資源簡介

第14講 導數的概念與運算
知識梳理
知識點一：導數的概念和幾何性質
1、概念
函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或．
知識點詮釋：
①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有
多近，即可以小于給定的任意小的正數；
②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與
無限接近；
③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時
刻的瞬間變化率，即．
2、幾何意義
函數在處的導數的幾何意義即為函數在點處的切線的斜率．
3、物理意義
函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．
知識點二：導數的運算
1、求導的基本公式
基本初等函數 導函數
（為常數）
2、導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：；
（2）函數積的求導法則：；
（3）函數商的求導法則：，則．
3、復合函數求導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：
【解題方法總結】
1、在點的切線方程
切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵．
2、過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，
又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
必考題型全歸納
題型一：導數的定義
【例1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示，函數的導數為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圖象可知，
即.
故選：D
【對點訓練1】（2024·云南楚雄·高三統考期末）已知某容器的高度為20cm，現在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（ ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
【答案】C
【解析】由，求導得：.
當時，，解得（舍去）.
故當時，液體上升高度的瞬時變化率為.
故選：C
【對點訓練2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學期末）已知函數的導函數是，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】因為
所以
故選：B
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）若函數在處可導，且，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由導數定義可得，
所以．
故選：A．
【對點訓練4】（2024·高三課時練習）若在處可導，則可以等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由導數定義，
對于A， ，A滿足；
對于B，，
，B不滿足；
對于C，，
，C不滿足；
對于D，，
，D不滿足.
故選：A.
【解題方法總結】
對所給函數式經過添項、拆項等恒等變形與導數定義結構相同，然后根據導數定義直接寫出．
題型二：求函數的導數
【例2】（2024·全國·高三專題練習）求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【解析】（1）因為，所以.
（2）因為，所以.
（3）因為，所以
（4）因為，所以
【對點訓練5】（2024·高三課時練習）求下列函數的導數：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）
.
（2），
所以.
（3）.
（4）
.
（5）.
（6），
故
.
【對點訓練6】（2024·海南·統考模擬預測）在等比數列中，，函數，則__________．
【答案】
【解析】因為
，
所以．
因為數列為等比數列，所以，
于是．
故答案為：
【對點訓練7】（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）已知可導函數，定義域均為，對任意滿足，且，求__________.
【答案】
【解析】由題意可知，令，則，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案為：.
【對點訓練8】（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知函數的導函數為，且，則______．
【答案】
【解析】因為，則，故，故．
故答案為：.
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，則__________.
【答案】-2
【解析】由函數求導得：，當時，，解得，
因此，，所以.
故答案為：-2
【解題方法總結】
對所給函數求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數求導法則，直接轉化為基本函數求導問題．
題型三：導數的幾何意義
方向1、在點P處切線
【例3】（2024·廣東廣州·統考模擬預測）曲線在點處的切線方程為__________．
【答案】
【解析】函數的導函數為，
所以函數在處的導數值，
所以曲線在點處的切線斜率為，
所以曲線在點處的切線方程為，即，
故答案為：.
【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線方程為______．
【答案】
【解析】因為，
所以 ，
則，
又，
所以曲線在點處的切線方程為，
即．
故答案為：.
【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，為的導函數.若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為______
【答案】
【解析】，
令，，則，
令，，解得x＝2k＋1，，
當k＝0時，x＝1，所以直線x＝1為的一條對稱軸，
故的圖象也關于直線x＝1對稱，則有，解得b＝－1，
則，，
，，
故切線方程為.
故答案為；.
【對點訓練12】（2024·湖南·校聯考模擬預測）若函數是奇函數，則曲線在點處的切線方程為______．
【答案】
【解析】因為是奇函數，
所以對恒成立，
即對恒成立，
所以，則，故，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
化簡得.
故答案為：
方向2、過點P的切線
【對點訓練13】（2024·江西·校聯考模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是______．
【答案】
【解析】由題意可得，
設該切線方程，且與相切于點，
，整理得，
∴，可得，∴.
故答案為：.
