資源簡介

第7講 函數的性質
知識梳理
1、函數的單調性
（1）單調函數的定義
一般地，設函數的定義域為，區間：
如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區間上是增函數．
如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區間上是減函數．
①屬于定義域內某個區間上；
②任意兩個自變量，且；
③都有或；
④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．
（2）單調性與單調區間
①單調區間的定義：如果函數在區間上是增函數或減函數，那么就說函數在區間上具有單調性，稱為函數的單調區間．
②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．
（3）復合函數的單調性
復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.
2、函數的奇偶性
函數奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數 關于軸對稱
奇函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數 關于原點對稱
判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數為偶函數；如果或，則函數為奇函數．
注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．
3、函數的對稱性
(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．
(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．
(3)若，則函數關于對稱．
(4)若，則函數關于點對稱．
4、函數的周期性
（1）周期函數：
對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做的最小正周期.
【解題方法總結】
1、單調性技巧
（1）證明函數單調性的步驟
①取值：設，是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；
④得出結論．
（2）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
②若和均為增(或減)函數，則在和的公共定義域上為增(或減)函數；
③若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
④若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．
2、奇偶性技巧
(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.
(2)奇偶函數的圖象特征.
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.
(3)若奇函數在處有意義，則有；
偶函數必滿足.
(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.
(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.
(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.
對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數模型
奇函數：①函數或函數．
②函數．
③函數或函數
④函數或函數．
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①函數．
②函數．
③函數類型的一切函數．
④常數函數
3、周期性技巧
4、函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
5、對稱性技巧
（1）若函數關于直線對稱，則．
（2）若函數關于點對稱，則．
（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．
必考題型全歸納
題型一：函數的單調性及其應用
例1．已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數
例2．若定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0成立，則必有（ ）
A．f(x)在R上是增函數 B．f(x)在R上是減函數
C．函數f(x)先增后減 D．函數f(x)先減后增
例3．下列函數中，滿足“”的單調遞增函數是
A． B．
C． D．
變式1．函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． 和
C．和 D． 和
變式2．（江蘇省泰州市海陵區2024學年高三上學期期中數學試題）已知函數．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）設，，證明：函數是x的增函數．
變式4．（2024·上海靜安·高三校考期中）已知函數，且.
(1)求的值，并指出函數的奇偶性；
(2)在（1）的條件下，運用函數單調性的定義，證明函數在上是增函數.
【解題總結】
函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
題型二：復合函數單調性的判斷
例4．函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
例5．（陜西省寶雞市金臺區2024學年高三下學期期末數學試題）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
例6．（陜西省榆林市2024學年高三下學期階段性測試）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【解題總結】
討論復合函數的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的單調性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則，復合法則如下：
1、若，在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則為增函數；
2、若，在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則為減函數．列表如下：
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．
題型三：利用函數單調性求函數最值
例7．（河南省2024屆高三下學期仿真模擬考試數學試題）已知函數為定義在R上的單調函數，且，則在上的值域為______．
例8．（上海市靜安區2024屆高三二模數學試題）已知函數為偶函數，則函數的值域為___________.
例9．（河南省部分學校大聯考2024學年高三下學期3月質量檢測）已知函數且，若曲線在點處的切線與直線垂直，則在上的最大值為__________.
變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學2024屆高三上學期第一次月考）若函數在區間上的最大值為，則實數_______.
【解題總結】
利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：
1、如果函數在區間上是增函數，在區間上是減函數，則函數在處有最大值．
2、如果函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，則函數在處有最小值．
3、若函數在上是嚴格單調函數，則函數在上一定有最大、最小值．
4、若函數在區間上是單調遞增函數，則的最大值是，最小值是．
5、若函數在區間上是單調遞減函數，則的最大值是，最小值是．
題型四：利用函數單調性求參數的范圍
例10．已知函數，滿足對任意的實數，且，都有，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例11．（吉林省松原市2024學年高三上學期第一次月考）若函數（且）在區間內單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例12．（四川省廣安市2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（江西省臨川第一中學2024屆高三上學期期末考試數學（理）試題）已知函數在上是減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式7．（天津市復興中學2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數在上具有單調性，則實數k的取值范圍為（ ）．
A． B．
C．或 D．或
【解題總結】
若已知函數的單調性，求參數的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數的不等式，利用下面的結論求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
題型五：基本初等函數的單調性
例13．（2024·天津河西·天津市新華中學校考模擬預測）已知函數是上的偶函數，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
例14．（多選題）（甘肅省慶陽市寧縣第一中學2024學年高三上學期期中數學試題）已知函數在區間上是偶函數，在區間上是單調函數，且，則（　　）
A． B．
C． D．
例15．（2024屆北京市朝陽區高三第一次模擬考試數學試題）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【解題總結】
1、比較函數值大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決.
