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專題2.3 冪函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 冪函數(shù)的定義】 2
【題型2 比較冪值的大小】 3
【題型3 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 5
【題型4 求二次函數(shù)的解析式】 7
【題型5 二次函數(shù)的圖象問(wèn)題】 9
【題型6 二次函數(shù)的最值問(wèn)題】 12
【題型7 二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題】 14
1、冪函數(shù)與二次函數(shù)
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解冪函數(shù)的定義，掌握冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) (2)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性與最值等） 2020年江蘇卷：第7題，5分 2024年天津卷：第2題，5分 冪函數(shù)與二次函數(shù)是常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，冪函數(shù)較少單獨(dú)考查，常與指、對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等考法，主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數(shù)常與其他知識(shí)相結(jié)合，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).
【知識(shí)點(diǎn)1 冪函數(shù)的解題技巧】
1.冪函數(shù)的解析式
冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.
2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.
3.比較冪值的大小
在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【知識(shí)點(diǎn)2 求二次函數(shù)解析式的方法】
1．二次函數(shù)解析式的求法
(1)一般式法：已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.
(2)頂點(diǎn)式法：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或最大（小）值，選用頂點(diǎn)式.
(3)零點(diǎn)式法：已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.
【知識(shí)點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】
1．二次函數(shù)的圖象問(wèn)題
(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開(kāi)口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開(kāi)口”是指拋物線的開(kāi)口方向.
(2)求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.
2．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.
3．二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題
不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
【題型1 冪函數(shù)的定義】
【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由冪函數(shù)的定義可判斷各選項(xiàng).
【解答過(guò)程】由冪函數(shù)的定義,形如，叫冪函數(shù)，
對(duì)A，，故A正確；B，C，D均不符合.
故選：A．
【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)
B．時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)
C．冪函數(shù)的圖象會(huì)出現(xiàn)在第四象限
D．既是二次函數(shù)，又是冪函數(shù)
【解題思路】利用冪函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)判斷即可．
【解答過(guò)程】解：冪函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，例如，函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A不正確；
當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)，，在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故B正確；
由函數(shù)的定義及冪函數(shù)在第一象限均有圖象可知，冪函數(shù)的圖象不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；
函數(shù)是二次函數(shù)，但是不是冪函數(shù)，冪函數(shù)得形如，故D不正確.
故選：B.
【變式1-2】（23-24高一上·山東濟(jì)寧·期中）下列函數(shù)是冪函數(shù)且在是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可得選項(xiàng)C正確.
【解答過(guò)程】由冪函數(shù)的概念可以排除B、D選項(xiàng)，
而在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，
故選：C.
【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解題思路】由冪函數(shù)的定義即可求解.
【解答過(guò)程】由于冪函數(shù)的一般表達(dá)式為：；
逐一對(duì)比可知題述中的冪函數(shù)有①；⑤共兩個(gè).
故選：C.
【題型2 比較冪值的大小】
【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，則“”是“”的（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【解題思路】
直接根據(jù)充分性和必要性的定義判斷即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
即“”是“”的充要條件.
故選：C.
【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】化簡(jiǎn)， ，所以，再化簡(jiǎn)，，故可得出答案.
【解答過(guò)程】∵，
，∴，
，∵，
且在R上為增函數(shù)，∴，即，
故選：C．
【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出函數(shù)解析式，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小而得解.
【解答過(guò)程】因冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，且，
于是得，，函數(shù)，函數(shù)是R上的增函數(shù)，
而，則有，
所以.
故選：D.
【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用題給條件求得在上單調(diào)性，利用為奇函數(shù)求得的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)性質(zhì)比較的大小關(guān)系，進(jìn)而得到三者間的大小關(guān)系.
【解答過(guò)程】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
且，所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br/>則
所以.

故選：A.
【題型3 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例3】（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）探究?jī)绾瘮?shù)當(dāng)時(shí)的性質(zhì)，若該函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（ ）
A．2 B．3 C． D．-1
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【解答過(guò)程】由題意可得且為奇數(shù)，
所以.
故選：B.
【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)，下列能成為“是R上的偶函數(shù)”的充分條件的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以為奇函數(shù)，不合題意，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以為非奇非偶函數(shù)，不合題意，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以為偶函數(shù)，符合題意，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以為奇函數(shù)，不合題意，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)（均為正整數(shù)且互質(zhì)）的圖象，則（ ）
A．是奇數(shù)且
B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且
C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且
D．是奇數(shù)，且
【解題思路】由冪函數(shù)性質(zhì)及時(shí)兩圖象的位置關(guān)系可知；由圖象可知為偶函數(shù)，進(jìn)而確定的特征.