【對點訓練14】（2024·浙江金華·統考模擬預測）已知函數，過點存在3條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由，設切點為，則切線斜率為，
所以，過的切線方程為，
綜上，，即，
所以有三個不同值使方程成立，
即與有三個不同交點，而，
故、上，遞減，上，遞增；
所以極小值為，極大值為，故時兩函數有三個交點，
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
【對點訓練15】（2024·浙江紹興·統考模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程：__________.
【答案】或（寫出一條即可）
【解析】由可得，
設過點作曲線的切線的切點為，則，
則該切線方程為，
將代入得，解得或，
故切點坐標為或，
故切線方程為或，
故答案為：或
【對點訓練16】（2024·海南海口·校聯考模擬預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為_________．
【答案】，，，只需寫出一個答案即可
【解析】設切點為，因為，所以切線方程為．
因為切線經過點，所以，
由題意關于的方程沒有實數解，
則，解得．
因為為整數，所以的取值可能是，，.
故答案為：，，，只需寫出一個答案即可
【對點訓練17】（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.
【答案】或
【解析】由可得，設切點坐標為，
所以切線斜率，又因為，
則切線方程為，
把代入并整理可得，解得或.
故答案為：或
【對點訓練18】（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）若過點有條直線與函數的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】設過點的直線與的圖象的切點為，
因為，
所以切線的斜率為，
所以切線的方程為，
將代入得，
即，
設，則，
由，得或，
當或時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增，
所以，
又0，所以恒成立，
所以的圖象大致如圖所示，
由圖可知，方程最多個解，
即過點的切線最多有條，
即的最大值為3，此時.
故答案為：.
【對點訓練19】（2024·全國·模擬預測）已知函數，其導函數為，則曲線過點的切線方程為______．
【答案】或
【解析】設切點為，由，得，
∴，得，∴，，
∴切點為，，
∴曲線在點M處的切線方程為①，
又∵該切線過點，∴，解得或．
將代入①得切線方程為；
將代入①得切線方程為，即．
∴曲線過點的切線方程為或．
故答案為：或
方向3、公切線
【對點訓練20】（2024·云南保山·統考二模）若函數與函數的圖象存在公切線，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函數，可得，
因為，設切點為，則，
則公切線方程為，即，
與聯立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函數在上單調遞增，且，
當時，，即，此時函數單調遞減，
當時，，即，此時函數單調遞增，
所以，且當時，，所以函數的值域為，所以且，解得，即實數的取值范圍為.
故選：A.
【對點訓練21】（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.
【答案】1
【解析】設，則，設切點為，則，
則切線方程為，即，
直線過定點，
所以，所以，
設，則，設切點為，則，
則切線方程為，即，
直線過定點，
所以，所以，
則是函數和的圖象與曲線交點的橫坐標，
易知與的圖象關于直線對稱，而曲線也關于直線對稱，
因此點關于直線對稱，
從而，，
所以．
故答案為：1.
【對點訓練22】（2024·河北邯鄲·統考三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是____．
【答案】
【解析】曲線在點處的切線方程為，
由于直線與圓相切，得（*）
因為曲線與圓有三條公切線，故（*）式有三個不相等的實數根，
即方程有三個不相等的實數根.
令，則曲線與直線有三個不同的交點.
顯然，.
當時，，當時，，當時，，
所以，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
且當時，，當時，，
因此，只需，即，
解得.
故答案為：
【對點訓練23】（2024·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由題意得，
設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，
則切線方程為，即，
，即，
由于兩切線為同一直線，所以，得．
令，則，
當時，，在單調遞減，
當時，，在單調遞增．
即有處取得極小值，也為最小值，且為．
又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，
結合當時，趨近于0，趨于負無窮小，故趨近于正無窮大，
當時，趨近于正無窮大，且增加幅度遠大于的增加幅度，故趨近于正無窮大，
由此結合圖像可得a的范圍是，
故答案為：
【對點訓練24】（2024·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則________．
【答案】
【解析】設曲線在處的切線與曲線相切于處，
，故曲線在處的切線方程為，
整理得.
，故曲線在處的切線方程為，
整理得.
故
由(1)再結合知，將(1)代入(2) ，得，
解得且，
將代入(1) ，解得且，
即且，令，則，.
