資源簡介

第02講 平面向量的數(shù)量積
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關(guān)聯(lián)考點
2024年新I卷，第3題,5分 向量垂直的坐標(biāo)表示 平面向量線性運算的坐標(biāo)表示
2024年新Ⅱ卷，第3題,5分 數(shù)量積的運算律 已知數(shù)量積求模 垂直關(guān)系的向量表示 模長的相關(guān)計算
2023年新I卷，第3題,5分 向量垂直的坐標(biāo)表示 利用向量垂直求參數(shù) 平面向量線性運算的坐標(biāo)表示
2023年新Ⅱ卷，第13題,5分 數(shù)量積的運算律 向量的模長運算
2022年新Ⅱ卷，第4題,5分 數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示 平面向量線性運算的坐標(biāo)表示
2021年新I卷，第10題,5分 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 坐標(biāo)計算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化簡、求值 二倍角的余弦公式
2021年新Ⅱ卷，第15題,5分 數(shù)量積的運算律 無
2020年新I卷，第7題,5分 用定義求向量的數(shù)量積 無
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分
【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積
2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系
3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角
4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題,體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用
5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題
【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理解，易得分，需重點復(fù)習(xí)。
知識講解
1．平面向量的數(shù)量積
定義 設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ， 則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何 意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積
向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示
數(shù)量積 |a||b|cos a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量．
2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因為a·b＝0時，有可能a⊥b.
3．在用|a|＝求向量的模時，一定要先求出a2再進(jìn)行開方．
考點一、求平面向量的數(shù)量積
1．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·山東濰坊·三模）已知向量，若，則實數(shù)
3．（2021·全國·高考真題）已知向量，，， ．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則 ．
3．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在中，，則（ ）
A． B． C．9 D．18
考點二、辨析數(shù)量積的運算律
1．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
2．（湖北·高考真題）已知為非零的平面向量．甲：乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（上海·高考真題）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．與垂直 D．
5．（22-23高三上·江蘇揚州·開學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則
D．
考點三、模長綜合計算
1．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（ ）
A．2 B． C．2或 D．3或
4．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知向量，向量滿足，且，則（ ）
A． B．5 C． D．25
1．（2024·陜西榆林·二模）若向量，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知向量，，，則的最小值為 .
3．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知向量與的夾角為，且，，則（ ）．
A． B． C．4 D．2
4．（2024·湖南長沙·三模）平面向量 滿足：， ，，且 ，，則 .
考點四、夾角綜合計算
1．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
4．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·山東日照·三模）已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為 .
3．（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形中，點分別為的中點，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，，且，則 ．
考點五、垂直綜合計算
1．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江臺州·二模）已知平面向量，，若，則實數(shù)（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
3．（2023·浙江寧波·一模）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知向量，，若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考點六、求投影向量
1．（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
考點七、數(shù)量積范圍的綜合問題
1．（湖南·高考真題）設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，過點的直線與軸交于點，與圓交于，兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．6
4．（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024·北京大興·三模）已知平面向量，，則下列結(jié)論一定錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知向量，則（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，若則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空題
8．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則 .
9．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，則m的值為 .
10．（2024·重慶·三模）已知正方形ABCD，邊長為1，點E是BC邊上一點，若，則 .
一、單選題
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）曲線C的方程為，直線l與拋物線C交于A，B兩點.設(shè)甲：直線l與過點；乙：（O為坐標(biāo)原點），則（ ）
A．甲是乙的必要不充分條件 B．甲是乙的充分不必要條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)向量，滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在中，，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為 ，且，，則（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量為
8．（2024·新疆·三模）已知點，，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若， D．的最大值為
9．（2024·廣東江門·三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，其中表示的夾角，則對于兩個非零平面向量，下列結(jié)論一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量為
B．
C．
D．若，則
三、填空題
10．（2024·天津河?xùn)|·二模）如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為 .若在線段上有一個動點，則的最小值為 .
