資源簡介

第02講 圓的方程及直線與圓、圓與圓的位置關系
（9類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年新I卷，第6題,5分 圓中切線問題 已知點到直線距離求參數切線長 給值求值型問題 余弦定理解三角形
2023年新Ⅱ卷，第15題,5分 直線與圓的位置關系 無
2022年新I卷，第14題,5分 判斷圓與圓的位置關系 圓的公切線方程
2022年新Ⅱ卷，第15題,5分 由直線與圓的位置關系求參數 求點關于直線的對稱點 直線關于直線對稱問題
2021年新I卷，第11題,5分 直線與圓的位置關系求距離的最值 切線長
2021年新Ⅱ卷，第11題,5分 點與圓的位置關系求參數 判斷直線與圓的位置關系 無
2020年新I卷，第9題,5分 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓 判斷方程是否表示雙曲線
2020年新Ⅱ卷，第10題,5分 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓 判斷方程是否表示雙曲線
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低或中等，分值為5-6分
【備考策略】1.理解、掌握圓的標準方程和一般方程，并會基本量的相關計算
2.能正確處理點與圓、直線與圓及圓與圓的位置關系求解
3.能利用圓中關系進行相關參數求解
4.會解決圓中的最值問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般考查直線與圓和圓與圓的幾何綜合，需強化練習
知識講解
圓的標準方程
，其中圓心坐標為，半徑為
圓的一般方程
（）
配方可得：，
圓心坐標為，半徑為
表示圓的充要條件
點與圓的位置關系
已知點，圓的方程為：
若，點在圓內
若，點在圓上
若，點在圓外
直線與圓的位置關系
直線，圓
代數關系，其中為聯立方程根的個數，
幾何關系，其中為圓心到直線的距離
圓與圓的位置關系
設圓的半徑為，設圓的半徑為，兩圓的圓心距為
若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內切
若，兩圓相交，若，兩圓內含，若，同心圓
兩圓外離，公切線的條數為4條；兩圓外切，公切線的條數為3條；
兩圓相交，公切線的條數為2條；兩圓內切，公切線的條數為1條；
兩圓內含，公切線的條數為0條；
弦長公式
設，，
則
或：
圓上一點到圓外一點的距離的最值
圓上一點到圓上一點的距離的最值
圓上一點到直線距離的最值
過圓內一點的最長弦和最短弦
最長弦：直徑；最短弦：垂直于直徑
考點一、圓的標準方程
1．（23-24高二上·甘肅武威·期中）以為圓心，4為半徑的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全國·專題練習）經過點(2，0)，且圓心是兩直線x－2y＋1＝0與x＋y－2＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．（22-23高二下·山東臨沂·期末）的三個頂點分別是，則其外接圓的方程為 .
1．（23-24高二上·江西·階段練習）圓心為，且經過坐標原點的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江·模擬預測）圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）已知，則外接圓的方程為 ．
考點二、圓的一般方程
1．（22-23高二上·陜西西安·期末）已知圓，則圓心、半徑的長分別是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·全國·課后作業）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
3．（2022高三·全國·專題練習）（多選）已知方程，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，表示圓心為的圓
B．當時，表示圓心為的圓
C．當時，表示的圓的半徑為
D．當時，表示的圓與軸相切
1．（22-23高二·山東臨沂·開學考試）已知圓，則該圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．，5 B．，5 C．， D．，
2．（2022·陜西榆林·二模）若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·安徽淮北·階段練習）如果圓關于直線對稱，那么（ ）
A． B．
C． D．
考點三、直線與圓的位置關系
1．（23-24高二上·廣東·期末）直線與圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
2．（2024·河南南陽·模擬預測）若圓被直線平分，則（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（22-23高二下·安徽亳州·開學考試）設，則直線：與圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交
1．（23-24高二上·江蘇常州·期中）若點在圓內，則直線與圓C的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圓關于直線對稱，則實數（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知直線與圓相切，則的值（ ）
A．與a有關，與b有關 B．與a有關，與b無關
C．與a無關，與b有關 D．與a無關，與b無關
考點四、圓與圓的位置關系
1．（2024·吉林長春·模擬預測）已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（ ）
A．內含 B．相切 C．相交 D．外離
2．（2024·內蒙古赤峰·三模）已知圓 圓則兩圓的公切線條數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·山西呂梁·二模）已知分別是圓與圓上的動點，若的最大值為12，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）圓與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．外切 C．內切 D．相離
2．（2024·陜西西安·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經過點的是（ ）
A． B．
C． D．
考點五、圓中的弦長問題
1．（2024·河南·模擬預測）直線被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·貴州六盤水·三模）已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則（　　）
A． B．1 C． D．﹣2
3．（2024高三下·全國·專題練習）已知點在圓上，直線被該圓截得的弦長為2，則（ ）
A． B． C．2 D．
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）圓被直線所截線段的長度為（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2024·青海·一模）已知直線與圓交于兩點，且，則（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知直線被圓截得的弦長為，則（ ）