令，，
則在區間單調遞增，在區間單調遞減，且，
又兩曲線有且只有一條公切線，所以只有一個根，由圖和知.
故答案為：.
【對點訓練25】（2024·福建南平·統考模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為________．
【答案】
【解析】設曲線和曲線在公共點處的切線相同，
則，
由題意知，
即，解得，
故切點為，切線斜率為，
所以切線方程為，即，
故答案為：
方向4、已知切線求參數問題
【對點訓練26】（2024·江蘇·校聯考模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.
【答案】
【解析】設切線切點為，因，則切線方程為：.
因過，則，由題函數圖象
與直線有兩個交點.，
得在上單調遞增，在上單調遞減.
又，，.
據此可得大致圖象如下.則由圖可得，當時，曲線有兩條過的切線.
故答案為：
【對點訓練27】（2024·山東聊城·統考三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】設切點坐標為，因為，
所以，故切線的斜率為：，
，則.
又由于切點在切線與曲線上，
所以，所以.
令，則，設，
，令得：，
所以當時，，是增函數；
當時，，是減函數.
所以.
所以的最大值為：1.
故選：B.
【對點訓練28】（2024·重慶·統考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由且x不為0，得
設切點為，則，即，
所以，可得.
故選：C
【對點訓練29】（2024·海南·校聯考模擬預測）已知偶函數在點處的切線方程為，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因為是偶函數，所以，即；
由題意可得：，
所以.
故選：A
【對點訓練30】（2024·全國·高三專題練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數的定義域為，且，
因為曲線在其上任意一點點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，
所以，對任意的恒成立，則，
當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，
所以，，解得.
故選：B.
【對點訓練31】（2024·全國·高三專題練習）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】對求導得，
由得，則，即，
所以，
當且僅當時取等號．
故選：D．
方向5、切線的條數問題
【對點訓練32】（2024·河北·高三校聯考階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函數的圖象，由圖象可知點在函數圖象上方時，過此點可以作曲線的兩條切線，
所以，
故選：B．
【對點訓練33】（2024·全國·高三專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
設切點坐標為，由于，因此切線方程為，又切線過點，則，，
設，函數定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點，，
當時，恒成立，在定義域內單調遞增，不合題意；當時，時，，單調遞減，
時，，單調遞增，所以，結合圖像知，即.
故選：D.
【對點訓練34】（2024·湖南·校聯考二模）若經過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】設切點．因為，所以，
所以點處的切線方程為，
又因為切線經過點，所以，即.
令，則與有且僅有1個交點，，
當時，恒成立，所以單調遞增，顯然時，，于是符合題意；
當時，當時，，遞減，當時，，遞增，所以，
則，即．
綜上，或．
故選：D
方向6、切線平行、垂直、重合問題
【對點訓練35】（2024·全國·高三專題練習）若函數與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設函數圖象上切點為，因為，所以，得， 所以，所以切線方程為，即，設函數的圖象上的切點為，因為，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故選：A
【對點訓練36】（2024·全國·高三專題練習）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數的值為（ ）
A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3
【答案】B
【解析】設，由得，
由題意，因為，則有．
把代入得，
由題意都是此方程的解，即①，
，
化簡為②，
把①代入②并化簡得，即，，
當時，①②兩式相同，說明，舍去．所以．
故選：B．
【對點訓練37】（2024·江西撫州·高三金溪一中校考開學考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標與點的縱坐標之差為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，當時，，
當時，，
因為切線互相垂直，所以，
所以，所以，
直線的方程為，令，得，
故，
直線的方程為，令，得，
故，
所以，
設，則，
在上單調遞減，所以，即，
故選：A.
【對點訓練38】（2024·全國·高三專題練習）若函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
因為函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，
不妨設函數在和的切線互相垂直，
則，即①，
因為a一定存在，即方程①一定有解，所以，
即，解得或，
又，所以或，，
所以方程①變為，所以，故A，B，D錯誤.
故選：C.
