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專題2.4 指數與指數函數【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 指數冪的運算】 2
【題型2 指數方程與指數不等式】 2
【題型3 指數函數的圖象與性質】 2
【題型4 利用指數函數的單調性比較大小】 3
【題型5 利用指數函數的單調性解不等式】 3
【題型6 指數函數的綜合問題】 4
1、指數與指數函數
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解根式的概念及性質，了解分數指數冪的含義，掌握指數冪的運算性質 (2)熟練掌握指數函數的圖象與性質 2022年全國甲卷（文數）：第12題，5分 2023年新課標I卷：第4題，5分 2024年天津卷：第2題，5分、第5題，5分 指數函數是常見的重要函數，指數與指數函數是高考常考的熱點內容，從近幾年的高考形勢來看，指數函數的考查，主要以基本函數的性質為依托，結合指、對數運算性質，運用冪函數與指、對數函數的圖象與性質解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.
【知識點1 指數運算的解題策略】
1．指數冪運算的一般原則
(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.
(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.
(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.
【知識點2 指數函數的常見問題及解題思路】
1．比較指數式的大小
比較指數式的大小的方法是：(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大小；
(2)不能化成同底數的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
2．指數方程(不等式)的求解思路
指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化.
3．指數型函數的解題策略
涉及指數型函數的綜合問題，首先要掌握指數函數相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.
【題型1 指數冪的運算】
【例1】（23-24高一上·陜西咸陽·期末）化簡的結果為（ ）
A．5 B． C． D．
【變式1-1】（23-24高一上·陜西漢中·期末）下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）已知，則等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【變式1-3】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）計算（ ）
A． B． C． D．
【題型2 指數方程與指數不等式】
【例2】（23-24高一上·北京順義·期中）關于的方程的解為 ．
【變式2-1】（2024高一·江蘇·專題練習）不等式的解集為 ．
【變式2-2】（2024高一·江蘇·專題練習）不等式的解集是 ．
【變式2-3】（23-24高三上·遼寧·階段練習）已知和是方程的兩根，則 .
【題型3 指數函數的圖象與性質】
【例3】（2024·寧夏銀川·三模）已知函數，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數單調遞增 B．函數值域為
C．函數的圖象關于對稱 D．函數的圖象關于對稱
【變式3-1】（2024·江西·模擬預測）函數的一個單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【變式3-3】（2024·遼寧·一模）若函數在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 利用指數函數的單調性比較大小】
【例4】（2024·云南·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·四川·模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·上海閔行·一模）已知a，，，則下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·全國·二模）設實數，滿足，，則，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法比較
【題型5 利用指數函數的單調性解不等式】
【例5】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知，且在區間恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則使得成立的正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·江蘇宿遷·一模）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 指數函數的綜合問題】
【例6】（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知函數是定義在上的偶函數，當時，，且．
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍．
【變式6-1】（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知函數．
(1)當時，不等式總成立，求a的取值范圍；
(2)試求函數（）在的最大值．
【變式6-2】（2024高二下·浙江·學業考試）設函數.
(1)判斷函數在區間和上的單調性（不需要證明過程）；
(2)若函數在其定義域內為奇函數，求與的關系式；
(3)在（2）的條件下，當時，不等式在恒成立，求的取值范圍.
【變式6-3】（23-24高一上·廣東廣州·期末）定義在上的奇函數，當時，，其中，且，其中是自然對數的底，．
(1)求的值；
(2)當時，求函數的解析式；
(3)若存在，滿足，求的取值范圍．
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知且，下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山東·模擬預測）若， 則的值為（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
4．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
5．（2023·四川攀枝花·模擬預測）已知奇函數在上的最大值為，則（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
6．（2023·吉林·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖北武漢·二模）閱讀下段文字：“已知為無理數，若為有理數，則存在無理數，使得為有理數；若為無理數，則取無理數，，此時為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（ ）
A．是有理數 B．是無理數
C．存在無理數a，b，使得為有理數 D．對任意無理數a，b，都有為無理數
8．（2023·全國·模擬預測）已知函數的圖象關于直線對稱，且函數的最小值為1，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多選題
9．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數單調遞增
B．函數值域為
C．函數的圖象關于對稱
D．函數的圖象關于對稱
11．（2024·湖南·模擬預測）已知函數是定義域為的偶函數，是定義域為的奇函數，且.函數在上的最小值為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．在實數集單調遞減
C． D．或
三、填空題
12．（2024·上海寶山·二模）將（其中）化為有理數指數冪的形式為 .
