資源簡介

第02講 三角恒等變換
（和差公式、倍角公式、升降冪公式、輔助角公式）
（14類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第4題,5分 用和、差角的余弦公式化簡、求值 三角函數的化簡、求值 同角三角函數基本關系
2024年新I卷，第13題,5分 用和、差角的正切公式化簡、求值 同角三角函數基本關系
2023年新I卷，第8題,5分 用和、差角的正弦公式化簡、求值 二倍角的余弦公式 三角函數求值
2023年新Ⅱ卷，第7題,5分 半角公式、二倍角的余弦公式 無
2023年新Ⅱ卷，第16題,5分 由圖象確定正(余)弦型函數解析式 特殊角的三角函數值
2022年新Ⅱ卷，第6題,5分 用和、差角的余弦公式化簡、求值 用和、差角的正弦公式化簡、求值 無
2021年新I卷，第6題,5分 二倍角的正弦公式 正、余弦齊次式的計算 三角函數求值
2021年新I卷，第10題,5分 逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式 數量積的坐標表示 坐標計算向量的模
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較中等或偏難，分值為5-11分
【備考策略】1.推導兩角差余弦公式，理解兩角差余弦公式的意義
2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
3.能推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運用公式解決相關的求值與化簡問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般會考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應用和半角公式變形應用，需加強復習備考
知識講解
正弦的和差公式
余弦的和差公式
正切的和差公式
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升冪公式：
，
降冪公式：
，
正切的倍角公式
半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝.
以上稱之為半角公式，符號由所在象限決定．
萬能公式
和差化積與積化和差公式
推導公式
輔助角公式
，，其中，
考點一、正弦兩角和與差的基本應用
1．（福建·高考真題）等于（　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由題得原式=，再利用和角的正弦公式化簡計算.
【詳解】由題得原式=.
故選C
【點睛】本題主要考查誘導公式和和角的正弦公式的運用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.
2．（全國·高考真題）=
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】原式= ==，故選D.
考點：本題主要考查誘導公式與兩角和與差的正余弦公式.
3．（2020·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將所給的三角函數式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數式的值.
【詳解】由題意可得：，
則：，，
從而有：，
即.
故選：B.
【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.
4．（2024·全國·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
【答案】
【分析】法一：根據兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結合同角的平方和關系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【詳解】法一：由題意得，
因為，，
則，，
又因為，
則，，則，
則，聯立 ，解得.
法二： 因為為第一象限角，為第三象限角，則,
，，
則
故答案為：.
1．（2024高三·全國·專題練習） ．
【答案】
【分析】先利用誘導公式得，再利用兩角和的正弦公式求解.
【詳解】
．
故答案為：
2．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三角函數的定義求出角的正余弦值，再利用差角的正弦公式計算即得.
【詳解】由題意，.
則.
故選：D.
3．（2024高三·全國·專題練習）化簡： ．
【答案】/
【分析】根據兩角差的正弦公式和特殊角的三角函數值得出答案；
【詳解】原式．
故答案為：.
4．（2024·河南·三模）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式結合弦切關系分別計算，再根據和角公式計算即可.
【詳解】因為，
又，即，則，
所以，
故.
故選：D
5．（2024·云南·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，利用兩角和與差的三角函數，準確運算，即可求解.
【詳解】由，
即，所以.
故選：A.
考點二、余弦兩角和與差的基本應用
1．（高考真題）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用誘導公式轉化，原式=sin163° sin223°+cos163°cos223°再通過兩角和公式化簡，轉化成特殊角得出結果．
【詳解】原式=sin163° sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）=.
故選A.
【點睛】本題主要考查了誘導公式應用及兩角和與差的余弦公式．要熟記公式是關鍵．
2．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據兩角和的余弦可求的關系，結合的值可求前者，故可求的值.
【詳解】因為，所以，
而，所以，
故即，
從而，故，
故選：A.
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：三角函數求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數公式轉化為特殊角的三角函數．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．
（3）“給值求角”：實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
1．（2024·山東棗莊·模擬預測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三角函數的定義求出，，再由兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，即，
即角的終邊經過點，所以，，
所以.
故選：D
2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方關系求出，然后由余弦的兩角差公式可得.
【詳解】因為，，，，
所以，
所以.
故選：A
3．（2024·四川宜賓·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先對進行化簡整理，得到，求得結果.
【詳解】
，
所以.
故選：A.
4．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用兩角余弦的和差公式結合二倍角公式求解即可.
【詳解】由題意得，
又，則，解得，，
故，
則，
故選：C
5．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據二倍角的正弦公式和同角三角函數的關系求出，再根據兩角差的余弦公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，，，
所以.
故選：B．
考點三、正切兩角和與差的基本應用
1．（2019·全國·高考真題）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【分析】本題首先應用誘導公式，將問題轉化成銳角三角函數的計算，進一步應用兩角和的正切公式計算求解．題目較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．
【詳解】詳解：=
【點睛】三角函數的誘導公式、兩角和與差的三角函數、特殊角的三角函數值、運算求解能力．
2．（重慶·高考真題）若,則
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：，故選A.
考點：兩角和與差的正切公式．
3．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將弦化切求得，再根據兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
4．（2020·全國·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用兩角和的正切公式，結合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【詳解】，，
令，則，整理得，解得，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.
5．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數的商數關系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設β=0則sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換
所以
即
故選：C.