2、求復合函數單調區間的一般步驟為：①求函數定義域；②求簡單函數單調區間；③求復合函數單調區間(同增異減).
3、利用函數單調性求參數時，通常要把參數視為已知數，依據函數圖像或單調性定義，確定函數單調區間，與已知單調區間比較，利用區間端點間關系求參數.同時注意函數定義域的限制，遇到分段函數注意分點左右端點函數值的大小關系.
題型六：函數的奇偶性的判斷與證明
例16．利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
例17．（2024·北京·高三專題練習）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
例18．（多選題）（黑龍江省哈爾濱市第五中學校2024學年高三下學期開學檢測數學試題）設函數的定義域都為R，且是奇函數，是偶函數，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是偶函數
變式8．（北京市海淀區2024屆高三二模數學試題）下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【解題總結】
函數單調性與奇偶性結合時，注意函數單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數圖像的對稱性.
題型七：已知函數的奇偶性求參數
例19．（四川省成都市蓉城聯盟2024學年高三下學期第二次聯考）已知函數是偶函數，則______．
例20．（江西省部分學校2024屆高三下學期一輪復習驗收考試）若函數是偶函數，則__________．
例21．（湖南省部分學校2024屆高三下學期5月聯數學試題）已知函數，若是偶函數，則______．
變式9．若函數為偶函數，則__________.
【解題總結】
利用函數的奇偶性的定義轉化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.
題型八：已知函數的奇偶性求表達式、求值
例22．（2024年高三數學押題卷五）已知函數是奇函數，函數是偶函數．若，則（ ）
A． B． C．0 D．
例23．（廣東省湛江市2024屆高三二模數學試題）已知奇函數則__________．
例24．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則函數的解析式為_________．
變式10．設函數與的定義域是，函數是一個偶函數，是一個奇函數，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題總結】
抓住奇偶性討論函數在各個分區間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的解析式.
題型九：已知奇函數+M
例25．（寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯合二模考試數學試題）已知函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
例26．（河南省濟洛平許2024屆高三第四次質量檢測數學試題）已知在R上單調遞增，且為奇函數.若正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例27．（重慶市巴蜀中學2024屆高三高考適應性月考數學試題）已知函數在區間的最大值是M，最小值是m，則的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
變式11．（福建省福州格致中學2024學年高三下學期期中考數學試題）已知函數，若，則（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．無法確定
【解題總結】
已知奇函數+M，，則
（1）
（2）
題型十：函數的對稱性與周期性
例28．（多選題）（2024·山東煙臺·統考二模）定義在上的函數滿足，是偶函數，，則（ ）
A．是奇函數 B．
C．的圖象關于直線對稱 D．
例29．（多選題）（2024·湖南·高三校聯考階段練習）已知定義在上的函數和的導函數分別是和，若，，且是奇函數，則下列結論正確的是（ ）
A． B．的圖像關于點對稱
C． D．
例30．（多選題）（2024·河北·統考模擬預測）已知函數，的定義域均為，導函數分別為，，若，，且，則（ ）
A．4為函數的一個周期 B．函數的圖象關于點對稱
C． D．
變式12．（多選題）（2024·山東濱州·統考二模）函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且滿足，函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．8是的一個周期
C．一定存在零點 D．
【解題總結】
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
題型十一：類周期函數
例31．（2024·山西長治·高三山西省長治市第二中學校校考階段練習）定義域為的函數滿足，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·江西南昌·高三校考期中）已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例33．（2024·全國·高三專題練習）定義域為的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　 )
A． B．
C． D．
變式13．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數有4個零點，則實數的取值范圍為
B．關于的方程有個不同的解
C．對于實數，不等式恒成立
D．當時，函數的圖象與軸圍成的圖形的面積為
【解題總結】
1、類周期函數
若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數值擴大倍．此函數稱為周期為的類周期函數．
類周期函數圖象倍增函數圖象
2、倍增函數
若函數滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數值擴大倍．此函數稱為倍增函數．
注意當時，構成一系列平行的分段函數，．
題型十二：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性
例34．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題）已知定義在上的函數，滿足：①；②為奇函數；③，；④任意的，，.
（1）判斷并證明函數的奇偶性；
（2）判斷并證明函數在上的單調性.
例35．（2024·河北石家莊·統考模擬預測）設函數定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．為奇函數
C．在上是減函數 D．方程僅有6個實數解
例36．（2024·湖北·統考模擬預測）已知函數是定義在上的偶函數，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
變式14．（四川省遂寧市2024學年高三上學期期末數學試題）定義在上的函數，對任意，滿足下列條件：① ②
（1）是否存在一次函數滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.
（2）證明：為奇函數；
變式15．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題）已知定義在上的函數，滿足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判斷并證明函數的奇偶性.
