資源簡介

第10講 計數原理、概率、隨機變量及其分布（2022-2024高考真題）
（新高考專用）
一、單項選擇題
1．（2024·上海·高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件：所選盒中有中國結，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（ ）
A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立
C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立
【解題思路】根據互斥事件和對立事件的定義，逐一判斷選項即可．
【解答過程】選項A，事件和事件可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本，事件與事件不互斥，A錯誤；
選項B，，，，
，B正確；
選項C，事件與事件可以同時發生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本或筆袋，C錯誤；
選項D，，，，
，
與不獨立，故D錯誤．
故選：B．
2．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數即可得解.
【解答過程】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
3．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.
【解答過程】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數顯然是，
根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B.
4．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結果，并求出抽到不同主題的結果，再利用古典概率求解作答.
【解答過程】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結果如下表：
乙甲 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共有36個不同結果，它們等可能，
其中甲乙抽到相同結果有，共6個，
因此甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的結果有30個，概率.
故選：A.
5．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.
【解答過程】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
所以這2名學生來自不同年級的概率為.
故選：D.
6．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【解題思路】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【解答過程】不妨記五名志愿者為，
假設連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有種.
故選：B.
7．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【解題思路】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.
【解答過程】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據分步乘法公式則共有種，
故選：C.
8．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【解題思路】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【解答過程】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有種.
故選：D.
9．（2023·全國·高考真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【解題思路】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.
【解答過程】同時愛好兩項的概率為，
記“該同學愛好滑雪”為事件,記“該同學愛好滑冰”為事件，
則，
所以.
故選:A.
10．（2022·全國·高考真題）分別統計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：
則下列結論中錯誤的是（ ）
A．甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.4
B．乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數大于8
C．甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4
D．乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
【解題思路】結合莖葉圖、中位數、平均數、古典概型等知識確定正確答案.
【解答過程】對于A選項，甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為，A選項結論正確.
對于B選項，乙同學課外體育運動時長的樣本平均數為：
，
B選項結論正確.
對于C選項，甲同學周課外體育運動時長大于的概率的估計值，
C選項結論錯誤.
對于D選項，乙同學周課外體育運動時長大于的概率的估計值，
D選項結論正確.
故選：C.
11．（2022·全國·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數字之積是4的倍數的情況，由古典概型求概率即可.
【解答過程】[方法一]：【最優解】無序
從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數字之積為4的倍數的有6種情況，故概率為.
[方法二]：有序
從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，
其中數字之積為4的倍數有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.
故選：C.
12．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
【解題思路】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決
【解答過程】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，
則此時連勝兩盤的概率為
則
；
記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，
則
記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.
故選：D.
13．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
【解題思路】利用賦值法可求的值.
【解答過程】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
二、多項選擇題
14．（2024·廣東江蘇·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據正態分布的原則以及正態分布的對稱性即可解出.
【解答過程】依題可知，，所以，
故，C正確，D錯誤；
因為，所以，
因為，所以，
而，B正確，A錯誤，
故選：BC．
15．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸 是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【解題思路】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.
【解答過程】對于A，依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發送1接收1、發送0接收0、發送1接收1的3個事件的積，
它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；
對于B，三次傳輸，發送1，相當于依次發送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，
是發送1接收1、發送1接收0、發送1接收1的3個事件的積，
它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；
對于C，三次傳輸，發送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；
對于D，由選項C知，三次傳輸，發送0，則譯碼為0的概率，
單次傳輸發送0，則譯碼為0的概率，而，
因此，即，D正確.
故選：ABD.
三、填空題
16．（2024·上?！じ呖颊骖}） 展開式中的系數為 15 .
【解題思路】根據給定條件，利用二項式定理直接求出結果.
【解答過程】 展開式中令的項為，
所以 展開式中的系數為15.
故答案為：15.
17．（2024·上海·高考真題）在的二項展開式中，若各項系數和為32，則項的系數為 10 ．
【解題思路】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.
【解答過程】令，，即，解得，
所以的展開式通項公式為，令，則，
．
故答案為：10．
18．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
【解題思路】根據排列可求基本事件的總數，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.
