作出的圖像如下:
若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,則,不妨設(shè),
則,是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,,是方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,
所以,,所以,所以,
所以,故①正確;
對于②:由上可知,,,且,
所以,
所以,,
所以,
所以,故②錯(cuò)誤;
對于③:方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù),
因?yàn)楹氵^坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)時(shí),有3個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí)最多2個(gè)交點(diǎn),所以,
當(dāng)與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,
即,所以,解得,所以,所以,
所以當(dāng)與相切時(shí), 即時(shí),此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn),
若有4個(gè)實(shí)數(shù)根,即有4個(gè)交點(diǎn),
當(dāng)時(shí)由圖可知只有3個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí),
令,,則,則當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值即最大值,,
又及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知,當(dāng)無限大時(shí),即在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),即有5個(gè)實(shí)數(shù)根,故③錯(cuò)誤;
對于④:,
所以,
所以或,
由圖可知,當(dāng)時(shí),的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,
當(dāng),0時(shí),的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,
當(dāng)時(shí),的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,
當(dāng)時(shí),的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,
所以若時(shí),則,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè),
若時(shí),則,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè),
若,則,交點(diǎn)有個(gè),
若且時(shí),則且,交點(diǎn)有個(gè),
若,交點(diǎn)有1個(gè),
綜上所述,交點(diǎn)可能有1,2,3,6個(gè),即方程不同實(shí)數(shù)根1,2,3,6,故④正確;
故選:B.
【對點(diǎn)訓(xùn)練31】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的解且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
先作圖象,由圖象可得
因此為,

從而.
故選:A
【對點(diǎn)訓(xùn)練32】(2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù),若方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,滿足,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出函數(shù)的圖象,如圖所示:
方程有四個(gè)不同的實(shí)根,,,,滿足,
則,
即:,所以,
,所以,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得:,

考慮函數(shù)單調(diào)遞增,

所以時(shí)的取值范圍為.
故選:A
【對點(diǎn)訓(xùn)練33】(2024·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=,若互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足f(x1)=f(x2)=f(x3),則的取值范圍是( )
A.() B.(1,4) C.(,4) D.(4,6)
【答案】A
【解析】畫出分段函數(shù)f(x)=的圖像如圖:
令互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,t∈(0,),
則x1∈,x2∈(0,1),x3∈(1,2),
則=1+t+1﹣t+22t﹣2=2+22t﹣2,
又t∈(0,),
∴∈().
故選:A.
【解題總結(jié)】
數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法
題型十一:二分法
【例11】(2024·遼寧大連·統(tǒng)考一模)牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替,該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解,以此法連續(xù)迭代,可快速求得合適精度的方程近似解.利用這個(gè)方法,解方程,選取初始值,在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,則,
令,即,可得,
迭代關(guān)系為,
取,則,,
故選:D.
【對點(diǎn)訓(xùn)練34】(2024·全國·高三專題練習(xí))函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算,參考數(shù)據(jù)如下:


那么方程的一個(gè)近似解(精確度為0.1)為( )
A.1.5 B.1.25 C.1.41 D.1.44
【答案】C
【解析】由所給數(shù)據(jù)可知,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根,
因?yàn)椋?br/>所以根在內(nèi),
因?yàn)椋圆粷M足精確度,
繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn),
因?yàn)?,,
所以根在區(qū)間,
因?yàn)椋圆粷M足精確度,
繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn),
因?yàn)椋?br/>所以根在區(qū)間內(nèi),
因?yàn)闈M足精確度,
因?yàn)椋愿趦?nèi),
所以方程的一個(gè)近似解為,
故選:C
【對點(diǎn)訓(xùn)練35】(2024·全國·高三專題練習(xí))利用二分法求方程的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè),
當(dāng)連續(xù)函數(shù)滿足(a)(b)時(shí),在區(qū)間上有零點(diǎn),
即方程在區(qū)間上有解,
又(2),(3),
故(2)(3),
故方程在區(qū)間上有解,
即利用二分法求方程的近似解,可以取的一個(gè)區(qū)間是.
故選:C.
【對點(diǎn)訓(xùn)練36】(2024·全國·高三專題練習(xí))用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),根據(jù)參考數(shù)據(jù),可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解(精確到0.1)為( )(參考數(shù)據(jù):,,,,)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)及所給數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)函數(shù)值,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可獲得解答.由題意可知:


又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù),所以函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),
約為
故選:C.
【對點(diǎn)訓(xùn)練37】(2024·全國·高三專題練習(xí))用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn),要求精確度為0.01時(shí),所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】根據(jù)題意,原來區(qū)間的長度等于1,每經(jīng)過二分法的一次操作,區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>則經(jīng)過n次操作后,區(qū)間的長度為,若,即.
故選:B.
【解題總結(jié)】
所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
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