資源簡介

第03講 等比數列及其前n項和
（9類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第19題,17分 由遞推關系證明等比數列 求直線與雙曲線的交點坐標 向量夾角的坐標表示
2023年新Ⅱ卷，第8題,5分 等比數列前n項和的基本量計算等比數列前n和的性質及應用 無
2022年新Ⅱ卷，第17題,10分 等比數列通項公式的基本量計算 等差數列通項公式的基本量計算 數列不等式能成立(有解) 問題
2021年新Ⅱ卷，第12題,5分 求等比數列前n項和 數列新定義
2020年新I卷，第18題,12分 等比數列通項公式的基本量計算求等比數列前n項和 無
2020年新Ⅱ卷，第18題,12分 等比數列通項公式的基本量計算求等比數列前n項和 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.理解等比數列的概念
2掌握等比數列的通項公式與前n項和公式
3.能在具體的問題情境中識別數列的等比關系并能用等比數列的有關知識解決相應的問題
4.熟練掌握等比數列通項公式與前n項和的性質
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給出數列為等比數列，或通過構造為等比數列，求通項公式及前n項和。需綜合復習
知識講解
等比數列的定義
從第二項開始，后一項與前一項的比為同一個常數，這個數列是等比數列，這個常數是等比數列的公比，用表示
數學表達式
通項公式
，，，
等比數列通項公式與函數關系
等比數列為指數型函數
等比中項
若，，三個數成等比數列，則,其中叫做，的等比中項
等比數列通項公式的性質
（1）若或
（2）若，為等比數列，則，仍為等比數列
等比數列前n項和
等比數列前n項和與函數關系
等比數列前項和公式是指數型函數
等比數列前n項和的性質
（1），，……仍成等比數列
（2）
證明數列為等比數列的方法
（1）（為常數）為等比數列
（2）若,則，，三個數成等比數列
考點一、等比數列項、公比及通項公式的求解
1．（2024·山東青島·一模）等比數列中，，，則（ ）
A．32 B．24 C．20 D．16
【答案】A
【分析】利用已知求出首項和公比,再求.
【詳解】由題得
所以.
故選：A.
2．（2022·全國·高考真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】設等比數列的公比為，易得，根據題意求出首項與公比，再根據等比數列的通項即可得解.
【詳解】解：設等比數列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
3．（2024·山東泰安·模擬預測）已知數列是各項均為正數的等比數列，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用兩個等式，結合方程的思想，全部轉化為關于的方程，解方程組可得.
【詳解】設數列的公比為，由得，所以，
又因為各項均為正數， 所以，
由得，所以，
故，
故選：A.
4．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
1．（2023·全國·高考真題）已知為等比數列，，，則 .
【答案】
【分析】根據等比數列公式對化簡得，聯立求出，最后得.
【詳解】設的公比為，則，顯然，
則，即，則，因為，則，
則，則，則，
故答案為：.
2．（2024·四川遂寧·三模）等比數列中，，．
(1)求的通項公式：
(2)記為的前n項和，若，求m．
【答案】(1)或．
(2)．
【分析】（1）由條件求出公比，即可求解通項公式；
（2）根據（1）的結果，代入等比數列的前項和公式，即可求解.
【詳解】（1）等比數列中，，．
，解得，
當時，，
當時，，
的通項公式為，或．
（2）記為的前n項和．
當，時，，
由，得，，無解；
當，時，，
由，得，，
解得．
3．（2024·上海·三模）已知等比數列的公比，且，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，且是嚴格增數列，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比數列通項公式的基本量進行運算即可；
（2）是嚴格增數列，利用恒成立即可求解.
【詳解】（1）因為數列是等比數列，且，所以或2，
若，，則與矛盾，舍去，
若，，則，，滿足題意，
所以．
（2）因為，是嚴格增數列，
所以對于任意正整數n都成立，
，
即對于任意正整數n都成立，所以，
因為在上嚴格遞減，
所以當時，最大，最大值為，
所以的取值范圍是.
考點二、等比中項的應用
1．（2024·湖北荊州·三模）若實數成等差數列，成等比數列，則= .
【答案】
【分析】根據等差數列的公差計算求出，再根據等比中項求出即可.
【詳解】實數成等差數列，則等差數列的公差為，
成等比數列，則，
由于等比數列奇數項同號，所以，所以，則.
故答案為：.
2．（2024·江西九江·三模）已知等差數列的公差為，是與的等比中項，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據等比中項的定義得出；再根據等差數列的通項公式得出，化簡即可解答.
【詳解】因為是與的等比中項，
所以.
又因為數列為等差數列，公差為，
所以，化簡得，即，
所以.
故選：A.
3．（2024·廣東茂名·模擬預測）在公差為正數的等差數列中，若，，，成等比數列，則數列的前10項和為 .
【答案】165
【分析】由等比和等差數列的性質求出公差，再由前項和公式求出結果即可.
【詳解】設等差數列的公差為，
由題意得，即，
因公差大于零，解得，（舍），
所以，
故答案為：165.
1．（2024·廣東江門·一模）已知各項均為正數的等比數列中，若，則＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【分析】利用等比數列的性質可得，可求結論.
【詳解】由各項為正數的等比數列，且，
可得，所以.
故選：B.
2．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知數列是公差為2的等差數列，若成等比數列，則（ ）
A．9 B．12 C．18 D．27
【答案】D
【分析】利用等比中項列式，借助等差數列通項公式求解即得.
【詳解】由成等比數列，得，
所以，解得，
所以.
故選：D
3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知在正項等比數列中，，且成等差數列，則（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
【答案】D
【分析】由等比中項性質求得，由等差中項性質得，根據等比數列通項公式基本量運算求得，進而求解即可.
【詳解】由等比中項性質知.
由成等差數列，得，所以，
所以等比數列的公比，所以，
所以.
故選：D.
考點三、等比數列的性質
1．（2024·四川成都·模擬預測）已知數列是等比數列，若，是的兩個根，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據一元二次方程韋達定理得出，得出，再利用等比數列的性質，計算出結果；
【詳解】若，是的兩個根，則，
因為數列是等比數列，，.