A． B． C．4 D．
考點六、圓上的點到點的最值問題綜合
1．（2023·甘肅酒泉·三模）點在圓上，點，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（22-23高二·全國·課后作業）若，且，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．（2021·四川資陽·模擬預測）已知為坐標原點，為圓上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知復數滿足：，則的最大值為（ ）
A．2 B．
C． D．3
考點七、圓上的點到直線的最值問題綜合
1．（21-22高二上·北京·期中）點在圓上，點在直線上，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·貴州·模擬預測）已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知直線，點在圓上運動，那么點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·模擬預測）圓上的點到直線距離的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
考點八、圓中的最長弦與最短弦綜合
1．（2024·全國·模擬預測）直線被圓截得的弦長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京石景山·一模）已知圓C：，過點的直線l與圓C交于A，B兩點，則弦長度的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（20-21高三下·河南·階段練習）若直線與圓相交于，兩點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全國·模擬預測）已知直線 l 過點，則直線 l 被圓O：截得的弦長的最小值為（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知直線，圓，當直線被圓截得的弦最短時，的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知直線與圓相交于兩點，則弦長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考點九、圓綜合
1．（2024·貴州·模擬預測）（多選）已知點，點Q在圓上，則（ ）
A．點P在直線上 B．點P可能在圓C上
C．的最小值為1 D．圓C上有2個點到點P的距離為1
2．（2024·遼寧丹東·模擬預測）（多選）已知曲線:，則（ ）
A．曲線圍成圖形面積為
B．曲線的長度為
C．曲線上任意一點到原點的最小距離為2
D．曲線上任意兩點間最大距離
3．（2024·湖南長沙·模擬預測）（多選）若圓與圓交于A，B兩點，則下列選項中正確的是（ ）
A．點在圓內
B．直線的方程為
C．圓上的點到直線距離的最大值為
D．圓上存在兩點P，Q，使得
4．（2024·山東青島·三模）（多選）已知動點 分別在圓 和 上，動點 在 軸上，則（ ）
A．圓的半徑為3
B．圓和圓相離
C．的最小值為
D．過點做圓的切線，則切線長最短為
1．（2024·山西陽泉·三模）（多選）已知圓，若圓上僅存在一點使，則正實數的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·山東泰安·模擬預測）（多選）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．圓心的坐標為
B．直線與圓始終有兩個交點
C．當時，直線與圓相交于兩點，則的面積為
D．點到直線的距離最大時，
3．（2024·江西南昌·模擬預測）（多選）在平面直角坐標系中，已知圓的動弦，圓，則下列選項正確的是（ ）
A．當圓和圓存在公共點時，則實數的取值范圍為
B．的面積最大值為1
C．若原點始終在動弦上，則不是定值
D．若動點滿足四邊形為矩形，則點的軌跡長度為
4．（2024·浙江紹興·三模）（多選）已知，為圓上的兩個動點，點，且，則（ ）
A．
B．
C．外接圓圓心的軌跡方程為
D．重心的軌跡方程為
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預測）與x軸相切于原點，且圓心為的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024·江西吉安·模擬預測）已知圓與直線有公共點，則整數的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024·海南·模擬預測）下列方程中表示圓心在直線 上，半徑為 ，且過原點的圓的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全國·專題練習）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圓，則實數t的取值范圍是（ ）
A．{t|－1＜t＜}
B．{t|－＜t＜1}
C．{t|－1＜t＜}
D．{t|1＜t＜2}
二、多選題
7．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知直線與圓有兩個交點，則整數的可能取值有（ ）
A．0 B． C．1 D．3
三、填空題
8．（2024·遼寧·模擬預測）已知圓關于直線對稱，圓與軸交于兩點，則
9．（2024·北京西城·二模）已知圓經過點和，且與直線相切，則圓的方程為 ．
10．（2024·陜西商洛·三模）已知直線與，若直線與相交于兩點，且，則 ．
一、單選題
1．（24-25高三上·貴州黔東南·開學考試）已知點關于直線對稱的點在圓：上，則（ ）
A．4 B． C． D．
2．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知直線與直線的交點為P，則點P到直線距離的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·全國·開學考試）圓與圓交于兩點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·吉林·階段練習）設，過定點A的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·山東德州·開學考試）已知點為直線上一動點，點，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
6．（24-25高二上·江西鷹潭·開學考試）已知圓及點，則下列說法正確的是（ ）
A．圓心的坐標為
B．若點在圓上，則直線的斜率為
C．點在圓外
D．若是圓上任一點，則的取值范圍為．
7．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線與圓相交
C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大值時，
三、填空題
8．（2023·江西上饒·模擬預測）直線被圓截得最大弦長為 ．
9．（23-24高二下·全國·課堂例題）圓經過點，且經過兩圓和圓的交點，則圓的方程為 ．
10．（2024·天津河西·模擬預測）已知點為圓上一點，點，當變化時線段AB長度的最小值為 .
