資源簡介

第03講 二項式定理
（13類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關(guān)聯(lián)考點
2022年新I卷，第13題,5分 兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題 無
2020年全國甲卷（理）， 第8題,5分 求指定項的二項式系數(shù) 無
2020年全國丙卷（理）， 第14題,5分 求指定項的系數(shù) 無
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關(guān)基本量的求解
2.能分清二項式系數(shù)與系數(shù)的定義，并會相關(guān)求解
3.能清晰計算二項式系數(shù)和與系數(shù)和及其大（小）項計算
4.會三項式、乘積式的相關(guān)計算
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關(guān)最大（小）項計算，需重點強化復習
知識講解
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為C，C，…，C.
若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：
(1)h(r)＝0 Tr＋1是常數(shù)項．
(2)h(r)是非負整數(shù) Tr＋1是整式項．
(3)h(r)是負整數(shù) Tr＋1是分式項．
(4)h(r)是整數(shù) Tr＋1是有理項．
注1．二項式的通項易誤認為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．
注2．易混淆二項式中的“項”“項的系數(shù)”“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指C(k＝0,1，…，n)．
二項式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì) 內(nèi)容
對稱性 與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即
增減性 當k＜時，二項式系數(shù)逐漸增大； 當k＞時，二項式系數(shù)逐漸減小
最大值 當n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，最大值為； 當n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或
二項式系數(shù)和
(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝.
考點一、求二項展開式的第k項
1．（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為 .
【答案】
【分析】寫出二項式的通項公式，代值計算即得.
【詳解】的展開式的通項為，
令，得
故答案為：.
1．（2024·陜西寶雞·一模）展開式中的第四項為（ ）
A． B． C．240 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.
【詳解】展開式的通項公式為，
所以,
故選：B
2．（2023·北京·校考模擬預測）在的二項展開式中，第四項為 ．
【答案】
【分析】利用二項式定理可求得展開式第四項.
【詳解】在的二項展開式中，第四項為.
故答案為：.
考點二、求指定項的二項式系數(shù)
1．（2024·遼寧·模擬預測）二項式展開式的第3項的二項式系數(shù)是 .
【答案】28
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可得，令即可求解.
【詳解】由題意知，展開式的通項公式為，
令，得，即二項式展開式的第3項的二項式系數(shù)是28.
故答案為：28
2．（2024·上海·三模）若的二項展開式中第項與第項的系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】求得二項式的展開式的通項公式，由題意可得，可求得，可求項的系數(shù).
【詳解】的展開式為，
因為二項展開式中第項與第項的系數(shù)相等，
所以，所以，
令，解得，
所以該展開式中的系數(shù)為.
故答案為：6.
1．（2024·全國·模擬預測）的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，則其展開式中的常數(shù)項為 ．
【答案】15
【分析】由題意先求出，再求出的展開式的通項公式，令代入即可得出答案.
【詳解】因為的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，所以，，
的展開式的通項公式為，
令，得，故展開式中的常數(shù)項為．
故答案為：15.
2．（2024·江蘇無錫·模擬預測）在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和，則（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【分析】由題意可得：，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可得：，則，
可得，所以.
故選：D．
考點三、二項式系數(shù)和
1．（2024·浙江·三模）若展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為 .
【答案】280
【分析】先由二項式系數(shù)和為128，求出，再求出展開式的通項，令，即可得出答案.
【詳解】展開式的二項式系數(shù)之和為，解得：，
所以展開式的通項為：，
令，解得：，
所以展開式中的系數(shù)為：.
故答案為：280.
2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為 ．（以數(shù)字作答）
【答案】32
【分析】直接利用二項式的展開式求出結(jié)果．
【詳解】根據(jù)的展開式的通項公式為，
當r＝3時，，解得；
故所有項的二項式系數(shù)之和為．
故答案為：32．
1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為32，則的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【分析】先利用二項式系數(shù)性質(zhì)求出的值，在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于31，求出的值，即可求得的系數(shù)．
【詳解】根據(jù)的展開式中，二項式系數(shù)的和為 ．
而 的展開式中，通項公式為，
令，求得 ，可得展開式中的系數(shù)為，
故選：D．
2．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）若的展開式的二項式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】由二項式系數(shù)和先求，再利用通項得到的指數(shù)確定值，由的系數(shù)為80，建立關(guān)于的方程求解可得.
【詳解】因為的展開式的二項式系數(shù)和為32，
所以，解得.
所以，
由，解得，
所以的系數(shù)為，解得.
故答案為：.
考點四、二項式系數(shù)的增減性和最值
1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）的展開式中二項式系數(shù)最大的項為（ ）
A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由的展開式中，項的二項式系數(shù)為，
根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得，當時，，即第四項的二項式系數(shù)最大．
故選：C.