故選：C.
2．（廣東·高考真題）若等比數列的各項均為正數，且，則 .
【答案】.
【詳解】由得，
所以
【點睛】等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形. 在解決等差、等比數列的運算問題時，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.
3．（全國·高考真題）設是由正數組成的等比數列，公比，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據等比數列的性質，設，，，
則A，B，C成等比數列，然后利用等比中項的性質可求得答案
【詳解】設，，，
則A，B，C成等比數列，公比為，且,
由條件得，
所以，所以，所以.
故選：B
4．（全國·高考真題）已知各項均為正數的等比數列{}，=5，=10，則=
A． B．7 C．6 D．
【答案】A
【詳解】試題分析：由等比數列的性質知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數列，所以a4a5a6＝
故答案為
考點：等比數列的性質、指數冪的運算、根式與指數式的互化等知識，轉化與化歸的數學思想．
1．（23-24高二上·山東青島·階段練習）等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
【答案】B
【分析】利用等比數列的性質，結合對數的運算法則即可得解.
【詳解】因為是各項均為正數的等比數列，，
所以，即，則
記，則，
兩式相加得，
所以，即.
故選：B.
2．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數列的前項和為，且，，則（ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
【答案】C
【分析】根據等比數列的性質求，即可求解.
【詳解】由等比數列的性質可知，，即，得，
.
故選：C
3．（2024·四川成都·模擬預測）設數列是等比數列，且，則 .
【答案】64
【分析】根據等比數列的性質可得，即可求解.
【詳解】設公比為，
由可得，故，
所以，
故答案為：64
考點四、等比數列前n項和的求解
1．（2023·全國·高考真題）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【分析】根據題意列出關于的方程,計算出,即可求出.
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
2．（2024·山西晉中·模擬預測）設等比數列的前項和為，若，則（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】設公比為，推導出，即可求出的值.
【詳解】設公比為，
當時，不符合題意；
當時，
又，
所以，解得.
故選：B
3．（全國·高考真題）等比數列中，．
（1）求的通項公式；
（2）記為的前項和．若，求．
【答案】（1）或 .
（2）.
【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項和，解方程可得m．
詳解：（1）設的公比為，由題設得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，則．由得，此方程沒有正整數解．
若，則．由得，解得．
綜上，．
點睛：本題主要考查等比數列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎題．
1．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前項和．若，則的公比為 ．
【答案】
【分析】先分析，再由等比數列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.
【詳解】若，
則由得，則，不合題意.
所以.
當時，因為，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案為：
2．（2024·江西南昌·三模）已知是單調遞減的等比數列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】設等比數列公比為，由已知條件得，解得，再使用等比數列的通項公式及數列求和公式求解即可.
【詳解】由題意，設等比數列公比為，
則，解得或，
由因為數列為單調遞減的等比數列，
所以，
所以，
.
故選：AD.
3．（全國·高考真題）已知數列為等比數列，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設是數列的前n項和，證明．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】(1)結合已知條件求出公比，進而可得到答案；(2)結合(1)中結論求出，然后結合基本不等式即可證明.
【詳解】（1）因為，，
所以由等比數列性質可知，，即，
故，
從而數列的通項公式為.
（2）由(1)中結論可知，，
則，
故，
由基本不等式可知，，
即，
所以，
考點五、等比數列前n項和的性質
1．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根據等比數列的前n項和公式求出公比，再根據的關系即可解出；
方法二：根據等比數列的前n項和的性質求解．
【詳解】方法一：設等比數列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設等比數列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數列，
所以有，，解得：或，
當時，，即為，
易知，，即；
當時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．
2．（2021·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根據題目條件可得，，成等比數列，從而求出，進一步求出答案.
【詳解】∵為等比數列的前n項和，，
∴，，成等比數列
∴，
∴，
∴.
故選：A.
3．（2024·湖南邵陽·模擬預測）記為公比小于1的等比數列的前項和，，，則（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用等比數列片斷和性質列式計算即得.
【詳解】依題意，成等比數列，首項為2，設其公比為，
則，
由，得，整理得，
由等比數列的公比小于1，得，解得，
所以.
故選：B
4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知等比數列的公比為，前項和為.若，，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【分析】由等比數列前項和列出與，兩式相比即可解出答案；或根據等比數列前項和的性質得，，成等比數列，且公比為，即可列式，代入值即可解出答案.
【詳解】法一：因為等比數列的公比為，
則，，
所以，解得.
法二：根據等比數列前項和的性質得，，成等比數列，且公比為，
所以，即，解得..
故選：C
1．（2024·四川內江·三模）在等比數列中，為其前項和，若，則的值為（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【分析】根據題意，由等比數列前項和的性質，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為為等比數列，所以成等比數列，
即成等比數列，可得，所以.
故選：C
2．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，且，則（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
【答案】A
【分析】根據等比數列的性質可知片段和成等比數列，求出片段和等比數列公比即可得解.
【詳解】因為，且，
所以，，故，
所以，即，解得或（舍去），
由等比數列性質可知，成等比數列，公比為
所以，解得，
故選：A
3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）在正項等比數列中，為其前n項和，若，，則的值為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【分析】由等比數列片段和依然成等比數列，結合等比中項的性質即可列式求解.
【詳解】設正項等比數列的公比為，
則是首項為，公比為的等比數列，
若，，則，
所以，即，
解得或（舍去）.
故選：C.
考點六、等比數列通項公式與前n項和的關系
1．（2024·全國·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，為實數，則 .
【答案】
【分析】根據已知和求通項及等比數列通項公式可得結果.
【詳解】當時，，
當時，，
所以，，因為為等比數列，所以，
即，解得或0（舍去），
所以，，公比，所以.
故答案為：.
2．（2024·寧夏銀川·三模）設數列的前n項和為，已知，
(1)求的通項公式；
(2)記數列的前n項和為，求使得成立的n的最小值.
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）利用數列的通項與前n項和的關系求解；
（2）利用（1）的結論得到求解.