1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2024·上海·高考真題）正方形草地邊長到距離為到距離為，有個圓形通道經過，且經過上一點，求圓形通道的周長 .（精確到）

5．（2023·全國·高考真題）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
6．（2023·全國·高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
7．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2022·全國·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
10．（2022·天津·高考真題）若直線被圓截得的弦長為，則的值為 ．
11．（2022·全國·高考真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
12．（2022·全國·高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是 ．
13．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則
A． B． C． D．
14．（2021·全國·高考真題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
15．（2021·全國·高考真題）（多選）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
16．（2021·天津·高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 圓的方程及直線與圓、圓與圓的位置關系
（9類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2023年新I卷，第6題,5分 圓中切線問題 已知點到直線距離求參數切線長 給值求值型問題 余弦定理解三角形
2023年新Ⅱ卷，第15題,5分 直線與圓的位置關系 無
2022年新I卷，第14題,5分 判斷圓與圓的位置關系 圓的公切線方程
2022年新Ⅱ卷，第15題,5分 由直線與圓的位置關系求參數 求點關于直線的對稱點 直線關于直線對稱問題
2021年新I卷，第11題,5分 直線與圓的位置關系求距離的最值 切線長
2021年新Ⅱ卷，第11題,5分 點與圓的位置關系求參數 判斷直線與圓的位置關系 無
2020年新I卷，第9題,5分 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓 判斷方程是否表示雙曲線
2020年新Ⅱ卷，第10題,5分 二元二次方程表示的曲線與圓的關系 判斷方程是否表示橢圓 判斷方程是否表示雙曲線
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較低或中等，分值為5-6分
【備考策略】1.理解、掌握圓的標準方程和一般方程，并會基本量的相關計算
2.能正確處理點與圓、直線與圓及圓與圓的位置關系求解
3.能利用圓中關系進行相關參數求解
4.會解決圓中的最值問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般考查直線與圓和圓與圓的幾何綜合，需強化練習
知識講解
圓的標準方程
，其中圓心坐標為，半徑為
圓的一般方程
（）
配方可得：，
圓心坐標為，半徑為
表示圓的充要條件
點與圓的位置關系
已知點，圓的方程為：
若，點在圓內
若，點在圓上
若，點在圓外
直線與圓的位置關系
直線，圓
代數關系，其中為聯立方程根的個數，
幾何關系，其中為圓心到直線的距離
圓與圓的位置關系
設圓的半徑為，設圓的半徑為，兩圓的圓心距為
若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內切
若，兩圓相交，若，兩圓內含，若，同心圓
兩圓外離，公切線的條數為4條；兩圓外切，公切線的條數為3條；
兩圓相交，公切線的條數為2條；兩圓內切，公切線的條數為1條；
兩圓內含，公切線的條數為0條；
弦長公式
設，，
則
或：
圓上一點到圓外一點的距離的最值
圓上一點到圓上一點的距離的最值
圓上一點到直線距離的最值
過圓內一點的最長弦和最短弦
最長弦：直徑；最短弦：垂直于直徑
考點一、圓的標準方程
1．（23-24高二上·甘肅武威·期中）以為圓心，4為半徑的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，寫出圓的標準方程即得.
【詳解】由圓心坐標為，半徑為4，得所求圓的標準方程為.
故選：B
2．（2024高三·全國·專題練習）經過點(2，0)，且圓心是兩直線x－2y＋1＝0與x＋y－2＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】D
【詳解】由得即所求圓的圓心坐標為(1，1).又該圓過點(2，0)，所以其半徑為＝，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．（22-23高二下·山東臨沂·期末）的三個頂點分別是，則其外接圓的方程為 .
【答案】
【分析】求得圓心和半徑，進而求得圓的方程.
【詳解】由于，所以是外接圓的直徑，
所以圓心為，半徑為，
所以外接圓的方程為.
故答案為：
1．（23-24高二上·江西·階段練習）圓心為，且經過坐標原點的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出圓的半徑即可得解.
【詳解】依題意，圓心為，且經過坐標原點的圓的半徑，
所以所求圓的標準方程為.
故選：D
2．（2023·浙江·模擬預測）圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據點關于直線對稱的性質，結合圓的標準方程進行求解即可.
【詳解】由圓C：，可知圓心坐標：，半徑為，
因為點關于直線的對稱點為，
所以圓C：關于直線對稱的圓的方程是
，
故選：C
3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）已知，則外接圓的方程為 ．
【答案】
【分析】設圓的方程為，利用待定系數法求出，即可得解.
【詳解】設圓的方程為，
則，解得，
所以外接圓的方程為.
故答案為：.
考點二、圓的一般方程
1．（22-23高二上·陜西西安·期末）已知圓，則圓心、半徑的長分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將圓的一般方程配成標準方程，找到圓心和半徑即可.
【詳解】因為，所以，
所以圓心，半徑長是.
故選：B.
2．（22-23高三·全國·課后作業）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【分析】根據圓的一般式方程可得答案.
【詳解】關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是
，即，且，.
故選：D
3．（2022高三·全國·專題練習）（多選）已知方程，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，表示圓心為的圓
B．當時，表示圓心為的圓
C．當時，表示的圓的半徑為
D．當時，表示的圓與軸相切
【答案】BC
【分析】將方程化為，討論的取值，逐一判斷即可.
【詳解】解：由，得，
當時，方程表示點，故A錯誤；
當時，方程表示圓心為的圓，故B正確；
當時，方程表示的圓的半徑為，故C正確；
當時，方程表示的圓的半徑為，與軸相交，
故D錯誤．
故選：BC．
1．（22-23高二·山東臨沂·開學考試）已知圓，則該圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．，5 B．，5 C．， D．，
【答案】C
【分析】將圓的方程化為標準方程即可得解.
【詳解】解：將圓的一般式方程化為標準方程得，
所以圓心為，半徑為.
故選：C.
2．（2022·陜西榆林·二模）若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.
【詳解】由，得，則.
故選：A
3．（23-24高二上·安徽淮北·階段練習）如果圓關于直線對稱，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】圓心在直線上，代入計算即可得解.
【詳解】因為圓的圓心為，
由圓的對稱性知，圓心在直線上，故有，即.
故選：B.
考點三、直線與圓的位置關系
1．（23-24高二上·廣東·期末）直線與圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】A
【分析】求圓心到直線的距離與半徑比較即可判斷直線與圓的位置關系.
【詳解】由題意知，圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離，故圓與直線相離.
故選：A.
2．（2024·河南南陽·模擬預測）若圓被直線平分，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由題設，將圓心坐標代入直線方程即可求解.
【詳解】由題意得圓心在直線上，
則，解得.
故選：D.
3．（22-23高二下·安徽亳州·開學考試）設，則直線：與圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【答案】C
【分析】求出直線恒過的定點，根據定點與圓的關系可得答案.
【詳解】因為，所以，即直線恒過定點；
因為點恰在上，所以直線和圓的位置關系是相交或相切.
故選：C.
1．（23-24高二上·江蘇常州·期中）若點在圓內，則直線與圓C的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【答案】C
【分析】根據點與圓，直線與圓位置關系計算即可判斷.
