資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題2.6 函數(shù)的圖象【七大題型】
【新高考專(zhuān)用】
【題型1 作出函數(shù)的圖象】 2
【題型2 函數(shù)圖象的識(shí)別】 4
【題型3 根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式】 5
【題型4 借助動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)圖象】 7
【題型5 利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)】 9
【題型6 利用圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)、解不等式】 10
【題型7 利用圖象求參數(shù)的取值范圍】 11
1、函數(shù)的圖象
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)
(2)會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象 (3)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題 2022年天津卷：第3題，5分
2022年全國(guó)甲卷：第5題，5分 2022年全國(guó)乙卷：第8題，5分 2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第8題，5分 2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第7題，5分 函數(shù)圖象問(wèn)題主要以考查圖象識(shí)別為重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也可能考查利用函數(shù)圖象函數(shù)性質(zhì)、解不等式等，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.
【知識(shí)點(diǎn)1 函數(shù)的圖象的作法與識(shí)別】
1．作函數(shù)圖象的一般方法
(1)描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可 根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.
(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.
2．函數(shù)圖象識(shí)別的解題思路
(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：
①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；
③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；
④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.
(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)判斷.
(3)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.
【知識(shí)點(diǎn)2 函數(shù)圖象的應(yīng)用的解題策略】
1．利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2．利用函數(shù)的圖象解決方程和不等式的求解問(wèn)題的解題策略
利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問(wèn)題，如判斷方程是否有解，有多少個(gè)解.數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法.不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的上下關(guān)系問(wèn)題.
【題型1 作出函數(shù)的圖象】
【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．

(1)畫(huà)出的圖象；
(2)求不等式的解集．
【變式1-1】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)（其中）．

(1)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出時(shí)函數(shù)的圖象；
(2)求函數(shù)的圖象與直線(xiàn)圍成多邊形的面積的最大值，并指出面積最大時(shí)的值．
【變式1-2】（23-24高一上·上?！て谀┰谙旅娴淖鴺?biāo)系中畫(huà)出下列函數(shù)的圖像：
(1)
(2)．
【變式1-3】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并求的解集；
(2)，，求的最大值.
【題型2 函數(shù)圖象的識(shí)別】
【例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式】
【例3】（2024·湖南·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2024·天津·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2024·天津·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）．
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·浙江臺(tái)州·一模）函數(shù)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 借助動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)圖象】
【例4】（2024·山東·二模）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上沿運(yùn)動(dòng)，表示動(dòng)點(diǎn)由A點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過(guò)的路程，表示的面積，則函數(shù)的大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個(gè)半圓）上勻速跑步，他從點(diǎn)處出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、返回到點(diǎn)，共用時(shí)秒，他的同桌小陳在固定點(diǎn)位置觀(guān)察小李跑步的過(guò)程，設(shè)小李跑步的時(shí)間為（單位：秒），他與同桌小陳間的距離為（單位：米），若，則的圖象大致為（ ）

A． B．
C． D．
【變式4-3】（2024·湖南·一模）圖中的陰影部分由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩矩形所構(gòu)成．設(shè)函數(shù)S＝S(a)(a≥0)是圖中陰影部分介于平行線(xiàn)y＝0及y＝a之間的那一部分的面積，則函數(shù)S(a)的圖象大致為(　　)
A． B．
C． D．
【題型5 利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)】
【例5】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
【變式5-1】（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)的圖象，圖中曲線(xiàn)與直線(xiàn)無(wú)限接近但是永不相交，則以下描述正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域?yàn)?br/>B．函數(shù)的值域?yàn)?br/>C．此函數(shù)在定義域中不單調(diào)
D．對(duì)于任意的，都有唯一的自變量x與之對(duì)應(yīng)
【變式5-2】（23-24高一上·廣西欽州·期中）定義在上的偶函數(shù)在上的圖象如下圖，下列說(shuō)法不正確的是（ ）

