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專題2.2 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性【十二大題型】
【新高考專用】
【題型1 函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】 3
【題型2 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 5
【題型3 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】 7
【題型4 函數(shù)的奇偶性的判斷與證明】 9
【題型5 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】 12
【題型6 已知函數(shù)的奇偶性求解析式、求值】 13
【題型7 函數(shù)的對稱性與周期性】 14
【題型8 類周期函數(shù)】 16
【題型9 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】 19
【題型10 利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】 21
【題型11 抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性】 23
【題型12 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 27
1、函數(shù)的性質(zhì)
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)借助函數(shù)圖象，會(huì)用符
號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義
(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇
偶性和對稱性的概念和幾何意義
(3)了解周期性的概念和幾何意義 2021年I卷：第8題，5分
2021年甲卷：第12題，5分 2022年I卷：第12題，5分 2022年Ⅱ卷：第8題，5分 2023年I卷：第4題，5分、第11題，5分 2023年Ⅱ卷：第4題，5分 從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性、周期性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想
【知識點(diǎn)1 函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法】
1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.
2．函數(shù)單調(diào)性的判斷
(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.
(2)函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.
3．求函數(shù)最值的三種基本方法：
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.
(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.
4．復(fù)雜函數(shù)求最值：
對于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.
【知識點(diǎn)2 函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】
1．函數(shù)奇偶性的判斷
判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.
2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.
(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.
3．常見奇偶性函數(shù)模型
(1)奇函數(shù)：
①函數(shù)或函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
(2)偶函數(shù)：
①函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù).
【知識點(diǎn)3 函數(shù)的周期性與對稱性的常用結(jié)論】
1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))
(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；
(4)若f(x+a)=，則T=2a；
(5)若f(x+a)=，則T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);
2．對稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱.
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
3．函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
(1)若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
(2)若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
(3)若函數(shù)有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
【題型1 函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】
【例1】（2023·海南海口·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．和
C． D．和
【解題思路】將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求
【解答過程】，
則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.
故選：B.
【變式1-1】（2024·廣東·一模）設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是　　
A．在上為減函數(shù) B．在上為增函數(shù)
C．在上為增函數(shù) D．在上為減函數(shù)
【解題思路】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于、、舉出反例，可得其錯(cuò)誤，對于，由單調(diào)性的定義分析可得正確，即可得答案．
【解答過程】解：根據(jù)題意，在上為增函數(shù)，依次分析選項(xiàng)：
對于，若，則，在上不是減函數(shù)，錯(cuò)誤；
對于，若，則，在上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；
對于，若，則，在上不是增函數(shù)，錯(cuò)誤；
對于，函數(shù)在上為增函數(shù)，則對于任意的、，設(shè)，必有，
對于，則有，
則在上為減函數(shù)，正確；
故選：D.
【變式1-2】（2024·江西·二模）已知函數(shù)若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先根據(jù)題目條件求出 的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 的單調(diào)遞增區(qū)間
【解答過程】解：依題意，解得a＝－1，故，可知在上單調(diào)遞增
故選：D.
【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知定義在區(qū)間上，值域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①當(dāng)時(shí)， ；②對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)a、b均滿足：．則（ ）
A．
B．
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【解題思路】賦值：令代入可得，令代入可得函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可以證明函數(shù)在的單調(diào)性.
【解答過程】對A，令，則，
，即，
故，所以A不正確；
對B，取代入：，
即，即在上為奇函數(shù)，
設(shè)，
所以，且，
故：
即：，故B錯(cuò)誤；
對C，由B知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對D，由C結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)且，
所以在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：D.
【題型2 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】
【例2】（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.
【解答過程】函數(shù)的圖象對稱軸為，依題意，，得，
所以的取值范圍為.
故選：C.
【變式2-1】（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及充分性與必要性的應(yīng)用，即可得到結(jié)果.
【解答過程】函數(shù)的對稱軸為，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，即，
所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式2-2】（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在時(shí)，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，
所以，解得.
故選：B.
【變式2-3】（2023·北京豐臺·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋嬖诔?shù)，使得對任意，都有，當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則t的最小值為（ ）
A．3 B． C．2 D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的周期性和絕對值型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【解答過程】因?yàn)榇嬖诔?shù)，使得對任意，都有，
所以函數(shù)的周期為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以有，
故選：B.
【題型3 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】
【例3】（2024·江西上饒·一模）.函數(shù)f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
【解題思路】由題可知f(x)在上是減函數(shù)，從而可求出其最大值
【解答過程】解：因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為減函數(shù)，
所以f(x)在上是減函數(shù)，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.
故選：A.
【變式3-1】（2024·安徽淮北·二模）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，函數(shù)最大值的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解題思路】先對內(nèi)函數(shù)對應(yīng)的方程的根的情況分類討論，得出時(shí)，結(jié)果為16，對于時(shí)，求出兩根，根據(jù)圖象，就內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的位置進(jìn)行分類考慮，利用函數(shù)單調(diào)性分析即得.