【對點訓練39】（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期末）若函數的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數”，下列函數中不是“切線重合函數”的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A， 顯然是偶函數， ，
當 時， ，單調遞減，當 時， 單調遞增，
當 時， ，單調遞減，當 時，單調遞增；
在 時， ，都取得極小值，由于是偶函數，在這兩點的切線是重合的，故A是“切線重合函數”；
對于B， 是正弦函數，顯然在頂點處切線是重合的，故B是“切線重合函數”；
對于C，考察 兩點處的切線方程， ，
兩點處的切線斜率都等于1，在A點處的切線方程為 ，化簡得： ，
在B點處的切線方程為 ，化簡得 ，顯然重合，
C是“切線重合函數”；
對于D， ，令 ，則 ，
是增函數，不存在 時， ，所以D不是“切線重合函數”；
故選：D.
【對點訓練40】（2024·全國·高三專題練習）已知A，B是函數，圖象上不同的兩點，若函數在點A、B處的切線重合，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當時，的導數為；
當時，的導數為，
設，為函數圖象上的兩點，且，
當或時，，故，
當時，函數在處的切線方程為：；
當時，函數在處的切線方程為
兩直線重合的充要條件是①，②，
由①②得：，，
令，則，
令，則，
由，得，即時有最大值，
在上單調遞減，則.
a的取值范圍是.
故選：B.
方向7、最值問題
【對點訓練41】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】與互為反函數，其圖像關于直線對稱
先求出曲線上的點到直線的最小距離．
設與直線平行且與曲線相切的切點，．
，，解得．．
得到切點，點P到直線的距離．
最小值為．
故選：B．
【對點訓練42】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】與互為反函數，它們圖像關于直線對稱；
故可先求點P到直線的最近距離d，
又，當曲線上切線的斜率時，得，，
則切點到直線的距離為，
所以的最小值為．
故選：D．
【對點訓練43】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】與互為反函數，
所以與的圖像關于直線對稱，
設，則，
令得，
則當時，，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，
所以，
所以與無交點，則與也無交點，
下面求出曲線上的點到直線的最小距離，
設與直線平行且與曲線相切的切點，，
，
，解得，
，
得到切點，到直線的距離，
的最小值為，
故選：D．
【對點訓練44】（2024·全國·高三專題練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【解析】由得，，，即，，
的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，
不妨設曲線，直線，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，
顯然直線與直線的距離的平方即為所求，
由，得，設切點為，，
則，解得，
直線與直線的距離為，
的最小值為8．
故選：B.
【對點訓練45】（2024·全國·高三專題練習）設函數，其中，．若存在正數，使得成立，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】函數可以看作是動點與動點之間距離的平方，
動點在函數的圖像上，在直線的圖像上，
問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由得，當時，解得，即曲線上斜率為2的切線，切點為，
曲線上點到直線的距離，則，
根據題意，要使，則，此時恰好為垂足，
由，解得．
故選：A．
【對點訓練46】（2024·寧夏銀川·銀川二中校考一模）已知實數滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，又，
表示點與曲線上的點之間的距離；
點的軌跡為，表示直線上的點與曲線上的點之間的距離；
令，則，
令，即，解得：或（舍），
又，
的最小值即為點到直線的距離，的最小值為.
故選：B.
【對點訓練47】（2024·四川成都·川大附中校考二模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.
設切點為，，
所以，切線斜率為，
由題知得或（舍），
所以，，此時點到直線距離.
故選：C
方向8、牛頓迭代法
【對點訓練48】（2024·湖北咸寧·校考模擬預測）英國數學家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphson method譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線：，則與軸交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；重復以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運用上述方法，并規定初始近似值不得超過零點大小，則函數的零點一次近似值為（ ）（精確到小數點后3位，參考數據：）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【答案】C
【解析】易知在定義域上單調遞增，，即函數的零點有且只有一個，且在區間上.
不妨取作為初始近似值，，
由題意知.
故選：C.