1．（2024·北京·高考真題）設(shè) ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則 ；為線段上的動點，為中點，則的最小值為 ．
3．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
4．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
5．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2022·全國·高考真題）已知向量．若，則 ．
7．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
8．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2022·天津·高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為 ，若，則的最大值為
10．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
11．（2021·全國·高考真題）若向量滿足，則 .
12．（2021·全國·高考真題）已知向量．若，則 ．
13．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
14．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為 ；的最小值為 ．
15．（2021·全國·高考真題）已知向量，，， ．
16．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為 .
17．（2021·全國·高考真題）（多選）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
18．（2020·全國·高考真題）設(shè)向量，若，則 .
19．（2020·全國·高考真題）設(shè)為單位向量，且，則 .
20．（2020·全國·高考真題）已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則 ； ．
22．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為 ．
23．（2020·山東·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則 的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020·全國·高考真題）已知向量 ，滿足， ，，則（ ）
A． B． C． D．
25．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為 ，若是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第02講 平面向量的數(shù)量積
（7類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關(guān)聯(lián)考點
2024年新I卷，第3題,5分 向量垂直的坐標(biāo)表示 平面向量線性運算的坐標(biāo)表示
2024年新Ⅱ卷，第3題,5分 數(shù)量積的運算律 已知數(shù)量積求模 垂直關(guān)系的向量表示 模長的相關(guān)計算
2023年新I卷，第3題,5分 向量垂直的坐標(biāo)表示 利用向量垂直求參數(shù) 平面向量線性運算的坐標(biāo)表示
2023年新Ⅱ卷，第13題,5分 數(shù)量積的運算律 向量的模長運算
2022年新Ⅱ卷，第4題,5分 數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示 平面向量線性運算的坐標(biāo)表示
2021年新I卷，第10題,5分 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 坐標(biāo)計算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化簡、求值 二倍角的余弦公式
2021年新Ⅱ卷，第15題,5分 數(shù)量積的運算律 無
2020年新I卷，第7題,5分 用定義求向量的數(shù)量積 無
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分
【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積
2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系
3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角
4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題,體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用
5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題
【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理解，易得分，需重點復(fù)習(xí)。
知識講解
1．平面向量的數(shù)量積
定義 設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ， 則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何 意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積
向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示
數(shù)量積 |a||b|cos a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夾角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量．
2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因為a·b＝0時，有可能a⊥b.
3．在用|a|＝求向量的模時，一定要先求出a2再進(jìn)行開方．
考點一、求平面向量的數(shù)量積
1．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.
【詳解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
2．（2024·山東濰坊·三模）已知向量，若，則實數(shù)
【答案】
【分析】根據(jù)向量線性運算和數(shù)量積公式得到方程，求出答案.
【詳解】，
，
解得.
故答案為：
3．（2021·全國·高考真題）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，
因此，.
故答案為：.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點為中線BD的三等分點（靠近點B），點F為BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量數(shù)量積公式以及平面向量基本定理求解結(jié)果.
【詳解】由已知有，，，
所以．
已知是AC的中點，則，，
所以，
則．
故選：D．
1．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
2．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出和，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】，即，，，
，，.
故答案為：.
3．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
【答案】
【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．
【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，
又，，所以，
所以．
故答案為：．
4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在中，，則（ ）
A． B． C．9 D．18
【答案】C
【分析】將把與用來表示，進(jìn)而利用平面向量的數(shù)量積即可求解.
【詳解】，，
.
故選：C.
考點二、辨析數(shù)量積的運算律
1．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】
如圖所示，,當(dāng)時，與垂直，，所以成立，此時，
∴不是的充分條件，
當(dāng)時，，∴,∴成立，
∴是的必要條件，
綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.
2．（湖北·高考真題）已知為非零的平面向量．甲：乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量運算法則，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷.
【詳解】若，則，因為為非零的平面向量，
所以，或，所以甲不是乙的充分條件，
反過來，，能推出，所以甲是乙的必要條件.
綜上可知，甲是乙的必要條件，但不是充分條件.