【解答過程】若，即時(shí)，，其對稱軸為，，
此時(shí)，因，故的最小值為16；
若，由可得，
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上遞減，
在上遞增，
在上遞減，在上遞增，又，
① 當(dāng)時(shí)，，故，而在上單調(diào)遞
減，則此時(shí)，；
② 當(dāng)時(shí)，，故，而在上單調(diào)
遞增，則此時(shí)，.
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則此時(shí)，而在上單調(diào)遞減，則.
綜上，函數(shù)最大值的最小值為8.
故選：D.
【變式3-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，記為的最小值，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)討論函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，最后根據(jù)最值確定的取值范圍.
【解答過程】①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，因此滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
因此⑴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以
，
或或
⑵當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以；
綜上，的取值范圍為，
故選：D.
【變式3-3】（2024·北京順義·二模）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，則在區(qū)間上的最大值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出，進(jìn)而可知，由，可知區(qū)間，且該區(qū)間長度為2，然后畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而可得到在上的圖象，結(jié)合圖象可求得在區(qū)間上的最大值的取值范圍.
【解答過程】由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，則，
因?yàn)椋詤^(qū)間，且該區(qū)間長度為2.
作出函數(shù)的圖象，如圖1，進(jìn)而可得到在上的圖象，如圖2，
根據(jù)圖象可知在區(qū)間上的最大值的取值范圍是.
故選：D.
【題型4 函數(shù)的奇偶性的判斷與證明】
【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
【解題思路】令，或，分類討論可求，判斷A；法一：令，可得，進(jìn)而可求，判斷B；法二：令，可求，判斷B；
法一：由B可得，可判斷CD；法二 令，可得，判斷CD.
【解答過程】 A：令，得，即，所以或．
當(dāng)時(shí)，不恒成立，故，A錯(cuò)誤．
B：解法一 令，得，又，所以，
故，B錯(cuò)誤．
解法二 令，得，又，所以，B錯(cuò)誤．
C：解法一 由B選項(xiàng)的解法一可知，則，所以為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤，D正確．
解法二 令，得，又，所以，
所以，結(jié)合選項(xiàng)得C錯(cuò)誤，D正確．
綜上可知，選D．
故選：D.
【變式4-1】（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先推導(dǎo)出，即函數(shù)的對稱中心為，再根據(jù)函數(shù)的平移只需將函數(shù)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，則該函數(shù)關(guān)于對稱，即可判斷.
【解答過程】因?yàn)槎x域?yàn)椋?br/>則 ，所以函數(shù)的對稱中心為，
所以將函數(shù)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，
該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).
故選：A.
【變式4-2】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ ）
A．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減
B．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增
C．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減
D．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增
【解題思路】令，求出，令，求出，再分別令，，即可求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得出答案.
【解答過程】令，則，所以，
令，則，所以，
令，則，
所以，
令，則，所以，
因?yàn)椋叶x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，
由反比例函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減.
故選：A.
【變式4-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)
【解題思路】利用賦值法推得，從而得到的對稱性，再利用函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可判斷B，舉反例排除ACD，由此得解.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>令，可得，則；
令，則，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即是奇函數(shù)，故B正確；
對于C，令，可得，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不可能是奇函數(shù)，
由于無法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對于AD，取，滿足題意，但易知D錯(cuò)誤；
故選：B.
【題型5 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】
【例5】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【解題思路】利用奇函數(shù)的定義可得，計(jì)算可求的值.
【解答過程】，
得，所以.
故選：B.
【變式5-1】（2024·甘肅蘭州·三模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解題思路】由函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，分別代入并列出關(guān)于的方程，即可求出的值.
【解答過程】由題意可得，，，
，
整理可得，對任意都成立，，.
故選：B.
【變式5-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知為奇函數(shù)，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
【解題思路】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)在區(qū)間上的解析式，對比系數(shù)求得.
【解答過程】
當(dāng)時(shí)，，所以，
通過對比系數(shù)得.
故選：A.
【變式5-3】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【解題思路】借助奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【解答過程】，故，
故，解得.
故選：B.
【題型6 已知函數(shù)的奇偶性求解析式、求值】
【例6】（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
所以.
故選：D.
【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解題思路】根據(jù)奇偶性及計(jì)算可得.
【解答過程】解：由題可知，當(dāng)時(shí)，，且，
由題意知為奇函數(shù)，則，
又，，
則.
故選：A.
【變式6-2】（2024·青海西寧·二模）若是定義在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據(jù)題意得到，從而得到，再求的解析式即可.
【解答過程】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
所以．
故選：C.
【變式6-3】（2024·海南·三模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)解析式，分別代入和，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可求解和，再求其比值.