1．（2024·山西呂梁·二模）已知角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角函數的定義可得，即可利用和差角公式求解，或者根據特殊角得，代入求解.
【詳解】方法一；由角終邊經過點，可得，所以.
故選：A.
方法二：角終邊經過點，故為第二象限角，，則，
則.
故選:A.
2．（2024·重慶·三模）已知，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用誘導公式得到，即可求出，再由兩角和的正切公式展開計算可得.
【詳解】因為，
所以，
即，
所以，則，解得.
故選：B
3．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【分析】先根據已知及同角三角函數的平方關系弦化切，再根據正切的和角公式計算即可.
【詳解】因為，
整理得，
所以，
又.
故選：B
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除，得到.再利用兩角差的正切公式展開，將換成，化簡即可得到答案.
【詳解】，所以，
兩邊同除，得到，即.
，.
故選：C.
5．（2024·貴州黔東南·二模）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找出和的關系，求出和即可求解.
【詳解】，
，
①，，，
②，由①②解得或，
，，
，.
故選：C.
考點四、拼湊角思想在三角恒等變換中求值
1．（2024·四川·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據，，求出，計算，再利用兩角差的正弦公式得到展開即可.
【詳解】因為，
所以，
又因為，
所以，
所以，
所以由兩角差的正弦公式得
，
所以.
故選：C.
2．（浙江·高考真題）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，則cos（α+）=（　?。?br/>A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】C
【詳解】∵0＜a＜，﹣＜β＜0，
∴＜+α＜，＜﹣＜
∴sin（+α）==，sin（﹣）==
∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=
故選C
3．（23-24高三下·浙江金華·階段練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知結合兩角差的余弦公式可先求出，然后結合二倍角公式及和差化積公式進行化簡即可求解．
【詳解】由得，
又，所以，
所以
．
故選：C．
4．（22-23高一下·江西景德鎮·期中）已知，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意到，后結合，，利用二倍角，兩角和的正弦公式可得答案.
【詳解】因，則，又，
則，得.
因，則.
又，則，結合，則，得，
則.
又注意到，
則
.
故選：B
1．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】借助對已知化簡，可求出的值，再由可解.
【詳解】因為，即，
所以，
整理得，變形得，
所以.
故選：C
2．（2024·山西·三模）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據結合的范圍分析可得，，再根據結合的范圍分析可得，由結合兩角和差公式分析求解.
【詳解】因為，則，且，
則，可得，，
又因為，則，且，
可得，，
所以
.
故選：D.
3．（2024·重慶·模擬預測）已知都是銳角，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，求得，再由的單調性，求得，利用兩角差的余弦公式，求得，結合余弦的倍角公式，即可求解.
【詳解】由與均為銳角，且，所以，
因為，可得，，
又因為在上單調遞減，且，所以，
因為，所以，
所以，
則.
故選：A.
考點五、拼湊角思想在三角恒等變換中求角
1．（23-24高三上·貴州銅仁·階段練習）已知，且和均為鈍角，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根據角度范圍求解，再求解，結合角度范圍判斷即可.
【詳解】∵和均為鈍角，
∴，．
∴．
由和均為鈍角，得，∴．
故選：D
2．（2024高三·全國·專題練習）已知,,且,,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出,再根據結合兩角和的正切公式求得,根據求出,從而可得的范圍,即可得出的范圍,即可得解.
【詳解】因為,
所以,
故,
由,所以,
又,
所以,
故,
所以.
故選：A.
3．（22-23高三·全國·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函數恒等變換進行湊角化簡，再根據，的范圍即可求出結果.
【詳解】由已知可將，，
則，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以選項A，B錯誤，
即，則，所以．則C錯，D對，
故選：D
1．（2023高三·全國·專題練習）已知，，且，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函數平方關系可求得，利用兩角和差余弦公式可求得，結合可得結果.
【詳解】，，，，
，
又，.
故選：B.
2．（22-23高三上·山東青島·期中）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的取值范圍，利用同角三角函數的基本關系以及兩角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【詳解】因為，則，因為，則，可得，
因為，則，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故選：A.
3．（2024·吉林長春·模擬預測）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】求出、的范圍，利用平方關系求出、，再由求出，結合的范圍可得答案.
【詳解】因為，所以，
所以，
因為，，所以，
所以，
又由知
又因為，所以.
故選：B.
考點六、正弦倍角公式的應用
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合倍角公式以及特殊角的三角函數值即可求出結果.
【詳解】，
故選：A.
2．（2024·河南·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對已知等式兩邊平方結合平方關系、二倍角公式以及誘導公式即可運算求解.
【詳解】.
故選：D.
3．（2024·四川自貢·三模）已知角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結合題意運用倍角公式和化正弦余弦為正切，即可求解.
【詳解】由得，即，
.
故選：D.
1．（2024·山東濟南·三模）若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由同角的三角函數和二倍角公式結合特殊角的三角函數計算可得.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
故選：B
2．（2024·山東·模擬預測）已知，則（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，利用，可求值.
【詳解】因為，所以，
所以．
故選：D.
考點七、余弦倍角公式的應用
1．（山東·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據余弦二倍角公式計算即可得到答案.
【詳解】.
故選：D
【點睛】本題主要考查余弦二倍角公式，屬于簡單題.
2．（2022·北京·高考真題）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
【答案】C
【分析】化簡得出，利用余弦型函數的單調性逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】因為.