【詳解】因為點在圓內，
所以，
設圓心到直線的距離為,
則，
圓的半徑,
因為，所以直線與圓的位置關系為相離.
故選：.
2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圓關于直線對稱，則實數（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】求出圓心并將其代入直線即可得解.
【詳解】由得，
則圓心坐標為，又因為圓關于直線對稱，
故由圓的對稱性可知：圓心在直線上，
則.
故選：D.
3．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知直線與圓相切，則的值（ ）
A．與a有關，與b有關 B．與a有關，與b無關
C．與a無關，與b有關 D．與a無關，與b無關
【答案】D
【分析】先求得圓的圓心坐標為和半徑為，結合題意圓心到直線的距離等于半徑，即，化簡即可得到答案.
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，
因為直線與圓相切，
則圓心到直線的距離等于半徑，即，
化簡得，可知，
故選：D.
考點四、圓與圓的位置關系
1．（2024·吉林長春·模擬預測）已知圓，圓，則這兩圓的位置關系為（ ）
A．內含 B．相切 C．相交 D．外離
【答案】A
【分析】求出兩圓圓心坐標與半徑，再求出圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對值比較，即可判斷.
【詳解】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
則，故，所以兩圓內含；
故選：A
2．（2024·內蒙古赤峰·三模）已知圓 圓則兩圓的公切線條數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】確定兩圓的位置關系后可得公切線條數．
【詳解】圓標準方程為，
則已知兩圓圓心分別為，半徑分別為，
圓心距為，
因此兩圓外切，它們有三條公切線，
故選：B．
3．（2024·山西呂梁·二模）已知分別是圓與圓上的動點，若的最大值為12，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據兩圓圓心距離以及半徑可得，即可求解.
【詳解】圓的圓心為半徑，
圓的圓心為半徑，
故兩圓不是內切和內含，
由題意知的最大值等于12，則，所以.
又，所以.
故選：D.
1．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）圓與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．外切 C．內切 D．相離
【答案】A
【分析】求得兩圓的圓心與半徑，進而求得兩圓的圓心距，由可得結論.
【詳解】由已知得圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
故，
所以圓與圓相交.
故選：A.
2．（2024·陜西西安·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】首先判斷兩圓的位置關系，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因為圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
又，所以兩圓相內切，
又表示圓及圓內的點，
表示圓及圓內的點，
即由推不出，故充分性不成立，
由推得出，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B

3．（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經過點的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據兩圓公切線條數確定兩圓位置關系，從而可得圓心所滿足的軌跡方程，從而逐項判段直線與圓位置關系，確定直線是否過點即可.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
若圓與圓恰有一條公切線，則兩圓內切，
所以，即，所以點的軌跡為圓，
對于A，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故A不符合；
對于B，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故B不符合；
對于C，圓心到直線的距離為，則該直線過點，故C不符合；
對于D，圓心到直線的距離為，則該直線不過點，故D符合；
故選：D.
考點五、圓中的弦長問題
1．（2024·河南·模擬預測）直線被圓截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把直線方程轉化為一般方程，表達出圓心和半徑，求解圓心到直線的距離，再求出弦長.
【詳解】由題意可得l的一般式方程為，
由圓C：，得圓心，半徑為4，
則圓心C到直線l的距離為，
故直線l被圓C截得的弦長為．
故選:B．
2．（2024·貴州六盤水·三模）已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則（　　）
A． B．1 C． D．﹣2
【答案】C
【分析】首先求出圓心到直線的距離，進一步利用垂徑定理建立等量關系式，最后求出a的值．
【詳解】圓與直線與相交于A，B兩點，且．
則圓心到直線的距離，
利用垂徑定理得，所以，解得．
故選：C．
3．（2024高三下·全國·專題練習）已知點在圓上，直線被該圓截得的弦長為2，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用點到直線的距離公式求出弦心距，根據弦長列方程求解可得.
【詳解】由題知，∴，
∵圓心到直線的距離，
∴，
又，解得.
故選：B．
1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）圓被直線所截線段的長度為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根據題意可知圓心和半徑，求圓心到直線的距離，結合垂徑定理分析求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，
所以所截線段的長度為.
故選：D.
2．（2024·青海·一模）已知直線與圓交于兩點，且，則（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】運用垂徑定理結合勾股定理構造方程計算即可.
【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離．因為，
所以，即，解得.
故選：D.
3．（2024·全國·模擬預測）已知直線被圓截得的弦長為，則（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】求得圓心坐標為，半徑為，由弦長公式可解得.
【詳解】易知圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離為，
又，解得.
故選：B.
考點六、圓上的點到點的最值問題綜合
1．（2023·甘肅酒泉·三模）點在圓上，點，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】可判斷在圓外，則，計算即可．
【詳解】圓的圓心，半徑為，
由于在圓外，
．
故選：D.
2．（22-23高二·全國·課后作業）若，且，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由復數的模的幾何意義，可得在復平面的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，根據圓的幾何性質可得結果.
【詳解】設，則，
所以，表示圓心為，半徑為的圓.
，表示點和之間的距離，
故.
故選：B.
【點睛】本題考查復數的模的幾何意義，考查圓的性質，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.
1．（2021·四川資陽·模擬預測）已知為坐標原點，為圓上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】求得圓心坐標和半徑，結合圓的性質，即可求解.
【詳解】由圓，可得圓C的圓心坐標為，半徑為，
則，所以的最小值為.
故選：A.
2．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知復數滿足：，則的最大值為（ ）
A．2 B．
C． D．3
【答案】B
【分析】利用復數的幾何意義，將問題轉化為圓上一點到定點的距離，計算即可.
