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第9講 指數與指數函數
知識梳理
1、指數及指數運算
(1)根式的定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數，稱為根底數．
(2)根式的性質：
當為奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.
當為偶數時，正數的次方根有兩個，它們互為相反數.
(3)指數的概念：指數是冪運算中的一個參數，為底數，為指數，指數位于底數的右上角，冪運算表示指數個底數相乘.
(4)有理數指數冪的分類
①正整數指數冪；②零指數冪；
③負整數指數冪，；④的正分數指數冪等于，的負分數指數冪沒有意義．
(5)有理數指數冪的性質
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指數函數
圖象
性質 ①定義域，值域
②，即時，，圖象都經過點
③，即時，等于底數
④在定義域上是單調減函數 在定義域上是單調增函數
⑤時，；時， 時，；時，
⑥既不是奇函數，也不是偶函數
【解題方法總結】
1、指數函數常用技巧
(1)當底數大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．
(2)當時，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．
當時，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．
(3)指數函數與的圖象關于軸對稱．
必考題型全歸納
題型一：指數運算及指數方程、指數不等式
【例1】（2024·海南省直轄縣級單位·統考模擬預測）（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）下列結論中，正確的是（ ）
A．設則 B．若，則
C．若，則 D．
【對點訓練2】（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）甲 乙兩人解關于x的方程，甲寫錯了常數b，得到的根為或x=，乙寫錯了常數c，得到的根為或，則原方程的根是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）若關于的方程有解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【對點訓練5】（2024·上海青浦·統考一模）不等式的解集為______．
【對點訓練6】（2024·全國·高三專題練習）不等式的解集為___________.
【解題總結】
利用指數的運算性質解題.對于形如，，的形式常用“化同底”轉化，再利用指數函數單調性解決；或用“取對數”的方法求解.形如或的形式，可借助換元法轉化二次方程或二次不等式求解.
題型二：指數函數的圖像及性質
【例2】（多選題）（2024·全國·高三專題練習）函數的圖象可能為（ ）
A．B．C． D．
【對點訓練7】（2024·全國·高三專題練習）已知的定義域為R，則實數a的取值范圍是______．
【對點訓練8】（2024·寧夏銀川·校聯考二模）已知函數，，則其值域為_______．
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數在內的最大值是最小值的兩倍，且，則______
【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）函數是指數函數，則（ ）
A．或 B． C． D．且
【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）函數的大致圖像如圖，則實數a，b的取值只可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）已知函數（且）的圖象恒過定點A，若點A的坐標滿足關于x，y的方程，則的最小值為（ ）
A．8 B．24 C．4 D．6
【對點訓練13】（多選題）（2024·浙江紹興·統考模擬預測）預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預測期人口數，為初期人口數，為預測期內人口年增長率，為預測期間隔年數，則（ ）
A．當，則這期間人口數呈下降趨勢
B．當，則這期間人口數呈擺動變化
C．當時，的最小值為3
D．當時，的最小值為3
【對點訓練14】（多選題）（2024·山東聊城·統考二模）已知函數，則（ ）
A．函數是增函數
B．曲線關于對稱
C．函數的值域為
D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線
【解題總結】
解決指數函數有關問題，思路是從它們的圖像與性質考慮，按照數形結合的思路分析，從圖像與性質找到解題的突破口，但要注意底數對問題的影響.
題型三：指數函數中的恒成立問題
【例3】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若不等式在R上恒成立，則實數m的取值范圍是________.
【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）設，當時，恒成立，則實數m的取值范圍是____________.
【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知不等式，對于恒成立，則實數的取值范圍是_________．
【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）若，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______．
【對點訓練18】（2024·上海徐匯·高三位育中學校考開學考試）已知函數是定義域為的奇函數.
(1)求實數的值，并證明在上單調遞增；
(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實數的取值范圍.
【解題總結】
已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解．
題型四：指數函數的綜合問題
【例4】（2024·全國·合肥一中校聯考模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【對點訓練19】（2024·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）設.若函數的定義域為，則關于的不等式的解集為__________.
【對點訓練20】（2024·河南安陽·統考三模）已知函數的圖象關于坐標原點對稱，則__________.
【對點訓練21】（2024·江西景德鎮·統考模擬預測）已知是定義在上的偶函數，且當時，，則滿足的x的取值范圍是______________．
【對點訓練22】（2024·河南信陽·校聯考模擬預測）已知實數，滿足，，則__________．
【對點訓練23】（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃c在函數的圖象上，當，則可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第9講 指數與指數函數
知識梳理
1、指數及指數運算
(1)根式的定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數，稱為根底數．
(2)根式的性質：
當為奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.
當為偶數時，正數的次方根有兩個，它們互為相反數.