A．僅有一個(gè)單調(diào)減區(qū)間
B．有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間
C．在其定義域內(nèi)的最大值是5
D．在其定義域內(nèi)的最小值是
【變式5-3】（23-24高一上·湖北黃石·期中）記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為，則關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法中正確的是（ ）
A．方程有三個(gè)根 B．的單調(diào)減區(qū)間為和
C．的最大值為 D．的最小值為
【題型6 利用圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)、解不等式】
【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象如圖所示，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2024·河南商丘·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)在上的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2024·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，已知，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．5
C．3或4 D．4或5
【變式6-3】（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【題型7 利用圖象求參數(shù)的取值范圍】
【例7】（2024·河北石家莊·三模）給定函數(shù)，用表示中的較大者，記．若函數(shù)的圖象與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
．
【變式7-1】（2024·陜西西安·一模） ，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【變式7-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ．
【變式7-3】（2024·天津紅橋·一模）設(shè)函數(shù)，若有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是 ．
一、單選題
1．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）下列圖象中，不可能成為函數(shù)的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間的大致圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)在初始位置與等邊的底邊重合，之后開(kāi)始在平面上按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)），它掃過(guò)的三角形內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線(xiàn)的距離y與點(diǎn)P走過(guò)的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，且，則不等式在上的解集為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·安徽合肥·一模）已知，函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·山東日照·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正方形沿軸滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)），點(diǎn)恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則（ ）
A．方程在上有三個(gè)根
B．
C．在上單調(diào)遞增
D．對(duì)任意，都有
三、填空題
12．（2024·上海寶山·一模）設(shè)為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖象必定不經(jīng)過(guò)第 象限.
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為 ．
14．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋舢?dāng)時(shí)，的圖象如圖，則不等式的解集是 ．
四、解答題
15．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如
(1)將的解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式;
(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象;
(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域.
16．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若直線(xiàn)與的圖象所圍成的三角形的面積為，求實(shí)數(shù)的值．
17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)畫(huà)出的圖像，并直接寫(xiě)出的值域；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且有解．
(1)求a的取值范圍；
(2)當(dāng)a取最大值時(shí)，作出的圖象，并求的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．
19．（23-24高一上·廣西欽州·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域；
（3）討論方程解的個(gè)數(shù).
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專(zhuān)題2.6 函數(shù)的圖象【七大題型】
【新高考專(zhuān)用】
【題型1 作出函數(shù)的圖象】 2
【題型2 函數(shù)圖象的識(shí)別】 7
【題型3 根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式】 9
【題型4 借助動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)圖象】 11
【題型5 利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)】 15
【題型6 利用圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)、解不等式】 17
【題型7 利用圖象求參數(shù)的取值范圍】 20
1、函數(shù)的圖象
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)
(2)會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象 (3)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題 2022年天津卷：第3題，5分
2022年全國(guó)甲卷：第5題，5分 2022年全國(guó)乙卷：第8題，5分 2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第8題，5分 2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第7題，5分 函數(shù)圖象問(wèn)題主要以考查圖象識(shí)別為重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也可能考查利用函數(shù)圖象函數(shù)性質(zhì)、解不等式等，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.
【知識(shí)點(diǎn)1 函數(shù)的圖象的作法與識(shí)別】
1．作函數(shù)圖象的一般方法
(1)描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可 根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.
(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.
2．函數(shù)圖象識(shí)別的解題思路
(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：
①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；
③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；
④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.
(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)判斷.
(3)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.
【知識(shí)點(diǎn)2 函數(shù)圖象的應(yīng)用的解題策略】
1．利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2．利用函數(shù)的圖象解決方程和不等式的求解問(wèn)題的解題策略
利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問(wèn)題，如判斷方程是否有解，有多少個(gè)解.數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法.不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的上下關(guān)系問(wèn)題.
【題型1 作出函數(shù)的圖象】
【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．

(1)畫(huà)出的圖象；
(2)求不等式的解集．
【解題思路】根據(jù)絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值，然后畫(huà)出函數(shù)的圖象，解絕對(duì)值不等式即可；
【解答過(guò)程】（1）由題知，，①
作出 的圖象如圖所示．②

（2）由題知， 或或，③
解得，原不等式的解集為.
【變式1-1】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)（其中）．

(1)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出時(shí)函數(shù)的圖象；
(2)求函數(shù)的圖象與直線(xiàn)圍成多邊形的面積的最大值，并指出面積最大時(shí)的值．
【解題思路】（1）把代入，再畫(huà)出函數(shù)圖象即可.
（2）作出函數(shù)與直線(xiàn)圍成多邊形，并求出面積表達(dá)式，再求出最大值即得.
【解答過(guò)程】（1）當(dāng)時(shí)，，
在坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖：