【解答過程】取得①，取得，
即②，①－②得，①＋②得，
所以．
故選：C.
【題型7 函數(shù)的對稱性與周期性】
【例7】（2024·湖南長沙·二模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，對任意都有，當(dāng)時(shí)，則等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性推得函數(shù)的周期為4，利用周期性和奇函數(shù)特征即可求得的值.
【解答過程】定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意都有，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴，故，
∴，∴是周期為4的周期函數(shù)．
則．
故選：A．
【變式7-1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)的圖象在x軸上方，對，都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解題思路】先由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，可得．再把代入，可得函數(shù)周期為4，求得，，即可求解．
【解答過程】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，故有．
因?yàn)椋加校裕?br/>所以，又函數(shù)的圖象在x軸上方，
所以，所以，即函數(shù)的周期為4．
當(dāng)，可得，所以，
當(dāng)，可得，所以，所以，
所以.
故選：C．
【變式7-2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【解題思路】由圖象的對稱中心得圖象的對稱中心，由，構(gòu)造函數(shù)，求出圖象的對稱性和周期，由求值即可.
【解答過程】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，
即，從而，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．
由，可得．
令，得，則的圖象關(guān)于直線對稱．
，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，
所以，，
兩式相減得，故是以4為周期的函數(shù)．
因?yàn)椋?br/>所以 ．
故選：D.
【變式7-3】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，則（ ）
A． B． C．3 D．4
【解題思路】利用題設(shè)得到①和②，又由，結(jié)合①式，推得的周期為12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.
【解答過程】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，，
即，即①，
由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得②，
由可得，又得，
兩式相加，，將①式代入，得，
則得，將②式代入得，，則，
于是，即的周期為12.
又，由①可得，得，
又由可得，即得.
因，可得，，
于是，
故選：B.
【題型8 類周期函數(shù)】
【例8】（23-24高一上·江西吉安·期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由和當(dāng)時(shí)可以逐次推出，，上的解析式，根據(jù)每個(gè)區(qū)間上的函數(shù)最小值的規(guī)律，應(yīng)求時(shí)，函數(shù)值等于時(shí)的自變量的值，得到滿足的的范圍，即得t的取值范圍.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，，；因，即x每增大4，對應(yīng)的縱坐標(biāo)都變原來的2倍.
當(dāng)時(shí)，，故，則， ；
當(dāng)時(shí)，，故，則， ；
當(dāng)時(shí)，，故，則，.
如圖，依題意令，解得或，由圖知當(dāng)時(shí)，恒成立，即須使，故得： ．
故選：A.
【變式8-1】（23-24高一上·浙江臺州·期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，．若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，
且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
則，
當(dāng)，時(shí)，，
則，
當(dāng)，時(shí)，，
則，
作出函數(shù)的大致圖象，
對任意，都有，設(shè)的最大值為，
則，所以，解得或，
結(jié)合圖象知m的最大值為，即的取值范圍是.
故選：C.
【變式8-2】（2024·云南昆明·二模）定義“函數(shù)是上的級類周期函數(shù)” 如下: 函數(shù)，對于給定的非零常數(shù) ，總存在非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都有恒成立，此時(shí)為的周期. 若是上的級類周期函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，,且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題可得，，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即得.
【解答過程】∵時(shí),，
∴當(dāng)時(shí),；
當(dāng)時(shí),，
即時(shí),，
∵在上單調(diào)遞增，
∴且，
解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【變式8-3】（23-24高一上·福建福州·期末）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)， ，若時(shí)，對任意的都有 成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由可求解出和時(shí)，的解析式，從而得到在上的最小值，從而將不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用分離變量法可將問題轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)單調(diào)性求得在上的最大值，從而得到，進(jìn)而求得結(jié)果.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，
時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，
時(shí)，，即對恒成立
即：對恒成立
令，，
，解得：
故選：B.
【題型9 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】
【例9】（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，時(shí)，，記，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意能得到函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，且在上單調(diào)遞增，然后根據(jù)離對稱軸的遠(yuǎn)近比較大小.
【解答過程】由，時(shí)，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由得函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)椋ㄗ钸h(yuǎn)離），（最靠近），
所以.
故選：A.
【變式9-1】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先比較的大小，再由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解即可.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，恒成立，
可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以，
設(shè)，則，
所以，又，
所以，所以，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以.
故選：A.
【變式9-2】（22-23高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意得到函數(shù)關(guān)于對稱，所以，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.
【解答過程】由函數(shù)是偶函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于對稱，
所以函數(shù)關(guān)于對稱，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.
故選：B.
【變式9-3】（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性比較a，c；構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性比較a，b.
【解答過程】設(shè)，，
所以，
令，，
則，
則在上單調(diào)遞減，
所以，則，
故在單調(diào)遞減，
所以，即，即，
因?yàn)椋?br/>構(gòu)造，，
所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，
即，
綜上：．
故選：D.