變式16．（多選題）（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中校考開學考試）已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，，且，都有，則下列結論正確的是（ ）．
A．是偶函數 B．的周期
C． D．在單調遞減
【解題總結】
抽象函數的模特函數通常如下：
(1)若，則(正比例函數)
(2)若，則(指數函數)
(3)若，則(對數函數)
(4)若，則(冪函數)
(5)若，則(一次函數)
(6)對于抽象函數判斷單調性要結合題目已知條件，在所給區間內比較大小，有時需要適當變形.
題型十三：函數性質的綜合
例37．（廣西2024屆高三畢業班高考模擬測試數學試題）已知定義在上的函數在上單調遞減，且為偶函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例38．（北京市西城區第五十六中學2024屆高三數學一模試題）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
例39．（2024·廣東廣州·統考二模）已知偶函數與其導函數的定義域均為，且也是偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式17．（2024·河南商丘·商丘市實驗中學校聯考模擬預測）已知是定義在上的奇函數，，且在上單調遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式18．（2024·安徽黃山·統考二模）已知函數，則使不等式成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式19．（2024·四川成都·校考三模）已知函數,則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
變式20．（2024·寧夏銀川·校聯考二模）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．∪ D．∪
變式21．（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預測）已知函數，若，則實數范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式22．（2024·全國·高三專題練習）設是定義在R上的奇函數，且當時，，若對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題總結】
（1）奇偶性與單調性綜合解題，尤其要重視利用偶函數（或軸對稱函數）與單調性綜合解不等式和比較大小.
（2）奇偶性、單調性、周期性綜合解題，尤其要注意對稱性與周期性之間的關系，周期是兩條對稱軸（或對稱中心）之間距離的2倍，是對稱中心與對稱軸之間距離的4倍
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第7講 函數的性質
知識梳理
1、函數的單調性
（1）單調函數的定義
一般地，設函數的定義域為，區間：
如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區間上是增函數．
如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區間上是減函數．
①屬于定義域內某個區間上；
②任意兩個自變量，且；
③都有或；
④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．
（2）單調性與單調區間
①單調區間的定義：如果函數在區間上是增函數或減函數，那么就說函數在區間上具有單調性，稱為函數的單調區間．
②函數的單調性是函數在某個區間上的性質．
（3）復合函數的單調性
復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.
2、函數的奇偶性
函數奇偶性的定義及圖象特點
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數 關于軸對稱
奇函數 如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數 關于原點對稱
判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數為偶函數；如果或，則函數為奇函數．
注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．
3、函數的對稱性
(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．
(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．
(3)若，則函數關于對稱．
(4)若，則函數關于點對稱．
4、函數的周期性
（1）周期函數：
對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做的最小正周期.
【解題方法總結】
1、單調性技巧
（1）證明函數單調性的步驟
①取值：設，是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；
④得出結論．
（2）函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
（3）記住幾條常用的結論：
①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
②若和均為增(或減)函數，則在和的公共定義域上為增(或減)函數；
③若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
④若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．
2、奇偶性技巧
(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.
(2)奇偶函數的圖象特征.
函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；
函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.
(3)若奇函數在處有意義，則有；
偶函數必滿足.
(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.
(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.
(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.
對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數模型
奇函數：①函數或函數．
②函數．
③函數或函數
④函數或函數．
注意：關于①式，可以寫成函數或函數．
偶函數：①函數．
②函數．
③函數類型的一切函數．
④常數函數
3、周期性技巧
4、函數的的對稱性與周期性的關系
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
5、對稱性技巧
（1）若函數關于直線對稱，則．
（2）若函數關于點對稱，則．
（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．
必考題型全歸納
題型一：函數的單調性及其應用
例1．已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數
【答案】C
【解析】對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，
等價于對于任意兩個不相等的實數，總有.
所以函數一定是增函數.
故選：C
例2．若定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0成立，則必有（ ）
A．f(x)在R上是增函數 B．f(x)在R上是減函數
C．函數f(x)先增后減 D．函數f(x)先減后增
【答案】A
【解析】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當ab時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數.
故選：A.
例3．下列函數中，滿足“”的單調遞增函數是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于，所以指數函數滿足，且當時單調遞增，時單調遞減，所以滿足題意，故選D．
考點：冪函數、指數函數的單調性．
變式1．函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． 和
C．和 D． 和
【答案】B
【解析】
如圖所示：
函數的單調遞增區間是和．
故選：B.
變式2．（江蘇省泰州市海陵區2024學年高三上學期期中數學試題）已知函數．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
【解析】（1）在上遞減，理由如下：
任取，且，則
，
因為，且，
所以，，
所以，即，
所以在上遞減；
（2）由（1）可知在上遞減，
所以由，得
，解得，
所以實數的取值范圍為.
