資源簡(jiǎn)介

第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
知識(shí)梳理
1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算
(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
(2)常見對(duì)數(shù)：
①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；
②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；
③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；
(3) 對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③對(duì)數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
圖象
性質(zhì) 定義域：
值域：
過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù) 在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧
在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)
必考題型全歸納
題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式
【例1】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）______．
【答案】
【解析】.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則______．
【答案】/
【解析】由題設(shè)，則且，
所以，即，故.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）方程的解集為________．
【答案】
【解析】因?yàn)?
則，解得，
所以方程的解集為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)，滿足，則__________.
【答案】/0.5
【解析】令，則，
所以，整理得，
解得(負(fù)值舍去)，所以.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）計(jì)算的值為______.
【答案】8
【解析】原式
.
故答案為：8.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，用a，b表示____________
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br/>.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且，則__________．
【答案】
【解析】，且，
且，
，
，
，
.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）=____________ ；
【答案】
【解析】原式
．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式解集為 _____．
【答案】
【解析】不等式，
解，即，有，解得，
解，即，化為，有，解得，
因此，
所以不等式解集為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·上海楊浦·高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是__________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
綜上，不等式的解集為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）方程的解為_________．
【答案】
【解析】設(shè)函數(shù)，，由于函數(shù)在上均為增函數(shù)，
又，故方程的解為.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問題，但這里必須注意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.
題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像
【例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
所以，排除A，C；
又因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn),
所以，解得．
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，即函數(shù)圖象恒過.
故選：A
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意，不等式，即，
等價(jià)于在上的解，
令，，則不等式為，
在同一坐標(biāo)系下作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，
可得不等式的解集為，
故選：B
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù).
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·北京海淀·清華附中校考模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為__________．
【答案】
【解析】由，
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：
因?yàn)椋?br/>所以由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，有，
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】分別記函數(shù)，
由圖1知，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，如圖2，要使時(shí)，不等式恒成立，只需滿足，即，即，解得.
故選：ABC
【解題方法總結(jié)】
研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））
【例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，
所以在上為減函數(shù)，則解得，
又因?yàn)樵诤愠闪ⅲ?br/>所以解得，
所以a的取值范圍為，
故選:B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為______．
【答案】/
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)，則，
所以，
又因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
所以.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于_________
【答案】2
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，無解，
綜上，a等于.
故答案為：2.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是____________．
【答案】3
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，而函數(shù)在上的最大值為，因此有，解得，所以，此時(shí)在上是增函數(shù)，符合題意，因此；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，而函數(shù)在上的最大值為，因此有，，所以，此時(shí)在上是減函數(shù)，不符合題意.
綜上所述，，，.
故答案為：3.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為減函數(shù)，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)，，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，
由于二次函數(shù)有最小值，此時(shí)函數(shù)沒有最小值；
當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為增函數(shù)，對(duì)于內(nèi)層函數(shù)，
函數(shù)有最小值，若使得函數(shù)有最小值，
則，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.
① ;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減; ③為偶函數(shù).
【答案】（不唯一）
【解析】性質(zhì)①顯然是和對(duì)數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對(duì)數(shù)的底即可，性質(zhì)③只需將自變量加絕對(duì)值即變成偶函數(shù).
故答案為：（不唯一）
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?br/>令，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
故只需求函數(shù)在定義域上的單調(diào)遞減區(qū)間，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
的單調(diào)遞區(qū)間為.
故選：B
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．有最小值，但無最大值
【答案】C
【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤；
由于，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；
因?yàn)樵跁r(shí)取得最大值，且在上單調(diào)遞增，
故有最大值，但無最小值，D錯(cuò)誤，
故選：C
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 在上單調(diào)遞增，則，解得，
若 在上單調(diào)遞減，則，解得．
綜上得.
故選：D
【解題方法總結(jié)】
研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】若在上的最大值，在上的最大值，
由題設(shè)，只需即可.
在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：在上遞增，故.
在上，單調(diào)遞增，則，
所以，可得.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋坏仁胶愠闪ⅲ?br/>所以對(duì)恒成立.
記，，只需.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對(duì)任意的，，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增，
∴，，
對(duì)任意的，，有恒成立，
∴，即，解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】因?yàn)閷?duì)，使得，
所以，
因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
所以，所以，即，
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求a的值；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，解得.
（2）由，得，即，
即或.
當(dāng)時(shí)，，則或，
因?yàn)椋瑒t不成立，
由可得，得；
當(dāng)時(shí)，，則或，
因?yàn)椋瑒t不成立，所以，解得.
綜上，的取值范圍是.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）對(duì)任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>令，
∵，∴，所以當(dāng)，即時(shí)取最大值，當(dāng)或，即或時(shí)取最小值，
∴函數(shù)的值域?yàn)?
（2）由得，
令，∵，∴，
∴對(duì)一切的恒成立，
①當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，恒成立，即，
函數(shù)在單調(diào)遞減，于是時(shí)取最小值-2，此時(shí)，
于是；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)，恒成立，即，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為-3，；
③當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)，恒成立，即，
函數(shù)在單調(diào)遞增，于是時(shí)取最小值，
此時(shí)，于是.
綜上可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
【解題方法總結(jié)】
（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；
（2）分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.
題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題
【例5】（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，由題意知，a，b是函數(shù)分別與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由的圖象關(guān)于對(duì)稱，
則其向上，向右都平移一個(gè)單位后的解析式為，
所以的圖象也關(guān)于對(duì)稱，
又，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
故兩交點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，，故A正確；
對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A得，則，即，即成立，故B正確；
對(duì)于C，結(jié)合選項(xiàng)A得，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)B得(，即不等式取不到等號(hào))，故D正確．
故選：ABD．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為______.
【答案】
【解析】由可得：,
所以，，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
則，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
故的最小值為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（多選題）（2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因?yàn)椋裕瑒t，
選項(xiàng)A，，故正確；
選項(xiàng)B，因?yàn)椋遥裕蔅正確；
選項(xiàng)C，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因?yàn)椋蔇正確，
故選：ABD．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】；.
函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
由解得，設(shè)，
則，即，
，
令，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由題意，故有
故和是直線和曲線、曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
故曲線和曲線的圖象交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.
即點(diǎn)（x1，5﹣x1）和點(diǎn)（x2，5﹣x2）構(gòu)成的線段的中點(diǎn)在直線y=x上，
即，求得x1+x2=5，
故選：D.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
【答案】A
【解析】方程可變形為方程，方程可變形為方程，
是方程的根，是方程的根，
是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)等于函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)縱坐標(biāo),即在數(shù)圖象上，
又圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為2， ，
故選：
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
知識(shí)梳理
1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算
(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
(2)常見對(duì)數(shù)：
①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；
②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；
③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；
(3) 對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③對(duì)數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
圖象
性質(zhì) 定義域：
值域：
過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù) 在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧
在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)
必考題型全歸納
題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式
【例1】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）方程的解集為________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)，滿足，則__________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）計(jì)算的值為______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，用a，b表示____________
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且，則__________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）=____________ ；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式解集為 _____．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·上海楊浦·高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是__________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）方程的解為_________．
【解題方法總結(jié)】
對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問題，但這里必須注意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.
題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像
【例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·北京海淀·清華附中校考模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為__________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））
【例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于_________
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是____________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.
① ;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減; ③為偶函數(shù).
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．有最小值，但無最大值
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.
題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問題
【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對(duì)任意的，，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求a的值；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）對(duì)任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解題方法總結(jié)】
（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；
（2）分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.
題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題
【例5】（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（多選題）（2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 是方程的根， 是方程的根，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
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