【解答過(guò)程】由冪函數(shù)性質(zhì)可知：與恒過(guò)點(diǎn)，即在第一象限的交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，則；
又圖象關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，，
又互質(zhì)，為偶數(shù)，為奇數(shù).
故選：B.
【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，則不等式的解集滿足（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)、、的值，從而得到函數(shù)解析式與定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù),
所以，解得，又，
即，
所以，解得，解得，
所以，，
由與在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，
則不等式，即，等價(jià)于，
所以，解得，即不等式的解集為.
故選：C.
【題型4 求二次函數(shù)的解析式】
【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列四個(gè)性質(zhì)中的三個(gè)性質(zhì)的二次函數(shù)：
或或或 ．
①的最小值為；②的一次項(xiàng)系數(shù)為；③；④．
【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的特征，如頂點(diǎn)、對(duì)稱軸設(shè)函數(shù)的解析式即可求解.
【解答過(guò)程】第一種情況：具有①②③三個(gè)性質(zhì)，由②③可設(shè)，則根據(jù)①可得：，解得，所以．
第二種情況：具有①②④三個(gè)性質(zhì)，由①④可設(shè)，則根據(jù)②可得：，解得，所以．
第三種情況：具有①③④三個(gè)性質(zhì)，由①④可設(shè)，則根據(jù)③可得：，解得：，所以．
第四種情況：具有②③④三個(gè)性質(zhì)，由②③可設(shè)，則根據(jù)④可得：，解得，所以．
故答案為：或或或.（不唯一）.
【變式4-1】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是0和5，圖象開(kāi)口向上，且在區(qū)間上的最大值為12，則函數(shù)的解析式為 ．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)特征設(shè)然后判斷并求解從而解得函數(shù)解析式.
【解答過(guò)程】設(shè)其對(duì)稱軸為直線，又在區(qū)間上的最大值為12，
所以，所以
故答案為：
【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數(shù) ，，對(duì)任意，，且恒成立．則二次函數(shù)的完整解析式為 ．
【解題思路】根據(jù)得到，結(jié)合得出，根據(jù)恒成立，求出的值，即可求出函數(shù)解析式．
【解答過(guò)程】對(duì)任意，，
二次函數(shù)對(duì)稱軸為，
，
，
，
，
又對(duì)任意，恒成立，
，即在上恒成立，
，
，
，
，，即函數(shù)，
故答案為：．
【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，且不等式的解集為，則的解析式是 ．
【解題思路】由不等式的解集得一元二次方程的兩根，由韋達(dá)定理得兩個(gè)關(guān)系式，又由對(duì)稱軸得一關(guān)系式，結(jié)合起來(lái)可求得，得函數(shù)解析式.
【解答過(guò)程】解：為，其解集為，則
，，又函數(shù)的對(duì)稱軸是，則，
兩者結(jié)合解得，
所以.
故答案為：.
【題型5 二次函數(shù)的圖象問(wèn)題】
【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.
【解答過(guò)程】結(jié)合圖像易知，
不等式的解集，
故選：A.
【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據(jù)一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，求解的關(guān)系，再代入函數(shù)，即可分析函數(shù)的圖象.
【解答過(guò)程】因?yàn)榈慕饧癁椋苑匠痰膬筛謩e為和，且，則，，
故函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，且與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，故選項(xiàng)的圖象符合.
故選：A.
【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象可以為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題可得和是方程的兩個(gè)根，求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出.
【解答過(guò)程】由題可得和是方程的兩個(gè)根，且，
，解得，
則，
則函數(shù)圖象開(kāi)口向下，與軸交于.
故選：C.
【變式5-3】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）不等式的解集為,則函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，可得方程的兩個(gè)根為和，且，結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、、的關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答過(guò)程】根據(jù)題意，的解集為，則方程的兩個(gè)根為和，且.
則有，變形可得，
故函數(shù)是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，且與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和.
對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有C符合.
故選：C．
【題型6 二次函數(shù)的最值問(wèn)題】
【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．恒成立 B．最大值是5
C．與y軸無(wú)交點(diǎn) D．沒(méi)有最小值
【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).
【解答過(guò)程】函數(shù)，
對(duì)于A，恒成立，A正確；
對(duì)于BD，當(dāng)時(shí)，的最小值為，無(wú)最大值，BD都是錯(cuò)誤；,
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，即與軸有交點(diǎn)，C錯(cuò)誤.
故選：A.
【變式6-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為，當(dāng)取最小值時(shí)，（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，然后利用基本不等式即得.