13．（2024·上海·三模）設，若在區間上，關于x的不等式有意義且能恒成立，則t的取值范圍為 ．
14．（2023·四川成都·模擬預測）設是定義在上的偶函數，且當時，，則不等式的解集為 .
四、解答題
15．（2023·山東·模擬預測）計算：
(1)；
(2)
16．（2024·山東濟寧·模擬預測）（1）計算：；
（2）已知，求的值.
17．（2024·上海黃浦·二模）設，函數.
(1)求的值，使得為奇函數；
(2)若，求滿足的實數的取值范圍.
18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函數（為常數，且，）．
(1)當時，若對任意的，都有成立，求實數的取值范圍；
(2)當為偶函數時，若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍．
19．（2024·河南平頂山·模擬預測）已知函數且）為定義在R上的奇函數
(1)利用單調性的定義證明：函數在R上單調遞增；
(2)若關于x的不等式恒成立，求實數m的取值范圍；
(3)若函數有且僅有兩個零點，求實數k的取值范圍．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題2.4 指數與指數函數【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 指數冪的運算】 2
【題型2 指數方程與指數不等式】 3
【題型3 指數函數的圖象與性質】 4
【題型4 利用指數函數的單調性比較大小】 6
【題型5 利用指數函數的單調性解不等式】 7
【題型6 指數函數的綜合問題】 9
1、指數與指數函數
考點要求 真題統計 考情分析
(1)了解根式的概念及性質，了解分數指數冪的含義，掌握指數冪的運算性質 (2)熟練掌握指數函數的圖象與性質 2022年全國甲卷（文數）：第12題，5分 2023年新課標I卷：第4題，5分 2024年天津卷：第2題，5分、第5題，5分 指數函數是常見的重要函數，指數與指數函數是高考常考的熱點內容，從近幾年的高考形勢來看，指數函數的考查，主要以基本函數的性質為依托，結合指、對數運算性質，運用冪函數與指、對數函數的圖象與性質解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.
【知識點1 指數運算的解題策略】
1．指數冪運算的一般原則
(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.
(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.
(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.
【知識點2 指數函數的常見問題及解題思路】
1．比較指數式的大小
比較指數式的大小的方法是：(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大小；
(2)不能化成同底數的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.
2．指數方程(不等式)的求解思路
指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化.
3．指數型函數的解題策略
涉及指數型函數的綜合問題，首先要掌握指數函數相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.
【題型1 指數冪的運算】
【例1】（23-24高一上·陜西咸陽·期末）化簡的結果為（ ）
A．5 B． C． D．
【解題思路】根據指數冪的運算性質進行求解即可.
【解答過程】，
故選：A.
【變式1-1】（23-24高一上·陜西漢中·期末）下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據指數冪的計算公式及根式與分數指數冪的互化計算即可.
【解答過程】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：C.
【變式1-2】（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）已知，則等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解題思路】
給平方后再開方求解即可.
【解答過程】，所以.
故選：A.
【變式1-3】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）計算（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用指數運算及根式運算計算即得.
【解答過程】.
故選：C.
【題型2 指數方程與指數不等式】
【例2】（23-24高一上·北京順義·期中）關于的方程的解為 ．
【解題思路】由可得出，結合可求得的值.
【解答過程】由可得，即，
因為，可得，故.
所以，方程關于的方程的解為.
故答案為：.
【變式2-1】（2024高一·江蘇·專題練習）不等式的解集為 ．
【解題思路】利用指數冪的運算法則，結合指數函數的單調性將原不等式化為求解即可.
【解答過程】原不等式可化為
因為函數單調遞減，
∴，解得．
∴不等式的解集是．
故答案為：.
【變式2-2】（2024高一·江蘇·專題練習）不等式的解集是 ．
【解題思路】利用指數冪的運算法則，結合指數函數的單調性將原不等式化為求解即可.