(3)指數的概念：指數是冪運算中的一個參數，為底數，為指數，指數位于底數的右上角，冪運算表示指數個底數相乘.
(4)有理數指數冪的分類
①正整數指數冪；②零指數冪；
③負整數指數冪，；④的正分數指數冪等于，的負分數指數冪沒有意義．
(5)有理數指數冪的性質
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指數函數
圖象
性質 ①定義域，值域
②，即時，，圖象都經過點
③，即時，等于底數
④在定義域上是單調減函數 在定義域上是單調增函數
⑤時，；時， 時，；時，
⑥既不是奇函數，也不是偶函數
【解題方法總結】
1、指數函數常用技巧
(1)當底數大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．
(2)當時，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．
當時，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．
(3)指數函數與的圖象關于軸對稱．
必考題型全歸納
題型一：指數運算及指數方程、指數不等式
【例1】（2024·海南省直轄縣級單位·統考模擬預測）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.
故選：B.
【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）下列結論中，正確的是（ ）
A．設則 B．若，則
C．若，則 D．
【答案】B
【解析】對于A，根據分式指數冪的運算法則，可得，選項A錯誤；
對于B，，故，選項B正確；
對于 C，， ，因為，所以，選項C錯誤；
對于D，，選項D錯誤.
故選：B．
【對點訓練2】（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.
故選：B
【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）甲 乙兩人解關于x的方程，甲寫錯了常數b，得到的根為或x=，乙寫錯了常數c，得到的根為或，則原方程的根是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【解析】令，則方程可化為，甲寫錯了常數b，
所以和是方程的兩根，所以，
乙寫錯了常數c，所以1和2是方程的兩根，所以，
則可得方程，解得，
所以原方程的根是或
故選：D
【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）若關于的方程有解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程有解，
有解，
令，
則可化為有正根，
則在有解，又當時，
所以，
故選：．
【對點訓練5】（2024·上海青浦·統考一模）不等式的解集為______．
【答案】
【解析】函數在R上單調遞增，則，
即，解得，
所以原不等式的解集為.
故答案為：
【對點訓練6】（2024·全國·高三專題練習）不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】由，可得.
令，
因為均為上單調遞減函數
則在上單調逆減，且，
，
故不等式的解集為.
故答案為：.
【解題總結】
利用指數的運算性質解題.對于形如，，的形式常用“化同底”轉化，再利用指數函數單調性解決；或用“取對數”的方法求解.形如或的形式，可借助換元法轉化二次方程或二次不等式求解.
題型二：指數函數的圖像及性質
【例2】（多選題）（2024·全國·高三專題練習）函數的圖象可能為（ ）
A．B．C． D．
【答案】ABD
【解析】根據函數解析式的形式，以及圖象的特征，合理給賦值，判斷選項.當時，，圖象A滿足；
當時，，，且，此時函數是偶函數，關于軸對稱，圖象B滿足；
當時，，，且，此時函數是奇函數，關于原點對稱，圖象D滿足；
圖象C過點，此時，故C不成立.
故選：ABD
【對點訓練7】（2024·全國·高三專題練習）已知的定義域為R，則實數a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】∵的定義域為R，
∴0對任意x∈R恒成立，
即恒成立，
即對任意恒成立，
，則．
故答案為．
【對點訓練8】（2024·寧夏銀川·校聯考二模）已知函數，，則其值域為_______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又關于對稱，開口向上， 所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，
時，函數取得最小值，即，時，函數取得最大值，即，
.
故答案為：.
【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數在內的最大值是最小值的兩倍，且，則______
【答案】或
【解析】當時，函數在內單調遞增，
此時函數的最大值為，最小值為，
由題意得，解得，則，
此時；
當時，函數在內單調遞減，
此時函數的最大值為，最小值為，
由題意得，解得，則，
此時．
故答案為：或.
【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）函數是指數函數，則（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【解析】由指數函數定義知，同時，且，所以解得.
故選：C
【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）函數的大致圖像如圖，則實數a，b的取值只可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若，為增函數，
且，與圖象不符，
若，為減函數，
且，與圖象相符，所以，
當時，，
結合圖象可知，此時，所，則，所以，
故選:C.
【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）已知函數（且）的圖象恒過定點A，若點A的坐標滿足關于x，y的方程，則的最小值為（ ）
A．8 B．24 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因為函數圖象恒過定點
又點A的坐標滿足關于，的方程，
所以，
即
所以，
當且僅當即時取等號；
所以的最小值為4．
故選：C．
【對點訓練13】（多選題）（2024·浙江紹興·統考模擬預測）預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預測期人口數，為初期人口數，為預測期內人口年增長率，為預測期間隔年數，則（ ）
A．當，則這期間人口數呈下降趨勢
B．當，則這期間人口數呈擺動變化
C．當時，的最小值為3
D．當時，的最小值為3
【答案】AC
【解析】，由指數函數的性質可知：是關于n的單調遞減函數，
即人口數呈下降趨勢，故A正確，B不正確；
，所以，所以，
，所以的最小值為3，故C正確；
，所以，所以，
，所以的最小值為2，故D不正確；
故選：AC.