【詳解】（1）解：當時，；
當時，由，
得，
兩式相減得，即，
又，且，
所以是等比數列，
所以；
（2）由（1）知：，
則數列的前n項和為，
所以不等式，即為，
即，所以，
所以使得成立的n的最小值為11.
3．（23-24高三上·廣東潮州·期末）公比為的等比數列的前項和．
(1)求與的值；
(2)若，記數列的前項和為，求證：．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據作差求出，即可求出公比與參數的值；
（2）由（1）可得，則，利用等差數列求和公式求出，從而得到，利用裂項相消法計算可得.
【詳解】（1），
當時，；
當時，，
所以，
所以，
，，
又數列為等比數列，則，
又，
，解得；
（2）由（1）可得，
所以，
，
當時，，
．
4．（2021·浙江·高考真題）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，結合與的關系，分討論，得到數列為等比數列，即可得出結論；
（2）由結合的結論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數，轉化為與關于的函數的范圍關系，即可求解.
【詳解】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數不等式要變號.
1．（2024·全國·模擬預測）記為數列的前n項和，則“為等比數列”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】先考查充分性：利用，驗證即可，再考查必要性，當時，滿足條件，但不是等比數列，即可判斷.
【詳解】若是等比數列，
則，
，
所以，
即．
若，
令滿足條件，但不是等比數列．
所以是充分不必要條件．
故選：A．
2．（浙江·高考真題）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.
（Ⅰ）求通項公式；
（Ⅱ）求數列{||}的前項和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【詳解】試題分析：本題主要考查等差、等比數列的基礎知識，同時考查數列基本思想方法，以及推理論證能力.
試題解析：（Ⅰ）由題意得，則
又當時，由，
得.
又,
所以，數列的通項公式為.
（Ⅱ）設，，.
當時，由于，故.
設數列的前項和為，則.
當時，，滿足上式，
所以，
【考點】等差、等比數列的基礎知識.
【方法點睛】數列求和的常用方法：（1）錯位相減法：形如數列的求和，其中是等差數列，是等比數列；（2）裂項法：形如數列或的求和，其中，是關于的一次函數；（3）分組法：數列的通項公式可分解為幾個容易求和的部分．
3．（山東·高考真題）設數列的前n項和為.已知.
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足，求的前n項和.
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）利用數列前項和與通項的關系求解；
（Ⅱ）結合第（Ⅰ）問的結果，利用關系式求出數列的通項公式，并結合其通項的結構特征，采用錯位相減法求其前n項和.
【詳解】（Ⅰ）因為，所以，，故
當時，此時，即
所以，
（Ⅱ）因為，所以，
當時，
所以，
當時，
，
所以，兩式相減，得
所以，
經檢驗，時也適合，
綜上可得：.
【點睛】本題考查數列前項和與通項的關系，特殊數列的求和問題，關鍵在于運用錯位相減法進行數列求和，注意考慮的情況，屬于中檔題.
4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數列的前n項和為，且，其中.
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據遞推關系可得，從而可得公比，故可求首項從而得到通項公式；
（2）先求出的通項，再利用反證法結合等比中項的性質可得矛盾，從而得到數列中不存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列.
【詳解】（1）因為，故，故，
而為等比數列，故其公比為，
又，故，故，
故.
（2）由題設可得，
若數列中存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列，
則，因為等差數列，
故即，故，
故即，這樣不同矛盾，
故數列中不存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列.
考點七、等比數列的函數特性與最值
1．（北京·高考真題）設是公比為的等比數列，則“”是“為遞增數列”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【詳解】試題分析：當時，不是遞增數列；當且時，是遞增數列，但是不成立，所以選D.
考點：等比數列
2．（2023·上海浦東新·三模）設等比數列的前項和為，設甲：，乙：是嚴格增數列，則甲是乙的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】D
【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.
【詳解】不妨設，則，滿足，
但是嚴格減數列，充分性不成立，
當時，是嚴格增數列，但，必要性不成立，
故甲是乙的既非充分又非必要條件.
故選：D
3．（2023·廣西·模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用等比數列的通項公式及函數的單調性，結合數列的單調性即可求解.
【詳解】設等比數列的公比為，有，
由函數單調遞增，且，可得.
有，由數列單調遞減，
所以取得最大值時的值為9，
故選：B.
4．（2024·湖北·二模）（多選）無窮等比數列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【分析】結合選項，利用等比數列單調性分析判斷即可.
【詳解】，時，等比數列單調遞減，故只有最大值，沒有最小值；
，時，等比數列為擺動數列，此時為大值，為最小值；
，時，奇數項都相等且小于零，偶數項都相等且大于零，
所以等比數列有最大值，也有最小值；
，時，因為，所以無最大值，奇數項為負無最小值，
偶數項為正無最大值.
故選：BC
5．（23-24高三上·江西·期中）（多選）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（ ）
A．為單調遞增數列 B．
C．為的最大項 D．無最大項
【答案】BC
【分析】由，，可得，，結合分析可得，，，則為單調遞減數列，故選項A錯誤.選項B正確.，根據單調遞減和，可知為的最大項，則選項C正確，選項D錯誤.
【詳解】由，因此.
又因為則.
當時，，則，，則，與題意矛盾.
因此.則為單調遞減數列，故選項A錯誤.
而，故，選項B正確.
又因為為單調遞減數列，則，
由可知，，，
所以當時，，則.
當時，，則.
因此的最大項為，則選項C正確，選項D錯誤.
故答案為：BC.
1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）設數列的公比為，則“且”是“是遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據題意，結合等比數列的通項公式，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結果.
【詳解】由等比數列的通項公式可得，，
當且時，則，且單調遞減，則是遞減數列，故充分性滿足；
當是遞減數列，可得或，故必要性不滿足；
所以“且”是“是遞減數列”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2024·全國·模擬預測）（多選）已知正項等比數列的前項的積為，且公比，若對于任意正整數，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據數列的單調性即可求解，即可根據選項逐一求解.