（2）依題意，，其圖象如圖：

令，得函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，
直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，
顯然，即點(diǎn)，
函數(shù)的圖象與直線(xiàn)圍成多邊形為四邊形，其面積為：
，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的圖象與直線(xiàn)圍成多邊形的面積的最大值為，此時(shí).
【變式1-2】（23-24高一上·上?！て谀┰谙旅娴淖鴺?biāo)系中畫(huà)出下列函數(shù)的圖像：
(1)
(2)．
【解題思路】（1）（2）利用描點(diǎn)法結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解.
【解答過(guò)程】（1）
1 2 3 4 5 6
1
由于的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，所以作圖如下，
（2）先作出的圖象，然后將軸下方圖象沿著軸翻折即可得，
故作圖如下
【變式1-3】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并求的解集；
(2)，，求的最大值.
【解題思路】（1）分類(lèi)討論求得，即可作出圖形；
（2）由（1）知的圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線(xiàn)斜率的最小值為，則，，即可求解.
【解答過(guò)程】（1）∵，∴.
函數(shù)圖象如右所示：
由圖可知的解集為.
（2）由（1）知，的圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
且各部分所在直線(xiàn)斜率的最小值為，
故當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，恒成立，
此時(shí)有最大值.
即的最大值是.
【題型2 函數(shù)圖象的識(shí)別】
【例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性從而排除選項(xiàng)A、D；再判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)即可排除C.
【解答過(guò)程】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以排除；當(dāng)時(shí)，，所以排除C.
故選：B.
【變式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性、在上的單調(diào)性、函數(shù)值的正負(fù)情況依次判斷和排除ABC，即可得解.
【解答過(guò)程】由題定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，
故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，，
又是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，
故在上是增函數(shù)，故BC錯(cuò)；
故選：D.
【變式2-2】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出函數(shù)的定義域及奇偶性，再由奇偶性在內(nèi)函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.
【解答過(guò)程】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，則是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B不滿(mǎn)足；
當(dāng)時(shí)，，則，AD不滿(mǎn)足，C滿(mǎn)足.
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】結(jié)合函數(shù)的定義域及特殊值的函數(shù)值的符號(hào)判斷即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，故排除B項(xiàng)、D項(xiàng)，
又因?yàn)?，故排除C項(xiàng).
故選：A.
【題型3 根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式】
【例3】（2024·湖南·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.
【解答過(guò)程】由圖可知，函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；
由圖可知，函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集.故排除B；
由圖可知，當(dāng)時(shí)，，
而對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故排除D.
故選：A.
【變式3-1】（2024·天津·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)奇偶性判斷A；驗(yàn)證的值判斷B；根據(jù)奇偶性、單調(diào)性判斷C；根據(jù)單調(diào)性判斷D.
【解答過(guò)程】由圖象知，該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，
對(duì)于A(yíng)，，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，，
單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，
故選：C.
【變式3-2】（2024·天津·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)排除A，根據(jù)定義域排除B，根據(jù)奇偶性排除C，進(jìn)而可得答案.
【解答過(guò)程】對(duì)于A(yíng)， 在處無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：的定義域?yàn)椋?br/>且，則為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，滿(mǎn)足圖中要求，故D正確.
故選：D.
【變式3-3】（2024·浙江臺(tái)州·一模）函數(shù)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
根據(jù)給定的函數(shù)圖象，由推理排除CD；由①中函數(shù)當(dāng)時(shí)，分析判斷得解.
【解答過(guò)程】由圖①知，，且當(dāng)時(shí)，，由②知，圖象過(guò)點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C不可能；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D不可能；
對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則，A可能；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，則，B不可能.
故選：A.
【題型4 借助動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)圖象】
【例4】（2024·山東·二模）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上沿運(yùn)動(dòng)，表示動(dòng)點(diǎn)由A點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過(guò)的路程，表示的面積，則函數(shù)的大致圖像是（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】分，，求出解析式，然后可知圖象.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，，是一條過(guò)原點(diǎn)的線(xiàn)段；
當(dāng)時(shí)，，是一段平行于軸的線(xiàn)段；
當(dāng)時(shí)，，圖象為一條線(xiàn)段.
故選：A．
【變式4-1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出點(diǎn)在對(duì)應(yīng)線(xiàn)段上時(shí)的解析式，結(jié)合圖象判斷即可得.
【解答過(guò)程】當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，
，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，
其中A選項(xiàng)符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.
故選：A.
【變式4-2】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個(gè)半圓）上勻速跑步，他從點(diǎn)處出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、返回到點(diǎn)，共用時(shí)秒，他的同桌小陳在固定點(diǎn)位置觀(guān)察小李跑步的過(guò)程，設(shè)小李跑步的時(shí)間為（單位：秒），他與同桌小陳間的距離為（單位：米），若，則的圖象大致為（ ）