【解答過程】由，得，
因為函數單調遞增，
∴，即，解得．
∴不等式的解集是．
故答案為：.
【變式2-3】（23-24高三上·遼寧·階段練習）已知和是方程的兩根，則 .
【解題思路】由題知，，進而得，再結合求解即可.
【解答過程】解：方程可化為，由韋達定理得，，
所以，得.
又，
所以.
故答案為：.
【題型3 指數函數的圖象與性質】
【例3】（2024·寧夏銀川·三模）已知函數，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數單調遞增 B．函數值域為
C．函數的圖象關于對稱 D．函數的圖象關于對稱
【解題思路】分離常數，再根據復合函數單調性的判斷方法，即可判斷A；根據函數形式的變形，根據指數函數的值域，求解函數的值域，即可判斷B；根據對稱性的定義，與的關系，即可判斷CD.
【解答過程】，
函數，，則，
又內層函數在上單調遞增，外層函數在上單調遞增，
所以根據復合函數單調性的法則可知，函數單調遞增，故A正確；
因為，所以，則，
所以函數的值域為，故B正確；
，，
所以函數關于點對稱，故C錯誤，D正確.
故選：C.
【變式3-1】（2024·江西·模擬預測）函數的一個單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用指數型復合函數的單調性即可得出答案.
【解答過程】令，則，
由復合函數的單調性可知：
的單調遞減區間為函數的單調遞減區間，
又函數，
即函數為偶函數，
結合圖象，如圖所示，
可知函數的單調遞減區間為和，
即的單調遞減區間為和．
故選：C．
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解題思路】利用函數中心對稱的性質，代入化簡解方程即可求得.
【解答過程】由對稱中心性質可知函數滿足，
即，
整理可得，即，
解得.
故選：C.
【變式3-3】（2024·遼寧·一模）若函數在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用“同增異減”判斷復合函數的單調性，從而求參數的取值范圍.
【解答過程】設，，則在上單調遞增.
因為在區間內單調遞減，所以函數在區間內單調遞減，
結合二次函數的圖象和性質，可得：，解得4.
故選：A.
【題型4 利用指數函數的單調性比較大小】
【例4】（2024·云南·二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據中間數比較與，根據中間數比較與.
【解答過程】因為，，
所以，因為，，
所以，所以.
故選：D.
【變式4-1】（2024·四川·模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據指數函數、冪函數的單調性，結合與特殊值1的比較，即可得到答案.
【解答過程】因為指數函數是單調減函數，所以，
又由冪函數在上單調增函數，所以，
又因為指數函數是單調增函數，所以，
綜上可得：，
故選：D.
【變式4-2】（2023·上海閔行·一模）已知a，，，則下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】
根據不等式性質可判斷A，B；舉反例可判斷C；根據指數函數的單調性判斷D.
【解答過程】對于A，B，a，，，則,一定成立；
對于C，取，滿足，則，
當時，，故C中不等式不一定成立；
對于D，由，由于在R上單調遞增，則成立，
故選：C.
【變式4-3】（2024·全國·二模）設實數，滿足，，則，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法比較
【解題思路】先假設，再推理導出矛盾結果或成立的結果即可得解.
【解答過程】假設，則，，
由得，
因函數在上單調遞減，又，則，所以；
由得，
因函數在上單調遞減，又，則，所以；
即有與假設矛盾，所以，
故選：C.
【題型5 利用指數函數的單調性解不等式】
【例5】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設，即可判斷為奇函數，又，可得圖象的對稱中心為，則，再判斷的單調性，不等式，即，結合單調性轉化為自變量的不等式，解得即可.
【解答過程】設，，則，所以為奇函數．
又，
則的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到的，
所以圖象的對稱中心為，所以．
因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，則在上單調遞增，
因為，
所以，所以，解得，
故滿足的的取值范圍為．
故選：B.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知，且在區間恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】在區間恒成立，只需要即可，再根據指數函數的單調性求出最大值即可得解.
【解答過程】由解析式易知：單調遞增，
當時，恒成立，則，得．
故選：B．
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則使得成立的正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據奇偶性定義判斷出為偶函數，再根據上的單調性得到參數的取值范圍.
