資源簡介

第8講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
知識梳理
1、冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在和上單調(diào)遞減
公共點
4、二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.
（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.
5、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標為.
（1）單調(diào)性與最值
①當時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；
②當時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，
（2）與軸相交的弦長
當時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.
6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.
對二次函數(shù)，當時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
【解題方法總結(jié)】
1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當時，其圖象可類似畫出；
②當時，其圖象可類似畫出；
③當時，其圖象可類似畫出．
2、實系數(shù)一元二次方程的實根符號與系數(shù)之間的關系
（1）方程有兩個不等正根
（2）方程有兩個不等負根
（3）方程有一正根和一負根，設兩根為
3、一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.
設為實系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.
根的分布 圖像 限定條件
在區(qū)間內(nèi) 沒有實根
在區(qū)間內(nèi) 有且只有一個實根
在區(qū)間內(nèi) 有兩個不等實根
4、有關二次函數(shù)的問題，關鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關系），從而對參數(shù)值的范圍進行討論.
（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負.
必考題型全歸納
題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像
【例1】（2024·寧夏固原·高三隆德縣中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實數(shù)（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，又因為在上單調(diào)遞減，則.
故選：A
【對點訓練1】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，
所以或，
對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；
故只有B選項“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．
故選：B
【對點訓練2】（2024·河北·高三學業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】B
【解析】設冪函數(shù)為，圖象過點，故，故，
，.
故選：B
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當時，定義域和值域均為，符合題意；
時，定義域為，值域為，故不合題意；
時，定義域為，值域為，符合題意；
時，定義域與值域均為R，符合題意；
時，定義域為R，值域為，不符合題意；
時，定義域與值域均為R，符合題意.
故選：C
【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，
所以0，
因為函數(shù)的圖象關于y軸對稱，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，
又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，
所以選項D正確，
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
確定冪函數(shù)的定義域，當為分數(shù)時，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式非負.當時，底數(shù)是非零的.
題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
【例2】（2024·吉林長春·高三校考期中）已知冪函數(shù)的圖象關于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，
當時，是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，與已知的圖象關于原點對稱矛盾，
當時，是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，于是得，
不等式化為：，即，解得：，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
【對點訓練5】（2024·全國·高三專題練習）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是________．
【答案】②③④⑤
【解析】冪函數(shù)圖象不過第四象限，①正確；圖象是直線上去掉點，②錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，③錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，④錯誤；若函數(shù)的值域是，則它的定義域也可能是，⑤錯誤，
故答案為：②③④⑤．
【對點訓練6】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】因為對，，，
所以只需即可，
因為，，
所以，，
由，
解得
故答案為：.
【對點訓練7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知，則實數(shù)的取值范圍是___________
【答案】
【解析】已知，或①；
，②；
，③．
綜合①②③，求得實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：﹒
【對點訓練8】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】由函數(shù)單調(diào)遞增，
①當時，若，有，
而，此時函數(shù)的值域不是；
②當時，若，有，而，
若函數(shù)的值域為，必有，可得．
則實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）不等式的解集為：_________．
【答案】
【解析】不等式變形為，
所以，
令，則有，
因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
則，解得，
故不等式的解集為．
故答案為：.
【對點訓練10】（2024·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學校考模擬預測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，
因為，可得，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴格減函數(shù)，則__________.
【答案】-1
【解析】因為冪函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，
所以，
所以，
又因為冪函數(shù)奇函數(shù)，且，
所以，
故答案為：-1
【解題方法總結(jié)】
緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，為偶函數(shù).
題型三：二次方程的實根分布及條件
【例3】（2024·全國·高三專題練習）關于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【解析】關于x的方程有兩個實數(shù)根，
，
解得：，
關于x的方程有兩個實數(shù)根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故選：A.
【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）設a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
由方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解可得
，即或，
解得，
故選：C
【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，
另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，
只需，即，
解不等式組可得，即的取值范圍為，
故選：C.
【對點訓練14】（2024·全國·高三專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】當時，即為，不符合題意；
故，即為，
令，
由于關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，
則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側(cè)，
故時，，即，解得，故，
故選：D
【解題方法總結(jié)】
結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.
題型四：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題
【例4】（2024·上海·高三專題練習）已知.
(1)若，，解關于的不等式；
(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.
【解析】（1）因為，
所以，
又因，所以，
所以，
則不等式即為，
即，
若，則不等式的解集為；
若，則不等式的解集為；
若，
當時，則不等式的解集為；
當時，則不等式的解集為；
當時，則不等式的解集為；
（2）若，則，，
當時，
則無解，
所以；
若時，由，得，
對稱軸為，假設，，，
區(qū)間，在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，所以在，上是單調(diào)函數(shù)，
則的最值必在，處取到，
，，，
所以假設錯誤，則，
綜上，得到.
【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.
(1)求在區(qū)間上的解析式；
(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.
【解析】(1)設，則，，
即當時，.
(2)當時，；當時，；
又因為，所以，函數(shù)在上的值域為，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，，，
因為，則，使得成立，則，解得.
【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由已知可得的定義域為，
任取，且，
則，
因為，，，
所以，即，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（2），
令，則當時，，
所以．
令，，
則只需．
當，即時，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，與矛盾，舍去；
當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得；
當即時，在上單調(diào)遞減，
所以，解得，與矛盾，舍去．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)當時，解關于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．
【解析】（1）當時，不等式，
即為，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集為．
（2），
由題意或，這時解得，
若，則，所以；
若，即，
所以，則，
綜上，或．
【對點訓練18】（2024·全國·高三專題練習）已知值域為的二次函數(shù)滿足，且方程的兩個實根滿足．
(1)求的表達式；
(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由，可得的圖象關于直線對稱，
函數(shù)的值域為，所以二次函數(shù)的頂點坐標為，
所以設，
根據(jù)根與系數(shù)的關系，可得，，
因為方程的兩個實根滿足
則，
解得：，所以.