【詳解】設，其中，則，
∵，
∴，即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
∴即為圓上動點到定點的距離，
∴的最大值為.
故選：B.
考點七、圓上的點到直線的最值問題綜合
1．（21-22高二上·北京·期中）點在圓上，點在直線上，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.
【詳解】由題意可知，圓心，
所以圓心到的距離為，所以的最小值為.
故選：B.
2．（2022·貴州·模擬預測）已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】根據直線方程確定所過的定點，再由定點與圓心的距離即可得圓心C到直線l的最大距離.
【詳解】由直線l得：，則直線l恒過定點，
由圓，則圓心，
故圓心C到直線l的最大距離.
故選：A
1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知直線，點在圓上運動，那么點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】確定圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，加上圓的半徑，即可得答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑為.
則圓心到直線：的距離為：.
所以圓上的點到直線：距離的最大值為：.
故選：C
2．（2023·河南·模擬預測）圓上的點到直線距離的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將圓的一般方程化為標準方程，進而得出圓心和半徑，利用點到直線的距離公式及圓上的點到直線距離的最值問題即可求解.
【詳解】圓的標準方程為，
所以圓心坐標為，半徑，
圓心到直線的距離為
，
所以圓上的點到該直線的距離的取值范圍是，即，
故選：A..
考點八、圓中的最長弦與最短弦綜合
1．（2024·全國·模擬預測）直線被圓截得的弦長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由恒過定點可得，過點的直徑與直線垂直時，所截得的弦長最小，借助垂徑定理計算即可得.
【詳解】直線恒過定點，
，即，
設其圓心為，半徑為，則，，
又，所以點在圓內，
則當直線與直線垂直時所截得的弦長最小，
最小值為．
故選：D．
2．（2022·北京石景山·一模）已知圓C：，過點的直線l與圓C交于A，B兩點，則弦長度的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由題意，可得當直線l垂直于過圓心C與定點的直線時，弦長度取得最小值.
【詳解】解：由題意，因為，所以點在圓C內，
因為直線l過點與圓C交于A，B兩點，
所以當直線l垂直于時弦長度取得最小值，
因為，
所以，
故選：B.
3．（20-21高三下·河南·階段練習）若直線與圓相交于，兩點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出直線經過的定點，然后結合圓的性質分析出當時，最小即可得出結果.
【詳解】可化為，
令
直線恒過定點，該點在圓內，
當時，最小，
此時.
故選：C.
1．（2022·全國·模擬預測）已知直線 l 過點，則直線 l 被圓O：截得的弦長的最小值為（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由題可知當OA與直線 l 垂直時，所截得的弦長最短，利用弦長公式即得.
【詳解】依題意可知在圓內，且，圓O的半徑為．
當OA與直線 l 垂直時，所截得的弦長最短，
即弦長的最小值為.
故選：B．
2．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知直線，圓，當直線被圓截得的弦最短時，的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出直線過的定點及圓的圓心的坐標，再結合已知求出直線的斜率即可得解.
【詳解】依題意，直線，由，解得，
所以直線過定點，
由，得，
所以圓心，半徑，
顯然，即點在圓內，
所以直線斜率，
當時，直線被圓截得的弦最短，
所以，即，解得,
所以直線的方程為，即，
經檢驗，此時，滿足題意.
故選：C.
3．（2024·陜西西安·模擬預測）已知直線與圓相交于兩點，則弦長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，求得直線恒過點，結合圓的性質和弦長公式，即可求解.
【詳解】因為直線，可得，
由，解得，所以直線恒過點，
可得點在圓內部，
又由圓，可得圓心，半徑為，
當直線過圓心時，截得弦長最長，此時，
當直線與垂直時，此時弦長最短，又由，
可得，
所以弦長的取值范圍是.
故選：B.
考點九、圓綜合
1．（2024·貴州·模擬預測）（多選）已知點，點Q在圓上，則（ ）
A．點P在直線上 B．點P可能在圓C上
C．的最小值為1 D．圓C上有2個點到點P的距離為1
【答案】AC
【分析】對于A：根據點P的坐標消參即可得結果；對于B：先判斷直線與圓的位置關系，結合選項A分析判斷；對于C：根據圓的性質分析判斷；對于D：分析可知，結合圓的性質分析判斷.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑為，
對選項A：由得，消去參數m得，
所以點P在直線上，故A正確.
對選項B：因為圓心到直線的距離，
可知直線與圓相離，結合選項A可知：點P不可能在圓C上，故B錯誤；
對選項C：結合選項B可知的最小值為，故C正確.
對選項D：因為，可知圓C上有且僅有1個點到點P的距離為1，故D錯誤.
故選：AC.
2．（2024·遼寧丹東·模擬預測）（多選）已知曲線:，則（ ）
A．曲線圍成圖形面積為
B．曲線的長度為
C．曲線上任意一點到原點的最小距離為2
D．曲線上任意兩點間最大距離
【答案】ABD
【分析】通過分類討論去掉絕對值后，可畫出曲線圖形，由圖可得答案.
【詳解】當時，曲線；
當時，曲線；
當時，曲線；
當時，曲線；
當時，曲線為原點.
畫出曲線的圖形，如圖所示.
對于A，曲線圍成的面積可分割為一個邊長為的正方形和四個半徑為的半圓，
故面積為，故A正確；
對于B，曲線由四個半徑為的半圓組成，故周長為，故B正確；
對于C，如圖所示，因為原點在曲線上，所以最小值為0，故C錯誤；
對于D，如圖所示，曲線上任意兩點的連線過圓心及原點時，距離最大，最大為.故D正確.
故選：ABD.