【解答過程】由題意可知的定義域為，且，所以為偶函數．
當時，函數，單調遞減．
若成立，則，解得或．
又，所以正實數的取值范圍是．
故選：A．
【變式5-3】（2024·江蘇宿遷·一模）已知函數，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】解法一：判斷函數的單調性，再利用單調性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【解答過程】解法一：函數的定義域為R，函數分別是R上的增函數和減函數，
因此函數是R上的增函數，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故選：A.
解法二：特值當時，，排除B，D，當時，，排除C，
對A：當時，，因為函數是R上的增函數，所以，故A成立.
故選A．
【題型6 指數函數的綜合問題】
【例6】（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知函數是定義在上的偶函數，當時，，且．
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍．
【解題思路】（1）由，求得，再結合函數的奇偶性，求得時，，進而求得函數的解析式；
（2）由（1），把在上恒成立，轉化為，結合基本不等式，即可求解.
【解答過程】（1）解：因為是偶函數，所以，解得，
當時，可得，可得，
所以函數的解析式為.
（2）解：由（1）知，當時，，
因為在上恒成立，
即，
又因為，
當且僅當時，即時等號成立，
所以，即的取值范圍是．
【變式6-1】（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知函數．
(1)當時，不等式總成立，求a的取值范圍；
(2)試求函數（）在的最大值．
【解題思路】（1）根據函數單調性得到，恒成立，結合函數開口方向，得到不等式組，求出答案；
（2）換元后得到，，分，，和分類討論，得到函數最大值，求出.
【解答過程】（1）函數在定義域R上單調遞增，
不等式，
依題意，，恒成立，
由于開口向上，故只需，無解，
所以的取值集合是．
（2）函數，，
令，，，
當時，函數在上單調遞增，；
當時，，，
當，即時，開口向上，函數在上單調遞增，
所以；
當即時，開口向下，；
當即時，開口向下，函數在上單調遞增，
．
綜上.
【變式6-2】（2024高二下·浙江·學業考試）設函數.
(1)判斷函數在區間和上的單調性（不需要證明過程）；
(2)若函數在其定義域內為奇函數，求與的關系式；
(3)在（2）的條件下，當時，不等式在恒成立，求的取值范圍.
【解題思路】（1）根據復合函數單調性即可判斷出結論；
（2）利用奇函數定義可求得，經驗證滿足題意；
（3）將不等式轉化成在恒成立，再利用基本不等式即可得出.
【解答過程】（1）由指數函數單調性可知單調遞增，
對分類討論如下：
①當時，為常函數；
②當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞減
③當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞增
（2）易知函數的定義域為，
是奇函數，，
即，
所以，
經驗證時，滿足，
所以與的關系式為.
（3）由已知得，
整理可得：在恒成立，
由基本不等式可得，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以.
【變式6-3】（23-24高一上·廣東廣州·期末）定義在上的奇函數，當時，，其中，且，其中是自然對數的底，．
(1)求的值；
(2)當時，求函數的解析式；
(3)若存在，滿足，求的取值范圍．
【解題思路】（1）根據奇函數的定義即可求得的值；
（2）根據奇函數的定義求解析式；
（3）由函數解析式，根據x的范圍分類討論，分別得出的關系，把化為的函數，從而得其范圍.
【解答過程】（1）∵，是奇函數，
∴，則；
（2）當時，，，又是奇函數，則，
當時，，，又是奇函數，則，
因為是定義在R上的奇函數，則，
故；
（3）若，則由，有，且，從而有，
若，則由，有，而，所以等式不成立；
若，則由，有，即，且，從而有，
綜上：的取值范圍為.
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）（ ）
A． B． C． D．3
【解題思路】利用指數冪的運算性質化簡計算即可.
【解答過程】．
故選：A．
2．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知且，下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】ABC選，利用指數冪的運算法則判斷，D選項，由分數指數冪的定義得到D正確.
【解答過程】A選項，且，故，A錯誤；
B選項，且，故，B錯誤；
C選項，，C錯誤；
D選項，且，故，D正確.
故選：D.
3．（2023·山東·模擬預測）若， 則的值為（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【解題思路】利用完全平方公式結合指數冪的運算性質計算即可.
【解答過程】解：因為，
所以.
