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專題2.5 對數與對數函數【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 對數的運算】 2
【題型2 指數、對數問題的應用】 2
【題型3 對數函數的圖象及應用】 3
【題型4 利用對數函數的單調性比較大小】 5
【題型5 解對數不等式】 5
【題型6 對數函數性質的綜合應用】 6
1、對數與對數函數
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數
(2)通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點 (3)了解指數函數（a>0且a≠1）與對數函數（a>0且a≠1）互為反函數 2022年天津卷：第6題，5分 2022年浙江卷：第7題，5分 2022年新課標I卷：第7題，5分 2023年北京卷：第4題，5分 2024年新課標I卷：第6題，5分 2024年北京卷：第7題，5分 對數函數是常見的重要函數，對數與對數函數是高考常考的熱點內容，從近幾年的高考形勢來看，對數函數往往與冪函數、指數函數結合考查，主要以基本函數的性質為依托，結合指、對數運算性質，運用冪函數與指、對數函數的圖象與性質解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.
【知識點1 對數運算的解題策略】
1．對數運算的常用技巧
(1)在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.
(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.
(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.
【知識點2 對數函數的常見問題及解題思路】
1．對數函數圖象的識別及應用
(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.
2．對數（型）函數的值域和單調性問題的解題策略
利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.
【題型1 對數的運算】
【例1】（2024·河南·三模）若，則化簡的結果是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2024·青海·模擬預測）若，，則（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預測）設a，b，c都是正數，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若，，，則（ ）
A． B． C． D．1
【題型2 指數、對數問題的應用】
【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關，我們使用的二維碼主要是大小的特殊的幾何圖形，即441個點.根據0和1的二進制編碼規則，一共有種不同的碼，假設我們1萬年用掉個二維碼，那么所有二維碼大約可以用（ ）（參考數據：）
A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年
【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經過tmin后的溫度為，可選擇函數來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（ ）
（參考數據：）
A． B． C．6min D．
【變式2-2】（2024·安徽·模擬預測）科學家從由實際生活得出的大量統計數據中發現以1開頭的數出現的頻率較高，以1開頭的數出現的頻數約為總數的三成，并提出定律：在大量b進制隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為，如裴波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．若（，），則k的值為（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
【變式2-3】（2024·全國·模擬預測）萬有引力定律是英國偉大的物理學家、數學家、天文學家牛頓提出來的，即任意兩個質點通過連心線方向上的力相互吸引，其數學表達式為，其中表示兩個物體間的引力大小，為引力常數，分別表示兩個物體的質量，表示兩個物體間的距離.若地球與月球的近地點間的距離為，與月球的遠地點間的距離為，地球與月球近地點間的引力大小為，與月球遠地點間的引力大小為，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 對數函數的圖象及應用】
【例3】（2024·湖北·模擬預測）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2024·陜西寶雞·二模）函數的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）函數的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 利用對數函數的單調性比較大小】
【例4】（2024·天津濱海新·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·貴州貴陽·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數滿足，且在區間上單調遞減.設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 解對數不等式】
【例5】（2024·湖北·模擬預測）已知函數，若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數是定義在R上的偶函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·河南·模擬預測）“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預測）已知函數（且）是偶函數，則關于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不對
【題型6 對數函數性質的綜合應用】
【例6】（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求的解析式；
(2)若關于的方程在上有解，求實數的取值范圍．
【變式6-1】（2024·陜西安康·一模）已知函數.
(1)若，求函數的單調區間；
(2)是否存在實數a，使函數的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
【變式6-2】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數為奇函數．
(1)求實數a的值；
(2)判斷函數的單調性（不用證明）；
(3)設函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數m的取值范圍．
【變式6-3】（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數，
(1)若的值域為，求滿足條件的整數的值；
(2)若非常數函數是定義域為的奇函數，且，，，求的取值范圍.