【詳解】根據題意，在時取得最小值，所以為單調遞增數列，所以，所以A正確，B錯誤；
當時，，滿足題意，所以C錯誤；
由可得，即，所以，所以D正確．
故選：AD．
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，則取最大值時，的值為 ．
【答案】
【分析】根據求出、、，由等比中項有，進而求得，得到等比數列的首項、公比、通項公式，再結合的單調性，即可求出最大時的值.
【詳解】，，，
因為是等比數列，所以，有，，
數列是以為首項，為公比的等比數列，，
數列是遞減數列，，，
所以時，最大.
故答案為：.
4．（2023·廣東佛山·一模）等比數列公比為，，若（），則“”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據等比數列的通項公式，結合等差數列的前項和公式、充分性和必要性的定義進行判斷即可.
【詳解】因為等比數列公比為，
所以，
當時，，，顯然數列為不是遞增數列；
當“數列為遞增數列”時，有，
因為，所以如果，例如，顯然有，，顯然數列為不是遞增數列，
因此有，，
所以由，
當時，顯然對于恒成立，
當時，對于不一定恒成立，例如；
當時，對于不一定恒成立，例如；
當時，對于恒不成立，
因此“”是“數列為遞增數列”的必要不充分條件，
故選：B
考點八、等比數列中的數學文化
1．（22-23高三上·安徽六安·階段練習）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關.要見每朝行里數，請公仔細算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
【答案】A
【分析】由等比數列的性質求解，
【詳解】設為公比為的等比數列，則，
解得，則，
故選：A
2．（北京·高考真題）“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.
詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，
所以，
又，則
故選D.
點睛：此題考查等比數列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列. 等比數列的判斷方法主要有如下兩種：
（1）定義法，若（）或（）， 數列是等比數列；
（2）等比中項公式法，若數列中，且（），則數列是等比數列.
3．（2023·江蘇·模擬預測）（多選）佩爾數列是一個呈指數增長的整數數列．隨著項數越來越大，其后一項與前一項的比值越來越接近于一個常數，該常數稱為白銀比．白銀比和三角平方數、佩爾數及正八邊形都有關系．記佩爾數列為，且，，．則（ ）
A． B．數列是等比數列
C． D．白銀比為
【答案】ACD
【分析】由遞推公式得出，即可判斷A；計算，，，由等比數列的定義即可判斷B；設數列是公比為是等比數列，求出和的值，得出，即可判斷C；由通項公式得出，化簡后根據白銀比的定義，求出白銀比即可判斷D．
【詳解】對于A：因為，，，，，，，，故A正確；
對于B：因為，，，故B錯誤；
對于C：設數列是公比為是等比數列，則，
所以，所以，
所以或；
當時，，
當時，，
解得，故C正確；
對于D：因為
，
因為，
所以當時，，，故D正確，
故選：ACD．
1．（2023·廣東揭陽·模擬預測）在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”.其大意是：有人要去某關口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設第天走里，其中，由題意可知，數列是公比為的等比數列，利用等比數列的求和公式求出的值，然后利用等比數列的求和公式可求得此人后天共走的里程數.
【詳解】設第天走里，其中，由題意可知，數列是公比為的等比數列，
所以，，解得，
所以，此人后三天所走的里程數為.
故選：D.
2．（2023·貴州遵義·模擬預測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
【答案】A
【分析】根據等比數列的通項公式與前項和公式計算．
【詳解】由題意記10人每人所得玉米時依次為，則時，，，即是等比數列，
由已知，，
（斗）．
故選：A．
3．（2023·全國·模擬預測）《塵劫記》是元代一部經典的古典數學著作，里面記載了一個有趣的數學問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個月后，每對老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個月新生的老鼠數量為，每個月老鼠的總數量為，數列，的前項和分別為，，可知，，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得的值判斷選項A；求得的值判斷選項B；求得的值判斷選項C；求得的值判斷選項D.
【詳解】依題意，，.
因為，，所以.
故數列是以14為首項，7為公比的等比數列.
故，，
而，故.
故，，
選項A：.判斷錯誤；
選項B：.判斷錯誤；
選項C：.判斷正確；
選項D：.判斷錯誤.
故選：C.
考點九、等比數列的證明
1．（全國·高考真題）數列的前n項和記為，已知，（），求證：
（1）數列是等比數列；
（2）．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）由化簡已知條件，得到，從而證得數列是等比數列.
（2）由（1）求得，由此結合已知條件化簡得到.
【詳解】（1）∵，，∴．
即，∴．
故是以2為公比的等比數列.
（2）由（1）可知，
∴．
又，．
∴對于任意正整數n，都有．
【點睛】數學的證明主要是通過演繹推理來進行的，一個復雜的數學命題的推理往往是由多個“三段論”構成的．“如果，，則”這種推理規則叫做三段論推理．在演繹推理中，只要前提（大前提、小前提）和推理形式是正確的，結論必定是正確的，否則所得的結論是錯誤的．
2．（四川·高考真題）設數列的前n項和為，已知．
(1)證明：當時，是等比數列；
(2)求的通項公式．
【答案】(1)證明見解析.
(2)當時，;當時.
【分析】（1）當 時，由題設條件知 ,由此可知 ，即可證明結論．
（2）當時，由題設條件結合（1）可求得；當時，則，當時，由題設推出 ，求得，綜合可得出的通項公式．
【詳解】（1）當時，由題意知，
令，則 ，解得 ，
且，，
兩式相減得，
于是，
又 ，所以是首項為1，公比為2的等比數列；
（2）當時，由（1）知，即,
當時，則，
當且時，由得，
兩式相減得，即，
故
，
因此 ，
令 ，則即，
即為首項為，公比為b的等比數列，
故 ，
則,時，適合上式，
故.
3．（2024·全國·模擬預測）已知數列的首項，且滿足.
(1)證明是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)是否存在正整數，使得對任意的正整數，總成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析，
(2)存在，，
【分析】（1）由已知可得，可得是首項為、公比為－1的等比數列，可求通項公式；
（2）假設成立，由（1）可得，化簡可得存在正整數，當，時，對任意的正整數，總成立.
【詳解】（1）由，得，
所以， 又，
故，由遞推公式可得,
所以，
所以是首項為、公比為－1的等比數列.