【解答過程】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當，則，則為：
，
，
故有16種，
當，則，同理有16種，
當，則，同理有10種，
當，則，同理有2種，
共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數為，
故所求概率為.
故答案為：.
19．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數中的最大值為 5 ．
【解題思路】先設展開式中第項系數最大，則根據通項公式有，進而求出即可求解.
【解答過程】由題展開式通項公式為，且，
設展開式中第項系數最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數最大的項是第9項，且該項系數為.
故答案為：5.
20．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數項為 20 ．
【解題思路】根據題意結合二項展開式的通項分析求解即可.
【解答過程】因為的展開式的通項為，
令，可得，
所以常數項為.
故答案為：20.
21．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 24 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 112 ．
【解題思路】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結果，即可求解.
【解答過程】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，
則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，
第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，
則所有的可能結果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個數之和最大，為.
故答案為：24；112.
22．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現他從所有的題中隨機選一題，正確率是 0.85 ．
【解題思路】求出各題庫所占比，根據全概率公式即可得到答案.
【解答過程】由題意知，題庫的比例為：，
各占比分別為，
則根據全概率公式知所求正確率．
故答案為：0.85．
23．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
【解題思路】結合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動，他再選擇活動的概率.
【解答過程】解法一：列舉法
從五個活動中選三個的情況有：
,共10種情況，
其中甲選到有6種可能性：，
則甲選到得概率為：；
乙選活動有6種可能性：，
其中再選則有3種可能性：，
故乙選了活動，他再選擇活動的概率為.
解法二：
設甲、乙選到為事件，乙選到為事件，
則甲選到的概率為；
乙選了活動，他再選擇活動的概率為
故答案為：；.
24．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
【解題思路】將每局的得分分別作為隨機變量，然后分析其和隨機變量即可.
【解答過程】設甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.
對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.
從而.
記.
如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，兩式相減即得，故.
所以甲的總得分不小于2的概率為.
故答案為：.
25．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為 ；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為 ．
【解題思路】先根據題意求出各盒中白球，黑球的數量，再根據概率的乘法公式可求出第一空；
根據古典概型的概率公式可求出第二個空．
【解答過程】設甲、乙、丙三個盒子中的球的個數分別為，所以總數為，
所以甲盒中黑球個數為，白球個數為；
乙盒中黑球個數為，白球個數為；
丙盒中黑球個數為，白球個數為；
記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件，所以，
；
記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，
黑球總共有個，白球共有個，
所以，．
故答案為：；．
26．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數為 ．
【解題思路】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數即可.
【解答過程】展開式的通項公式，
令可得，，
則項的系數為.
故答案為：60.
27．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 64 種（用數字作答）．
【解題思路】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.
【解答過程】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
28．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
【解題思路】根據古典概型計算即可
【解答過程】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；
其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.
故答案為：.
解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數為
甲、乙都入選的方法數為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：.
29．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數為 -28 （用數字作答）．
【解題思路】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.
【解答過程】因為，
所以的展開式中含的項為，
的展開式中的系數為-28
故答案為：-28.
30．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
【解題思路】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【解答過程】含的項為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．
31．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為 .
【解題思路】由題意結合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.
【解答過程】由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,
則.
故答案為：；.
32．（2022·浙江·高考真題）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則 ， ．
【解題思路】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.
【解答過程】從寫有數字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數字的最小值為2的取法有種，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案為：，.
33．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則
．
【解題思路】根據正態分布曲線的性質即可解出．
【解答過程】因為，所以，因此．
故答案為：．
四、解答題
34．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．
(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；
(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質量平均數為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數，并預估果園中單果的質量．
【解題思路】（1）利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分層抽樣的定義進行求解；
（3）根據公式計算出總體樣本平均質量和方差，并預估平均質量.
【解答過程】（1）設A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，
樣本空間的樣本點的個數，
A事件的樣本點的公式，
所以；
（2）因為一級果箱數：二級果箱數，
所以8箱水果中有一級果抽取箱，二級果抽取箱；
（3）設一級果平均質量為，方差為，二級果質量為，方差為，
總體樣本平均質量為，方差為，
因為，，，，
所以克，
克．
預估平均質量為克．
35．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；
（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大?。ńY論不要求證明）
【解題思路】（1）根據題設中的數據可求賠償次數不少2的概率;
（2）（?。┰O為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數學期望，從而可求.