一、單選題
1．（2024·廣東·二模）已知正實數滿足，則（ ）
A．1 B． C．4 D．1或
2．（2024·四川·模擬預測）若實數，，滿足且，則（ ）
A． B．12 C． D．
3．（2024·上海·三模）已知函數恒過定點，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·江西鷹潭·模擬預測）19世紀美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數表時，偶然發現表中以1開頭的數出現的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本·福特又重新發現這個現象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數出現的頻數約為總數的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進制隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律，后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．若（，），則k的值為（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
5．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知，，，則，，大小關系為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數是上的單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·廣西·模擬預測）已知函數，，如圖為函數的圖象，則可能為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數滿足，當時，.若，則實數的取值范圍是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河南·三模）已知函數，則（ ）
A．的定義域為
B．的值域為
C．
D．的單調遞增區間為
11．（2024·河南·一模）定義在R上的函數（且，），若存在實數m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則實數m的取值范圍為
B．若，，則實數m的取值范圍為
C．若，，則實數m的取值范圍為
D．若，，則實數m的取值范圍為
三、填空題
12．（2024·上海·模擬預測）已知正實數滿足，，則 .
13．（2024·吉林·模擬預測）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍為 ．
14．（2024·陜西西安·模擬預測）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為 ．
四、解答題
15．（2023·江蘇連云港·模擬預測）計算：
(1)；
(2).
16．（2023·吉林長春·模擬預測）（1）求值：；
（2）已知，求的值.
17．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數 ，且函數的圖象經過點.
(1)求實數的值；
(2)求函數的最小值和最大值.
18．（2024·陜西榆林·一模）已知是定義在上的偶函數，且時，.
(1)求的解析式；
(2)若，求實數的取值范圍.
19．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數是偶函數.
(1)求的值;
(2)設 ，，若對任意的 ，存在，使得，求的取值范圍.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題2.5 對數與對數函數【六大題型】
【新高考專用】
【題型1 對數的運算】 2
【題型2 指數、對數問題的應用】 3
【題型3 對數函數的圖象及應用】 5
【題型4 利用對數函數的單調性比較大小】 7
【題型5 解對數不等式】 9
【題型6 對數函數性質的綜合應用】 11
1、對數與對數函數
考點要求 真題統計 考情分析
(1)理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數
(2)通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點 (3)了解指數函數（a>0且a≠1）與對數函數（a>0且a≠1）互為反函數 2022年天津卷：第6題，5分 2022年浙江卷：第7題，5分 2022年新課標I卷：第7題，5分 2023年北京卷：第4題，5分 2024年新課標I卷：第6題，5分 2024年北京卷：第7題，5分 對數函數是常見的重要函數，對數與對數函數是高考常考的熱點內容，從近幾年的高考形勢來看，對數函數往往與冪函數、指數函數結合考查，主要以基本函數的性質為依托，結合指、對數運算性質，運用冪函數與指、對數函數的圖象與性質解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.
【知識點1 對數運算的解題策略】
1．對數運算的常用技巧
(1)在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.
(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.
(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.
【知識點2 對數函數的常見問題及解題思路】
1．對數函數圖象的識別及應用
(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.
2．對數（型）函數的值域和單調性問題的解題策略
利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.
【題型1 對數的運算】
【例1】（2024·河南·三模）若，則化簡的結果是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據指數運算法則和對數運算法則化簡求值即可.
【解答過程】由，，可知，
.
故選：B.
【變式1-1】（2024·青海·模擬預測）若，，則（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解題思路】本題考查指數式與對數式的互化、對數的運算法則、換底公式的應用.
【解答過程】由 ，
所以
故選：A.
【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預測）設a，b，c都是正數，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】將指數式化為對數式，根據對數換底公式、對數運算法則逐項驗證即可．
【解答過程】依題意設，則，，，
所以，
則，故A，C錯誤；
則，故B錯誤；
則，故D正確.
故選：D.
【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若，，，則（ ）
A． B． C． D．1
【解題思路】根據題意，結合指數冪與對數的互化公式，結合對數的換底公式，即可求解.
【解答過程】由，，，可得，
所以，則.
故選：B.
【題型2 指數、對數問題的應用】
【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關，我們使用的二維碼主要是大小的特殊的幾何圖形，即441個點.根據0和1的二進制編碼規則，一共有種不同的碼，假設我們1萬年用掉個二維碼，那么所有二維碼大約可以用（ ）（參考數據：）
A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年
【解題思路】利用取對數法進行化簡求解即可．
【解答過程】萬年用掉個二維碼，
大約能用萬年，
設，則，
即萬年．
故選：A．
【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經過tmin后的溫度為，可選擇函數來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（ ）
（參考數據：）
A． B． C．6min D．
【解題思路】令，則，兩邊同時取對將代入即可得出答案.