2．（2024·江西南昌·三模）（多選）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】先計算出的展開式中二項式系數(shù)最大值，根據(jù)二項式定理得到展開式的通項公式，從而得到方程，求出.
【詳解】的展開式中二項式系數(shù)最大值為，
的展開式通項公式為，
令得，，
故展開式中的系數(shù)為，故，解得.
故選：AB
1．（23-24高二下·四川南充·階段練習）的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，得到展開式共有項，可求得的值．
【詳解】因為展開式中，二項式系數(shù)最大的項只有第項即最大，
根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，
所以，解得.
故選：B.
2．（2024·貴州·模擬預測）的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】根據(jù)條件得到二項式系數(shù)最大的項為第項，再利用的展開式的通項公式，即可求解.
【詳解】因為，所以二項式系數(shù)最大的項為第項，
又的展開式的通項公式為，
令，得到，所以二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是，
故答案為：.
考點五、求指定項的系數(shù)
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式中含項的系數(shù)為（ ）
A．420 B． C．560 D．
【答案】D
【分析】由二項展開式的通項公式解出r的值，進而可得項的系數(shù).
【詳解】由題意知， 的二項展開式的通項公式為，
令，得，故含項的系數(shù)為.
故選：D.
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知二項式的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則其展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】利用二項式系數(shù)相等可求得，再由二項展開式的通項可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等可得，解得；
不妨設(shè)第項含有項，所以，
所以，即，解得；
所以含有項為.
因此可得的系數(shù)為.
故答案為：
1．（2024·浙江紹興·三模）的展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.
【詳解】對有，
則，
故的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：.
2．（2024·黑龍江大慶·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是 .
【答案】24
【分析】根據(jù)題意，寫出其通項，再求其特定項的系數(shù)即可.
【詳解】在的展開式中，.
令得，所以含項的系數(shù)是.
故答案為：24.
考點六、由項的系數(shù)確定參數(shù)
1．（2024·黑龍江·模擬預測）若的展開式中的系數(shù)為144，則 .
【答案】
【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為5，求出，再由的系數(shù)為144，可求出.
【詳解】的展開式的通項公式: .
令，解得，
所以由題意得，解得.
故答案為：.
2．（2024·福建寧德·模擬預測）已知的展開式中含項的系數(shù)為160，則實數(shù)a的值為 .
【答案】
【分析】運用二項式展開式的通項公式，就可以出求指定項的系數(shù)，從而解得.
【詳解】由二項式展開式通項公式得：，
當時，有，由展開式中含項的系數(shù)為160，
所以，解得：，
故答案為：2.
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為15，則 ．
【答案】6
【分析】寫出二項展開式的通項，然后根據(jù)題意列出方程求解n即可.
【詳解】的二項展開式的通項為,
依題意,
解得,
故答案為：.
2．（2024·山東·模擬預測）二項式的展開式中，的系數(shù)為10，則 ．
【答案】2
【分析】利用二項式展開式的通項計算即可.
【詳解】易知二項式的展開式通項公式為，
顯然時，.
故答案為：2
考點七、有理項（含常數(shù)項）、無理項及其系數(shù)
1．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的展開式中，常數(shù)項的值為 ．
【答案】840
【分析】利用二項式展開式的通項公式求解
【詳解】展開式的通項公式為，
令，解得，
所以常數(shù)項為．
故答案為：840
2．（浙江·高考真題）在二項式的展開式中，常數(shù)項是 ；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是 .
【答案】
【分析】本題主要考查二項式定理、二項展開式的通項公式、二項式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫出二項展開式的通項入手，根據(jù)要求，考察的冪指數(shù)，使問題得解.
【詳解】的通項為
可得常數(shù)項為，
因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個項
【點睛】此類問題解法比較明確，首要的是要準確記憶通項公式，特別是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計算要細心，確保結(jié)果正確.
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式的7項中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（ ）項
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用二項式的展開式，可得結(jié)論.
【詳解】的展開式為，
當時，二項式展開式的各項的系數(shù)分別為1，30，60，8均為有理數(shù)，
故系數(shù)為有理數(shù)的項共有共有4項.
故選：D.
2．（2024·河南·模擬預測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（ ）
A．6項 B．5項 C．4項 D．3項
【答案】D
【分析】運用二項展開式的通項公式可得、的值，結(jié)合有理項的定義賦值求解即可.
【詳解】展開式的第7項為，
由題意，得，，（），所以，，
則展開式的通項為，，
令，則，所以展開式中的有理項共有3項.
故選：D.
3．（2024·遼寧·模擬預測）（多選）若的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則二項展開式中的有理項（項中是整數(shù)）可以是（ ）
A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項
【答案】ACD
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的最值可得或，結(jié)合二項展開式分析求解.