對于A選項，當時，，則在上單調遞增，A錯；
對于B選項，當時，，則在上不單調，B錯；
對于C選項，當時，，則在上單調遞減，C對；
對于D選項，當時，，則在上不單調，D錯.
故選：C.
3．（2021·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：D.
4．（全國·高考真題）函數的最小正周期是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將函數利用平方差公式及二倍角公式化成最簡，在代入公式求周期．
【詳解】，∴函數的最小正周期.選B
【點睛】本題關鍵是把函數化成的形式，屬基礎題．
1．（2020·全國·高考真題）若，則 ．
【答案】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式進行運算求解即可.
【詳解】.
故答案為：.
【點睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應用，屬于基礎題.
2．（2024·北京順義·三模）已知函數，則（ ）
A．為偶函數且周期為 B．為奇函數且在上有最小值
C．為偶函數且在上單調遞減 D．為奇函數且為一個對稱中心
【答案】C
【分析】由二倍角公式得，再根據余弦函數性質判斷即可；
【詳解】解：因為，
所以，函數為偶函數且周期為，在上單調遞減.
所以，ABD選項錯誤，C選項正確.
故選：C
3．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
【答案】
【分析】先通過誘導公式變形，得到的同角等式關系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數方程，可求出，接下來再求．
【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
[方法二]：直接用同角三角函數關系式解方程
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則.
故答案為：；.
考點八、升冪公式與降冪公式的應用
1．（浙江寧波·期末）=
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用降次公式求得所求表達式的值.
【詳解】依題意.
故選：A
【點睛】本小題主要考查降次公式，屬于基礎題.
2．（2024·浙江·模擬預測）若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查同角三角函數的基本關系和二倍角余弦公式的應用.根據，，解得，結合二倍角余弦公式進行解答即可．
【詳解】因為可得，因為，
可得，解得或（舍去）
所以．
故答案為:．
3．（2024·浙江·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據誘導公式和二倍角公式化簡等式，在利用二倍角公式計算得到結果；
【詳解】∵
，
∴，
∴，
故選：A．
4．（2024·全國·模擬預測）已知為銳角，滿足，則 ， ．
【答案】 / /
【分析】由，利用兩角和與差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.
【詳解】因為，所以
，
又，所以，
因為為銳角，所以為銳角，
又，所以，
又，所以，
所以．
故答案為：；.
1．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由降冪公式求出，再結合誘導公式求解即可．
【詳解】由已知得，，即，
則，
故選：D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導公式和余弦二倍角公式即可求解.
【詳解】由得，即，
所以，
故選：D
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知，則 ．
【答案】
【分析】先將條件式化簡可得，再利用誘導公式和二倍角余弦公式將所求式子變形得解.
【詳解】由，得，
即，所以，
所以
.
故答案為：.
4．（2024·黑龍江·三模）已知，則 .
【答案】/
【分析】已知，由兩角和的余弦公式求得，再由兩角和的余弦公式求，倍角公式求.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故答案為：.
5．（2024·湖南長沙·二模）已知 ，則
【答案】/
【分析】由，結合兩角和的余弦公式化簡條件可求得，再利用二倍角的余弦公式求即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以
所以.
故答案為：
考點九、正切倍角公式的應用
1．（2024高三·全國·專題練習）若，則 ．
【答案】
【分析】利用誘導公式化簡已知，得，再利用二倍角公式求解.
【詳解】因為，則，
所以．
故答案為：
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則 .
【答案】
【分析】利用兩角和差的正切公式計算，再使用二倍角的正切公式即可.
【詳解】由，
且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案為：.
3．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，利用倍角公式，化簡得到，求得，再結合正切的倍角公式，即可求解.
【詳解】因為，可得，
因為，可得，所以，
即，可得，
即，所以，則，
即，解得或
因為，可得，所以.
故選：B.
1．（2024高三·全國·專題練習） ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式計算可得.
【詳解】.
故答案為：
2．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據結合可得與，進而可得.
【詳解】則，
即，
又因為，故，，，
故，因為，則，
結合可得，，則.
故.
故選：C
3．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．13
【答案】B
【分析】根據題意及二倍角公式、誘導公式、兩角差的正切公式、同角三角函數的基本關系即可求解．
【詳解】由，
則，
所以，
所以．
又因為，
則，，
所以，
則．
故選：B．
考點十、半角公式的應用
1．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因為，而為銳角，
解得：．
故選：D．
2．（2024·湖南邵陽·二模）已知為銳角，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平方關系以及半角公式（二倍角公式）運算即可求解.
【詳解】已知為銳角，若，則，
所以.
故選：A.
3．（2023·浙江·二模）數學里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數學證明更為優雅與有條理.如下圖，點為半圓上一點，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據直角三角形中的定義寫出，用表示出，然后分析可得．
【詳解】由已知，則，，
又，，，，
因此，
故選：C．
1．（2024·全國·模擬預測）已知角是第二象限角，且終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根據已知條件求出和的值，再利用求解即可.
【詳解】∵角是第二象限角，且終邊經過點，
∴，，
∴.
故選：C．
2．（2023·全國·模擬預測）已知是銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據倍角公式的變形求出，，再由兩角和的余弦公式求解.