【解答過(guò)程】在上有最大值，
且當(dāng)時(shí)，的最大值為，
即且 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值2，
故選：A．
【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）.則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【解題思路】根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系對(duì)的值進(jìn)行討論，從而求出，繼而求出其最小值即可.
【解答過(guò)程】函數(shù)的對(duì)稱軸為，
當(dāng)，在上單調(diào)遞增，
所以
；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
；
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)
，
無(wú)最小值；
當(dāng)，即時(shí)，
，
綜上知，的最小值為，
故選：
【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間[m，n]，其中，若f（x）的值域?yàn)閇-4，4]，則的取值范圍是（ ）
A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]
【解題思路】先討論，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析時(shí)，的最大值與最小值，同理可得時(shí)的情況即可得解.
【解答過(guò)程】若，，函數(shù)為增函數(shù)，時(shí)，則，所以，
當(dāng)時(shí)，作圖如下，
為使取最大，應(yīng)使盡量大，盡量小，此時(shí)，
由，
即，
所以，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí)最小，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)都在對(duì)稱軸右側(cè)，
則由，
解得，
，
當(dāng)且僅當(dāng) ,即時(shí)取等號(hào)，但，等號(hào)取不到，
，
時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
綜上，的取值范圍是，
故選：C.
【題型7 二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題】
【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)時(shí)，不等式：恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先由得，由基本不等式得，故.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，由得，
因，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
因當(dāng)時(shí)，恒成立，得，
故選：C.
【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對(duì)任意的恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】變形給定不等式，分離參數(shù)，利用均值不等式求出最小值作答.
【解答過(guò)程】，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
則，所以m的取值范圍是.
故選：C.
【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用條件知，對(duì)，恒成立，從而求出的取值范圍，再根據(jù)選項(xiàng)即可得出結(jié)果.
【解答過(guò)程】因?yàn)槊}“”為假命題，所以，對(duì)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以滿足條件，
當(dāng)時(shí)，令，對(duì)稱軸，且，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然有不恒成立，
故對(duì)，恒成立時(shí)，，所以則命題成立的充分不必要條件是選項(xiàng)C.
故選：C.
【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）無(wú)論取何值時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題知，再解不等式即可得答案.
【解答過(guò)程】解：因?yàn)闊o(wú)論取何值時(shí)，不等式恒成立，
所以，，解得，
所以，的取值范圍是
故選：D.
一、單選題
1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解題思路】根據(jù)條件，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【解答過(guò)程】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是增函數(shù)，
所以，解得.
故選：A.
2．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知冪函數(shù)在上的圖象分別是下降，急速上升，緩慢上升，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由冪函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性以及增長(zhǎng)速度和指數(shù)冪的關(guān)系即可判斷.
【解答過(guò)程】由題意結(jié)合圖象可知.
故選：B.
3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數(shù)，對(duì)任意的，有，則的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】令中，則，排除C，D；又由可得任意的恒成立，則，，排除B，即可得出答案.
【解答過(guò)程】因?yàn)閷?duì)任意的，有，令，則，
所以，排除C，D；即，
設(shè)二次函數(shù)，
所以，，
由可得，則，
所以任意的恒成立，則，，故排除B.
故選：A.
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若不等式的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】分類討論與兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問(wèn)題的解決方法即可得解.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，顯然不合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈慕鉃槿w實(shí)數(shù)，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
5．（23-24高一上·浙江·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，由對(duì)稱軸求解.
【解答過(guò)程】解：函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，解得，
故選：B.
6．（2023·四川瀘州·一模）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）
A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b
【解題思路】首先根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)求解冪函數(shù)解析式并判斷函數(shù)單調(diào)性，然后通過(guò)自變量大小關(guān)系結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系即可
【解答過(guò)程】已知冪函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得：，解得：.
即，易知在上為單調(diào)遞減函數(shù).
由于，可得：，即；
又因?yàn)椋傻茫海矗?br/>綜上所述：.
故選：B.
7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)，，（）是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)求出解析式，分別構(gòu)造、，結(jié)合其單調(diào)性判斷各項(xiàng)正誤.
【解答過(guò)程】設(shè)冪函數(shù)，圖象過(guò)，則，即，
所以且，
為增函數(shù)，，故有.
為增函數(shù)，，故有.
所以A、B、C錯(cuò)，D對(duì).
故選：D.
8．（2023·江西南昌·二模）已知函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為1，，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用，求得的表達(dá)式，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，可求得，利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)，求得滿足的不等式組，求出的范圍，即可求得的取值范圍.
【解答過(guò)程】由，得.