【詳解】由題意可知：的展開式通項為，
因為中第4項的二項式系數(shù)最大，
當為偶數(shù)，則，即，此時，
令為整數(shù)，可得，
即第1項，第4項，第7項為有理項，故C正確；
當為奇數(shù)，則或，即或，
且，可得，此時，
令為整數(shù)，可得，
即第2項，第5項，第8項為有理項，故AD正確；
故選：ACD.
考點八、二項展開式各項系數(shù)和及奇次項與偶次項的系數(shù)和
1．（2024·上海·高考真題）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為 ．
【答案】10
【分析】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.
【詳解】令，，即，解得，
所以的展開式通項公式為，令，則，
．
故答案為：10．
2．（2024·福建泉州·一模）（多選）已知展開式中共有8項．則該展開式結(jié)論正確的是（ ）
A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為
C．系數(shù)最大項為第2項 D．有理項共有4項
【答案】AD
【分析】先根據(jù)展開式的項數(shù)確定的值，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷A；令可得所有項的系數(shù)和從而判斷B，利用二項展開式的通項公式求解系數(shù)最大項及有理項可判斷CD．
【詳解】A項，因為的展開式共有8項，所以．
故所有項的二項式系數(shù)和為，故A正確；
B項，令，可得所有項的系數(shù)和為，故B錯誤；
因為二項展開式的通項公式為：
．.
C項， 當，設(shè)項系數(shù)最大，
由，解得，則，
且，第3項系數(shù)為.
當時，，系數(shù)為1；
當時，，系數(shù)為；
由，故第3項的系數(shù)最大；故C錯誤；
D項，由為整數(shù)，且可知，的值可以為：0，2，4，6，
所以二項展開式中，有理項共有4項，故D正確．
故選：AD.
3．（2024·河南駐馬店·二模）（多選）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先對式子進行化簡，再根據(jù)二項式定理求解即可.
【詳解】依題意得，所以945，故A項正確；
令，得，令，得，所以，故B項錯誤；
令，得①，
又②，
由①+②可得，故C項正確；
同理，由②-①得，故D項錯誤.
故選：AC.
4．（2024·四川樂山·三模）設(shè)，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】C
【分析】令求得，令即可求得的值．
【詳解】由，令，得；
令，得，
所以．
故選：C．
1．（2024·遼寧·三模）（多選）關(guān)于二項式的展開式，下列說法正確的是（ ）
A．第三項系數(shù)為270 B．的系數(shù)為90
C．二項式系數(shù)和為 D．系數(shù)和為
【答案】ACD
【分析】求出二項式展開式的通項公式， 第三項的系數(shù)判斷A，求含項的系數(shù)判斷B，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C，求系數(shù)和判斷D.
【詳解】二項式展開式的通項公式為，
對于A，展開式中第項的系數(shù)為，A正確；
對于B，令，可得，故展開式中含的項為第四項，該項的系數(shù)為，B錯誤；
對于C，的展開式的二項式系數(shù)和為，C正確，
對于D，二項式的展開式的系數(shù)和為，D正確；
故選：ACD.
2．（2024·福建福州·模擬預測）（多選）已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用賦值法令可計算得出A正確，令可知C錯誤，求出展開式中一次項的系數(shù)，經(jīng)計算可得B錯誤；構(gòu)造方程組計算可得D正確.
【詳解】對于A，令，即可得，可得A正確；
對于B，因為展開式中代表一次項系數(shù)，所以的展開式中含有一次項，可得，即B錯誤；
對于C，令，即可得，可得，所以C錯誤；
對于D，令，即可得，
得，得，即D正確.
故選：AD
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】對A：借助二項式的展開式的通項公式計算即可得；對B：借助賦值法分別令、計算即可得；對C：結(jié)合B中所得，再令計算即可得；對D：借助導數(shù)結(jié)合賦值法計算即可得.
【詳解】對A：對有，
則，故A正確；
對B：令，有，令，則有，
故，故B錯誤；
對C：令，則有，
故，
故C錯誤；
對D：令，
則，
則，故D正確.
故選：AD.
考點九、三項展開式的系數(shù)問題
1．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】寫出通項，令，再求展開式中系數(shù)為1時的系數(shù)，然后相乘即可；
【詳解】，
項對應，，
項對應系數(shù)為，故展開后系數(shù)為.
故選：D.
2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60 B． C．120 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，結(jié)合二項展開式的通項公式分析求解.
【詳解】由題意可知：的通項為，
且的通項為，
令，解得，
所以的系數(shù)為．
故選：A
1．（2024·云南昆明·模擬預測）的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A．10 B． C．60 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項展開式的通項，即可求得展開式中項的系數(shù)，得到答案.
【詳解】由多項式 展開式的通項為，
令，可得，
又由展開式的通項為，
當時，可得，
所以展開式中項系數(shù)為，
故選：C.
2．（2024·安徽·三模）的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】-30
【分析】利用乘方的幾何意義和二項展開式的通項公式求解.