【對點訓練49】（多選題）（2024·安徽蕪湖·統考模擬預測）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（ ）
A． B．切線：
C． D．
【答案】ABD
【解析】由，可得，即，
根據函數零點的存在性定理，可得，所以A正確；
又由，設切點，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
令，可得，所以D正確；
當時，可得，則，
所以的方程為，即，所以B正確；
由，可得，，此時，
所以C錯誤；
故選：ABD
【對點訓練50】（多選題）（2024·全國·模擬預測）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法一牛頓法.首先，設定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標記作：用替代重復上面的過程可得；一直繼續下去，可得到一系列的數，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值即作為函數的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構造函數，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（ ）
A．對任意，
B．若，且，則對任意，
C．當時，需要作2條切線即可確定的值
D．無論在上取任何有理數都有
【答案】BCD
【解析】A，因為，則，
設，則切線方程為，
切線與軸的交點橫坐標為，所以，故A錯誤；
B，處的切線方程為，
所以與軸的交點橫坐標為，故B正確；
C，因為，，
所以兩條切線可以確定的值，故C正確；
D，由選項C可知，，所以無論在上取
任何有理數都有，故D正確.
故選：BCD
【對點訓練51】（2024·全國·高三專題練習）牛頓迭代法（Newton's method）又稱牛頓–拉夫遜方法（Newton–Raphsonmethod），是牛頓在17世紀提出的一種近似求方程根的方法．如圖，設是的根，選取作為初始近似值，過點作曲線的切線,與軸的交點的橫坐標（），稱是的一次近似值，過點作曲線的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值．重復以上過程，直到的近似值足夠小，即把作為的近似解．設，，，，構成數列．對于下列結論：

①（）；
②（）；
③；
④（）．
其中正確結論的序號為__________．
【答案】②④
【解析】由題意，過點作曲線的切線方程為，
令，解得（），
過點作曲線的切線方程為，
令，解得（），
過點作曲線的切線方程為，
令，解得（），
重復以上過程，當時，
則過點作曲線的切線方程為，
令，解得（，），故①錯誤，②正確.
將，，，累加，得
（），
∴（），故③錯誤，④正確.
故答案為：②④.
【解題方法總結】
函數在點處的導數，就是曲線在點處的切線的斜率．這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經過某點的切線的區別．（1）已知在點處的切線方程為．（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程．另外，要注意切點既在曲線上又在切線上
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第14講 導數的概念與運算
知識梳理
知識點一：導數的概念和幾何性質
1、概念
函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或．
知識點詮釋：
①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有
多近，即可以小于給定的任意小的正數；
②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與
無限接近；
③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時
刻的瞬間變化率，即．
2、幾何意義
函數在處的導數的幾何意義即為函數在點處的切線的斜率．
3、物理意義
函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．
知識點二：導數的運算
1、求導的基本公式
基本初等函數 導函數
（為常數）
2、導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：；
（2）函數積的求導法則：；
（3）函數商的求導法則：，則．
3、復合函數求導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：
【解題方法總結】
1、在點的切線方程
切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵．
2、過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，
又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
必考題型全歸納
題型一：導數的定義
【例1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖象如圖所示，函數的導數為，則（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練1】（2024·云南楚雄·高三統考期末）已知某容器的高度為20cm，現在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（ ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
【對點訓練2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學期末）已知函數的導函數是，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）若函數在處可導，且，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【對點訓練4】（2024·高三課時練習）若在處可導，則可以等于（ ）．
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
對所給函數式經過添項、拆項等恒等變形與導數定義結構相同，然后根據導數定義直接寫出．
題型二：求函數的導數
【例2】（2024·全國·高三專題練習）求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【對點訓練5】（2024·高三課時練習）求下列函數的導數：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【對點訓練6】（2024·海南·統考模擬預測）在等比數列中，，函數，則__________．
【對點訓練7】（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）已知可導函數，定義域均為，對任意滿足，且，求__________.
【對點訓練8】（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知函數的導函數為，且，則______．
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，則__________.
【解題方法總結】
對所給函數求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數求導法則，直接轉化為基本函數求導問題．
題型三：導數的幾何意義
方向1、在點P處切線
【例3】（2024·廣東廣州·統考模擬預測）曲線在點處的切線方程為__________．
【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線方程為______．
【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，為的導函數.若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為______
【對點訓練12】（2024·湖南·校聯考模擬預測）若函數是奇函數，則曲線在點處的切線方程為______．
方向2、過點P的切線
【對點訓練13】（2024·江西·校聯考模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是______．
【對點訓練14】（2024·浙江金華·統考模擬預測）已知函數，過點存在3條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是___________.