3．（2024·湖南長沙·模擬預測）（多選）若圓與圓交于A，B兩點，則下列選項中正確的是（ ）
A．點在圓內
B．直線的方程為
C．圓上的點到直線距離的最大值為
D．圓上存在兩點P，Q，使得
【答案】BC
【分析】對于A，將點帶入圓即可；對于B，圓與圓方程相減即可；對于C，由圓心到直線的距離再加半徑2即可；對于D，直線經過圓的圓心，圓中不存在比長的弦.
【詳解】對于A，因為，所以點在圓外，故A錯誤；
對于B，圓與圓交于兩點，
因為圓和圓相交，將兩圓相減可得：，
即公共弦所在直線的方程為，故B正確；
對于C，圓的圓心坐標為，半徑為2，
圓心到直線的距離，
所以圓上的點到直線距離的最大值為，故C正確；
對于D，直線經過圓的圓心，
所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長的弦，D錯誤.
故選：BC.
4．（2024·山東青島·三模）（多選）已知動點 分別在圓 和 上，動點 在 軸上，則（ ）
A．圓的半徑為3
B．圓和圓相離
C．的最小值為
D．過點做圓的切線，則切線長最短為
【答案】BD
【分析】求出兩個圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓關于對稱的圓方程，利用圓的性質求出最小值判斷C；利用切線長定理求出最小值判斷D.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
對于A，圓的半徑為，A錯誤；
對于B，，圓和圓相離，B正確；
對于C，圓關于軸對稱的圓為，，連接交于點，連接，
由圓的性質得，
，當且僅當點與重合，
且是線段分別與圓和圓的交點時取等號，C錯誤；
對于D，設點，過點的圓的切線長，
當且僅當，即時取等號，D正確.
故選：BD

1．（2024·山西陽泉·三模）（多選）已知圓，若圓上僅存在一點使，則正實數的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BD
【分析】由題意可得以為直徑的圓與圓相內切或外切，得出該圓圓心與半徑后，結合圓與圓的位置關系計算即可得.
【詳解】若圓上僅存在一點使，則以為直徑的圓與圓相內切或外切，
由，則以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
則有或，
分別解得或，故或，
故B、D正確，A、C錯誤.
故選：BD.
2．（2024·山東泰安·模擬預測）（多選）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．圓心的坐標為
B．直線與圓始終有兩個交點
C．當時，直線與圓相交于兩點，則的面積為
D．點到直線的距離最大時，
【答案】ABD
【分析】對于A，對圓的方程配方后可求出圓心判斷，對于B，先求出過定點，再判斷點與圓的位置關系，從而可得結論，對于C，先求出圓心到直線的距離，再求出弦長，從而可求出的面積，對于D，由于直線過定點，則當直線與垂直時，圓心到直線的距離最大，從而可求出的值.
【詳解】對于A：配方得，所以圓心，半徑，所以A正確；
對于B：由，得，則直線過定點，
因為，所以點在圓內，
所以直線與圓始終有兩個交點，所以B正確;
對于C：設圓心到直線的距離為，則，弦長，
所以面積，所以C不正確．
對于D：由題意得直線過定點，故當直線與垂直時，圓心到直線的距離最大，由于，故得，所以D正確．
故選：ABD．
3．（2024·江西南昌·模擬預測）（多選）在平面直角坐標系中，已知圓的動弦，圓，則下列選項正確的是（ ）
A．當圓和圓存在公共點時，則實數的取值范圍為
B．的面積最大值為1
C．若原點始終在動弦上，則不是定值
D．若動點滿足四邊形為矩形，則點的軌跡長度為
【答案】ABD
【分析】根據兩圓位置關系列不等式求解實數的范圍判斷A，根據三角形面積結合正弦函數可求出面積最大值判斷B，分類討論，設直線方程，利用韋達定理結合數量積數量積坐標運算求解判斷C，先根據矩形性質結合垂徑定理得到點的軌跡，然后利用圓的周長公式求解判斷D.
【詳解】對于A，圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
當圓和圓存在公共點時，，
所以，解得，所以實數的取值范圍為，正確；
對于B，的面積為，
當時，的面積有最大值為1，正確；
對于C，當弦垂直x軸時，，所以，
當弦不垂直x軸時，設弦所在直線為，
與圓聯立得，，
設，
則，，
綜上，恒為定值，錯誤；
對于D，設，OP中點，該點也是AB中點，且，
又，所以，
化簡得，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
其周長為長度為，正確.
故選：ABD
4．（2024·浙江紹興·三模）（多選）已知，為圓上的兩個動點，點，且，則（ ）
A．
B．
C．外接圓圓心的軌跡方程為
D．重心的軌跡方程為
【答案】ABC
【分析】根據圓的性質，可得判定A正確；當線段的中垂線經過點時，此時取得最值，結合圓的性質，可判定B正確；設的外接圓的圓心為，根據，求得軌跡方程，可判定以C正確；設的重心為點，結合C項，求得其軌跡方程，可判定D錯誤.
【詳解】因為圓，可得圓心，半徑為，且點在圓內，
對于A中，由，根據圓的性質，可得，
即，即，
所以的最大值為，所以A正確；
對于B中，因為，當線段的中垂線經過點時，此時取得最值，
如圖所示，可得時，可得，
時，可得，所以B正確；
對于C中，設的外接圓的圓心為，則，
則有，可得，
即，所以C正確；
對于D中，設的重心為點，則，
由C項知的外接圓的圓心點的軌跡方程為，
且點為的中點，即，所以，
即，即，所以D錯誤.
故選：ABC.
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預測）與x軸相切于原點，且圓心為的圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】借助直線與圓相切的性質可得其半徑，即可得解.
【詳解】，圓心為，
故該圓的標準方程為.
故選：C.
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】兩圓方程作差即可.
