資源簡(jiǎn)介

第6講 函數(shù)的概念
知識(shí)梳理
1、函數(shù)的概念
（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．
2、函數(shù)的三要素
（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．
（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．
3、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
【解題方法總結(jié)】
1、基本的函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：
（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；
（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．
2、基本初等函數(shù)的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?br/>（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
必考題型全歸納
題型一：函數(shù)的概念
例1．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·重慶·二模）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）
A．至少1個(gè) B．至多1個(gè) C．僅有1個(gè) D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)
【解題方法總結(jié)】
利用函數(shù)概念判斷
題型二：同一函數(shù)的判斷
例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【解題方法總結(jié)】
當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．
題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域
例7．（2024·北京·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.
例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則_________.
例9．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．
變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.
變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)? )
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是：
（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式．
題型四：抽象函數(shù)定義域
例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____
例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．
例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______.
變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____
變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．
【解題方法總結(jié)】
1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)椋笾械慕獾姆秶礊榈亩x域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域
2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．
題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用
例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)椋敲碼的取值范圍為_(kāi)________．
例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【解題方法總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．
題型六：函數(shù)解析式的求法
例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；
(4)已知滿足，求的解析式.
例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式
(1)已知滿足
(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；
(3)已知滿足
例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知，則的解析式為_(kāi)_________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．
變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的解析式.
變式8．（2024·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為_(kāi)_____.
變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為_(kāi)______．
【解題方法總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：
（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．
（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．
（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．
（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．
（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．
（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．
題型七：函數(shù)值域的求解
例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)?__．
例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____
變式10．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.
變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．
（2）配方法：對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．
（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．
（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．
（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．
（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．
（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過(guò)程，故又常稱此為反解有界性法．
（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（小）值，從而求出函數(shù)的值域．
題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用
例22．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
例23．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且，則（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式12．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（ ）
A． B． C． D．
變式13．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
1、分段函數(shù)的求值問(wèn)題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式代入求值
2、函數(shù)區(qū)間分類討論問(wèn)題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)
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知識(shí)梳理
1、函數(shù)的概念
（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．
2、函數(shù)的三要素
（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．
（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．
3、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
【解題方法總結(jié)】
1、基本的函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：
（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；
（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．
2、基本初等函數(shù)的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?br/>（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
必考題型全歸納
題型一：函數(shù)的概念
例1．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C, 令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D, ,,則，則存在時(shí)，，
符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，D正確，
故選：D
例2．（2024·重慶·二模）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，，則，則的范圍要包含，
故選：A．
例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于一個(gè)，只能有唯一的與之對(duì)應(yīng)，只有D滿足要求
故選：D
變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）
A．至少1個(gè) B．至多1個(gè) C．僅有1個(gè) D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)
【答案】B
【解析】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn)，
若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn)，
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
利用函數(shù)概念判斷
題型二：同一函數(shù)的判斷
例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】對(duì)于A：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋远x域相同.又對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以為同一個(gè)函數(shù).故C正確；
對(duì)于D：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故D錯(cuò)誤；
故選：C
例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對(duì)于，和的定義域都是，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：.
例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【答案】D
【解析】對(duì)于A：的定義域是，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，
對(duì)于B：，，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，
對(duì)于C：的定義域?yàn)椋亩x域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，
對(duì)于D：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同，是同一函數(shù)，
故選：D．
【解題方法總結(jié)】
當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．
題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域
例7．（2024·北京·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.
【答案】
【解析】令，可得，解得.
故函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為:.
例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則_________.
【答案】或
【解析】由有意義可得
，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
故答案為：或.
例9．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．
【答案】
【解析】要使函數(shù)有意義，則 ，解得.
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.
【答案】
【解析】由可得，即，所以，代入
即，解得或（舍），則
所以
解得
所以函數(shù)定義域?yàn)?br/>故答案為:
變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)? )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題設(shè)有，
由得，故選A.
【解題方法總結(jié)】
對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是：
（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式．
題型四：抽象函數(shù)定義域
例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____
【答案】
【解析】令，由得：，
所以，即，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br/>所以在函數(shù)中，，解得或，
故函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______.
【答案】
【解析】因的定義域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，
即的定義域?yàn)椋谑侵杏校獾茫?br/>所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____
【答案】
【解析】由函數(shù)的定義域是，得到，故 即 .
解得: ；所以原函數(shù)的定義域是：.
故答案為：.
變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．
【答案】
【解析】由解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)椋笾械慕獾姆秶礊榈亩x域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域
2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．
題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用
例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】的定義域是R，則恒成立，
時(shí)，恒成立，
時(shí)，則，解得，
綜上，．
故答案為：．
例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)椋敲碼的取值范圍為_(kāi)________．
【答案】
【解析】依題可知，的解集為，所以，解得．
故答案為：．
例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?R，所以的解為R，
即函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故成立；
（2）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則，解得.