變式3．（2024·全國·高三專題練習）設，，證明：函數是x的增函數．
【解析】證明：當，在伯努利不等式定理3中取，，
則有，即，
則有，從，
即.
所以當時，是x的增函數．
變式4．（2024·上海靜安·高三校考期中）已知函數，且.
(1)求的值，并指出函數的奇偶性；
(2)在（1）的條件下，運用函數單調性的定義，證明函數在上是增函數.
【解析】（1）因為，又，所以，
所以，，
此時，所以為奇函數；
（2）任取，則
，
因為,所以,所以,
所以即，
所以函數在上是增函數.
【解題總結】
函數單調性的判斷方法
①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．
題型二：復合函數單調性的判斷
例4．函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意，得，解得或，
所以函數的定義域為，
令，則開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
而在上單調遞增，
所以函數的單調遞減區間為.
故選：D.
例5．（陜西省寶雞市金臺區2024學年高三下學期期末數學試題）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，則，
在上遞增，在上遞減，
因為在定義域內為增函數，
所以的單調遞減區間為，
故選：A
例6．（陜西省榆林市2024學年高三下學期階段性測試）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據題意，，解得，
又函數 在定義域內為單調增函數，
且函數在 內為單調增函數
根據復合函數的單調性可知：
的單調增區間為
選項C正確，選項ABD錯誤.
故選：C.
【解題總結】
討論復合函數的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的單調性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則，復合法則如下：
1、若，在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則為增函數；
2、若，在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則為減函數．列表如下：
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．
題型三：利用函數單調性求函數最值
例7．（河南省2024屆高三下學期仿真模擬考試數學試題）已知函數為定義在R上的單調函數，且，則在上的值域為______．
【答案】
【解析】因為為定義在R上的單調函數，
所以存在唯一的，使得，
則，，即，
因為函數為增函數，且，所以，
．
易知在上為增函數，且，，
則在上的值域為．
故答案為：.
例8．（上海市靜安區2024屆高三二模數學試題）已知函數為偶函數，則函數的值域為___________.
【答案】
【解析】函數（）是偶函數，
，
，易得，
設，
則，
當且僅當即時，等號成立，
所以，
所以函數的值域為．
故答案為：．
例9．（河南省部分學校大聯考2024學年高三下學期3月質量檢測）已知函數且，若曲線在點處的切線與直線垂直，則在上的最大值為__________.
【答案】
【解析】由題意得，所以，
因為切線與直線垂直，而的斜率為，
所以切線斜率為2，即，解得，
所以，且，
顯然是增函數，
當時，，
所以在上單調遞增，故.
故答案為：
變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學2024屆高三上學期第一次月考）若函數在區間上的最大值為，則實數_______.
【答案】3
【解析】∵函數，
由復合函數的單調性知，
當時，在上單調遞減，最大值為；
當時，在上單調遞增，最大值為，
即，顯然不合題意，
故實數.
故答案為：3
【解題總結】
利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：
1、如果函數在區間上是增函數，在區間上是減函數，則函數在處有最大值．
2、如果函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，則函數在處有最小值．
3、若函數在上是嚴格單調函數，則函數在上一定有最大、最小值．
4、若函數在區間上是單調遞增函數，則的最大值是，最小值是．
5、若函數在區間上是單調遞減函數，則的最大值是，最小值是．
題型四：利用函數單調性求參數的范圍
例10．已知函數，滿足對任意的實數，且，都有，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對任意的實數，都有,即成立，
可得函數圖像上任意兩點連線的斜率小于0，說明函數是減函數；
可得：，
解得，
故選：C
例11．（吉林省松原市2024學年高三上學期第一次月考）若函數（且）在區間內單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數在區間 內有意義，
則，
設則 ，
( 1 ) 當 時， 是增函數，
要使函數在區間內單調遞增，
需使 在區間內內單調遞增，
則需使，對任意恒成立 , 即對任意恒成立；
因為時，所以與矛盾，此時不成立.
( 2 ) 當時，是減函數，
要使函數在區間內單調遞增，
需使在區間內內單調遞減，
則需使 對任意恒成立，
即對任意恒成立，
因為，
所以，
又，所以.
綜上，的取值范圍是
故選：B
例12．（四川省廣安市2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，，
在中，函數單調遞增，
∴，解得：，
故選：C.
變式6．（江西省臨川第一中學2024屆高三上學期期末考試數學（理）試題）已知函數在上是減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函數在上是減函數，
當時，恒成立，
而函數在區間上不單調，因此，不符合題意，
當時，函數在上單調遞增，于是得函數在區間上單調遞減，
因此，并且，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：D
變式7．（天津市復興中學2024學年高三上學期期末數學試題）已知函數在上具有單調性，則實數k的取值范圍為（ ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】函數的對稱軸為，
因為函數在上具有單調性，
所以或，即或.