【題型10 利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】
【例10】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)x，y都有，當(dāng)時(shí)，，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意利用定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增，繼而轉(zhuǎn)化不等式，求解即可.
【解答過程】任取，
從而
,
因?yàn)椋裕?br/>所以，
則在R上單調(diào)遞增．
不等式等價(jià)于不等式
，
即．
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，
所以，解得．
故選：A.
【變式10-1】（2023·河南洛陽·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由分段函數(shù)表達(dá)式，判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性，求解不等式．
【解答過程】根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以，解得．
故選：B.
【變式10-2】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】分析函數(shù)在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋煽傻茫瑒t，解得，
因此，滿足的的取值范圍是.
故選：C.
【變式10-3】（2023·河南·模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②對任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，由題意可以推出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，然后對進(jìn)行分類討論解不等式即可.
【解答過程】因?yàn)閷θ我獾模遥加校?br/>即對任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)不妨設(shè)，都有，
所以有，
所以函數(shù)是上的減函數(shù)，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即有，有，
所以有，
所以為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)，即時(shí)，有,由，得，
所以，解得，此時(shí)無解；
當(dāng)，即時(shí)，由，得，
所以，解得或．
綜上所述，不等式的解集為．
故選：C.
【題型11 抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性】
【例11】（2024·山西·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋覍θ我猓加校?br/>(1)求的值，并證明為奇函數(shù)．
(2)若，，且，證明為上的增函數(shù)，并解不等式．
【解題思路】（1）賦值法令，可得；由給定性質(zhì)，證明即可.
（2）證明的單調(diào)性，再由單調(diào)性解不等式.
【解答過程】（1）令，得，
又函數(shù)的值域?yàn)椋啵?br/>∵，
∴，
∴，
∴為奇函數(shù)．
（2）任取，．
．
∵，∴．
∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴．
又函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>∴，即，
∴為上的增函數(shù)．
由，即，化簡得．
∵，
∴，∴．
又為上的增函數(shù)，∴，
故的解集為．
【變式11-1】（23-24高一上·北京·期中）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對任意正實(shí)數(shù)x，y都有恒成立，已知，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求的值；
(2)判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明；
(3)解不等式.
【解題思路】（1）利用賦值法，即可求得所求的函數(shù)值，得到答案；
（2）首先判定函數(shù)為增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和所給條件進(jìn)行證明即可；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和所得函數(shù)值對應(yīng)的自變量得到函數(shù)不等式，得出不等式組，即可求解.
【解答過程】（1）由題意，函數(shù)對任意的正實(shí)數(shù)x，y都有恒成立，
令，可得，所以，
令，可得，即，解得；
（2）函數(shù)為增函數(shù)，證明如下：
設(shè)且，
令，根據(jù)題意，可得，即，
又由時(shí)，，
因?yàn)椋傻茫矗矗?br/>所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增；
（3）由題意和（1）可得：，
又由不等式，即，
可得，解得，
即不等式的解集為.
【變式11-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足對一切都有，且，當(dāng)時(shí)有．
（1）求的值；
（2）判斷并證明函數(shù)在R上的單調(diào)性；
（3）解不等式：．
【解題思路】（1）先令求得，再令可求；
（2）利用定義，任取，化簡判斷的正負(fù)可得；
（3）設(shè)，可將不等式化為，解得，再利用單調(diào)性求解.
【解答過程】解：（1）令，得，則，
再令，得，
即，從而．
（2）任取，
．
，即．
在R上是減函數(shù)．
（3）由條件知，，
設(shè)，則，即，
整理，得，解得，
而，不等式即為，
又因?yàn)樵赗上是減函數(shù)，，即，
，從而所求不等式的解集為或．
【變式11-3】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域均為，且滿足：①，；②為偶函數(shù)，；③，，.
(1)求的值，并證明：為奇函數(shù)；
(2)，且，證明：
①；
②單調(diào)遞增.
【解題思路】（1）用賦值法，令可求得，再令，使用恒成立可證得是奇函數(shù)；
（2）①由代入已知式可證；
②設(shè)，
由，，展開后相減，利用奇偶性及已知條件①②可證得單調(diào)性．
【解答過程】（1）證明：在中
令，則，所以，
令，則，是偶函數(shù)，
所以，又，所以，即，
所以是奇函數(shù)；
（2）證明：①；
②設(shè)，則，，又，
由①
可得，
又是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
所以
所以，
所以，所以是增函數(shù)．
【題型12 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例12】（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）已知是定義在[－2，2]上的函數(shù)，若滿足且．
(1)求的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，都有恒成立，求m的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可得，進(jìn)而結(jié)合即可求解，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義即可求解最值，或者利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解.