【對點訓練15】（2024·浙江紹興·統考模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程：__________.
【對點訓練16】（2024·海南海口·校聯考模擬預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為_________．
【對點訓練17】（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.
【對點訓練18】（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）若過點有條直線與函數的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為__________.
【對點訓練19】（2024·全國·模擬預測）已知函數，其導函數為，則曲線過點的切線方程為______．
方向3、公切線
【對點訓練20】（2024·云南保山·統考二模）若函數與函數的圖象存在公切線，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練21】（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.
【對點訓練22】（2024·河北邯鄲·統考三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是____．
【對點訓練23】（2024·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數a的取值范圍為__________．
【對點訓練24】（2024·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則________．
【對點訓練25】（2024·福建南平·統考模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為________．
方向4、已知切線求參數問題
【對點訓練26】（2024·江蘇·校聯考模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.
【對點訓練27】（2024·山東聊城·統考三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【對點訓練28】（2024·重慶·統考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【對點訓練29】（2024·海南·校聯考模擬預測）已知偶函數在點處的切線方程為，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【對點訓練30】（2024·全國·高三專題練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練31】（2024·全國·高三專題練習）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
方向5、切線的條數問題
【對點訓練32】（2024·河北·高三校聯考階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練33】（2024·全國·高三專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練34】（2024·湖南·校聯考二模）若經過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．或
方向6、切線平行、垂直、重合問題
【對點訓練35】（2024·全國·高三專題練習）若函數與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練36】（2024·全國·高三專題練習）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數的值為（ ）
A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3
【對點訓練37】（2024·江西撫州·高三金溪一中校考開學考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標與點的縱坐標之差為，則（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練38】（2024·全國·高三專題練習）若函數的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練39】（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期末）若函數的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數”，下列函數中不是“切線重合函數”的為（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練40】（2024·全國·高三專題練習）已知A，B是函數，圖象上不同的兩點，若函數在點A、B處的切線重合，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
方向7、最值問題
【對點訓練41】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練42】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練43】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練44】（2024·全國·高三專題練習）已知實數，，，滿足，則的最小值為（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【對點訓練45】（2024·全國·高三專題練習）設函數，其中，．若存在正數，使得成立，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．1
【對點訓練46】（2024·寧夏銀川·銀川二中校考一模）已知實數滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練47】（2024·四川成都·川大附中校考二模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
方向8、牛頓迭代法
【對點訓練48】（2024·湖北咸寧·校考模擬預測）英國數學家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphson method譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設是的根，選取作為的初始近似值，過點做曲線的切線：，則與軸交點的橫坐標為，稱是的一次近似值；重復以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運用上述方法，并規定初始近似值不得超過零點大小，則函數的零點一次近似值為（ ）（精確到小數點后3位，參考數據：）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【對點訓練49】（多選題）（2024·安徽蕪湖·統考模擬預測）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（ ）
A． B．切線：
C． D．
【對點訓練50】（多選題）（2024·全國·模擬預測）牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法一牛頓法.首先，設定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標記作：用替代重復上面的過程可得；一直繼續下去，可得到一系列的數，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值即作為函數的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構造函數，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（ ）
A．對任意，
B．若，且，則對任意，
C．當時，需要作2條切線即可確定的值
D．無論在上取任何有理數都有
【對點訓練51】（2024·全國·高三專題練習）牛頓迭代法（Newton's method）又稱牛頓–拉夫遜方法（Newton–Raphsonmethod），是牛頓在17世紀提出的一種近似求方程根的方法．如圖，設是的根，選取作為初始近似值，過點作曲線的切線,與軸的交點的橫坐標（），稱是的一次近似值，過點作曲線的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標為，稱是的二次近似值．重復以上過程，直到的近似值足夠小，即把作為的近似解．設，，，，構成數列．對于下列結論：

①（）；
②（）；
③；
④（）．
其中正確結論的序號為__________．
【解題方法總結】
函數在點處的導數，就是曲線在點處的切線的斜率．這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經過某點的切線的區別．（1）已知在點處的切線方程為．（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程．另外，要注意切點既在曲線上又在切線上
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