故選：C
【解題總結】
若已知函數的單調性，求參數的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數的不等式，利用下面的結論求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
題型五：基本初等函數的單調性
例13．（2024·天津河西·天津市新華中學校考模擬預測）已知函數是上的偶函數，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為函數是R上的偶函數，
所以函數的對稱軸為，
又因為對任意，，且都有成立．
所以函數在上單調遞增，
而，，，
所以，
所以，
因為函數的對稱軸為，
所以，
而，
因為，
所以，
所以，
所以．
故選：A．
例14．（多選題）（甘肅省慶陽市寧縣第一中學2024學年高三上學期期中數學試題）已知函數在區間上是偶函數，在區間上是單調函數，且，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】函數在區間上是單調函數，又，且，
故此函數在區間上是減函數．
由已知條件及偶函數性質，知函數在區間上是增函數．
對于A，，故，故A錯誤；
對于B，，故，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確．
故選:BD.
例15．（2024屆北京市朝陽區高三第一次模擬考試數學試題）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據函數的奇偶性和單調性，對四個函數逐一判斷可得答案.函數是奇函數，不符合；
函數是偶函數，但是在上單調遞減，不符合；
函數不是偶函數，不符合；
函數既是偶函數又在區間上單調遞增，符合.
故選：D
【解題總結】
1、比較函數值大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決.
2、求復合函數單調區間的一般步驟為：①求函數定義域；②求簡單函數單調區間；③求復合函數單調區間(同增異減).
3、利用函數單調性求參數時，通常要把參數視為已知數，依據函數圖像或單調性定義，確定函數單調區間，與已知單調區間比較，利用區間端點間關系求參數.同時注意函數定義域的限制，遇到分段函數注意分點左右端點函數值的大小關系.
題型六：函數的奇偶性的判斷與證明
例16．利用圖象判斷下列函數的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
【解析】（1）函數的定義域為，
對于函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖所示，
函數圖象關于原點對稱，所以函數為奇函數；
（2）函數的定義域為，
對于函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖所示，
函數圖象關于y軸對稱，故為偶函數；
（3）先作出的圖象，保留圖象中x≥0的部分，
再作出的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，
即得的圖象，如圖實線部分．
由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.
（4）將函數的圖象向左平移一個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，
即可得到函數的圖象，如圖，
由圖知的圖象既不關于y軸對稱，也不關于x軸對稱，
所以該函數為非奇非偶函數；
（5）函數，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
當，為二次函數，是一條拋物線，開口向上，對稱軸為，
畫出函數的圖象，如圖，
由圖知的圖象關于y軸對稱，所以該函數為偶函數.
例17．（2024·北京·高三專題練習）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于A，函數的定義域為R，且滿足，所以其為偶函數，
在上單調遞減，在上單調遞減，故A不符合題意；
對于B，設，函數的定義域為R，
且滿足，所以函數為偶函數，
當時，為單調遞增函數，故B符合題意；
對于C，函數的定義域為，不關于原點對稱，
所以函數為非奇非偶函數，故C不符合題意；
對于D，設，函數的定義域為，關于原點對稱，
且滿足，所以函數為奇函數，
又函數在上單調遞減，故D不符合題意.
故選：B.
例18．（多選題）（黑龍江省哈爾濱市第五中學校2024學年高三下學期開學檢測數學試題）設函數的定義域都為R，且是奇函數，是偶函數，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是偶函數
【答案】CD
【解析】因為函數的定義域都為R，
所以各選項中函數的定義域也為R，關于原點對稱，
因為是奇函數，是偶函數，
所以，
對于A，因為，
所以函數是奇函數，故A錯誤；
對于B，因為，
所以函數是偶函數，故B錯誤；
對于C，因為，
所以函數是奇函數，故C正確；
對于D，因為，
所以函數是偶函數，故D正確.
故選：CD.
變式8．（北京市海淀區2024屆高三二模數學試題）下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A, 的定義域為，定義域不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數，故A錯誤，
對于B，的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以為奇函數，但在單調遞減，故B錯誤，
對于C，的定義域為,關于原點對稱，又，故 為偶函數，故C錯誤，
對于D， 由正切函數的性質可知為奇函數，且在單調遞增，故D正確，
故選：D
【解題總結】
函數單調性與奇偶性結合時，注意函數單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數圖像的對稱性.
題型七：已知函數的奇偶性求參數
例19．（四川省成都市蓉城聯盟2024學年高三下學期第二次聯考）已知函數是偶函數，則______．
【答案】-1
【解析】定義域為R，
由得：，
因為，所以，故.