【解答過程】由題可知，函數，
令，則，
兩邊同時取對可得：，即，
即 .
故選：B.
【變式2-2】（2024·安徽·模擬預測）科學家從由實際生活得出的大量統計數據中發現以1開頭的數出現的頻率較高，以1開頭的數出現的頻數約為總數的三成，并提出定律：在大量b進制隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為，如裴波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律．后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．若（，），則k的值為（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
【解題思路】根據條件中的概率公式，結合求和公式，以及對數運算，即可求解.
【解答過程】，
即，則，得.
故選：A.
【變式2-3】（2024·全國·模擬預測）萬有引力定律是英國偉大的物理學家、數學家、天文學家牛頓提出來的，即任意兩個質點通過連心線方向上的力相互吸引，其數學表達式為，其中表示兩個物體間的引力大小，為引力常數，分別表示兩個物體的質量，表示兩個物體間的距離.若地球與月球的近地點間的距離為，與月球的遠地點間的距離為，地球與月球近地點間的引力大小為，與月球遠地點間的引力大小為，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據題意，由對數的運算代入計算，即可得到結果.
【解答過程】由題意知，，兩邊同時取對數得，，即.
故選：A.
【題型3 對數函數的圖象及應用】
【例3】（2024·湖北·模擬預測）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據時的單調性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【解答過程】，
因為當時，都為增函數，
所以，在上單調遞增，故B，C錯誤；
又因為，
所以不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故D錯誤.
故選：A.
【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數，則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先判斷函數奇偶性排除選項A，再根據函數值正負排除B,C, 即可得出答案.
【解答過程】因為的定義域為，，所以是偶函數，則其圖象關于y軸對稱，排除A；
當時，，，所以，當時，，，所以，故排除B，C.
故選:D.
【變式3-2】（2024·陜西寶雞·二模）函數的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用函數的奇偶性和特殊值判斷出選項．
【解答過程】，是偶函數，排除C，D；
又，
故選：B.
【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）函數的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用函數的定義域，奇偶性及其他性質判斷即可.
【解答過程】的定義域為且，
因為，所以為奇函數，排除A，D，
當時，，B錯誤，
故選：C.
【題型4 利用對數函數的單調性比較大小】
【例4】（2024·天津濱海新·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】判斷a，b，c與0和1的大小關系即可得到答案．
【解答過程】，
，
，則,
故.
故選：C.
【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據指、對數函數單調性，結合中間值“”分析大小即可.
【解答過程】因為在上單調遞減，則，即；
又因為在上單調遞減，則，即；
可得，且在上單調遞增，
則，即；
綜上所述：.
故選：D.
【變式4-2】（2024·貴州貴陽·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用指數函數單調性得到，利用指對運算和指數函數單調性得到，利用對數函數單調性得到，則比較出大小.
【解答過程】因為，且，則，
，
所以，
故選：A.
【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數滿足，且在區間上單調遞減.設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由，得到對稱軸為，然后求解，進而利用在上單調遞減，比較大小，判斷選項.
【解答過程】由，得到對稱軸為，則，
而，又在上單調遞減，
則 ，得.
故選：D.
【題型5 解對數不等式】
【例5】（2024·湖北·模擬預測）已知函數，若，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結合函數的圖象和函數的圖象，由，找到交點橫坐標，即可得解.
【解答過程】在同一坐標系中畫出函數的圖象和函數的圖象，
設兩圖象交于點A，且點A的橫坐標為.
由圖象可得滿足的實數a的取值范圍為.
對于，由，得，
所以，解得或（舍去），
故選：C.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數是定義在R上的偶函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據函數的單調性和奇偶性結合對數函數的單調性解不等式即可.
【解答過程】當時，，
因為函數在上都是增函數，
所以函數在區間上單調遞增，且，
又為R上的偶函數，
則，即，即，
所以，解得，即原不等式的解集為．
故選：C．
【變式5-2】（2024·河南·模擬預測）“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】取，即可說明不充分，結合對數函數單調性解不等式也可說明不必要由此即可得解.