【解答過程】（1），且，所以為奇函數(shù)，
將代入可得，即，所以，
即，因?yàn)椋裕肟傻茫?br/>解得，故；
，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，故．
（2）只要，設(shè)，則，
∵，∴，∴，即，
故函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，最小值為．
法一：在[1，2]上恒成立，只要，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，所以．
法二：，，
當(dāng)時(shí)，，，解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，，，解得，因此，
綜上所述：．
【變式12-1】（23-24高二下·黑龍江鶴崗·期末）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且
(1)確定函數(shù)的解析式；
(2)用定義證明在上是增函數(shù)；
(3)解不等式．
【解題思路】
（1）先由函數(shù)的奇偶性得到，然后由求解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；
（3）將，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.
【解答過程】（1）由題意可得，解得
所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足奇函數(shù).
（2）設(shè)，
則，
，
，且，則，
則，即，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)．
（3），
，
是定義在上的增函數(shù)，
，得，
所以不等式的解集為．
【變式12-2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性．
(3)解關(guān)于t的不等式：．
【解題思路】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出，再由求出，從而可求出函數(shù)解析式，
（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可，
（3）先利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，得，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以
（2）任取，且，則
，
因?yàn)椋遥?br/>所以，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
（3）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以可轉(zhuǎn)化為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
【變式12-3】（2024·上海黃浦·一模）已知實(shí)數(shù)是常數(shù)，函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）若，設(shè)，記的取值組成的集合為，則函數(shù)的值域與函數(shù)()的值域相同.試解決下列問題：
（i）求集合；
（ii）研究函數(shù)在定義域上是否具有單調(diào)性？若有，請用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明；若沒有，請說明理由.并利用你的研究結(jié)果進(jìn)一步求出函數(shù)的最小值.
【解題思路】（1）由函數(shù)解析式，根據(jù)根式的性質(zhì)列不等式組，即可求函數(shù)定義域，由函數(shù)奇偶性的定義說明的關(guān)系即可證函數(shù)的奇偶性.
（2）（i）由題設(shè)可得，由根式的性質(zhì)，即可求的取值集合，（ii）任意的且，根據(jù)解析式判斷大小即可確定單調(diào)性，利用與()的值域相同求最小值.
【解答過程】（1）實(shí)數(shù)是常數(shù)，函數(shù)，
由，解得.
函數(shù)的定義域是.
對于任意，有, ，即對都成立(又不恒為零)，
∴函數(shù)是偶函數(shù).
（2）由，有.
（i）()，則.
，，即.
.
（ii）由（i）知：的定義域?yàn)?
對于任意的且，有 .
又且(這里二者的等號不能同時(shí)成立)，
，即.
函數(shù)在上是減函數(shù).
.
又函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，
函數(shù)的最小值為.
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先分析的單調(diào)性，再列不等式即可求解.
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以，
故選：B．
2．（2023·全國·三模）已知函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知可得當(dāng)時(shí)，可得恒成立，通過分離變量，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可求的取值范圍.
【解答過程】
因?yàn)椋瘮?shù)在上的最小值為，
所以對，恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，可得恒成立.
當(dāng)或時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋裕?br/>所以；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
綜上可得，實(shí)數(shù)b的取值范圍是.
故選：D.
3．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】消去絕對值可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得.
【解答過程】由，故在上單調(diào)遞增，
由，有，即.
故選：A.
4．（2023·陜西西安·一模）已知是上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．3 B． C．255 D．
【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計(jì)算即可.
【解答過程】由題意可知： ，即4為的一個(gè)周期，
所以.
故選：B.
5．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧Χ加校以谏蠁握{(diào)遞減，則與的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由，得到，利用單調(diào)性即可判斷大小關(guān)系，即可求解．
【解答過程】因?yàn)閷Χ加校?br/>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，
所以，即．
故選：A．
6．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項(xiàng)的正負(fù)，即可求解.
【解答過程】因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
對于A中，由，但無法判斷的正負(fù)，所以A不正確；
對于B中，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，可得，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，可得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且為偶函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，
所以，所以B不正確；
對于C中，由，在上單調(diào)遞減，所以，所以C不正確；
對于D中，由，在上單調(diào)遞減，，所以D正確.
故選：D.
7．（2023·廣東·一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】
根據(jù)條件可求得時(shí)的解析式，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)繼而可求得當(dāng)時(shí)的解析式，分情況解出不等式即可.
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，則，
則，所以，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則 ，
則當(dāng)時(shí)，不等式為，
解得，
當(dāng)時(shí)，不等式為，
解得，
故不等式的解集為，
故選：A.
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域均為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱、的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，進(jìn)而可知是以4為周期的周期函數(shù)．求出，，，，結(jié)合周期即可求解.