故答案為：-1
例20．（江西省部分學校2024屆高三下學期一輪復習驗收考試）若函數是偶函數，則__________．
【答案】1
【解析】∵為偶函數，定義域為，
∴對任意的實數都有，
即，
∴，
由題意得上式對任意的實數恒成立，
∴，解得,所以
故答案為：1
例21．（湖南省部分學校2024屆高三下學期5月聯數學試題）已知函數，若是偶函數，則______．
【答案】
【解析】因為是偶函數，
所以，
，
即，
解得.
故答案為：.
變式9．若函數為偶函數，則__________.
【答案】2
【解析】∵函數為偶函數
∴
即
又∵∴
故答案為：
【解題總結】
利用函數的奇偶性的定義轉化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.
題型八：已知函數的奇偶性求表達式、求值
例22．（2024年高三數學押題卷五）已知函數是奇函數，函數是偶函數．若，則（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【解析】由函數是奇函數，函數是偶函數，，
故，即，
將該式和相減可得，
則，
故選：C
例23．（廣東省湛江市2024屆高三二模數學試題）已知奇函數則__________．
【答案】
【解析】當時，，，
則．
故答案為：.
例24．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則函數的解析式為_________．
【答案】
【解析】由于函數是上的奇函數，則.
當時，，
設，則，則，
所以.
綜上所述，.
故答案為：
變式10．設函數與的定義域是，函數是一個偶函數，是一個奇函數，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函數是一個偶函數，是一個奇函數，
所以，，
因為①，
則②，
所以①+②得，
所以．
故選：A．
【解題總結】
抓住奇偶性討論函數在各個分區間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的解析式.
題型九：已知奇函數+M
例25．（寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯合二模考試數學試題）已知函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】因為，
所以，
所以.
故選：C.
例26．（河南省濟洛平許2024屆高三第四次質量檢測數學試題）已知在R上單調遞增，且為奇函數.若正實數a，b滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于為奇函數，所以，
由得 ，
由于 所以，
當且僅當時取等號，故的最小值為，
故選：A
例27．（重慶市巴蜀中學2024屆高三高考適應性月考數學試題）已知函數在區間的最大值是M，最小值是m，則的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【解析】令，則，
∴f(x)和g(x)在上單調性相同，
∴設g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上為奇函數，∴，
∴，∴，
.
故選：C.
變式11．（福建省福州格致中學2024學年高三下學期期中考數學試題）已知函數，若，則（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．無法確定
【答案】C
【解析】設，顯然定義域為，
又，
則，所以是上的奇函數；
又也是上的奇函數，所以也是上的奇函數，
因此，則.
故選：C.
【解題總結】
已知奇函數+M，，則
（1）
（2）
題型十：函數的對稱性與周期性
例28．（多選題）（2024·山東煙臺·統考二模）定義在上的函數滿足，是偶函數，，則（ ）
A．是奇函數 B．
C．的圖象關于直線對稱 D．
【答案】ABD
【解析】對于選項，∵是偶函數，∴，
∴函數關于直線對稱，∴，
∵，∴，∴是奇函數，則正確；
對于選項，∵，∴，∴,
∴的周期為，∴，則正確；
對于選項，若的圖象關于直線對稱，則，
但是，，即，這與假設條件矛盾，則選項錯誤；
對于選項，將代入，得，
將，代入，得，
同理可知，
又∵的周期為，∴正奇數項的周期為，
∴
，則正確.
故選：ABD.
例29．（多選題）（2024·湖南·高三校聯考階段練習）已知定義在上的函數和的導函數分別是和，若，，且是奇函數，則下列結論正確的是（ ）
A． B．的圖像關于點對稱
C． D．
【答案】ABD
【解析】因為是奇函數，所以．因為，所以，所以，則正確；
因為，所以，所以，
因為，所以，則的圖像關于點對稱，則B正確；
因為，所以，
所以（為常數），所以（為常數）．
因為，所以．
令，得，所以，則．
因為是奇函數，所以，所以，
所以，所以，所以，
即是周期為4的周期函數．
因為，所以，所以，
所以，即是周期為4的周期函數．
因為，所以，，所以，，，則
，，
故，，即C錯誤，D正確.
故選：ABD.