【對點訓練14】（多選題）（2024·山東聊城·統考二模）已知函數，則（ ）
A．函數是增函數
B．曲線關于對稱
C．函數的值域為
D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線
【答案】AB
【解析】根據題意可得，易知是減函數，
所以是增函數，即A正確；
由題意可得，所以，
即對于任意，滿足，所以關于對稱，即B正確；
由指數函數值域可得，所以，即，
所以函數的值域為，所以C錯誤；
易知，令，整理可得，
令，即，
易知，又因為，即，
所以，即，因此；
即關于的一元二次方程無實數根；
所以無解，即曲線不存在斜率為的切線，即D錯誤；
故選：AB
【解題總結】
解決指數函數有關問題，思路是從它們的圖像與性質考慮，按照數形結合的思路分析，從圖像與性質找到解題的突破口，但要注意底數對問題的影響.
題型三：指數函數中的恒成立問題
【例3】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若不等式在R上恒成立，則實數m的取值范圍是________.
【答案】．
【解析】令
因為在區間上是增函數，
所以
因此要使在區間上恒成立，應有，即所求實數m的取值范圍為．
故答案為：.
【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）設，當時，恒成立，則實數m的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】由函數，
均為在上的增函數，故函數是在上的單調遞增函數，
且滿足，所以函數為奇函數，
因為，即，
可得恒成立，即在上恒成立，
則滿足，即，解得，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：.
【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知不等式，對于恒成立，則實數的取值范圍是_________．
【答案】，，
【解析】設，，
則，對于，恒成立，
即，對于，恒成立，
∴，
即，
解得或，
即或，
解得或，
綜上，的取值范圍為，，．
故答案為：，，﹒
【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）若，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∵恒成立，∴恒成立，
∵，當且僅當時，即時，表達式取得最小值，
∴，
故答案為．
【對點訓練18】（2024·上海徐匯·高三位育中學?？奸_學考試）已知函數是定義域為的奇函數.
(1)求實數的值，并證明在上單調遞增；
(2)已知且，若對于任意的、，都有恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）因為函數是定義域為的奇函數，
則，解得，此時，
對任意的，，即函數的定義域為，
，即函數為奇函數，合乎題意，
任取、且，則，
所以，，則，
所以，函數在上單調遞增.
（2）由（1）可知，函數在上為增函數，
對于任意的、，都有，則，
，
因為，則.
當時，則有，解得；
當時，則有，此時.
綜上所述，實數的取值范圍是.
【解題總結】
已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：
（1）函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解．
題型四：指數函數的綜合問題
【例4】（2024·全國·合肥一中校聯考模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依題意，，，
故，
故函數的圖象關于中心對稱，
當時，，，單調遞減，
故在上單調遞減，且，
函數的圖象關于中心對稱，在上單調遞減，，
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集為，
故選：B.
【對點訓練19】（2024·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）設.若函數的定義域為，則關于的不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】若，對任意的，，則函數的定義域為，不合乎題意，
所以，，由可得，
因為函數的定義域為，所以，，解得，
所以，，則，
由可得，解得.
因此，不等式的解集為.
故答案為：.
【對點訓練20】（2024·河南安陽·統考三模）已知函數的圖象關于坐標原點對稱，則__________.
【答案】/1.5
【解析】依題意函數是一個奇函數，
又，所以，
所以定義域為，
因為的圖象關于坐標原點對稱，所以，解得.
又，所以，
所以，即，
所以，所以.
故答案為：.
【對點訓練21】（2024·江西景德鎮·統考模擬預測）已知是定義在上的偶函數，且當時，，則滿足的x的取值范圍是______________．
【答案】
【解析】由函數性質知，
，
∴，
即，解得，∴，
故答案為：.
【對點訓練22】（2024·河南信陽·校聯考模擬預測）已知實數，滿足，，則__________．
【答案】1
【解析】因為，化簡得．
所以，又，
構造函數，
因為函數，在上都為增函數，
所以函數在上為單調遞增函數，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案為：.
【對點訓練23】（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃c在函數的圖象上，當，則可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【解析】由表示與點所成直線的斜率，
又是在部分圖象上的動點，圖象如下：
如上圖，，則，只有B、C滿足.
故選：BC
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