【解答過程】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，
所以，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，的圖象關(guān)于直線對稱．
由，得，則，
所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱．
因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對稱，所以，，
所以，即是以4為周期的周期函數(shù)．
因?yàn)椋裕?br/>所以．
故選：D．
二、多選題
9．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
【解題思路】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐一判斷即可.
【解答過程】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈闹涤蚴欠裨谏蠠o法判斷，
所以在上的單調(diào)性無法判斷，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，因的值域是否在上無法判斷，所以在上的單調(diào)性無法判斷，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足下列條件：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．
D．在上單調(diào)遞減
【解題思路】利用賦值法可以逐次判斷選項(xiàng)，A，取可得；B，取，再由條件當(dāng)時(shí)，推理可得；對于C，雖能用基本不等式，但因在上的符號不定，得不出結(jié)論；對于D，運(yùn)用單調(diào)性定義法推導(dǎo)得出相反結(jié)論，排除.
【解答過程】對于A項(xiàng)，由，取，得，，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，由，取，因，故，即，
當(dāng)時(shí)，，則，故，即，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，由，取，可得，，整理得，，
因，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，但因的符號不能確定，故不一定有，
即不一定成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，任取，則，依題意，，而，
則，即，即在上是增函數(shù).于是，對于，
任取，因，則，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB.
11．（2024·貴州貴陽·二模）定義在上的函數(shù)滿足，對，，恒有，則下列命題是真命題的有（ ）
A．是圖象的一個(gè)對稱中心 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．對，恒有 D．
【解題思路】由題意可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，可得直線是的一條對稱軸，令，可得函數(shù)為奇函數(shù)，從而得點(diǎn)是的對稱中心，即可得函數(shù)的周期為4，再逐一判斷即可.
【解答過程】令，
由，得，
顯然，，所以為奇函數(shù)，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
所以點(diǎn)是的對稱中心，所以，
又因?yàn)椋?br/>所以直線是的一條對稱軸．所以
又因?yàn)椋?br/>所以
即
所以是周期為4的函數(shù)，
又因?yàn)閷Γ阌校?br/>即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
對于因?yàn)辄c(diǎn)是的對稱中心，
由周期性可得是圖象的對稱中心，故正確；
對于是周期為4的函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；
對于C，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且直線是的一條對稱軸，
對，恒有，
故恒有故正確；
對于，根據(jù)的對稱性和單調(diào)性可得，，，
故故正確，
故選：ACD．
三、填空題
12．（2024·青海西寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則 .
【解題思路】由題意可得且，直接計(jì)算即可求解.
【解答過程】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.
因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，
所以.
故答案為：.
13．（2023·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【解題思路】根據(jù)討論函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，最后根據(jù)最值確定的取值范圍.
【解答過程】①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，因此滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，則，
，
所以，，，
，，
，
或或
；
（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以
，即，
；
綜上，的取值范圍為.
故答案為：.
14．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)的定義域，對任意，恒有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，則不等式的解集為 .
【解題思路】根據(jù)條件，構(gòu)造，利用的奇偶性和單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化成求解，即可求出結(jié)果.
【解答過程】由，得，
設(shè)，則，取，得，
取，得；取，得，
所以是偶函數(shù)，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，兩邊同時(shí)乘以，
得，兩邊同時(shí)除以，得，
即，即，所以在上單調(diào)遞減.
由，得，由，得，
所以可化為，
即，所以，解得或，
所以不等式的解集為，
故答案為：.
四、解答題
15．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）設(shè)，，函數(shù).
(1)求關(guān)于的不等式解集；
(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.
【解題思路】（1）由題可得，然后分類討論即得；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.
【解答過程】（1）因?yàn)椋郑?br/>的解集等價(jià)于的解集，
當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為，
當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為，
當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為；
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
（2）因?yàn)椋瘮?shù)的對稱軸為，拋物線開口向下，
又在上的最小值為，
，即，
，即的取值范圍為.
16．（2023·吉林長春·一模）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ冢耶?dāng)時(shí)，．
(1)證明：為減函數(shù)；
(2)若，求不等式的解集．
【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及當(dāng)函數(shù)中時(shí)，的性質(zhì)即可證明；
（2）由抽象函數(shù)的性質(zhì)化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及定義域列出不等式組可得解.
【解答過程】（1）設(shè)，且，
則，，
因?yàn)椋?br/>所以，
即為減函數(shù).
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
令，則，即，
所以，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
17．（22-23高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且．
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明;
(3)解不等式．
【解題思路】(1)根據(jù)奇函數(shù)可得,結(jié)合代入可得的解析式;
(2)先判斷單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性的定義證明,先取值,再做差,變形至幾個(gè)因式的乘積,定號,最后寫出結(jié)論即可.
(3)將移至右側(cè),根據(jù)奇函數(shù),將不等式轉(zhuǎn)化為,再根據(jù)(2)的結(jié)論轉(zhuǎn)化為,再加上均在定義域內(nèi),即可求出不等式解集.