【詳解】因為是銳角，所以，
因為，，
所以，，
所以．
故選：D．
3．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函數的基本關系與半角公式求解即可
【詳解】因為，，
所以，
因為，
所以，，
所以，
，
所以，
則，
故選：B.
考點十一、輔助角公式的應用
1．（2024·全國·高考真題）函數在上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】結合輔助角公式化簡成正弦型函數，再求給定區間最值即可.
【詳解】，當時，，
當時，即時，.
故答案為：2
2．（2020·北京·高考真題）若函數的最大值為2，則常數的一個取值為 ．
【答案】（均可）
【分析】根據兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.
【詳解】因為，
所以，解得，故可取.
故答案為：（均可）.
【點睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應用，以及平方關系的應用，考查學生的數學運算能力，屬于基礎題.
3．（全國·高考真題）設當時，函數取得最大值，則 .
【答案】；
【詳解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，當x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)時，函數f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.
4．（2024高三·湖北·二模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，，，則當取得最大值時， .
【答案】
【分析】由正弦定理可求出的外接圓半徑，借助于正弦定理進行邊化角運算可得，在中，，由兩角和的正弦公式展開代入的正余弦值計算，由輔助角公式即可求出結果.
【詳解】解：，，設外接圓半徑為．則，
得，
則
，
其中，，．
當．即時，取得最大值，
此時．所以.
故答案為：
1．（2024·湖北·二模）函數，當取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由輔助角公式、誘導公式直接運算即可求解.
【詳解】，
其中，
而，
等號成立當且僅當，此時.
故選：B.
2．（2024·四川南充·二模）已知函數．設時，取得最大值．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用輔助角公式求出，再利用誘導公式以及正弦的和差角公式可得答案.
【詳解】，其中；
所以當時，，取得最大值，
由題意，即.
.
故選：C
3．（2024·山東·模擬預測）若函數的最大值為，則常數的一個取值為 ．
【答案】（答案不唯一，滿足即可）
【分析】利用和（差）角公式化簡，再判斷，利用輔助角公式化簡，再結合函數的最大值，求出.
【詳解】因為
，
若，則，所以或，顯然不滿足的最大值為，
所以，
則，（其中），
依題意可得，
即，所以，
所以，解得.
故答案為：（答案不唯一，滿足即可）
4．（2024·河北保定·三模）已知銳角，（）滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用輔助角公式化簡已知函數，得到正弦型函數，再利用自變量的范圍得到函數是不單調的，所以自變量不相等但函數值相等的情形就是兩角互補，從而就可以通過運算得到結果.
【詳解】設，其中，，，
當時，，
此時在，有增有減，
又因為，且，所以，所以，
所以.
故選：D.
考點十二、萬能公式的綜合應用
1．（21-22高三上·四川成都·階段練習）已知為銳角且，則的值是 ．
【答案】/-0.6
【分析】由題意首先求得的值，然后利用誘導公式和二倍角公式求得三角函數式的值即可.
【詳解】由，
得，
解得，或.
因為為銳角，故.
故答案為: .
2．（2023·江蘇徐州·模擬預測）已知，則 ．
【答案】
【分析】由條件等式右邊含有，可聯想到中分離出來處理，設，待求表達式中用表示，結合萬能公式進行求解.
【詳解】設，于是，
整理可得，根據萬能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根據誘導公式，，
根據兩角和的正切公式，，
故.
故答案為：
1．（2022·四川眉山·模擬預測）若，，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】結合二倍角公式化簡可求，再結合萬能公式可求.
【詳解】因為，，所以且，
解得，所以.
故選：D
2．（2024高三·全國·專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等變換公式化簡求解即可.
【詳解】由可得，
得，則，
，
故．
故選：C.
考點十三、積化和差與和差化積公式的綜合應用
1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據和差化積公式化簡，得到，再利用正切二倍角公式求出答案.
【詳解】
由和差化積公式，得，
，所以．
所以．
故選：A．
2．（2024·安徽阜陽·一模）已知，則 ， .
【答案】
【分析】第一空，將已知條件兩邊同時平方兩式相加，結合同角三角函數基本關系與余弦函數的和差公式即可求解；第二空，利用三角函數的和差公式得到，再利用倍角公式化簡轉化即可得解.
【詳解】由可得，即，
由可得，即，
兩式相加可得，
即，解得；
因為，
，
所以，
所以．
故答案為：；.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是熟練掌握三角函數半角公式的轉化，從而得解.
3．（2024·廣東·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據條件，利用余弦的二倍角及積化和差公式，得到，從而得到，即可求出結果.
【詳解】因為，
得到，又，所以，
所以，
故選：B.
1．（2024·山東·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用兩角和的正弦公式求出，再根據結合兩角和差的余弦公式化簡即可得解.
【詳解】，
，
所以.
故選：D.
2．（2024·全國·模擬預測）已知角，，滿足，且，則()()()=（ ）
A．0 B．1
C． D．
【答案】A
【分析】結合誘導公式與和差化積公式進行求值.
【詳解】因為.
由和差化積公式得：
.
所以或或.
若，則；
同理，當或時，都有.
故選：A
考點十四、三角恒等變換的綜合應用
1．（23-24高二上·湖南長沙·期末）函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導數可求最大值，也可以利用萬能公式統一三角函數名，再利用換元法結合四元基本不等式求解即可.
【詳解】法一：不妨設，則，
整理得到: ,
當時，；當時，，
故在上為增函數，在為減函數，
而，，故的最大值為.