【詳解】由圓，圓，
兩式作差得，，即，
所以兩圓的公共弦所在直線方程是.
故選：B.
3．（2024·黑龍江·模擬預測）圓與圓的公共弦長為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程為，即可利用點到線的距離公式以及圓的弦長公式求解.
【詳解】的圓心和半徑分別為,
，故兩圓相交，
將兩個圓的方程作差得，即公共弦所在的直線方程為，
又知，，
則到直線的的距離，
所以公共弦長為，
故選:A．
4．（2024·江西吉安·模擬預測）已知圓與直線有公共點，則整數的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】求出圓心和半徑，由點到直線距離得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意可知圓的標準方程為，圓心為，半徑，
所以，得，即，
可得，又，故.
故選：B.
5．（2024·海南·模擬預測）下列方程中表示圓心在直線 上，半徑為 ，且過原點的圓的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】假設圓的標準方程，根據題意列出方程求解圓心和半徑即可.
【詳解】因為圓心在上，所以設圓心為,
因為圓的半徑為，
所以設圓的標準方程為,
因為該圓過原點，
所以，
解得,
所以圓心為或,
當圓心為時，圓的標準方程為，D對;
當圓心為時，圓的標準方程為.
故選：D.
6．（2024高三·全國·專題練習）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圓，則實數t的取值范圍是（ ）
A．{t|－1＜t＜}
B．{t|－＜t＜1}
C．{t|－1＜t＜}
D．{t|1＜t＜2}
【答案】B
【詳解】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.
二、多選題
7．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知直線與圓有兩個交點，則整數的可能取值有（ ）
A．0 B． C．1 D．3
【答案】AC
【分析】利用圓心到直線的距離小于半徑可求參數的范圍，從而可得正確的選項.
【詳解】圓即為：，
故圓心，半徑為，
因為直線與圓有兩個不同的交點，故，
故，結合選項可知AC符合題意.
故選：AC.
三、填空題
8．（2024·遼寧·模擬預測）已知圓關于直線對稱，圓與軸交于兩點，則
【答案】
【分析】先根據圓關于直線對稱，得到直線經過圓心，求出圓心，再運用弦長公式求解即可.
【詳解】圓0，即，圓心，
因為圓關于直線對稱，所以，解得，
所以圓，圓心，半徑，則圓心到軸的距離，
所以．
故答案為：.
9．（2024·北京西城·二模）已知圓經過點和，且與直線相切，則圓的方程為 ．
【答案】
【分析】設圓的方程為，進而利用待定系數法求解即可.
【詳解】設圓的方程為，
則由題意可得，解得，
所以圓的方程為
故答案為：
10．（2024·陜西商洛·三模）已知直線與，若直線與相交于兩點，且，則 ．
【答案】或
【分析】由弦長可求得圓心到該弦的距離，由點到直線的距離公式即可列方程求解.
【詳解】若直線與相交于兩點，且，
則圓心到直線的距離，所以，
解得或．
故答案為：或.
一、單選題
1．（24-25高三上·貴州黔東南·開學考試）已知點關于直線對稱的點在圓：上，則（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】設，利用點關于線對稱列方程求得Q坐標，代入圓方程計算即可.
【詳解】設，則，解得，.
因為在上，所以，解得，經檢驗，符合題意.
故選：B
2．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知直線與直線的交點為P，則點P到直線距離的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出兩直線所過定點，確定動點P的軌跡方程，結合圓上的點到定直線的距離的最值，即可求得答案；
【詳解】直線，分別過定點，，且互相垂直，所以點P的軌跡是以為直徑的圓（不含點），這個圓的圓心坐標為，半徑為.
圓心到直線l距離為，
因此圓上的點到直線l距離最大值為，最小為，取得最小值時圓上點的坐標是，因此取值范圍是.
故選：D
3．（23-24高三下·全國·開學考試）圓與圓交于兩點，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用兩圓相交的性質，將兩個圓方程相減，得到公共弦方程即可.
【詳解】因為圓與圓，
所以的一般方程為，
的一般方程為，
因為兩個圓相交，且對兩個圓的方程進行聯立，
所以的方程為，
化簡得，故D正確.
故選：D
4．（24-25高二上·吉林·階段練習）設，過定點A的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，，且點的軌跡是以為直徑的圓，設，結合三角知識求的取值范圍.
【詳解】對于動直線可知其過定點，
動直線，即，可知其過定點，
且，可知兩條動直線相互垂直，
可知點的軌跡是以為直徑的圓，且，
若點與或重合，則；
若點與，不重合，設，
則，
可得，
因為，則，可得，
所以，
綜上所述：的取值范圍是.
故選：D.
5．（24-25高三上·山東德州·開學考試）已知點為直線上一動點，點，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通過構造關系找到定點，將最值轉化為求的最值，進而轉化為最值，則點線距求解可得.
【詳解】∵，∴.
∴P點軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，記為圓C，
設在x軸上存在定點，使得圓上任意一點，滿足，
則，
化簡得，
又∵，代入得，
要使等式恒成立，則，即.
∴存在定點，使圓上任意一點P滿足，
則，
當三點共線（位于兩側）時，等號成立.
又點為直線上一動點，則的最小值即為點到直線的距離，
由到直線距離，則.
故.
如圖，過作直線的垂線段，垂線段與圓的交點即為取最值時的點，此時取到最小值.
故選：D.
【點睛】方法點睛：借助可以轉化,最后把動點到定點的距離轉化為到點到直線的距離，進而由幾何性質求解最值.