【解答過程】取，可得，故充分性不成立；
若，根據對數函數的單調性可得，
故，得，并不能推出，所以必要性同樣不成立，
故“”是“”的既不充分也不必要條件，
故選：D．
【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預測）已知函數（且）是偶函數，則關于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不對
【解題思路】根據是偶函數求得，利用函數的單調性和奇偶性不等式等價于，解不等式即可.
【解答過程】∵是偶函數
∴，即
化簡得
∴，（，）
,
時都能得到，
所以在上是增函數
∴（，）為偶函數且在上是增函數，
∴，，
即，即或
解得或.即.
故選：B.
【題型6 對數函數性質的綜合應用】
【例6】（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求的解析式；
(2)若關于的方程在上有解，求實數的取值范圍．
【解題思路】（1）根據函數奇偶性求解析式；
（2）求函數的值域，即可求的取值范圍.
【解答過程】（1）當時，，
則，
因為函數是定義在上的奇函數，
所以，
故，
當時，，符合上式，
綜上，所以的解析式為.
（2）當時，，
因為，所以，所以，
所以，
由對稱性可知，當時，，
當時，，
綜上，，
所以實數的取值范圍是．
【變式6-1】（2024·陜西安康·一模）已知函數.
(1)若，求函數的單調區間；
(2)是否存在實數a，使函數的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）利用求得，結合復合函數單調性同增異減求得的單調區間.
（2）根據的最小值為列方程，從而求得的值.
【解答過程】（1）∵，∴，即，
，由，
解得，∴函數的定義域為，
∵函數在上單調遞增，在上單調遞減，
又∵在上為增函數，
∴函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2）設存在實數a，使函數的最小值為0，，
∵函數的最小值為0，∴函數的最小值為1，所以①，且②，
聯立①②解得：，
∴存在實數，使函數的最小值為0.
【變式6-2】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數為奇函數．
(1)求實數a的值；
(2)判斷函數的單調性（不用證明）；
(3)設函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數m的取值范圍．
【解題思路】（1）考慮和兩種情況，根據奇函數性質計算得到答案.
（2）確定定義域，設，且，計算，得到單調性.
（3）根據單調性確定時的值域，設，換元得到二次函數，計算最大值和最小值，根據值域的包含關系得到答案.
【解答過程】（1）由已知函數需滿足，當時，函數的定義域為，
函數為奇函數，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
當時，，函數的定義域為，
又函數為奇函數，所以，
此時，函數定義域為，
，函數為奇函數，滿足，
綜上所述：；
（2）在和上單調遞減，證明如下：
，定義域為，
設，且，
則
因為，且，所以，
所以，所以在上單調遞減，
同理可證，所以在上單調遞減；
所以在，上單調遞減.
（3）函數在和上單調遞減，
且當時，，當時，，
時，，所以當時的值域，
又，
設，則，
當時，取最小值為，當時，取最大值為，
即在上的值域，
又對任意的，總存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
【變式6-3】（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數，
(1)若的值域為，求滿足條件的整數的值；
(2)若非常數函數是定義域為的奇函數，且，，，求的取值范圍.
【解題思路】（1）根據函數的值域為，可得函數的值域包含，再分，和三種情況討論，結合二次函數的性質即可得解；
（2）根據函數的奇偶性求出函數的解析式，再根據，則只要即可，求出函數的最小值，再從分情況討論，結合二次函數的性質求出的最小值即可．
【解答過程】（1）因為函數的值域為，所以函數的值域包含，
，
當時，，其值域為，不滿足條件，
當時，令，則函數的對稱軸為，
當時，，即的值域為，
所以，解得，
當時，，則函數的值域為，即函數的值域為，不滿足條件，
綜上所述，，所以滿足條件的整數的值為；
（2）因為函數是定義域為的奇函數，
所以，即，解得或，
由函數不是常數函數，所以，
經檢驗，符合題意，即，
由，，，
得，，，
只要即可，
當時，，
所以函數，則，
，
令，因為，所以，
函數，
當時，，則時，恒成立，符合題意；
當時，函數的對稱軸為，
當時，則時，恒成立，符合題意；
當，即時，則時，，所以，不等式組無解；
當，即時，則時，恒成立，符合題意；
當，即時，則時，，所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為.