故選：B
3．（上海·高考真題）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量加法、數(shù)量積、數(shù)乘運算的運算法則判斷．
【詳解】選項A是向量加法的結(jié)合律，正確；
選項B是向量數(shù)量積運算對加法的分配律，正確；
選項C是數(shù)乘運算對向量加法的分配律，正確；
選項D．根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與共線的向量，右邊是與共線的向量，兩者一般不可能相等，也即向量的數(shù)量積運算沒有結(jié)合律存在．D錯．
故選：D．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．與垂直 D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的運算求解.
【詳解】選項A：因為是三個非零的平面向量，且相互不共線，
所以不會同時與垂直，所以與不會同時為0，
所以，故A錯誤；（注意向量的數(shù)量積為一個常數(shù)）
選項B：，由于，
（點撥：向量夾角的取值范圍是）所以，故B錯誤；
選項C：因為，
且由A知與不相等，所以與垂直，
（點撥：若兩向量的數(shù)量積為0，則兩向量垂直）故C正確；
選項D：因為是非零向量，且不共線，所以設(shè)，
從而，在中，兩邊之差小于第三邊，所以，
（提示：不共線，所以中的等號不成立）故D錯誤．
故選:C.
5．（22-23高三上·江蘇揚州·開學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則
D．
【答案】ACD
【分析】由數(shù)量積性質(zhì)可判斷A，由分配律可判斷B，由相反向量可判斷C，由向量垂直可以判斷D.
【詳解】對于A，若，則不一定有，A錯誤；
對于B，根據(jù)分配律即可得到，B正確；
對于C，若，則可能，那么，C錯誤；
對于D，若，則有，那么就不一定有，D錯誤.
故選：ACD
考點三、模長綜合計算
1．（2022·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】因為，所以.
故選：D
2．（2024·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.
【詳解】因為，所以，即，
又因為，
所以，
從而.
故選：B.
3．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（ ）
A．2 B． C．2或 D．3或
【答案】D
【分析】根據(jù)條件將兩邊平方，然后利用數(shù)量積的運算律計算即可.
【詳解】，即，
解得或.
故選：D.
4．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知向量，向量滿足，且，則（ ）
A． B．5 C． D．25
【答案】B
【分析】由，利用向量數(shù)量積運算和向量的模即可求解.
【詳解】由于向量，可得，
由，得，
故，得，得或(舍去)．
所以
故選：B
1．（2024·陜西榆林·二模）若向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，從而可得，從而可求解.
【詳解】若，則，即，解得.故A正確.
故選：A.
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知向量，，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運算和復(fù)數(shù)模的坐標(biāo)表示得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】，
所以.
當(dāng)時等號成立.
故答案為：.
3．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知向量與的夾角為，且，，則（ ）．
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)的坐標(biāo)求出它的模，利用數(shù)量積運算求出所求向量的模．
【詳解】由得，，
又，則．
故選：D.
4．（2024·湖南長沙·三模）平面向量 滿足：， ，，且 ，，則 .
【答案】/
【分析】結(jié)合數(shù)量積的定義和性質(zhì)求出、和，利用即可求出答案.
【詳解】因為，所以，
因為，，， ，
所以，
，
因為，
，
所以.
故答案為：.
考點四、夾角綜合計算
1．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
則，，
所以.
故選：B.
2．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
3．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
4．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由且，不共線，再用向量的坐標(biāo)運算求解即可得答案.
【詳解】因為，，
所以；
因為向量，的的夾角為銳角，所以有，解得.
又當(dāng)向量，共線時，，解得：，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
【點睛】本題考查根據(jù)向量的夾角范圍求參數(shù)的范圍問題，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算和向量共線的坐標(biāo)表示，是中檔題.
1．（2024·山東日照·三模）已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的運算、向量的模的計算公式以及向量的數(shù)量積求夾角即可求解.
【詳解】因為和是單位向量，所以又因為，
所以，
所以，
所以，又，
所以向量與向量的夾角為.