A． B．
C． D．
【解題思路】分析在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小李和小陳之間的距離的變化，可得出合適的選項(xiàng).
【解答過(guò)程】由題圖知，小李從點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，的值先增后減，
從點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，的值先減后增，
從點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，的值先增后減，從點(diǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，的值先減后增，
所以，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小李和小陳之間的距離（即的值）的增減性為：增、減、增、減、增，D選項(xiàng)合乎題意，
故選：D.
【變式4-3】（2024·湖南·一模）圖中的陰影部分由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩矩形所構(gòu)成．設(shè)函數(shù)S＝S(a)(a≥0)是圖中陰影部分介于平行線(xiàn)y＝0及y＝a之間的那一部分的面積，則函數(shù)S(a)的圖象大致為(　　)
A． B．
C． D．
【解題思路】先觀(guān)察當(dāng)變化時(shí)，面積的變化情況，再結(jié)合函數(shù)圖像的平緩、陡峭程度判斷即可得解.
【解答過(guò)程】解：由圖觀(guān)察，當(dāng)時(shí)，隨著的增大，面積越來(lái)越大，但變化越來(lái)越緩慢，即函數(shù)圖像越來(lái)越平緩，顯然選項(xiàng)A,B不滿(mǎn)足題意，當(dāng)與時(shí)，隨著的增大，面積越來(lái)越大，但當(dāng)時(shí)比時(shí)，面積增加的要快些，即當(dāng)時(shí)比時(shí)，函數(shù)圖像要更陡峭些，顯然選項(xiàng)D不滿(mǎn)足題意，只有選項(xiàng)C符合題意，
故選：C.
【題型5 利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)】
【例5】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
【解題思路】
首先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.
【解答過(guò)程】函數(shù)的定義域?yàn)?，又?br/>所以為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
故選：A.
【變式5-1】（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)的圖象，圖中曲線(xiàn)與直線(xiàn)無(wú)限接近但是永不相交，則以下描述正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域?yàn)?br/>B．函數(shù)的值域?yàn)?br/>C．此函數(shù)在定義域中不單調(diào)
D．對(duì)于任意的，都有唯一的自變量x與之對(duì)應(yīng)
【解題思路】由函數(shù)圖象確定定義域和值域，單調(diào)性判斷各項(xiàng)的正誤.
【解答過(guò)程】由圖知：的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋珹、B錯(cuò)；
顯然在分別遞增，但在定義域上不單調(diào)，C對(duì)；
顯然，對(duì)應(yīng)自變量x不唯一，D錯(cuò).
故選：C.
【變式5-2】（23-24高一上·廣西欽州·期中）定義在上的偶函數(shù)在上的圖象如下圖，下列說(shuō)法不正確的是（ ）

A．僅有一個(gè)單調(diào)減區(qū)間
B．有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間
C．在其定義域內(nèi)的最大值是5
D．在其定義域內(nèi)的最小值是
【解題思路】補(bǔ)全函數(shù)圖象，然后結(jié)合圖象分析單調(diào)遞減區(qū)間以及最值，由此可得錯(cuò)誤選項(xiàng).
【解答過(guò)程】將的圖象補(bǔ)充完整如下圖所示：