故，即；
（2）由（1）可得，所以
，
假設成立，
則，
化簡得.
可知當為正偶數，即時，（*）式對任意的正整數總成立.
因此，存在正整數，當，時，對任意的正整數，總成立.
4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知數列的前項和為，且.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)設，若是遞增數列，求實數的范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用及已知條件得到遞推式，然后證明并驗證首項非零即可；
（2）求出，并將命題轉化為恒成立，然后取即得到，再證明時不等式恒成立.
【詳解】（1）由知，得.
由已知有，
故，得.
而，故數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）根據（1）的結論有，即.
那么就有.
命題等價于恒成立，即.
此即，化簡得到.
從而要求的取值范圍使得恒成立.
一方面，對該不等式取可得到，即；
另一方面，若，則，，
故我們恒有，即.
所以的取值范圍是.
5．（22-23高三上·浙江寧波·期末）已知正項數列中，，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)，證明：.
【答案】(1)，；
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知得，得到是以為公比的等比數列，求出通項公式；
（2）求出，利用裂項相消法即可求證.
【詳解】（1）由，，
得，又，
則是以為首項，為公比的等比數列，
所以，.
（2）證明：因為
，
所以
.
6．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析，
(2).
【分析】（1）利用等比數列的定義證明，再根據等比數列的通項公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂項相消可知，進而求解二次不等式即可.
【詳解】（1）由題可知：，又，
故是首項為2，公比為2的等比數列，，即.
（2），
，且當趨于時，趨近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知為等比數列的前項積，若，且（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等比中項的性質求解即可.
【詳解】由等比數列的性質，得，所以.
故選:B.
2．（2024·西藏林芝·模擬預測）等比數列的前項和，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據等比數列前項和公式特征求解即可.
【詳解】若等比數列的公比為，
因為，
則，矛盾，故
設等比數列公比為，則，
即等比數列的前項和要滿足，
又因為，所以.
故選：B
二、多選題
3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知數列的前項和為，首項，且滿足，則下列四個結論中正確的是（ ）
A．數列是等比數列 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據遞推關系代入即可求解AB，根據遞推關系可證明是首項為，公比為的等比數列，可得，即可利用分組求和，結合等比求和公式求解CD.
【詳解】對于A選項，
取，得，又，所以，
取，得，所以，顯然，
即數列一定不是等比數列，所以A錯誤；
對于B選項，
取，得，取，得，所以，所以B正確；
對于C，D選項，
由，得，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正確．
故選:BCD．
三、填空題
4．（2024·上海浦東新·三模）已知數列為等比數列，，，則 .
【答案】255
【分析】根據題意結合通項公式求，進而結合等比數列求和公式運算求解.
【詳解】設等比數列的公比為，
由題意可得，解得，
所以.
故答案為：255.
5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知數列為各項均不相等的等比數列，其前項和為，且成等差數列，則 .
【答案】
【分析】數列公比為，則，則由題意可得，解出公比，從而可求出.
【詳解】設數列公比為，則，
成等差數列，，
即，整理得，
解得，或（舍去），
∴
故答案為：
四、解答題
6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知為等比數列的前項和，若成等差數列，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前項和為，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等比數列的基本量計算即可求解；
（2）裂項相消法求得，再利用數列單調性即可求解.
【詳解】（1）設數列的公比為，
由成等差數列可得，故，解得，
由可得，解得，
故，即數列的通項公式為.
（2）由（1）可得，
故，
又因為為遞增數列，則，又當時，
所以，故.
7．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）設等比數列的公比為，由已知條件和等比數列基本量的計算，求出數列首項和公比，得通項公式；
（2）利用錯位相減法可得數列的前n項和．
【詳解】（1）設數列的公比為，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
兩式相減得，
∴．
8．（2024·浙江·模擬預測）已知數列為公差不為零的等差數列，其前n項和為，，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若數列是公比為3的等比數列，且，求的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設公差為d，根據等差數列的前n項和公式與等比中項公式列出關于和d的方程，求解即可得的通項公式；
（2）由（1）可得等比數列的第三項，進而得，從而得到的通項公式，利用等差和等比數列前n項和公式分組求和即可求出.
【詳解】（1）因為為等差數列，設公差為d，
由，得，即，
由，，成等比數列得，，
化簡得，因為，所以．
所以．
綜上．
（2）由知，，
又為公比是3的等比數列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
綜上.
9．（2024·新疆喀什·三模）已知數列的首項，且滿足（）．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前項和，并證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）由等比數列的定義即可求證，
（2）由裂項相消法求和，即可求解,根據單調性，即可求證.
【詳解】（1）由得，
又，所以是首項為2，公比為2的等比數列．
（2）由（1）知，，所以
所以，
當時，單調遞增，故．
10．（2024·全國·模擬預測）已知單調遞增的等比數列的前項和為，滿足，數列也為等比數列．
(1)求數列的通項公式．
(2)記，求數列的前項和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據等比數列的定義，可先列出等比數列前三項，結合等比中項建立方程求解公比即可；
（2）由等比數列求和公式求得，然后結合裂項相消計算求解.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
結合，得數列的前三項分別為，
由題意，得，
所以，
解得或，
因為數列是單調遞增的，所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
故
，
故數列的前項和.
一、單選題
1．（2024·北京海淀·二模）設是公比為的無窮等比數列，為其前項和．若，則“”是“數列存在最小項”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】A
【分析】先利用分類討論思想結合指數函數的單調性證明充分性，再舉反例證明不必要性，即可判斷.
【詳解】當時，，因為，所以此時數列遞增，存在是最小項，
當且，，
當，時，可知數列遞增，存在是最小項，
當，時，可知數列還是遞增，存在是最小項，
綜上“”是“數列存在最小項”的充分條件；
當，，不妨取：，，
則
，,
當時，，即此時是最小項，
即“”不是“數列存在最小項”的必要條件，
綜上可知：“”是“數列存在最小項”的充分不必要條件，
故選：A.