【解答過程】（1）解:由題意可知為奇函數(shù),
,
即,,
∵,∴,
∴;
（2）當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,
證明如下:
設(shè)為上的任意兩個(gè)數(shù),且,
,
,
,
,
故函數(shù)在上為增函數(shù);
（3）,
,
為奇函數(shù),
∴,
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,
,
,
不等式的解集為．
18．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)恒有成立，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求的值;
(2)判斷的單調(diào)性，并證明;
(3)解關(guān)于的不等式:.
【解題思路】（1）根據(jù)題意，令，即可求得；
（2）令，得到，所以為奇函數(shù)，在結(jié)合題意和函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解；
（3）化簡不等式為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.
【解答過程】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)對任意實(shí)數(shù)恒有成立，
令，則，所以.
（2）
解：函數(shù)為上的減函數(shù).
證明:令，則，所以，故為奇函數(shù).
任取，且，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
所以
，即，所以是上的減函數(shù).
（3）
解：根據(jù)題意，可得，
由（2）知在上單調(diào)遞減，所以，
即，可得，
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
19．（2023·上海寶山·一模）已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)記（是自然對數(shù)的底數(shù)）.若對任意、且時(shí)，均有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解題思路】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及奇偶函數(shù)的定義，即可判斷；
（2）根據(jù)極值，求出，得到，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，判斷有3個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，的取值范圍；
（3）根據(jù)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為，整理得，，分別判斷函數(shù)和函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)不等式恒成立的性質(zhì)，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍.
【解答過程】（1），因?yàn)榈膶ΨQ軸為，故當(dāng)時(shí)，的對稱軸為軸，此時(shí)為偶函數(shù)；時(shí)，為非奇非偶函數(shù).
（2）在處有極值，因?yàn)椋瑒t，故，得；
，此時(shí)，，
故和上，單調(diào)遞增，上，單調(diào)遞減，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，根據(jù)函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，滿足題意，得，故
（3），單調(diào)遞減，對任意、且時(shí)，
，，
則對任意、且時(shí)，均有成立，
轉(zhuǎn)化為，對任意、且時(shí)，均有成立，即
，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
①函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，
又因?yàn)椋剩?br/>得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故；
②函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，
又因?yàn)椋剩?br/>在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故，此時(shí)，；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為：.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題2.2 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性【十二大題型】
【新高考專用】
【題型1 函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】 3
【題型2 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 4
【題型3 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】 4
【題型4 函數(shù)的奇偶性的判斷與證明】 5
【題型5 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】 5
【題型6 已知函數(shù)的奇偶性求解析式、求值】 6
【題型7 函數(shù)的對稱性與周期性】 6
【題型8 類周期函數(shù)】 7
【題型9 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】 7
【題型10 利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】 8
【題型11 抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性】 9
【題型12 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 10
1、函數(shù)的性質(zhì)
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)借助函數(shù)圖象，會(huì)用符
號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義
(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇
偶性和對稱性的概念和幾何意義
(3)了解周期性的概念和幾何意義 2021年I卷：第8題，5分
2021年甲卷：第12題，5分 2022年I卷：第12題，5分 2022年Ⅱ卷：第8題，5分 2023年I卷：第4題，5分、第11題，5分 2023年Ⅱ卷：第4題，5分 從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性、周期性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想
【知識點(diǎn)1 函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法】
1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.
2．函數(shù)單調(diào)性的判斷
(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.
(2)函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.
3．求函數(shù)最值的三種基本方法：
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.
(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.
4．復(fù)雜函數(shù)求最值：
對于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.
【知識點(diǎn)2 函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】
1．函數(shù)奇偶性的判斷
判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.
2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.
(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.
3．常見奇偶性函數(shù)模型
(1)奇函數(shù)：
①函數(shù)或函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
(2)偶函數(shù)：
①函數(shù)．
②函數(shù)．
③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù).
【知識點(diǎn)3 函數(shù)的周期性與對稱性的常用結(jié)論】
1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))
(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；
(4)若f(x+a)=，則T=2a；
(5)若f(x+a)=，則T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);
2．對稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱.