故選：D．
4．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的單調性排除D，從而判斷選項.
【解答過程】對于B，當時，，，，則，不滿足圖象，故B錯誤;
對于C，，定義域為，而，關于軸對稱，故C錯誤;
對于D,當時，，由反比例函數的性質可知在單調遞減，故D錯誤;
利用排除法可以得到，在滿足題意，A正確.
故選：A.
5．（2023·四川攀枝花·模擬預測）已知奇函數在上的最大值為，則（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
【解題思路】根據奇偶性求得，分類討論函數的單調性得出最大值，根據已知條件列方程求解即可．
【解答過程】因為是奇函數，所以，所以．
即，則，解得，
經檢驗符合題意，所以，
當時，，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，
所以， ，整理得，
解得或(舍去)，所以；
當時，，
則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在上單調遞減，
所以，，整理得，
解得或(舍去)，所以，
綜上，或3．
故選：A．
6．（2023·吉林·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據指對冪函數的單調性以及中間值進行比較即可.
【解答過程】由單調遞減可知：，即；
由單調遞增可知：，即
所以.
故選：D.
7．（2023·湖北武漢·二模）閱讀下段文字：“已知為無理數，若為有理數，則存在無理數，使得為有理數；若為無理數，則取無理數，，此時為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（ ）
A．是有理數 B．是無理數
C．存在無理數a，b，使得為有理數 D．對任意無理數a，b，都有為無理數
【解題思路】根據給定的條件，提取文字信息即可判斷作答.
【解答過程】這段文字中，沒有證明是有理數條件，也沒有證明是無理數的條件，AB錯誤；
這段文字的兩句話中，都說明了結論“存在無理數a，b，使得為有理數”，因此這段文字可以證明此結論，C正確；
這段文字中只提及存在無理數a，b，不涉及對任意無理數a，b，都成立的問題，D錯誤.
故選：C.
8．（2023·全國·模擬預測）已知函數的圖象關于直線對稱，且函數的最小值為1，則不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
【解題思路】先通過求出的關系，再根據函數的最小值為1可求出，代入，直接解不等即可.
【解答過程】因為函數的圖象關于直線對稱，
所以，即恒成立，
即 恒成立，
即恒成立，
所以，即，
所以，
又因為函數有最小值為1，
所以且，即，
所以，即，
所以，所以不等式，
即，即，
解得或，
故選：D．
二、多選題
9．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據指數冪的運算性質逐項分析可得答案.
【解答過程】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，當時，，，
所以，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：BD.
10．（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．函數單調遞增
B．函數值域為
C．函數的圖象關于對稱
D．函數的圖象關于對稱
【解題思路】根據復合函數單調性的判斷方法，即可判斷A，根據函數形式的變形，根據指數函數的值域，求解函數的值域，即可判斷B，根據對稱性的定義，與的關系，即可判斷CD.
【解答過程】，
函數，，則，
又內層函數在上單調遞增，外層函數在上單調遞增，
所以根據復合函數單調性的法則可知，函數單調遞增，故A正確；
因為，所以，則，所以函數的值域為，故B正確；
，，所以函數關于點對稱，故C錯誤，D正確.
故選：ABD.
11．（2024·湖南·模擬預測）已知函數是定義域為的偶函數，是定義域為的奇函數，且.函數在上的最小值為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．在實數集單調遞減
C． D．或
【解題思路】
根據函數的奇偶性可得出關于的方程組，即可得的解析式，從而得選項A；結合函數的單調性，可判斷選項B；根據的解析式，求出的解析式，利用換元法，將所求函數轉化為二次函數的最值問題，結合二次函數的對稱軸和二次函數的定義域，即可求出其最小值，從而解得，即可判斷選項C與選項D.
【解答過程】A，因為為偶函數，所以，又為奇函數，所以，
因為①，所以，即②，
由得：，，所以選項A正確；
B，因為函數在上均為增函數，
故在上單調遞增，所以選項錯誤；
C、D，因為，
所以，
又，當，即時等號成立，，
設，對稱軸，
當時，函數在上為減函數，在上為增函數，
則，解得或（舍）；
當時，在上單調遞增，，解得：，不符合題意.
綜上，所以選項C正確，錯誤.