法二：由萬能公式得，，
代入原式并化簡得，
令，因為題設中欲求最大值，故可設,
故原式轉化為，
當且僅當時取等，顯然最大值為.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：本題考查求三角函數的最大值，解題關鍵是利用萬能公式統一三角函數名，然后再用四元基本不等式求解，本題也可以直接利用導數計算.
2．（2024·新疆·一模）已知: ，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等變換計算即可.
【詳解】由
，
則
.
故選：D
【點睛】思路點睛：利用等式條件及正弦的和差角公式及同角三角函數的商數關系得出，再根據特殊角及正弦的差角公式與誘導公式計算即可.
3．（2024·全國·模擬預測）已知角滿足：，其中，，，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用和差化積公式和二倍角公式求解即可.
【詳解】因為，
，
所以，又，
于是由可得，即，
所以或．
因為，所以，
所以，即，
所以，即，
所以，即.
故選：B．
4．（2024·遼寧丹東·一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先結合二倍角公式、半角公式以及角的范圍將已知等式變形為，解得，兩邊平方即可求解.
【詳解】因為，所以，所以，
所以
，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得出，由此即可順利得解.
1．（2024·安徽阜陽·一模）已知，則 ， .
【答案】
【分析】第一空，將已知條件兩邊同時平方兩式相加，結合同角三角函數基本關系與余弦函數的和差公式即可求解；第二空，利用三角函數的和差公式得到，再利用倍角公式化簡轉化即可得解.
【詳解】由可得，即，
由可得，即，
兩式相加可得，
即，解得；
因為，
，
所以，
所以．
故答案為：；.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是熟練掌握三角函數半角公式的轉化，從而得解.
2．（2024·重慶·三模）已知函數滿足.若是方程的兩根，則= .
【答案】0
【分析】法一：令，根據三角變換得，則，從而，利用韋達定理得，即可求得.
法二：利用韋達定理得，設，則可取，代入解析式利用誘導公式化簡求解即可.
【詳解】法一：令，則，
于是，則，即，
又是方程的兩根，所以，
故.
法二：是方程的兩根，所以，
設，則可取，
于是.
故答案為：0
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是利用巧妙的換元，結合誘導公式，或者二倍角公式，整體代入求解.
3．（2024·湖北荊州·三模）設，，，若滿足條件的與存在且唯一，則 ， .
【答案】 1
【分析】由得到，再結合，利用，得到，，從而，再由滿足條件的與存在且唯一，得到唯一，從而，求得m即可.
【詳解】解：由，得，即，
因為，，所以，，
又，所以，
從而，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，
因為滿足條件的與存在且唯一，所以唯一，
所以，所以，經檢驗符合題意，
所以，
則，
解得，
所以.
故答案為：，1
【點睛】關鍵點點睛：關鍵是結合已知得出，求出，由此即可順利得解.
4．（2024·四川成都·三模）若為銳角三角形，當取最小值時，記其最小值為，對應的，則 .
【答案】160
【分析】令，則，，代入中，通過構造，利用基本不等式和二次函數的性質求最小值和最小值成立的條件.
【詳解】為銳角三角形，
，，
令，則，，
令，
則
.
前兩個“”取“=”的條件是，在時，所有“”全部取“=”，
所以當且僅當時， 取最小值40，
即，所以.
故答案為：160.
【點睛】關鍵點點睛：令，構造成是關鍵，可利用基本不等式和二次函數性質求最小值，而且等號成立的條件相同.
1．（2024·上海·高考真題）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數關系并結合三角函數的性質一一判斷即可 .
【詳解】對A，，周期，故A正確；
對B，，周期，故B錯誤；
對于選項C，，是常值函數，不存在最小正周期，故C錯誤；
對于選項D，，周期，故D錯誤，
故選：A．
2．（2024·河北保定·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角基本關系式和二倍角公式求解.
【詳解】由，得，
即，解得或（舍），
所以.
故選：D.
3．（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦的二倍角公式求解．
【詳解】∵，∴，，
又，則，
所以，
故選：C．
4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得，進一步結合兩角和的正切公式即可得解.
【詳解】由題意，即，
即，所以.
故選：B.
5．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用切化弦可得，再由兩角和差公式先求，最后由同角基本關系式求解.
【詳解】因為，則，則，
所以，
而，則，
所以.
故選：C
6．（2024·陜西·模擬預測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到，化簡得到，齊次化代入求值.
【詳解】，即，
所以，
因為，所以，
所以
故，解得或（舍去），
故選：C
二、填空題
7．（2024·廣東深圳·模擬預測）計算： .
【答案】/
【詳解】由題意可得：
．
故答案為：．
8．（2024·上?！つM預測）已知，，則 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，利用二倍角的余弦公式計算即得.
【詳解】由，得，
由，得，則，
所以.
故答案為：
9．（2024·江蘇蘇州·三模）函數的值域是 .
【答案】
【分析】首先分析函數的周期，再分，求出函數的取值范圍，即可得到函數的值域.
【詳解】因為，
所以是以為周期的周期函數，
當時，
由，則，所以，則；
當時，
由，則，所以，則；
綜上可得的值域為.
故答案為：
10．（2024·湖南·模擬預測）已知，，則 .
【答案】/-0.125
【分析】根據兩角和的正切公式，即可求得答案.