例30．（多選題）（2024·河北·統考模擬預測）已知函數，的定義域均為，導函數分別為，，若，，且，則（ ）
A．4為函數的一個周期 B．函數的圖象關于點對稱
C． D．
【答案】ABC
【解析】由得，
由求導得，
又得，所以，
所以，所以，
所以，
所以4為函數的一個周期，A正確；
，故，
因此，
故函數的圖象關于點對稱，B正確，
在中，令
由得 為常數，故，
由函數的圖象關于點對稱，
，
因此，
所以由于的周期為4，所以的周期也為4，
由于，所以， ，
所以，故C正確，
由于
,故D錯誤，
故選:ABC
變式12．（多選題）（2024·山東濱州·統考二模）函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且滿足，函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．的圖象關于點對稱 B．8是的一個周期
C．一定存在零點 D．
【答案】ACD
【解析】對于A,由于的圖象關于點對稱，所以，故，所以的圖象關于點對稱，故A正確，
由得，令所以，故為偶函數，又的圖象關于點對稱，所以，又，從而，
所以的圖象關于對稱，
對于C,在中,令，所以，由于在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，由零點存在性定理可得在有零點，故C正確
對于D,由于的圖象關于對稱以及得，又，所以，所以是周期為8的周期函數，，故D正確，
對于B，，所以8不是的周期，
故選：ACD
【解題總結】
（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；
（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；
（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.
題型十一：類周期函數
例31．（2024·山西長治·高三山西省長治市第二中學校校考階段練習）定義域為的函數滿足，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，則
∵，∴
即
∵時，恒成立，∴只需.
當時，最小值為（當時）；
當時，最小值為（當時），
∴
所以只需，解得：或
∴實數的取值范圍是
故選：D
例32．（2024·江西南昌·高三校考期中）已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數恒成立，設，只需找到數列的最大值即可.當時，則，，
所以，，顯然當時，
，故，，若對于任意正整數不等式
恒成立，即對于任意正整數恒成立，即對于任
意正整數恒成立，設，，令，解得，
令，解得，考慮到，故有當時，單調遞增，
當時，有單調遞減，故數列的最大值為，
所以.
故選：C.
例33．（2024·全國·高三專題練習）定義域為的函數滿足，當時，，若時，恒成立，則實數的取值范圍是(　　 )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
因為時，，
所以,
因為函數滿足，
所以，
所以，，
又因為，恒成立，
故，
解不等式可得或.
變式13．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數有4個零點，則實數的取值范圍為
B．關于的方程有個不同的解
C．對于實數，不等式恒成立
D．當時，函數的圖象與軸圍成的圖形的面積為
【答案】ABD
【解析】∵，則在的圖象是將的圖象沿軸方向伸長為原來的3倍、沿軸方向縮短為原來的一半
∴
則在上單調遞增，在上單調遞減
∴在上的最大值為，最小值為，即在上的值域為
對于A，令，即，則與有四個交點
作出時的圖象，如圖1：分別與連線的斜率為
結合圖象可得：實數的取值范圍為，A正確；
對于B，令，則
∴方程的根的個數即為與的交點個數
當時，的最大值為
∴與有且僅有一個交點，
當時，則有：
①當時，在上的最大值為，則與在內有兩個交點
∴當，與有交點
②當，則在上的最大值為
∴與有且僅有一個交點
③當時，在上的最大值為，則與在內沒有交點
∴當，與沒有交點
∴當，與的交點個數為
當時，也成立
∴關于的方程有個不同的解，B正確
對于，因為圖象過點，令，則，C錯誤
對于D，由題意可得：當時，函數的圖象與軸圍成的圖形為三角形，其底邊長為，高為
∴當時，函數的圖象與軸圍成的圖形的面積為
故選：ABD.
【解題總結】
1、類周期函數
若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數值擴大倍．此函數稱為周期為的類周期函數．
類周期函數圖象倍增函數圖象
2、倍增函數
若函數滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數值擴大倍．此函數稱為倍增函數．
注意當時，構成一系列平行的分段函數，．
題型十二：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性
例34．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題）已知定義在上的函數，滿足：①；②為奇函數；③，；④任意的，，.
（1）判斷并證明函數的奇偶性；
（2）判斷并證明函數在上的單調性.
【解析】（1）依題意，.
∴
∴，
又因為的定義域為，所以函數為偶函數.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴
即在上單調遞增.
例35．（2024·河北石家莊·統考模擬預測）設函數定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．為奇函數
C．在上是減函數 D．方程僅有6個實數解
【答案】C
【解析】由題設，則關于對稱，即，
，則關于對稱，即，
所以，則，故，
所以，即，故，
所以的周期為8，
，A正確；
由周期性知：，故為奇函數，B正確；
由題意，在與上單調性相同，而上遞增，
關于對稱知：上遞增，故上遞增，
所以在上是增函數，C錯誤；
的根等價于與交點橫坐標，
根據、對數函數性質得：，，
所以如下圖示函數圖象：函數共有6個交點，D正確.
故選：C
例36．（2024·湖北·統考模擬預測）已知函數是定義在上的偶函數，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知是定義在上的偶函數，則，
又對任意，且，都有，
所以函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，又，所以，
根據函數的單調性可知：等價為或，
即或，解得或，
即不等式的解集為.
故選：.