2．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發向右爬，每次只能爬向右側相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由題意可得，則可推出，所以數列是等比數列，即可求得答案.
【詳解】依題意，（），，
當時，
，又，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以.
故選：A.
二、多選題
3．（2024·江西·模擬預測）已知是等比數列的前5項中的其中3項，且，則的前7項和可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根據等比數列分析可知：且或8，分或，結合等比數列通項公式分析求解，再結合等比數列求和公式分析求解.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為等比數列中所有奇數項同號，所有偶數項同號，
結合已知可知，其中2，8這兩項的奇偶性相同，
又因為，可知或8，則有：
若，，則，解得，符合題意，
所以的前7項和為；
若，，則，解得，此時，符合題意，
所以的前7項和為；
綜上所述：的前7項和為或．
故選：AB．
三、填空題
4．（2024·北京·三模）已知等比數列滿足：（），請寫出符合上述條件的一個等比數列的通項公式： ．
【答案】（答案不唯一，（，））
【分析】根據給定條件，可得，公比，再寫出數列的一個通項公式即可.
【詳解】設等比數列的公比為，由，，得，
顯然，即，于是，解得，
，滿足，，
取，.
故答案為：
5．（2024·上海·三模）無窮等比數列滿足：，，則的各項和為 ．
【答案】
【分析】設無窮等比數列的公比為，的前項和為，根據所給條件求出、，即可求出，再取極限即可.
【詳解】設無窮等比數列的公比為，的前項和為，
則，解得或，
當時，解得，
所以，
所以；
當時，解得，
所以，
所以；
綜上可得的各項和為.
故答案為：
四、解答題
6．（2024·陜西渭南·二模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前2n項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，借助等比數列的通項公式求出公比及首項即可.
（2）由（1）的結論，利用分組求和法，結合等比數列前n項和公式求解即得.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，由及，
得，
解得，于是，即，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
7．（2024·山東煙臺·三模）在數列中，已知，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，為數列的前n項和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構造等比數列數列即可求得通項公式；
（2）代入（1）中的通項公式可得，再根據，結合累加求和證明即可.
【詳解】（1）由可得，則，即，
故是以為首項，為公比的等比數列.
故，則，.
（2）.
易得，故.
又，
故
.
綜上有，即得證.
8．（2024·浙江紹興·三模）已知數列的前n項和為，且，，設．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）借助與的關系可消去，得到，借助將其轉換為后結合等比數列定義即可得證；
（2）借助錯位相減法計算即可得.
【詳解】（1），即，
即，則，即，
即，又，
故數列是以為首項、以為公比的等比數列.
（2）由（1）易得，即，則，
則，
有，
則
，
故.
9．（2024·浙江·三模）已知等比數列和等差數列，滿足，，，．
(1)求數列，的通項公式；
(2)記數列的前項和為，數列的前項和為．證明：．
【答案】(1)，．
(2)證明見解析
【分析】（1）設的公比為，等差數列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法求出，即可得到，再由分組求和及裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）等比數列滿足，，所以單調遞增，
設的公比為，等差數列的公差為，依題意可得，
解得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）可得，
所以
所以，
故，
又，，
即，
所以
．
10．（2024·江西贛州·二模）已知數列滿足，，，成等差數列.
(1)求證：數列是等比數列，并求出的通項公式；
(2)記的前n項和為，證明：.
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【分析】（1）由，，成等差數列可得：，利用兩邊同時除以，即可構造為，所以第一問就可以得證并計算通項；
（2）關鍵是對通項進行放縮成等比數列公式求和并證明，所以想到和，最后就能證明不等式成立.
【詳解】（1）由，，成等差數列可得：，
因為，可得，所以兩邊同時除以得：，
上式可化為：
所以數列表示是以為首項，3為公比的等比數列
所以，即
（2）因為
所以
又因為
所以，
（當n＝1時等號成立），
綜上可知：.
1．（2024·天津·高考真題）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)①證明見詳解；②
【分析】（1）設等比數列的公比為，根據題意結合等比數列通項公式求，再結合等比數列求和公式分析求解；
（2）①根據題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據題意結合等差數列求和公式可得，再結合裂項相消法分析求解.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
因為，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當時，則，即
可知，
，
可得，
當且僅當時，等號成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當時，，可知為等差數列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
【點睛】關鍵點點睛：1.分析可知當時，，可知為等差數列；
2.根據等差數列求和分析可得.
2．（2023·天津·高考真題）已知數列的前n項和為，若，則（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【分析】由題意確定該數列為等比數列，即可求得的值.
【詳解】當時，，所以，即，
當時，，
所以數列是首項為2，公比為3的等比數列，
則.
故選：C.
3．（2022·天津·高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數列的通項公式進行基本量運算即可得解；
（2）由等比數列的性質及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；
（3）先求得，進而由并項求和可得，再結合錯位相減法可得解.
【詳解】（1）設公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因為所以要證，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因為
，
所以
，
設
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
4．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導函數法
設，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；
方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優解；
方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，
方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.
5．（2020·全國·高考真題）設是等比數列，且，，則（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【分析】根據已知條件求得的值，再由可求得結果.
【詳解】設等比數列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查等比數列基本量的計算，屬于基礎題．
6．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由題意得到關于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數列的通項公式；
(2)首先求得數列的通項公式，然后結合等比數列前n項和公式求解其前n項和即可.
【詳解】(1) 設等比數列的公比為q(q>1)，則，
整理可得：，
，
數列的通項公式為：.
(2)由于：，故：
.
【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，等差數列與等比數列求和公式是數列求和的基礎.
7．（2020·全國·高考真題）設等比數列{an}滿足，．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設等比數列的公比為，根據題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通項公式；
（2）由（1）求出的通項公式，利用等差數列求和公式求得，根據已知列出關于的等量關系式，求得結果.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
根據題意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根據，可得，
整理得，因為，所以，
【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算，以及等差數列求和公式的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題目.
8．（2020·山東·高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）記為在區間中的項的個數，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉化為的形式，求解出，由此求得數列的通項公式.
（2）方法一：通過分析數列的規律，由此求得數列的前項和.
