資源簡介

第03講 復數
（9類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算 無
2024年新Ⅱ卷，第1題，5分 復數的模 無
2023年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算、共軛復數 無
2023年新Ⅱ卷，第1題，5分 復數的四則運算、復數的幾何意義 無
2022年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算、共軛復數 無
2022年新Ⅱ卷，第2題，5分 復數的四則運算 無
2021年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算、共軛復數 無
2021年新Ⅱ卷，第1題，5分 復數的四則運算、復數的幾何意義 無
2020年新I卷，第1題，5分 復數的四則運算 無
2020年新Ⅱ卷，第2題，5分 復數的四則運算 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握復數的代數形式，能夠掌握數集分類及復數分類，需要關注復數的實部、虛部、及純虛數
2.能正確計算復數的四則運算及模長等問題，理解并掌握共軛復數
3.熟練掌握復數的幾何意義即復數與復平面上點的對應關系
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般考查復數的四則運算、共軛復數、模長運算、幾何意義，題型較為簡單。
知識講解
1．復數的定義
我們把形如的數叫做復數，其中i叫做 ，滿足 ，虛數單位的周期為 ．
2．復數通常用字母z表示，即，其中的a與b分別叫做復數z的 與 ．
3．對于復數， 復數，為實數 ；為虛數 ；為純虛數 ；為非純虛數 .
即復數
4．在復數集中任取兩個數，，規定與相等當且僅當 ，即復數相等： .
5．共軛復數
（1）定義：當兩個復數的實部 ，虛部 時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．
（2）表示方法：復數z的共軛復數用表示，即如果，那么 ．
6．復數的幾何意義
為方便起見，我們常把復數說成點或說成向量，并且規定， 的向量表示同一個復數.
7．復平面
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做 ，x軸叫做 ，y軸叫做 ．實軸上的點都表示 ；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
8．復數的模
向量的模稱為復數的模或絕對值，記作 或 ．即 ，其中．如果，那么是一個實數a，它的模就等于 ．
9．復數的加、減法運算法則
設，則 ， ．
10．復數加法的運算律
對任意，有
（1）交換律： ．（2）結合律： ．
11．復數的乘法
（1）復數的乘法法則
設是任意兩個復數，那么它們的積 ．
（2）復數乘法的運算律
對于任意，有
交換律
結合律
乘法對加法的分配律
12．設的三角形式分別是，
那么， = .
這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.簡記為：模相乘，輻角相加.
13．設的三角形式分別是，且，那么， .
這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.簡記為：模相除，輻角相減.
考點一、復數的四則運算
1．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B．1 C．-1 D．2
2．（2023·全國·高考真題）（ ）
A． B．1 C． D．
1．（2024·天津·高考真題）已知是虛數單位，復數 ．
2．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·三模）已知為虛數單位，（ ）
A． B． C． D．
考點二、求復數的實部與虛部
1．（2024·全國·模擬預測）已知，則的實部是（ ）
A． B．i C．0 D．1
2．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（ ）
A． B．1 C．3 D．
1．（2024·重慶·三模）設復數z滿足，則z的虛部為（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2024·陜西·二模）復數的實部為（ ）
A．1 B．3 C． D．
3．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．2
考點三、復數相等
1．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河南·模擬預測）已知為虛數單位，，滿足，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北保定·三模）若復數滿足，則實數（ ）
A． B． C． D．
考點四、復數的分類及純虛數概念考查
1．（2024·河北·二模）已知復數是實數，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·河南·三模）已知復數為純虛數，則的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
1．（2024·遼寧大連·二模）設，則“”是“復數為純虛數”的（ ）
A．充分必要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧·模擬預測）若復數為實數，則實數等于（ ）
A． B． C． D．2
考點五、復數的幾何意義
1．（2023·全國·高考真題）在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021·全國·高考真題）復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·山西·三模）已知復數在復平面內對應的點位于第四象限，則實數m的取值范圍是 ．
1．（2024·山東·二模）已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·江西·模擬預測）在復平面內，復數對應的點的坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·模擬預測）若復數的共軛復數滿足，則在復平面內對應的點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
考點六、復數的模長及與模相關的軌跡問題
1．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2023·全國·高考真題）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
3．（2024·廣東揭陽·二模）已知復數在復平面內對應的點為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·福建南平·二模）若復數滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·貴州畢節·三模）若復數z滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．（2024·遼寧·二模）已知i是虛數單位，復數z滿足，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．3
考點七、復數的三角形式
1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數是虛數單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數的三角形式，利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，，例如：，，復數滿足：，則可能取值為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現了棣莫弗定理：設兩個復數，，則.設，則的虛部為（ ）
A． B． C．1 D．0
