資源簡介

第13講 函數模型及其應用
知識梳理
1、幾種常見的函數模型：
函數模型 函數解析式
一次函數模型 ，為常數且
反比例函數模型 ，為常數且
二次函數模型 ，，為常數且
指數函數模型 ，，為常數，，，
對數函數模型 ，，為常數，，，
冪函數模型 ，為常數，
2、解函數應用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
必考題型全歸納
題型一：二次函數模型，分段函數模型
【例1】（2024·全國·高三專題練習）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關系為，乙車的剎車距離與車速之間的關系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（ ）
A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速
C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速
【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練2】（2024·云南·統考二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格：
一次購買件數 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件價格 37元 32元 30元 27元 25元
張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產萬件該產品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每年利潤的最大值為（ ）
A．720萬元 B．800萬元
C．875萬元 D．900萬元
【解題方法總結】
1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏．
題型二：對勾函數模型
【例2】（2024·全國·高三專題練習）某企業投入萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是___________萬元.
【對點訓練5】（2024·全國·高三專題練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為___________．（本題中取進行計算）
【對點訓練6】（2024·全國·高三專題練習）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環周長，大扇形半徑，設小扇形半徑，弧度，則
①關于x的函數關系式_________．
②若雕刻費用關于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為________．
【解題方法總結】
1、解決此類問題一定要注意函數定義域；
2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．
題型三：指數型函數、對數型函數、冪函數模型
【例3】（2024·全國·高三專題練習）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【對點訓練7】（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到m3激增到2021年的m3. 從2000年開始統計，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經計算機擬合后發現，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費量，是2000年的天然氣消費量，是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為m3，2018年的天然氣消費量為m3，根據擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（ ）
（參考數據：，
A．m3 B．m3
C．m3 D．m3
【對點訓練8】（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養不足.在環境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型:描述血氧飽和度（單位）隨機給氧時間（單位:時）的變化規律，其中為初始血氧飽和度，為參數.已知，給氧1小時后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（ ）小時.（參考數據:）
A． B． C． D．
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產中有較多的應用，尤其在農業生產中的病蟲害的預報和防治中較多使用．研究發現，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型．
2、在解決指數型函數、對數型函數、冪函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數圖像求解最值問題．
題型四：已知函數模型的實際問題
【例4】（2024·全國·高三專題練習）牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：，其中為時間（單位：），為環境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設在室內溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為_________．
【對點訓練11】（2024·四川宜賓·統考模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式，（其中為生物死亡之初體內的碳14含量，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時間大約是______年前．
【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時間（小時）變化的規律近似滿足表達式《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車___________.（精確到小時）
【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）能源是國家的命脈， 降低能源消耗費用是重要抓手之一， 為此， 某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層. 某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層， 據當年的物價， 每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣. 又根據建筑公司的前期研究得到， 該建筑物30 年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位： 厘米） 滿足關系：， 經測算知道， 如果不建隔熱層， 那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣. 設為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達到最小值時， 隔熱層厚度__________厘米.
【對點訓練14】（2024·全國·高三專題練習）某地在20年間經濟高質量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數時，
【解題方法總結】
求解已知函數模型解決實際問題的關鍵
（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
（2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．
（3）利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．
題型五：構造函數模型的實際問題
【例5】（2024·浙江·高三專題練習）紹興某鄉村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（ ）（參考數據：）
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
【對點訓練15】（2024·北京·高三北京市八一中學校考開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（ ）
（參考數據：）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：
.設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
構建函數模型解決實際問題的步驟
（1）建模：抽象出實際問題的數學模型；
（2）推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解；
（3）評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論，作出評價、解釋、返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解
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知識梳理
1、幾種常見的函數模型：
函數模型 函數解析式
一次函數模型 ，為常數且
反比例函數模型 ，為常數且
二次函數模型 ，，為常數且
指數函數模型 ，，為常數，，，
對數函數模型 ，，為常數，，，
冪函數模型 ，為常數，
2、解函數應用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
必考題型全歸納
題型一：二次函數模型，分段函數模型
【例1】（2024·全國·高三專題練習）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關系為，乙車的剎車距離與車速之間的關系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（ ）
A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速
C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速
【答案】C
【解析】對于甲車，令，即
解得（舍）或，所以甲未超速；
對于甲車，令，即
解得（舍）或，所以乙超速；
故選:C.
【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，并根據題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
設，，則，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因為，所以，則要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的對稱軸為：，所以在單調遞增，在單調遞減，
所以當時，取得最大值，即最大，此時，即，
所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），
則射門時甲離上方端線的距離為：.
故選：B.
【對點訓練2】（2024·云南·統考二模）下表是某批發市場的一種益智玩具的銷售價格：
一次購買件數 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件價格 37元 32元 30元 27元 25元
張師傅準備用2900元到該批發市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
【答案】C
【解析】設購買的件數為，花費為元，
則，當時，，
當時，，所以最多可購買這種產品件，
故選：C.
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產萬件該產品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每年利潤的最大值為（ ）
A．720萬元 B．800萬元
C．875萬元 D．900萬元
【答案】C
【解析】該企業每年利潤為
當時，
在時，取得最大值；
當時，
（當且僅當時等號成立），即在時，取得最大值；
由，可得該企業每年利潤的最大值為.