由圖象可知在，，上單調(diào)遞減，故AB錯(cuò)誤；
由圖象可知在定義域內(nèi)的最大值為，最小值未知，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：ABD.
【變式5-3】（23-24高一上·湖北黃石·期中）記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為，則關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法中正確的是（ ）
A．方程有三個(gè)根 B．的單調(diào)減區(qū)間為和
C．的最大值為 D．的最小值為
【解題思路】由的定義可得圖象，結(jié)合圖象依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【解答過(guò)程】由的含義可得圖象如下圖所示，

由圖象可知：
對(duì)于A(yíng)，與有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，即有三個(gè)根，A正確；
對(duì)于B，的單調(diào)遞減區(qū)間為和，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，無(wú)最小值，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【題型6 利用圖象確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)、解不等式】
【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象如圖所示，則的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)圖象分段判斷即可.
【解答過(guò)程】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
故的解集為，
故選：A.
【變式6-1】（2024·河南商丘·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)在上的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即得函數(shù)整體圖像,利用圖像即得.
【解答過(guò)程】根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出在上的圖象如圖所示，
由，得，
等價(jià)于或
解得，或，或．
故不等式解集為：.
故選: C.
【變式6-2】（2024·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，已知，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．5
C．3或4 D．4或5
【解題思路】求出函數(shù)的周期及在時(shí)解析式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題求解即可.
【解答過(guò)程】由可知，，即周期為，
設(shè)，則，所以，
又為奇函數(shù)，所以，
即當(dāng)時(shí)，，，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而過(guò)定點(diǎn)，斜率，
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作兩函數(shù)圖象，如圖，
由圖可知，當(dāng)在之間繞轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，，
其中，
當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有5個(gè)交點(diǎn)，
故選：D.
【變式6-3】（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，繼而作出的圖象，數(shù)形結(jié)合，求得不等式的解集.
【解答過(guò)程】根據(jù)題意當(dāng)時(shí),，
當(dāng)時(shí), ,
作出函數(shù)的圖象如圖，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，
由圖象可得不等式解集為，
故選：C.
【題型7 利用圖象求參數(shù)的取值范圍】
【例7】（2024·河北石家莊·三模）給定函數(shù)，用表示中的較大者，記．若函數(shù)的圖象與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
．
【解題思路】在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出的圖象，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；結(jié)合圖象再做出滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，進(jìn)而求出的取值范圍即可.
【解答過(guò)程】
由，，
因?yàn)椋?br/>所以圖象變?yōu)椋?br/>其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值；
且設(shè)兩函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)為，即當(dāng)， ，
解得：，
由題意與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
由數(shù)形結(jié)合易知：，或，
故答案為：.
【變式7-1】（2024·陜西西安·一模） ，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【解題思路】先求函數(shù)的值域，單調(diào)性，并畫(huà)出圖象，再設(shè)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
【解答過(guò)程】易知函數(shù)在R上增函數(shù)，函數(shù)在上減函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>又函數(shù)的在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
函數(shù)圖象如圖所示：
設(shè)，由可知，，則.
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，即，
于是，則方程，即有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以，由的圖象可知，使方程有兩個(gè)零點(diǎn)，
則滿(mǎn)足，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【變式7-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ．
【解題思路】利用分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，從而確定的取值范圍.
【解答過(guò)程】由的解析式作出的大致圖像．如圖所示：