所以 ，
對(duì)于函數(shù)，其開(kāi)口向上，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，
其兩個(gè)零點(diǎn)，則，且
且滿足，解得：，
根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)有，解得：
，
故選：B.
二、多選題
9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.
【解答過(guò)程】對(duì)于A，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故A正確；
對(duì)于B，是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故在其定義域上不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.
故選：AD.
10．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【解題思路】首先當(dāng)，不等式為恒成立，故滿足題意；其次，問(wèn)題變?yōu)榱艘辉尾坏仁胶愠闪?wèn)題，則當(dāng)且僅當(dāng)，解不等式組即可.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，故滿足題意；
當(dāng)時(shí)，要滿足，
而，
所以解得；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是；
所以對(duì)比選項(xiàng)得，實(shí)數(shù)a可能是，0，1.
故選：ABD.
11．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)，．且關(guān)于的函數(shù)．則（ ）
A．或
B．
C．當(dāng)時(shí)，存在關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上的最小值為6，
D．當(dāng)時(shí)，存在關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上的最小值為6，
【解題思路】根據(jù)新定義，歸納推理即可判斷A，根據(jù)A及求和公式化簡(jiǎn)即可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分別求出函數(shù)最小值，建立方程求解正整數(shù)可判斷CD.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋裕?br/>，依次類推，可得，故A正確；
由A選項(xiàng)知，，故B正確；
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)整數(shù)解，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，
所以當(dāng)時(shí)，，解得，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值為 （不唯一） ．
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.
【解答過(guò)程】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以可以為偶函數(shù)，不妨取，
此時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>且，故為偶函數(shù)，
滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故答案為：（不唯一）.
13．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)的圖像上，則 ．
【解題思路】通過(guò)與變量無(wú)關(guān)得到定點(diǎn)，設(shè)出解析式，求解變量即可.
【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，的值與無(wú)關(guān)，且，故，設(shè)
將代入，解得，故
故答案為：.
14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最大值為，在上的最大值為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【解題思路】作出的圖象，分和兩種情況討論函數(shù)在上的最大值和在上的最大值，列出關(guān)系，解不等式即可得到答案.
【解答過(guò)程】由函數(shù)，作出的圖象如下：
由題得：，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，即，
要使，則，令，解得：，，，，
由圖可得，要使函數(shù)在上的最大值為，且，
則，或，解得：.
當(dāng)時(shí)，
由圖，在上最大值，
在上單調(diào)遞增，最大值，
不可能成立，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
四、解答題
15．（2024·山東·二模）已知是二次函數(shù)，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函數(shù)的最小值和最大值．
【解題思路】（1）設(shè)二次函數(shù)為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其最值.
【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)二次函數(shù)為，
因?yàn)椋傻茫獾茫?br/>所以函數(shù)的解析式．
（2）解：函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為，
即函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，．
16．（2023·山東·一模）已知二次函數(shù)滿足，頂點(diǎn)為.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解題思路】（1）由二次函數(shù)頂點(diǎn)為可設(shè)，由即可求出a，則求出的解析式.
（2）根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口和對(duì)稱軸即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解答過(guò)程】（1）設(shè)，
則由得：，
，
.
（2）由（1）知，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
則若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
需滿足，
，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
17．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【解題思路】（1）根據(jù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)可得，解不等式可得整數(shù)的值，檢驗(yàn)是否符合奇函數(shù)即可；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，而在上為減函數(shù)，由此可得解．
【解答過(guò)程】（1）依題意為奇函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，
可得，解得，
由于,故，1，2，
當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，符合要求，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，
所以，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
18．（23-24高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)（）的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
（2）首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，恒成立．再利用換元法求解即可.
【解答過(guò)程】（1）或，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
，（舍），
，.
（2），恒成立，
，恒成立．
令，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
故．
19．（23-24高一上·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式對(duì)于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）解關(guān)于的不等式：.