【詳解】解：因為是由5個相乘得到，
使用要想產(chǎn)生，則出1個，出2個，y出2個，
故所求系數(shù)為.
故答案為：-30
考點十、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題
1．（2024·山西長治·模擬預測）的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
【答案】C
【分析】根據(jù)乘法的分配律以及二項式展開式的通項公式求得正確答案.
【詳解】依題意可知，含的項是
，
所以的系數(shù)是.
故選：C
2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)是 .
【答案】205
【分析】根據(jù)二項式的通項公式，結(jié)合乘法運算的法則進行求解即可.
【詳解】，
所以的系數(shù)為，
故答案為：205
1．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．147 B． C．63 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理求出展開式中項即可列式計算即得
【詳解】二項式展開式中項分別為，
所以的展開式中的常數(shù)項為．
故選：C
2．（2024·江西宜春·模擬預測）在的展開式中，項的系數(shù)是 ．
【答案】380
【分析】由題意，利用二項式定理求出各項中的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式為，
又，
其中中含的項為，
中含項為，
中不含項，
故系數(shù)為，
故答案為：380.
考點十一、求系數(shù)最大 (小) 的項
1．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）的展開式中，系數(shù)最大的項是（ ）
A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項
【答案】C
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為的展開通項公式為，
又當時，取最大值，
則系數(shù)最大的項是第13項．
故選：C.
2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（ ）
A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項
【答案】C
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和可得，即可根據(jù)通項特征，列舉比較可得最大值.
【詳解】由已知，故，故通項為（，1，…，8），故奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，
故最大，因此第七項的系數(shù)最大，
故選：C．
1．（2023·上海嘉定·一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為 ．
【答案】
【分析】設(shè)系數(shù)最大的項為，則可得，直接求解即可.
【詳解】設(shè)系數(shù)最大的項為，
則，解得，
因為且為整數(shù)，
所以，此時最大的項為.
故答案為：
考點十二、整除和余數(shù)問題
1．（2024·湖北·模擬預測）被9除的余數(shù)為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】化簡得出，應用二項式展開式根據(jù)整除即可計算求出余數(shù).
【詳解】
其中是9的整數(shù)倍.
故被9除的余數(shù)為4.
故選：B.
2．（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
【答案】B
【分析】結(jié)合二項式展開式，求出它除以7的余數(shù)，可得結(jié)論.
【詳解】，
故
．
前面7項均能被7整除，則被7整除余5，
故天后是星期二．
故選：B.
1．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）被10除的余數(shù)為 .
【答案】1
【分析】先由題得再結(jié)合二項式定理展開，根據(jù)其展開式結(jié)構(gòu)特征即可求解.
【詳解】由題
，
因為可以被10整除，
所以被10除的余數(shù)為1.
故答案為：1.
2．（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年
【答案】B
【分析】借助二項式的展開式計算即可得.
【詳解】由
，
故除以的余數(shù)為，故除以的余數(shù)為，
故年后是馬年.
故選：B.
考點十三、楊輝三角
1．（2024·寧夏·二模）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊藏了許多規(guī)律，如圖是一個5階楊輝三角．
若第行中從左到右第3個數(shù)與第5個數(shù)的比為，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)楊輝三角數(shù)字規(guī)律得到，再由組合數(shù)公式計算可得.
【詳解】依題意可知第行的數(shù)從左到右分別為，
所以，即，得，解得或（舍去），
所以的值為.
故答案為：
2．（2023·海南·三模）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（ ）
A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是
B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：
C．
D．存在，使得為等差數(shù)列
【答案】BCD
【分析】根據(jù)楊輝三角的特征即可判斷A，根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求解D.
【詳解】對于A，在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是，A錯；
對于B，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，B對；
對于C，由于故C正確；
對于D，取，則，
因為，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，D對.
故選：BCD.
3．（23-24高二上·山東青島·期末）（多選）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)
B．
C．第2020行的第1010個數(shù)最大
D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A，利用組合數(shù)公式判斷B，分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)，即可判斷D.
【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個數(shù)字分別為：，，，其和為；
而第行第個數(shù)字就是，故A正確；
對于B：因為，，
所以，故B正確；
對于C：由圖可知：第行有個數(shù)字，
如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；
如果是奇數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，
所以第行的第個數(shù)最大，故C錯誤；
對于D：依題意：第行從左到右第個數(shù)為，第行從左到右第個數(shù)為，
所以第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故D正確；
故答案為：ABD.
1．（2023·安徽黃山·二模）如圖給出的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)、、、、，依次構(gòu)成數(shù)列，則 .
【答案】
【分析】由楊輝三角與二項系數(shù)的關(guān)系可得出，再利用裂項相消法可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】由楊輝三角與二項式系數(shù)的關(guān)系可知，，，，
所以，，所以，
所以，.