方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與直線(xiàn)有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則．
故答案為：.
【變式7-3】（2024·天津紅橋·一模）設(shè)函數(shù)，若有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是 ．
【解題思路】作出的圖象，根據(jù)圖象確四個(gè)根間的關(guān)系，從而得到，且，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.
【解答過(guò)程】因?yàn)?，所以，其圖象如圖所示，
又有四個(gè)實(shí)數(shù)根，由圖知，得到，即，且，
由，得到或，所以，
所以，
令，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以的取值范圍為，
故答案為：.
一、單選題
1．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）下列圖象中，不可能成為函數(shù)的圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先得到函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，討論參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和討論函數(shù)值的正負(fù)得到答案.
【解答過(guò)程】由題意可知，，又，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知，D選項(xiàng)符合；
當(dāng)時(shí)，若，，A選項(xiàng)符合；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在和上單調(diào)遞增， B選項(xiàng)符合；
結(jié)合選項(xiàng)可知，只有C.選項(xiàng)不可能.
故選：C.
2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解題思路】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解答過(guò)程】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，
在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，
由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.
故選：D.
3．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由可知 圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，由 的圖像即可得出結(jié)果.
【解答過(guò)程】因?yàn)?，所?圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
由解析式，作出的圖像如圖
從而可得圖像為B選項(xiàng).
故選：B.
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間的大致圖象如圖，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】主要采用排除法，通過(guò)奇偶性可排除A；通過(guò)定義域可排除C；通過(guò)最大值可排除B.
【解答過(guò)程】由函數(shù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上的最大值大于1（關(guān)鍵點(diǎn)）.
對(duì)于選項(xiàng)A，定義域?yàn)镽，
為偶函數(shù)，排除A選項(xiàng)；
對(duì)于選項(xiàng)C，x滿(mǎn)足，排除C選項(xiàng)；
對(duì)于選項(xiàng)B，D，定義域?yàn)镽，
因?yàn)?，所以B，D選項(xiàng)都是奇函數(shù)，
因?yàn)樵趨^(qū)間上，（提示：等號(hào)不同時(shí)成立），故排除B選項(xiàng)，
，，
故的最大值超過(guò)1，D選項(xiàng)符合題意.
故選：D.
5．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)在初始位置與等邊的底邊重合，之后開(kāi)始在平面上按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)），它掃過(guò)的三角形內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】取的中點(diǎn)，連接，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，求得，令，其中，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可求解.
【解答過(guò)程】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危傻茫?br/>設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，且，其中，
可得，
又由的面積為，可得，
且，
則的面積為，
令，其中，
可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，
又由余弦函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)C符合題意.
故選：C.
6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線(xiàn)的距離y與點(diǎn)P走過(guò)的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
由點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的單調(diào)性可排除A，由圖象的對(duì)稱(chēng)性可排除，由一開(kāi)始與是線(xiàn)性的可排除C，對(duì)于D，當(dāng)圖形是正方形時(shí)，可以驗(yàn)證它滿(mǎn)足題意.
【解答過(guò)程】對(duì)于A(yíng)，點(diǎn)在第一條邊上時(shí)，，
但點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是隨的增大先減小（減到最小時(shí)即為三角形的第二條邊上的高的長(zhǎng)度），然后再增大，
對(duì)比圖象可知，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對(duì)稱(chēng)的，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，一開(kāi)始與的關(guān)系不是線(xiàn)性的，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)圖象對(duì)稱(chēng)，所以D選項(xiàng)應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長(zhǎng)為，
點(diǎn)在第一條邊上時(shí)（即時(shí)），，
點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，依然單調(diào)遞增，
點(diǎn)在第三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，
點(diǎn)在第四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，
且已知與的圖象關(guān)于（其中）對(duì)稱(chēng)，D正確.
故選：D.
7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，且，則不等式在上的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，作出函數(shù)在上的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.
【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以，
函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示．
由圖可知不等式在上的解集為．
故選：B．
8．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)且周期為4，由此可畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，
所以，
所以函數(shù)的周期為4，
畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：