（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求，從而即可比較大小得解.
【解答過程】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設中的統計數據可得.
（2）（ⅰ）設為賠付金額，則可取，
由題設中的統計數據可得，
，，
，
故
故（萬元）.
（ⅱ）由題設保費的變化為，
故（萬元），
從而.
36．（2024·全國·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【解題思路】（1）根據對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.
【解答過程】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
，
，
，應該由甲參加第一階段比賽.
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
，
，
，
，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
因為，則，，
則，
應該由甲參加第一階段比賽.
37．（2023·北京·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規律，收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．
時段 價格變化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用頻率估計概率．
(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；
(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）
【解題思路】（1）計算表格中的的次數，然后根據古典概型進行計算；
（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進行計算；
（3）通過統計表格中前一次上漲，后一次發生的各種情況進行推斷第天的情況.
【解答過程】（1）根據表格數據可以看出，天里，有個，也就是有天是上漲的，
根據古典概型的計算公式，農產品價格上漲的概率為：
（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，
于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是
（3）由于第天處于上漲狀態，從前次的次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，
因此估計第次不變的概率最大.
38．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【解題思路】（1）根據全概率公式即可求出；
（2）設，由題意可得，根據數列知識，構造等比數列即可解出；
（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出．
【解答過程】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設，依題可知，，則
，
即，
構造等比數列，
設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3）因為，，
所以當時，，
故．
39．（2022·全國·高考真題）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；
(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.
【解題思路】（1）根據平均值等于各矩形的面積乘以對應區間的中點值的和即可求出；
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區間}，根據對立事件的概率公式即可解出；
（3）根據條件概率公式即可求出．
【解答過程】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區間}，所以
．
（3）設“任選一人年齡位于區間[40,50)”，“從該地區中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，此人患這種疾病的概率為．
40．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【解題思路】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；
（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．
【解答過程】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為
．
（2）依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
.
即的分布列為
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
41．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
【解題思路】（1）由頻率估計概率即可
（2）求解得X的分布列，即可計算出X的數學期望.
（3）計算出各自獲得最高成績的概率，再根據其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.
【解答過程】（1）由頻率估計概率可得
甲獲得優秀的概率為0.4，乙獲得優秀的概率為0.5，丙獲得優秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設甲獲得優秀為事件A1,乙獲得優秀為事件A2，丙獲得優秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙奪冠概率估計值最大.
因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數越多，對丙越有利.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第10講 計數原理、概率、隨機變量及其分布（2022-2024高考真題）
（新高考專用）
一、單項選擇題
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件：所選盒中有中國結，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（ ）
A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立
C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨立
2．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
7．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
8．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
9．（2023·全國·高考真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
10．（2022·全國·高考真題）分別統計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：
則下列結論中錯誤的是（ ）
A．甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.4
B．乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數大于8
C．甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4
D．乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
11．（2022·全國·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大
13．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
二、多項選擇題
14．（2024·廣東江蘇·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
15．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸 是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
三、填空題
16．（2024·上?！じ呖颊骖}） 展開式中的系數為 .
17．（2024·上海·高考真題）在的二項展開式中，若各項系數和為32，則項的系數為 ．
18．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
19．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數中的最大值為 ．
20．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數項為 ．
21．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 ．
22．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現他從所有的題中隨機選一題，正確率是 ．
23．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
24．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
25．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為 ；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為 ．
26．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數為 ．
27．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）．
28．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
29．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數為 （用數字作答）．
30．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
31．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為 .
32．（2022·浙江·高考真題）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則 ， ．
33．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則
．
四、解答題
34．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．
(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；
(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質量平均數為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數，并預估果園中單果的質量．
35．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；
（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大?。ńY論不要求證明）
36．（2024·全國·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
37．（2023·北京·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規律，收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．
時段 價格變化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用頻率估計概率．
(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；
(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）
38．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
39．（2022·全國·高考真題）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；
(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；
(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.
40．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
41．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