【詳解】（1）由于數列是公比大于的等比數列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以數列的通項公式為.
（2）［方法一］：規律探索
由于，所以
對應的區間為，則；
對應的區間分別為，則，即有2個1；
對應的區間分別為，則，即有個2；
對應的區間分別為，則，即有個3；
對應的區間分別為，則，即有個4；
對應的區間分別為，則，即有個5；
對應的區間分別為，則，即有37個6．
所以．
［方法二］【最優解】：
由題意，，即，當時，．
當時，，則
．
［方法三］：
由題意知，因此，當時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，．
所以
．
所以數列的前100項和．
【整體點評】（2）方法一：通過數列的前幾項以及數列的規律可以得到的值，從而求出數列的前項和，這是本題的通性通法；方法二：通過解指數不等式可得數列的通項公式，從而求出數列的前項和，是本題的最優解；方法三，是方法一的簡化版．
9．（2020·天津·高考真題）已知為等差數列，為等比數列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列前n項和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據此進一步計算數列的前2n項和即可.
【詳解】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當n為奇數時，，
當n為偶數時，，
對任意的正整數n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數列的前2n項和為.
【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，分組求和法，指數型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.
10．（2020·浙江·高考真題）已知數列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數列{bn}為等比數列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}為等差數列，且公差，證明：．
【答案】（I）；（II）證明見解析.
【分析】（I）根據，求得，進而求得數列的通項公式，利用累加法求得數列的通項公式.
（II）利用累乘法求得數列的表達式，結合裂項求和法證得不等式成立.
【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【點睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數列的通項公式，考查裂項求和法，屬于中檔題.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 等比數列及其前n項和
（9類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新Ⅱ卷，第19題,17分 由遞推關系證明等比數列 求直線與雙曲線的交點坐標 向量夾角的坐標表示
2023年新Ⅱ卷，第8題,5分 等比數列前n項和的基本量計算等比數列前n和的性質及應用 無
2022年新Ⅱ卷，第17題,10分 等比數列通項公式的基本量計算 等差數列通項公式的基本量計算 數列不等式能成立(有解) 問題
2021年新Ⅱ卷，第12題,5分 求等比數列前n項和 數列新定義
2020年新I卷，第18題,12分 等比數列通項公式的基本量計算求等比數列前n項和 無
2020年新Ⅱ卷，第18題,12分 等比數列通項公式的基本量計算求等比數列前n項和 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分
【備考策略】1.理解等比數列的概念
2掌握等比數列的通項公式與前n項和公式
3.能在具體的問題情境中識別數列的等比關系并能用等比數列的有關知識解決相應的問題
4.熟練掌握等比數列通項公式與前n項和的性質
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給出數列為等比數列，或通過構造為等比數列，求通項公式及前n項和。需綜合復習
知識講解
等比數列的定義
從第二項開始，后一項與前一項的比為同一個常數，這個數列是等比數列，這個常數是等比數列的公比，用表示
數學表達式
通項公式
，，，
等比數列通項公式與函數關系
等比數列為指數型函數
等比中項
若，，三個數成等比數列，則,其中叫做，的等比中項
等比數列通項公式的性質
（1）若或
（2）若，為等比數列，則，仍為等比數列
等比數列前n項和
等比數列前n項和與函數關系
等比數列前項和公式是指數型函數
等比數列前n項和的性質
（1），，……仍成等比數列
（2）
證明數列為等比數列的方法
（1）（為常數）為等比數列
（2）若,則，，三個數成等比數列
考點一、等比數列項、公比及通項公式的求解
1．（2024·山東青島·一模）等比數列中，，，則（ ）
A．32 B．24 C．20 D．16
2．（2022·全國·高考真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3．（2024·山東泰安·模擬預測）已知數列是各項均為正數的等比數列，且，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
1．（2023·全國·高考真題）已知為等比數列，，，則 .
2．（2024·四川遂寧·三模）等比數列中，，．
(1)求的通項公式：
(2)記為的前n項和，若，求m．
3．（2024·上海·三模）已知等比數列的公比，且，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，且是嚴格增數列，求實數的取值范圍．
考點二、等比中項的應用
1．（2024·湖北荊州·三模）若實數成等差數列，成等比數列，則= .
2．（2024·江西九江·三模）已知等差數列的公差為，是與的等比中項，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東茂名·模擬預測）在公差為正數的等差數列中，若，，，成等比數列，則數列的前10項和為 .
1．（2024·廣東江門·一模）已知各項均為正數的等比數列中，若，則＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
2．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知數列是公差為2的等差數列，若成等比數列，則（ ）
A．9 B．12 C．18 D．27
3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知在正項等比數列中，，且成等差數列，則（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
考點三、等比數列的性質
1．（2024·四川成都·模擬預測）已知數列是等比數列，若，是的兩個根，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（廣東·高考真題）若等比數列的各項均為正數，且，則 .
3．（全國·高考真題）設是由正數組成的等比數列，公比，且，那么（ ）
A． B． C． D．
4．（全國·高考真題）已知各項均為正數的等比數列{}，=5，=10，則=
A． B．7 C．6 D．
1．（23-24高二上·山東青島·階段練習）等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
2．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數列的前項和為，且，，則（ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
3．（2024·四川成都·模擬預測）設數列是等比數列，且，則 .
考點四、等比數列前項和的求解
1．（2023·全國·高考真題）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2024·山西晉中·模擬預測）設等比數列的前項和為，若，則（ ）
A． B．3 C．1 D．
3．（全國·高考真題）等比數列中，．
（1）求的通項公式；
（2）記為的前項和．若，求．
1．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前項和．若，則的公比為 ．
2．（2024·江西南昌·三模）已知是單調遞減的等比數列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（全國·高考真題）已知數列為等比數列，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設是數列的前n項和，證明．
考點五、等比數列前項和的性質
1．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
2．（2021·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·湖南邵陽·模擬預測）記為公比小于1的等比數列的前項和，，，則（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知等比數列的公比為，前項和為.若，，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
1．（2024·四川內江·三模）在等比數列中，為其前項和，若，則的值為（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
2．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，且，則（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）在正項等比數列中，為其前n項和，若，，則的值為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
考點六、等比數列通項公式與前項和的關系
1．（2024·全國·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，為實數，則 .