2．（2023·全國·模擬預測）已知復數，則（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
考點八、歐拉公式
1．（2024·四川綿陽·模擬預測）歐拉公式把自然對數的底數，虛數單位，和聯系在一起，充分體現了數學的和諧美，被譽為“數學中的天橋”.則（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2022·重慶北碚·模擬預測）歐拉是世紀最偉大的數學家之一，在很多領域中都有杰出的貢獻．由《物理世界》發起的一項調查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據歐拉公式，（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·云南昆明·一模）歐拉公式：將復指數函數與三角函數聯系起來，在復變函數中占有非常重要的地位，根據歐拉公式，復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，則在下列表達式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
考點九、復數多選題
1．（2024·福建福州·三模）已知復數，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若，則或 D．若且，則
2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復數，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足：為純虛數，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．的最小值為3 D．的最小值為3
1．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，都是復數，下列正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
2．（2024·山東濟寧·三模）已知復數，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C．“”是“”的必要不充分條件 D．“”是“”的充分不必要條件
3．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知方程的兩個復數根分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知i是虛數單位，若為純虛數，則實數a的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（2024·河北·三模）已知復數滿足，則的共軛復數的虛部是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北滄州·模擬預測）設，是復數，則下列命題中是假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知復數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·山東泰安·二模）若復數滿足，則（ ）
A． B．2 C． D．1
二、多選題
7．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知復數（為實數），若，則的值可能為（ ）
A． B． C．1 D．3
8．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）設為虛數單位，下列關于復數的命題正確的有（ ）
A． B．若互為共軛復數，則
C．若，則 D．若復數為純虛數，則
三、填空題
9．（2024·上海·三模）設（為虛數單位），若z為純虛數，則實數m的值為 ．
10．（2024·廣東·二模）設，為虛數單位，定義，則復數的模為 ．
一、單選題
1．（2024·河北保定·二模）復數（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江杭州·三模）已知復數滿足，則的共軛復數在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·江蘇南通·三模）已知為復數，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件
4．（2024·四川成都·模擬預測）復數在復平面上對應的點位于虛軸上，則實數的值為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·廣東廣州·三模）當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·安徽·模擬預測）若為虛數單位，，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2024·河南商丘·模擬預測）已知復數和滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多選題
8．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個復數，下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若為實數，則
C．若均為純虛數，則為實數 D．若為實數，則均為純虛數
三、填空題
9．（2024·湖南衡陽·三模）已知是關于的方程（其中p、q為實數）的一個根，則的值為 .
10．（2024·江西南昌·三模）已知復數，，那么 .
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C．10 D．
2．（2023·北京·高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2022·全國·高考真題）若．則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高考真題）已知，且，其中a，b為實數，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 復數
（9類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算 無
2024年新Ⅱ卷，第1題，5分 復數的模 無
2023年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算、共軛復數 無
2023年新Ⅱ卷，第1題，5分 復數的四則運算、復數的幾何意義 無
2022年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算、共軛復數 無
2022年新Ⅱ卷，第2題，5分 復數的四則運算 無
2021年新I卷，第2題，5分 復數的四則運算、共軛復數 無
2021年新Ⅱ卷，第1題，5分 復數的四則運算、復數的幾何意義 無
2020年新I卷，第1題，5分 復數的四則運算 無
2020年新Ⅱ卷，第2題，5分 復數的四則運算 無
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考的必考內容，設題穩定，難度較低，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握復數的代數形式，能夠掌握數集分類及復數分類，需要關注復數的實部、虛部、及純虛數
2.能正確計算復數的四則運算及模長等問題，理解并掌握共軛復數
3.熟練掌握復數的幾何意義即復數與復平面上點的對應關系
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般考查復數的四則運算、共軛復數、模長運算、幾何意義，題型較為簡單。
知識講解
1．復數的定義
我們把形如的數叫做復數，其中i叫做 ，滿足 ，虛數單位的周期為 ．
【答案】 虛數單位 4
2．復數通常用字母z表示，即，其中的a與b分別叫做復數z的 與 ．
【答案】 實部 虛部
3．對于復數， 復數，為實數 ；為虛數 ；為純虛數 ；為非純虛數 .