故選：.
三、填空題
12．（2024·上海寶山·二模）將（其中）化為有理數指數冪的形式為 .
【解題思路】直接利用根式與分數指數冪的運算法則化簡求解即可
【解答過程】
故答案為：.
13．（2024·上海·三模）設，若在區間上，關于x的不等式有意義且能恒成立，則t的取值范圍為 ．
【解題思路】根據在上恒成立，故，分時，滿足要求，當時，變形為在上恒成立，構造，，根據函數單調性得到，從而得到，得到答案.
【解答過程】由題意得在上有意義，故在上恒成立，
故，
當時，，而，滿足，符合題意，
當時，，在上恒成立，
令，，
其中在上單調遞減，
故，
故，
綜上，t的取值范圍是，
故答案為：.
14．（2023·四川成都·模擬預測）設是定義在上的偶函數，且當時，，則不等式的解集為 .
【解題思路】根據偶函數的性質求出函數在時的解析式，即可得到，則不等式，即，再根據指數函數的性質得到，解得即可.
【解答過程】因為是定義在上的偶函數，且當時，，
設，則，所以，又，所以 ，
所以，則，
所以不等式，即，即，即，
即，解得，
即不等式的解集為.
故答案為：.
四、解答題
15．（2023·山東·模擬預測）計算：
(1)；
(2)
【解題思路】（1）利用根式與指數冪運算法則計算即可得出結果；
（2）由根式與分數指數冪的互化，計算化簡即可得出答案.
【解答過程】（1）原式
（2）由根式與分數指數冪互化運算可得，
.
16．（2024·山東濟寧·模擬預測）（1）計算：；
（2）已知，求的值.
【解題思路】（1）利用指數的運算法則計算即可.
（2）根據完全平方式計算即可求出.
【解答過程】解：
（1）
；
（2），所以
.
17．（2024·上海黃浦·二模）設，函數.
(1)求的值，使得為奇函數；
(2)若，求滿足的實數的取值范圍.
【解題思路】（1）由奇函數的性質可得，代入解方程即可得出答案；
（2）由，可得，則，由指數函數的單調性解不等式即可得出答案.
【解答過程】（1）由為奇函數，可知，
即，解得，
當時，對一切非零實數恒成立，
故時，為奇函數.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以滿足的實數的取值范圍是.
18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函數（為常數，且，）．
(1)當時，若對任意的，都有成立，求實數的取值范圍；
(2)當為偶函數時，若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍．
【解題思路】（1）先化簡，并判定其單調性、求出值域，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，再利用換元思想和（1）問結論求最值即可確定的取值范圍；
（2）先利用函數的奇偶性得到值，利用換元思想和基本不等式確定的范圍，再根據方程在給定區間有解進行求解.
【解答過程】（1）當時，在上單調遞增，
∴當時，，
對任意的都有成立，轉化為恒成立，即對恒成立，
令，則恒成立，即，
由對勾函數的性質知：在上單調遞增，故，
∴的取值范圍是.
（2）當為偶函數時，對xR都有，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，則，
此時，由可得：有實數解
令（當時取等號），則，
∴方程，即在上有實數解，而在上單調遞增，
∴.
19．（2024·河南平頂山·模擬預測）已知函數且）為定義在R上的奇函數
(1)利用單調性的定義證明：函數在R上單調遞增；
(2)若關于x的不等式恒成立，求實數m的取值范圍；
(3)若函數有且僅有兩個零點，求實數k的取值范圍．
【解題思路】（1）先根據奇函數滿足可得，再設，證明即可；
（2）化簡可得恒成立，再討論為0和大于0時兩種情況，結合判別式分析即可；
（3）將題意轉化為方程有兩個不相等的正根，
【解答過程】（1）證明：由函數為奇函數，有，解得，
當時，， ，符合函數為奇函數，可知符合題意．
設，有
，
由，有，有，故函數在上單調遞增；
（2）由
．
（1）當時，不等式為恒成立，符合題意；
（2）當時，有，解得，
由上知實數的取值范圍為；
（3）由，方程可化為，
若函數有且僅有兩個零點，相當于方程有兩個不相等的正根，
故有，即解得．
故實數的取值范圍為．
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