故選：C
【解題方法總結】
1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏．
題型二：對勾函數模型
【例2】（2024·全國·高三專題練習）某企業投入萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設該企業需要更新設備的年數為，設備年平均費用為萬元，
則年后的設備維護費用為，
所以年的平均費用為（萬元），
當且僅當時，等號成立，
因此，為使該設備年平均費用最低，該企業需要更新設備的年數為.
故選：B.
【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是___________萬元.
【答案】
【解析】根據題意，得到，進而得到月利潤的表示，結合基本不等式，即可求解.由題意，產品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足，
即，
所以月利潤為
，
當且僅當時，即時取等號，
即月最低利潤為萬元.
故答案為: .
【對點訓練5】（2024·全國·高三專題練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為___________．（本題中取進行計算）
【答案】
【解析】設圓弧的半徑為，根據題意可得：
令，則
根據基本不等式，，當卻僅當 ，即時取“=”.
， 時，
故答案為：.
【對點訓練6】（2024·全國·高三專題練習）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環周長，大扇形半徑，設小扇形半徑，弧度，則
①關于x的函數關系式_________．
②若雕刻費用關于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為________．
【答案】 ，；
【解析】由題意可知，， ，，
所以，，，
扇環周長，
解得，
磚雕面積即為圖中環形面積，記為，
則
，
即雕刻面積與雕刻費用之比為，
則，
令，則，
，當且僅當時（即）取等號，
所以磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為.
故答案為：，；
【解題方法總結】
1、解決此類問題一定要注意函數定義域；
2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．
題型三：指數型函數、對數型函數、冪函數模型
【例3】（2024·全國·高三專題練習）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【解析】由題意，設年平均增長率為，則，
所以，故年平均增長率為20%.
故選：B
【對點訓練7】（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到m3激增到2021年的m3. 從2000年開始統計，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經計算機擬合后發現，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費量，是2000年的天然氣消費量，是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為m3，2018年的天然氣消費量為m3，根據擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（ ）
（參考數據：，
A．m3 B．m3
C．m3 D．m3
【答案】B
【解析】據題意，，兩式相除可得，
又因為，
故選：B．
【對點訓練8】（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養不足.在環境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數模型:描述血氧飽和度（單位）隨機給氧時間（單位:時）的變化規律，其中為初始血氧飽和度，為參數.已知，給氧1小時后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（ ）小時.（參考數據:）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，，則，，
所以，
則使血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時.
故選：D.
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產中有較多的應用，尤其在農業生產中的病蟲害的預報和防治中較多使用．研究發現，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由題意，，
所以），
即．又，所以．
因為，所以．
故選：B．
【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設初始狀態為，則，，
又，，即，
，，，，．
故選：D．
【解題方法總結】
1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型．
2、在解決指數型函數、對數型函數、冪函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數圖像求解最值問題．
題型四：已知函數模型的實際問題
【例4】（2024·全國·高三專題練習）牛頓曾經提出了常溫環境下的溫度冷卻模型：，其中為時間（單位：），為環境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設在室內溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為_________．
【答案】
【解析】由題意，把，，，代入中，
得，所以，
所以，解得.
故答案為：.
【對點訓練11】（2024·四川宜賓·統考模擬預測）當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，照此規律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式，（其中為生物死亡之初體內的碳14含量，為死亡時間（單位：年），通過測定發現某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時間大約是______年前．
【答案】
【解析】由題意，生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數關系式 ，
因為測定發現某古生物遺體中碳14含量為，
令，可得，所以，解得年.
故答案為：年.
【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時間（小時）變化的規律近似滿足表達式《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車___________.（精確到小時）
【答案】4
【解析】當時，由得，
解得，舍去；
當時，由得，即，
解得，
因為，所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車.
故答案為：4
【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）能源是國家的命脈， 降低能源消耗費用是重要抓手之一， 為此， 某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層. 某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層， 據當年的物價， 每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣. 又根據建筑公司的前期研究得到， 該建筑物30 年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位： 厘米） 滿足關系：， 經測算知道， 如果不建隔熱層， 那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣. 設為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達到最小值時， 隔熱層厚度__________厘米.
【答案】
【解析】由題意得，當時，，解得，
又，
所以，
當且僅當，即時，等號成立.
故答案為：.
【對點訓練14】（2024·全國·高三專題練習）某地在20年間經濟高質量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數時，
【答案】0.52
【解析】由題可知，
所以，
所以,
即GDP增長的速度大約是.
故答案為：.
【解題方法總結】
求解已知函數模型解決實際問題的關鍵
（1）認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
（2）根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．
（3）利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．
題型五：構造函數模型的實際問題
【例5】（2024·浙江·高三專題練習）紹興某鄉村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（ ）（參考數據：）
A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
【答案】B
【解析】如圖設橫截面為等腰梯形，于，，
要使水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，
則，解得米，
設，則，故，且，
梯形的面積，
當時，，
此時，
即當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.
故選：B.
【對點訓練15】（2024·北京·高三北京市八一中學校考開學考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（ ）
（參考數據：）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【答案】D
【解析】設經過次過濾后，水中雜質減少到原來的5%以下，
則，即，
不等式兩邊取常用對數得：，解得：，
故至少需要過濾5次.
故選：D
【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得
因為，
所以，
即，
解得，
所以
【解題方法總結】
構建函數模型解決實際問題的步驟
（1）建模：抽象出實際問題的數學模型；
（2）推理、演算：對數學模型進行邏輯推理或數學運算，得到問題在數學意義上的解；
（3）評價、解釋：對求得的數學結果進行深入討論，作出評價、解釋、返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解
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