即復數
【答案】 ；
4．在復數集中任取兩個數，，規定與相等當且僅當 ，即復數相等： .
【答案】
5．共軛復數
（1）定義：當兩個復數的實部 ，虛部 時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．
（2）表示方法：復數z的共軛復數用表示，即如果，那么 ．
【答案】 相等 互為相反數
6．復數的幾何意義
為方便起見，我們常把復數說成點或說成向量，并且規定， 的向量表示同一個復數.
【答案】相等
7．復平面
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做 ，x軸叫做 ，y軸叫做 ．實軸上的點都表示 ；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
【答案】 復平面 實軸 虛軸 實數
8．復數的模
向量的模稱為復數的模或絕對值，記作 或 ．即 ，其中．如果，那么是一個實數a，它的模就等于 ．
【答案】
9．復數的加、減法運算法則
設，則 ， ．
【答案】
10．復數加法的運算律
對任意，有
（1）交換律： ．（2）結合律： ．
【答案】
11．復數的乘法
（1）復數的乘法法則
設是任意兩個復數，那么它們的積 ．
（2）復數乘法的運算律
對于任意，有
交換律
結合律
乘法對加法的分配律
【答案】
12．設的三角形式分別是，
那么， = .
這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.簡記為：模相乘，輻角相加.
【答案】
13．設的三角形式分別是，且，那么， .
這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.簡記為：模相除，輻角相減.
【答案】
考點一、復數的四則運算
1．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【分析】先根據共軛復數的定義寫出，然后根據復數的乘法計算.
【詳解】依題意得，，故.
故選：D
2．（2023·全國·高考真題）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用復數的四則運算求解即可.
【詳解】
故選：C.
1．（2024·天津·高考真題）已知是虛數單位，復數 ．
【答案】
【分析】借助復數的乘法運算法則計算即可得.
【詳解】.
故答案為：.
2．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意首先計算復數的值，然后利用共軛復數的定義確定其共軛復數即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：B.
3．（2024·河南·三模）已知為虛數單位，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數乘法、除法運算化簡即可.
【詳解】.
故選：D
考點二、求復數的實部與虛部
1．（2024·全國·模擬預測）已知，則的實部是（ ）
A． B．i C．0 D．1
【答案】C
【分析】根據復數除法運算化簡，由實部定義可得.
【詳解】因為，所以z的實部是0.
故選：C．
2．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】先利用乘法運算法則化簡復數，然后化簡得，即可求出其虛部.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，則的虛部為.
故選：A
1．（2024·重慶·三模）設復數z滿足，則z的虛部為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】設復數，根據題意，列出方程，結合復數相等，求得的值，即可求解.
【詳解】設復數，
因為復數z滿足，可得，
即，則，，解得，
所以復數的虛部為.
故選：A.
2．（2024·陜西·二模）復數的實部為（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】通過復數的運算將復數化簡成的形式，即可得到實部.
【詳解】由，可得復數的實部為3，
故選：.
3．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用復數的乘方運算和四則運算法則求出復數，繼而得的虛部.
【詳解】由，
則，的虛部為2.
故選：D.
考點三、復數相等
1．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據復數的代數運算以及復數相等即可解出．
【詳解】因為，
所以，解得：．
故選：C.
2．（2022·浙江·高考真題）已知（為虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復數相等的條件可求.
【詳解】，而為實數，故，
故選：B.
1．（2024·河南·模擬預測）已知為虛數單位，，滿足，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據復數代數形式的乘法運算化簡，再根據復數相等的充要條件得出方程組，求出、的值，即可得解.