二、多選題
6．（24-25高二上·江西鷹潭·開學考試）已知圓及點，則下列說法正確的是（ ）
A．圓心的坐標為
B．若點在圓上，則直線的斜率為
C．點在圓外
D．若是圓上任一點，則的取值范圍為．
【答案】ACD
【分析】根據題意轉化為圓的標準方程，由圓心坐標可判斷A選項，通過點代入圓的方程求得的值，進而由斜率公式可求的斜率并可判斷B選項，點與圓的位置關系可判斷C選項，利用圓心到的距離可得的取值范圍并可判斷D選項；
【詳解】將把轉化為標準方程,
則，如圖所示：
對于A：圓心C的坐標為，故A正確；
對于B：當點在圓上，則有，
化簡得，解得.
即，所以直線的斜率為，故B錯誤；
對于C：因為，所以點在圓外，故C正確；
對于D：因為， ，
所以，即，故D正確.
故選：ACD.
7．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點 B．直線與圓相交
C．當直線平分圓時， D．當點到直線距離最大值時，
【答案】ACD
【分析】對于A，將直線方程變形即可進一步判斷；對于B，舉反例即可判斷；對于C，將圓心坐標代入直線方程即可驗算參數；對于D，當點到直線距離最大值時，有，結合它們的斜率關系即可判斷.
【詳解】對于A，即，令，有，所以直線恒過定點，故A正確；
對于B，圓的圓心、半徑為，
點到直線的距離為，
從而，
取，則此時有，故B錯誤；
對于C，當直線平分圓時，有點在直線上，
也就是說有成立，解得，故C正確；
對于D，點到直線距離滿足，等號成立當且僅當，
而的斜率為，
所以當等號成立時有，解得，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
8．（2023·江西上饒·模擬預測）直線被圓截得最大弦長為 ．
【答案】
【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理與勾股定理建立關系即可得到答案.
【詳解】由已知，圓的標準方程為，圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，解得，
所以弦長為，因為，
所以，所以弦長，
當即時，弦長有最大值.
故答案為：.
9．（23-24高二下·全國·課堂例題）圓經過點，且經過兩圓和圓的交點，則圓的方程為 ．
【答案】
【分析】利用圓系方程可求圓的方程.
【詳解】設圓的方程為：，
整理得到：，
因為圓過，代入該點得到：即，
故圓的方程為：即，
故答案為：.
10．（2024·天津河西·模擬預測）已知點為圓上一點，點，當變化時線段AB長度的最小值為 .
【答案】
【分析】根據圓的方程得到圓心的軌跡，然后根據幾何知識得到當時線段的長度最小，
然后求線段的長度即可.
【詳解】
圓的圓心坐標為，半徑，所以圓心在直線：上，
當時線段的長度最小，
點到直線的距離，
所以.
故答案為：.
1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根據題意，由條件可得直線過定點，從而可得當時，的最小，結合勾股定理代入計算，即可求解.
【詳解】因為直線，即，令，
則，所以直線過定點，設，
將圓化為標準式為，
所以圓心，半徑，
當時，的最小，
此時.
故選：C
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式即可.
【詳解】由題意得，即，
則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
3．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】結合等差數列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數形結合法即可求解.
【詳解】因為成等差數列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，
設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，
，此時.

故選：C
4．（2024·上海·高考真題）正方形草地邊長到距離為到距離為，有個圓形通道經過，且經過上一點，求圓形通道的周長 .（精確到）

【答案】
【分析】利用給定條件求解圓的半徑，再求周長即可.
【詳解】如圖，以為原點建系，易知，連接，

不妨設中點為，直線中垂線所在直線方程為，
化簡得，所以圓心為，半徑為，且經過點
即，化簡得，
解得，
結合題意可得，故圓的周長為.
故答案為：
5．（2023·全國·高考真題）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因為存在實數，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時，取得最大值，
法三：由可得，
設，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
6．（2023·全國·高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
【答案】（中任意一個皆可以）
【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結合面積公式即可解出．
【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個皆可以）．
7．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的漸近線為，
當漸近線為時，圓心到該漸近線的距離，不合題意；
當漸近線為時，則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
8．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．
【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選：A．
9．（2022·全國·高考真題）過四點中的三點的一個圓的方程為 ．
【答案】或或或．
【分析】方法一：設圓的方程為，根據所選點的坐標，得到方程組，解得即可；
【詳解】[方法一]：圓的一般方程
依題意設圓的方程為，
（1）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）
設
（1）若圓過三點，圓心在直線，設圓心坐標為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過三點， 設圓心坐標為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過 三點，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過三點，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優解．
10．（2022·天津·高考真題）若直線被圓截得的弦長為，則的值為 ．
【答案】
【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關于的等式，即可解得的值.
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得，因為，解得.
故答案為：.
11．（2022·全國·高考真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為 ．
【答案】
【分析】設出點M的坐標，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】[方法一]：三點共圓
∵點M在直線上，
∴設點M為，又因為點和均在上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(1,-1)., 的方程為.
故答案為：
12．（2022·全國·高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】首先求出點關于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；
【詳解】解：關于對稱的點的坐標為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
13．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據弦長最小值得出
【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，
則圓心到直線的距離，
則弦長為，
則當時，取得最小值為，解得.
故選：C.
14．（2021·全國·高考真題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】ABD
【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.
【詳解】圓心到直線l的距離，
若點在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點在圓C內，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯誤；
若點在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選：ABD.
15．（2021·全國·高考真題）（多選）已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于
B．點到直線的距離大于
C．當最小時，
D．當最大時，
【答案】ACD
【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；
如下圖所示：
當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項正確.
故選：ACD.
【點睛】結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.
16．（2021·天津·高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則 ．
【答案】
【分析】設直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【詳解】設直線的方程為，則點，
由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，
則，解得或，所以，
因為，故.
故答案為：.
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