一、單選題
1．（2024·廣東·二模）已知正實數滿足，則（ ）
A．1 B． C．4 D．1或
【解題思路】利用對數運算法則化簡等式，列出關于的方程求解即得.
【解答過程】由，得，因此，
整理得，解得，即，經檢驗符合題意，
所以.
故選：B.
2．（2024·四川·模擬預測）若實數，，滿足且，則（ ）
A． B．12 C． D．
【解題思路】根據指對數的互化可得，，代入，即可計算得到的值.
【解答過程】因為且，易知且，
所以，，
所以，，
所以，則.
故選：D．
3．（2024·上海·三模）已知函數恒過定點，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】令，即可求解恒過定點，進而求解.
【解答過程】令，解得，此時，
所以恒過定點，則，
所以.
故選：C.
4．（2024·江西鷹潭·模擬預測）19世紀美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數表時，偶然發現表中以1開頭的數出現的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本·福特又重新發現這個現象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數出現的頻數約為總數的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進制隨機數據中，以n開頭的數出現的概率為，如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律，后來常有數學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性．若（，），則k的值為（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
【解題思路】結合條件及對數的運算法則計算即可.
【解答過程】，，故．
故選：B.
5．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知，，，則，，大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知結合冪函數及對數函數單調性判斷，，的范圍，即可比較，，的大小．
【解答過程】因為，，
，
所以．
故選：A．
6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數是上的單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，結合分段函數的單調性的判定方法，結合對數函數的性質，列出關于的不等式，即可求解.
【解答過程】根據題意，當時，，可得在上遞增，
要使得函數 是上的單調函數，
則滿足，且，解可得，
所以實數的取值范圍為.
故選：B.
7．（2024·廣西·模擬預測）已知函數，，如圖為函數的圖象，則可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由函數的奇偶性結合函數的定義域和圖象逐項分析即可；
【解答過程】依題意可知，函數的定義域為R，，
所以函數為奇函數．
函數的定義域為，，
所以函數為偶函數．
對于A，的定義域為，既不是奇函數也不是偶函數，故A錯誤；
對于B，函數的定義域為，既不是奇函數也不是偶函數，故B錯誤；
對于C，函數的定義域為，，所以為奇函數，故C正確；
對于D，函數的定義域為且，故D錯誤；
故選：C．
8．（2024·江西·二模）已知定義在上的函數滿足，當時，.若，則實數的取值范圍是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】依題意可得的奇偶性、對稱性與周期性，即可得到的圖象，即可得到，，解得即可.
【解答過程】因為，所以為奇函數；
又因為，所以關于直線對稱；
由知的一個周期為.
因為當時，，所以在上單調遞增，
函數的圖象如圖所示，
根據圖象可知，若，則，，
解得，，
所以實數的取值范圍是，.
故選：D．
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】對A：使用換底公式化簡可判斷a的范圍；對B：使用換底公式化簡證明；對C：根據基本不等式證明；對D：根據函數在上的單調性判斷.
【解答過程】選項A：，故A錯誤．
選項B：，故B正確．
選項C：，（，，所以，所以不能取等號）,故C正確．
選項D：易知函數在上單調遞增，所以，故D錯誤．
故選：BC.
10．（2024·河南·三模）已知函數，則（ ）
A．的定義域為
B．的值域為
C．
D．的單調遞增區間為
【解題思路】根據函數的解析式，求出函數的定義域值域即可判斷A、B，求出利用對數運算法則即可求解C，根據復合函數的單調性即可判斷D.
【解答過程】對AB，由，得，則的定義域為，值域為，A，B均正確；
對C，，C正確；
對D，因為，所以，外層函數為增函數，
，令，所以函數定義域為，
內層函數，在上單調遞增，上單調遞減，
所以的單調遞增區間為不是D錯誤.
故選：ABC.
11．（2024·河南·一模）定義在R上的函數（且，），若存在實數m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則實數m的取值范圍為
B．若，，則實數m的取值范圍為
C．若，，則實數m的取值范圍為
D．若，，則實數m的取值范圍為
【解題思路】先判斷函數為奇函數，再分和討論的單調性，分和討論函數的單調性，根據復合函數的單調性判斷得出的單調性，利用單調性將進行等價轉化成含參數的不等式，求解即得.