2．（2024·寧夏銀川·三模）設數列的前n項和為，已知，
(1)求的通項公式；
(2)記數列的前n項和為，求使得成立的n的最小值.
3．（23-24高三上·廣東潮州·期末）公比為的等比數列的前項和．
(1)求與的值；
(2)若，記數列的前項和為，求證：．
4．（2021·浙江·高考真題）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
1．（2024·全國·模擬預測）記為數列的前n項和，則“為等比數列”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
2．（浙江·高考真題）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.
（Ⅰ）求通項公式；
（Ⅱ）求數列{||}的前項和.
3．（山東·高考真題）設數列的前n項和為.已知.
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足，求的前n項和.
4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數列的前n項和為，且，其中.
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在不同三項，，（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，請說明理由.
考點七、等比數列的函數特性與最值
1．（北京·高考真題）設是公比為的等比數列，則“”是“為遞增數列”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023·上海浦東新·三模）設等比數列的前項和為，設甲：，乙：是嚴格增數列，則甲是乙的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
3．（2023·廣西·模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024·湖北·二模）（多選）無窮等比數列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（23-24高三上·江西·期中）（多選）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（ ）
A．為單調遞增數列 B．
C．為的最大項 D．無最大項
1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）設數列的公比為，則“且”是“是遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國·模擬預測）（多選）已知正項等比數列的前項的積為，且公比，若對于任意正整數，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，則取最大值時，的值為 ．
4．（2023·廣東佛山·一模）等比數列公比為，，若（），則“”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點八、等比數列中的數學文化
1．（22-23高三上·安徽六安·階段練習）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關.要見每朝行里數，請公仔細算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
2．（北京·高考真題）“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為
A． B．
C． D．
3．（2023·江蘇·模擬預測）（多選）佩爾數列是一個呈指數增長的整數數列．隨著項數越來越大，其后一項與前一項的比值越來越接近于一個常數，該常數稱為白銀比．白銀比和三角平方數、佩爾數及正八邊形都有關系．記佩爾數列為，且，，．則（ ）
A． B．數列是等比數列
C． D．白銀比為
1．（2023·廣東揭陽·模擬預測）在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”.其大意是：有人要去某關口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·貴州遵義·模擬預測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
3．（2023·全國·模擬預測）《塵劫記》是元代一部經典的古典數學著作，里面記載了一個有趣的數學問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個月后，每對老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個月新生的老鼠數量為，每個月老鼠的總數量為，數列，的前項和分別為，，可知，，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
考點九、等比數列的證明
1．（全國·高考真題）數列的前n項和記為，已知，（），求證：
（1）數列是等比數列；
（2）．
2．（四川·高考真題）設數列的前n項和為，已知．
(1)證明：當時，是等比數列；
(2)求的通項公式．
3．（2024·全國·模擬預測）已知數列的首項，且滿足.
(1)證明是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)是否存在正整數，使得對任意的正整數，總成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知數列的前項和為，且.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)設，若是遞增數列，求實數的范圍.
5．（22-23高三上·浙江寧波·期末）已知正項數列中，，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)，證明：.
6．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數的取值范圍.
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知為等比數列的前項積，若，且（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·西藏林芝·模擬預測）等比數列的前項和，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知數列的前項和為，首項，且滿足，則下列四個結論中正確的是（ ）
A．數列是等比數列 B．
C． D．
三、填空題
4．（2024·上海浦東新·三模）已知數列為等比數列，，，則 .
5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知數列為各項均不相等的等比數列，其前項和為，且成等差數列，則 .
四、解答題
6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知為等比數列的前項和，若成等差數列，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前項和為，求的取值范圍．
7．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前n項和．
8．（2024·浙江·模擬預測）已知數列為公差不為零的等差數列，其前n項和為，，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若數列是公比為3的等比數列，且，求的前n項和．
9．（2024·新疆喀什·三模）已知數列的首項，且滿足（）．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前項和，并證明．
10．（2024·全國·模擬預測）已知單調遞增的等比數列的前項和為，滿足，數列也為等比數列．
(1)求數列的通項公式．
(2)記，求數列的前項和．
一、單選題
1．（2024·北京海淀·二模）設是公比為的無窮等比數列，為其前項和．若，則“”是“數列存在最小項”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
2．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發向右爬，每次只能爬向右側相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多選題
3．（2024·江西·模擬預測）已知是等比數列的前5項中的其中3項，且，則的前7項和可能為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
4．（2024·北京·三模）已知等比數列滿足：（），請寫出符合上述條件的一個等比數列的通項公式： ．
5．（2024·上海·三模）無窮等比數列滿足：，，則的各項和為 ．
四、解答題
6．（2024·陜西渭南·二模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前2n項和.
7．（2024·山東煙臺·三模）在數列中，已知，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，為數列的前n項和，證明：.
8．（2024·浙江紹興·三模）已知數列的前n項和為，且，，設．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和．
9．（2024·浙江·三模）已知等比數列和等差數列，滿足，，，．
(1)求數列，的通項公式；
(2)記數列的前項和為，數列的前項和為．證明：．
10．（2024·江西贛州·二模）已知數列滿足，，，成等差數列.
(1)求證：數列是等比數列，并求出的通項公式；
(2)記的前n項和為，證明：.
1．（2024·天津·高考真題）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）求．
2．（2023·天津·高考真題）已知數列的前n項和為，若，則（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
3．（2022·天津·高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
4．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
5．（2020·全國·高考真題）設是等比數列，且，，則（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
6．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求.
7．（2020·全國·高考真題）設等比數列{an}滿足，．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．
8．（2020·山東·高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）記為在區間中的項的個數，求數列的前項和．
6．9．（2020·天津·高考真題）已知為等差數列，為等比數列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
10．（2020·浙江·高考真題）已知數列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數列{bn}為等比數列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}為等差數列，且公差，證明：．
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