變式14．（四川省遂寧市2024學年高三上學期期末數學試題）定義在上的函數，對任意，滿足下列條件：① ②
（1）是否存在一次函數滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.
（2）證明：為奇函數；
【解析】解析：假設存在一次函數，設
則，
，所以，.
，故滿足條件的一次函數為：
（2）定義在上的函數對任意的，
都有成立，
令，則，得
令，則
所以，即，于是
∴為奇函數.
變式15．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數學試題）已知定義在上的函數，滿足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判斷并證明函數的奇偶性.
【解析】（1）依題意，.
（2）由（1）知，
∴，即，
∴，
又因為的定義域為，
所以函數為偶函數.
變式16．（多選題）（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中校考開學考試）已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，，且，都有，則下列結論正確的是（ ）．
A．是偶函數 B．的周期
C． D．在單調遞減
【答案】ABC
【解析】由的圖象關于直線對稱，則，
即，故是偶函數，A正確；
由，令，可得，則，
則的周期，B正確；
，故C正確；
又在遞增，則遞減，由周期，則在單調遞增，
故D錯誤.
故答案為：ABC
【解題總結】
抽象函數的模特函數通常如下：
(1)若，則(正比例函數)
(2)若，則(指數函數)
(3)若，則(對數函數)
(4)若，則(冪函數)
(5)若，則(一次函數)
(6)對于抽象函數判斷單調性要結合題目已知條件，在所給區間內比較大小，有時需要適當變形.
題型十三：函數性質的綜合
例37．（廣西2024屆高三畢業班高考模擬測試數學試題）已知定義在上的函數在上單調遞減，且為偶函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函數為偶函數，∴，即，
∴函數的圖象關于直線對稱，
又∵函數定義域為，在區間上單調遞減，
∴函數在區間上單調遞增，
∴由得，，解得.
故選：D.
例38．（北京市西城區第五十六中學2024屆高三數學一模試題）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，即函數的定義域為．
因為，
所以為上的偶函數，
當時，，
因為函數在上單調遞減,所以在上單調遞減，
又都是在上單調遞減，
根據單調性的性質，可知函數在上單調遞減，
又因為函數為偶函數，所以函數在上單調遞增，
又，所以，可得，
所以，且，解得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
例39．（2024·廣東廣州·統考二模）已知偶函數與其導函數的定義域均為，且也是偶函數，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為為偶函數，則，等式兩邊求導可得，①
因為函數為偶函數，則，②
聯立①②可得，
令，則，且不恒為零，
所以，函數在上為增函數，即函數在上為增函數，
故當時，，所以，函數在上為增函數，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故選：B.
變式17．（2024·河南商丘·商丘市實驗中學校聯考模擬預測）已知是定義在上的奇函數，，且在上單調遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為是定義在上的奇函數，，且在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
由，得，
當時，由，得，
當時，由，得，
所以原不等式的解集為.
故選：A.
變式18．（2024·安徽黃山·統考二模）已知函數，則使不等式成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知：的定義域為或，關于原點對稱，
由得，故 為偶函數，
當時，，由于函數，均為單調遞增函數，在單調遞增，因此 為上的單調遞增函數，所以不等式等價于 ，解得,
故選：C
變式19．（2024·四川成都·校考三模）已知函數,則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函數，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上單調遞增，
又由，
所以函數為偶函數，則在上單調遞減，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集為.
故選：B.
變式20．（2024·寧夏銀川·校聯考二模）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．∪ D．∪
【答案】A
【解析】函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
，
所以函數為奇函數，
因為，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數在上單調遞增，
所以可化為，即，
所以，
即，解得，
所以不等式的解集為.
故選：A
變式21．（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預測）已知函數，若，則實數范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據題意，令，則，
又由，當且僅當，即時，等號成立，
所以，則，則在上單調遞減，
又由，故函數為奇函數，
由可化為，故，即，
又在上單調遞減，則，解得，即.
故選：C．
變式22．（2024·全國·高三專題練習）設是定義在R上的奇函數，且當時，，若對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵當x≥0時，f（x）＝x2，
∴此時函數f（x）單調遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴函數f（x）在R上單調遞增，
當當x<0時，f（x）＝x2，
若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）＝f（x），
∴f（x+a）≥f（x）恒成立，
則x+a恒成立，
即a≥﹣x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（）max（a+2），
即a（a+2），
解得a，
即實數a的取值范圍是故答案為．
故選：
【解題總結】
（1）奇偶性與單調性綜合解題，尤其要重視利用偶函數（或軸對稱函數）與單調性綜合解不等式和比較大小.
（2）奇偶性、單調性、周期性綜合解題，尤其要注意對稱性與周期性之間的關系，周期是兩條對稱軸（或對稱中心）之間距離的2倍，是對稱中心與對稱軸之間距離的4倍.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