【詳解】因為，，
故，
故答案為：
1．（2024·山東·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用兩角差的余弦公式處理條件，結合兩角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再結合誘導公式，可求.
【詳解】由，
所以，
所以.
故選：B
2．（2024·河北衡水·三模）已知，則m，n的關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和差角的正弦公式化簡，結合已知列出方程即可求解.
【詳解】依題意，，，
則，
即，即.
故選：D
3．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩角和差的余弦公式化簡，再根據結合兩角差的余弦公式化簡即可得解.
【詳解】由，
得，
故
所以
.
故選：C.
4．（2024·湖北襄陽·模擬預測）設，則“”是“，”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】先利用三角函數恒等變換公式對已知式化簡，然后根據充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】由，
得，所以，
所以，，所以，，
所以”是“，”的必要不充分條件，
故選：B
5．（2024·福建泉州·二模）若，且與存在且唯一，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】由，得，由，得，，則有，與存在且唯一，得，解得，即，再由，可求出，計算的值即可.
【詳解】，由，得，即，
所以，有，
所以，，
所以，
因為，所以，
因為滿足條件的與存在且唯一，所以唯一，
若，有兩解，其中一解中有鈍角，此情況不存在.
所以，解得，經檢驗符合題意，所以，
因為，所以，所以，
則，解得，
所以．
故選：B．
6．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出，再由同角三角函數的基本關系及兩角差的正弦公式求出，最后由兩角差的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
因為，
所以，
因為，
則．
故選：B．
7．（2024·山西呂梁·三模）設函數.若存在實數使得對任意恒成立，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】利用輔助角公式化簡函數，再利用差角的正弦公式變形等式，借助恒成立建立關系，并分析計算可得答案.
【詳解】函數
，
依題意，對任意的恒成立，
即對恒成立，
因此對恒成立，
于是，顯然，否則且，矛盾，
則，顯然，否則且，矛盾，
從而，解得，
所以.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開，借助恒等式建立方程組是解決本問題的關鍵.
8．（2024·重慶·模擬預測）（多選）在中，若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．
【答案】AC
【分析】根據三角函數的基本關系式，得到，可判定A正確；由，化簡得到，求得，可判定D不正確；結合兩角和與差的余弦公式，得到和，可判定B錯誤；結合誘導公式和正弦的倍角公式，可判定C正確.
【詳解】由，因為，可得，所以，所以A正確；
又由，可得，
則，可得，
整理得，
可得，所以，所以D不正確；
由，可得，可得，
當，可得；
當，可得，
所以或，所以B錯誤；
若，即，可得，
當且僅當時，即時，此時，顯然等號取不到；
若，即，可得，
當且僅當時，即時，此時，等號成立，
綜上可得，的最大值為，所以C正確.
故選：AC.
9．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知，，，則 ．
【答案】2
【分析】對角進行配湊，利用和差角的正弦公式，結合同角公式計算即得.
【詳解】由，得，
即，
整理得，由，得，
則，，于是，又，
所以.
故答案為：2
10．（2024·山東泰安·模擬預測）已知，則 .
【答案】
【分析】利用兩角和的余弦公式化簡，再將含的三角函數弦化切，通過變形即可求出.
【詳解】因為，
所以
，
得，
所以，
則
.
故答案為：.
1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根據切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據切線的性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.
【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設切線方程為，即，
則，整理得，且
設兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

2．（2021·北京·高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
【答案】D
【分析】由函數奇偶性的定義結合三角函數的性質可判斷奇偶性；利用二倍角公式結合二次函數的性質可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數為偶函數，
又，
所以當時，取最大值.
故選：D.
3．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數的最大值.
【詳解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選：C.
【點睛】思路分析：代數式的大小問題，可根據代數式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據三角變換的公式特征選擇放縮的方向.
4．（2020·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將所給的三角函數式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數式的值.
【詳解】由題意可得：，
則：，，
從而有：，
即.
故選：B.
【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.
5．（2020·全國·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用兩角和的正切公式，結合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【詳解】，，
令，則，整理得，解得，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.
6．（2020·浙江·高考真題）已知，則 ； ．
【答案】
【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據兩角差正切公式得
【詳解】，
，
故答案為：
【點睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
7．（2020·江蘇·高考真題）已知 =，則的值是 .
【答案】
【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結果.
【詳解】
故答案為：
【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
8．（2020·全國·高考真題）若，則 ．
【答案】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式進行運算求解即可.
【詳解】.
故答案為：.
【點睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應用，屬于基礎題.
9．（2019·全國·高考真題）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案．
【詳解】，．
，又，，又，，故選B．
【點睛】本題為三角函數中二倍角公式、同角三角函數基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數問題，研究角的范圍后得出三角函數值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺．
10．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是 .
【答案】.
【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數式的值即可.
【詳解】由，
得，
解得，或.
，
當時，上式
當時，上式=
綜上，
【點睛】本題考查三角函數的化簡求值，滲透了邏輯推理和數學運算素養.采取轉化法，利用分類討論和轉化與化歸思想解題.
11．（2019·北京·高考真題）函數f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
【答案】.
【分析】將所給的函數利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.
【詳解】函數,周期為
【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數公式 三角函數的最小正周期公式，屬于基礎題.
12．（2019·全國·高考真題）函數的最小值為 ．
【答案】.
【分析】本題首先應用誘導公式，轉化得到二倍角的余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關于的二次函數，從而得解.