故答案為：.
2．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】觀察萊布尼茨三角形，得出規(guī)律即可判斷得解.
【詳解】觀察萊布尼茨三角形，知每一個數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個數(shù)之和，
因此，即D正確，ABC錯誤.
故選：D
3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（ ）

A．在第10行中第5個數(shù)最大
B．
C．第8行中第4個數(shù)與第5個數(shù)之比為
D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為
【答案】BC
【分析】利用二項式定理，結(jié)合組合數(shù)運算性質(zhì)逐一判斷，即可求解．
【詳解】對于A：第行是二項式的展開式的系數(shù)，
所以第行中第個數(shù)最大，故A錯誤；
對于B：
，故B正確；
對于C：第行是二項式的展開式的系數(shù)，又展開式的通項為，
所以第個數(shù)為，第個數(shù)為，所以第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故C正確；
對于D：第行是二項式的展開式的系數(shù)，故第行的所有數(shù)字之和為，故D錯誤；
故選：BC
一、單選題
1．（2024·山東菏澤·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．80 B．240 C．1600 D．2400
【答案】D
【分析】先求出展開式的通項，令，代入即可得出答案.
【詳解】的展開式的通項為：，
令，解得：，
故的系數(shù)為：.
故選：D.
2．（2024·山西太原·三模）的展開式中 的系數(shù)為（ ）
A．-20 B．20 C．-30 D．30
【答案】D
【分析】先把看作整體寫出二項式展開的通項，再根據(jù)指定項確定的次數(shù)，最后根據(jù)指定項配湊出項的系數(shù).
【詳解】因為的展開式通項為，
當時，出現(xiàn)，即
此時中含的項為，
所以的系數(shù)為.
故選：D.
3．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）已知的展開式中第3項的二項式系數(shù)等于36，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得求出的值，然后求出二項式展開式的通項公式，令的次數(shù)為零，求出，從而可求出展開式中的常數(shù)項.
【詳解】因為的展開式中第3項的二項式系數(shù)等于36，
所以，得，
因為，所以，
所以展開式的通項公式為，
令，得，
所以該展開式中的常數(shù)項為，
故選：A
4．（2024·陜西·模擬預測）若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【分析】令根據(jù)各項系數(shù)和求出，再利用賦值法計算可得.
【詳解】因為，
令可得，解得，
令可得，
令可得，
所以.
故選：B
二、多選題
5．（2024·吉林·模擬預測）在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．各二項式系數(shù)的和為64 B．各項系數(shù)的絕對值的和為729
C．有理項有3項 D．常數(shù)項是第4項
【答案】AB
【分析】利用各二項系數(shù)和可判斷A選項；根據(jù)二項式展開式的系數(shù)的絕對值和與二項式的展開式的系數(shù)和相等，可判斷B選項；根據(jù)展開式的通項可判斷C選項和D選項；
【詳解】在的展開式中，各二項式系數(shù)的和為，故A正確；
各項系數(shù)的絕對值的和與的各項系數(shù)和相等，
令，可得各項系數(shù)的絕對值的和為，故B正確；
展開式的通項為，
令，得時，展開式的項為有理項，
所以有理項有4項，故C錯誤；
令，得，所以常數(shù)項是第5項，故D錯誤.
故選：AB.
6．（23-24高二下·廣東深圳·期中）若，其中為實數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，令，則原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合賦值法，以及二項展開式的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】由，
令，則原式轉(zhuǎn)化為，
對于A中，令，可得，所以A正確；
對于B中，由二項式定理的展開式，可得，所以B不正確；
對于C和D中，令，可得，
令，得，
所以，所以，
所以C、D 正確．
故選：ACD.
三、填空題
7．（2024·湖北襄陽·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】56
【分析】利用二項式定理展開式中的通項來進行計算得出結(jié)果
【詳解】的展開式的通項公式為，
令，解得，故的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：56.
8．（2024·浙江嘉興·模擬預測）若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)二項式定理中的二項展開式通項公式即可求解
【詳解】的展開式通項是：，
依題意得，，即，所以，
故答案為：
9．（2024·廣東佛山·模擬預測）的展開式中常數(shù)項是 ．（用數(shù)字作答）
【答案】70
【分析】根據(jù)二項展開式的通項可得，令，代入運算求解即可.
【詳解】由題意可知：展開式的通項為，
令，解得，
所以展開式中常數(shù)項是.
故答案為：70.
10．（2024·福建南平·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
【答案】240
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.
【詳解】，
二項式的通項公式為，
其中的展開式中不含的項，
含的項為，
所以的展開式中含的項為，故的系數(shù)為240．
故答案為：
一、單選題
1．（2024·山東·二模）展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，使用組合方法求解.