故選：B.
2．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】先求得的表達(dá)式，再利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.
【詳解】，令，則，
所以，
當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為．
故答案為：
3．（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形中，點分別為的中點，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加法法則可得，兩邊同時平方可得，由平面向量的夾角公式求解即可.
【詳解】因為平面四邊形中，點分別為的中點，
所以，
所以，
由可得：，
兩邊同時平方可得：，
所以，
解得：，所以.
故選：A.
4．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，，且，則 ．
【答案】/0.8
【分析】根據(jù)已知條件依次求出、、，接著求出、和即可結(jié)合向量夾角余弦公式求解.
【詳解】由題，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案為：.
考點五、垂直綜合計算
1．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當(dāng)時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當(dāng)時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
2．（2024·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算可求的值.
【詳解】因為，所以，
所以即，故，
故選：D.
3．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
1．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】對于A，因為，所以不垂直，故A錯誤；
對于B，因為，所以不垂直，故B錯誤；
對于C，因為，所以不垂直，故C錯誤；
對于D，因為，所以，故D正確.
故選：D
2．（2024·浙江臺州·二模）已知平面向量，，若，則實數(shù)（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算及向量垂直的坐標(biāo)表示求解.
【詳解】因為，，
所以，，
因為，
所以，
解得.
故選：D
3．（2023·浙江寧波·一模）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.
【詳解】由題意有，
又因為與垂直，
所以，
整理得，解得.
故選：B.
4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知向量，，若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)向量同向及數(shù)量積為0分別建立方程求解.
【詳解】當(dāng)時，由可知與方向相同，得，解得；
當(dāng)時，，即，解得．
故選：C
考點六、求投影向量
1．（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的定義直接求解即可.
【詳解】依題意，，
所以在上的投影向量為.
故選：A
2．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將兩邊平方求出，然后由投影向量公式可得.
【詳解】因為，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量為.
故選：C
3．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)投影向量的定義，即可求解.
【詳解】在方向上的投影向量為，即，①
在方向上的投影向量為，即，②
由①②得，又，所以.
故選：D
4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，確定的形狀，再利用投影向量的意義求解作答
【詳解】因為和分別表示向量和向量方向上的單位向量，
由，可得的角平分線與垂直，
所以為等腰三角形，且，
又，得，所以，
又，所以,
所以為等邊三角形，
所以向量在向量上的投影向量為，
故選：B.
1．（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，推理得到，再由投影向量求得，聯(lián)立得到，利用兩向量的夾角公式計算即得.
【詳解】因為是單位向量，且，
兩邊平方得，，即（*），
由在上的投影向量為，可得，
所以，即，代入（*）可得，，即，
所以，
因為，所以．
故選：B．
2．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的模長關(guān)系可得，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得，
所以，則
所以，
則在方向上的投影向量為.
故選：B
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求得的值, 得到和的坐標(biāo)，即可利用投影向量的公式進(jìn)行求解.
【詳解】由得.由得.所以.
所以，所以在上的投影向量為
，
故選:D.
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過作于，利用向量數(shù)量積的定義及投影向量的意義求解即得.
【詳解】在直角梯形中，且，過作于，
則，故，從而.
因此，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：C
5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)點，根據(jù)投影向量的公式求解.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點，則，
則在上的投影向量為
.
故選：C
考點七、數(shù)量積范圍的綜合問題
1．（湖南·高考真題）設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由有實根，可得，再結(jié)合向量的夾角公式和可求得，從而可求出兩向量的夾角范圍.
【詳解】因為關(guān)于的方程有實根，
所以，所以，
因為均是非零向量，且，
所以，
因為，
所以，
故選：B.
2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因為，所以，即；
故選：D
3．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，
則：
，
，則
當(dāng)時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題設(shè)向量模長和垂直條件，考慮運用幾何法求解，由想到構(gòu)造矩形，運用極化恒等式推導(dǎo)出結(jié)論，求得,最后用三角形三邊關(guān)系定理得到的范圍，轉(zhuǎn)化即得.