（2）由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，即，
所以的對稱軸方程為，則，即，
故的取值范圍為.
【對點訓練19】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）設函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，
因為為偶函數(shù)，所以對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
所以，解得.
（2）由（1）知所以，
令，則，其對稱軸為，
①當，即時，在上單調(diào)遞減，
所以，
由，
解得，此時不滿足，此時不存在符合題意的值；
②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
由，解得或，又，所以；
③當，即時，在上單調(diào)遞增，
所以，
由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值.
綜上所述，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
【解題方法總結(jié)】
“動軸定區(qū)間 ”、“定軸動區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：
（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點對應的函數(shù)值進行分析；
（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.
題型五：二次函數(shù)最大值的最小值問題
【例5】（2024·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【解析】（1）依題設，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
（2）由題意可得：，，
若，則，則在[0,1]上單調(diào)遞增，
所以；
若，當，即時，在[0,1]上單調(diào)遞增，
當，只須比較與的大小，
由，得：，此時，
時，，此時，
綜上，，
時，，
時，，
時，，
綜上可知：的最小值為．
【對點訓練20】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，當時，設的最大值為，求的最小值．
【解析】令，分別取，1，2，可得，
，．
由，利用絕對值三角不等式可得
，因此
當，時，，當且僅當時取等號，而，得在上的最大值為，說明等號能成立．
故的最小值為．
【對點訓練21】（2024·河北保定·高一河北省唐縣第一中學校考期中）已知函數(shù)，
(1)當時，①求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；
(2)當時，記函數(shù)的最大值為，求的最小值．
【解析】（1）當時，函數(shù)，
當時，函數(shù)，
此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)，
此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；
因為函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，
因為，，
，，
所以函數(shù)在區(qū)間的值域為；
（2）由已知可得，，
當時，即時，，對稱軸為，
當時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
當時，即時，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
當時，即時，若，，若，，
因為當時，，對稱軸為，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
當，即時，此時，
當，即時，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
當，即時，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以
若，即時，，
若，即時，，
綜上所述，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以.
【對點訓練22】（2024·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．
(1)當時，解方程；
(2)當時，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【解析】（1）當時，令．
當時，，解得：
當時，，解得：
故方程的解為：和1；
（2），其中，
因為對稱軸為，開口向下；對稱軸為，開口向上，于是最大值在中取得．
當，即時，在上單調(diào)遞減．；
當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
當，即時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
；
當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第8講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
知識梳理
1、冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在和上單調(diào)遞減
公共點
4、二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.
（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.
5、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標為.
（1）單調(diào)性與最值
①當時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；
②當時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，
（2）與軸相交的弦長
當時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.
6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.
對二次函數(shù)，當時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
【解題方法總結(jié)】
1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當時，其圖象可類似畫出；
②當時，其圖象可類似畫出；
③當時，其圖象可類似畫出．
2、實系數(shù)一元二次方程的實根符號與系數(shù)之間的關系
（1）方程有兩個不等正根
（2）方程有兩個不等負根
（3）方程有一正根和一負根，設兩根為
3、一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.
設為實系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.
根的分布 圖像 限定條件
在區(qū)間內(nèi) 沒有實根
在區(qū)間內(nèi) 有且只有一個實根
在區(qū)間內(nèi) 有兩個不等實根
4、有關二次函數(shù)的問題，關鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關系），從而對參數(shù)值的范圍進行討論.
（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負.
必考題型全歸納
題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像
【例1】（2024·寧夏固原·高三隆德縣中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實數(shù)（ ）
A． B．或 C． D．
【對點訓練1】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
【對點訓練2】（2024·河北·高三學業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【解題方法總結(jié)】
確定冪函數(shù)的定義域，當為分數(shù)時，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式非負.當時，底數(shù)是非零的.
題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
【例2】（2024·吉林長春·高三校考期中）已知冪函數(shù)的圖象關于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為___________.
【對點訓練5】（2024·全國·高三專題練習）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是________．
【對點訓練6】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【對點訓練7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知，則實數(shù)的取值范圍是___________
【對點訓練8】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）不等式的解集為：_________．
【對點訓練10】（2024·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學校考模擬預測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.
【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴格減函數(shù)，則__________.
【解題方法總結(jié)】
緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，為偶函數(shù).
題型三：二次方程的實根分布及條件
【例3】（2024·全國·高三專題練習）關于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）設a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）.
A． B．
C． D．
【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練14】（2024·全國·高三專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結(jié)】
結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.
題型四：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題
【例4】（2024·上海·高三專題練習）已知.
(1)若，，解關于的不等式；
(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.
【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.
(1)求在區(qū)間上的解析式；
(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.
【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)當時，解關于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．
【對點訓練18】（2024·全國·高三專題練習）已知值域為的二次函數(shù)滿足，且方程的兩個實根滿足．
(1)求的表達式；
(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實數(shù)的取值范圍．
【對點訓練19】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）設函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解題方法總結(jié)】
“動軸定區(qū)間 ”、“定軸動區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：
（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點對應的函數(shù)值進行分析；
（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.
題型五：二次函數(shù)最大值的最小值問題
【例5】（2024·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【對點訓練20】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，當時，設的最大值為，求的最小值．
【對點訓練21】（2024·河北保定·高一河北省唐縣第一中學校考期中）已知函數(shù)，
(1)當時，①求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；
(2)當時，記函數(shù)的最大值為，求的最小值．
【對點訓練22】（2024·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．
(1)當時，解方程；
(2)當時，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值
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