【詳解】因為，
又且，所以，故．
故選：D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設，則，根據題意，結合復數的乘法運算和相等復數建立方程組，解之即可求解.
【詳解】設，則，
因為，所以，
即，
所以，解得，
所以．
故選：D．
3．（2024·河北保定·三模）若復數滿足，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，根據復數相等，即可列式求.
【詳解】設，則，所以，
由，得，則，
所以，解得.
故選：B.
考點四、復數的分類及純虛數概念考查
1．（2024·河北·二模）已知復數是實數，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根據復數的四則運算法則計算得到，再根據實數的定義求解即可.
【詳解】
因為是實數，
所以，即.
故選：D.
2．（2024·河南·三模）已知復數為純虛數，則的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用復數的除法運算求出z，根據復數為純虛數，列出相應等式和不等式，即可求得答案.
【詳解】，
由題意得，所以，
故選：C．
1．（2024·遼寧大連·二模）設，則“”是“復數為純虛數”的（ ）
A．充分必要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由復數為純虛數求得的值，再根據充分必要條件關系判斷.
【詳解】因為復數為純虛數，所以，解得，
所以是復數為純虛數的充要條件.
故選：A.
2．（2024·遼寧·模擬預測）若復數為實數，則實數等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】由復數的除法把化簡，表示成復數的代數形式，由虛部為0，求的值.
【詳解】，若復數為實數，
則，即.
故選：D.
考點五、復數的幾何意義
1．（2023·全國·高考真題）在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為，
則所求復數對應的點為，位于第一象限.
故選：A.
2．（2021·全國·高考真題）復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用復數的除法可化簡，從而可求對應的點的位置.
【詳解】，所以該復數對應的點為，
該點在第一象限，
故選：A.
3．（2024·山西·三模）已知復數在復平面內對應的點位于第四象限，則實數m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】整理得到不等式組，解出即可.
【詳解】由于，
故點位于第四象限，因此，解得，
即的取值范圍是.
故答案為：.
1．（2024·山東·二模）已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由題意求出，進而解出，判斷在復平面內對應的點所在象限即可.
【詳解】由題意知：，
所以，所以在復平面內對應的點位于第四象限.
故選：D.
2．（2024·江西·模擬預測）在復平面內，復數對應的點的坐標為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的幾何意義，由復平面內復數對應的點的坐標可以得出對應復數的代數形式，再結合復數的四則運算法則，即可得解.
【詳解】因為復數對應的點的坐標為，所以，
所以，所以．
故選：A．
3．（2024·江西·模擬預測）若復數的共軛復數滿足，則在復平面內對應的點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，利用復數的運算法則，求得，得到，結合復數的幾何意義，即可求解.
【詳解】由，可得，則，
則在復平面內對應的點的坐標為．
故選：D.
考點六、復數的模長及與模相關的軌跡問題
1．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.
【詳解】若，則.
故選：C.
2．（2023·全國·高考真題）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：C.
3．（2024·廣東揭陽·二模）已知復數在復平面內對應的點為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】借助導數的幾何意義可得，再利用模長公式即可得.
【詳解】由題意得，所以，則.
故選：B.
1．（2024·福建南平·二模）若復數滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據復數代數形式的運算法則化簡復數，再根據復數模的計算公式計算即可.
【詳解】由題意可知，復數滿足，
則可轉化為，
所以.
故選：A.
2．（2024·貴州畢節·三模）若復數z滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】由復數的乘法和除法運算化簡即可求出，再由復數的模長公式求解即可.
【詳解】因為，則，
即，
故.
故選：B.
3．（2024·遼寧·二模）已知i是虛數單位，復數z滿足，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】利用復數的幾何意義及圓中最值問題數形結合計算即可.
【詳解】的幾何意義是復數z對應的點Z到點的距離為1，
即點Z在以點為圓心，1為半徑的圓上，
的幾何意義是點Z到點的距離．
如圖所示，故．
故選：B．
考點七、復數的三角形式
1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數是虛數單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數的三角形式，利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，，例如：，，復數滿足：，則可能取值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的三角形及運算，利用復數相等可得，即可得解.