【詳解】，
，當時，，
故函數的最小值為．
【點睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視的限制，而簡單應用二次函數的性質，出現運算錯誤．
13．（2018·全國·高考真題）已知，則 ．
【答案】
【分析】方法一：利用兩角差的正切公式展開，解方程可得.
【詳解】［方法一］：直接使用兩角差的正切公式展開
因為，所以，解之得．
故答案為：．
［方法二］：整體思想＋兩角和的正切公式
．
故答案為：．
［方法三］：換元法＋兩角和的正切公式
令，則，且．
．
故答案為：．
【整體點評】方法一：直接利用兩角差的正切公式展開，解方程，思路直接；
方法二：利用整體思想利用兩角和的正切公式求出；
方法三：通過換元法結合兩角和的正切公式求出，是給值求值問題的常用解決方式．
14．（2018·全國·高考真題）已知，，則 ．
【答案】
【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．
【詳解】［方法一］：【最優解】
兩式兩邊平方相加得，．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，兩式兩邊平方相加得，則．
又或，所以．
［方法三］： 誘導公式＋二倍角公式
由，可得，則或．
若，代入得，即．
若，代入得，與題設矛盾．
綜上所述，．
［方法四］：平方關系＋誘導公式
由，得．
又，，即，則．從而．
［方法五］：和差化積公式的應用
由已知得
，則或．
若，則，即．
當k為偶數時，，由，得，又，所以．
當k為奇數時，，得，這與已知矛盾．
若，則．則，得，這與已知矛盾．
綜上所述，．
【整體點評】方法一：結合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優解；
方法二：通過平方關系利用方程思想直接求出四個三角函數值，進而解出；
方法三：利用誘導公式尋求角度之間的關系，從而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關系的方式不同；
方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關系，再一一驗證即可解出，該法稍顯麻煩．
15．（2018·全國·高考真題）若，則
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】分析：由公式可得結果.
詳解：
故選B.
點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎題.
16．（2018·全國·高考真題）函數的最小正周期為
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】分析:將函數進行化簡即可
詳解：由已知得
的最小正周期
故選C.
點睛：本題主要考查三角函數的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題
17．（2018·全國·高考真題）已知函數，則
A．的最小正周期為，最大值為
B．的最小正周期為，最大值為
C．的最小正周期為，最大值為
D．的最小正周期為，最大值為
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應用余弦型函數的性質得到相關的量，從而得到正確選項.
【詳解】根據題意有，
所以函數的最小正周期為，
且最大值為，故選B.
【點睛】該題考查的是有關化簡三角函數解析式，并且通過余弦型函數的相關性質得到函數的性質，在解題的過程中，要注意應用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結果.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 三角恒等變換
（和差公式、倍角公式、升降冪公式、輔助角公式）
（14類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
5年考情
考題示例 考點分析 關聯考點
2024年新I卷，第4題,5分 用和、差角的余弦公式化簡、求值 三角函數的化簡、求值 同角三角函數基本關系
2024年新I卷，第13題,5分 用和、差角的正切公式化簡、求值 同角三角函數基本關系
2023年新I卷，第8題,5分 用和、差角的正弦公式化簡、求值 二倍角的余弦公式 三角函數求值
2023年新Ⅱ卷，第7題,5分 半角公式、二倍角的余弦公式 無
2023年新Ⅱ卷，第16題,5分 由圖象確定正(余)弦型函數解析式 特殊角的三角函數值
2022年新Ⅱ卷，第6題,5分 用和、差角的余弦公式化簡、求值 用和、差角的正弦公式化簡、求值 無
2021年新I卷，第6題,5分 二倍角的正弦公式 正、余弦齊次式的計算 三角函數求值
2021年新I卷，第10題,5分 逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式 數量積的坐標表示 坐標計算向量的模
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較中等或偏難，分值為5-11分
【備考策略】1.推導兩角差余弦公式，理解兩角差余弦公式的意義
2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
3.能推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運用公式解決相關的求值與化簡問題
【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般會考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應用和半角公式變形應用，需加強復習備考
知識講解
正弦的和差公式
余弦的和差公式
正切的和差公式
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升冪公式：
，
降冪公式：
，
正切的倍角公式
半角公式
(1)sin ＝± .
(2)cos＝± .
(3)tan＝± ＝＝.