【詳解】現(xiàn)有8個相乘，從每個中的三項各取一項相乘時，若結(jié)果為的常數(shù)倍，則所取的8項中有4個，2個，2個.
所以，總的選取方法數(shù)目就是.
每個這樣選取后相乘的結(jié)果都是，即給系數(shù)的貢獻總是，所以的系數(shù)就是全部的選取數(shù).
故選：C.
2．（2024·湖北·模擬預測）若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中的系數(shù)為（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
【答案】D
【分析】先確定值，再由二項展開式的通項求解項的系數(shù)即可.
【詳解】因為二項展開式中當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，
即二項式系數(shù)中第5個即最大，
所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，
展開式中共項，，又，
則二項展開式的通項公式
，.
令，所以的系數(shù)為．
故選：D．
3．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數(shù)項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先通過二項式定理得出在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，然后結(jié)合超幾何分布求得相應的概率，進而結(jié)合均值公式即可得解.
【詳解】的二項展開式為，
由題意，解得，
若要取到有理項，則需要能被3整除，則，
即在的二項展開式中，有理項有3項，無理項有8項，
若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，可知的所有可能取值分別為0，1，2，3，
，，
所以.
故選：C.
4．（2024·江西鷹潭·二模）第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由進位制的換算方法代入計算，再由二項式展開式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：
，
因為是10的倍數(shù)，
所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，
由可得，末尾數(shù)字為5.
故選：C
二、多選題
5．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用賦值法一一計算可判定A、D選項；利用二項式定理可判定B、C選項.
【詳解】對于A，令，則，故A正確；
對于D，令，
令，
兩式相減得，故D正確；
易知，
而中的常數(shù)項為1，含項為，
含項為，含項為，
同理中的常數(shù)項為，含項為，
含項為，含項為，
所以，故B錯誤；
，故C正確.
故選：ACD
6．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】寫出展開式的通項，即可表示出，，從而求出，即可判斷A，再利用賦值法判斷B、C，將兩邊對求導可得，再令，即可判斷D.
【詳解】二項式展開式的通項為（且），
，
所以，，
因為，所以，解得（舍去）或，故A正確；
由，
令可得，故B正確；
由，
令可得，
令可得，所以，故C錯誤；
將兩邊對求導可得，
，
令可得，故D錯誤.
故選：AB
7．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為
C． D．的個位數(shù)字是1
【答案】BD
【分析】對于A：根據(jù)二項展開式分析求解；對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對于C：利用賦值法，令、即可得結(jié)果；對于D：因為，結(jié)合二項展開式分析求解.
【詳解】對于選項A：的展開式的通項為，
令，可得，
所以，故A錯誤；
對于選項B：因為為偶數(shù)，可知二項式系數(shù)的最大值為，故B正確；
對于選項C：令，可得；
令，可得；
所以，故C錯誤；
對于選項D：因為，
且的展開式的通項為，
可知當，均為20的倍數(shù)，即個位數(shù)為0，
當時，，所以的個位數(shù)字是1，故D正確；
故選：BD.
三、填空題
8．（2024·山西朔州·一模）的展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】先變形為，寫出通項得到；再寫出的通項，得到，最后把兩項系數(shù)相乘即可.
【詳解】，
通項為，
所以，即，
又通項為，當時，才能得到，
所以展開式中的系數(shù)為，
故答案為：.
9．（2024·河北·模擬預測）已知的展開式中各項系數(shù)和為8，則展開式中常數(shù)項為 .
【答案】
【分析】令即可求出，求出展開式通項即可求出常數(shù)項.
【詳解】令，可得展開式中各項系數(shù)的和，解得；
的展開式通項為，
因為，所以展開式中常數(shù)項為，
故答案為：.
10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）若關(guān)于，的三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64，則 ；其中項系數(shù)的最大值為 .
【答案】 6 /
【分析】令，得，即可求得n的值，利用組合知識求得項系數(shù)為，然后利用基本不等式求解最值即可.
【詳解】三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64，
則令，得，解得；
所以三項式的展開式中項系數(shù)為：，
當且僅當時等號成立，即項系數(shù)的最大值為.
故答案為：6；
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.
【詳解】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
2．（2024·上海·高考真題） 展開式中的系數(shù)為 .
【答案】15
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接求出結(jié)果.
【詳解】 展開式中令的項為，
所以 展開式中的系數(shù)為15.
故答案為：15
3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為 ．
【答案】5
【分析】先設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有，進而求出即可求解.
【詳解】由題展開式通項公式為，且，
設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.
故答案為：5.
4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 ．
【答案】20
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.
【詳解】因為的展開式的通項為，
令，可得，
所以常數(shù)項為.
故答案為：20.
5．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式，
令可得，，
則項的系數(shù)為.
故答案為：60.
6．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用賦值法可求的值.
【詳解】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
7．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
【答案】
【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【詳解】含的項為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．
8．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【答案】-28
【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.