【詳解】
如圖，設(shè)，，，點在圓上，
點在圓上，則，，由可得：，
作矩形, 則.
下證： .
設(shè)交于點，連接,因則 ，
同理可得：，兩式左右分別相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故選:C．
【點睛】方法點睛：本題考查平面向量的線性運算的模長范圍問題，屬于較難題.
處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：
（1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運算求得；
（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運算求得；
（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.
1．（2024·河北唐山·二模）已知圓：，過點的直線與軸交于點，與圓交于，兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出線段的中點，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，由圖化簡得，只需求的范圍即可，故又轉(zhuǎn)化成求過點的弦長的范圍問題.
【詳解】

如圖，取線段的中點，連接，則，
由，
因直線經(jīng)過點，考慮臨界情況，
當(dāng)線段中點與點重合時（此時），弦長最小，此時最長，
為，（但此時直線與軸平行，點不存在）；
當(dāng)線段中點與點重合時，點與點重合，最短為0（此時符合題意）.
故的范圍為.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合圓的弦想到取其中點，將轉(zhuǎn)化為，利用垂徑定理，將所求式轉(zhuǎn)化成，而求范圍即求弦的長的范圍即可.
2．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解．
【詳解】設(shè)，（且），
則（且），
則在線段上，如圖所示，

當(dāng)與重合時，在上的投影向量的長度取得最大值，最大值為；
當(dāng)與重合時，在上的投影向量的長度取得最小值，最大值為；
則在上的投影向量的長度的取值范圍是．
故選：B.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍柍闪r可得最小值.
【詳解】為單位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時“”成立，
如取時，可使“”成立.
所以.
故選：B．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
本題關(guān)鍵點是由已知條件得，這樣就能得到.
4．（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點為，，連接，，，，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．
【詳解】由雙曲線方程可知：，
可知雙曲線方程的左、右焦點分別為，，
圓的圓心為（即），半徑為；
圓的圓心為（即），半徑為．
連接，，，，則，
可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即的最小值為30.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合雙曲線的定義整理得，結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】利用已知條件和向量的垂直關(guān)系求出未知量即可求得，進(jìn)而得.
【詳解】因為，
所以，，故，
所以.
故選：C.
2．（2024·北京大興·三模）已知平面向量，，則下列結(jié)論一定錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)的值，即可判斷A；根據(jù)及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，即可判斷B；表示出，，即可判斷C；根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示判斷D.
【詳解】對于A：若，則，解得，故A正確；
對于B：若，則，解得，故B正確；
對于C：因為，，
顯然，故C正確；
對于D：，故D錯誤.
故選：D
3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知向量，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】對兩邊平方化簡可得，再對平方化簡后再開方即可.
【詳解】由兩邊平方得，，
所以，
所以，
所以，
故選：D.
4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的定義求解即可.
【詳解】設(shè)與的夾角為，
則在上的投影向量為.
故選：B.
5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用轉(zhuǎn)化法求得，再利用兩個向量夾角的余弦公式即可得解.
【詳解】因為向量均為單位向量，即，且，，
則，兩邊平方可得，
即，所以，
又，所以與的夾角為．
故選：C．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，將兩邊同時平方，即可求解.
【詳解】設(shè)向量夾角為，
兩邊平方得則，
又，
即，解得.
故選：A.
7．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，若則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的數(shù)量積的運算律，求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值即得.
【詳解】由可得
，
因，故時，，即的最小值為.
故選：B．
二、填空題
8．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則 .
【答案】
【分析】利用向量的加法結(jié)合數(shù)量積的定義求解.
【詳解】
故答案為：
9．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，則m的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算得，結(jié)合得到計算得到答案；
【詳解】根據(jù)題意，向量，，
因為，所以，則.
故答案為：.
10．（2024·重慶·三模）已知正方形ABCD，邊長為1，點E是BC邊上一點，若，則 .