【詳解】設，
則，
所以，，即，
所以
故時，，故可取，
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：理解復數三角形及三角形下復數的指數運算是解題的關鍵，通過三角形的運算，再利用復數相等，建立方程即可得出所求復數的一般形式.
2．（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由棣莫弗公式化簡結合復數的幾何意義即可得出答案.
【詳解】，
在復平面內所對應的點為，在第二象限.
故選：B.
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現了棣莫弗定理：設兩個復數，，則.設，則的虛部為（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】變形復數，根據題中定義進行計算，即可判定.
【詳解】，
所以
,
所以的虛部為.
故選:B.
2．（2023·全國·模擬預測）已知復數，則（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】根據題意結合復數運算可得的方程的根為，進而整理可得，取即可得結果.
【詳解】設，
則，
由題意可得：
可得關于的方程的根為，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022為偶數，所以.
故選：B.
考點八、歐拉公式
1．（2024·四川綿陽·模擬預測）歐拉公式把自然對數的底數，虛數單位，和聯系在一起，充分體現了數學的和諧美，被譽為“數學中的天橋”.則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】把代入歐拉公式即可。
【詳解】.
故選：B
2．（2022·重慶北碚·模擬預測）歐拉是世紀最偉大的數學家之一，在很多領域中都有杰出的貢獻．由《物理世界》發起的一項調查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據歐拉公式，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化簡復數，利用復數的模長公式可求得結果.
【詳解】，
因此，.
故選：C.
1．（2023·云南昆明·一模）歐拉公式：將復指數函數與三角函數聯系起來，在復變函數中占有非常重要的地位，根據歐拉公式，復數在復平面內對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據復數的幾何意義結合象限角的三角函數值的符號分析判斷
【詳解】由題意可得：對應的點為，
∵，則，
故位于第二象限.
故選：B.
2．（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，則在下列表達式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題設的表達式求出的表達式，再代入選項逐一檢驗即得.
【詳解】因，則，
對于A，，故A項正確；
對于B， ，故B項錯誤；
對于C，，故C項錯誤；
對于D，由B項知，，故D項錯誤.
故選：A.
考點九、復數多選題
1．（2024·福建福州·三模）已知復數，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若，則或 D．若且，則
【答案】BCD
【分析】通過列舉特殊復數驗證A；設，則，通過復數計算即可判斷B；由得，即可判斷C；設，通過復數計算即可判斷D.
【詳解】對于A，設，則，所以，而，
所以，故A不正確；
對于B，設，
則，故B正確；
對于C，若，所以，所以，
所以 或，所以至少有一個為0，故C正確.
對于D，設，則，
所以，而，
所以，故D正確.
故選：BCD.
2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復數，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【分析】利用共軛復數的定義可判定A、C，利用復數的乘法運算法則結合模長公式可判定B、D.
【詳解】對于A，由，得，則A錯誤.
對于B，因為，所以，解得或（舍去），則B正確.
對于C，設（，且），
則，所以，則C正確.
對于D，由，得.
設（，且），則，
，從而，則D正確.
故選：BCD
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知復數滿足：為純虛數，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．的最小值為3 D．的最小值為3
【答案】ABD
【分析】借助復數的基本概念與模長運算可得A；借助復數的幾何意義計算可得B；借助圓與直線的距離可得C、D.
【詳解】對A：為純虛數，可設選項A正確；
對B：設，，
則，即，
則所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
，選項B正確；
對C：為純虛數，對應點在軸上（除去原點），
所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
的取值范圍為，無最小值，選項C錯誤；
對D： ，
表示點到以為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，
為純虛數或0，在軸上（除去點），
當時取得最小值3，∴選項D正確.
故選：ABD．
1．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，都是復數，下列正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】AD
【分析】根據共軛復數的定義及復數的乘法運算即可判斷A；舉出反例即可判斷BC；根據復數的乘法運算及復數的模的計算公式即可判斷D.
【詳解】設，
對于A， 若，則，故，故A正確；
對于B，當時，，故B錯誤；
對于C，當時，，故C錯誤；
對于D，若，則，所以，
，
同理，所以，所以，故D正確.