以上稱之為半角公式，符號由所在象限決定．
萬能公式
和差化積與積化和差公式
推導公式
輔助角公式
，，其中，
考點一、正弦兩角和與差的基本應用
1．（福建·高考真題）等于（?。?br/>A．0 B． C．1 D．
2．（全國·高考真題）=
A． B．
C． D．
3．（2020·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
1．（2024高三·全國·專題練習） ．
2．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）化簡： ．
4．（2024·河南·三模）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·云南·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
考點二、余弦兩角和與差的基本應用
1．（高考真題）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
1．（2024·山東棗莊·模擬預測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜賓·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
考點三、正切兩角和與差的基本應用
1．（2019·全國·高考真題）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
2．（重慶·高考真題）若,則
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全國·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
5．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·山西呂梁·二模）已知角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重慶·三模）已知，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（ ）
A． B．7 C． D．
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·貴州黔東南·二模）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
考點四、拼湊角思想在三角恒等變換中求值
1．（2024·四川·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（浙江·高考真題）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，則cos（α+）=（　?。?br/>A． B．﹣ C． D．﹣
3．（23-24高三下·浙江金華·階段練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高一下·江西景德鎮·期中）已知，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·山西·三模）若，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶·模擬預測）已知都是銳角，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
考點五、拼湊角思想在三角恒等變換中求角
1．（23-24高三上·貴州銅仁·階段練習）已知，且和均為鈍角，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知,,且,,則（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·全國·期末）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023高三·全國·專題練習）已知，，且，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·山東青島·期中）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·吉林長春·模擬預測）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．或
考點六、正弦倍角公式的應用
1．（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川自貢·三模）已知角滿足，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山東濟南·三模）若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2024·山東·模擬預測）已知，則（ ）
A．4 B．2 C． D．
考點七、余弦倍角公式的應用
1．（山東·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真題）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
3．（2021·全國·高考真題）（ ）
A． B． C． D．
4．（全國·高考真題）函數的最小正周期是
A． B． C． D．
1．（2020·全國·高考真題）若，則 ．
2．（2024·北京順義·三模）已知函數，則（ ）
A．為偶函數且周期為 B．為奇函數且在上有最小值
C．為偶函數且在上單調遞減 D．為奇函數且為一個對稱中心
3．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
考點八、升冪公式與降冪公式的應用
1．（浙江寧波·期末）=
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模擬預測）若，則 ．
3．（2024·浙江·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知為銳角，滿足，則 ， ．
1．（2024·浙江紹興·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知，則 ．
4．（2024·黑龍江·三模）已知，則 .
5．（2024·湖南長沙·二模）已知 ，則
考點九、正切倍角公式的應用
1．（2024高三·全國·專題練習）若，則 ．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則 .
3．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024高三·全國·專題練習） ．
2．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．13
考點十、半角公式的應用
1．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·湖南邵陽·二模）已知為銳角，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·二模）數學里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數學證明更為優雅與有條理.如下圖，點為半圓上一點，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數公式是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·全國·模擬預測）已知角是第二象限角，且終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023·全國·模擬預測）已知是銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
3．若，，則（ ）
A． B． C． D．
考點十一、輔助角公式的應用
1．（2024·全國·高考真題）函數在上的最大值是 ．
2．（2020·北京·高考真題）若函數的最大值為2，則常數的一個取值為 ．
3．（全國·高考真題）設當時，函數取得最大值，則 .
4．（2024高三·湖北·二模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，，，則當取得最大值時， .
1．（2024·湖北·二模）函數，當取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·二模）已知函數．設時，取得最大值．則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東·模擬預測）若函數的最大值為，則常數的一個取值為 ．
4．（2024·河北保定·三模）已知銳角，（）滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
考點十二、萬能公式的綜合應用
1．（21-22高三上·四川成都·階段練習）已知為銳角且，則的值是 ．
2．（2023·江蘇徐州·模擬預測）已知，則 ．
1．（2022·四川眉山·模擬預測）若，，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
考點十三、積化和差與和差化積公式的綜合應用
1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽阜陽·一模）已知，則 ， .
3．（2024·廣東·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山東·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知角，，滿足，且，則()()()=（ ）
A．0 B．1
C． D．
考點十四、三角恒等變換的綜合應用
1．（23-24高二上·湖南長沙·期末）函數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新疆·一模）已知: ，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）已知角滿足：，其中，，，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024·遼寧丹東·一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·安徽阜陽·一模）已知，則 ， .
2．（2024·重慶·三模）已知函數滿足.若是方程的兩根，則= .
3．（2024·湖北荊州·三模）設，，，若滿足條件的與存在且唯一，則 ， .
4．（2024·四川成都·三模）若為銳角三角形，當取最小值時，記其最小值為，對應的，則 .
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北保定·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江蘇揚州·模擬預測）若，且，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西·模擬預測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2024·廣東深圳·模擬預測）計算： .
8．（2024·上?！つM預測）已知，，則 ．
9．（2024·江蘇蘇州·三模）函數的值域是 .
10．（2024·湖南·模擬預測）已知，，則 .
1．（2024·山東·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北衡水·三模）已知，則m，n的關系為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北襄陽·模擬預測）設，則“”是“，”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．（2024·福建泉州·二模）若，且與存在且唯一，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西呂梁·三模）設函數.若存在實數使得對任意恒成立，則（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．（2024·重慶·模擬預測）（多選）在中，若，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．
9．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知，，，則 ．
10．（2024·山東泰安·模擬預測）已知，則 .
1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2021·北京·高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
3．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2020·全國·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全國·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
6．（2020·浙江·高考真題）已知，則 ； ．
7．（2020·江蘇·高考真題）已知 =，則的值是 .
8．（2020·全國·高考真題）若，則 ．
9．（2019·全國·高考真題）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=
A． B．
C． D．
10．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是 .
11．（2019·北京·高考真題）函數f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
12．（2019·全國·高考真題）函數的最小值為 ．
13．（2018·全國·高考真題）已知，則 ．
14．（2018·全國·高考真題）已知，，則 ．
15．（2018·全國·高考真題）若，則
A． B． C． D．
16．（2018·全國·高考真題）函數的最小正周期為
A． B． C． D．
17．（2018·全國·高考真題）已知函數，則
A．的最小正周期為，最大值為
B．的最小正周期為，最大值為
C．的最小正周期為，最大值為
D．的最小正周期為，最大值為
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