【答案】
【分析】借助平面向量的三角形法則，用作為基底，分別表示向量，然后用平面向量的線性運算和數(shù)量積即可得解.
【詳解】因為在單位正方形，點是邊上一點，又，所以，，
所以.
故答案為：
一、單選題
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，，根據(jù)向量減法的幾何意義，可得線段OB的中點C滿足，即可求得，的夾角.
【詳解】設(shè)，，則為直線OB上的點C與點A之間的距離，
由時，取得最小值，得C為線段OB的中點且，
由于，所以.
故選：B
2．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)三角形外心性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得在方向上的投影向量為，從而求得，再根據(jù)余弦定理及基本不等式可求得最值．
【詳解】
由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，
則，故，
又，設(shè)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
由可知，，
故的最大值為．
故選：A．
3．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）曲線C的方程為，直線l與拋物線C交于A，B兩點.設(shè)甲：直線l與過點；乙：（O為坐標(biāo)原點），則（ ）
A．甲是乙的必要不充分條件 B．甲是乙的充分不必要條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用巧設(shè)的直線與拋物線聯(lián)立方程組，用坐標(biāo)運算來研究向量積，再分析充要關(guān)系，即可得解.
【詳解】因為直線的斜率不可能為0，所以可設(shè)直線的方程為，
與拋物線聯(lián)立，消去得：，
再設(shè)，則，所以，
由，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，，則，此時甲是乙的充分條件；
當(dāng)時，解得或，即直線經(jīng)過點或，此時甲不是乙的必要條件；
故選：B.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)向量，滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，得到，化簡得，代入即可.
【詳解】向量滿足 ，
,即,
,
,
故選：A.
5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在中，，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由得出，再借助平行四邊形定則畫圖可解.
【詳解】如圖，設(shè)的中點為，則，所以，，則．
設(shè)，由于，則，則．
假如的起點均為，運用加法的平行四邊形法作圖求和，對角線對應(yīng)的終點如圖所示，所以．
故選：A．
6．（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點（是中點），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
因為在矩形中，，，，，
所以動點在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)，
則,
，
其中銳角滿足，故的最大值為,
故選：A.
二、多選題
7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為 ，且，，則（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量為
【答案】AB
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運算性質(zhì)，對各個選項逐一判定即可．
【詳解】，，故A正確；
，所以，故B正確；
，所以，
又因為，所以，故C錯誤；
在上的投影向量為，故D錯誤；
故選：AB．
8．（2024·新疆·三模）已知點，，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若， D．的最大值為
【答案】ACD
【分析】對于A，當(dāng)時，計算即可；對于B，由，即存在實數(shù)，使得，計算得即可；對于C，由得，兩邊平方結(jié)合二倍角公式即可；對于D，由向量的模運算得即可.
【詳解】由題意可知，，
對于A，當(dāng)時，，所以,
即，故，故A正確；
對于B，因為，
所以存在實數(shù)，使得，即，
解得，故或，故B錯誤；
對于C，因為，
所以，解得，故C正確；
對于D，因為，
所以
，其中，
所以當(dāng)時，，故D正確.
故選：ACD.
9．（2024·廣東江門·三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，其中表示的夾角，則對于兩個非零平面向量，下列結(jié)論一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量為
B．
C．
D．若，則
【答案】BD
【分析】先對新定義進(jìn)行理解，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算逐一判斷即可得解．
【詳解】對于選項A，在上的投影向量為，故選項A錯誤，
對于選項B，，故選項B正確，
對于選項C，，
顯然時，不成立，故選項C錯誤，
對于選項D，由，所以，則，即，故選項D正確，
故選：BD．
【點睛】思路點睛：對于向量的新定義的運算需正確理解向量的新定義運算，再結(jié)合向量的投影、向量的運算和向量的平行等進(jìn)行推理運算即可.
三、填空題
10．（2024·天津河?xùn)|·二模）如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為 .若在線段上有一個動點，則的最小值為 .