【詳解】因為，
所以的展開式中含的項為，
的展開式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
9．（2022·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項是 .
【答案】
【分析】由題意結(jié)合二項式定理可得的展開式的通項為，令，代入即可得解.
【詳解】由題意的展開式的通項為，
令即，則，
所以的展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：.
【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
10．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 .
【答案】
【分析】利用二項展開通項公式即可得解.
【詳解】的展開式的通項，
令，解得，故常數(shù)項為.
故答案為：.
11．（2021·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是 ．
【答案】160
【分析】求出二項式的展開式通項，令的指數(shù)為6即可求出.
【詳解】的展開式的通項為，
令，解得，
所以的系數(shù)是.
故答案為：160.
12．（2021·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， .
【答案】 ; .
【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.
【詳解】，
，
所以，
，
所以.
故答案為：.
13．（2020·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是 ．
【答案】10
【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．
【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，解得．
所以的系數(shù)為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二項展開式的通項公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2020·全國·高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.
【詳解】展開式的通項公式為（且）
所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：
和
在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，
在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為
所以的系數(shù)為
故選：C
【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.
15．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合通項公式確定的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：.
故選：C.
【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．
16．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，則 ； ．
【答案】
【分析】利用二項式展開式的通項公式計算即可.
【詳解】的通項為，
令，則，故；
.
故答案為：；.
【點晴】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)問題，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎(chǔ)題.
17．（2020·全國·高考真題）的展開式中常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）．
【答案】
【分析】寫出二項式展開通項，即可求得常數(shù)項.
【詳解】
其二項式展開通項：
當，解得
的展開式中常數(shù)項是：.
故答案為：.
【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第03講 二項式定理
（13類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關(guān)聯(lián)考點
2022年新I卷，第13題,5分 兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題 無
2020年全國甲卷（理）， 第8題,5分 求指定項的二項式系數(shù) 無
2020年全國丙卷（理）， 第14題,5分 求指定項的系數(shù) 無
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關(guān)基本量的求解
2.能分清二項式系數(shù)與系數(shù)的定義，并會相關(guān)求解
3.能清晰計算二項式系數(shù)和與系數(shù)和及其大（小）項計算
4.會三項式、乘積式的相關(guān)計算
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關(guān)最大（小）項計算，需重點強化復習
知識講解
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為C，C，…，C.
若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：
(1)h(r)＝0 Tr＋1是常數(shù)項．
(2)h(r)是非負整數(shù) Tr＋1是整式項．
(3)h(r)是負整數(shù) Tr＋1是分式項．
(4)h(r)是整數(shù) Tr＋1是有理項．
注1．二項式的通項易誤認為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．
注2．易混淆二項式中的“項”“項的系數(shù)”“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指C(k＝0,1，…，n)．
二項式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì) 內(nèi)容
對稱性 與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即
增減性 當k＜時，二項式系數(shù)逐漸增大； 當k＞時，二項式系數(shù)逐漸減小
最大值 當n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，最大值為； 當n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或
二項式系數(shù)和
(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝.
考點一、求二項展開式的第項
1．（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為 .
1．（2024·陜西寶雞·一模）展開式中的第四項為（ ）
A． B． C．240 D．
2．（2023·北京·校考模擬預測）在的二項展開式中，第四項為 ．
考點二、求指定項的二項式系數(shù)
1．（2024·遼寧·模擬預測）二項式展開式的第3項的二項式系數(shù)是 .
2．（2024·上海·三模）若的二項展開式中第項與第項的系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為 ．
1．（2024·全國·模擬預測）的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，則其展開式中的常數(shù)項為 ．
2．（2024·江蘇無錫·模擬預測）在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和，則（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
考點三、二項式系數(shù)和
1．（2024·浙江·三模）若展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為 .
2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為 ．（以數(shù)字作答）
1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為32，則的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．10 D．20
2．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）若的展開式的二項式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為 .
考點四、二項式系數(shù)的增減性和最值
1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）的展開式中二項式系數(shù)最大的項為（ ）
A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項
2．（2024·江西南昌·三模）（多選）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24高二下·四川南充·階段練習）的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2024·貴州·模擬預測）的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
考點五、求指定項的系數(shù)
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式中含項的系數(shù)為（ ）
A．420 B． C．560 D．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知二項式的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則其展開式中的系數(shù)為 ．
1．（2024·浙江紹興·三模）的展開式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
2．（2024·黑龍江大慶·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是 .
考點六、由項的系數(shù)確定參數(shù)
1．（2024·黑龍江·模擬預測）若的展開式中的系數(shù)為144，則 .
2．（2024·福建寧德·模擬預測）已知的展開式中含項的系數(shù)為160，則實數(shù)a的值為 .