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)镽,得恒成立,化簡(jiǎn)得恒成立,所以由解得:.
故答案為:.
【解題方法總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．
題型六：函數(shù)解析式的求法
例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；
(4)已知滿足，求的解析式.
【解析】(1)設(shè)，，則
∵
∴ ，
即，
(2)∵
由勾型函數(shù)的性質(zhì)可得，其值域?yàn)?br/>所以
(3)由f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴將x用替換，得，②
由①②解得f(x)=3x.
例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式
(1)已知滿足
(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；
(3)已知滿足
【解析】（1）令，則，
故，
所以；
（2）設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）因?yàn)棰伲?br/>所以②，
②①得，
所以.
例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知，則的解析式為_(kāi)_________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．
【解析】（1）方法一（換元法）：令，則，．
所以，
所以函數(shù)的解析式為．
方法二（配湊法）：．
因?yàn)椋院瘮?shù)的解析式為．
（2）將代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的解析式.
【解析】由，令，則，
所以，
所以.
變式8．（2024·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】中，令，解得，
令得，故，
不妨設(shè)，滿足要求.
故答案為：
變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為_(kāi)______．
【答案】．
【解析】∵定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意都有，
令，則，
在上式中令，則，解得，
故，
由得，即，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，
可知這兩個(gè)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即和，
則方程的解集為．
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：
（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．
（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．
（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．
（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求．
（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．
（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．
題型七：函數(shù)值域的求解
例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【解析】（1）分式函數(shù)，
定義域?yàn)椋剩校?br/>故值域?yàn)椋?br/>（2）函數(shù)中，分母，
則，故值域?yàn)椋?br/>（3）函數(shù)中，令得，
易見(jiàn)函數(shù)和都是減函數(shù)，
故函數(shù)在時(shí)是遞減的，故時(shí)，
故值域?yàn)椋?br/>（4），
故值域?yàn)榍遥?br/>（5），
而，，
，，
即，故值域?yàn)椋?br/>（6）函數(shù)，定義域?yàn)椋睿?br/>所以，所以，對(duì)稱軸方程為，
所以時(shí)，函數(shù)，故值域?yàn)椋?br/>（7）由題意得，解得，
則，
故，，，
由y的非負(fù)性知，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（8）函數(shù)，定義域?yàn)椋剩粗涤驗(yàn)椋?br/>（9）函數(shù)，定義域?yàn)椋?br/>故，所有，故值域?yàn)椋?br/>（10）函數(shù)，
令，則由知，，，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在遞減，在遞增,
可知時(shí)，，故值域?yàn)?
例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)?__．
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>則的值域?yàn)椋?br/>所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>故答案為：．
例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____
【答案】
【解析】表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
的軌跡為圓，
表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
由圖象可知：過(guò)作圓的切線，斜率必然存在，
則設(shè)過(guò)的圓的切線方程為，即，
圓心到切線的距離，解得：，
結(jié)合圖象可知：圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍為，
即的值域?yàn)?
故答案為：.
變式10．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.
【答案】/
【解析】因?yàn)椋?br/>令，則，
令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，
即，則，
即函數(shù)的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故答案為：
變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.
【答案】
【解析】由有意義可得，所以，
的定義域?yàn)椋?br/>，
設(shè)，則，，則.
故答案為：．
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．
（2）配方法：對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．
（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．
（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．
（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．
（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．
（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過(guò)程，故又常稱此為反解有界性法．
（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（小）值，從而求出函數(shù)的值域．
題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用
例22．（2024·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
【答案】A
【解析】由分段函數(shù)知：當(dāng)時(shí)，周期，
所以，
所以．
故選：A
例23．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且，則（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故選：C
例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，
所以，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，
所以，即，解得，
所以，的取值范圍是
故選：D
變式12．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】①當(dāng)時(shí)，由，可得，
若時(shí)，則，此時(shí)無(wú)解，
若時(shí)，由，解得；
②當(dāng)時(shí)，由，可得或.
若時(shí)，則，由可得，方程無(wú)解，
若時(shí)，由可得或，由可得或.
綜上所述，滿足的的取值集合為.
故選：BCD.
變式13．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
其中當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解可得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解可得或，符合題意；
當(dāng)時(shí)，必有，
此時(shí)，變形可得或，
若，解可得，
若，無(wú)解；
綜合可得：或或或，分析可得選項(xiàng)可得：ACD符合；
故選：ACD．
【解題方法總結(jié)】
1、分段函數(shù)的求值問(wèn)題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式代入求值
2、函數(shù)區(qū)間分類討論問(wèn)題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．
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