故選：AD.
2．（2024·山東濟寧·三模）已知復數，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C．“”是“”的必要不充分條件 D．“”是“”的充分不必要條件
【答案】AC
【分析】根據復數加法、乘法、乘方運算，結合復數的幾何意義計算，依次判斷選項即可.
【詳解】A：設，則，
所以，
，則，故A正確；
B：設，則，
所以，
，則，故B錯誤；
C：由選項A知，，，
又，所以，不一定有，即推不出；
由，得，則，則，即，
所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；
D：設，則，
若，則，即，推不出；
若，則，
又，
同理可得，所以，；
所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯誤.
故選：AC
3．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知方程的兩個復數根分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】解方程求出，再結合共軛復數、模的意義及復數運算逐項判斷即可各個選項.
【詳解】方程可轉化為，解得或，
不妨設，，
對于A，顯然，故A正確；
對于B，，故B 錯誤；
對于C，由，則，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：ACD.
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知i是虛數單位，若為純虛數，則實數a的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用復數的乘法計算，再借助純虛數的定義求解即得.
【詳解】依題意，是純虛數，于是，解得，
所以實數a的值為.
故選：D
2．（2024·河北·三模）已知復數滿足，則的共軛復數的虛部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求得，可求的共軛復數的虛部.
【詳解】由，可得，
所以，所以，
所以，所以的共軛復數的虛部是.
故選：D.
3．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據復數的除法法則及共軛復數的定義即可求解.
【詳解】，
所以.
故選：B．
4．（2024·河北滄州·模擬預測）設，是復數，則下列命題中是假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】對于A，利用復數模的定義即可判斷；對于B，利用共軛復數的定義即可判斷；對于C，利用復數共軛復數相乘的性質即可判斷；對于D，舉反例即可判斷.
【詳解】設，，其中．
對于A，
，
，
所以，故A正確；
對于B，，，
，
所以，故B正確；
對于C，，，
由，得．
因為，，
所以不一定成立，如，，
此時，而，，即，故C錯誤；
對于D，由，得，，
，所以，故D正確﹒
故選:C．
5．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知復數滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題設求出，從而求出的值.
【詳解】由題知，，
所以.
故選：A.
6．（2024·山東泰安·二模）若復數滿足，則（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】根據復數的乘、除法運算可得，則，結合復數的幾何意義即可求解.
【詳解】由，得，
所以，故.
故選：C
二、多選題
7．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知復數（為實數），若，則的值可能為（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】BC
【分析】根據題意結合復數的模長公式運算求解即可.
【詳解】由題意可知：，解得，
結合選項可知：BC正確；AD錯誤.
故選：BC.
8．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）設為虛數單位，下列關于復數的命題正確的有（ ）
A． B．若互為共軛復數，則
C．若，則 D．若復數為純虛數，則
【答案】ABD
【分析】根據復數的乘法運算，復數的模值運算，純虛數的定義即可判斷.
【詳解】解：由題意得：
對于選項A：令
則
所以，故A正確；
對于選項B：令，，所以，故B正確；
對于選項C：令，，根據復數的乘法運算可知：， ，，所以C錯誤；
對于選項D：若復數為純虛數，則，即，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
9．（2024·上海·三模）設（為虛數單位），若z為純虛數，則實數m的值為 ．
【答案】
【分析】根據給定的條件，利用純虛數的定義列式計算即得.
【詳解】由為純虛數，得，解得，
所以實數m的值為.
故答案為：
10．（2024·廣東·二模）設，為虛數單位，定義，則復數的模為 ．
【答案】
【分析】根據給定的定義求出復數，再利用模的意義計算得解.
【詳解】依題意，，
所以復數的模為.
故答案為：
一、單選題
1．（2024·河北保定·二模）復數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據復數乘除法以及模長計算公式，整理化簡即可求得結果.
【詳解】.
故選：D.
2．（2024·浙江杭州·三模）已知復數滿足，則的共軛復數在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用復數的運算性質求出，再利用共軛復數的性質求出，最后利用復數和對應點的關系求解即可.
【詳解】由題意得，故，
故，顯然在復平面上對應的點是，在第四象限，故D正確.