【解答過程】對于函數，因 ，則函數是奇函數.
不妨設，則，
對于A項，當時，在定義域內為增函數，
因，則在R上也是增函數，故在R上也是增函數.
由，則，即（*），
①當時，此時恒成立；② 當時，由（*）可得，解得，綜上可知，，故A項錯誤；
對于B項，當時，在定義域內為減函數，因，則在R上也是減函數，故在R上是增函數，
由A項分析可得，恒成立可得，，故B項正確；
對于C項，當時，在定義域內為增函數，因，則在R上是減函數，故在R上是減函數，
由，則，即（*），
①當時，無解；② 當時，由（*）可得，解得或，綜上可知，，故C項錯誤；
對于D項，當時，在定義域內為減函數，因，則在R上也是增函數，故在R上是減函數，
由C項分析可得，恒成立可得，，故D項正確.
故選：BD.
三、填空題
12．（2024·上海·模擬預測）已知正實數滿足，，則 .
【解題思路】令，則由可得，從而可求出的值，再結合求出，即可得解.
【解答過程】令，則，
由，得，
所以，解得或，
所以或，
所以或，
當時，則，
由，得，所以，
由，又，解得，
所以；
當時，由，得，所以，
由，又，解得，
所以，
綜上所述，.
故答案為：.
13．（2024·吉林·模擬預測）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍為 ．
【解題思路】根據題意，設，則，利用復合函數的單調性，可得在上為減函數，且恒成立，結合一次函數的性質分析可得答案．
【解答過程】解：根據題意，設，則，若函數在上單調遞減，
利用復合函數的單調性，可得在上為減函數且恒成立，
即，解得，即a的取值范圍為．
故答案為：．
14．（2024·陜西西安·模擬預測）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為 8 ．
【解題思路】先求出函數過定點的坐標，再利用基本不等式求最值.
【解答過程】因為，（且），
所以函數（且）的圖象恒過定點，
所以，
所以，
，，當且僅當，即等號成立，
即的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
15．（2023·江蘇連云港·模擬預測）計算：
(1)；
(2).
【解題思路】（1）根據指數冪的運算法則直接化簡求解即可；
（2）根據對數運算法則直接化簡求解即可.
【解答過程】（1） .
（2） .
16．（2023·吉林長春·模擬預測）（1）求值：；
（2）已知，求的值.
【解題思路】（1）化簡即可求出該式子的值；
（2）解對數方程求出，即可得出的值.
【解答過程】（1）由題意，
（2）由題意，
在中，
，化簡得，
兩邊同除得，解得：或1（舍），
∴.
17．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數 ，且函數的圖象經過點.
(1)求實數的值；
(2)求函數的最小值和最大值.
【解題思路】（1）將點代入函數的解析式，求實數的值即可；
（2）將函數的解析式經過變量代換，轉化為一元二次函數形式，求最值即可；
【解答過程】（1）由題意，將點代入函數的解析式，
得：，即，解得.
（2）由換底公式得：，
所以函數，
令，因為，所以.
設，
顯然函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，
即函數的最小值為2，最大值為6.
18．（2024·陜西榆林·一模）已知是定義在上的偶函數，且時，.
(1)求的解析式；
(2)若，求實數的取值范圍.
【解題思路】（1）當時，可將代入解析式，結合偶函數定義可得此時的解析式，由此可得解析式；
（2）由復合函數單調性判斷方法判斷函數在上的單調性，結合偶函數性質利用單調性化簡不等式求得結果.
【解答過程】（1）因為是定義在上的偶函數，
所以，
令，則
時，，
則.
（2）因為時，，
又函數，由函數，與函數，復合而成，
函數在上單調遞增，
函數在上單調遞減，
所以函數在上單調遞減，
故函數在上單調遞減，
是定義在上的偶函數，所以，
所以不等式，可化為
，
或.
19．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數是偶函數.
(1)求的值;
(2)設 ，，若對任意的 ，存在，使得，求的取值范圍.
【解題思路】（1）由偶函數的性質即可求解的值；
（2）由題意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分別求出和的最小值，即可求解.
【解答過程】（1）因為是偶函數，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因為對任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因為在上單調遞增，
所以，
因為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
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