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
3．函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
(1)若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
(2)若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
(3)若函數(shù)有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
【題型1 函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】
【例1】（2023·海南海口·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．和
C． D．和
【變式1-1】（2024·廣東·一模）設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是　　
A．在上為減函數(shù) B．在上為增函數(shù)
C．在上為增函數(shù) D．在上為減函數(shù)
【變式1-2】（2024·江西·二模）已知函數(shù)若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知定義在區(qū)間上，值域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①當(dāng)時(shí)， ；②對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)a、b均滿足：．則（ ）
A．
B．
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【題型2 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】
【例2】（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2023·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·北京豐臺·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋嬖诔?shù)，使得對任意，都有，當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則t的最小值為（ ）
A．3 B． C．2 D．
【題型3 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】
【例3】（2024·江西上饒·一模）.函數(shù)f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
【變式3-1】（2024·安徽淮北·二模）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，函數(shù)最大值的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式3-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，記為的最小值，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·北京順義·二模）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，則在區(qū)間上的最大值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 函數(shù)的奇偶性的判斷與證明】
【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)
【變式4-1】（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ ）
A．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減
B．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增
C．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減
D．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增
【變式4-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)
C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)
【題型5 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】
【例5】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式5-1】（2024·甘肅蘭州·三模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式5-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知為奇函數(shù)，則（ ）
A． B．2 C．1 D．
【變式5-3】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【題型6 已知函數(shù)的奇偶性求解析式、求值】
【例6】（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式6-2】（2024·青海西寧·二模）若是定義在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2024·海南·三模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【題型7 函數(shù)的對稱性與周期性】
【例7】（2024·湖南長沙·二模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，對任意都有，當(dāng)時(shí)，則等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【變式7-1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)的圖象在x軸上方，對，都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式7-2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【變式7-3】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，則（ ）
A． B． C．3 D．4
【題型8 類周期函數(shù)】
【例8】（23-24高一上·江西吉安·期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（23-24高一上·浙江臺州·期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，．若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（2024·云南昆明·二模）定義“函數(shù)是上的級類周期函數(shù)” 如下: 函數(shù)，對于給定的非零常數(shù) ，總存在非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都有恒成立，此時(shí)為的周期. 若是上的級類周期函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，,且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（23-24高一上·福建福州·期末）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)， ，若時(shí)，對任意的都有 成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型9 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】
【例9】（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，時(shí)，，記，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（22-23高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式9-3】（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型10 利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】
【例10】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)x，y都有，當(dāng)時(shí)，，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】（2023·河南洛陽·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式10-2】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式10-3】（2023·河南·模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②對任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【題型11 抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性】
【例11】（2024·山西·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋覍θ我猓加校?br/>(1)求的值，并證明為奇函數(shù)．
(2)若，，且，證明為上的增函數(shù)，并解不等式．
【變式11-1】（23-24高一上·北京·期中）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對任意正實(shí)數(shù)x，y都有恒成立，已知，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求的值；
(2)判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明；
(3)解不等式.
【變式11-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足對一切都有，且，當(dāng)時(shí)有．
（1）求的值；
（2）判斷并證明函數(shù)在R上的單調(diào)性；
（3）解不等式：．
【變式11-3】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域均為，且滿足：①，；②為偶函數(shù)，；③，，.
(1)求的值，并證明：為奇函數(shù)；
(2)，且，證明：
①；
②單調(diào)遞增.
【題型12 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例12】（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）已知是定義在[－2，2]上的函數(shù)，若滿足且．
(1)求的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，都有恒成立，求m的取值范圍．
【變式12-1】（23-24高二下·黑龍江鶴崗·期末）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且
(1)確定函數(shù)的解析式；
(2)用定義證明在上是增函數(shù)；
(3)解不等式．
【變式12-2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性．
(3)解關(guān)于t的不等式：．
【變式12-3】（2024·上海黃浦·一模）已知實(shí)數(shù)是常數(shù)，函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
（2）若，設(shè)，記的取值組成的集合為，則函數(shù)的值域與函數(shù)()的值域相同.試解決下列問題：
（i）求集合；
（ii）研究函數(shù)在定義域上是否具有單調(diào)性？若有，請用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明；若沒有，請說明理由.并利用你的研究結(jié)果進(jìn)一步求出函數(shù)的最小值.
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·三模）已知函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陜西西安·一模）已知是上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．3 B． C．255 D．
5．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧Χ加校以谏蠁握{(diào)遞減，則與的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·廣東·一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域均為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足下列條件：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．
D．在上單調(diào)遞減
11．（2024·貴州貴陽·二模）定義在上的函數(shù)滿足，對，，恒有，則下列命題是真命題的有（ ）
A．是圖象的一個(gè)對稱中心 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．對，恒有 D．
三、填空題
12．（2024·青海西寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則 .
13．（2023·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
14．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)的定義域，對任意，恒有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，則不等式的解集為 .
四、解答題
15．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）設(shè)，，函數(shù).
(1)求關(guān)于的不等式解集；
(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.
16．（2023·吉林長春·一模）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ冢耶?dāng)時(shí)，．
(1)證明：為減函數(shù)；
(2)若，求不等式的解集．
17．（22-23高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且．
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明;
(3)解不等式．
18．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)恒有成立，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求的值;
(2)判斷的單調(diào)性，并證明;
(3)解關(guān)于的不等式:.
19．（2023·上海寶山·一模）已知函數(shù)，.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)記（是自然對數(shù)的底數(shù)）.若對任意、且時(shí)，均有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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