【解題思路】(1)將給定的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成，按與并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論存在實(shí)數(shù)使不等式成立即可；
(2)將給定的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成，根據(jù)給定條件借助一次函數(shù)的性質(zhì)即可作答；
(3)將不等式化為，分類討論并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【解答過(guò)程】(1)依題意，有實(shí)數(shù)解，即不等式有實(shí)數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解，則，
當(dāng)時(shí)，取，則成立，即有實(shí)數(shù)解，于是得，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，要有解，當(dāng)且僅當(dāng)，從而得，
綜上，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；
(2)不等式對(duì)于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，即，
顯然，函數(shù)在上遞增，從而得，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；
(3) 不等式，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，而，解得，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，或，
當(dāng)，即時(shí)，或，
所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題2.3 冪函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】
【新高考專用】
【題型1 冪函數(shù)的定義】 2
【題型2 比較冪值的大小】 3
【題型3 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 3
【題型4 求二次函數(shù)的解析式】 4
【題型5 二次函數(shù)的圖象問(wèn)題】 4
【題型6 二次函數(shù)的最值問(wèn)題】 6
【題型7 二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題】 6
1、冪函數(shù)與二次函數(shù)
考點(diǎn)要求 真題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1)了解冪函數(shù)的定義，掌握冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) (2)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性與最值等） 2020年江蘇卷：第7題，5分 2024年天津卷：第2題，5分 冪函數(shù)與二次函數(shù)是常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，冪函數(shù)較少單獨(dú)考查，常與指、對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等考法，主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數(shù)常與其他知識(shí)相結(jié)合，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).
【知識(shí)點(diǎn)1 冪函數(shù)的解題技巧】
1.冪函數(shù)的解析式
冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.
2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.
3.比較冪值的大小
在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【知識(shí)點(diǎn)2 求二次函數(shù)解析式的方法】
1．二次函數(shù)解析式的求法
(1)一般式法：已知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.
(2)頂點(diǎn)式法：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸或最大（小）值，選用頂點(diǎn)式.
(3)零點(diǎn)式法：已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.
【知識(shí)點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】
1．二次函數(shù)的圖象問(wèn)題
(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開(kāi)口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開(kāi)口”是指拋物線的開(kāi)口方向.
(2)求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.
2．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.
3．二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題
不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
【題型1 冪函數(shù)的定義】
【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)
B．時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)
C．冪函數(shù)的圖象會(huì)出現(xiàn)在第四象限
D．既是二次函數(shù)，又是冪函數(shù)
【變式1-2】（23-24高一上·山東濟(jì)寧·期中）下列函數(shù)是冪函數(shù)且在是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽(yáng)·期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【題型2 比較冪值的大小】
【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，則“”是“”的（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例3】（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）探究?jī)绾瘮?shù)當(dāng)時(shí)的性質(zhì)，若該函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（ ）
A．2 B．3 C． D．-1
【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)，下列能成為“是R上的偶函數(shù)”的充分條件的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)（均為正整數(shù)且互質(zhì)）的圖象，則（ ）
A．是奇數(shù)且
B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且
C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且
D．是奇數(shù)，且
【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，則不等式的解集滿足（ ）
A． B． C． D．
【題型4 求二次函數(shù)的解析式】
【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列四個(gè)性質(zhì)中的三個(gè)性質(zhì)的二次函數(shù)：
．
①的最小值為；②的一次項(xiàng)系數(shù)為；③；④．
【變式4-1】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是0和5，圖象開(kāi)口向上，且在區(qū)間上的最大值為12，則函數(shù)的解析式為 ．
【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數(shù) ，，對(duì)任意，，且恒成立．則二次函數(shù)的完整解析式為 ．
【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，且不等式的解集為，則的解析式是 ．
【題型5 二次函數(shù)的圖象問(wèn)題】
【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象可以為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）不等式的解集為,則函數(shù)的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 二次函數(shù)的最值問(wèn)題】
【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．恒成立 B．最大值是5
C．與y軸無(wú)交點(diǎn) D．沒(méi)有最小值
【變式6-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為，當(dāng)取最小值時(shí)，（ ）
A．0 B．1 C． D．
【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）.則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間[m，n]，其中，若f（x）的值域?yàn)閇-4，4]，則的取值范圍是（ ）
A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]
【題型7 二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題】
【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)時(shí)，不等式：恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對(duì)任意的恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）無(wú)論取何值時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知冪函數(shù)在上的圖象分別是下降，急速上升，緩慢上升，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數(shù)，對(duì)任意的，有，則的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若不等式的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·浙江·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川瀘州·一模）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）
A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b
7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)，，（）是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·江西南昌·二模）已知函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為1，，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
11．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)，．且關(guān)于的函數(shù)．則（ ）
A．或
B．
C．當(dāng)時(shí)，存在關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上的最小值為6，
D．當(dāng)時(shí)，存在關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間上的最小值為6，
三、填空題
12．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值為 ．
13．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)的圖像上，則 ．
14．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最大值為，在上的最大值為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題
15．（2024·山東·二模）已知是二次函數(shù)，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函數(shù)的最小值和最大值．
16．（2023·山東·一模）已知二次函數(shù)滿足，頂點(diǎn)為.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
18．（23-24高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)（）的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（23-24高一上·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式對(duì)于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）解關(guān)于的不等式：.
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