【答案】 6
【分析】易知正方形與正方形的中心為，然后將涉及到的向量用或來表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設(shè)為，
所以，，
則；
，
顯然，當(dāng)為的中點時，，
所以
故答案為：6；．
1．（2024·北京·高考真題）設(shè) ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.
故選：B.
2．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則 ；為線段上的動點，為中點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算求的最小值.
【詳解】解法一：因為，即，則，
可得，所以；
由題意可知：，
因為為線段上的動點，設(shè)，
則，
又因為為中點，則，
可得
，
又因為，可知：當(dāng)時，取到最小值；
解法二：以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
可得，
因為，則，所以；
因為點在線段上，設(shè)，
且為中點，則，
可得，
則，
且，所以當(dāng)時，取到最小值為；
故答案為：；.
3．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進(jìn)行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據(jù)余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.

4．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.
【詳解】法一：因為，即，
則，整理得，
又因為，即，
則，所以.
法二：設(shè)，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
5．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
6．（2022·全國·高考真題）已知向量．若，則 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】由題意知：，解得.
故答案為：.
7．（2022·全國·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
【答案】
【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．
【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，
又，，所以，
所以．
故答案為：．
8．（2022·全國·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.
【詳解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
9．（2022·天津·高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為 ，若，則的最大值為
【答案】
【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時，最大，即求出．
【詳解】方法一：
，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，所以．
故答案為：；．
方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：
，，
，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時，最大，此時．
故答案為：；．
10．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．
【詳解】因為，所以由可得，
，解得．
故答案為：．
【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，
，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．
11．（2021·全國·高考真題）若向量滿足，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案
【詳解】∵
∴
∴.
故答案為：.
12．（2021·全國·高考真題）已知向量．若，則 ．
【答案】.
【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值
【詳解】,
，解得,
故答案為：.
【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.
13．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】
如圖所示，,當(dāng)時，與垂直，，所以成立，此時，
∴不是的充分條件，
當(dāng)時，，∴,∴成立，
∴是的必要條件，
綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.
14．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為 ；的最小值為 ．
【答案】 1
【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.
【詳解】設(shè)，，為邊長為1的等邊三角形，，
，
，為邊長為的等邊三角形，，
，
，
，
所以當(dāng)時，的最小值為.
故答案為：1；.
15．（2021·全國·高考真題）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，
因此，.
故答案為：.
16．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為 .
【答案】
【分析】設(shè)，由平面向量的知識可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.
【詳解】由題意，設(shè)，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.
17．（2021·全國·高考真題）（多選）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯誤；
故選：AC
18．（2020·全國·高考真題）設(shè)向量，若，則 .
【答案】5
【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.
【詳解】由可得，
又因為，
所以，
即，
故答案為：5.
【點睛】本題考查有關(guān)向量運算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.
19．（2020·全國·高考真題）設(shè)為單位向量，且，則 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.
【詳解】因為為單位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案為：
【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.
20．（2020·全國·高考真題）已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】由已知可得：.
A：因為，所以本選項不符合題意；
B：因為，所以本選項不符合題意；
C：因為，所以本選項不符合題意；
D：因為，所以本選項符合題意.
故選：D.
【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.
21．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則 ； ．
【答案】
【分析】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得以及的值.
【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則點、、、，
，
則點，，，
因此，，.
故答案為：；.
【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
22．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.
【詳解】，
，
，
.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
23．（2020·山東·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則 的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.
【詳解】
的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范圍是，
結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，
可知等于的模與在方向上的投影的乘積，
所以的取值范圍是，
故選：A.
【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.
24．（2020·全國·高考真題）已知向量 ，滿足， ，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.
【詳解】，，，.
，
因此，.
故選：D.
【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.
25．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為 ，若是線段上的動點，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則點（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.
【詳解】，，，
，
解得，
以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
,
∵，∴的坐標(biāo)為,
∵又∵,則，設(shè)，則（其中），
，，
，
所以，當(dāng)時，取得最小值.
故答案為：；.
【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中等題.
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