故選：D
3．（2024·江蘇南通·三模）已知為復數，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】A
【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數法計算即可得或，則必要性不成立.
【詳解】若，則，則，故充分性成立；
若，設，則，，
則，或與不一定相等，則必要性不成立，
則“”是“”的充分非必要條件，
故選：A
4．（2024·四川成都·模擬預測）復數在復平面上對應的點位于虛軸上，則實數的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復數除法法則得到，從而得到方程，求出答案.
【詳解】在復平面上對應的點位于虛軸上，
∴，即.
故選：D
5．（2024·廣東廣州·三模）當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先對復數進行化簡，再確定實部和虛部的符號即可得解．
【詳解】
因為，所以，
故復數在復平面內的對應點位于第一象限，
故選：A．
6．（2024·安徽·模擬預測）若為虛數單位，，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據復數的幾何意義可得復數對應的點的軌跡為以點為圓心，1為半徑的圓，進而求出的最大值.
【詳解】根據題意，復數對應的點的軌跡為以點為圓心，1為半徑的圓，
所求式子的幾何意義表示點到圓上點的距離的最大值，
如圖所示，最大值為.
故選：D.
7．（2024·河南商丘·模擬預測）已知復數和滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】設，利用復數的模長結合已知組成方程組，解出即可.
【詳解】設
因為，所以，即，①
又，所以，即，②
又，所以，即，③
②③可得，④
把①代入④可得，
所以，故A正確；
故選：A.
二、多選題
8．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個復數，下列結論中正確的是（ ）
A．若，則 B．若為實數，則
C．若均為純虛數，則為實數 D．若為實數，則均為純虛數
【答案】AC
【分析】根據題意，復數，根據復數的運算法則和復數的概念，結合選項，逐項判定，即可求解.
【詳解】設復數，則，
對于A中，由，且，可得，所以，
所以，所以A正確；
對于B中，由，可得，即，
但與不一定相等，所以與不一定相等，所以B錯誤；
對于C中，由均為純虛數，可得，
此時，所以C正確；
對于D中，由為實數，即，
可得，但不一定為，所以D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
9．（2024·湖南衡陽·三模）已知是關于的方程（其中p、q為實數）的一個根，則的值為 .
【答案】
【分析】思路一：把代入方程中，再利用復數相等求出、，即可得解.
思路二：依題意根據虛根成對原理可得也是關于的方程的一個根，利用韋達定理求出、，即可得解.
【詳解】方法一：由已知可得，即，
所以，解得，所以.
方法二：因為是關于的方程（其中p、q為實數）的一個根，
所以也是該方程的一個根，
由韋達定理得，解得，所以.
故答案為：.
10．（2024·江西南昌·三模）已知復數，，那么 .
【答案】
【分析】設出復數的代數形式，利用復數模的意義列出方程組并求解即得.
【詳解】設，則，即有，
解得，所以.
故答案為：
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】結合共軛復數與復數的基本運算直接求解.
【詳解】由，則.
故選：A
2．（2023·北京·高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的幾何意義先求出復數，然后利用共軛復數的定義計算.
【詳解】在復平面對應的點是，根據復數的幾何意義，，
由共軛復數的定義可知，.
故選：D
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根據復數的除法運算求出，再由共軛復數的概念得到，從而解出．
【詳解】因為，所以，即．
故選：A．
4．（2022·全國·高考真題）若．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數代數形式的運算法則，共軛復數的概念以及復數模的計算公式即可求出．
【詳解】因為，所以，所以．
故選：D.
5．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共軛復數的概念及復數的運算即可得解.
【詳解】
故選 ：C
6．（2022·全國·高考真題）已知，且，其中a，b為實數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可
【詳解】
由,結合復數相等的充要條件為實部、虛部對應相等，
得,即
故選:
7．（2021·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，利用共軛復數的定義以及復數的加減法可得出關于、的等式，解出這兩個未知數的值，即可得出復數.
【詳解】設，則，則，
所以，，解得，因此，.
故選：C.
8．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用復數的乘法和共軛復數的定義可求得結果.
【詳解】因為，故，故
故選：C.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