若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，
顯然，則，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D．
二、多選題
9．（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用分類(lèi)討論及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【解答過(guò)程】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故A正確；C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
10．（2024·安徽合肥·一模）已知，函數(shù)的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
根據(jù)給定的函數(shù)，按分類(lèi)探討，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)增長(zhǎng)速度的大小判斷作答.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，函數(shù)圖象為曲線(xiàn)，A可能；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的圖象是不含端點(diǎn)的射線(xiàn)，B可能；
當(dāng)時(shí)，取，有，即函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
又，隨著的無(wú)限增大，函數(shù)呈爆炸式增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)速度比的大，
因此存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，C可能，D不可能.
故選：ABC.
11．（2024·山東日照·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正方形沿軸滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)），點(diǎn)恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則（ ）
A．方程在上有三個(gè)根
B．
C．在上單調(diào)遞增
D．對(duì)任意，都有
【解題思路】根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)B的軌跡，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.
【解答過(guò)程】分析正方形頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可知，
當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；
當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓；
當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；
當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，
作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖知：函數(shù)的圖象與直線(xiàn)在上有三個(gè)交點(diǎn)，
即方程在上有三個(gè)根，A正確；
函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；
由圖象知：，，，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
12．（2024·上海寶山·一模）設(shè)為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖象必定不經(jīng)過(guò)第 二 象限.
【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的平移可得.
【解答過(guò)程】已知,
則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，過(guò)定點(diǎn)，且，
函數(shù)的圖象是由函數(shù)函數(shù)向下平移個(gè)單位，
作出函數(shù)的圖象，可知圖象必定不經(jīng)過(guò)第二象限.
故答案為：二.
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為 2 ．
【解題思路】分析函數(shù)的奇偶性，由圖象的平移變換求解即可.
【解答過(guò)程】對(duì)于，可以把的圖象看作：
由的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
而的圖象可看作由的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到；
對(duì)于的圖象可看作由
的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
而的圖象可看作由的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
易知與都為奇函數(shù)，
則易知與的圖象共有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為0．
因?yàn)閷⒑瘮?shù)圖象向右平移不改變與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值的大小，
所以與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為0，
又將函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度會(huì)使得原交點(diǎn)處的函數(shù)值都增加1，
則與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與與的圖象兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相比都增加1，
故與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為2．
故答案為：2.
14．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋舢?dāng)時(shí)，的圖象如圖，則不等式的解集是 ．
【解題思路】
由奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以利用函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
可得的解集為．
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如
(1)將的解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式;
(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象;
(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域.
【解題思路】(1)根據(jù)已知條件給的新定義，可以將函數(shù)分為三段，分別求解析式即可.
(2)根據(jù)寫(xiě)出的分段函數(shù)畫(huà)圖.
(3)由圖像就可以觀(guān)察出函數(shù)的值域.
【解答過(guò)程】（1）當(dāng)時(shí)，所以
當(dāng)時(shí)，，所以
當(dāng)時(shí)，，所以.
綜上，
（2）函數(shù)的圖象如圖所示.
（3）由圖象，得函數(shù)的值域?yàn)?
16．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若直線(xiàn)與的圖象所圍成的三角形的面積為，求實(shí)數(shù)的值．
【解題思路】（1）首先將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再分類(lèi)討論得到不等式組，解得即可；
（2）作出直線(xiàn)和函數(shù)的圖象，設(shè)直線(xiàn)和函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)為， 求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程求出的值.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)椋?br/>所以，即或或，
解得或或，
綜上可得不等式的解集為.
（2）直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，
如圖作出直線(xiàn)和函數(shù)的圖象如下，
記與軸的交點(diǎn)為，，，則，
設(shè)直線(xiàn)和函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)為，
則，所以，解得，
則，所以，代入，即，解得.
17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)畫(huà)出的圖像，并直接寫(xiě)出的值域；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）將化為分段函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象可得值域；
（2）化為，解不等式可得結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
的圖象如圖：
由圖可知，函數(shù)的值域是.
（2）若不等式恒成立，則，
則，即，
解得或.
18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且有解．
(1)求a的取值范圍；
(2)當(dāng)a取最大值時(shí)，作出的圖象，并求的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．
【解題思路】（1）利用絕對(duì)三角不等式求出最大值，再根據(jù)有解，即，求解即可.
（2）根據(jù)絕對(duì)值不等式的討論方法，進(jìn)行分段處理，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖像，求出對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)根據(jù)面積公式求解即可.
【解答過(guò)程】（1），（技巧：絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用）
所以的值域?yàn)椋驗(yàn)橛薪猓?br/>所以，即，解得，所以a的取值范圍為．
（2）由（1）知a的最大值為－1，
所以 ．
作出的圖像如圖所示．
由圖可得的圖像與x軸所圍成的封閉圖形為，
易得，，，所以．
19．（23-24高一上·廣西欽州·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
（1）求函數(shù)的解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域；
（3）討論方程解的個(gè)數(shù).
【解題思路】（1）由偶函數(shù)的定義即可求得時(shí)的函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而得到解；
（2）畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)闀r(shí)，，設(shè)，則，
，
又函數(shù)為偶函數(shù)， ，
故函數(shù)的解析式為.
函數(shù)圖像如圖：
（2）由函數(shù)的圖象可知，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，
函數(shù)的值域?yàn)?
（3）方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)，或時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為3；
當(dāng)時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為4.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