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為15，則 ．
2．（2024·山東·模擬預測）二項式的展開式中，的系數(shù)為10，則 ．
考點七、有理項（含常數(shù)項）、無理項及其系數(shù)
1．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的展開式中，常數(shù)項的值為 ．
2．（浙江·高考真題）在二項式的展開式中，常數(shù)項是 ；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是 .
1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式的7項中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（ ）項
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·河南·模擬預測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（ ）
A．6項 B．5項 C．4項 D．3項
3．（2024·遼寧·模擬預測）（多選）若的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則二項展開式中的有理項（項中是整數(shù)）可以是（ ）
A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項
考點八、二項展開式各項系數(shù)和及奇次項與偶次項的系數(shù)和
1．（2024·上海·高考真題）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為 ．
2．（2024·福建泉州·一模）（多選）已知展開式中共有8項．則該展開式結(jié)論正確的是（ ）
A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為
C．系數(shù)最大項為第2項 D．有理項共有4項
3．（2024·河南駐馬店·二模）（多選）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川樂山·三模）設(shè)，則（ ）
A．1 B． C．2024 D．
1．（2024·遼寧·三模）（多選）關(guān)于二項式的展開式，下列說法正確的是（ ）
A．第三項系數(shù)為270 B．的系數(shù)為90
C．二項式系數(shù)和為 D．系數(shù)和為
2．（2024·福建福州·模擬預測）（多選）已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
考點九、三項展開式的系數(shù)問題
1．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60 B． C．120 D．
1．（2024·云南昆明·模擬預測）的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A．10 B． C．60 D．
2．（2024·安徽·三模）的展開式中的系數(shù)為 .
考點十、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題
1．（2024·山西長治·模擬預測）的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)是 .
1．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．147 B． C．63 D．
2．（2024·江西宜春·模擬預測）在的展開式中，項的系數(shù)是 ．
考點十一、求系數(shù)最大 (小) 的項
1．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）的展開式中，系數(shù)最大的項是（ ）
A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項
2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（ ）
A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項
1．（2023·上海嘉定·一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為 ．
考點十二、整除和余數(shù)問題
1．（2024·湖北·模擬預測）被9除的余數(shù)為（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
2．（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
1．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）被10除的余數(shù)為 .
2．（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年
考點十三、楊輝三角
1．（2024·寧夏·二模）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊藏了許多規(guī)律，如圖是一個5階楊輝三角．
若第行中從左到右第3個數(shù)與第5個數(shù)的比為，則的值為 ．
2．（2023·海南·三模）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（ ）
A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是
B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：
C．
D．存在，使得為等差數(shù)列
3．（23-24高二上·山東青島·期末）（多選）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)
B．
C．第2020行的第1010個數(shù)最大
D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為
1．（2023·安徽黃山·二模）如圖給出的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)、、、、，依次構(gòu)成數(shù)列，則 .
2．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（ ）

A．在第10行中第5個數(shù)最大
B．
C．第8行中第4個數(shù)與第5個數(shù)之比為
D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為
一、單選題
1．（2024·山東菏澤·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．80 B．240 C．1600 D．2400
2．（2024·山西太原·三模）的展開式中 的系數(shù)為（ ）
A．-20 B．20 C．-30 D．30
3．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）已知的展開式中第3項的二項式系數(shù)等于36，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陜西·模擬預測）若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
二、多選題
5．（2024·吉林·模擬預測）在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．各二項式系數(shù)的和為64 B．各項系數(shù)的絕對值的和為729
C．有理項有3項 D．常數(shù)項是第4項
6．（23-24高二下·廣東深圳·期中）若，其中為實數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
7．（2024·湖北襄陽·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為 .
8．（2024·浙江嘉興·模擬預測）若，則 .
9．（2024·廣東佛山·模擬預測）的展開式中常數(shù)項是 ．（用數(shù)字作答）
10．（2024·福建南平·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
一、單選題
1．（2024·山東·二模）展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模擬預測）若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中的系數(shù)為（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
3．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數(shù)項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，則=（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西鷹潭·二模）第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多選題
5．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為
C． D．的個位數(shù)字是1
三、填空題
8．（2024·山西朔州·一模）的展開式中的系數(shù)為 ．
9．（2024·河北·模擬預測）已知的展開式中各項系數(shù)和為8，則展開式中常數(shù)項為 .
10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）若關(guān)于，的三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64，則 ；其中項系數(shù)的最大值為 .
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海·高考真題） 展開式中的系數(shù)為 .
3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為 ．
4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 ．
5．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
6．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
7．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
8．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
9．（2022·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項是 .
10．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 .
11．（2021·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是 ．
12．（2021·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， .
13．（2020·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是 ．
14．（2020·全國·高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
15．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）．
A． B．5 C． D．10
16．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，則 ； ．
17．（2020·全國·高考真題）的展開式中常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）．
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